KEMAMPUAN MAHASISWA DALAM MENYELESAIKAN
MASALAH AKAR PERSAMAAN TAK LINEARPADA MATA
KULIAH METODE NUMERIK DI PROGRAM STUDI PENDIDIKAN
MATEMATIKA
Reni Wahyuni
Program Studi Pendidikan Matematika
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Islam Riau Jl. Kaharuddin Nasution 113 Perhentian Marpoyan Pekanbaru-Riau
email: reniwahyunifkipmat@edu.uir.ac.id
Abstrak
Tujuan dari penelitian adalah untuk mendeskripsikan kemampuan mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UIR dalam menyelesaikan permasalahan akar persamaan tak linier pada mata kuliah metode numerik di semester lima. Metode yang diberikan adalah deskriptif kualitatif yang berupa memberikan deskripsi tentang kemampuan mahasiswa dalam menyelesaikan permasalahan akar persamaan tak linier. Penelitian ini mengambil subjek penelitian sebanyak 70 orang dengan dengan data berupa hasil tes penyelesaian akar persamaan tak linier. Kemudian mahasiswa tersebut dipilih berdasarkan kemampuannya dan diambil tiga mahasiswa untuk diwawancarakan tentang penyelesaian yang diberikannya. Dari hasil dan pembahasan yang diberikan, ternyata kemampuan mahasiswa berbeda-beda dari tiap indikator permasalahan yang diberikan. Bagi mahasiswa yang berkemampuan tinggi sebagaian besar mampu menyelesaikan dengan baik. Namun hal ini tidak berarti yang berkemampuan tinggi selalu benar. Masih terdapat beberapa orang yang juga tidak mampu menyelesaikannya. Sedangkan mahasiswa yang berkemampuan sedang dan rendah menunjukkan bahwa ada indikator pembelajaran yang mampu menunjukkan bahwa mahasiswa berkemampuan rendah lebih mampu menyelesaikan permasalahan lebih banyak daripada mahasiswa berkemampuan sedang. Hal ini memberikan penjelasan bahwa kemampuan tinggi, sedang dan rendah tidak dapat memberikan arti bahwa mahasiswa tersebut mampu menyelesaikan dengan baik atau tidak. Jika konsep dasar dari penyelesaian akar persamaan tak linier tidak dapat dipahami dengan baik.
Kata kunci: Metode Numerik, Akar Persamaan tak Linier, Kemampuan Mahasiswa
PENDAHULUAN
Metode numerik merupakan salah satu mata kuliah wajib pada Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Univesitas Islam Riau (Prodi Pend. Mat FKIP UIR). Mata kuliah ini muncul pada semester 5 untuk mahasiswa angkatan 2013 dan sesudahnya sedangkan sebelumnya mata kuliah ini muncul pada semester 6 untuk angkatan 2012 dan sebelumnya. Untuk bisa mengikuti dan memahami mata kuliah metode numerik maka mahasiswa harus sudah menempuh Kalkulus 1 dan 2, Aljabar Linier, dan Komputer dan Pemograman. Hal ini disebabkan dalam metode numerik menerapkan konsep turunan, integral, operasi matrik dan perhitungan yang memerlukan iterasi. Dalam mempelajari metode numerik tidak hanya memerlukan pemahamanan berupa hafalan rumus namun juga pendefinisian dan algoritmatik penyelesaian permasalahan..
Selanjutnya secara definisi, metode numerik merupakan suatu teknik yang digunakan dalam merumuskan permasalahan matematika agar dapat diselesaikan dengan operasi hitung tambah, kurang, kali dan bagi (Murni, 2006). Metode numerik mampu menangani permasalahan
Salah satu topik bahasan dalam metode numerik yang diberikan dalam perkuliahan adalah akar persamaan tak linear. Pembelajaran metode numerik dengan materi akar persamaan tak linear merupakan bab kedua pada perkuliahan metode numerik. Materi ini berhubungan dengan pembelajaran tentang fungsi, persamaan, menggambar grafik dan algoritma perhitungan yang tepat dan teliti untuk substitusi nilai x yang diberikan.
Secara definisi penyelesaian persamaan tak linier adalah penentuan akar-akar persamaan tak linier. Penentuan akar sebuah persamaan f(x) = 0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Dengan maksud lainnya bahwa akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dengan sumbu x. Persamaan f(x) dapat dibentuk dari persamaan aljabar, persamaan transenden dan persamaan campuran. Dari persamaan-persamaan tersebut dapat ditentukan kemudian akar penyelesaiannya.
Penyelesaian permasalahan pada topik akar persamaan tak linier dapat diselesaikan secara eksplisit. Misalkan pada kasus-kasus yang sangat sederhana yaitu f(x) = x 2 + sin x = 0 atau f(x) = x 2
+ ln x = 0. Penyelesaian yang dapat dilakukan dari akar persamaan tak linier adalah salah satunya metode tebulasi. Penyelesaian dengan tabulasi, merupakan penyelesaian sederhana dengan diketahui tebakan awal dari persamaan tak linier, kemudian dari selang tebakan awal tersebut dapat
dibagi beberapa bagian sehingga jika terdapat perbedaan hasil fungsi dari nilai x1 maka pada titik
tersebutlah terdapat akar persamaan tak liniernya. Selanjutnya penyelesaian yang dapat digunakan adalah metode grafik. Metode grafik dapat digunakan dengan dua cara yaitu cara grafik tunggal atau grafik ganda. Konsep pembuatan grafik sama dengan pembelajaran geometri. Namun nilai yang dilihat merupakan titik potong dari fungsi dengan sumbu x. Cara lainnya dapat juga menggunakan metode iterasi dengan penggunaan algoritma yang tepat.
Pembelajaran metode numerik merupakan keilmuan matematika terapan. Pada mata kuliah ini penerapan kalkulasi yang cepat dan tepat sangat diperlukan. Namun bagi mahasiswa Pendidikan Matematika, mata kuliah dianggap cukup sulit dalam penyelesaiannya. Dalam menyeleaikan permasalahan metode numerik diperlukan kecermatan. Seperti contohnya pada permasalahan akar persamaaan tak linier, mahasiswa seharusnya sudah mampu membuat grafik dan tabel nilai-nilai x yang diberikan sehingga dari nilai tersebut terdapatlah akar persamaan tak liniernya. Namun kemampuan tersebut belum nampak baik dalam hasil penyelesaian mahasiswa.
Salah satu data pendukung dari permasalahan tersebut, terlihat dari hasil belajar mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika pada Tahun Akademik 2015/2016. Setelah ditinjau, masih terdapat hasil belajar yang belum memuaskan. Hal ini terbukti dengan komposisi hasil belajar bahwa mahasiswa yang mendapatkan nilai A sebanyak 33,33%, nilai B sebanyak 31,18%, nilai C sebanyak 25,81 % dan nilai D sebanyak 8,60 %. Persentase yang diberikan mahasiswa tersebut menunjukkan bahwa masih terdapat lemahnya kemampuan mahasiswa dalam menyelesaikan
persoalan perkuliahan metode numerik. Selanjutnya berdasarkan pengalaman peneliti sebagai pengampu mata kuliah metode
numerik. Pokok bahasan akar persamaan tak linear merupakan salah satu pokok bahasan penting dalam penerapan metode numerik. Materi pada persamaan tak linear memunculkan berbagai disiplin ilmu. Sehingga materi ini memberikan sumbangan dalam penerapan ilmu matematika bagi mahasiswa program studi pendidikan matematika.
Untuk lebih mendalami persoalan yang dialami mahasiswa, peneliti melakukan identifikasi lebih mendalam kepada mahasiswa tentang permasalahan yang dialaminya. Penelusuran pada permasalahan mahasiswa ini, dipilihlah materi akar persamaan tak linier dalam mengidentifikasi permasalahan masalah dalam menyelesaikan persoalan mata kuliah metode numeric. Selanjutnya rumusan masalah dalam makalah ini adalah bagaimana kemampuan mahasiswa dalam menyelesaikan permasalahan materi akar persamaan tak linier pada mata kuliah metode numerik pada mahasiswa program studi pendidikan matematika FKIP UIR semester lima tahun akademik 2016/2017.
KAJIAN PUSTAKA
Pembelajaran pada Akar Persamaan tak Linier
Pembelajaran merupakan upaya untuk membelajarkan mahasiswa untuk ilmu yang diperolehnya. Untuk mendapatkan hasil pembelajaran Metode Numerik pada materi akar persamaan tak linier maka diperlukan kemampuan berpikir dan bernalar serta adanya suatu pembelajaran yang bermutu. Dalam suatu pembelajaran terkandunglah suatu makna dengan adanya sebuah kegiatan dalam memiliki dan pengembangan suatu metode, strategi, teknik atau pendekatan dalam mencapai hasil pembelajaran yang diharapkan.
Pembelajaran pada akar persamaan tak linier diawali dengan kemampuan mahasiswa memahami persamaan dari suatu fungsi. Dimana untuk menyelesaikan akar persamaan suatu fungsi maka terlebih dahulu diketahui titik-titik potong kurva f(x) dengan sumbu x.
Penyelesaian persamaan linier mx+c = 0 dimana m dan c adalah konstanta, dapat dihitung dengan
mx + c = 0 sehingga untuk menentukan x =
Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 +bx +c = 0 dapat dihitung dengan menggunakan
rumus ABC
Beberapa persamaan polynomial yang sederhana dapat diselesaikan dengan terorema sisa. Sehingga tidak memerlukan metode numerik dalam penyelesaiannya, karena metode analitik dapat
dilakukan. Tetapi bagaimana menyelesaikan persamaan berupa . Permasalahan ini
cukup sederhana jika dilihat, namun untuk menyelesaikan persamaan tak linier merupakan metode pencarian akar secara berulang-ulang.
Untuk menyelesaikan persamaan tak linier dapat dilakukan dengan menggunakan metode tabulasi. Dimana untuk x = [a,b] atau x diantara a dan b dibagi sebanyak N bagian dan pada masing-masing bagian dihitung nilai f(x) sehingga diperoleh tabel tabulasinya.
Selain dengan menggunakan tabel tabulasi, penyelesaian persamaan tak linier dapat dilakukan dengan bentuk grafik. Cara grafik ini dibagi atas dua macam yaitu grafik tunggal dan grafik ganda. Untuk memahami cara grafik ini, mahasiswa terlebih dahulu telah memahami pembuatan grafik pada mata kuliah geometri.
Metode tabulasi dan grafik secara umum dapat digunakan dalam menyelesaikan persamaan tak linier. Namun untuk mendapatkan penyelesaian error yang kecil, metode ini tidak dapat digunakan dalam penyelesaian persamaan tak linier. Metode yang memungkinkan error yang kecil dapat menggunakan metode iterasi atau penyelesaian berulang-ulang yaitu dengan menggunakan algoritma yang menggunakan bahasa pemograman.
METODE PENELITIAN
Penelitian ini berupa penelitian dengan metode deskriptif kualitatif. Menurut Sanjaya (2013, 47) penelitian dengan deskriptif kualitatif merupakan metode penelitian yang bertujuan untuk menggambarkan secara utuh dan mendalam tentang realitias sosial dan berbagai fenomena yang terjadi di masyarakat yang menjadi subjek penelitian sehingga tergambarkan ciri, karakter, sifat dan model dari fenomena tersebut. Dengan demikian pelaksanaan penelitian dengan menggunakan metode deskriptif kualitatif dapat menggali secara mendalam tentang permasalahan
Pada makalah ini diberikan suatu tujuan penelitian berupa upaya dalam mengungkapkan cara/proses berpikir mahasiswa pendidikan matematika dalam menyelesaikan permasalahan topik akar persamaan tak linear sesuai kemampuannya. Mahasiswa diberikan permasalahan akar persamaan tak linear kemudian mahasiswa menyelesaikan berdasarkan metode-metode yang telah diberikan pada pembelajaran. Dalam penelitian ini dikaji dulu tentang seberapa banyak mahasiswa yang melakukan penyelesaian dalam bentuk penyelesaian berupa metode tabulasi, metode grafik dan metode iterasi. Penelitian ini hanya melakukan analisis berupa deskripsi kemampuan mahasiswa dalam menyelesaikan permasalahan akar persamaan tak linear.
Subjek penelitian dalam penelitian ini adalah mahasiswa Pendidikan Matematika FKIP UIR pada semester lima tahun ajaran akademik 2016/2017 sebanyak 70 orang. Keadaan kemampuan mahasiswa tersebut beragam atau heterogen. Hasil kerja mahasiswa tersebut dianalisis kemudian dideskripsikan dan selanjutnya diwawancara 3 orang mahasiswa dengan tujuan memperdalam permasalahan yang dilakukan mahasiswa.
Disesuaikan dengan metode yang digunakan maka jenis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data kualitatif. Data kualitatif yang diperoleh melalui kegiatan wawancara dan data berupa hasil kerja mahasiswa berupa tes. Sedangkan sumber data dalam penelitian ini adalah mengelompokkan cara/proses penyelesaian mahasiswa sesuai dengan tingkat kemampuannya sedemikian sehingga dapat dibuat suatu analisis kemampuan penyelesaian mahasiswa pada materi akar persamaan tak linear.
Pada tahap selanjutnya peneliti memilih tiga orang mahasiswa yaitu satu orang kelompok atas, satu orang kelompok menengah dan satu orang kelompok bawah. Wawancara yang dilakukan adalah membahas tentang lembar jawaban yang telah diselesaikannya dan memberikan pertanyaan tentang konsep materi yang belum dipahami sehingga mahasiswa melakukan kesalahan dalam penyelesaiannya. Hal ini dimaksudkan untuk meninjau lebih dalam permasalahan dan memberikan saran dalam hasil penelitian ini.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Data yang dideskripsikan pada bagian ini adalah hasil tes yang dicapai mahasiswa dengan didasarkan dari kemampuang yang dimilikinya. Permasalahan akar persamaan tak linier diberikan sebanyak tiga soal kepada mahasiswa. Dari tiga soal yang diberikan merupakan indikator pembelajaran yaitu: (1) mahasiswa mampu menyelesaikan masalah akar persamaan tak linier dengan menggunakan grafik; (2) mahasiswa mampu menyelesaikan masalah akar persamaan tak linier pada persamaan polinom; (3) mahasiswa mampu menyelesaikan masalah akar persamaan tak linier dengan menggunakan metode iterasi yaitu metode bagi dua atau metode posisi palsu atau metode newton raphson. Ketiga indikator tersebut kemudian dibuatlah soal berupa tes yang diujikan kepada mahasiswa yang mempunyai beragam kemampuan.
Dengan subjek penelitian sebanyak 70 orang, terhitung bahwa mahasiswa yang mempunyai kemampuan tinggi sebanyak 24 orang, kemampuan sedang sebanyak 17 orang dan kemampuan rendah sebanyak 30 orang. Setiap soal yang diberikan kepada mahasiswa selanjutnya akan dianalisis penyelesaiannya dan dikelompokkan sesuai kemampuannya. Hal ini dapat dilihat dari Grafik 1 berikut ini.
Gambar Grafik 1. Pembagian Kemampuan mahasiswa Pendidikan Matematika FKIP UIR
Penyelesaian masalah akar persamaan tak linier dengan indikator kemampuan mahasiswa dalam penyelesaian dengan metode grafik menunjukkan bahwa bagi mahasiswa yang mempunyai kemampuan tinggi, menyelesaikan dengan metode grafik masih mengalami kesulitan. Ada 9 mahasiswa yang belum mampu menyelesaikan dengan metode grafik. Sedangkan 15 mahasiswa lainnya mampu menyelesaikan permasalahan akar persamaan tak linier. Untuk mahasiswa yang kemampuan sedang dan rendah ternyata dalam menyelesaikan masalah no 1 adalah sebanyak 1 mahasiswa saja. Ternyata untuk indikator dengan menggunakan metode grafik, mahasiswa dengan kemampuan ini ternyata cukup sulit baginya. Hasil dari penyelesaian mahasiswa memberikan refleksi bahwa penggunaan grafik tidak mudah.
Gambar Grafik 2. Banyak Mahasiswa yang Mampu Menyelesaikan Soal no 1 Grafik 2 menunjukan banyaknya mahasiswa yang mampu menyelesaikan soal no 1 berdasarkan kemampuannya. Untuk kemampuan tinggi masih lebih banyak dari mahasiswa kemampuan sedang dan rendah. Namun bukan berarti bagi mahasiswa yang kemampuan tinggi akan mampu menjawab soal no 1. Kenyaataan dari hasilnya malahan mahasiswa kemampuan tinggi masih terdapat kesulitan menyelesaikannya.
Penyebab ketidakmampuan mahasiswa dalam menyelesaikan masalah ini adalah mahasiswa hanya mampu membuat satu grafik berupa fungsi ekponensial. Namun untuk fungsi trigonometri, kebanyakan mahasiswa tidak mampu membuatnya. Saat ditanyakan langsung kepada mahasiswa,
jawaban yang diberikan mahasiswa adalah kebingungan dalam menetapkan nilai dalam bidang
Selanjutnya permasalahan akar persamaan tak linier pada indikator kedua, berdasarkan hasil yang diperoleh yaitu mahasiswa yang berkemampuan tinggi, sedang, dan rendah tidak mampu menyelesaikan akar persamaan linier pada persamaan polinom. Ketidakmampuan ini ditunjukkan dari banyak mahasiswa yang menyelesaikannya sebanyak 9 mahasiswa dari 70 mahasiswa. Hal ini memberikan refleksi kepada peneliti bahwa mahasiswa masih belum memahami dari penentuan akar persamaan tak linier polinom. Ditinjau dari penyelesaian diberikan mahasiswa, ternyata mahasiswa ini tidak mampu dalam membentuk fungsi berupa nilai x dan –x. Mengapa demikian hal dipertanyakan. Hal ini disebabkan mahasiswa masih keliru memsubstitusikan – x ke dalam f(x). Contoh dalam permasalahan ini adalah bagaimana fungsi f(x)
diubah ke bentuk f(-x). Kebanyakan mahasiswa masih keliru saat memsubstitusikan (-x) ke dalam
x3 dan 2x sehingga yang ditulis mahasiswa adalah
.
Padahalpenyelesaiannya adalah .
Pada Grafik 3 masih memberikan gambaran tentang banyaknya siswa menyelesaikan soalnya no 2 sesuai dengan kemampuan mahasiswa. Bagi mahasiswa yang berkemampuan tinggi ternyata hanya sedikit yang mampu menyelesaikannya dari 24 mahasiswa hanya 6 mahasiswa yang mampu menyelesaikannya. Namun untuk mahasiswa yang berkemampuan sedang dan rendah masih banyak tetap sama banyaknya.
Gambar Grafik 3. Banyaknya Mahasiswa yang Mampu menyelesaikan Soal no 2 Jika soal no 1 terlihat sulit bagi mahasiswa menyelesaikannya, namun berbeda untuk indikator ketiga atau diberikan pada soal no 3. Pada permasalahan akar persamaan tak linier dengan indikator penyelesaian dengan menggunakan metode iterasi ternyata sebagian mahasiswa mampu menyelesaikannya. Mahasiswa menyatakan bahwa metode iterasi dapat dipahami dengan baik karena metode perulangan yang selalu dilakukannya. Setiap permasalahan yang penyelesaiannya dengan metode iterasi, tentunya mahasiswa akan terus menerus melakukan kalkulasi yang sama sampai batas epsilon atau error yang diinginkan. Misalkan penyelesaiannya sampai iterasi ke 5 dengan epsilon yang diberikan, maka mahasiswa akan terus menerus melakukan perulangan sampai 5 kali sehingga diasumsikan mahasiswa hafal dan paham bagaimana metode iterasi dilakukan. Inilah yang menguatkan bahwa dengan metode iterasi sebagian besar mahasiswa mampu menyelesaikan akar persamaan tak linier. Berikut ini disajikan data berupa grafik 4 tentang banyaknya mahasiswa yang mampu menyelesaikan akar persamaan tak linier dengan metode iterasi.
Gambar Grafik 4. Banyak Mahasiswa yang Mampu Menyelesaikan Soal no 3 Berdasarkan Grafik 4 yang disajikan, dapat dilihat bahwa mahasiswa sebagian besar mampu menyelesaikan permasalahan tersebut. Namun yang menjadi perhatian adalah pada mahasiswa kemampuan rendah. Dilihat dari grafik tersebut, mahasiswa yang berkemampuan rendah ternyata malahan lebih banyak dari mahasiswa yang berkemampuan sedang. Ini memberikan pembahasan bahwa mahasiswa berkemampuan rendah belum tentu tidak mampu untuk semua permasalahan akar persamaan tak linier. Pada saat dikonfirmasi kepada mahasiswa tersebut, didapatkan suatu pernyataan bahwa dengan metode iterasi(perulangan) mahasiswa lebih mudah memahami karena melakukan kalkulasi yang selalu berulang-ulang dan cepat diingat dan dipahami.
Dari ketiga permasalahan yang diberikan pada setiap indikatornya memberikan hasil yang cukup menarik dalam mengungkapkan permalahan dalam metode numerik. Pemahaman secara numerik yang diberikan dengan metode iterasi menjadi bagian yang cukup mudah bagi mahasiswa dibandingkan dengan metode grafik dan tabulasi. Namun perlu dijadikan perhatikan bahwa materi yang diberikan juga tidak terlepas dari multi disiplin ilmu yang berkaitan. Tidak semuanya hanya berupa kalkulasi saja namun penerapan secara konsep perlu dijadikan perhatian.
PENUTUP
Kemampuan mahasiswa dalam menyelesaikan permasalahan materi akar persamaan tak linier pada mata kuliah metode numerik pada mahasiswa program studi pendidikan matematika FKIP UIR semester lima tahun akademik 2016/2017 menunjukkan bahwa tidak semua indikator mampu diselesaikan mahasiswa kemampuan tinggi, rendah apalagi rendah. Mahasiswa kemampuan rendah pada indikator ketiga menjadi lebih banyak paham dari mahasiswa kemampuan sedang. Hal ini menunjukkan perlu adanya pemberian pengulangan konsep dasar dalam proses pembelajaran. Dari data hasil dan pembahasan, sebagian besar mahasiswa jika tidak ada pengulangan konsep dasar maka memberikan dampak dalam penyelesaian masalah. Pengulangan konsep-konsep dasar bagi mahasiswa ini dapat berupa Lembar Kerja Mahasiswa atau Project Mahasiswa yang bertujuan untuk memberikan penguatan pemahaman mahasiswa sehingga materi pada metode numerik dapat dipahami dengan baik. Diperlukan kerjasama antara dosen program studi karena setiap materi yang diberikan berhubungan dengan materi lain yang dipelajarinya, sehingga materi tersebut tidak diulang lagi secara detail pada mata kuliah berikutnya.
DAFTAR PUSTAKA
Arikunto. Suharsimi. 2010. Prosedur Penelitian:Suatu Pendekatan Praktik Ed. Rev.. cet 14. Rineka Cipta. Jakarta.
Murni. Atma. 2006. Metode Numerik. Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Riau. Pekanbaru.
Sanjaya. Wina. 2013. Penelitian Pendidikan Jenis. Metode dan Prosedur. Kencana Prenada Media Group. Jakarta.
