NÜMER K ANALİZ

NÜMER

ú

K

ANAL

ú

Z

Prof. Dr. Gabil AM

ú

RAL

ú

Yrd. Doç. Dr. Hakkı DURU

Nümerik Analiz

ISBN 975-6802-91-X

©Pegem A Yayınları, 2002 Bu kitabın basım, yayın ve satıü hakları Pegem A Yayıncılık Tic. Ltd. ûti.'ne aittir.

Anılan kuruluüun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da baüka yöntemlerle çoùaltılamaz, basılamaz, daùıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlıùı bandrolü ile satılmaktadır.

Okuyucularımızın bandrolü olmayan

kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.

1. Baskı: Ekim 2002 Kapak Tasarımı Zülfikar Sayın Yayın Yönetmeni Gürsel Avcı Baskı ve Cilt Baüak Matbaacılık (312) 384 27 61

Pegem A Yayıncılık Tic. Ltd. ûti. Adakale Sokak 4/B Yeniüehir-Ankara Tel: (312) 430 67 50-430 67 51-435 44 60

Faks: (312) 430 67 51 únternet: www.pegema.com.tr e-posta: pegema@pegema.com.tr

Ö N S Ö Z

Bu kitap, nümerik analizin bazı temel konularına giriú niteli÷inde tasarlanmıú olup sırasıyla, yaklaúık metotlara giriú, interpolasyon, nümerik diferansiyelleme, nümerik integrasyon, lineer denklem sistemlerinin çözümü, lineer olmayan denklem ve denklem sistemlerinin çözümü, adi diferansiyel denklemler için baúlangıç-de÷er problemlerinin çözümü, adi diferansiyel denklemler için sınır-de÷er problemlerinin çözümü bölümlerinden oluúmaktadır. Sonuncu bölüm olan 9. Bölüm singüler pertürbe olmuú problemlerin nümerik çözüm metotlarını içermektedir.

Kitabın hazırlanmasında birinci yazarın uzun yıllar Bakü ve Yüzüncü Yıl Üniversitelerinde okuttu÷u ders notları esas alınmıútır.

Nümerik analiz çalıúmalarındaki esas amaç matematik olarak ifade edilmiú problemlerin çözümü için uygun etkili metotların hazırlanmasıdır. Bu metotlar sayısal iúlemler için müsait olup (iúlemler hesap makinelerinde ve bilgisayar programları yoluyla bilgisayarlarda yapılabilmektedir), bulunan sonuçlar ço÷u kez ayrık (kesikli) de÷erler olarak karúımıza çıkmaktadır. Ça÷ımızda kapsamlı realizasyon iúlemleri bilgisayar aracılı÷ı ile yapıldı÷ı için, kullanılan nümerik metodun etkinli÷i, genelde bu metodun kesinli÷ine ba÷lı oldu÷u kadar, kullanılan bilgisayarın teknolojik donanımının verdi÷i kolaylı÷a ve bilgisayar programının kalitesine de ba÷lıdır. Kitap hazırlanırken bu temel prensiplerden yola çıkılmıútır.

Bu kitapta öncelikle ele alınan her konuya ait temel bilgiler verilmiútir. Bunlar genelde yaklaúık metodun kurulması, hatası, yakınsaklı÷ı, kararlılı÷ı, realizasyonu vb bilgilerdir. Teorik alt yapının elverdi÷i ölçülerde uygun teorem, lemma vs ispatlarına da yer verilmiútir. Teorik kısmın yanı sıra konular bol örnek ve alıútırmalarla desteklenmiútir. Ayrıca kitabın sonunda buradaki konulara ait C Programlama dilinde yazılmıú bilgisayar program örnekleri de yer almaktadır. Böylece bu kitaptan matematik bölümü ö÷rencilerinin yanı sıra, fen, mühendislik vb bölüm ö÷rencileri de yararlanabilirler.

Kitapta tek sayılı numaralama sistemi kullanılmaktadır. Di÷er kesim ve bölümlere referans ise iki ve üç rakamla belirtilmektedir. Örne÷in (3.2.1) formülü 3. bölümün 2. kesiminin (1) formülünü ifade etmektedir. Örnek 2.3 ilgili bölümün 2. kesimindeki örnek 3’ü ifade etmektedir.

Kitabın oluúmasında yardımlarını esirgemeyen mesai arkadaúlarımıza, katkıda bulunan tüm ö÷rencilerimize ve özellikle kitabın dizgisinde büyük eme÷i geçen Arú. Gör. Sebaheddin ùEVGøN’e teúekkürü borç biliriz.

ø

Ç

_ø

N D E K

_ø

L E R

Ö N S Ö Z. . . iii 1 . Y A K L AùI K M E T O T L A R A GøRø ù 1. GøRøù. HATALAR ... 1. Giriú (1). 2. Hatalar (2). 1 2. SAYILARIN BøLGøSAYARDA GÖSTERøMø VE BøLGøSAYAR

ARøTMETøöø... ₆ 3. FARK DENKLEMLERø...

1. Ön Bilgiler (12). 2. Birinci Mertebe Fark Denklemleri ve Eú itsiz-likleri (13). 3. økinci Mertebe Fark Denklemleri (16).

12

4. DøFERANSøYEL DENKLEMLER øÇøN FARK YAKLAùIMLARI. 1. ùebeke ve ùebeke Fonksiyonu (25). 2. Fark Sınır-De÷er Problemi (27). 3. Yaklaúım Hatası ve Yakınsama (28). 4. Fark ùemasının Kararlı-lı÷ı (30).

25

5. BAZI FARK ÖZDEùLøKLERø VE EùøTSøZLøKLERø... 34 6. FARK ÖZDEöER PROBLEMø...

1. Özde÷er ve Özfonksiyonların Bulunması (37). 2. Özde÷er ve Özfonk-siyonların Özellikleri (39).

37

2 . øN T E R P O L A S Y O N

1. LAGRANGE øNTERPOLASYON POLøNOMU... 1. ønterpolasyonun Tanımı ve Lagrange Polinomunun Teúkili (44). 2. Neville ùeması (46). 3. ønterpolasyon Formülünün Kalan Terimi (48). 4. Dü÷üm Noktalarının Seçimi (49). 5. ønterpolasyon Sürecinin Yakın-saklı÷ı (50).

44

2. NEWTON øNTERPOLASYON POLøNOMU... 1. Bölünmüú Farklar (54). 2. Newton Polinomunun Teúkili (55). 3. Kalan Terim (57).

54

3. EùøT ARALIKLI DÜöÜM NOKTALARI øÇøN

øNTERPOLASYON FORMÜLLERø... 1. Sonlu Farklar (58). 2. Sabit Adımøçin Newton Formüllerinin Teúkili (59).

58

4. HERMøTEøNTERPOLASYON POLøNOMU... 62 5. SPLAøNøNTERPOLASYON...

1. Lineer Spline (67). 2. Kübit Spline’lar (70).

67

6. øNTERPOLASYON PROBLEMøNøN BAùKA ÇEùøTLERø

ÜZERøNE... 1. Trigonometrik ønterpolasyon (73). 2. Genelleúmiú Polinomlarla ø nter-polasyon (ønterpolasyon Probleminin Genel ùekli). (74).

73

ALIùTIRMALAR... 75

3 . N Ü M E RøK DøF E R A N SøY E L L E M E 1. NÜMERøK DøFERANSøYELLEME PROBLEMø VE

FORMÜL-LERø... 78 2. RøCHARDSON EKSTRAPOLASYONU... 85 ALIùTIRMALAR... 88 4 . N Ü M E RøK øN T E G R A S Y O N 1. GøRøù... 90 2. øNTERPOLASYON KUADRATUR FORMÜLLERø... 91 3. BAZI NÜMERøK øNTEGRASYON FORMÜLLERø VE øLGøLø

SORULAR... 1. Dikdörtgen Metodu (94). 2. Yamuk Metodu (96). 3. Simpson Metodu (97). 4. Hatanın Pratik De÷erlendirilmesi ve Adımın Otomatik Seçimi (99). 5. Richardson Ekstrapolasyonu. (Romberg Metodu) (101).

93

4. GAUSS øNTEGRASYON FORMÜLLERø... 1.Gauss Formülerinin Kurulması ve Özellikleri (106). 2. Gauss Formü-lünün Özel Halleri (108).

106

vii

HESAPLANMASI...

ALIùTIRMALAR... 114

5. LøNEER DENKLEM SøSTEMLERøNøN ÇÖZÜMÜ 1. LøNEER DENKLEM SøSTEMLERøNøN ÇÖZÜMÜ øÇøN GAUSS

METODU... 1. Giriú ve Önbilgiler (117). 2 .Gauss Eliminasyon (Yoketme Metodu) (119). 3. Gauss Metodunda Pivotlama (123). 4. Gauss-Jordan Metodu (126).

117

2. MATRøS AYRIùTIRMA... 1. Bazı Yardımcı Bilgiler (127). 2 .Gauss Metodu ve LU Ayrıútırma (130). 3. Determinant Hesaplama (137). 4. Matris Ayrıútırmasının Baú -ka Versiyonları Üzerine (139).

127

3. CHOLESKY (KAREKÖKLER) METODU... 140 4. TERS MATRøS BULMA... 143 5. LøNEER DENKLEM SøSTEMLERøNøN ÇÖZÜMÜ øÇøN

øTERASYON METOTLARI... 1. Bazı Kavramlar ve Tanımlar (146). 2. Basit øterasyon Metodu (Jacobi øterasyonu) (151). 3. Gauss-Seidel øterasyonu (157).

146

6. ÖZDEöERLER VE ÖZVEKTÖRLER PROBLEMø... 1. Bazı Önbilgiler (161). 2. Karakteristik Polinomunun Kurulmasıøçin Danilevski Metodu (163). 3. Özde÷erler ve Özvektörlerin Bulunması øçin øterasyon Metodu (169). 4. øterasyon Süreçlerinin Hızlandırılması (177).

161

7. HATA DEöERLENDøRMESø VE KOùUL SAYISI... 180 ALIùTIRMALAR... 185

6. LøNEER OLMAYAN DENKLEMLERøN VE DENKLEM SøSTEMLERøNøN ÇÖZÜMÜ

1. GøRøù. KÖKLERøN AYIRIMI... 188 2. BAZI øTERASYON METOTLARI...

1. Basit øterasyon Metodu (Sabit Nokta øterasyonu). (192). 2. Newton-Raphson Metodu (196). 3. Kiriúler Metodu(201). 4. Katlı Kökler (202). 4. Yakınsamanın Hızlandırılması (204).

192

3. CEBøRSEL DENKLEMLER... 206 4. NONLøNEER DENKLEM SøSTEMLERø øÇøN øTERASYON

METOTLARI... 1. Basit øterasyon Metodu (Sabit Nokta øterasyonu) (210). 2. Seidel Metodu (214). 3. Newton Metodu (215).

209

7. ADø DøFERANSøYEL DENKLEMLER øÇøN BAùLANGIÇ-DEöER PROBLEMLERøNøN NÜMERøK ÇÖZÜMÜ

1. GøRøù... 222 2. BøRøNCø MERTEBEDEN DENKLEMLER øÇøN TEK ADIMLI

METOTLAR... 1. Euler Metodu (223). 2. Runge-Kutta Metodu (227).

223

3. DøFERANSøYEL DENKLEMLER SøSTEMø VE YÜKSEK

MERTEBEDEN DøFERANSøYEL DENKLEMLER øÇøN RUNGE-KUTTA METODU... 1. Birinci Mertebe Denklem Sistemi (231). 2. Yüksek Mertebeden Dife-ransiyel Denklemler (233).

231

4. ÇOK ADIMLI METOTLAR... 1. Giriú (234). 2. Bazı Ekstrapolasyon (Adams-Bashforth) Formülleri (236). 3. Bazı interpolasyon (Adams-Moulton) Formülleri (238). 4. Bazı Notlar ve Tartıúmalar (239).

234

ALIùTIRMALAR... 242

8 . A Dø DøF E R A N SøY E L D E N K L E M L E R øÇøN S I N I R -D EöE R P R O B L E M L E Rø

1. ATEùLEME METODU... 1. Lineer Problem (244). 2. Nonlineer Problem (246).

244 2. SONLU FARK METOTLARI...

1. Yardımcı Bilgiler ve Notasyonlar (248). 2. Klasik Sonlu Fark ù ema-ları (252). 3. Birinci Türev øhtiva Eden Denklemler øçin Fark ùemaları (254). 4. Fark ùemasının Kurulmasıøçin øntegro-ønterpolasyon Metodu (256). 5. Kovma Metodu. (359).

247

3. VARYASYONEL FARK (SONLU ELEMANLAR) METOTLARI..

1. Reyleigh-Ritz Metodu (265). 2. Galerkin Metodu (268).

264 4. ALIùTIRMALAR... 274

9 . SøN G Ü L E R P E R T Ü R B E O L M Uù P R O B L E M L E RøN N Ü M E RøK Ç Ö Z Ü M Ü øÇøN F A R K M E T O T L A R I 1. GøRøù VE ÖNBøLGøLER...

1. Problemin Tanımı (277). 2. Bazı Formüler ve Eúitsizlikler (282). 3. Kullanılan bazı Notasyonlar (284).

277

2. BøRøNCø MERTEBEDEN DENKLEM øÇøN BAùLANGIÇ DEöER PROBLEMø... 1. Sürekli Problem (286). 2. Fark ùemasının Kurulması (288).

285 3. SELF-ADJOøNT SINIR-DEöER PROBLEMø...

1. Sürekli Problem (291). 2. Fark ùemasının Kurulması (294). 3. Fark 291

ix

ùemasının Yakınsaklı÷ı (296).

4. TEK SINIR KATINA SAHøP SELF-ADJOøNT OLMAYAN

SINIR-DEöER PROBLEMø... 1. Sürekli Problem (302). 2. Fark ùemasının Kararlılı÷ı (303). 3. Fark ùemasının Yakınsaklı÷ı (305).

301

5. øKø PARAMETRELø SELF-ADJOøNT OLMAYAN SINIR-DEöER PROBLEMø... 1. Asimptotik De÷erlendirmeler (308). 2. Fark ùemasının Kurulması (313). 3. Düzgün Yakınsaklık (315).

308

6. øKøNCø MERTEBE DENKLEM øÇøN BAùLANGIÇ DEöER PROBLEMø... 1. Diferansiyel Problem (317). 2. Fark ùemasının Kurulması (320). 3. Hatanın De÷erlendirilmesi ve Yakınsama (322)

316

KAYNAKLAR... 325

CEVAPLAR... 331

øNDEX... 336

Y A K L A

ù

I K M E T O T L A R A G

ø

R

ø ù

1 . G i r i

ú

. H a t a l a r

1. Giriú. Nümerik analizin içeri÷ini, matematiksel biçimde ifade edebilen, baúka deyimle matematik modeli kurulabilen bilimsel ve teknolojik problemlerin (yaklaúık) çözüm yöntemlerinin kurulması ve incelenmesi oluúturur. Bu durumda, incelenen probleme uygun yaklaúık çözüm genelde kesikli (tablo) de÷erleri biçiminde karúımıza çıkar.

Büyük çaptaki uygulamalı problemlerin çözümü matematikçilerin her zaman ilgisini çekmiútir. Önceleri bu problem, temelde, karmaúık modelin daha basit modele indirgenmesi ve bu modelin kesin çözümünün bulunması yoluyla hallediliyordu.

Günümüzde, proseslerin daha detaylı incelenmesi için daha karmaúık matematiksel modellere ihtiyaç duyulmaktadır. Bu tip modellerin realizasyonu ise Nümerik analiz metotları ve bunlara paralel olarak ortaya çıkan bilgisayar teknolojisindeki geliúmeler sayesinde mümkün olmaktadır. Pratik olarak, her matematik problemin çözümünün önceden istenen kesinlikte bulunması mümkündür. Ayrıca karmaúık fizik ve do÷ada karúılaútı÷ımız baúka proseslerin matematik modelleri araútırmacılar için etkili bir araç haline gelmiútir. Bilgisayar ve Nümerik analiz destekli matematik modellendirme úeması úöyle ifade edilebilir.

2

ø

N T E R P O L A S Y O N

ønterpolasyon dedi÷imizde fonksiyonun verilmiú ayrık (tablo) de÷erlerine göre bu fonksiyonun tanımlı oldu÷u bölgede yeniden düzenlenmesi gibi bir problem anlaúılır ve böylece sürekli bölgenin herhangi noktasındaki de÷erinin hesaplanmasını mümkün kılar.

Fonksiyonların interpolasyonu için de÷iúik interpolasyon türleri uygulanabilmektedir: Cebirsel polinomlarla interpolasyon, rasyonel fonksiyonlarla interpolasyon, trigonometrik polinomlarla interpolasyon vs. Fakat bunların içinde pratik açıdan en cazip olanları cebirsel polinomlarla interpolasyon ve kuruluúuna göre buna yakın olan splain interpolasyon (parçalı polinomlarla interpolasyon) sayılır. Biz de bu bölümde a÷ırlıklı olarak bunlar üzerinde duraca÷ız. Di÷er interpolasyon türleri için bölümün sonunda kısa notlarla yetinece÷iz.

1 . L a g r a n g e

ø

n t e r p o l a s y o n P o l i n o m u

1. ønterpolasyonun Tanımı ve Lagrange Polinomunun Teúkili.

> @

a,b aralı÷ının _x0, _x1,..., _xn (x_i zx_j,iz j) noktalarında bir gerçek de÷erli f(x) fonksiyonunun f(x₀), f(x₁),..., f(x_n) de÷erleri belli olsun.

i i n x f x

1 . N ü m e r i k D i f e r a n s i y e l l e m e P r o b l e m i v e F o r m ü l

-l e r i

Nümerik diferansiyelleme problemi _f(_x)

_ad_xd_b

fonksiyonunun verilen ayrık de÷erlerine göre _{f x} ’in türev de÷erlerinin hesaplanmasıdır.

n x x x₀, ₁,..., dü÷üm noktalarında f(x) fonksiyonunun ) (x₀

f , f(x₁),...,f(x_n) de÷erleri verilmiú olsun ve f k x _türevinin

hesaplanması istensin. Bunun çözümü için do÷al olarak düúünülecek ilk yaklaúım, f x için durumuna uygun olarak herhangi bir P_n x interpolasyon polinomu kurularak x P x f k n k) _| ( ₍₁₎

bulunur. Fakat, pratikte görüldü÷ü gibi, bu tip problemlerin çözümünde biz çeúitli sorunlarla karúılaúabiliriz. Bu sorunların nedeni diferansiyelleme operasyonunun ister f(x)’in ait oldu÷u fonksiyonel uzaya göre, ister de iúlem hatalarına göre kararlı olmamasının söz konusu olmasıyla ilgili zorluklardır.

4

N Ü M E R

ø

K

ø

N T E G R A S Y O N

1 . G i r i

ú

Bu bölümde biz belirli integrallerin yaklaúık hesaplama metotlarını araútıracak ve a÷ırlıklı olarak tek de÷iúkenli

³

b a dx x f( ) (1) integralinin nümerik integrasyon (kuadratur) formülleri üzerinde duraca÷ız. Bu tip formüllerin uygulamasına;

- f(x)’e uygun ilkel fonksiyon mevcut oldu÷u halde (1)’in kesin de÷erine ulaúmanın çok az hallerde mümkün olması, mümkün oldu÷u durumlarda bile bu iú için büyük teknik iúlemler gerekmesi,

- f(x) fonksiyonu analitik biçiminde de÷il, ayrık(tablo) biçiminde verilmesi v.b. nedenlerden dolayı ihtiyaç duyulmaktadır.

Sunulacak kuadratur formülleri genel olarak

³

|

¦

b a n k k kf x c dx x f 0 ) ( ) ( (2) biçiminde yazılabilir. Burada _ck’lara formülün katsayıları, _xk

> @

_a,_b ’lere ise formülün dü÷üm noktaları yahut dü÷ümleri denir.

L

ø

NEER DENKLEM

S

ø

STEMLER

ø

N

ø

N ÇÖZÜMÜ

Lineer denklem sistemleri; matematik, fizik, mekanik, mühendislik, vs. alanlarda sıkça karúılaúılan problemlere model oluúturur. Ço÷u zaman sistemdeki denklem sayısı yüzlerle ifade edilir ki, bunlar ancak bilgisayar programlama metotları yardımıyla çözülebilir.

Bu bölümde, n bilinmeyenli n denklemden oluúan

b

Ax (1) sistemi ele alınacaktır. Burada n

j i ij

a

A ( ), 1 nun tipinde verilmiú matris,

T n

x x x

x ₁, ₂,..., bilinmeyan vektör, _b

_b1,_b2,...,_bn

T verilmiú vektördür. (1) sisteminin nümerik çözümü için uygulanan metotlar iki gruba ayrılır:

direkt(kesin) metotlar ve iterasyon metotları. Direkt metotlarda sonlu sayıda iúlem sonucu bilinmeyenlerin kesin de÷erlerine ulaúılır. Do÷al olarak burada baúlangıç verilerinin kesin oldu÷u ve yuvarlama hatalarının olmadı÷ı düúünülmektedir. Bilgisayar iúlemlerindeki yuvarlama hatalarının varlı÷ı dikkate alınırsa, reel iúlemlerde kesin çözüme ulaúılması, pratik olarak söz konusu de÷ildir. Direkt metotları kıyaslarken, bunlardan daha az miktarda aritmetik iúlem gerektiren metod üstün kabul edilir. Örnek olarak, klasik cebirden iyi bilinen Cramer ve Gauss metotları gösterilebilir. Bunlardan birincisi _n! sayıda aritmetik iúlem gerektirir ve dolayısıyla, _n’ in büyük de÷erleri için bu metodun uygulanması uygun de÷ildir. Gauss metodu ise _O(_n3) _{aritmetik iúlem gerektirir}

6

L

ø

NEER OLMAYAN DENKLEM VE

DENKLEM S

ø

STEMLER

ø

N

ø

N

ÇÖZÜMÜ

1 . G i r i

ú

. Köklerin Ayırımı (Yerlerinin Belirlenmesi).

Bu bölümde,

0 ) (x

f (1) úeklindeki denklemlerin çözümlerinin bulunması için uygun nümerik metotlar incelenecektir. Burada f(x), reel de÷iúkenli ve reel de÷erler alan bir fonksiyondur ((1) denkleminin kompleks düzlemdeki çözüm süreciyle ilgili açıklamalar ilerde yüzeysel olarak verilecektir). Lineer olmayan (1) denkleminin kesin metotlarla çözümü çok az durumda mümkündür hatta basit cebirsel denklemler için bile (f(x)’in polinom olması durumunda dördüncü dereceden yüksek polinomlar için) genel bir çözüm kuralının olmadı÷ı iyi bilinmektedir.

) (x

f ’in üstel ve trigonometrik fonksiyonlar gibi transandantal fonksiyonlar içermesi durumunda ise çözüm süreci daha da karmaúık hal almaktadır. Dolayısıyla, (1) denkleminin çözümü için nümerik metotların uygulanması büyük önem taúımaktadır.

(1) denklemi için yaklaúık çözüm süreci, genelde iki aúamadan oluúur: 1) Köklerin ayrımı veya yerleúiminin belirlenmesi. Bu aúamada tek kök içeren küçük boylu aralıklar tespit edilir.

A D

ø

D

ø

F E R A N S

ø

Y E L

D E N K L E M L E R

ø

Ç

ø

N BA

ù

L A N G I Ç –

D E

ö

E R P R O B L E M L E R

ø

N

ø

N

N Ü M E R

ø

K Ç Ö Z Ü M Ü

1 . G i r i

ú

Adi diferansiyel denklemlerle ifade edilen modeller mekanik, fizik ve baúka uygulama dallarında esas araútırma konularındandır. Denklemlerin bir tek çözüme sahip olması ise bunlara baúlangıç veya sınır úartlarının eklenmesi ile mümkündür. Böylece, baúlangıç-de÷er problemi ve sınır-de÷er problemi kavramları ortaya çıkıyor.

Bu bölümde biz baúlangıç-de÷er problemlerini araútıraca÷ız. Bilindi÷i gibi, adi diferansiyel denklemlerin kesin çözümlerine ulaúmak çok az durumda mümkündür. Çözümün açıkúekilde kuadraturlarla ifade edildi÷i formüller dahi problemi tamamen çözmez. Örne÷in, daha basit görülen

¯ ® ­ c ! Į u , x , x f u x a u ) 0 ( 0 ) ( ) (

lineer baúlangıç-de÷er probleminin çözümü, bilindi÷i gibi

³

³ ³ x x_{a d} x d a d e f e x u 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( D W W W K K W W ,

úekildedir. Fakat, buradaki integrallerin hesaplanmasının her zaman mümkün olmadı÷ı açıktır. Böylece, yaklaúık metotların uygulanması büyük önem taúımaktadır. Yaklaúık metotlar, analitik ve nümerik olmak üzere iki gruba

8

A D

ø

D

ø

F E R A N S

ø

Y E L

D E N K L E M L E R

ø

Ç

ø

N S I N I R - D E

ö

E R

P R O B L E M L E R

ø

Bir çok fiziksel ve mekanik süreçlerin adi diferansiyel denklemlerle ifade edildi÷i iyi bilinmektedir. Çok zaman karúılaúılan sınır-de÷er problemleri aúa÷ıdaki úekilde yazılabilir

ucc f(x,u,uc), 0xl, 2 2 2 1 1 1 (0) E (0) P , D ( ) E ( ) P D _uc _{u u}c_{l ul} , burada )2 2 0(_i 1_,2 i i E z

D olacak úekilde )Di,Ei,Pi (i 1,2 verilmiú sayılardır. D_i 0(_i 1,2) hali birinci tip sınırúartları; E_i 0(_i 1,2) ikinci tip sınırúartları; 0D_i z ,E_i z0 (_i=1,2) ise üçüncü tip sınırúartları diye adlandırılır.

Bu bölümde ikinci mertebe denklemler için sınır-de÷er problemlerinin (lineer ve lineer olmayan) çözümleri için ateúleme (shooting), sonlu fark ve sonlu eleman metotları tanıtılmıútır.

1 . A t e

ú

l e m e M e t o d u .

1. Lineer Problem. Bu halde sınır-de÷er probleminin çözümü iki tane ardıúık baúlangıç de÷er probleminin çözümüne gelir. Önce

l x x f u x q u x r u Lu{ cc ( ) c ( ) ( ), 0 (1) u(0) P₁, u(l) P₂ (2)

S

ø

N G Ü L E R P E R T U R B E O L M U

ù

P R O B L E M L E R

ø

N N Ü M E R

ø

K

Ç Ö Z Ü M Ü

ø

Ç

ø

N S O N L U F A R K

M E T O T L A R I

1 . G i r i

ú

v e Ö n b i l g i l e r

1. Problemin Tanıtımı. Diferansiyel denklemler için singüler perturbe olmuú problemler, uygulamalı bilim dallarının bir çok de÷iúik alanlarında kullanılmaktadır. Örne÷in, akıúkanlar mekani÷i, akıúkanlar dinami÷i, elastik kuantum mekani÷i, plastik, kimyasal-reaktör teori, aerodinamik, plazma dinamik, manyetik dinamik, arıtılmıú-gaz dinamik, oúinografi, meteoroloji, yayılma teori ve reaksiyon-difuzyon süreçleri vb. (bkz. [44], [45] [51], [52], [59]-[62]). Bu tür problemler matematiksel olarak, en yüksek mertebeli türevler içeren terimlerinin katsayılarının pozitif küçük bir parametre oldu÷u problemler olarak bilinir. Böyle problemlerin çözümü, tanım bölgesinin bazı kısımlarında çok hızlı de÷iúime sahiptir. Yani çözüm, sınır katları denilen, ince geçiú katlarında hızlı, di÷er yerlerde ise düzenli ve yavaú de÷iúir.

Singüler perturbe olmuú problemlere ilgi, yaklaúık olarak yirminci yüzyılın baúlarında baúlamıútır. Araútırmalar esasen asimptotik açılımlar üzerine yo÷unlaúmıú ve 1960’lı yıllardan sonraki dönemlerde çok iyi sonuçlar alınmıútır (bkz.[44], [45], [52], [59]-]62]).

H

P problemi H küçük parametresine ba÷lı bir problem olsun. Bu problemin _uH çözümünün f(u,H) 0 denklemi ile belirlendi÷i kabul edilsin.

KAYNAKLAR

[1] AINSWORTH, M., LEVESLEY, J., LIGHT, W. A., and MARTELLA, M. (1995), Theory and Numerics of Ordinary and Partial Differential Equations. Oxford University Press, Leicester; 346pp.

[2] AKTAù, Z.,URAL, S., ve ÖNCÜL, H. (1981), Sayısal Çözümleme. ODTÜ Yayınları, Ankara; 413s.

[3] ASCHER, U. M., MATTHEIJ, R. M. M. and RUSSEL, R. D.(1988),

Numerical Solution of Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J.; 595pp. [4] ATKINSON, K. E.(1993), Elementary Numerical Analysis. 2nd ed., John

Wiley & Sons, New York; 425pp.

[5] BAKHVALOV, N. S.(1973), Nümerik Metodlar, I. Nauka, Moskova; 631s. [6] BEREZøN, I. S. ve JøDKOV, N. P., Hesaplama Metotları, I. (1966)

Fizmatgiz, Moskova; 632s. II. (1962)Nauka, Moskova; 639s.

[7] BURDEN, R. L. and FAIRES, J. D. (1989), Numerical Analysis, 4thed., PWS-KENT Publishing, Boston; 729pp.

[8] ÇAöAL, B. (1989), Sayısal Analiz. Seç Yayın Da÷ıtım, østanbul; 568 s. [9] DE BOOR, C. (1978), A Practical Guide to Splines. Springer-Verlag, New

York; 392pp.

[10] ELDEN, L. and WITTMEYER-KOCH, L. (1990), Numerical Analysis, An Introduction. Academic Press, New York; 345pp.

Adams-Bashforth metodu, 236 lokal yaklaúm hatası, 236 Adams-Moulton metodu, 238 Miln metodu, 240 predictor-corrector metodu, 240 Simpson metodu, 240 yaklaúım hatası, 28, 236 Additive metot, 111 Aitken metodu, 47, 178, 204 Aitkenúeması, 47

Aksak koúullu sistem, 181 Algoritma, 3, 11

Asimptotik de÷erlendirme, 308, 317 Alt üçgen matris, 118, 130

Ateúleme metodu, 244 Ayrıútırma, 127, 130 Basit iterasyon, 151, 158, 1159, 192 Baúlangıç-de÷er problemi, 222, 234, 244 Baz fonksiyonu, 281, 295, 313, 321 Bessel formülü, 61 Bilgisayar aritmeti÷i, 7 Biseksiyon metot, 189 Bölünmüú farklar , 54, 59 Cebirsel denklem, 206 sentetik bölme, 207 Chebyshev polinomları, 49 Cholesky metodu, 140 Cramer formülü, 116

Çok adımlı metotlar, 223, 234

Danilevski metodu, 163

Diferansiyel denklem, 222, 244 adi, 222, 233, 244

singüler-perturbe olmuú, 277, 282, 285, 316

Diferansiyel denklemler sistemi, 231 Dikdörtgen formülü, 94 Deflasyon, 209 Diferansiyel eúitsizlik, 319 fark benzeri, 13 Düzgünúebeke, 25, 285 Düzgün yakınsaklık, 282, 290, 296, 307, 315