Buku Siswa Persamaan Kuadrat

(1)

Ringkasan Materi 1 Lembar Kerja Siswa

Persam

aa

n

K

u

ad

rat (

Pk

)

M

e

n

e

n

tukan

A

ka

r-A

ka

r

P

k

Jeni

s-Jeni

s

A

ka

r

Rum

us

Jum

la

h

D

an

Ha

si

l Ka

li

M

e

n

yusun

P

k

P

e

m

fa

kt

or

an

M

e

le

ngka

p

kan

Kua

d

ra

t

Se

mpu

rna

Rum

us

A

B

C

Pe

ta

Konse

p

(2)

(3)

SIKLUS 1

PERTEMUAN KE-1

PERSAMAAN KUADRAT

Memecahakan massalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat.

1. Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan kuadrat.

 Pemahaman Matematis Aspek Instrumental

- Melalui kegiatan tanya jawab, siswa diharapkan mampu menentukan dan menyebutkan nilai 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 pada persamaan kuadrat 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. - Melalui kegiatan diskusi internal kelompok, siswa dengan kelompoknya

diharapkan mampu menentukan nilai dua bilangan yang yang diketahui jumlah dan hasil kalinya (nilai 𝑝 dan 𝑞 dari hasil 𝑝 + 𝑞 dan 𝑝. 𝑞).

 Pemahaman Matematis Aspek Relasional

- Melalui kegiatan turnamen menjawab soal, siswa berkelompok berkompetisi dengan kelompok lain menjadi kelompok penjawab soal tercepat. Kegiatan ini diharapkan membuat siswa dapat bekerjasama menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan menentukan nilai dua bilangan yang diketahui nilai jumlah dan hasil kalinya dengan cepat, teapt dan detail.

- Melalui pemberian tugas rumah, siswa diharapkan mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan antara nilai 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 pada persamaan kuadrat 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dengan menentukan nilai 𝑝 dan 𝑞 dari hasil 𝑝 + 𝑞 dan 𝑝. 𝑞.

- Melalui pemberian tugas rumah, siswa diharapkan mampu mensubtitusikan nilai 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 pada persamaan kuadrat 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ke bentuk

−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎

.

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

(4)

(5)

𝑥

₁

𝑥

₂

PERSAMAAN KUADRAT

A. BENTUK UMUM

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk

𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 dengan 𝒂 ≠ 𝟎, 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑹. Keterangan 𝑎 : koefisien 𝑥2 𝑏 : koefisien 𝑥 𝑐 : konstanta 4𝑥2+ 3𝑥 + 1 = 0 maka 𝑎 = 4, 𝑏 = 4, dan 𝑐 = 1. 𝑥2_{− 𝑥 + 2 = 0} _{maka 𝑎 = 1, 𝑏 = −1, dan 𝑐 = 2.} 3𝑥2− 4𝑥 − 5 = 0 maka 𝑎 = 3, 𝑏 = −4, dan 𝑐 = −5.

B. AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Akar atau penyelesaian sebuah persamaan kuadrat 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 adalah nilai pengganti 𝑥 yang memenuhi persamaan kuadrat 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, umumnya dinotasikan dengan 𝑥1 dan 𝑥2.

Selidiki apakah 𝑥1 = 2 dan 𝑥2= 3 memenuhi persamaan kuadrat 𝑥2− 5𝑥 + 6 = 0.

Persamaan kuadrat 𝑥2− 5𝑥 + 6 = 0 𝑥1= 2 → 22− 5.2 + 6 = 0 4 − 10 + 6 = 0 0 = 0 (benar) 𝑥2= 3 → 32− 5.3 + 6 = 0 9 − 15 + 6 = 0 0 = 0 (benar) Contoh Contoh Jawab

(6)

- Memfaktorkan

- Melengkapi kuadrat sempurna - Rumus ABC

Jadi, 𝑥1= 2 dan 𝑥2 = 3 memenuhi persamaan kuadrat 𝑥2− 5𝑥 + 6 = 0. Dengan

demikian 𝑥1= 2 dan 𝑥2 = 3 disebut akar-akar persamaan kuadrat.

C. MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Akar-akar persamaan kuadrat dapat

ditentukan dengan tiga cara, yaitu memgaktorkan, melengkapkan bentuk kuadrat, dan menggunakan rumus ABC.

1. MEMFAKTORKAN

Bentuk umum: 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, dimana 𝒂 ≠ 𝟎.

𝒂𝒙𝟐_{+ 𝒃𝒙 + 𝒄 =}(𝒂. 𝒙 + 𝒑)(𝒂. 𝒙 + 𝒒) =

𝒂 𝟎, 𝒅𝒊𝒎𝒂𝒏𝒂 𝒑. 𝒒 = 𝒂. 𝒄 𝒅𝒂𝒏 𝒑 + 𝒒 = 𝒃

Dapat menentukan nilai 𝑝 dan 𝑞 pada jika di ketahui hasil 𝑝 + 𝑞 dan 𝑝. 𝑞 .

Tentukan nilai 𝑝 dan 𝑞 pada jika di ketahui hasil 𝑝 + 𝑞 = 5 dan 𝑝. 𝑞 = 6 .

𝑝 + 𝑞 = 5 𝑝. 𝑞 = 6

Maka kita cari faktor dari 6 yang dijumlah menghasilkan 5 dengan tabel.

6 𝒑 1 2 -1 -2

𝒒 6 3 -6 -3

Faktor dari enam yang di jumlahkan menghasilkan 5 adalah 2 dan 3. Maka nilai 𝑝 = 2 dan 𝑞 = 3.

Syarat

Contoh 1

(7)

Ringkasan Materi 7 Lembar Kerja Siswa Jika 𝑝 + 𝑞 = 4 dan 𝑝. 𝑞 = −12. Maka nilai 𝑝 dan 𝑞 berturut-turut adalah...

𝑝 + 𝑞 = 4 𝑝. 𝑞 = −12

Maka kita cari faktor dari -12 yang dijumlah menghasilkan 4 dengan tabel.

-12 𝒑 1 2 3 4 6 12

𝒒 -12 -6 -4 -3 -2 -1

Faktor dari -12 yang di jumlahkan menghasilkan 4 adalah 6 dan -2. Maka nilai 𝑝 = 6 dan 𝑞 = −2.

Dua bilangan jika di jumlahkan hasilnya -14 dan jika dikalikan hasilnya 24. Maka kedua bilangan tersebut adalah...

Dua bilangan tersebut kita misalkan 𝑝 dan 𝑞 maka 𝑝 + 𝑞 = −14 dan 𝑝. 𝑞 = 24

24 𝒑 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

𝒒 24 12 8 6 -24 -12 -8 -6

Faktor dari 24 yang di jumlahkan menghasilkan -14 adalah -2 dan -12. Maka nilai 𝑝 = −2 dan 𝑞 = −12.

Kedua bilangan tersebut adalah -2 dan -12.

Contoh 2

Jawab

Contoh 3

(8)

LATIHAN 1

Kerjakan dan diskusikan soal latihan di bawah ini dengan cepat dan tepat bersama teman kelompokmu!

1. Isilah titik-titik pada tabel di bawah ini berdasarkan bentuk umum persamaan kuadrat!

Persamaan Kuadrat Nilai

𝒂 𝒃 𝒄 𝑥2+ 𝑥 + 1 = 0 1 1 ... 2𝑥2_{+ 3𝑥 − 3 = 0} _… ₃ _… 15𝑥2− 2𝑥 = 0 15 … … 7𝑥2_{− 5 = 0} _… _… _… 4𝑥 + 5 + 2𝑥2= 0 … 4 … 5 − 𝑥 − 𝑥2_{= 0} _… _… _… 21 − 2𝑥 + 2𝑥2 = 0 2 … … 15 + 𝑥2− 𝑥 = 0 … … … 16𝑥2_{− 25 = 0} _… _… _… −𝑥2+ 𝑥 = 0 … … …

2. Tentukan nilai 𝑝 dan 𝑞 pada tabel di bawah ini jika diketahui nilai 𝑝 + 𝑞 dan 𝑝. 𝑞.

𝑝 + 𝑞 𝑝. 𝑞 𝑝 𝑞 8 12 2 ... -2 -15 ... 3 -7 10 ... ... 9 20 ... ... -3 -10 ... ... -10 21 ... ... Nilai Paraf

(9)

TUGAS RUMAH 1

Salin dan kerjakan tugas berikut dengan cara yang detail pada buku latihan matematikamu.

Bentuk umum persamaan kuadarat adalah 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Jika 𝑝 + 𝑞 = 𝑏 dan 𝑝. 𝑞 = 𝑎. 𝑐 tentukan nilai 𝑝 dan 𝑞 dari persamaan kuadrat 4𝑥2_{+ 8𝑥 + 3 = 0.}

4𝑥2+ 8𝑥 + 3 = 0 𝑎 = 4 , 𝑏 = 8, dan 𝑐 = 3

Maka 𝑝 + 𝑞 = 𝑏 = 8 dan 𝑝. 𝑞 = 𝑎. 𝑐 = 4.3 = 12

12 𝒑 1 2 3 -1 -2 -3

𝒒 12 6 4 -12 -6 -4

Faktor dari 12 yang dijumlahkan hasilnya 8 adalah 2 dan 6. Maka 𝑝 = 2 dan 𝑞 = 6

Tentukan nilai 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑝 + 𝑞, 𝑝. 𝑞, 𝑝 dan 𝑞 dari persamaan kuadrat berikut.

Persamaan Kuadrat Nilai 𝒂 𝒃 𝒄 𝒑 + 𝒒 𝒑. 𝒒 𝒑 𝒒 𝑥2+ 7𝑥 + 10 = 0 … ... ... ... ... ... ... 𝑥2_{− 7𝑥 − 18 = 0} _… _… _… _... _... _... _... 3𝑥2− 2𝑥 − 8 = 0 … ... … ... ... ... ... 4𝑥2+ 6𝑥 − 4 = 0 … … … ... ... ... ...

Tentukan nilai 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 pada persamaan 2𝑥2+ 7𝑥 + 6 = 0. Kemudian tentukan 𝑥 dengan cara subtitusikan nilai 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 ke bentuk 𝑥 = −𝑏±√𝑏

2_−4𝑎𝑐 2𝑎

.

Contoh Jawab Soal Contoh

(10)

Ringkasan Materi 10 Lembar Kerja Siswa 2𝑥2+ 7𝑥 + 6 = 0 nilai 𝑎 = 2, 𝑏 = 7, dan 𝑐 = 6 𝑥 =−𝑏 ± √𝑏 2_{− 4𝑎𝑐} 2𝑎 𝑥 =−(7) ± √(7) 2_{− 4. (2). (6)} 2. (2) 𝑥 =−7 ± √49 − 48 4 𝑥 =−7 ± √1 4 𝑥 =−7 ± 1 4 𝑥1 = −7 + 1 4 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥2= −7 − 1 4 𝑥1 = −6 4 𝑥2= −8 4 𝑥1 = −3 2 𝑥2= −2 Maka nilai 𝑥 yaitu −3₂ dan −2.

Tentukan nilai 𝑥 jika 𝑥 = −𝑏±√𝑏

2_−4𝑎𝑐

2𝑎 dari persamaan berikut.

a. 𝑥2+ 5𝑥 + 6 = 0 b. 3𝑥2+ 5𝑥 + 2 = 0 c. 2𝑥2+ 7𝑥 + 6 = 0

Jawab

(11)

SIKLUS 1

PERTEMUAN KE-2

PERSAMAAN KUADRAT

- Melalui kegiatan diskusi internal kelompok, siswa dengan kelompoknya diharapkan mampu menentukan akar-akar persamaan kuadrat menggunakan cara pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus ABC.

- Melalui kegiatan turnamen menjawab soal, siswa berkelompok berkompetisi dengan kelompok lain menjadi kelompok penjawab soal tercepat. Kegiatan ini diharapkan dapat membuat siswa bekerjasama menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat dengan cepat, tepat, dan detail.

- Melalui kegiatan pemberian tugas rumah, siswa diharapkan mampu mendalami cara mencari nilai akar-akar persamaan kuadrat dan mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan persamaan kuadrat.

Standar kompetensi

Kompetensi dasar

(12)

(13)

PERSAMAAN KUADRAT

C. MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

1. MEMFAKTORKAN

Bentuk umum: 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, dimana 𝒂 ≠ 𝟎 dan 𝒂 = 𝟏.

𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = (𝒂𝒙 + 𝒑)(𝒂𝒙 + 𝒒)

𝒂 = 𝟎, 𝒅𝒊𝒎𝒂𝒏𝒂 𝒑. 𝒒 = 𝒂. 𝒄 𝒅𝒂𝒏 𝒑 + 𝒒 = 𝒃

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadarat 𝑥2+ 7𝑥 + 10 = 0.

𝑥2+ 7𝑥 + 10 = 0.

 Langkah 1

Tentukan nilai 𝑎, 𝑏, dan 𝑐. 𝑎 = 1 𝑏 = 7 𝑐 = 10

 Langkah 2

Tentukan nilai 𝑝 + 𝑞, 𝑝. 𝑞, 𝑝 dan 𝑞 𝑝 + 𝑞 = 𝑏 = 7

𝑝. 𝑞 = 𝑎. 𝑐 = 1.10 = 10

10 𝒑 1 2 -1 -2

𝒒 10 5 -10 -5

Faktor 10 yang dijumlahkan hasilnya 7 adalah 2 dan 5. Maka 𝑝 = 2 dan 𝑞 = 5.

 Langkah 3

Subtitusikan nilai 𝑝 dan 𝑞 pada (𝑎𝑥+𝑝)(𝑎𝑥+𝑞)_𝑎 = 0. (1. 𝑥 + 2)(1. 𝑥 + 5) 1 = 0 (𝑥 + 2)(𝑥 + 5) = 0 Maka 𝑥2+ 7𝑥 + 10 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 5) = 0 Contoh 1 Jawab

(14)

 Langkah 4

(𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞) = 0 maka kemungkinan (𝑥 + 𝑝) = 0 atau (𝑥 + 𝑞) = 0 𝑥2+ 7𝑥 + 10 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 5) = 0

Maka

𝑥 + 2 = 0 atau 𝑥 + 5 = 0

𝑥 = −2 𝑥 = −5

Jadi akar-akar dari persamaan 𝑥2+ 7𝑥 + 10 = 0 adalah -2 dan -5.

Nilai 𝑥 yang memenuhi dari persamaan 𝑥2+ 𝑥 − 12 = 0 adalah...

𝑥2+ 𝑥 − 12 = 0 𝑎 = 1 , 𝑏 = 1 , 𝑐 = −12 𝑝 + 𝑞 = 𝑏 = 1 𝑝. 𝑞 = 𝑎. 𝑐 = 1. (−12) = −12 Maka 𝑝 = −3 dan 𝑞 = 4 𝑥2_{+ 𝑥 − 12 =}(1. 𝑥 − 3)(1. 𝑥 + 4) 1 = 0 𝑥2+ 𝑥 − 12 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 4) = 0 𝑥 − 3 = 0 atau 𝑥 + 4 = 0 𝑥 = 3 𝑥 = −4

Jadi nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan 𝑥2+ 𝑥 − 12 = 0 adalah 3 dan -4.

Jika 𝑥1 dan 𝑥2 adalah akar-akar persamaan kuadrat dari 2𝑥2+ 4𝑥 − 6 = 0. Maka

nilai 𝑥1 dan 𝑥2 berturut-turut adalah... (𝑥1 > 𝑥2)

2𝑥2− 5𝑥 − 7 = 0 𝑎 = 2 , 𝑏 = −5 , 𝑐 = −7 𝑝 + 𝑞 = 𝑏 = −5 𝑝. 𝑞 = 𝑎. 𝑐 = 2. (−7) = −14 Maka 𝑝 = −7 dan 𝑞 = 2 Contoh 2 Jawab Contoh 3 Jawab

(15)

Ringkasan Materi 15 Lembar Kerja Siswa 2𝑥2− 5𝑥 − 7 =(2𝑥 − 7)(2𝑥 + 2) 2 = 0 (2𝑥 − 7). 2. (𝑥 + 1) 2 = 0 (2𝑥 − 7)(𝑥 + 1) = 0 2𝑥 − 7 = 0 atau 𝑥 + 1 = 0 2𝑥 = 7 𝑥 = −1 𝑥 =7 2

Jadi karena 𝑥1> 𝑥2 maka nilai 𝑥1= 7

2 dan 𝑥2= −1.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadarat 3𝑥2− 8𝑥 + 4 = 0.

3𝑥2_{− 8𝑥 + 4 = 0} 𝑎 = 3 , 𝑏 = −8 , 𝑐 = 4 𝑝 + 𝑞 = 𝑏 = −8 𝑝. 𝑞 = 𝑎. 𝑐 = 3.4 = 12 Maka 𝑝 = −2 dan 𝑞 = −6 3𝑥2− 8𝑥 + 4 =(3𝑥 − 2)(3𝑥 − 6) 3 = 0 (3𝑥 − 2). 3. (𝑥 − 2) 3 = 0 (3𝑥 − 2)(𝑥 − 2) = 0 3𝑥 − 2 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0 3𝑥 = 2 𝑥 = 2 𝑥 =3 2

Maka penyelesaian dari persamaan kuadrat 3𝑥2− 8𝑥 + 4 = 0 adalah 3₂ dan 2.

2. MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA

Cara ini digunakan ketika dalam penyelesaian persamaan kuadrat tidak dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran.

Rumus: (𝒙 + 𝒃 𝟐𝒂) 𝟐 = (𝒃 𝟐𝒂) 𝟐 −𝒄 𝒂 Contoh 4 Jawab

(16)

Ringkasan Materi 16 Lembar Kerja Siswa Tentukan nilai 𝑥 yang memenuhi pada persamaan kuadrat 𝑥2− 5𝑥 + 4 = 0.

𝑥2_{− 5𝑥 + 4 = 0} 𝑎 = 1 , 𝑏 = −5 , 𝑐 = 4 Maka 𝑏 2𝑎 → −5 2.1= −5 2 (𝑏 2𝑎) 2 → (−5 2.1) 2 =25 4 𝑥2− 5𝑥 + 4 = 0

𝑥2_{− 5𝑥 = −4} _{Pindahkan c ke ruas kanan}

𝑥2_{− 5𝑥 +}25

4 = −4 + 25

4 Masing-masing ruas tambahkan dengan ( 𝑏 2𝑎) 2 (𝑥 −5 2) 2 = 9

4 Ruas kiri dijadikan (𝑥 + 𝑏 2𝑎) 2 𝑥 −5 2= ±√ 9

4 Pindahkan tanda kuadrat keruas kanan menjadi ±√…

𝑥 −5

2= ± 3

2 Tentukan hasil akar

𝑥 =5

2± 3

2 Pindahkan semua kostanta ke ruas kanan

𝑥 =5₂+3₂ atau 𝑥 =5₂−3₂

𝑥 = 4 𝑥 = 1

Jadi nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan kuadrat 𝑥2− 5𝑥 + 4 = 0 adalah 1 atau 4.

3. MENGGUNAKAN RUMUS ABC

Cara ini sama halnya dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, digunakan ketika persamaan kuadrat tidak bisa diselesaikan dengan cara pemfaktoran.

Mensubtitusikan nilai 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 pada persamaan kuadrat 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 pada rumus: 𝒙 =−𝒃 ± √𝒃 𝟐_{− 𝟒𝒂𝒄} 𝟐𝒂 Contoh Jawab

(17)

Ringkasan Materi 17 Lembar Kerja Siswa Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut 𝑥2_{− 6𝑥 + 8 = 0.}

𝑥2− 6𝑥 + 8 = 0 𝑎 = 1 , 𝑏 = −6 , 𝑐 = 8 𝑥 =−(−6) ± √(−6) 2_{− 4.1.8} 2.1 𝑥 =6 ± √36 − 32 2 𝑥 =6 ± √4 2 𝑥 =6 ± 2 2 𝑥 =6 + 2 2 = 4 atau 𝑥 = 6 − 2 2 = 2

Jadi penyelesaian dari persamaan kuadrat 𝑥2− 6𝑥 + 8 = 0 adalah 4 atau 2.

Nilai 𝑥 yang memenuhi pada persamaan 2𝑥2+ 5𝑥 − 2 = 0 adalah...

2𝑥2_{+ 5𝑥 − 2 = 0} 𝑎 = 2 , 𝑏 = 5 , 𝑐 = −2 𝑥 =−5 ± √5 2_{− 4.2. (−2)} 2.2 𝑥 =−5 ± √25 + 16 4 𝑥 =−5 ± √41 4 𝑥 =−5 + √41 4 atau 𝑥 = −5 − √41 4 Contoh 1 Jawab Contoh 2 Jawab

(18)

LATIHAN 2

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadarat berikut dengan cara pemfaktoran.

a. 𝑥2+ 5𝑥 + 6 = 0 b. 2𝑥2− 9𝑥 − 7 = 0

2. Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, tentukan nilai 𝑥 yang memenuhi pada persamaan 𝑥2+ 8𝑥 + 12 = 0.

3. Tentukan penyelesaian dari 𝑥2− 10𝑥 + 21 = 0 menggunakan rumus ABC.

1.a 𝑥2+ 5𝑥 + 6 = 0 𝑎 = ⋯ , 𝑏 = ⋯ , 𝑐 = ⋯ 𝑝 + 𝑞 = 𝑏 = ⋯ 𝑝. 𝑞 = 𝑎. 𝑐 =... . ... = ... ... 𝒑 ... ... ... ... 𝒒 ... ... ... ...

Maka nilai 𝑝 = ⋯ dan 𝑞 = ⋯ 𝑥2_{+ 5𝑥 + 6 =}(𝑥 … )(𝑥 … )

… = 0

(𝑥 … )(𝑥 … ) = 0

𝑥 … = 0 atau 𝑥 … = 0

𝑥 = ⋯ 𝑥 = ⋯

Jadi himpunan penyelesaian dari 𝑥2+ 5𝑥 + 6 = 0 adalah ... dan ...

1.b 2𝑥2− 9𝑥 + 7 = 0 𝑎 = ⋯ , 𝑏 = ⋯ , 𝑐 = ⋯ 𝑝 + 𝑞 = 𝑏 = ⋯ 𝑝. 𝑞 = 𝑎. 𝑐 =... . ... = ... Soal Jawab

(19)

Ringkasan Materi 19 Lembar Kerja Siswa ... 𝒑 ... ... ... ...

𝒒 ... ... ... ...

Maka nilai 𝑝 = ⋯ dan 𝑞 = ⋯ 2𝑥2− 9𝑥 − 7 =(. . 𝑥 … )(… 𝑥 … ) … = 0 … (… 𝑥 … )(… 𝑥 … ) … = 0 (… 𝑥 … )(… 𝑥 … ) = 0 … 𝑥 … = 0 atau … 𝑥 … = 0 … 𝑥 = ⋯ … 𝑥 = ⋯ 𝑥 =… … 𝑥 = … … 𝑥 = ⋯ 𝑥 = ⋯

Jadi himpunan penyelesaian dari 2𝑥2− 9𝑥 − 7 = 0 adalah ... dan ...

2. 𝑥2+ 8𝑥 + 12 = 0 𝑎 = ⋯ , 𝑏 = ⋯ , 𝑐 = ⋯ Maka 𝑏 2𝑎→ … 2. …= … … (𝑏 2𝑎) 2 → ( … 2. … ) 2 =… … 3. 𝑥2+ 8𝑥 + 12 = 0 𝑥2+ 8𝑥 = ⋯ 𝑥2+ 8𝑥 + ⋯ = ⋯ + ⋯ (𝑥 + ⋯ )2 _{= ⋯} 𝑥 + ⋯ = ±√… 𝑥 + ⋯ = ± ⋯ 𝑥 = ⋯ ± ⋯ 𝑥 = ⋯ + ⋯ atau 𝑥 = ⋯ − ⋯ 𝑥 = ⋯ 𝑥 = ⋯

(20)

Ringkasan Materi 20 Lembar Kerja Siswa 4. 𝑥2− 10𝑥 + 21 = 0 𝑎 = ⋯ , 𝑏 = ⋯ , 𝑐 = ⋯ 𝑥 =−(… ) ± √(… ) 2_{− 4. (… ). (… )} 2. (… ) 𝑥 =… ± √… − ⋯ … 𝑥 =… ± √… … . 𝑥 =… ± … … 𝑥 =… + … … atau 𝑥 = … − … … 𝑥 = ⋯ 𝑥 = ⋯

Jadi penyelesaian dari persamaan kuadrat 𝑥2− 10𝑥 + 21 = 0 adalah ... atau ....

(21)

TUGAS RUMAH 2

1. Tentukan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan cara pemfaktoran.

a. 𝑥2+ 11𝑥 + 18 = 0 b. 2𝑥2− 1𝑥 − 6 = 0

2. Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna tentukan nilai 𝑥 yang memenuhi pada persamaan kuadrat berikut.

a. 𝑥2+ 4𝑥 − 12 = 0 b. 3𝑥2− 6𝑥 + 3 = 0

3. Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan rumus ABC. a. 3𝑥2+ 6𝑥 − 7 = 0

b. 5𝑥2− 4𝑥 − 1 = 0

4. Suatu persegi panjang memiliki luas 24 cm2_{dan keliling dari persegi panjang tersebut}

20 cm. Maka panjang dan lebar dari persegi panjang tersebut adalah ...

5. Panjang dan lebar suatu persegi panjang berturut-turut (𝑥 + 3) cm dan (𝑥 − 5) cm. Jika luas persegi panjang tersebut adalah 33 cm2_{. Tentukan panjang dan lebar}

sebenarnya.

(22)

(23)

SIKLUS 2

PERTEMUAN KE-3

PERSAMAAN KUADRAT

- Melalui kegiatan tanya jawab, siswa diharapkan mampu menyebutkan dan hafal jenis-jenis akar persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminan.

- Melalui kegiatan diskusi internal kelompok, siswa diharapkan mampu menentukan jenis-jenis akar suatu persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminan dan dapat menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.

- Melalui kegiatan turnamen menjawab soal, siswa berkelompok berkompetisi dengan kelompok yang lain menjadi kelompok penjawab soal tercepat. Kegiatan ini diharapkan dapat membuat siswa mampu bekerjasama untuk menyelesaikan masalah menentukan jenis-jenis akar suatu persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminan yang berkaitan dengan pertidaksamaan kuadrat.

- Melalui pemberian tugas rumah pribadi, siswa diharapkan mampu mendalami materi menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat dan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.

- Melalui pemberian tugas rumah kelompok, siswa diharapkan mampu menyelesaikan masalah menentukan jenis-jenis akar suatu persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminan yang berkaitan dengan pertidaksamaan kuadrat. Kemudian dapat mempresentasikan hasil tugas pada pertemuan berikutnya.

(24)

(25)

PERSAMAAN KUADRAT

D. JENIS-JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Akar-akar atau penyelesaian persamaan kuadrat ditentukan dengan nilai Diskriminan.

𝑫 = 𝒃𝟐− 𝟒. 𝒂. 𝒄

1. BEBERAPA KODISI 𝑫 YANG MENENTUKAN JENIS-JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT.

Jika 𝑫 > 𝟎, maka persamaan kuadrat 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, dengan 𝒂, 𝒃, 𝒄 adalah bilangan real dan 𝒂 ≠ 𝟎 memiliki dua akar real yang berbeda.

Misalkan kedua akar tersebut 𝒙𝟏 dan 𝒙𝟐, maka 𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐.

Jika 𝑫 = 𝟎, maka persamaan kuadrat 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, dengan 𝒂, 𝒃, 𝒄 adalah

bilangan real dan 𝒂 ≠ 𝟎 memiliki dua akar real yang sama (kembar). Misalkan kedua akar tersebut 𝒙𝟏 dan 𝒙𝟐, maka 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐.

Jika 𝑫 < 𝟎, maka persamaan kuadrat 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, dengan 𝒂, 𝒃, 𝒄

adalah bilangan real dan 𝒂 ≠ 𝟎 memiliki dua akar kompleks (tidak real) yang berbeda. Misalkan kedua akar tersebut 𝒙𝟏 dan 𝒙𝟐, maka 𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐.

Tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat, tekan jenis akar dari persamaan kuadrat 2𝑥2+ 5𝑥 + 2 = 0.

2𝑥2_{+ 5𝑥 + 2 = 0}

𝑎 = 2, 𝑏 = 5, 𝑐 = 2

𝐷 = 𝑏2− 4𝑎𝑐 → 𝐷 = 52− 4.2.2 𝐷 = 25 − 16 = 9

Tenyata 𝐷 > 0 maka 2𝑥2+ 5𝑥 + 2 = 0 memiliki dua akar real yang berbeda.

Contoh 1

(26)

Ringkasan Materi 26 Lembar Kerja Siswa 2. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Pertidaksamaan memiliki tanda “<, >, ≤, dan ≥” Contoh:

𝑥2+ 5𝑥 + 6 > 0 2𝑥2+ 5𝑥 + 4 ≤ 0 𝑥2_{− 2𝑥 + 2 < 0} _3𝑥2_{− 8𝑥 − 4 ≥ 0}

Langkah-langkah menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat 𝑥2+ 5𝑥 + 6 > 0.

Langkah 1.

Tentukan nilai fungsi, negatif atau positif. 𝑥2+ 5𝑥 + 6 > 0

𝑓(𝑥) > 0 → 𝑓(𝑥) bernilai positif 𝑓(𝑥) = 𝑥2_{+ 5𝑥 + 6}

Langkah 2.

Ubah kedalam bentuk persamaan kuadrat dan tentukan penyelesaiannya. 𝑥2+ 5𝑥 + 6 > 0 → 𝑥2+ 5𝑥 + 6 = 0 𝑥2+ 5𝑥 + 6 = 0 (𝑥 + 3)(𝑥 + 2) = 0 𝑥 = −3 dan 𝑥 = −2 Contoh 1 Jawab

(27)

Ringkasan Materi 27 Lembar Kerja Siswa Langkah 3.

Buat garis bilangan berdasarkan nilai dari penyelesaian persamaan kuadrat. 𝑥 = −3 dan 𝑥 = −2

Catatan:

Jika " < " bulatan kosong Jika " > " bulatan kosong Jika " ≤ " bulatan penuh Jika " ≥ " bulatan penuh

Langkah 4

Tentukan nilai fungsi di sekitar akar-akar dari persamaan kuadrat yaitu di kiri, tengah, kanan dan kiri, untuk mengetahui wilayah positif dan negatif.

 Kiri 𝑥 = −4 → 𝑓(−4) = (−4)2+ 5(−4) + 6 = 16 − 20 + 6 = 4 (positif)  Tengah 𝑥 = −2,5 → 𝑓(−4) = (−2,5)2+ 5(−2,5) + 6 = 6,25 − 12,5 + 6 = −0,25 (negatif)  Kanan 𝑥 = 0 → 𝑓(0) = (0)2_{+ 5(0) + 6} = 0 − 0 + 6 = 6 (positif) wilayah positif dan negatif

-3 -2

-4 -2,5 0

Kiri Tengah Kanan

+

-

+

−

(28)

Ringkasan Materi 28 Lembar Kerja Siswa Langkah 5

Tentukan himpunan penyelesaian berdasarkan nilai fungsi. 𝑥2+ 5𝑥 + 6 > 0

𝑓(𝑥) > 0 → 𝑓(𝑥) bernilai positif

𝑥 < −3 atau 𝑥 > −2

Jadi himpunan penyelesaian dari 𝑥2+ 5𝑥 + 6 > 0 yaitu 𝑥 < −3 atau 𝑥 > −2.

Tentukan himpuanan penyelesaian dari 𝑥2− 3𝑥 − 4 ≤ 0

𝑥2_{− 3𝑥 − 4 ≤ 0} 𝑓(𝑥) ≤ 0 → 𝑓(𝑥) bernilai negatif 𝑓(𝑥) = 𝑥2− 3𝑥 − 4 𝑥2_{− 3𝑥 − 4 = 0} (𝑥 + 1)(𝑥 − 4) = 0 𝑥 = −1 atau 𝑥 = 4  Kiri 𝑥 = −2 → 𝑓(−2) = 6 positif  Tengah 𝑥 = 0 → 𝑓(0) = −4 negatif  Kanan 𝑥 = 5 → 𝑓(5) = 6 positif

𝑓(𝑥) bernilai negatif maka −1 ≤ 𝑥 ≤ 4

Jadi himpunan penyelesaian dari 𝑥2− 3𝑥 − 4 ≤ 0 yaitu −1 ≤ 𝑥 ≤ 4.

Contoh 1 Jawab

+

-

+

−

-3 -2 -1 4 -1 0 5

+

-

+

−

(29)

LATIHAN 3

1. Tentukan jenis akar dari persamaan kuadrat berikut menggunakan nilai diskriminan. a. 𝑥2− 8𝑥 + 16 = 0

b. 2𝑥2− 5𝑥 − 3 = 0 c. 3𝑥2+ 2𝑥 + 4 = 0

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat 𝑥2− 10𝑥 + 21 ≥ 0.

1.a. 𝑥2− 8𝑥 + 16 = 0 𝑎 = ⋯ , 𝑏 = ⋯ , 𝑐 = ⋯ 𝐷 = 𝑏2_{− 4𝑎𝑐} 𝐷 = (… )2− 4. (… ). (… ) 𝐷 = (… ) − (… ) 𝐷 = ⋯

karena 𝐷 … 0 maka 𝑥2− 8𝑥 + 16 = 0 memiliki akar ...

1.b. 2𝑥2− 5𝑥 − 3 = 0 𝑎 = ⋯ , 𝑏 = ⋯ , 𝑐 = ⋯ 𝐷 = 𝑏2_{− 4𝑎𝑐} ... ... ... karena 𝐷 … 0 maka 2𝑥2− 5𝑥 − 3 = 0 memiliki akar ...

1.c. 3𝑥2+ 2𝑥 + 4 = 0

... ...

Soal

(30)

Ringkasan Materi 30 Lembar Kerja Siswa ... ... ... ... ... 2. 𝑥2− 10𝑥 + 21 ≥ 0 𝑓(𝑥) … 0 → 𝑓(𝑥) bernilai ... 𝑓(𝑥) =... ...= 0 (… … … )(… … … ) = 0 𝑥 = ⋯ atau 𝑥 = ⋯  kiri 𝑥 = ⋯ → 𝑓(… ) =... (positif/negatif)*coret  tengah 𝑥 = ⋯ → 𝑓(… ) =... (positif/negatif)*coret  kanan 𝑥 = ⋯ → 𝑓(… ) =... (positif/negatif)*coret 𝑓(𝑥) bernilai ... maka ...

Jadi himpunan penyelesaian dari 𝑥2− 10𝑥 + 21 ≥ 0 yaitu ...

Nilai Paraf

... ...

... ... ... Kiri Tengah Kanan

... ...

(31)

TUGAS RUMAH 3

1. Tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat, tentukan jenis-jenis akar dari persamaan kuadrat berikut.

a. 2𝑥2+ 5𝑥 + 2 = 0 b. 𝑥2− 6𝑥 + 9 = 0 c. 3𝑥2− 6𝑥 + 4 = 0

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut. a. 𝑥2+ 11𝑥 + 18 < 0

b. 𝑥2− 9𝑥 + 14 > 0 c. 2𝑥2− 5𝑥 − 3 ≤ 0 d. 3𝑥2− 8𝑥 + 4 ≥ 0

Salin dan kerjakan tugas berikut dengan cara yang detail bersama kelompokmu, dan persiapkan untuk mempresentasikannya di pertemuan selanjutnya.

Kelompok 1.

Agar persamaan 𝑥2− 𝑛𝑥 + 4 = 0 memiliki akar real kembar. Maka tentukan nilai 𝑛. Kelompok 2.

Persamaan 𝑥2− 𝑚𝑥 + 𝑚 = 0 akan memiliki akar real dan berbeda jika 𝑚 bernilai ... Kelompok 3.

Tentukan nilai p agar persamaan 𝑥2+ 2𝑝𝑥 + 9 = 0 memiliki akar imajiner (tidak real). Kelompok 4.

Persamaan 𝑞𝑥2+ 𝑞𝑥 − 1 = 0 memiliki akar real berbeda kembar jika 𝑞 bernilai ... Kelompok 5.

Syarat nilai r agar persamaan 𝑟𝑥2+ 2𝑟𝑥 − 2 = 0 memiliki akar imajiner adalah ...

Pribadi

Soal

Kelompok

(32)

(33)

SIKLUS 2

PERTEMUAN KE-4

PERSAMAAN KUADRAT

- Melalui kegiatan turnamen presentasi menjawab soal, siswa diharapkan mampu menyampaikan pendapat dan mengkritisi masalah yang berkaitan dengan jenis-jenis akar persamaan kuadrat dengan pertidaksamaan kuadrat.

- Melalui pemberian tugas rumah, siswa diharapkan mampu mendalami cara penyelesaian hubungan jenis-jenis akar persamaan kuadarat yang berkaitan dengan pertidaksamaan kuadrat, dan menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadat.

- Melalui kegiatan tanya jawab, siswa diharapkan mampu menghafal dan memahami konsep jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

- Melalui kegiatan diskusi internal kelompok, siswa diharapkan mampu menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

(34)

(35)

PERSAMAAN KUADRAT

D. APLIKASI JENIS-JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Aplikasi jenis-jenis akar persamaan kuadrat yaitu hubungan antara jenis-jenis akar kuadrat yang ditentukan oleh nilai diskriminan dengan pertidaksamaan kuadrat.

Tentukan nilai n agar persamaan 𝑥2− 𝑛𝑥 + 2𝑛 = 0 mempunyai dua akar nyata dan berbeda.

𝑥2− 𝑛𝑥 − 𝑛 = 0 → nyata dan berbeda (𝑫 > 𝟎) 𝑎 = 1, 𝑏 = −𝑛, 𝑐 = 2𝑛 𝐷 > 0 𝑏2_{− 4𝑎𝑐 > 0} (−𝑛)2_{− 4. (1)(2𝑛) > 0} 𝑛2− 8𝑛 > 0 → pertidaksamaan kuadrat 𝑓(𝑛) > 0 → 𝒇(𝒏) bernilai positif 𝑓(𝑛) = 𝑛2_{− 8𝑛} 𝑛2− 8𝑛 = 0 (𝑛 + 0)(𝑛 − 8) = 0 𝑥 = 0 atau 𝑥 = 8  kiri 𝑥 = −1 → 𝑓(−1) = (−5)2− 8. (−1) = 33 positif  tengah 𝑥 = −1 → 𝑓(1) = (1)2− 8. (1) = −7 negatif  kanan 𝑥 = 1 → 𝑓(9) = (9)2_{− 8.9 = 9} _positif

𝑓(𝑛) bernilai positif maka 𝑛 < 0 atau 𝑛 > 8

Jadi nilai n agar 𝑥2− 𝑛𝑥 − 𝑛 = 0 mempunyai dua akar nyata dan berbeda yaitu 𝑛 < 0 atau 𝑛 > 8.

Contoh 1

Jawab

0 8

-1 1 9

+

-

+

−

(36)

E. JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Apabila 𝑥1 dan 𝑥2 adalah akar-akar persamaan kuadrat 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Maka

jumlah akar-akar (𝑥1+ 𝑥2) dan hasil kali akar-akar (𝑥1. 𝑥2) persamaan kuadrat itu

ditentukan oleh rumus berikut.

𝐉𝐮𝐦𝐥𝐚𝐡 𝐚𝐤𝐚𝐫 − 𝐚𝐤𝐚𝐫 𝒙𝟏+ 𝒙𝟐= − 𝒃 𝒂 𝐇𝐚𝐬𝐢𝐥 𝐤𝐚𝐥𝐢 𝐚𝐤𝐚𝐫 − 𝐚𝐤𝐚𝐫 𝒙𝟏. 𝒙𝟐= 𝒄 𝒂 Pembuktian:

Jumlah dari akar-akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut. 𝑥1+ 𝑥2 = −𝑏 + √𝐷 2𝑎 + −𝑏 − √𝐷 2𝑎 =−𝑏 + √𝐷 − 𝑏 − √𝐷 2𝑎 =−2𝑏 2𝑎 =−𝑏 𝑎

Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut. 𝑥1. 𝑥2= ( −𝑏 + √𝐷 2𝑎 ) ( −𝑏 − √𝐷 2𝑎 ) =(−𝑏 + √𝐷)(−𝑏 − √𝐷) 2𝑎. 2𝑎 =𝑏 2_{+ 𝑏√𝐷 − 𝑏√𝐷 − 𝐷} 4𝑎2 =𝑏 2_{− 𝐷} 4𝑎2 =𝑏 2_{− (𝑏}2_{− 4𝑎𝑐)} 4𝑎2 =𝑏 2_{− 𝑏}2_{+ 4𝑎𝑐} 4𝑎2 =4𝑎𝑐 4𝑎2 =𝑐 𝑎

Tentuka jumlah dan hasil kali dari persamaan kuadrat 2𝑥2− 6𝑥 + 3 = 0.

2𝑥2− 6𝑥 + 3 = 0 𝑎 = 2, 𝑏 = −6, 𝑐 = 3

Contoh

(37)

Ringkasan Materi 37 Lembar Kerja Siswa 𝑥1+ 𝑥2= −𝑏 𝑎 = −(−6) 2 = 3 𝑥1. 𝑥2= 𝑐 𝑎= 3 2 Jadi 𝑥1+ 𝑥2= 3 dan 𝑥1. 𝑥2 = 3 2 .

LATIHAN 4

1. Tentukan nilai 𝑚 agar persamaan 𝑥2− 𝑚𝑥 + 2𝑚 − 3 = 0 memiliki dua akar imajiner (tidak real).

2. Agar persamaan 𝑘𝑥2+ 𝑘𝑥 − 3 = 0 memiliki dua akar nyata (real) dan kembar maka nilai 𝑘 harus ...

3. Tentukan jumlah dan hasil kali dari persamaan berikut. a. 𝑥2− 6𝑥 + 2 = 0

b. 2𝑥2− 3𝑥 + 6 = 0 c. 4𝑥2+ 6𝑥 − 9 = 0

1. 𝑥2− 𝑚𝑥 + 2𝑚 − 3 = 0 → imajiner (tidak real) (𝑫 … 𝟎) 𝑎 = ⋯ , 𝑏 = ⋯ , 𝑐 = ⋯ 𝐷 … 0 𝑏2− 4𝑎𝑐 … 0 (… )2− 4. (… )(… ) … 0 ...0 → pertidaksamaan kuadrat 𝑓(𝑚) … 0 → 𝒇(𝒎) bernilai (positif/negatif)*coret 𝑓(𝑚) = ... ...= 0 (… … … )(… … … ) = 0 𝑚 = ⋯ atau 𝑚 = ⋯ Soal Jawab ... ... ... ... ... Kiri Tengah Kanan

(38)

 kiri 𝑥 = ⋯ → 𝑓(… ) = ... (positif/negatif)*coret

 tengah 𝑥 = ⋯ → 𝑓(… ) = ... (positif/negatif)*coret

 kanan 𝑥 = ⋯ → 𝑓(… ) = ... (positif/negatif)*coret

𝑓(𝑚) bernilai positif maka ...

Jadi nilai m agar 𝑥2− 𝑚𝑥 + 2𝑚 − 3 = 0 mempunyai dua imajiner yaitu ... 2. 𝑘𝑥2+ 𝑘𝑥 − 3 = 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

(39)

Ringkasan Materi 39 Lembar Kerja Siswa 3.a. 𝑥2− 6𝑥 + 2 = 0 𝑎 = ⋯ , 𝑏 = ⋯ , 𝑐 = ⋯ 𝑥1+ 𝑥2= −𝑏 𝑎 = −(… ) … = ⋯ 𝑥1. 𝑥2= 𝑐 𝑎= … …= ⋯ Jadi 𝑥1+ 𝑥2 = ⋯ dan 𝑥1. 𝑥2= ⋯ . 3.b. 2𝑥2− 3𝑥 + 6 = 0 ... ... ... ... ... ... 3.c. 4𝑥2+ 6𝑥 − 9 = 0 ... ... ... ... ... ... Nilai Paraf

(40)

TUGAS RUMAH 4

1. Tentukan nilai 𝑝 agar persamaan 𝑥2+ (𝑝 + 3)𝑥 − 𝑝 − 3 = 0 memiliki akar real dan berbeda.

2. Jika 𝑥2− (𝑘 − 5)𝑥 + 9 = 0 memiliki akar kembar. Maka nilai 𝑘 harus ...

3. Agar persamaan 𝑥2+ (𝑎 + 7)𝑥 − (𝑎 + 4) = 0 memiliki akar imajiner. Tentukan nilai 𝑎.

4. Tentukan jumlah dan hasil kali kedua akar persamaan kuadrat berikut. a. 𝑥2+ 2𝑥 + 1 = 0

b. 2𝑥2+ 3𝑥 − 6 = 0 c. 6𝑥2− 12𝑥 + 8 = 0 d. 3𝑥2− 10𝑥 − 3 = 0

(41)

SIKLUS 3

PERTEMUAN KE-5

PERSAMAAN KUADRAT

2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang berkaitan dengan persamaan kuadrat.

- Melalui kegiatan tanya jawab, siswa diharapkan mampu mengingat dan menyebutkan cara menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat, dan mengingat perkalian antar dua suku aljabar.

- Melalui diskusi siswa berpasangan, siswa dengan pasangannya diharapkan mampu menentukan persamaan kuadrat dari akar yang diketahui dan dapat menyusun persamaan kuadrat baru dari akar persamaan kuadrat yang ditentukan.

- Melalui kegiatan turnamen menjawab soal, siswa dan pasangannya berkompetisi dengan pasangan yang lain menjawab soal dengan cepat. Kegiatan ini diharapkan membuat siswa dapat menyusun dan menentukan persamaan kuadrat baik dari akar yang diketahui atau dari persamaan kuadrat yang telah ada dengan permasalahan yang lebih kompleks dengan cepat, tepat dan detail. - Melalui pemberian tugas rumah, siswa diharapkan mampu mendalami cara

menyelesaikan dan menyusun persamaan kuadrat dari akar yang diketahui atau dari persamaan kuadrat yang sudah ada.

(42)

(43)

PERSAMAAN KUADRAT

E. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT

Dalam menyusun persamaan kuadrat, kita perlu memperhatikan tiga bentuk berikut.

1. Menyusun Persamaan Kuadrat Yang Akar-Akarnya Telah Diketahui

Jika akar-akar persamaan kuadrat 𝑥1 dan 𝑥2 telah diketahui (ditentukan), maka

persamaan kuadrat itu ditentukan oleh:

(𝒙 − 𝒙𝟏)(𝒙 − 𝒙𝟐) = 𝟎

Atau

𝒙𝟐_{− (𝒙}

𝟏+ 𝒙𝟐)𝒙 + 𝒙𝟏. 𝒙𝟐 = 𝟎

Bentuk (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0 merupakan bentuk dasar (bentuk pemfaktoran),

sedangkan bentuk 𝑥2− (𝑥1+ 𝑥2)𝑥 + 𝑥1. 𝑥2= 0 dari penguraian bentuk dasar.

Persamaan kuadrat memiliki akar 4 atau -2. Maka persamaan kuadrat dari akar-akar tersebut adalah... 𝑥1= 4 dan 𝑥2= −2 𝑥1= 4 dan 𝑥2= −2 (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0 𝑥1+ 𝑥2 = 4 + (−2) = 2 (𝑥 − 4)(𝑥 − (−2)) = 0 𝑥1. 𝑥2= 4. (−2) = −8 (𝑥 − 4)(𝑥 + 2) = 0 𝑥2− (𝑥1+ 𝑥2)𝑥 + 𝑥1. 𝑥2 = 0 𝑥2_{− 4𝑥 + 2𝑥 − 8 = 0} _𝑥2_{− (2)𝑥 + (−8) = 0} 𝑥2− 2𝑥 − 8 = 0 𝑥2− 2𝑥 − 8 = 0

Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya 4 atau -2 adalah 𝑥2− 2𝑥 − 8 = 0.

Contoh

Jawab

(44)

2. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Dari Akar-Akar Suatu Persamaan Kuadrat

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah 𝛼 dan 𝛽 dari akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui adalah 𝑥1 dan 𝑥2. Maka persamaan kuadrat baru ditentukan

oleh rumus:

𝒙𝟐− (𝜶 + 𝜷 )𝒙 + 𝜶. 𝜷 = 𝟎

Jika 𝑥1 dan 𝑥2 adalah akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2− 2𝑥 − 3 = 0. Tentukan

persamaan kuadrat yang akar-akarnya 𝛼 = 𝑥1+ 1 dan 𝛽 = 𝑥2+ 1.

𝑥2− 2𝑥 − 3 = 0 𝑥2− 2𝑥 − 3 = 0 𝑥1+ 𝑥2= −𝑏 𝑎 = −(−2) 1 = 2 (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0 𝑥1. 𝑥2= 𝑐 𝑎= −3 1 = −3 𝑥1 = 3 atau 𝑥2= −1 𝛼 = 𝑥1+ 1 𝑥1+ 𝑥2 = 3 + (−1) = 2 𝛽 = 𝑥2+ 1 𝑥1. 𝑥2= 3. (−1) = −3 Maka Maka  𝛼 + 𝛽 = (𝑥1+ 1) + (𝑥2+ 1) 𝛼 = 𝑥1+ 1 = 𝑥1+ 𝑥2+ 1 = 2 + 1 = 2 + 1 = 3 = 3 𝛽 = 𝑥2+ 1  𝛼. 𝛽 = (𝑥1+ 1)(𝑥2+ 1) = −1 + 1 = 𝑥1. 𝑥2+ 𝑥1+ 𝑥2+ 1 = 0 = −3 + 2 + 1 = 0 𝑥2− (𝛼 + 𝛽 )𝑥 + 𝛼. 𝛽 = 0 𝑥2_{− (𝛼 + 𝛽 )𝑥 + 𝛼. 𝛽 = 0} _𝑥2_{− (3 + 0 )𝑥 + 3.0 = 0} 𝑥2− (3 )𝑥 + 0 = 0 𝑥2− (3 )𝑥 + 0 = 0 𝑥2− 3𝑥 = 0 𝑥2− 3𝑥 = 0

Jadi persamaan kuadrat dari 𝛼 dan 𝛽 adalah 𝑥2− 3𝑥 = 0.

Contoh

Jawab

(45)

LATIHAN 5

1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah sebagai berikut. a. 7 atau −3

b. 3 + √5 atau 3 − √5

2. Jika 𝑥1 dan 𝑥2 adalah akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2− 5𝑥 − 6 = 0. Tentukan

persamaan kuadrat yang akar-akarnya 𝛼 = 𝑥1− 2 dan 𝛽 = 𝑥2− 2.

3. Diberikan persamaan kuadrat 𝑥2− 6𝑥 + 8 = 0 dengan akar-akar 𝑥1 dan 𝑥2. Susunlah

persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 𝛼 = 3𝑥1 dan 𝛽 = 3𝑥2.

1. a. 7 atau −3

Maka 𝑥1= ⋯ dan 𝑥2= ⋯

Gunakan cara (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0 atau 𝑥2− (𝑥1+ 𝑥2)𝑥 + 𝑥1. 𝑥2= 0 yang kamu

anggap paling mudah. Lanjutkan!

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Soal Jawab

(46)

Ringkasan Materi 46 Lembar Kerja Siswa 1. b. 3 + √5 atau 3 − √5 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2. 𝑥2− 5𝑥 − 6 = 0

Selesaikan dengan cara yang dianggap mudah dan dipahami.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

(47)

Ringkasan Materi 47 Lembar Kerja Siswa 3. 𝑥2− 6𝑥 + 8 = 0

Selesaikan dengan cara yang dianggap mudah dan dipahami.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Nilai Paraf

(48)

TUGAS RUMAH 5

1. Susunlah persamaan kuadrat yang memiliki akar sebagai berikut. a. 3 atau 5

b. -2 atau -7

c. √2 + √3 atau √2 − √3 d. 1₂ atau 1₄

2. Jika 𝑥1 dan 𝑥2 adalah akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2− 9𝑥 + 14 = 0. Tentukan

persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut. a. 𝛼 = 𝑥1− 3 dan 𝛽 = 𝑥2− 3 b. 𝛼 = 𝑥1+ 5 dan 𝛽 = 𝑥2+ 5 c. 𝛼 = −2𝑥1 dan 𝛽 = −2𝑥2 d. 𝛼 =𝑥1 2 dan 𝛽 = 𝑥2 2 Soal

(49)

SIKLUS 3

PERTEMUAN KE-6

PERSAMAAN KUADRAT

Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan kuadrat.

- Melalui kegiatan hafalan rumus, siswa berpasangan dengan temannya saling membantu menghafal rumus persamaan kuadrat baru dari akar yang ditentukan bentuknya.

- Melalui kegiatan diskusi siswa berpasangan, siswa diharapkan mampu mengaplikasikan rumus persamaan kuadrat baru yang telah dihafal kedalam bentuk permasalahan yang ditentukan.

- Melalui kegiatan turnamen menjawab soal, siswa dengan pasangannya berkompetisi dengan pasangan lain, menjadi penjawab soal tercepat. Kegiatan ini diharapkan mampu membuat siswa dapat menyusun dan menentukan persamaan kuadrat baik dari akar yang diketahui atau dari persamaan kuadrat yang telah ada dengan permasalahan yang lebih kompleks dengan cepat, tepat dan detail.

- Melalui pemberian tugas rumah, siswa diharapkan mampu mendalami cara menyusun persamaan kuadrat baru dari akar-akar persamaan kuadrat yang telah ditentukan.

(50)

(51)

PERSAMAAN KUADRAT

E. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT

3. Menyusun Persamaan Kuadrat Yang Akar-Akarnya Simetris ( Bentuk

Homogen)

Untuk hubungan akar-akar tertentu (simetris/homogen), persamaan kuadrat yang akan disusun dapat pula ditentukan dengan cara mensubtitusikan x dengan invers hubungan akar tersebut. Cara ini dikenal dengan nama penghapusan indeks pada bentuk akar simetris/homogen.

Jika 𝑥1 dan 𝑥2 adalah akar-akar persamaan 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Maka hubungan

akar tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

No. Akar-akar persamaan kuadrat baru Persamaan kuadrat baru

1. 𝑛 lebihnya dari 𝑥1+ 𝑛 dan 𝑥2+ 𝑛 𝑎(𝑥 − 𝑛) 2_{+ 𝑏(𝑥 − 𝑛) + 𝑐 = 0} 2. 𝑛 kurangnya dari 𝑥1− 𝑛 dan 𝑥2− 𝑛 𝑎(𝑥 + 𝑛) 2_{+ 𝑏(𝑥 + 𝑛) + 𝑐 = 0} 3. 𝑛 kalinya 𝑛𝑥1 dan 𝑛𝑥2 𝑎 ( 𝑥 𝑛) 2 + 𝑏 (𝑥 𝑛) + 𝑐 = 0 4. 𝑛 baginya 𝑥1 𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 𝑛 𝑎(𝑛𝑥)2+ 𝑏(𝑛𝑥) + 𝑐 = 0 5. Berkebalikan 1 𝑥1 𝑑𝑎𝑛 1 𝑥2 𝑐𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0 6. 𝑛 kali kebalikannya 𝑛 𝑥1 𝑑𝑎𝑛 𝑛 𝑥2 𝑐𝑥2+ 𝑏𝑛𝑥 + 𝑎𝑛2= 0 7. Berlawanan −𝑥1 dan −𝑥2 𝑎𝑥 2_{− 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0} 8. Kuadrat dari 𝑥12 dan 𝑥22 𝑎 2_𝑥2_{− (𝑏}2_{− 2𝑎𝑐)𝑥 + 𝑐}2_{= 0}

9. Berkebalikan dan berlawanan − 1

𝑥1

𝑑𝑎𝑛 − 1 𝑥2

(52)

Ringkasan Materi 52 Lembar Kerja Siswa Akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2+ 3𝑥 + 4 = 0 mempunyai akar-akar 𝑥1 dan 𝑥2.

Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 𝑥1− 3 dan 𝑥2− 3.

𝑥2_{+ 3𝑥 + 4 = 0}

𝑎 = 1 , 𝑏 = 3 , dan 𝑐 = 4 𝑥1− 3 dan 𝑥2− 3

Maka memenuhi bentuk 𝑥1− 𝑛 dan 𝑥2− 𝑛 dimana 𝑛 = 3

Subtitusikan ke bentuk 𝑎(𝑥 + 𝑛)2+ 𝑏(𝑥 + 𝑛) + 𝑐 = 0 𝑎(𝑥 + 𝑛)2+ 𝑏(𝑥 + 𝑛) + 𝑐 = 0 1(𝑥 + 3)2+ 3(𝑥 + 3) + 4 = 0 𝑥2_{+ 6𝑥 + 9 + 3𝑥 + 9 + 4 = 0} 𝑥2+ 6𝑥 + 3𝑥 + 9 + 9 + 4 = 0 𝑥2+ 9𝑥 + 22 = 0

Jadi persamaan kuadrat barunya adalah 𝑥2+ 9𝑥 + 22 = 0.

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkebalikan dengan akar-akar 3𝑥2+ 2𝑥 − 6 = 0.

3𝑥2+ 2𝑥 − 6 = 0

𝑎 = 3 , 𝑏 = 2 , dan 𝑐 = −6

akar-akarnya berkebalikan maka persamaan kuadrat barunya 𝑐𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0. 𝑐𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0}

−6𝑥2+ 2𝑥 + 3 = 0

Jadi persamaan kuadrat barunya adalah −6𝑥2+ 2𝑥 + 3 = 0 .

Contoh 1

Jawab

Contoh 2

(53)

LATIHAN 6

1. Akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2+ 8𝑥 + 12 = 0 mempunyai akar-akar 𝑥1 dan 𝑥2.

Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 𝑥1+ 5 dan 𝑥2+ 5.

2. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya berlawanan dengan akar-akar 2𝑥2+ 3𝑥 − 5 = 0.

3. Persamaan kuadrat baru yang dibentuk dari tiga kalinya akar-akar persamaan 𝑥2+ 2𝑥 − 15 = 0 adalah ....

1. 𝑥2+ 8𝑥 + 12 = 0

𝑎 = ⋯ , 𝑏 = ⋯ , dan 𝑐 = ⋯ 𝑥1+ 5 dan 𝑥2+ 5

Maka memenuhi bentuk ... dan ... dimana 𝑛 = ⋯

Subtitusikan ke bentuk ... ... ... ... ... ... ... ... ... Jadi persamaan kuadrat barunya adalah ... 2. 2𝑥2+ 3𝑥 − 5 = 0.

𝑎 = ⋯ , 𝑏 = ⋯ , dan 𝑐 = ⋯ Berlawanan

Maka subtitusikan ke bentuk ... ... ... ...

Soal

(54)

Ringkasan Materi 54 Lembar Kerja Siswa ... ... ... ... ... ... ... ... Jadi persamaan kuadrat barunya adalah ... 3. 𝑥2+ 2𝑥 − 15 = 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Nilai Paraf

(55)

TUGAS RUMAH 6

1. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya berlawanan dengan akar-akar persamaan 5𝑥2− 4𝑥 − 3 = 0 adalah...

2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya lima kali akar-akar persamaan 3𝑥2− 4𝑥 − 8 = 0 adalah...

3. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkebalikan dengan akar-akar 3𝑥2− 7𝑥 − 6 = 0.

4. Jika akar dari persamaan 2𝑥2− 5𝑥 − 7 = 0 adalah 𝑥1 dan 𝑥2. Tentukan persamaan

kuadrat baru yang akar-akarnya adalah 2

𝑥1 dan

2 𝑥2.

5. Akar dari 𝑥2− 8𝑥 + 16 = 0 adalah 𝑥1 dan 𝑥2. Persamaan kuadrat baru yang dibentuk

dari −𝑥1 dan −𝑥2 adalah ...

(56)