1
LISTRIK MAGNET I
S1 Fisika
BAB I MEDAN LISTRIK STATIS
1.1 PENDAHULUAN
Sebutlah q1, q2,… sebagai muatan-muatan “sumber” dan
Q sebagai muatan test. Satuan muatan: coulomb (C)
Bagaimana menentukan gaya pada muatan Q ?
Pada umumnya muatan-muatan sumber dan muatan test bergerak. Lalu bagaimana menentukan lintasan muatan test Q ?
3
Misalkan
F
r
1,
F
r
2,...
..
adalah gaya-gaya oleh muatan-muatan sumber q1, q2, ……..pada muatan test, maka total gaya pada muatan test itu
...
...
2 1+
+
=
F
F
F
r
r
r
+q Muatan sumber +Q Muatan testr
r
F
r
Besar gaya bergantung pada besar muatan dan jarak
Arahnya bergantung jenis muatan. +Q
r
r
F
r
4 1.2 HUKUM COULOMB
Gaya pada muatan test Q oleh muatan sumber q sebanding dengan muatan-muatan dan berbanding terbalik kuadrat jarak.
r
r
e
F
oˆ
4
πε
2=
r
q QF
r
r
r
R rrr
O
εo=8,85 x 10-12 C2/Nm2 adalah permittivitas ruang hampar
R
r
r
r
r
=
−
r
eˆ
Vektor satuan searahrr
r
yang besarnya.
...
ˆ
4
ˆ
4
ˆ
4
ˆ
=
1+
2+
3+
3 2 1r
r
r
2
3
2
2
2
1
r
r
r
e
q
Q
e
q
Q
e
Q
q
F
o o oπε
πε
πε
Untuk sejumlah muatan sumber:
5 1.2 MEDAN LISTRIK
r
r
r
r
r
r
e
q
E
E
Q
F
E
Q
e
q
Q
e
F
o o oˆ
4
;
ˆ
4
ˆ
4
ˆ
2 2 2πε
πε
πε
=
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
=
r
v
r
r
Medan listrik dari satu muatan sumber q di titik sejauh
E
Q
e
q
e
q
e
q
Q
e
Q
q
e
Q
q
e
Q
q
F
o o o o o or
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=
+
+
+
=
...
ˆ
4
ˆ
4
ˆ
4
...
ˆ
4
ˆ
4
ˆ
4
ˆ
1 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1r
r
r
r
r
r
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
r
r
r
r
r
r
πε
πε
πε
πε
πε
πε
Untuk banyak muatan sumber:
r
Medan listrik dari sejumlah muatan sumber
Arah:
F//E jika Q positip F><E jika Q negatip
∑
=
+
+
+
=
i o i o o oe
q
e
q
e
q
e
q
R
E
i 3 2 1r
r
r
r
2
i
2
3
2
2
2
1
r
r
r
r
ˆ
4
...
ˆ
4
ˆ
4
ˆ
4
)
(
1 2 1πε
πε
πε
πε
r
r
Titik medan qii
rr
R
r
ir
r
x y zMedan listrik bergantung pada posisi titik medan R
7
Tentukan kuat medan di titik P (a) jika kedua muatan sejenis, (b) jika berbeda jenis.
Periksa jika z>>d/2.
a) Misalkan muatan-muatan itu positif
θ
πε
cos 4 2r
2 o q E =(
)
2 22
/
;
cos
θ
=
r
z
r
=
z
+
d
(
)
[
2 2]
3/2 2 / 4 2 d z qz E o + =πε
Jika z>>d/2: 2 4 2 z q E oπε
= d/2 d/2 +q +q z P E θ Contoh 1:r
r
d/2 d/2 +q -q z P b) E θ
;
2
/
cos
cos
4
2
2r
r
d
q
E
o=
=
θ
θ
πε
(
)
2 22
/
d
z
+
=
r
(
)
[
2 2]
3/22
/
4
2
/
2
d
z
qd
E
o+
=
πε
Jika z>>d/2: 34
z
qd
E
oπε
=
qd disebut momen dipol
9
Jika sumber merupakan muatan kontinu:
1. garis 2. Permukaan 3. volume
dx
e
x
E
or
2
r
(
)
ˆ
4
1
∫
=
λ
πε
r
λ(x)dx∫
=
A oda
e
r
E
2 rr
(
)
ˆ
4
1
σ
πε
r
∫
=
V odv
e
r
E
2 rr
(
)
ˆ
4
1
ρ
πε
r
P10
Tentukanlah medan listrik pada jarak z di atas titik tengah garis lurus panjangnya 2L dan rapat muatannya λ Periksa jika z>>L dan L>>z.
k
dx
E
d
oˆ
cos
4
1
2θ
λ
πε
r
=
r
2 2;
cos
θ
=
r
z
r
=
z
+
x
Contoh 2: z E Jika z>>L:2
24
1
z
L
E
oλ
πε
=
sepertinya q=2λL Jika L>>z:z
E
λ
πε
2
4
1
=
11 1.3 FLUKS LISTRIK DAN HUKUM GAUSS
r o
e
r
q
E
ˆ
4
1
2πε
=
r
Garis medan dari suatu muatan positif
Garis medan dari dua buah muatan yang sama besar tapi berbeda jenis; dipol
Garis medan dari dua buah muatan yang sama besar sama jenis; l
∫
=
Φ
S EE
d
a
r
r
.
Fluks listrik= jumlah garis gaya melalui suatu permukaan
S
a
d
r
=vektor elemen luas tegak lurus pada permukaan SPerkalian dot →proyeksi E pada garis normal
da
n
a
d
r
=
ˆ
=vektor satuan normal pada S
nˆ
danˆ
Er θΦ
=
∫
=
∫
=
∫
S S S EE
.
d
a
E
.
n
ˆ
da
E
cos
θ
da
r
r
r
13 Fluks melalui permukaan tertutup
q
φ
θ
θ
πε
r
e
n
r
d
d
q
da
n
E
r S osin
ˆ
.
ˆ
4
1
ˆ
.
2 2∫
=
∫
=
Φ
r
bola o o rn
e
360
0
;
180
0
ˆ
ˆ
≤
≤
≤
≤
=
φ
θ
E
r
nˆ o S Eq
da
n
E
ε
=
=
Φ
∫
r
.
ˆ
• Dalam kenyataannya, bentuk permukaan tertutup tak harus bola, bisa berbentuk apa saja asal tertutup
akan memenuhi persamaan di atas.
• q tak harus muatan tunggal, tapi bisa jumlah muatan asal berada dalam permukaan tertutup.
φ
θ
θ
d
d
r
da
=
2sin
+q Sembarang permukaan tertutup Nm2C-114 Hukum Gauss :
Fluks listrik melalui permukaan tertutup sebanding dengan jumlah muatan di dalam permukaan itu
o S E
Q
a
d
E
ε
=
=
Φ
∫
r
.
r
Teori Divergensi:∫
=
∫
( )
∇
S Vdv
E
a
d
E
r
.
r
.
r
V=volume yang ditutupi permukaan S( )
∫
∫
∫
=
∇
=
=
Φ
V S V Edv
Q
dv
E
a
d
E
ρ
r
r
r
.
.
Hukum Gauss dalam bentuk diferensial
o
E
ε
ρ
=
∇
.
r
Hukum Gauss dalam bentuk integral.
S disebut permukaan Gauss.
ρ rapat muatan
z
k
y
j
x
i
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
ˆ
ˆ
ˆ
z
E
y
E
x
E
E
x y z∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
.
r
Ingat:15
Contoh 3:
Andaikan medan listrik
E
r
=
kr
3e
ˆ
r,
di dalam koordinat bola, k adalah konstanta. a) Tentukan rapat muatan ρ,b) Tentukan total muatan dalam bola berjari-jari R
(
)
2 2 4 2 3 2 25
)
(
5
5
1
1
.
r
k
r
kr
kr
r
kr
r
r
r
E
oε
ρ
=
=
=
×
∂
∂
=
∇
r
a)∫
∫
∫
∫
=
=
=
=
π πε
π
φ
θ
θ
ε
φ
θ
θ
ρ
0 2 0 5 0 4 24
sin
5
sin
;
)
(
R
k
d
d
dr
r
k
d
d
dr
r
dv
dv
r
Q
o R o V b) z x φ y θ r oE
ε
ρ
=
∇
.
r
(
)
θ φφ
θ
θ
θ
θ
E r E r E r r r E r ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ sin 1 sin sin 1 1 . r 2 2 Koordinat bolaContoh 4:
Sebuah silinder panjang memiliki rapat muatan sebanding dengan jarak dari sumbunya: ρ=ks, k konstanta. Tentukan medan listrik di dalam silinder.
Gambarkan permukaan Gauss berbentuk silinder sepusat dengan silinder asli.
Permukaan Gauss r l 3 0 2 0 0 2
3
2
.
kls
dz
d
dr
r
k
dz
d
dr
r
r
k
dv
Q
Q
a
d
E
l s V o S Eπ
φ
φ
ρ
ε
π=
=
=
=
=
=
Φ
∫
∫
∫
∫
∫
∫
r
r
2 33
1
3
2
2
2
.
ks
E
kls
sl
E
sl
E
a
d
E
o o Sε
π
ε
π
π
=
→
=
=
17
Contoh 5:
Suatu bidang datar luas sekali, memiliki muatan himogen dengan kerapatan σ. Tentukan medan listrik yang ditimbulkannya.
Gambarkan permukaan Gauss berbentuk kotak yang memotong bidang datar.
Permukaan Gauss
A
Q
Q
a
d
E
S oσ
ε
=
=
∫
r
.
r
1
;
A=luas permukaan sisi atas kotak;
Medan E tegak lurus permukaan kotak arah ke atas dan ke bawah. Jadi,
∫
E
r
.
d
a
r
= EA
2
o oE
A
EA
ε
σ
ε
σ
2
Contoh 6:
Dua plat sejajar masing-masing dengan rapat muatan +σ dan -σ.
Plat positif menghasilkan medan arah keluar plat:
o
E
ε
σ
2
=
+ Plat negatif menghasilkan medan arah menuju plat:o
E
ε
σ
2
=
− Medan di daerah (i) dan (iii):E
=
0
Medan di daerah (ii) atau di antara kedua plat:
o
E
ε
σ
19 b r o
e
r
q
E
ˆ
4
1
2πε
=
r
a Integaral E dari a ke b:∫
.
=
?
b al
d
E
r
r
Koordinat bola:(
r
d
θ
)
e
θ(
r
θ
d
φ
)
e
φe
dr
l
d
r
=
ˆ
r+
ˆ
+
sin
ˆ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
−
=
=
∫
∫
b a o b r a r o b a r r o b ar
q
r
q
r
q
dr
e
e
r
q
l
d
E
πε
πε
πε
4
1
4
1
ˆ
.
ˆ
4
1
.
r
2r
ra rbHasil integral tidak bergantung pada bentuk lintasan, tapi bergantung pada posisi titik awal dan posisi titik akhir.
1.4 SIFAT KONSERVATIF MEDAN LISTRIK
0
4
1
.
⎟⎟
=
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
∫
a a or
q
r
q
l
d
E
πε
r
r
+q a raIntegral pada garis tertutup sama dengan nol. Jadi medan listrik bersifat konservatif.
Teori Stokes:
(
E
)
n
da
l
d
E
S∫
r
.
r
=
∫
∇
×
r
.
ˆ
Karena∫
E
r
. l
d
r
=
0
→
S=luas bidang yang dilingkupi oleh kurva tertutup
0
=
×
∇ E
r
Inilahmedan konservatifcurl dari medan listrik, ciri⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
×
∇
y
E
x
E
k
x
E
z
E
j
z
E
y
E
i
E
r
ˆ
z yˆ
x zˆ
y x Kurva tertutup Ingat:y
E
x
E
x
E
z
E
z
E
y
E
E
z y x z y x∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
→
=
×
∇
r
0
;
;
b21
Periksa apakah medan berikut konservatif atau tidak.
(
)
(
)
[
y
i
xy
z
j
yz
k
]
E
b
k
xz
j
yz
i
xy
E
a
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
)
ˆ
3
ˆ
2
ˆ
)
2 2+
+
+
=
+
+
=
α
α
r
r
Contoh 7: Konservatif jika:0
ˆ
ˆ
ˆ
⎟⎟
=
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
×
∇
y
E
x
E
k
x
E
z
E
j
z
E
y
E
i
E
r
z y x z y x(
) (
) (
)
(
ˆ
2
ˆ
3
ˆ
)
bukan
gaya
konservati
f
0
0
ˆ
3
0
ˆ
2
0
ˆ
0
;
3
3
0
;
2
2
,
0
)
k
xz
j
yz
i
xy
E
x
k
z
j
y
i
E
y
E
z
x
E
xz
E
x
E
y
z
E
yz
E
x
y
E
z
E
xy
E
a
z z z y y y x x x+
+
=
≠
−
+
−
+
−
=
×
∇
=
∂
∂
=
∂
∂
→
=
=
∂
∂
=
∂
∂
→
=
=
∂
∂
=
∂
∂
→
=
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
r
r
(
)
(
) (
) (
)
(
)
[
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
]
gaya
konservati
f
0
2
2
ˆ
0
0
ˆ
2
2
ˆ
2
;
0
2
2
;
2
2
2
,
0
)
2 2 2 2k
yz
j
z
xy
i
y
E
y
y
k
j
z
z
i
E
z
y
E
x
E
yz
E
y
x
E
z
z
E
z
xy
E
y
y
E
z
E
y
E
b
z z z y y y x x x+
+
+
=
=
−
+
−
+
−
=
×
∇
=
∂
∂
=
∂
∂
→
=
=
∂
∂
=
∂
∂
→
+
=
=
∂
∂
=
∂
∂
→
=
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
r
r
23
BAB II POTENSIAL LISTRIK
2.1 POTENSIAL LISTRIK
Tinjau muatan test +Q di dalam medan listrik E yang ditimbulkan muatan sumber +q. Gaya pada muatan
Karena E medan konservatif, maka gaya F juga konservatif.
E
r
+qE
Q
F
r
=
r
E
q
F
r
=
r
+Q Energi potensial +Q sejauh r dari sumber +qadalah usaha membawa muatan +Q dari suatu titik standar ke titik r untuk melawan gaya listrik F.
l
d
F
r
E
r O pr
r
.
)
(
=
−
∫
rO adalah titik standar.
Potensial listrik di suatu titik=energi potensial per satuan muatan di titik itu.
l
d
E
dQ
dE
r
V
r O pr
r
.
)
(
=
=
−
∫
Joule volt=joule/coulomb =newton meter/coulombBeda potensial antara titik b dan titik a adalah V(b)-V(a):
∫
∫
∫
∫
∇
=
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
−
b r a r b r a r a r O b r Ol
d
V
l
d
E
l
d
E
l
d
E
a
V
b
V
r
r
r
r
r
r
r
.
.
.
.
)
(
)
(
→
−
=
∫
E
d
l
r
V
r Or
r
.
)
(
E
r
=
−∇
V
dz
dV
k
dy
dV
j
dx
dV
i
V
=
ˆ
+
ˆ
+
ˆ
∇
Gradient dari V25
Contoh 8:
Tentukanlah potensial di dalam dan di luar bola berjari-jari R, jika muatan tersebar merata dipermukaanya. Gunakan titik di tak berhingga jauh sebagai referensi.
(
)
(
)
dr
l
d
e
e
d
r
e
d
r
e
dr
l
d
r r=
+
+
=
ˆ
.
ˆ
ˆ
sin
ˆ
ˆ
θ
θθ
φ
φr
Misalkan total muatan permukaan bola adalah Q. Maka dengan hukum Gauss diperoleh medan listrik:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
≥
=
R
r
R
r
e
r
Q
r
E
o r0
ˆ
4
)
(
πε
2r
l
d
E
r
V
r Or
r
.
)
(
=
−
∫
R r 2 4 R Q oπε
ER
Q
l
d
dr
r
Q
dr
r
Q
l
d
E
r
V
R
r
o r R R o r o rπε
πε
πε
4
.
0
'
.
'
1
4
'
.
'
1
4
ˆ
.
)
(
:
2 2=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
−
=
−
=
<
∫
∫
∫
∫
∞ ∞ ∞r
r
R rR
Q
oπε
4
r
Q
r
Q
dr
r
Q
r
V
R
r
o r o r oπε
πε
πε
'
4
1
4
'
'
1
4
)
(
:
2⎟
=
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
=
≥
∞ ∞∫
V27
2.2 Potensial oleh distribusi muatan
l
d
E
r
V
r Or
r
.
)
(
=
−
∫
Berdasarkan:Potensial oleh muatan garis:
Potensial oleh muatan permukaan:
Contoh 9:
Tentukan potensial oleh suatu bola yang bermuatan homogen pada kulitnya.
Tinjau titik pada sb-z sejah dari elemen luas berposisi polar (R,θ’)
r
29
Elemen luas di permukaan bola R2 sinθ dθ dφ
Di luar bola z>R: Di dalam bola z<R: R z z R− )2 = − ( z R z R− )2 = − (
di luar bola
di dalam bola
Contoh 10.
Tentukanlah potensial di titik P sejauh z dari titik tengah garis yang panjangnya 2L dan rapat muatannya λ.
31
2.3 Persamaan Poisson dan Persamaan Laplace
Kita sudah mengetahui medan listrik sebagai gradien dari potensial:
E
ˆ
=
−∇
V
Demikian juga Hukum Gauss dalam bentuk diferensial:o
E
ε
ρ
=
∇
.
r
(
−
∇
)
=
→
∇
oV
ε
ρ
.
Jadi: oV
ε
ρ
−
=
∇
2 Ini disebut persamaanPoisson
Jika tidak ada muatan, atau ρ=0, maka peramaan Poisson berubah menjadi:
0
2
=
∇ V
Ini disebut persamaanLaplaceKita sudah mengenal juga sifat dari konservatif medan listrik:
∇ E
×
r
=
0
Maka:
∇
×
(
−
∇
V
)
=
0
→
Sebenarnya, secara vektor selalu berlaku sifat curl dari gradient=0: ∇×∇f =032
Contoh 11: Persamaan Laplace dalam koordinat Cartesian
Pada bidang (x,y), potensial di y=0 adalah 100 volt, sedangkan di x=0, x=10 cm dan y=∞, potensial 0 volt. Tentukanlah potensial di daerah 0<x<10 cm , y>0
x V=100 volt y V=0 V=0 V=0 10 cm
0
0
2 2 2 2 2=
∂
∂
+
∂
∂
→
=
∇
y
V
x
V
V
Pemisahan variabel, misalkan V(x,y)=A(x) B(y)
0
2 2 2 2=
∂
∂
+
∂
∂
y
B
A
x
A
B
Bagi dengan AB:
1
1
0
2 2 2 2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
B
B
x
A
A
0
;
konstanta
1
1
2 2 2 2 2≥
−
=
=
∂
∂
−
=
∂
∂
k
k
y
B
B
x
A
A
ky kye
e
B
B
k
y
B
B
k
y
B
kx
kx
A
A
k
x
A
A
k
x
A
−=
→
=
−
∂
∂
→
=
∂
∂
=
→
=
+
∂
∂
→
−
=
∂
∂
atau
0
cos
atau
sin
0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 233
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
− −kx
e
kx
e
kx
e
kx
e
y
x
V
ky ky ky kycos
cos
sin
sin
)
,
(
Gunakan syarat batas untuk menentukan V(x,y) yang betul.
kx
V
x
e
V
y
kycos
0
0
0
,
→
=
→
=
→
=
∞
→
tak bisa dipakai.
}
kx
e
y
x
V
(
,
)
=
−kysin
Solusi sementara:,....
2
,
1
,
10
0
0
1
sin
0
10
→
=
→
=
→
=
=
=
V
k
k
n
n
x
π
)
10
/
sin(
)
,
(
x
y
e
/10n
x
V
=
−nπ yπ
)
10
/
sin(
)
,
(
x
y
e
/10n
x
V
=
−nπ yπ
100
0
→
=
=
V
y
Ini tak dapat dipenuhi oleh persamaan di atas. Jadi, harus diambil kombinasi liniernya:
)
10
/
sin(
)
,
(
1 10 /x
n
e
b
y
x
V
n y n nπ
π∑
∞ = −=
100
0
→
=
=
V
y
Dengan100
)
10
/
sin(
)
0
,
(
1=
=
∑
∞ =x
n
b
x
V
n nπ
Tentukan bn35
Deret Fourier untuk sinus:
[
]
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
×
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
∫
∫
genap
n
utk
0
ganjil
n
utk
400
1
)
1
(
200
10
cos
10
20
10
sin
100
10
2
sin
)
(
2
10 0 10 0 0π
π
π
π
π
n
n
x
n
n
dx
x
n
dx
kx
x
f
L
b
n L n[
sin(
/
10
)
sin(
2
/
10
)
...
]
400
)
10
/
sin(
400
)
,
(
10 / 2 2 1 10 / 10 / 1+
+
=
=
− − − ∞ =∑
x
e
x
e
x
n
e
n
y
x
V
y y y n nπ
π
π
π
π
π π π Utk n ganjilx 0 5 10 (a) n=1 (b) n=5 (c) Jumlah hingga n=10 (d) Jumlah hingga n=100
37
Contoh 12: Persamaan Laplace dalam koordinat silinder.
Suatu silinder berjari r=1 cm, memanjang pada sumbu-z. Potensial di dasarnya V=100 volt; di dinding dan ujung lainnya (z→∞) V= 0 volt. Tentukanlah potensial di dalam silinder. x y V=100 volt V=0
0
1
1
0
)
,
,
(
2 2 2 2 2 2=
∂
∂
+
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
→
=
∇
≡
z
V
V
r
r
V
r
r
r
V
z
r
V
V
θ
θ
Pemisahan variabel, misalkan V(r,θ,z)=R(r) Θ(θ)Z(z)
0
1
1
2 2 2 2 2+
Θ
=
Θ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Θ
dz
Z
d
R
d
d
r
RZ
dr
dR
r
dr
d
r
Z
θ
Bagi dengan RΘZ:0
1
1
2 2 2 2 2∂
=
∂
+
Θ
Θ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
z
Z
Z
d
d
r
dr
dR
r
dr
d
Rr
θ
Tdk tercampur dg lainnya.0
0
2 2 2 2 2 2≥
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
→
=
−
→
=
−k
e
e
Z
Zk
dz
Z
d
k
Zdz
Z
d
kz kz0
1
0
1
1
2 2 2 2 2 2 2 2=
+
∂
Θ
∂
Θ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
+
∂
Θ
∂
Θ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∴
r
k
r
R
r
r
R
r
k
r
r
R
r
r
Rr
θ
θ
Sarat batas z→∞, V=0→ pilih kz
e
Z
=
− Tdk tercampur dg lainnya.⎩
⎨
⎧
=
Θ
→
=
Θ
+
∂
Θ
∂
→
−
=
∂
Θ
∂
Θ
θ
θ
θ
θ
n
n
n
n
cos
sin
0
1
2 2 2 2 2 2 n=bil bulatKalau silinder diputar terhadap sb-z, tidak akan mengubah potensial; maka solusi ini tak bergantung pada sudut θ, dan boleh diambil
n
=
0
→
Θ
=
1
Gunakan syarat batas untuk:
⎩
⎨
⎧
=
Θ
θ
θ
n
n
cos
sin
39
(
2 2−
2)
=
0
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∴
k
r
n
R
r
R
r
r
r
Ini adalah persamaan Bessel; solusinya adalah Jn(kr) dan Nn(kr). Karena dasar silinder di pusat koordinat, maka dipilih Jn(kr) sedangkan Nn(kr) tak bisa dipakai karena titik pusatnya di ∞. Jadi
n p p p n
kr
n
p
p
kr
J
r
R
+ ∞ =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
Γ
+
Γ
−
=
=
∑
2 1(
1
)
(
1
)
2
)
1
(
)
(
)
(
0
2 2 2+
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∴
n
k
r
r
R
r
r
R
r
)!
1
(
)
(
=
−
Γ
n
n
0
)
(
0
atau
0
1
→
=
=
→
0=
=
V
R
J
k
r
Misalkan harga k=km, m=1,2,3,…..J
0(
k
m)
=
0
Solusi:
∑
∞ = −=
1 0(
)
m z m k m mJ
k
r
e
c
V
Untuk z=0, V=100(
)
100
1 0=
=
→
∑
∞ = m m mJ
k
r
c
V
Kalikan dengan rJ0(kjr), j=1,2,3… lalu integral suku per suku antara 0 dan 1
dr
r
k
rJ
dr
r
k
J
r
k
rJ
c
m j m j j∫
∑ ∫
∞=
= 1 0 0 0 1 1 0 0(
)
(
)
100
(
)
[
J
k
r
]
dr
rJ
k
r
dr
r
c
j∫
j=
∫
j 1 0 0 1 0 2 0(
)
100
(
)
Sifat ortogonal41
Setiap harga j memberikan satu harga koefisien cj. Jadi j boleh diganti dengan m.
[
J
k
mr
]
dr
J
( )
k
mr
12 12 1 0 2 0(
)
=
∫
[
(
)
]
(
)
1
[
(
)
]
)
(
1 0 1 0k
rJ
k
r
dr
d
k
r
k
rJ
k
x
xJ
dx
d
x
xJ
m m m m m=
→
=
)
(
1
)
(
1
)
(
1 1 0 1 1 0 0 m m m m mJ
k
k
r
k
rJ
k
dr
r
k
rJ
=
=
∫
Sifat fungsi Bessel
( )
)
(
200
)
(
100
1 1 2 1 2 1 m m m m m m mk
J
k
c
k
J
k
c
k
J
=
→
=
∑
∑
∞ = − ∞ = −=
=
1 1 0 1 0)
(
)
(
200
)
(
m z m k m m m m z m k m me
k
J
k
r
k
J
e
r
k
J
c
V
km diperoleh dari Jo(km)=0Contoh 13: Persamaan Laplace dalam koordinat bola θ r φ x y z
Misalkan V tidak bergantung sudut azimut φ
43
Solusi umum:
Ini masih memerlukan syarat batas untuk r dan θ.
Misalkan V(θ) tertentu di permukaan bola berlubang, berjari-jari R. Tentukanlah potensial dalam bola.
Untuk itu Bl = 0 untuk semua l. Jadi
)
(
)
(cos
)
,
(
0 0θ
θ
θ
A
R
P
V
R
V
l l l l=
=
∑
∞ = Di r=R (kulit):45
Sifat polinom Legendre:
θ
θ
θ
θ
πd
P
P
R
A
l l l ll
(cos
)
(cos
)
sin
0 0 '
∑
∞∫
==
' '1
'
2
2
l lR
A
l
+
=
∫
+
=
πθ
θ
θ
θ
0 0(
)
(cos
)
sin
2
1
2
d
P
V
R
l
A
l l l JadiMisalkan: k= konstanta
Bagaimana potensial di luar bola?
Al=0
∫
+
=
πθ
θ
θ
θ
0 0(
)
(cos
)
sin
2
1
2
d
P
V
R
l
A
l l l47
r=R:
Kalikan dengan lalu diintegral
= Jadi:
k
R
B
Rk
B
34 2 1 4 1 0=
;
=
−
θ
θ
θ
θ
cos
4
3
)
(cos
)
(cos
)
,
(
2 2 1 2 1 0 0r
k
R
r
Rk
P
r
B
P
r
B
r
V
=
+
=
−
Contoh 14: Suatu bola padat bermuatan homogen dengan rapat muatan uniform. Tentukanlah potensial di luar dan di dalam bola.
o r dr dV r dr d r
ε
ρ
( ) 1 2 2 ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∇ V2 RKarena rapat muatan tidak bergantung sudut, maka potensial bersimetri bola:
Di luar bola ρ=0:
r
B
A
r
V
dr
dV
r
dr
d
r
o o o=
+
→
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
)
(
0
1
2 2 Di dalam bola: o i i i or
r
B
A
r
V
r
dr
dV
r
dr
d
ε
ρ
ε
ρ
6
)
(
2 2 2=
−
→
=
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
0
,
→
∞
→
V
or
r
B
r
V
0(
)
=
o sehingga A0=0 Andaikan syarat batas:o
V
ε
ρ
−
=
∇
2 Persamaan Poisson:49 o i i
r
A
r
V
ε
ρ
2)
(
=
−
Di pusat bola r=0, sehingga harus berlaku Bi=0.
V(r) harus kontinu di kulit bola, Vi(R)=Vo(R)
o o i o o i
R
R
B
A
R
B
R
A
ε
ρ
ε
ρ
6
6
2 2+
=
→
=
−
(
)
o o ir
R
R
B
r
V
ε
ρ
6
)
(
2 2−
+
=
Medan di sebelah dalam dan di sebelah luar permukaan bola harus sama:
o o o o R r i R r
R
B
R
R
B
r
V
r
V
ε
ρ
ε
ρ
3
3
3 2 0⎟
→
=
→
=
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
= =(
)
o i o or
R
r
V
r
R
r
V
ε
ρ
ε
ρ
6
3
)
(
;
3
)
(
2 2 3−
=
=
Akhirnya:r
B
r
V
0(
)
=
o 0 R r Vo(r) Vi(r)2.4 Metoda Bayangan
Tinjau muatan +q di sumbu-z sejauh d dari plat logam yang dibumikan (V=0). Bagaimana menentukan potensial di atas plat. Potensial tak bisa ditentukan hanya dengan muatan q saja, tetapi juga dengan muatan negatif yang terinduksi pada plat itu. Masalahnya, berapa besar dan agaimana distribusi muatan terinduksi itu.
Yang jelas berlaku:
Secara matematik, persoalan di atas dipandang sebagai berikut. Lupakan plat, dan misalkan V=0 di z=0 dengan mengandaikan ada muatan -q di z=-d. Potensial di suatau titik adalah
z d -d z=0, V=0 2 2 2 2 , dari jauh yang titik di 0 , 0 di 0 d z y x q V z V >> + + → = = +q -q 2 2 2 2 jika 0 , 0 di 0 d z y x V z V >> + + → = =
51
Misalkan σ adalah rapat muatan induksi
Jadi, dengan metoda bayangan dapat ditentukan rapat muatan pada plat logam.
Suatu muatan q ditempatkan sejauh a dari pusat bola logam berjari-jari R yang dibumikan. Tentukan potensial di luar bola.
Sementara lupakan bola, dan misalkan ada muatan q’ sejauh b (<R) dari pusat bola pada garis Oa, sedemikian sehingga V=0 di r=R (kulit bola). Potensial dengan konfigurasi itu adalah
Agar V=0, misalkan q’= -αq Contoh berikutnya 15:
53
Dengan rumus cosinus, maka
Agar V=0 jika r=R (dipermukaan bola).
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
−
−
+
=
θ
α
θ
πε
θ
cos
2
cos
2
4
1
)
,
(
2 2 2 2rb
b
r
q
ra
a
r
q
r
V
o 2 2 2 2 22
cos
cos
2
α
θ
θ
R
b
Rb
Ra
a
R
+
−
=
+
−
q
a
R
q
a
R
a
R
b
=
;
=
→
'
=
−
2α
(
)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
−
−
+
=
θ
θ
πε
θ
cos
2
/
cos
2
4
1
)
,
(
2 2 2 2ra
R
ra
R
q
ra
a
r
q
r
V
oMisalkan σ adalah rapat muatan induksi R r o
r
V
=∂
∂
−
=
ε
σ
(
)
(
)
(
(
(
)
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 3/2 2 2 2 2 / 3 2 2 2 2 / 3 2 2 2 2 / 3 2 2cos
2
/
1
1
/
4
cos
2
/
4
cos
2
/
cos
/
cos
2
cos
4
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−
−
−
=
−
+
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
−
+
−
+
−
−
−
=
∂
∂
−
=
= =θ
π
θ
π
θ
θ
θ
θ
π
ε
σ
R
a
R
a
R
a
R
q
Ra
a
R
R
R
a
q
ra
R
ra
R
a
R
a
r
ra
a
r
a
r
q
r
V
R r R r o55
BAB III BAHAN DIELEKTRIK
3.1 Dipol Listrik
Perbedaan bahan konduktor dan bahan dielektrik.
Konduktor adalah bahan (seperti logam) yang mengandung atom-atom dengan elektron-elektron (satu atau dua elektron per atom) yang bebas bergerak jika dikenai oleh medan listruik.
Dalam dielektrik, elektron-elektro masih teriket dalam atom-atomnya, jika
dikenai medan listrik hanya bisa bergeser sedikit, tetapi efek kumulatifnya akan memberikan ciri kepada bahan dielektrik tersebut.
Dipol listrik terinduksi
Jika sebuah atom dikenai medan listrik, maka baik inti maupun elektronnya akan merasakan medan itu. Inti terdorong searah medan dan elektro terdorong berlawanan arah medan. Jika medan tak terlalu besar ada keadaan setimbang antara gaya tarik menarik dan gaya dorong medan. Dalam keadaan setimbang itu, atom disebut terpolarisasi dan atom memiliki momen dipol yang arahnya sama dengan medan listrik. Momen dipole hasil induksi ini dirumuskan seperti:
E
Polarizabiltas atomik untuk berbagai atom, α/4πεo(10-30m3)
Contoh 1:
Menurut model primitif, suatu atom mengandung inti bermuatan +q yang dikelilingi awan elektron homogen berbentuk bola dengan muatan –q . Misalkan jari-jari bola a. tentukanlah polarizabilitas atom.
Kehadiran medan listrik E, menyebabkan inti bergeser sedikit searah E, dan awan elektron bergeser sedikit berlawanan arah E. Misalkan pada saat
57
Pada titik itu, medan oleh awan elektron Ec sehingga E=Ec. Karena
3
4
1
a
qd
E
o c=
πε
maka 34
1
a
qd
E
oπε
=
Karena dipol listrik p=qd, maka
p
=
4
πε
oa
3E
3 3
3
4
;
3
4
πε
oa
ε
oν
ν
π
a
α
=
=
=
Jadi, plarizabilitas atom adalah
Pada molekul, polarisasi bisa lebih mudah dalam arah tertentu. Misalnya pada karbon dioksida, polarizabiliti 4,5 x10-40 C2m/N sepanjang
sumbu-molekul tetapi hanya 2x10-40 C2m/N dalam arah tegak lurus sumbu-molekul.
Sumbu-molekul
Jika medan listrik berarah sembarang, maka polarisasi yang terinduksi adalah: I I II II
E
E
p
r
=
α
r
+
α
r
E
r
IIE
r
IE
r
Secara umum,⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
→
=
z y x zz zy zx yz yy yx xz xy xx z y xE
E
E
p
p
p
E
p
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
t
r
r
α = Tensor polarizabilitas.59
+q
-q
d
r
Dua muatan yang sama tapi berbenda tanda disebut dipol listrik.
=
d
r
Vektor jarak dari +q ke -qd
q
p
r −
=
r
Vektor dipol listrikPotensial oleh suatu dipol
:
− +
−
=
s
q
s
q
V
o oπε
πε
4
4
+q -q θ r s+ s -d Vp
r
Pengertian dipol
θ
θ
;
(
)
cos
cos
)
(
2 2 12 2 2 1 2rd
d
r
s
rd
d
r
s
+=
+
−
−=
+
+
Jika r>>d/2:θ
θ
θ
θ
cos
)
/
(
1
cos
)
/
(
1
cos
)
/
(
1
cos
)
/
(
1
2 1 2 1r
d
r
d
r
s
r
d
r
d
r
s
+
=
+
=
−
=
−
=
− +(
)
θ
πε
θ
θ
πε
θ
πε
θ
θ
θ
θ
πε
cos
4
)
,
(
cos
4
cos
/
4
]
cos
)
/
(
1
][
cos
)
/
(
1
[
cos
)
/
(
1
cos
)
/
(
1
4
2 2 2 1 2 1 2 1 2 1r
p
r
V
r
qd
r
d
r
q
r
d
r
d
r
d
r
d
r
q
V
o o o o=
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
+
−
+
=
24
ˆ
.
r
e
p
o rπε
r
=
p
r
θ r reˆ
V61
Medan oleh dipol listrik
2 2
