MAKALAH SEMINAR PENDIDIKAN MATEMATIKA PENARIKAN AKAR PANGKAT TIGA DARI BILANGAN BULAT DENGAN HASIL HAMPIRAN

(1)

MAKALAH SEMINAR PENDIDIKAN MATEMATIKA

PENARIKAN AKAR PANGKAT TIGA DARI BILANGAN BULAT

DENGAN HASIL HAMPIRAN

OLEH

LUKMANUDIN

D07.090.135

PROGRAM STUDY PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MATHLA’UL ANWAR

BANTEN

(2)

HALAMAN JUDUL DAN PENGESAHAN

Judul : Penarikan Akar Pangkat Tiga Bilangan Bulat Dengan Hasil

Hampiran

Nama : Lukmanudin

NIM : D07.090.135

Diajukan pada mata kuliah : Seminar Pendidikan Matematika

Telah di setujui oleh :

MOH. ISTO, M.Pd NIP:

(3)

KATA PENGANTAR

Alhamdulilah, segala puji bagi Allah SWT karena dengan rahmat, hidayah serta inayah-Nya. Penyusun dapat menyelesaikan makalah seminar pendidikan matematika yang berjudul “Penarikan Akar Pangkat Tiga Penarikan Akar Pangkat Tiga Bilangan Bulat Dengan Hasil Hampiran” dengan baik.

Makalah disusun oleh penyusun untuk memenuhi tugas mata kuliah seminar pendidikan matematika.

Penyusun menyadari bahwa penyusunan makalah ini tidak lepas dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis ingin menyatakan terima kasih kepada

1. bapak Moh Isto,M.Pd selaku dosen mata kuliah seminar pendidikan matematika yang telah memberi bimbingan dan arahan selama proses penyusunan.

2. Keluarga dan teman-teman khususnya mahasiswa FKIP program study pendidikan matematika yang memberikan semangat dan bantuan kepada penulis.

Penulis menyadari, bahwa makalah ini masih terdapat banyak kekurangan karena keterbatasan kemampuan penulis dalam penyusunannya. Oleh karena itu kritik sebagai perbaikan sangat penulis harapkan. Semoga makalah ini bermanfaat bagi para pembaca.

Malingping, ..Desember 2012

(4)

DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR PENGESAHAN ...……….... i

KATA PENGANTAR...………..…. ii

DAFTAR ISI …...………... iii

BAB 1 PENDAHULUAN A. Latar Belakang ………...……… 1 B. Maksud Tujuan ... 1 C. Rumusan Masalah... 2 D. Tujuan Penulisan... 2 E. Manfaat Penulisan... 2 BAB 2 PEMBAHASAN A. Kajian Teori ...……….………... 3 1. Definisi... 3 2. Materi Pendukung ... 4

B. Penarikan Akar Pangkat Tiga Sempurna ... .. 5

C. Penarikan Akar Pangkat Tiga Sembarang Dengan Hasil Hampiran. 7 BAB 3 PENUTUP A. Kesimpulan ...………... 10

B. Saran …...………... 10

(5)

BAB 1

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Matematika memiliki peranan penting dalam kehidupan sehari-hari maupun di bidang pendidikan formal, oleh karena itu matematika sebaiknya di ajarkan sejak mereka mulai mengenal angka atau pada tingkat SD agar matematika itu sendiri tidak di anggap sebagai pelajaran yang sulit, membosankan, tidak menarik bahkan menakutkan. Untuk itu banyak orang yang terus berusaha mencari cara cepat dalam penyelesaian masalah matematika agar dapat lebih mudah dipahami serta menyenangkan.

Salah satu bidang dalam matematika adalah aljabar yang telah dikenal sejak berabad-abad yang lalu, pelajaran matematika pada siswa SD yang berkenaan dengan aljabar adalah “ akar pangkat “. Akar pangkat terdiri dari akar pangkat dua, akar pangkat tiga dan seterusnya. Akar pangkat tiga merupakan kebalikan dari pemangkatan tiga. Beberapa cara mencari akar pangkat tiga di antaranya dengan menggunakan metode coba-coba, pohon faktor (mencari faktorisasi primanya), logaritma, atau menggunakan kalkulator. Yang akan dibahas pada makalah ini adalah menentukan cara cepat menghitung hasil dari akar pangkat tiga tanpa memerlukan waktu yang lama ataupun menggunakan kalkulator khususnya akar pangkat 3 sempurna yaitu dengan menggunakan pola atau dengan angka satuan setelah di pengkat tiga, agar terlihat lebih mudah, dan menyenangkan sehingga dapat dipahami oleh siswa SD, SMP, SMA, maupun kita sebagai calon pendidik ataupun pendidik.

Kedua menarik akar pangkat tiga dari angka sembarang, pada pembahasan ini menggunakan deret binomial dengan hasil hampiran yang mendekati nilai akar pangkat tiga menggunakan kalkulator.

B.

Batasan Masalah

Agar pembahasan tidak meluas, maka penuis membatasi masalah hanya pada penarikan akar pangkat tiga.

(6)

C. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang diatas maka rumusan masalah dalam makalah ini adalah “penarikan akar pangkat tiga dari bilangan bulat dengan hasil hampiran. Menggunakan aplikasi deret binomial.

D. Tujuan Penulisan

Adapun tujuan penulisan. Selain tugas mata kuliah seminar pendidikan matematika juga untuk mengetahui cara cepat penarikan akar pangkat tiga sempurna dan bilangan sembarang.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan makalah ini adalah:

1. Bagi guru dan mahasiswa untuk menambah pengetahuan dan wawasan mengenai penarikan akar pangkat tiga.

(7)

BAB 2

PEMBAHASAN

A. Kajian teori

1. Definisi

Bentuk akar bagian dari bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan irasional didefinisikan sebagai bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan dengan a , b ∈ B dan b ≠ 0. Sedangkan bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan dengan a , b, ∈B dan b ≠ 0.

Perlu diketahui bahwa bilangan irasional umumnya terdapat pada bilangan bentuk akar, tetapi tidak semua bentuk akar merupakan bilangan irasional.

Dalam bilangan bentuk akar (radikal), ada 3 bagian yang perlu diketahui, yaitu:

lambang bentuk akar, radikan, dan indeks. Secara umum, bentuk akar ditulis dalam bentuk:

( dibaca "akar pangkat n dari a") dengan:

disebut bentuk akar (radikal), disebut lambang bentuk akar, n disebut indeks (pangkat akar),

a disebut radikan (bilangan di bawah tanda akar), dengan a bilangan riil positif untuk n bilangan asli dan untuk n bilangan ganjil, a dapat berupa bilangan riil negatif.

Bentuk akar terbagi atas 2 jenis: i. Akar Senama

Suatu bentuk akar dikatakan akar senama jika indeks (pangkat akar) nya sama.

Contoh1:

mempunyai indeks 2. mempunyai indeks 3.

(8)

ii. Akar sejenis

Suatu bentuk akar dikatakan akar sejenis jika indeks dan radikannya sama.

Contoh 2:

2 5 mempunyai indeks 3, radikannya 2.

2. Materi Pendudukung a. Turunan

i. Teorema D Aturan pangkat

Jika f (x) = xn, dengan n bilangan real , maka f’(x) = nxn, yakni:

ii. Teorema L Aturan Rantai

Misalkan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposit y =

f(g(x)) = (f g)(x). jika g terdeferensialkan di x dan f terdeferensialkan di u = g(x), maka f g terdeferensialkan di x dan



f g

  

' x  f'



g

 

x

  

g' x yakni: dx du du dy dx dy . 

iii. Teorema K Turunan Tingkant Tinggi

Turunan Penulisan f’ Penulisan D Penulisan Leibniz Pertama f’(x) Dxy dx dy Kedua f’’(x) D_x2y 2 2 dx y d Ketiga f’’’(x) D_x3y 3 3 dx y d Ke-n f n(x) D_xny n n dx y d

b. Deret Taylor dan Maclaurin Teorema C (Deret Binomial)

(9)











! ) 1 ...( 3 2 ) 1 ( ... 3 2 1 1 1 2 3 k k p p p p p k p dengan x p x p x p x p                                    Bukti parsial Andaikan f(x) =



1x



p kemudian





 

) 2 )( 1 ( ) 0 ( ' ) 1 )( 2 )( 1 ( ) ( '' ' ) 1 ( ) 0 ( ' ) 1 )( 1 ( ) ( '' ) 0 ( ' ) 1 ( ' 1 ) 0 ( 1 ) ( 3 2 1                          p p p f x p p p x f p p f x p p x f p f x p x f f x x f p p p p Misalkan

Tuliskan deret dari dengan maka di peroleh dari teorema C





.. ! 3 3 5 3 2 3 1 ! 2 3 2 3 1 3 1 1 1 3 2 3 1                                    x x x x





... 81 5 9 1 3 1 1 1 3 2 3 1      x x x x

B. Penarikan Akar Pangkat Tiga Sempurna

Bentuk akar pangkat tiga adalah kebalikan dari pagkat tiga

Contoh 3 :

Perhatikan perpangkatan tiga berikut.

33 = 3 × 3 × 3 = 27 dan 53 = 5 x 5 x 5 = 125 43 = 4 × 4 × 4 = 64 63 = 6 x 6 x 6 = 216 Akar pangkat tiga merupakan kebalikan dari pangkat tiga.

3

27= 3 karena 33 = 27

3

64= 4 karena 43 = 64

Untuk menarik akar pangkat tiga dengan dengan dua digit mungkin mudah, tapi untuk tiga, empat atau lebih akan sedikit susah.

Contoh 4

(10)

Untuk menjawab soal tersebut volume kubus S3 untuk menghitung panjang sisinya kita harus diakarkan pangkat 3

Untuk memudahkan penarikan akar pangkat tiga pada contoh diatas pertama kita buat pola dulu, pola pertama dari bilangan 1 – 9 dengan ambil angka terakhir dan pola kedua dari kelipatan bilangan 10

Tabel 1 pola 1 – 9 N N3 Angka Akhir 1 1 x 1 x 1 = 1 1 2 2 x 2 x 2 = 8 8 3 3 x 3 x 3 = 27 7 4 4 x 4 x 4 = 64 4 5 5 x 5 x 5 = 125 5 6 6 x 6 x 6 = 216 6 7 7 x 7 x 7 = 343 3 8 8 x 8 x 8 = 542 2 9 9 x 9 x 9 = 729 9

Tabel 2 Pola kelipatan 10

N N3 Angka Akhir 10 1.000 1 20 8.000 8 30 27.000 7 40 64.000 4 50 125.000 5 60 216.000 6 70 343.000 3 80 542.000 2 90 729.000 9 100 1.000.000 0

Penyelesaian soal diatas

 Perhatikan pola bilangan kubik, 39.304 terletak diantara 27.000 dan 64.000, sehingga hasil dari terletak antara 30 dan 40 dan dapat dituliskan menjadi = 30 + n < 40 , dengan 0 < n < 40 , n ϵ B .

(11)

 Karena satuan dari bilangan yang ditarik akarnya adalah 4, jadi nilai n = 4  30 + 4 = 34

 Jadi panjang sisi kubus adalah 34 cm

Contoh 2: ..??

 Karena satuan dari bilangan yang ditarik akarnya adalah 8, 8 = 2 3

jadi nilai n =

= 2

 Didapat = 10+ n = 10+ 2 = 12

Contoh 3: ..??

 Karena satuan dari bilangan yang ditarik akarnya adalah 6, nilai n = 6  Didapat = 50 + n = 50 + 6 = 56

C.

Penarikan Akar Pangkat Tiga Sembarang Dengan Hasil

Hampiran.

Penarikan akar pangkat tiga sembarang dengan hasil angka hampiran, didalam makalah seminar ini aplikasi Deret Taylor dan Maclaurin pada teorema C (deret binomial)

Cara deret binomial

Untuk tiap bilangan riil p dan -1 < x < 1











! ) 1 ...( 3 2 ) 1 ( ... 3 2 1 1 1 2 3 k k p p p p p k p dengan x p x p x p x p                                   

(12)

Maka formula untuk akar pangkat tiga adalah :

 

2 3 3 1

81

5

9

1

3

1

1 

x





x



x



x

Contoh 4

Dengan menggunakan deret binomial hitunglah Penyelesaian

Kita dapat menulis menjadi Atau 3 1 8 6 1 . 2     

  dengan memasukan x = atau – 0,75 pada Formula diatas diperoleh



 













0,421875



81 5 5625 . 0 9 1 25 , 0 1 75 , 0 81 5 75 , 0 9 1 75 . 0 3 1 1 8 6 1 3 2 3 1                   66145333 , 0 02604667 , 0 0625 , 0 75 , 0     3 1 8 6 1 . 2        = 2 x (0,66145333) = 1,32291667 Maka = 1,32291667

Dengan menggunakan kalkulator = 1,25992105 Dengan selisih 0,06299559

Contoh 5

Penyelesaian

Dapat ditulis menjadi maka x = - 0,5





3 1 5 , 0 1 .

(13)







 



2





3 3 2 3 1 5 , 0 81 5 5 , 0 9 1 5 , 0 3 1 1 81 1 9 1 3 1 1 5 , 0 1             x x x 10.1666670,0277780,007716 = 0,797836 = 2 x 0,797836 = 1,595672 Maka = 1,595672

(14)

BAB 3

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan dapat dikemukan kesimpulan sebagai berikut: 1. Teorema D Aturan pangkat

Jika f (x) = xn, dengan n bilangan real , maka f’(x) = nxn, yakni:

2. Teorema L Aturan Rantai

Misalkan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposit y = f(g(x)) = (f g)(x). jika g terdeferensialkan di x dan f terdeferensialkan di u = g(x), maka f g terdeferensialkan di x dan



f g

  

' x  f'



g

 

x

  

g' x yakni:

dx du du dy dx dy . 

3. Teorema C (Deret Binomial)

Untuk tiap bilangan real p dan |x| < 1 berlaku











! ) 1 ...( 3 2 ) 1 ( ... 3 2 1 1 1 2 3 k k p p p p p k p dengan x p x p x p x p                                   

B. Saran

Dengan melihat kesimpulan diatas, kepada pengajar matematika baik disekolah maupun perguruan tinggi hendaklah dalam pembelajaran dapat memberikan wawasan yang lebih luas kepada siswa/mahasiswa, berkaitan dengan pembelajaran deret binomial.

(15)

DAFTAR PUSTAKA

Purwanto, Heri dkk.2005. Kalkulus 1. Jakarta: PT Ercontara Rajawali

Setyaningsing, Sri dkk.2005. Matematika Dasar 2. Bogor: Pusat Komputasi. J Purcell Edwin. Kalkulus dan geometri analitus jilid 2. Jakarta: Erlangga http://asimtot.wordpress.com/2011/07/20/menghitung-akar-tanpa-kalkulator-menggunakan-rumus/ (tanggal akses 2 desember 2012 pukul 20.00)

http://chelseawijaya20.blogspot.com/2012/06/mencari-dan-menentukan-akan-pangkat.html (tanggal akses 2 desember 2012 pukul 20.20)