Nota Matematik Tingkatan 4

(1)

nota matematik tingkatan 4

BAB 1: BENTUK PIAWAI

1.1 ANGKA BERERTI

Angka bererti (significant figures, s.f.)

merujuk kepada angka yang berkaitan integer atau perpuluhan, yang telah digenapkan kepada ketepatan darjah yang ditentukan (specified degree of accuracy).

Contoh 1

Nyatakan bilangan angka bererti (a.b.) dalam setiap nombor berikut;

 5 279 Jwb: 4 angka bererti  52 009 Jwb: 5 angka bererti  0.001 25 Jwb: 3 angka bererti  0.010 41 Jwb: 4 angka bererti Contoh 2

Ungkapkan setiap nombor yang berikut tepat kepada 1 angka bererti (1 a.b.), 2 angka bererti (2 a.b.) dan 3 angka bererti (a.b.).

 87 310  9 875  1 009  0.045 62  0.002 31 Jwb:

Nombor 1 angka bererti 2 angka bererti 3 angka bererti

87 310 90 000 87 000 87 300

9 875 10 000 9 900 9 880

1 009 1 000 1 000 1 010

0.045 62 0.05 0.046 0.045 6

(2)

1.2 BENTUK PIAWAI

Adalah lebih mudah untuk menulis suatu nombor yang sangat/terlalu besar atau nombor yang sangat/terlalu kecil dalam bentuk piawai (standard form) atau tatatanda saintifik (scientific notation).

Nombor yang diungkap dalam bentuk piawai adalah ditulis sebagai A x 10n_{, di} mana 1 ≤ A < 10 dan n ialah integer positif atau negatif.

Mengungkapkan nombor positif dalam bentuk piawai

Nombor positif yang lebih besar daripada, atau sama dengan 10, boleh ditulis dalam bentuk piawai A x 10n_{, di mana 1 ≤ A < 10 dan n adalah integer positif,}

iaitu n = 1, 2, 3, ...

Contoh i:

 90 = 9 x 10

 9 803 000 = 9.803 x 106

* Nilai n adalah sama dengan bilangan tempat titik perpuluhan yang digerakkan ke kiri.

Nombor positif yang kurang daripada 1, boleh ditulis dalam bentuk piawai A x 10n_{, di mana 1 ≤ A < 10 dan n ialah integer negatif, iaitu n = ..., -3, -2, -1.}

Contoh ii:

 0.563 = 5.63 x 10-1  0.00709 = 7.09 x 10-3

** Nilai n adalah sama dengan bilangan tempat titik perpuluhan yang digerakkan ke kanan.

Contoh 1:

Tulis nombor-nombor berikut dalam bentuk piawai.

 8383

Jwb:

8383 = 8383.0 → [gerakkan titik perpuluhan 3 tempat ke kiri] = 8.383 x 103

 31 584

(3)

31 584 = 31 584.0 → [gerakkan titik perpuluhan 4 tempat ke kiri] = 3.1584 x 104

 240 000

Jwb:

240 000 = 240 000.0

→

[gerakkan titik perpuluhan 5 tempat ke kiri] = 2.4 x 105

Contoh 2:

Tulis nombor-nombor berikut dalam bentuk piawai.

 0.9233

Jwb:

0.9233 → [gerakkan titik perpuluhan 1 tempat ke kanan] = 8.383 x 10-1

 0.0463

Jwb:

0.0463

→

[gerakkan titik perpuluhan

2

tempat ke kanan] = 4.63 x 10-2

 0.0005452

Jwb:

0.0005452 → [gerakkan titik perpuluhan 4 tempat ke kanan] = 5.452 x 10-4

Menukar nombor dalam bentuk piawai kepada nombor tunggal

(single

number)

Nombor dalam bentuk piawai, iaitu A x 10n_{boleh ditukar kepada nombor tunggal}

(single number) dengan menggerakkan titik perpuluhan pada A.  n ditempatkan ke kanan jika n adalah positif.

 n ditempatkan ke kiri jika n adalah negatif.

Contoh 3:

Ungkapkan bentuk piawai berikut kepada nombor tunggal (single number).

 8.09 x 103

Jwb:

= 8.090

→

[gerakkan titik perpuluhan

3

tempat ke kanan] = 8090

 6.228 x 10-4

(4)

= 6.228 → [gerakkan titik perpuluhan 4 tempat ke kiri] = 0.0006228

Pengiraan

nombor

dalam

bentuk

piawai

Dua nombor dalam bentuk piawai boleh ditambah atau ditolakkan jika

kedua-dua nombor mempunyai indeks yang sama.

Contoh 4:

Cari nilai yang berikut, dan ungkapkan jawapan dalam bentuk piawai.

 5.8 x 104_- _2.7 _x ₁₀4

Jwb:

Kedua-dua nombor mempunyai indeks yang sama, iaitu 4

= (5.8 - 2.7) x 10 4_←_[104_{adalah faktor sepunya (common factor)]}

= 3.1 x 10 4

 3.5 x 10-3₊ _5.6 _x ₁₀-3

Jwb:

Kedua-dua nombor mempunyai indeks yang sama, iaitu -3

= (3.5 + 5.6) x 10-3 ← [10-3_{adalah faktor sepunya (common factor)]}

= 9.1 x 10-3

Dua nombor dalam bentuk piawai yang mempunyai indeks yang berbeza hanya

boleh ditambah atau ditolak jika indeks yang berbeza tersebut

dijadikansama.

Contoh 5:

 6.6 x 106₊ ₅ _x ₁₀5

Jwb:

6.6 x 106₊ ₅ _x ₁₀5

Tukarkan indeks 5 kepada indeks 6 iaitu, indeks yang lebih besar.

= 6.6 x 106_{+ 5} _x ₁₀-1_x ₁₀6

** 5 x 10-1₌ _0.5

= 6.6 x 106₊ _0.5 _x ₁₀6

= (6.6 + 0.5) x 106 _← _[106_{adalah faktor sepunya]}

(5)

 8.4 x 10-4_- ₈ _x ₁₀-5

Jwb:

8.4 x 10-4_- ₈ _x ₁₀-5

Tukarkan indeks -5 kepada indeks -4 iaitu, indeks yang lebih besar.

= 8.4 x 10-4_{- 8} _x ₁₀-1_x ₁₀-4

** 8 x 10-1₌ _0.8

= 8.4 x 10-4_- _0.8 _x ₁₀-4

= (8.4 - 0.8) x 10-4 ← _[10-4_{adalah faktor sepunya]}

= 7.6 x 10-4

Apabila dua nombor dalam bentuk piawai didarab atau dibahagi, nombor-nombor biasa akan didarab atau dibahagi diantara satu sama lain, manakala indeks mereka

pula akan ditambah atau ditolak.

Contoh 6:

 9.5 x 103_x _2.2 _x ₁₀2

Jwb:

Asingkan dan susun semula nombor-nombor biasa dalam satu kumpulan, manakala

nombor-nombor indeks dalam kumpulan lain.

= 9.5 x 2.2 x 103_x ₁₀2

* 10m_x ₁₀n₌ ₁₀m+n

= 9.5 x 2.2 x 103+2

= 20.9 x 105

** Menulis 20.9 dalam bentuk piawai, iaitu 2.09 x 101

= 2.09 x 101_x ₁₀5

= 2.09 x 106

 (7.2 x 105_{) ÷ (6} _x ₁₀-2₎

Jwb:

= (72 ÷ 6) x 105-(-2)

= 1.2 x 107

Contoh 7:

Kira (7.2 x 60 000)

÷

(9 x 107_{), dan ungkapkan jawapan dalam bentuk}

piawai.

Jwb:

Tukarkan mana-mana nombor yang diberi kepada bentuk piawai sebagai langkah pertama.

(6)

= ((7.2 x 6)

÷

9) x {104

_÷

₁₀7₎

* 10m_{÷ 10}n₌ ₁₀m-n

= 4.8 x 104-7

= 4.8 x 10-3

BAB2: UNGKAPAN DAN PERSAMAAN KUADRATIK

2.1 UNGKAPAN KUADRATIK

Ungkapan kuadratik (quadratic expressions) adalah ungkapan yang memenuhi ciri-ciri berikut:

1. Mempunyai hanya satu pemboleh ubah.

2. Mempunyai 2 sebagai kuasa tertinggi pemboleh-ubah.

Contoh:

3x2 + 2x + 3 adalah ungkapan kuadratik, di mana

(i) pemboleh-ubahnya adalah x, (ii) kuasa tertinggi x ialah 2.

Ungkapan kuadratik dengan tiga sebutan (three terms) adalah ungkapan berbentuk ax2 + bx + c, dimana a

≠

0, b

≠

0 dan c

≠

0, contohnya 2x2 + 3x + 5.

Berikut adalah juga ungkapan kuadratik:

 dengan dua sebutan, contohnya 2x2 + 4x, c = 0

 dengan satu sebutan, contohnya 5p2, b = c = 0

Ungkapan kuadratik boleh dibentuk dengan mendarab dua ungkapan linear, contohnya (x - 1) (2x + 3) = 2x2 + x - 3.

Ungkapan kuadratik boleh dibentuk untuk mewakili situasi dengan mewakilkan pembolehubah dalam masalah tersebut dengan simbol. Simbol biasanya adalah huruf, contohnya x. Dalam kes-kes tertentu, simbol yang digunakan adalah dinyatakan dalam permasalahan tersebut.

Contoh 1:

Nyatakan samada setiap yang berikut adalah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh-ubah. Beri alasan-alasan bagi jawapan.

(7)

Jwb:

Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, x, dan kuasa tertinggi x ialah 2.

 -3g2

Jwb:

Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, g, dan kuasa tertinggi g ialah 2.

 3b - 4

Jwb:

Tidak. Walaupun terdapat hanya satu pemboleh ubah, b, tetapi kuasa tertinggi b ialah 1.

 a2 - b2

Jwb:

Tidak. Ia mempunyai dua pemboleh ubah, a dan b.  p2 + 1

Jwb:

Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, p, dan kuasa tertinggi p ialah 2.

 x(x3 + x - 2)

Jwb:

Tidak. Ia tidak boleh ditulis dalam bentuk ax2 + bx + c.

Contoh

2:

Darabkan ungkapan linear berikut.

 (2x - 3)(x + 1) Jwb: = 2x(x + 1) - 3(x + 1) = 2x2 + 2x - 3x -3 = 2x2 - x - 3  -y(y - 5) Jwb: = -y x y + (-y) x (-5) = -y2 + 5y

Contoh

3:

(8)

Jwb:

Luas = Panjang x Lebar

= (x + 1)(x + 3)

= x(x + 3) + 1(x + 3)

= x2 + 3x + x + 3

= x2 + 4x + 3

2.2 PEMFAKTORAN UNGKAPAN KUADRATIK

Pemfaktoran ungkapan kuadratik (factorisation of quadratic expressions) ialah suatu proses mencari dua ungkapan linear (linear expressions) yang hasil darabnya sama dengan ungkapan kuadratik tersebut.

Contohnya;

x2_{+ x – 2 = (x – 1)(x + 2)}

Ungkapan kuadratik berbentuk ax2_{+ bx dan ax}2_{+ c boleh difaktorkan dengan mengenal}

pasti faktor sepunyanya (common factors).

Contoh 1

Faktorkan setiap yang berikut.

 6 – 15m2

Jwb: 3(2 – 5m2_{) ; 3 ialah faktor sepunya bagi 6 dan 15m}2_.

 10k2_– _15k

Jwb: 5k(2k – 3) ; 5k ialah faktor sepunya bagi 10k2_{dan 15k.}

Ungkapan kuadratik px2_{– q dengan p dan q sebagai kuasa dua sempurna (perfect squares)}

(9)

Seterusnya (ax) 2_{– b}2_difaktorkan _dengan _menggunakan _identiti.

a2_{– b}2_{= (a – b)(a + b)}

Contoh 2

Faktorkan setiap yang berikut.

 x2_{– 16}

Jwb:

= x2_{– 4}2 _{; 1 = 1}2_{dan 16 = 4}2_{adalah kuasa dua sempurna.}

= (x – 4)(x + 4)

 9m2_{– 25}

Jwb:

= (3m) 2_{– 5}2 _{; 9 dan 25 adalah kuasa dua sempurna.} = (3m – 5)(3m + 5)

Pemfaktoran ungkapan kuadratik yang berbentuk x2_{+ bx + c memberi (x + p)(x +q),}

manakala ungkapan kuadratik ax2_{+ bx + c boleh difaktorkan kepada bentuk (mx + p)}

(nx + q).

Contoh 3

Faktorkan x2_{– 8x + 15.}

Jwb:

Dengan menggunakan kaedah cuba jaya (pemerinyuan) = (x – 5)(x – 3)

Dimana x2_{– 3x – 5x + 15 = x}2_{– 8x + 15}

Contoh 4

Faktorkan 5x2_{– 12x – 9}

Jwb:

Dengan menggunakan kaedah cuba jaya = (5x + 3)(x – 3)

(10)

Contoh 5

Faktorkan 4x2_{– 32x + 64}

Jwb:

Keluarkan faktor sepunya, iaitu 4 = 4(x2_{– 8x + 16)}

Kemudian faktorkan ungkapan (x2_{– 8x + 16)}

= 4(x – 4)(x – 4) = 4(x – 4) 2

BAB 3: SET

3.1 TAKRIFKAN SET

Set ialah himpunan (collection or group) sekumpulan objek dengan ciri

sepunya (common characteristics) tertentu. Setiap objek tersebut dikenali

sebagai unsur (elements).

Set kebiasaanya dinyatakan atau ditulis dengan menggunakan tatatanda set,

{ } dalam 3 cara. Contohnya, bagi satu set yang ditakrifkan sebagai ‘set nombor

perdana yang kurang daripada 11’:

1. Secara perihalan (description)

{Nombor perdana yang kurang daripada 11}

2. Menyenaraikan unsur (roster)

{2, 3, 5, 7}

3. Menggunakan pembolehubah (set-builder notation)

{x: x ialah nombor perdana yang kurang daripada 11}

atau

{ x: x ialah nombor perdana dan x < 11}

Set juga boleh dilabel dengan huruf besar (capital letters), contohnya B = {2, 3, 5, 7}

Unsur yang sama (same elements) dalam sesuatu set tidak perlu diulang(need

not be repeated). Contohnya, {huruf bagi perkataan KATAK} = {K, A, T}

Simbol ∈ digunakan bagi menunjukkan sesuatu objek adalah unsur bagi(element of) sesuatu set.

(11)

Simbol ∉ bermakna ‘bukan unsur bagi’ (does not belong to).

Contohnya, B = {2, 4, 6, 8}, 5 ∉ B

Selain daripada menulis set secara perihalan dan menggunakan tatatanda set { }, bentuk geometri seperti bulatan, segiempat tepat, segitiga dan sebagainya boleh digunakan untuk mewakili sesuatu set.

Rajah di bawah dikenali sebagai gambar rajah Venn (Venn diagram). Contohnya:

A = {2, 4, 6, 8} B = {3, 5, 7, 9}

Setiap titik di sebelah kiri (dot to the left) objek dalam gambarajah Venn

mewakili satu unsur.

BAB 4:

PENAAKULAN MATEMATIK

4.1 PERNYATAAN

Pernyataan dan nilai kebenarannya

Pernyataan (statement) adalah suatu ayat yang bermaksud sama ada benar(true) atau palsu (false), tetapi bukan kedua-duanya (not both).

Ayat-ayat yang berbentuk soalan (question), arahan (instruction) dan seruan(exclamation) adalah bukan pernyataan.

(12)

Contoh 1

Tentu sama ada ayat-ayat berikut adalah suatu pernyataan atau bukan.

 7 + 2 = 9

Jwb: Pernyataan. Ia adalah benar.

 Sebuah pentagon mempunyai empat sisi.

Jwb: Pernyataan. Ia adalah palsu.

 Senaraikan tiga nombor pertama dibahagikan dengan 10.

Jwb: Bukan pernyataan. Ayat ini adalah arahan.

 Jawab semua soalan yang diberi.

Jwb: Pernyataan. Ayat ini adalah arahan.

 Tolong!

Jwb: Bukan pernyataan. Ayat ini adalah seruan.

 1 adalah nombor perdana.

Jwb: Pernyataan. Ia adalah benar.

 a x b x c = ac.

Jwb: Pernyataan. Ia adalah palsu.

Contoh 2

Tentukan samada setiap pernyataan berikut adalah benar atau palsu.  Sebuah segitiga sisi sama mempunyai tiga sisi.

Jwb: Benar.

 1 < -6

Jwb: Palsu. 1 > -6.

 0 > -9

Jwb: Benar.

 2.1 adalah suatu integer.

Jwb: Palsu. 2.1 ialah perpuluhan.

 2 + 2 < 5

Jwb: Benar. 4 < 5.

(13)

Pernyataan sama ada benar atau palsu juga boleh dibina/bentuk dengan

menggunakan nombor dan simbol matematik (numbers and mathematical symbols).

Contoh 3

Tulis satu pernyataan (i) benar dan satu pernyataan (ii) palsu yang melibatkan:  2, 4, 8, ÷ , = Jwb: i) 8 ÷ 4 = 2. Benar. ii) 4 ÷ 2 = 8. Palsu.  {p, q, r, s}, {t, v}, { }, ∩, = Jwb: i) {p, q, r, s} ∩ {t, v} = { }. Benar. ii) {p, q, r, s} ∩ { } = {t, v}. Palsu. written by Abby Arbaiyah