RELEVANSI METODE RITTER DAN METODE ELEMEN HINGGA DENGAN
PROGRAM MATLAB PADA RANGKA BATANG
David Parulian Sitorus1, Torang Sitorus2
1Departemen Teknik Sipil, Universitas Sumatera Utara, Jl. Perpustakaan No. 1 Kampus USU Medan Email: [email protected]
2Staf Pengajar Departemen Teknik Sipil, Universitas Sumatera Utara, Jl. Perpustakaan No. 1 Kampus USU Medan Email: [email protected]
ABSTRAK
Perkembangan struktur rangka yang sangat cepat, mendapat perhatian para ahli untuk merencanakan struktur rangka yang lebih akurat. Umumnya, rangka batang dihitung dengan metode ritter yang menganggap luas penampang tiap elemen sama. Oleh karena itu, perlu dilakukan pengontrolan kembali terhadap metode ritter dengan menggunakan metode elemen hingga dengan luas penampang tiap elemen berbeda-beda, sehingga dapat diketahui relevan atau tidaknya metode ritter tersebut terhadap metode elemen hingga. Kemudian, struktur rangka dibandingkan kembali dengan program SAP2000. Hasil perhitungan pada struktur rangka bidang I, diperoleh perbedaan persentase gaya rata-rata antara metode ritter, metode elemen hingga dan program SAP2000
1,000 %. Pada struktur rangka bidang II, diperoleh perbedaan persentase gaya rata-rata antara metode ritter, metode elemen hingga dan program SAP2000
2,503 %. Dengan demikian, perhitungan metode ritter dan metode elemen hingga dapat dinyatakan relevan.Kata kunci: rangka batang, metode ritter, metode elemen hingga
ABSTRACT
The significant progress of truss, get attention from engineers to plan more accurate truss stucture. Generally, truss is calculated with ritter method which considers the same cross sectional area of each element. Therefore, it is necessary to control the ritter method with using finite element method with different cross sectional area of each element, so it can be determined the ritter method and finite element method is relevant or not. Then, the truss structure is compared again with SAP2000 program. The first plane truss structure is obtained the difference of average force percentage between ritter method, finite element method and SAP2000 program is
1,000 %. The second plane truss structure is obtained the difference of average force percentage between ritter method, finite element method and SAP2000 program is
2,503 %. Thus, the calculation of ritter method and finite element method is relevant.The keywords: truss, ritter method, finite element method
1. PENDAHULUAN
Pada saat ini rangka batang sangat penting untuk pembangunan, seperti konstruksi untuk atap, jembatan, menara atau bangunan tinggi lainnya. Bentuk struktur rangka dipilih karena mampu menerima beban struktur relatif besar dan dapat melayani kebutuhan bentang struktur yang panjang. Dalam dunia arsitektur dan struktural, rangka batang adalah konstruksi yang tersusun dari batang-batang tarik dan batang-batang tekan saja, umumnya terbuat dari baja atau kayu. Perkembangan struktur rangka yang pesat, baik terhadap geometris ataupun pembebanannya yang semakin kompleks, membuat analisis rangka batang mendapat perhatian dari banyak desainer dan konsultan. (Dian Ariestadi, 2008)
Pada umumnya struktur rangka dihitung dengan menggunakan metode ritter. Pada metode ini, luas penampang di setiap elemen dianggap sama dengan elemen lain. Hal ini membuat perlu dilakukan pengontrolan kembali terhadap struktur rangka tersebut apabila luas penampang di setiap elemen berbeda-beda. Adapun metode yang digunakan adalah metode elemen hingga yang memiliki tingkat akurasi yang baik karena dapat dibantu dengan penggunaan program-program komputer dalam proses analisisnya, sehingga dapat diketahui relevan atau tidaknya metode ritter tersebut terhadap metode elemen hingga. Salah satu program yang dapat digunakan yaitu Matlab.
2. TINJAUAN PUSTAKA
Prinsip Dasar Pembentukan Segitiga Rangka Batang
Prinsip utama yang mendasari penggunaan rangka batang sebagai struktur pemikul beban adalah penyusunan elemen menjadi konfigurasi segitiga yang menghasilkan bentuk stabil. Pola yang bukan segitiga menyebabkan struktur tersebut menjadi tidak stabil yang mengakibatkan terjadinya deformasi yang relatif besar. Pada struktur stabil, sudut yang terbentuk antara dua batang tidak akan berubah apabila dibebani. Hal ini berbeda dengan mekanisme yang terjadi pada bentuk struktur yang tidak stabil, dimana sudut antara dua batangnya akan berubah sangat besar apabila dibebani. (Daniel L. Schodek, 1998)
Gambar 1. Prinsip-prinsip dasar triangulasi
Analisa Gaya Batang
Metode untuk menentukan gaya-gaya pada rangka batang adalah berdasarkan pada tinjauan keseimbangan titik hubung. Pada konfigurasi rangka batang sederhana, sifat gaya batang tarik atau tekan dapat ditentukan dengan memberikan gambaran bentuk deformasi yang mungkin terjadi pada saat struktur tersebut diberi beban. Tetapi pada struktur rangka yang memiliki geometri yang kompleks, sifat gaya batang harus dianalisis secara matematis agar diperoleh hasil yang lebih akurat. (Dian Ariestadi, 2008)
Batang Tekan
Suatu komponen yang mengalami gaya tekan, akibat beban terfaktor Nu, menurut SNI 03-1729-2002, harus
memenuhi:
n n u φ .N
N (1) dengan Nu = beban terfaktor, Nn = tahanan nominal komponen struktur tekan dan φn = faktor reduksi
Faktor reduksi kekuatan φn untuk komponen struktur yang memikul gaya tekan aksial (SNI 03-1729-2002) sebesar 0,85.
Daya dukung nominal Nn struktur tekan dihitung sebagai berikut: ω f . A Nn g y (2)
dengan Ag= luas penampang dan y
f = kuat leleh material Dengan besarnya
ω
ditentukan oleh λc, yaitu:untuk λc < 0,25 maka
ω
= 1 (3) untuk 0,25 < λc < 1,2 makaω
= c 67 , 0 6 , 1 43 , 1 (4) untuk λc > 1,2 makaω
= 1,25
c2 (5) dimana, E f π λ λ y c (6)dengan
λ
= kelangsingan komponen, k = faktor panjang tekuk, L = panjang komponen dan r = jari - jari girasiBatang Tarik
Batang tarik sangat efektif dalam memikul beban. Batang tarik dapat terdiri dari profil tunggal ataupun profil-profil tersusun. Menurut SNI 03-1729-2002 pasal 10.1, dinyatakan bahwa semua komponen struktur yang memikul gaya tarik aksial terfaktor sebesar Tu, maka diperoleh:
n u φ .T
T (7)
dengan u
T = beban terfaktor, Tn = tahanan nominal komponen struktur tarik dan φ = faktor reduksi 0,9 Bila kondisi leleh menentukan, maka tahanan nominal Tn, dari batang tarik memenuhi persamaan:
y g n A .f
T (8)
dengan Ag= luas penampang danfy= kuat leleh material
Untuk mengurangi masalah terkait dengan lendutan besar, maka komponen struktur tarik harus memenuhi syarat kekakuan. Syarat ini berdasarkan pada rasio kelangsingan, yaitu:
r L
λ (9)
dengan λ = kelangsingan komponen , L = panjang komponen dan r= jari - jari girasi Nilai λ diambil maksimum 240 untuk batang tarik. (Agus Setiawan, 2008)
3. METODOLOGI PENELITIAN
Metode ritter
Metode keseimbangan potongan (ritter) adalah metode yang mencari gaya batang dengan potongan atau irisan analitis. Metode ini umumnya hanya memotong tiga batang mengingat hanya ada tiga persamaan statika saja, yaitu: ΣM = 0, ΣH = 0 , dan ΣV = 0. Perbedaan metode ritter dengan metode keseimbangan titik buhul adalah dalam peninjauan keseimbangan rotasionalnya. Metode keseimbangan titik buhul, biasanya digunakan apabila ingin mengetahui semua gaya batang. Sedangkan metode potongan biasanya digunakan apabila ingin mengetahui hanya sejumlah terbatas gaya batang. (Dian Ariestadi, 2008)
Adapun langkah-langkah dalam penyelesaian analisis struktur dengan metode ritter, yaitu sebagai berikut:
• Tentukan gaya-gaya reaksi tumpuan
• Buat potongan yang melalui elemen yang akan dicari besarnya gaya • Gambarkan diagram benda bebas (free body) untuk tiap potongan
• Meninjau setiap free body tersebut berada dalam keseimbangan translasi (ΣV = 0 , ΣH = 0 , ΣM = 0)
Metode elemen hingga
Metode elemen hingga (finite element method) merupakan suatu metode numerik yang digunakan untuk menghitung gaya dalam pada suatu struktur. Keuntungan dari metode elemen hingga adalah bahwa apa yang tidak dapat diselesaikan dengan penyelesaian analitis dapat dipecahkan dengan metode ini, sebagai contoh konstruksi yang mempunyai geometris yang kompleks dan beban yang kompleks. (I. Katili, 2008)
Konsep dasar metode elemen hingga adalah prinsip deskritisasi yaitu membagi suatu benda menjadi elemen-elemen yang berukuran lebih kecil supaya lebih mudah pengelolaannya. (William Weaver dan Paul R. Johnston, 1989)
Salah satu jenis struktur dalam elemen hingga adalah struktur rangka bidang yang memiliki 2 buah dof (degree of freedoom) di setiap elemennya yaitu d1 dan d2. Dalam penyelesaiannya, metode elemen hingga
menggunakan prinsip matriks kekakuan baik terhadap sumbu lokal maupun sumbu global.
Matriks kekakuan terhadap sumbu lokal
Berdasarkan gambar 2, dapat dilihat suatu batang diberi gaya sejajar “ fi ” dan “ fj ”, yang akan
menghasilkan dua perpindahan yaitu “ di ” dan “ dj ” pada batang tersebut.
Dalam bentuk matriks ditulis sebagai: j i j i d d 1 1 1 1 L EA f f (10)
Sehingga matriks kekakuan terhadap sumbu lokal (Yerri Susatio, 2004) dapat didefenisikan sebagai:
f k d (11) dengan f = gaya yang diberikan, k = matriks kekakuan lokal dan d = perpindahan (displacement).Matriks kekakuan terhadap sumbu global
Matriks transformasi perpindahan
Gambar 3. Transformasi perpindahan dari lokal ke global Dari gambar 3 didapat persamaan:
θ d sin
θ cos d d θ sin d θ cos d d jy jx j iy ix i (12)Dalam bentuk matriks persamaan (12) ditulis sebagai:
d d d d s c 0 0 0 0 s c d d jy jx iy ix j i (13)
Sehingga matriks transformasi perpindahan (Yerri Susatio, 2004) dapat didefenisikan sebagai:
'd T
d (14)
Matriks transformasi gaya
Gambar 4. Transformasi gaya dari lokal ke global
Lokal Global
Dari gambar 4 didapat persamaan:
θ f sin
θ cos f f θ sin f θ cos f f jy jx j iy ix i (15)Dalam bentuk matriks persamaan (15) ditulis sebagai:
f f f f s c 0 0 0 0 s c f f jy jx iy ix j i (16)
Sehingga matriks transformasi perpindahan (Yerri Susatio, 2004) dapat didefenisikan sebagai:
'f T
f (17)
Sehingga matriks kekakuan terhadap sumbu global (Yerri Susatio, 2004) dapat didefenisikan sebagai berikut:
(18)
dengan
K = matriks kekakuan global, E = modulus elastisitas, A = luas penampang dan L = panjang elemenGaya elemen
Gaya dapat didefenisikan sebagai Pσ .A, sehingga dapat diperoleh persamaan:
' d s c s c L EA P A . σ P (19)Program matlab
Fungsi (MatriksKekakuan.m) menghitung matriks kekakuan.
function y=MatriksKekakuan(E,A,L,theta) x=theta*pi/180; C=cos(x); S=sin(x); y=E*A/L*[C*C C*S -C*C -C*S; C*S S*S -C*S -S*S; -C*C -C*S C*C C*S; -C*S -S*S C*S S*S];
Fungsi (Assemble.m), menyatukan matriks kekakuan lokal ke matriks kekakuan global.
function y=Assemble(K,k,i,j) K(2*i-1,2*i-1)=K(2*i-1,2*i-1)+k(1,1); K(2*i-1,2*i)=K(2*i-1,2*i)+k(1,2); K(2*i-1,2*j-1)=K(2*i-1,2*j-1)+k(1,3); K(2*i-1,2*j)=K(2*i-1,2*j)+k(1,4); K(2*i,2*i-1)=K(2*i,2*i-1)+k(2,1); K(2*i,2*i)=K(2*i,2*i)+k(2,2); K(2*i,2*j-1)=K(2*i,2*j-1)+k(2,3); K(2*i,2*j)=K(2*i,2*j)+k(2,4); K(2*j-1,2*i-1)=K(2*j-1,2*i-1)+k(3,1); K(2*j-1,2*i)=K(2*j-1,2*i)+k(3,2); K(2*j-1,2*j-1)=K(2*j-1,2*j-1)+k(3,3); K(2*j-1,2*j)=K(2*j-1,2*j)+k(3,4); K(2*j,2*i-1)=K(2*j,2*i-1)+k(4,1); K(2*j,2*i)=K(2*j,2*i)+k(4,2); K(2*j,2*j-1)=K(2*j,2*j-1)+k(4,3); K(2*j,2*j)=K(2*j,2*j)+k(4,4); y=K;
Fungsi (GayaElemen.m), menentukan gaya di setiap elemen.
function y=GayaElemen(E,A,L,theta,d) x=theta*pi/180; C=cos(x); S=sin(x); y=E*A/L*[-C -S C S]*d;
2 2 2 2 2 2 2 2 s cs s cs cs c cs c s cs s cs cs c cs c L EA K4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Struktur rangka bidang I
Gambar 5. Bentuk struktur rangka bidang I
Analisa metode ritter
Seperti diketahui, dalam metode ritter menggunakan sistem keseimbangan titik potongan. Dari gambar 5, dapat direncanakan sistem potongan strukturnya seperti yang ditunjukkan pada gambar 6 sebagai berikut:
Gambar 6. Sistem potongan pada struktur rangka bidang I
Tabel 1. Hasil perhitungan gaya dengan metode ritter pada struktur rangka bidang I
Batang Gaya Batang (KN)
Tarik Tekan Nol
a – – 0 b 212,469 – – c – 55,997 – d – 140 – e 50 – – f 156,612 – – g – 140 –
Dengan menggunakan persamaan (1) sampai (9), dilakukan perencanaan dimensi di setiap elemen rangka yang dapat dilihat pada tabel 2 sebagai berikut:
Tabel 2. Luas penampang tiap batang pada struktur rangka bidang I
Batang Dimensi (Profil Siku) Luas penampang (mm2)
a - 0 b 80.80.10 1510 c 90.90.11 1870 d 110.110.12 2510 e 40.40.5 379 f 75.75.8 1150 g 110.110.12 2510
Analisa metode elemen hingga
Hasil penampang tiap elemen pada tabel 2 digunakan pada perhitungan gaya dengan metode elemen hingga, baik dengan menggunakan program matlab maupun microsoft excel. Dengan menggunakan persamaan (18) dan (19) serta program matlab, diperoleh hasil gaya batang yang dapat dilihat pada tabel 3 sebagai berikut:
Tabel 3. Hasil perhitungan gaya dengan metode elemen hingga menggunakan matlab dan microsoft excel pada struktur rangka bidang I
Batang
Gaya Batang dengan Metode Elemen Hingga (KN)
Matlab Ms. Excel
Tarik Tekan Nol Tarik Tekan Nol
a – – 0 – – 0 b 212,3898 – – 212,3898 – – c – 55,8920 – – 55,8920 – d – 139,6698 – – 139,6698 – e 50 – – 50 – – f 156,4977 – – 156,4977 – – g – 139,6698 – – 139,6698 –
Dari hasil perhitungan gaya dengan metode ritter, metode elemen hingga menggunakan matlab atau microsoft excel dan program SAP2000 v.14, diperoleh perbedaan persentase gaya pada setiap batang, antara lain sebagai berikut:
Tabel 4. Hasil persentase gaya di setiap batang pada struktur rangka bidang I
Batang
Persentase (%) Ritter – MEH (Matlab/
Ms.Excel) Ritter – SAP2000 v.14
MEH (Matlab/ Ms.Excel) – SAP2000 v.14 a 0 % 0 % 0 % b 0,0373 % 1,021 % 1,059 % c 0,188 % 2,940 % 3,120 % d 0,236 % 0,283 % 0,518 % e 0 % 1,525 % 1,525 % f 0,073 % 0,200 % 0,273 % g 0,236 % 0,151 % 0,387 % % Rata-rata 0,110 % 1,000 % 0,983 %
Struktur rangka bidang II
Gambar 7. Bentuk struktur rangka bidang II
Analisa metode ritter
Seperti diketahui, dalam metode ritter menggunakan sistem keseimbangan titik potongan. Dari gambar 7, dapat direncanakan sistem potongan strukturnya seperti yang ditunjukkan pada gambar 8 sebagai berikut:
Gambar 8. Sistem potongan pada struktur rangka bidang II
Tabel 5. Hasil perhitungan gaya dengan metode ritter pada struktur rangka bidang II
Batang Gaya Batang (KN)
Tarik Tekan a = d – 90 b = c – 120 e = k 127,208 – f = j – 90 g = i 42,403 – h – 60 l = m 90 –
Dengan menggunakan persamaan (1) sampai (9), dilakukan perencanaan dimensi di setiap elemen rangka yang dapat dilihat pada tabel 6 sebagai berikut:
Tabel 6. Luas penampang tiap batang pada struktur rangka bidang II
Batang Dimensi (Profil Siku) Luas penampang (mm2)
a = d 100.100.10 1920 b = c 110.110.10 2120 e = k 80.80.8 1230 f = j 100.100.10 1920 g = i 80.80.8 1230 h 80.80.12 1870 l = m 60.60.6 691
Analisa metode elemen hingga
Hasil penampang tiap elemen pada tabel 6 digunakan pada perhitungan gaya dengan metode elemen hingga, baik dengan menggunakan program matlab maupun microsoft excel. Dengan menggunakan persamaan (18) dan (19) serta program matlab, diperoleh hasil gaya batang yang dapat dilihat pada tabel 7 sebagai berikut:
Tabel 7. Hasil perhitungan gaya dengan metode elemen hingga menggunakan matlab dan microsoft excel pada struktur rangka bidang II
Batang
Gaya Batang dengan Metode Elemen Hingga (KN)
Matlab Ms. Excel
Tarik Tekan Tarik Tekan
a = d – 90 – 90 b = c – 120 – 120 e = k 127,0792 – 127,0792 – f = j – 90 – 90 g = i 42,2264 – 42,2264 – h – 60 – 60 l = m 90 – 90 –
Dari hasil perhitungan gaya dengan metode ritter, metode elemen hingga menggunakan matlab atau microsoft excel dan program SAP2000 v.14, diperoleh perbedaan persentase gaya pada setiap batang, antara lain sebagai berikut:
Tabel 8. Hasil persentase gaya di setiap batang pada struktur rangka bidang II
Batang
Persentase (%) Ritter – MEH (Matlab/
Ms.Excel) Ritter – SAP2000 v.14
MEH (Matlab/ Ms.Excel) – SAP2000 v.14 a 0 % 2,596 % 2,596 % b 0 % 2,579 % 2,579 % c 0 % 2,579 % 2,579 % d 0 % 2,596 % 2,596 % e 0,18 % 2,761 % 2,860 % f 0 % 1,896 % 1,896 % g 0,416 % 2,694 % 3,099 % h 0 % 1,106 % 1,106 % i 0,416 % 2,694 % 3,099 % j 0 % 1,896 % 1,896 % k 0,18 % 2,761 % 2,860 % l 0 % 2,688 % 2,688 % m 0 % 2,688 % 2,688 % % Rata-rata 0,092 % 2,426 % 2,503 %
5. KESIMPULAN
Dari hasil perhitungan pada struktur rangka bidang I, diperoleh perbedaan rata-rata persentase gaya antara metode ritter, metode elemen hingga dan program SAP2000
1,000 %. Pada struktur rangka bidang II, diperoleh perbedaan rata-rata persentase gaya antara metode ritter, metode elemen hingga dan program SAP2000
2,503 %. Dengan demikian, perhitungan metode ritter dan metode elemen hingga dapat dinyatakan relevan.6. SARAN
Dalam proses analisanya, pada struktur rangka yang memiliki geometris yang kompleks, sebaiknya menggunakan metode elemen hingga karena dapat dibantu dengan menggunakan program, sehingga memiliki tingkat akurasi yang lebih baik. Sebaliknya, pada struktur rangka yang sederhana, sebaiknya menggunakan metode ritter karena proses pengerjaannya relatif singkat.
DAFTAR PUSTAKA
Ariestadi, Dian. (2008). Teknik Struktur Bangunan. Jilid 2. Jakarta.
Departemen Pekerjaan Umum. (2002). Tata Cara Perencanaan Struktur Baja Untuk Bangunan Gedung. SNI 03-1729-2002, Jakarta.
Katili, I. (2008). Metode Elemen Hingga untuk Skeletal. PT. Raja Grafindo Persada, Jakarta. Kattan, P. I. (2002). Matlab Guide to Finite Elements An Interactive Aprproach. Springer, Berlin. Schodek, Daniel L. (1998). Struktur. PT. Refika Aditama, Bandung.
Setiawan, Agus. (2008). Perencanaan Struktur Baja dengan Metode LRFD. Erlangga, Semarang. Susatio, Yerri, Ir. MT, (2004). Dasar-Dasar Metode Elemen Hingga. Andi, Yogyakarta.
Weaver, William Jr. and Paul R. Johnston, (1989). Elemen Hingga untuk Analisis Struktur. PT. Eresco Bandung, Bandung.
