149100981 Matematika SMA Kelas 1 X

(1)

Jilid 1

untuk

SMA Kelas X

Ma

(2)

Matematika Aplikasi

Jilid 1

Untuk SMA Kelas X

Kurikulum 2004 Standar Kompetensi Hak cipta  2005 pada Penulis Hak penerbitan pada Penerbit Literatur Media Sukses Perpustakaan Nasional: Katalog Dalam Terbitan (KDT)

Matematika Aplikasi, disusun oleh Pesta E. S., Alfarabi, Editor, Christiani S. Napitupulu, -- Jakarta: Literatur Media Sukses

Hak cipta dilindungi oleh undang-undang. Tidak diperkenankan memperbanyak isi buku ini dalam bentuk apapun tanpa izin tertulis dari Penerbit Literatur Media Sukses.

Penulis

Pesta E. S. Alfarabi

Editor

Christiani S. Napitupulu, S.Si

Desain Sampul

Tim Literatur Media Sukses

Setting/Tata Letak

Tim Literatur Media Sukses

Ilustrator

Andie Anakota

(3)

Kebijakan pemerintah dengan memberlakukan Kurikulum 2004 yang berbasis kompetensi merupakan upaya menyeluruh untuk meningkatkan mutu pendidikan. Upaya ini meliputi aspek-aspek pengetahuan, ketrampilan, sikap, dan nilai-nilai. Pengembangan aspek-aspek tersebut dilakukan untuk meningkatkan dan mengembangkan kecakapan hidup (life-skills) melalui seperangkat kempetensi agar siswa dapat bertahan hidup, menyesuaikan diri, dan berhasil di masa datang.

Kebijakan pemerintah ini telah menyulut pemikiran penulis untuk ikut meningkatkan mutu pendidikan. Upaya yang penulis lakukan adalah dengan menyusun perangkat buku pelajaran Matematika Aplikasi untuk siswa SMA. Buku ini berbalur ungkapan santun dengan bahasa yang komunikatif sehingga mudah dipahami oleh siswa. Selain itu, buku ini juga didukung dengan tampilan tata letak yang baik, disain dan ilustrasi yang menarik dengan memperhatikan tingkat pemahaman siswa.

Dengan mengusung pendekatan induktif-dedukatif konstruktif, konsep dalam buku ini mengakar ke dalam pemikiran siswa karena pengenalan konsep-konsep ini disajikan dengan memberikan masalah yang memiliki makna dalam kehidupan sehari-hari. Kebermaknaan ini dapat dirasakan dari awal mempelajari setiap pelajaran dalam buku ini.

Sebagai buku siswa, buku ini dilengkapi dengan bagian pelatihan yang terdiri atas dua kelompok soal. Masing-masing diberi nama Asah Kompetensi dan Alfarabi Mengujimu. Bagian pelatihan ini dimaksudkan untuk mengukur penguasaan siswa terhadap konsep yang diberikan. Melalui pelatihan ini, diharapkan siswa mampu mencapai kompetensi belajar yang diinginkan dalam Kurikulum 2004.

Dalam buku ini, siswa juga dapat menemukan bagian pengayaan seperti Aktivitas di Kelas yang berisi kegiatan untuk dilakukan oleh siswa, Sahabat Alfarabi yang berisi informasi tentang tokoh matematika, GameMath yang berisi pemainan matematika, dan Siapa Berani yang berisi soal-soal menantang khusus diberikan bagi siswa penggemar matematika.

Terbitnya buku ini diharapkan seperti matahari yang mampu menjadi energi dan penerang dalam pendidikan bangsa kita.

Buku ini masih jauh dari sempurna, kritik dan saran yang ada hubungannya dengan penyempurnaan buku ini sangat penulis harapkan untuk perbaikan pada edisi berikutnya.

Jakarta, April 2005

(4)

7 0

Matematika Aplikasi SMA Kelas X

Suatu pertidaksamaan linear dapat kamu selesaikan dengan membentuk pertidaksamaan lain yang ekuivalen dengan pertidaksamaan tersebut.

Untuk membentuk pertidaksamaan yang ekuivalen, kamu membutuhkan sifat-sifat berikut:

1.Sifat penjumlahan dan pengurangan

Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama maka tanda ketidaksamaan tetap. •x < y⇒x±z < y ±z

•x < y⇒x±z < y ±z

2.Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan positif

Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama maka tanda ketidaksamaan tetap. •x < y dan z >0 ⇒xz<yz dan xz<

3.Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan negatif

Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama maka tanda ketidaksamaan berubah. •x < y dan z <0 ⇒xz<yz dan x Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut di mana x adalah bilangan real!

1.−3x+ 4 < x+ 8 2. 13 24 2 3

x−+ ≥x+− 3. x− 5 < 2x− 3 < x+ 4

Jawab: 1.−3x+ 4 < x+ 8

Kedua ruas dikurang 4, tanda ketidaksamaan tetap.

−3x+ 4 − 4 < x+ 8 − 4

−3x< x+ 4 A. Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear adalah suatu persamaan di mana ruas kiri dan ruas kanan dihubungakn oleh salah satu dari tanda ketidaksamaan ”<, ≤, >, ≥ ” atau ”≠”

A. Sistem Persamaan Linear

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Di kelas VIII SMP telah dipelajari persamaan-persamaan linear seperti berikut:

a.x−y= 1

b.x+y= 3

Jika kedua persamaan tersebut digabung maka akan terbentuk sebuah sistem persamaan, yaitu sistem persamaan linear. Perhatikan sistem persamaan tersebut.

Sistem persamaan tersebut melibatkan dua variabel, yaitu x dan y, sehingga dikatakan sebagai sistem persamaan linear dua variabel. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel:

a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2 di mana a1, b1, c1, a2, b2 dan c2 bilangan real.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ini, dapat digunakan empat cara, yaitu:

a.Metode Grafik

b.Metode Substitusi

c.Metode Eliminasi

d.Gabungan Metode Eliminasi dan Substitusi a. Metode Grafik

Di kelas VIII SMP telah dipelajari cara menggambar grafik persamaan linear. Sekarang, lakukanlah aktivitas berikut dengan menggunakan kemahiran yang telah kamu miliki tersebut.

1.Gambarlah garis x− 3y=−3 dan x+y= 1 pada satu sistem koordinat!

2.Apakah kedua garis tersebut berpotongan? sejajar? atau berimpit? Jika berpotongan, tentukanlah titik potongnya!

3.Gambarkan pula garis x+y=−1 dan x+y= 3 pada satu sistem koordinat yang lain.

5.Sekarang, gambarlah garis x−y= 1 dan 3x− 3y= 3 pada satu sistem koordinat yang lain!

ktivitas di elas

A K

122

Identitas trigonometri untuk setiap sudut adalah sebagai berikut. • sin2θ + cos2θ = 1

4.Buktikan bahwa

2 2

5.Buktikan bahwa tan1 sincos tan1 sincos

Trigonometri pertama sekali diperkenalkan oleh bangsa Yunani Kuno. Tetapi bukti sejarah menunjukkan bahwa kebudayaan Mesir Kuno telah menggunakan trigonometri dalam membangun piramida.

Info sains

Bab 1 Bentuk Pangkat Akar dan Logaritma 1

TUJUAN PEMBELAJARAN

B A B

Berapakah berat bumi kita ini? Berat bumi kita adalah 6 × 1021 ton. Bentuk penulisan dengan menggunakan bilangan berpangkat ini sangat membantu kamu dalam ketelitian melakukan perhitungan. Bayangkan, jika bilangan tersebut ditulis dalam bentuk panjang. Jangankan melakukan perhitungan, menuliskannya saja sulit.

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

♦Kamu dapat mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya.

♦Kamu dapat mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya.

♦Kamu dapat mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya.

♦Kamu dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk pangkat, akar, dan logaritma.

♦Kamu dapat menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat.

♦Kamu dapat merasionalkan bentuk pangkat.

♦Kamu dapat membuktikan sifat-sifat yang sederhana tentang bentuk pangkat, akar, dan logaritma.

1

Pada setiap awal bab terdapat tujuan pembelajaran untuk mengetahui isi dan manfaat setelah mempelajari bab tersebut dan diberikan juga pengantar bab berupa uraian singkat dan gambar yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari.

Ada Aktivitas di Kelas yang merupakan kegiatan di mana kamu dapat mengembangkan ketrampilan dalam merencanakan melaksanakan dan menyimpulkan aktivitas.

Catatan disajikan berupa informasi yang berguna untuk memperjelas konsep Matematika.

(5)

Bab 6 Trigonometri 131

Jawab:

Dari gambar berikut dapat diketahui besar dua sudut dan panjang sisi yang diapitnya.

∠CAB= 40° dan ∠ABC= 180°− 60° = 120°

Jadi, ∠ACB= 180°− 40°− 120°= 20°. Panjang sisi AB= 100 m. Dengan menggunakan aturan sinus diperoleh Sin D"Persamaan 1 Tinggi bangunan, yaitu CD dapat dihitung menggunakan perbandingan trigonometri. Sin 60° = CD

BC CD=BC × Sin 60°"Persamaan 2 Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2

CD= 100 × Sin 40 Jadi, tinggi bangunan adalah 162,76 m

400

Salah satu ujung dari batang sepanjang 8 kaki dihubungkan ke piston yang bergerak naik dan turun. Ujung lainnya dihubungkan ke roda dengan cara lengan horizontalnya disesuaikan dengan pegas P. Dimulai pada posisi awal 4

π θ =, roda dengan jari-jari 2 kaki berputar 3 radian per detik. Temukan rumus untuk d, jarak vertikal dari piston ke roda, setelah t detik.

d = y + 88 p(x,y) Y θ

x

Bab 5 Logika Matematika 105

Siapakah orang yang pertama kali memperkenalkan penggunaan simbol-simbol aljabar dalam penarikan sebuah kesimpulan? Dia adalah George Boole, Matematikawan Inggris yang lahir pada tahun 1815. Dalam teorinya, Boole menyatakan bahwa premis-premis dan kesimpulan dalam sebuah argumen dapat diwakili oleh simbol-simbol aljabar dan dihubungkan oleh simbol-simbol lain untuk membentuk sebuah argumen logis. Teori Boole ini sering digunakan para ahli untuk memecahkan sebuah teka-teki sains. Boole meninggal tahun 1864.

Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia

Buktikan bahwa jika p > 0, p≠ 1, a,b > 0 berlaku p

Dengan menggunakan definisi logaritma, kamu akan memperoleh

p

Bukti langsung dilakukan dengan memperlihatkan suatu kebenaran sebagai akibat pernyataan lain yang telah diterima sebagai hal yang benar, seperti definisi, aksioma, dan dalil-dalil yang telah dibuktikan.

CONTOH

2. Bukti Tak Langsung

a. Bukti Tak Langsung dengan Kontrapositif Misalkan, harus dibuktikan p→q benar. Andaikanlah ∼q benar, kemudian dengan langkah logis turunkanlah supaya ∼p benar sehingga ∼q→∼p benar. Oleh karena p→q≡∼q →∼p dan ∼q→∼p benar maka p →q benar.

Untuk setiap n bilangan bulat, buktikanlah bahwa jika n2 bilangan ganjil maka n+ 1 bilangan genap!

Bukti:

Misalkan, n+ 1 bilangan ganjil. Ini mengakibatkan n bilangan genap sehingga n dapat ditulis sebagai n= 2a.

Akibatnya, n2= (2a)2= 4a2= 2.(2 a2) Ini berarti, n2 bilangan genap.

Jadi, “jika n+ 1 bilangan ganjil maka n2 bilangan genap.” Pernyataan ini ekuivalen dengan pernyataan,”jika n2 bilangan ganjil maka n+ 1 bilangan genap.”

)Gunakan sifat perkalian bilangan berpangkat Sahabat Alfarabi

CONTOH

K. Bukti dalam Matematika Sahabat Alfarabi merupakan informasi latar belakang

matematikawan yang telah berjasa dengan menemukan berbagai macam teori yang sekarang ini digunakan dan dirasakan manfaatnya.

Siapa Berani merupakan soal-soal yang menantang. Soal-soal ini khusus diberikan buat kamu yang gemar Matematika dan telah memahami materi.

Asah Kompetensi digunakan untuk mengukur kemampuan dalam menguasai materi yang telah dibahas.

Alfarabi Mengujimu digunakan untuk menguji kamu dalam menyelesaikan soal-soal relatif lebih sulit yang berkaitan dengan materi yang telah dibahas.

92

Asah Kompetensi3

1.Tentukanlah konjungsi dari pernyataan-pernyataan tunggal berikut. Kemudian, tentukan nilai kebenarannya!

a.p: Roda mobil berbentuk persegi q: Petak-petak pada papan catur berbentuk lingkaran

b.r:a0 = 1 untuk a bilangan real s : 1n= 1 untuk n bilangan real

c.t:6 9merupakan bentuk lain dari 23 u:2

3merupakan bentuk sederhana dari 6 9

d.v : Jakarta ibu kota Amerika w: Jakarta terletak di pulau Jawa

2.Tentukanlah disjungsi dari pernyataan tunggal-pernyataan tunggal berikut. Kemudian, tentukan nilai kebenarannya!

a.p: Bandara Soekarno-Hatta ada di Banten q: Bandara Adi Sucipto ada di Semarang

b.r: Faktor dari suatu bilangan asli lebih besar daripada kelipatannya s: Faktor dari suatu bilangan asli adalah bilangan yang dapat membagi habis bilangan itu

c.t : 11 merupakan faktor dari 6.161.617 u : 11 merupakan bilangan komposit

d.v : Imelda Fransisca adalah Miss Indonesia tahun 2005 w: Michael Jackson adalah seorang penyanyi

3.Tentukanlah nilai x bilangan real sehingga konjungsi atau disjungsi berikut benar!

a.269 dan x2+x+ 17 merupakan bilangan prima

1.Dengan bukti langsung, buktikan bahwa akar-akar persamaan kuadrat

2.Dengan bukti tak langsung, buktikan bahwa 10 tidak terdefinisi!

3.Buktikanlah bahwa:

Pada ruas kanan persamaan, didapat (1 2(k+ 1) (k+ 2))2. Untuk n=k+ 1, ruas kiri dan ruas kanan menghasilkan bilangan yang sama.

Jadi, 13+ 23+ 33+ … +n3= (1

2n (n+ 1))2 berlaku untuk n=k dan untuk n=k+ 1 atau untuk semua n bilangan asli.

Buktikan bahwa 12001 + 2 2001 + 3 2001 + . . . + 20012001 adalah kelipatan 13!

(6)

8 2 Matematika Aplikasi SMA Kelas X

1.Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dan variabelnya satu.

2.Sifat-sifat untuk menyelesaikan pertidaksamaan: a.Sifat-sifat untuk menyelesaikan pertidaksamaan adalah

•x< → ± < ±yxzyz •x> → ± > ±yxzyz b. Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan positif:

•x y dan z0xz yz dan xy

3.Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat •ax2+bx+ <c0 atau ax2+bx+ >c0 •ax2+bx+ ≤c0 atau ax2+bx+ ≥c0

4.Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan yang memuat variabel pada penyebutnya.

5.Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar f<g dengan syarat terdefinisi f≥0 dan g≥0

6.Definisi nilai mutlak dari suatu bilangan real x adalah , jika 0

7.Sifat-sifat nilai mutlak

a. 2

Bab 6 Trigonometri 121 GaMeMath

Utut tersesat di sebuah hutan. Di tengah hutan tersebut, ia menemukan pohon-pohon yang bertuliskan perbandingan trigonometri. Ia bingung. Namun kemudian, ia menemukan batu yang bertuliskan petunjuk untuk keluar dari hutan itu, yaitu harus melewati pohon-pohon yang nilai perbandingan trigonometrinya 1. Bantulah Utut menemukan jalan pulang tersebut! Pohon-pohon tersebut bertuliskan seperti pohon berikut ini. pohon mana sajakah yang sama dengan 1?

Perhatikan Gambar 6.7! Pada segitiga siku–siku, berlaku teorema Pythagoras, yaitu:

x2+y2=r2 (r cos θ)2+ (r sin θ)2=r2 r2 cos2 θ+r2 sin2 θ =r2 r2 (cos2 θ+ sin2 θ)=r2

cos2θ+ sin2θ = 1 atau sin2θ+ cos2θ = 1 Perhatikan kembali segitiga di atas! Dari segitiga di atas diperoleh tan θ=y

x. Bagilah pembilang dan penyebut dengan r. tan θ=

Gambar 6.7 Segitiga siku-siku. 1,

sin 30D sin 90° 1,

sin 0D tan 45 cos 01D sin 60°tan 451D cos 90°tan 90° cos 0°

Sumber: New Syllabus Mathematics 3

GameMath berisi soal berupa permainan matematika. Jawabannya dapat dicari dengan menggunakan logika sehingga dapat mengasah logika dan cara berpikir kritis.

Rangkuman disajikan di akhir materi bab supaya kamu dapat dengan cepat mengingat kembali materi-materi yang telah dipelajari pada bab tersebut.

Ulangan Bab disajikan untuk mengukur kemampuan kamu dalam menguasai semua materi yang telah dibahas dalam bab tersebut.

Tugas Akhir digunakan untuk mengukur kemampuan kamu mengingat dan menguasai semua materi yang telah dipelajari selama dua semester.

Bab 6 Trigonometri 135

I.Pilihlah jawaban yang paling tepat!

1.Jika sin α= 4

8.Pada suatu segitiga siku-siku ABC berlaku cosA cos B=12 maka cos (A −B) sama dengan . . . .

a.−1 d.12

b.−12 e.1

c.2

9.Bila x memenuhi persamaan 2(sin x)2+ 3 sin x− 2 = 0 mempunyai akar-akar positif. Akar-akar positif itu adalah . . . .

11.Selisih akar-akar persamaan kuadrat 2x2 +

px+ 16 = 0 adalah 4. Nilai p yang positif

13.Himpunan penyelesaian dari 245123 x y

(7)

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ... iii

Apakah Keunggulan Buku Ini?? ... iv

BAB

1 BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA ...

1

A. Bentuk Pangkat ... 2

B. Bentuk Akar ... 10

C. Logaritma ... 16

PERTIDAKSAMAAN ... 69

A. Pertidaksamaan Linear ... 70

B. Pertidaksamaan Kuadrat ... 73

C. Pertidaksamaan Pecahan ... 75

D. Pertidaksamaan Bentuk Akar ... 78

(8)

BAB

5

LOGIKA MATEMATIKA ... 85

A. Pernyataan dan Kalimat Terbuka ... 86

B. Ingkaran (Negasi) ... 88

C. Pernyataan Majemuk ... 89

D. Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen ... 97

E. Ingkaran dari Pernyataan Majemuk ... 97

F. Ingkaran Pernyataan Berkuantor ... 100

G. Penarikan Kesimpulan ... 101

H. Bukti dalam Matematika ... 104

Rangkuman ... 108

Ulangan Bab 5 ... 109

BAB

6

TRIGONOMETRI ... 111

A. Ukuran Sudut dalam Radian ... 112

B. Perbandingan Trigonometri Sudut Segitiga Siku-Siku ... 113

C. Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Istmewa (00_,300_,450_,600_,900_{) ...} ₁₁₆

D. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi ... 118

E. Identitas Trigonometri ... 120

F. Grafik Fungsi Trigonometri ... 124

G. Persamaan Trigonometri ... 126

H. Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Luas Segitiga ... 127

I. Aplikasi Trigonometri ... 130

Rangkuman ... 133

Ulangan Bab 1 ... 135

BAB

7

DIMENSI TIGA ... 137

A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang. ... 138

B. Menggambarkan Bangun Ruang ... 141

C. Volume Bangun Ruang ... 142

D. Irisan Bangun Ruang ... 151

E. Jarak dan Sudut ... 152

Rangkuman ... 156

Ulangan Bab 7 ... 157

Tugas Akhir ... 159

(9)

TUJUAN

PEMBELAJARAN

B

A

B

Berapakah berat bumi kita ini? Berat bumi kita adalah 6 × 1021 ton. Bentuk penulisan dengan menggunakan bilangan berpangkat ini sangat membantu kamu dalam ketelitian melakukan perhitungan. Bayangkan, jika bilangan tersebut ditulis dalam bentuk panjang. Jangankan melakukan perhitungan, menuliskannya saja sulit.

Bentuk Pangkat, Akar,

dan Logaritma

Bentuk Pangkat, Akar,

dan Logaritma

♦ Kamu dapat mengubah bentuk pangkat

negatif ke pangkat positif dan sebaliknya.

♦ Kamu dapat mengubah bentuk akar ke

bentuk pangkat dan sebaliknya.

♦ Kamu dapat mengubah bentuk pangkat

ke bentuk logaritma dan sebaliknya.

♦ Kamu dapat melakukan operasi aljabar

pada bentuk pangkat, akar, dan logaritma.

♦ Kamu dapat menyederhanakan bentuk

aljabar yang memuat pangkat.

♦ Kamu dapat merasionalkan bentuk

pangkat.

♦ Kamu dapat membuktikan sifat-sifat

yang sederhana tentang bentuk pangkat, akar, dan logaritma.

(10)

1. Pangkat Bulat Positif, Negatif dan Nol

Di kelas VII SMP, telah dijelaskan bahwa 3n= 3 × 3× … × 3.

Bilangan 3 disebut bilangan pokok, sedangkan n disebut pangkat. nfaktor

A. Bentuk Pangkat

Jikan bilangan bulat positif dan a bilangan real maka an didefinisikan sebagai perkalian n faktor bilangan a.

an=a×a× … ×a

n faktor

Jikaa ≠ 0, abilangan real dan n bilangan bulat negatif maka

a−n didefinisikan sebagai berikut :

faktor

1. Tuliskan dalam bentuk perkalian berulang!

(11)

2. Tuliskan dalam bentuk pangkat!

3. Tuliskan dalam bentuk perkalian berulang! a. 4−3 = . . . . c. 140 = . . . .

1. Nyatakan ke dalam bentuk perkalian berulang!

a. −36= . . . . c. (7+ 3)7= . . . . e. 3y3 = . . . . b. (−3)6= . . . . d. 77+ 37= . . . . f. (x−y)2= . . . . 2. Tuliskan dalam bentuk pangkat!

a. 11× 11× 11 × 11 × 11 = . . . .

(12)

Pada 1940, sebuah komputer dapat mengerjakan sekitar 100 operasi per detik. Sejak itu, kecepatan komputer telah berlipat ganda 10 kali setiap 5 tahun. Sekitar berapa operasi per detikkah yang dapat dikerjakan komputer pada tahun 2005?

Sumber: Teaching Mathematics

1. Buatlah pola bilangan 7t dari t= 1!

2. Tentukan angka satuan 7t untuk setiap nilai t! Amati pola yang terbentuk! 3. Tentukan angka puluhan 7t untuk setiap nilai t! Amati pola yang terbentuk!

4. Berdasarkan pola yang kamu buat, tentukan angka satuan dan angka puluhan dari 71999!

2. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Bulat

a. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat

Ambila 5 sebarang bilangan real , kemudian hitung a3×a4= …

a3×a4 = (a×a×a)× (a×a×a×a)

3 faktor 4 faktor = a×a×a×a×a×a×a=a7

7 faktor Jadi,a3×a4=a7.

Catatan

Menentukan pangkat dari bilangan bulat adalah dengan menggunakan

pohon faktor. Contoh:

452 = 2× 2× 113

= 22×₁₁₃

226

113 2 2

452

3. Hitunglah!

a. 10−8 = . . . . c. 0−3 = . . . .

b. 2

1 1 5

−

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

= . . . . d.

( )

−5 0= . . . .

4. Nyatakan ke dalam bentuk pangkat! a. 800= . . . . c. 200 = . . . . b. 64= . . . . d. 450 = . . . .

ktivitas di elas

(13)

Hitunglah nilai pangkat berikut: dari pembuktian akan menghasilkan sifat berikut ini.

Pangkat dari hasil perkalian merupakan penjumlahan pangkat kedua bilangan, yaitu 7 = 3 + 4.

Untuk setiap a bilangan real, m dan n bilangan bulat, berlaku

am×an=am+n

b. Sifat Pembagian dan Pangkat Nol Bilangan Berpangkat

Ambil a sebarang bilangan real, a ≠ 0 m dan n bilangan bulat positif

Pangkat dari hasil pembagian merupakan pengurangan pangkat pembilang oleh penyebut kedua bilangan, yaitu 2 = 5 − 3.

(14)

Hitunglah nilai dari:

a.

3 2

( 3) ( 3)

−

− b.

6 2

y

y c. (−123)0

Jawab: a.

3 2

( 3) ( 3)

−

− = (−3)3− 2= (−3)1= −3

b.

6 2

y

y = y6− 2= y 4

c. (−123)0= 1

CONTOH

c. Sifat Pemangkatan Bilangan Berpangkat

Ambila bilangan real, m dan n bilangan bulat positif. Kemudian hitunglah (am)n!

(am)n = (am)× (am)× . . . × (am)

n faktor

= (a×a× … ×a)× (a×a× … ×a)× … × (a×a× … ×a)

m faktor m faktor m faktor

n faktor

=a×a× … ×a×a×a× … ×a× … ×a×a× … ×a

m×n faktor

=amn

Jadi, (am)n= amn.

Untuk setiapa bilangan real, m dan n bilangan bulat positif, berlaku (am)n=amn

1. (r3)2 =r3× 2=r6

2. (x+y)3= (x+y)(x+y)(x+y)

CONTOH

d. Sifat Pemangkatan Bentuk dengan Beberapa Faktor

Misalkana dan b bilangan real sebarang. Kemudian hitunglah (a×b)3!

(a×b)3 = (a×b)× (a×b)× (a×b)

3 faktor

= a×b×a×b×a×b

= a×a×a×b×b×b

3 faktor 3 faktor

=a3×b3

Jadi, (a×b)3=a3×b3.

(15)

Untuk setiap a dan b bilangan real, n bilangan bulat positif, berlaku

Dari sifat tersebut, coba buktikan bahwa

n

Untuk setiap a dan b bilangan real, n bilangan bulat positif, berlaku:

n

1. Sederhanakanlah setiap perkalian berikut ini! a. 3 2. Sederhanakanlah setiap pembagian berikut ini!

a.

3. Tunjukkan bahwa untuk setiap a bilangan real tak nol dan n bilangan bulat positif, berlaku

1

(16)

4. Mari sederhanakan!

Coba pikirkan berapa banyak angka pada hasil perkalian 21999× 52000!

Sumber:Olimpiade Matematika tingkat Kota/ Kabupaten, 2002

Bobot soal: 6

1 A

SAH

K

EMAMPUAN

Waktu: 60 menit

1. Tuliskanlah dalam perkalian berulang!

a. (−3a)5= . . . . c. (35)4 = . . . . e. (−1)12 = . . . .

2. Tuliskan dalam bentuk pangkat! a. 4r× 3r× 2r×r= . . . .

b. 9a× 6ab× 3abc= . . . .

c. _{⎝ ⎠}⎜ ⎟⎛ ⎞₂1 × −_⎝⎜⎛ 1₄_⎠⎟⎞ × ⎛ ⎞_{⎝ ⎠}⎜ ⎟₈1 × −⎛_⎝⎜ ₁₆1 ⎞_⎠⎟ × ⎜⎛_⎝₃₂1 ⎟⎞_⎠ = . . . .

(17)

Bobot soal: 12

Bobot soal: 16

3. Tentukanlah nilai a,b dan c dari bentuk berikut ini! a. 13.475= 5a × 7b× 11c c. 75.625= 5a× 7b× 11c b. 15.125= 5a × 7b× 11c d. 41.503= 5a× 7b× 11c

Kemudian, tentukan pula FPB dan KPK dari bilangan-bilangan tersebut!

6. Untukx dan y bilangan real tak nol, tentukanlah:

a. a. Tentukanlah volume kubus tersebut!

b. Jika kubus tersebut dapat memuat 6 buah limas beraturan yang masing-masing kongruen, tentukanlah volume limas!

(18)

Gambar suasana pabrik

Untuk memahami bentuk akar, lakukanlah aktivitas berikut ini. Produksi semen tiga segitiga memenuhi persamaan

h= 5 × 2−4×t2 × 106 di mana h dalam ton dan t bilangan bulat yang menyatakan waktu. Jika keuntungan perusahaan dinyatakan oleh u (dalam rupiah) dari persamaan

u h = 2

−5_×₁₀5

Berapakah keuntungan perusahaan tersebut selama 5 tahun?

B. Bentuk Akar

1. Gambarlah segitiga siku-siku samakaki dengan panjang sisi siku-sikunya 1 cm!

2. Ukurlah panjang sisi miringnya dengan menggunakan penggaris sentimeter. Berapa

sentimeterkah panjangnya? Catatlah hasil pengukuranmu!

3. Sekarang, hitunglah panjang sisi miring tersebut dengan menggunakan teorema Pythagoras. Berapa sentimeterkah panjangnya?

ktivitas di elas

A

K

Pada langkah ke-2 aktivitas tersebut, kamu akan mendapatkan panjang sisi miring segitiga siku-siku samakaki 1,4 cm lebih. Dengan tingkat ketelitian berapapun, kamu tidak akan dapat mengukur dengan tepat panjang sisi miring ini.

Pada langkah ke-3, dengan menggunakan teorema Pythagoras yang telah dipelajari di SMP kelas VII, kamu akan mendapatkan panjang sisi miring tersebut 2 cm.

1 cm

h

Cara memperolehnya:

h2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2

h = 2 cm

Dengan menggunakan kalkulator, diperoleh 2 =_{1,414213562…, suatu}

bentuk desimal yang tidak berulang dan tanpa akhir. Bentuk seperti 2

(19)

Bentuk akar adalah akar pangkat mdari suatu bilangan yang bukan pangkatm sempurna.

dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat _ba , b ≠ 0. Bilangan

lain yang merupakan bilangan irasional bentuk akar, di antaranya

3 4 5

7 , −16 , 9 , dan −30, sedangkan bilangan-bilangan seperti 9 , 36 ,

3−₆₄ dan 5₃₂ bukan bentuk akar karena:

• 9=3 merupakan akar pangkat dua dari bilangan pangkat dua

sempurna, yaitu 9 = 32

• 36=6 merupakan akar pangkat dua dari bilangan pangkat dua

• 3−₆₄ merupakan akar pangkat tiga dari bilangan pangkat tiga

sempurna, yaitu -64 = (-4)3

• 5₃₂=₂_{merupakan akar pangkat lima dari bilangan pangkat lima}

1. ₁₅ adalah bentuk akar karena 15 bukan pangkat dua sempurna. 2. 3₋₂₇ _{bukan bentuk akar karena}−_{27 merupakan pangkat tiga}

sempurna.

3. ₁₀ adalah bentuk akar karena 10 bukan pangkat lima sempurna.

CONTOH

Buktikan bahwa 3 merupakan bilangan irasional!

1. Sifat-Sifat Bentuk Akar

Untuk setiap a,b,p, q bilangan real, m dan n bilangan asli, berlaku:

1. n_am =_amn 4. nab=na b.n

2. _{p a q a}n + n = ₍_{p q}+ ₎n_a _5.

n n

n

a a

b = b ,b≠ 0

3. _{p a q a}n − n = ₍_{p q}− ₎n_a _6. m n_a =mn_a

Dari sifat 1 diperoleh

Catatan

Menyederhanakan akar dari bilangan bulat diselesaikan dengan cara memfaktorkan bilangan tersebut.

Contoh:

1800 900

450

225 2 2 2

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

3 2 2

1800 2 5 3

(20)

Jikam=n, maka n_an =_ann =a.

Nilaia ini lebih dari atau sama dengan nol untuk n bilangan genap dan semua bilangan real untuk n bilangan ganjil.

1. 3₈₁= 3_{27 3}⋅ =3₃3⋅₃ = 33₃

2. 5−₁₆₀a b7 5 = 5_{( 2)}− 5 ⋅ ⋅₅ a5 ⋅a2 ⋅ =b5 5_{( 2)}− 5 ⋅5a5 ⋅5b5 ⋅5₅a2 = −₂ab5₅a2

3. 2 3 ⋅ −

(

15

)

= −2 3

(

5 3

)

= −2

( )

3 2 5 = − ⋅2 3 5 = −6 5

4. 15 = 15 = 5 3 3

5.

x y x y

x x x x x

x y

x y = = = =

5 5

3 2

2 2

25 25

5 5 5

6. 3 _x =3.2_x =6_x

CONTOH

1. Manakah yang merupakan bentuk akar?

a. ₄₅ e. 3₃₀₀ h. 15−₁

b. −3−₈ f. 5_16.807 i. − _{1, 21}

c. 3_{0, 27} _g. _{0, 81} _j. _2.025

d. 2, 25

2. Kerjakan operasi hitung berikut ini!

a. 3_{40 6 5}+ 3 f. ₃− ₂₇+ ₈₁

b. _{4 12 9 27}₊ g. ₃₇₅₊ ₁₉₂₋ ₆₄₈

c. ₄_x ₇₊₃_x ₇₊₂_x ₇ h.

(

1 3 2+

) (

− −4 50

)

+ 243

d. _{9 48 18 32}4 − 4 i. ₉_{x y}2 +₅ _xy2 − _{x y}4 −₁₂ _x

e. _{29 7 10 63}₋ j.

3 5

6 2 3 2

3 3 13

27 2

x y

x y + − x y

3. Sederhanakanlah!

a. ₇₂ e. 5_25.000 _h. ₅₄_{x y}3 3

b. ₂₅₀ f. _{x y}9 2 _i. ₃_1.458_{x y}6 5

c. 3_1.512 g. 8 1 16 12

8x y j.

20 100

5₂₄₃_{x y}

d. 3₈₀

(21)

4. Sederhanakanlah! a. 128

2 f.

5

5 128 50

x x

b.

6 6

128

1.458 g.

3

10 13

8 27

xy

)

x y y x

x y

− +

−

Sederhanakan bentuk akar berikut ini!

1. ₂₊ ₂₊ _{2 ...}₊ 3 ₂₀₊ ₂₀₊ _{20 ...}₊

(

−

)

= −

( )

2

(22)

Asah Kompetensi

₄

1. 2₃ = 2 3

3⋅ 3

"

Perkalian dua bentuk akar sekawan

= 2 3

3

2. ₄₋−3₇ = 3 4 7

4 7 4 7

− _× +

− +

"

Perkalian dua bentuk akar sekawan = 3(4 7 )

− +

"

Perkalian dua bentuk akar sekawan

=

(

₍

_xx₋+ ₃2

₎₍

)(

x_x+₊ 3₃

₎

)

Dengan cara yang sama, coba kamu buktikan bahwa a sekawan dengan

a dan

(

a+ b

)

sekawan dengan

(

a− b

)

.

CONTOH

Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. Kemudian, nyatakan dalam bentuk sederhana!

1. 8

(23)

Waktu: 60 menit

1. Gambarlah garis yang panjangnya 7 cm, 17cm, dan 2 6cm!

2. Kerjakan operasi hitung berikut ini!

a. _{2 3}₊ ₁₉₂ f. ₃_x₊ ₁₂_x₊ ₂₇_x₊ ₄₈_x

b. _{567 11 7}₋ g. 3

3

9

x +

3 18

x

c. ₁₂₅₊ ₅₀₋ ₁₇₅ h. 3₂₄_x4 +3₃_{x y}4 3 −3₈₁_xy6

d. ₋ ₆₊ ₅₄₊ ₄₀₄ i. _x3₂₋_x23₁₂₈₊_x3₁₆

e. _{27 2 162}₋ j. _{25 2 126}₋ ₋ ₁₉₋ ₃₃₆

3. Kerjakanlah operasi hitung berikut ini!

a. ₆_× ₁₈ f.

14 15 24 35

b. 2 3 3 3

(

+ 6

)

g.

42 35 56 15

c.

(

2+ 3

)

3 h. 3

2

x x

d. _{2 4 3 2}3

(

+3₁₆

)

i.

3 2

2 3

x x

x x

e. 3_x25_x2 _x2 j.

x y xy

4. Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini. Kemudian, nyatakanlah ke dalam bentuk yang lebih sederhana!

a. 30₂₀ c. _{10 4}1₋

2

Bobot soal: 18

Bobot soal: 20

(24)

ktivitas di elas

A

K

e. _{3 5}1 − 1₈₀ h. 2 2

2 2 3

− + −

f.

2

1 5

2 2 2

−

⎛ ₋ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ i.

2 3

3 3− +2 2 3+

g. 5 4

1

x j.

4 5 2

7 + 7+2−3+ 7

5. Aplikasi Geometri

A

D E

C B

2

3

Bobot soal: 17

Padalangkah ke−2 aktivitas di atas, dengan mencoba-coba mensubstitusi nilaix, didapatkan nilai x sebagai berikut:

Pada persamaan y = 3x tersebut, kamu dapat mencoba-coba men-substitusi nilai x untuk memperoleh nilai y tertentu. Namun, tidak demikian padalangkah ke−3.

C. Logaritma

1. Tuliskan persamaan y= 3x pada bukumu!

2. Substitusilah nilai y= 1, y= 3, y= 27, dan y= 1₃ sehingga kamu mendapatkan nilai x! 3. Sekarang, substitusilah nilai y= 4 dan y= 10. Dapatkah kamu menentukan nilai x?

y= 1 y = 3

y = 27

y = 1₃

x= 0 x = 1

x= 3 x = –1 y = 3x

Pada gambar segitiga ABC di samping, panjang

AE: EC = 2 : 3. Jika DE sejajar dengan BC dan

luas segitiga ABC 400 cm2, hitunglah:

a. Perbandingan luas segitiga ADE dengan luas segitigaABC.

(25)

Pada langkah ke−3, kamu akan kesulitan jika harus mencoba-coba mensubstitusi nilai x yang memenuhi y= 3x. Untuk menyelesaikan masalah tersebut, seorang Matematikawan asal Skotlandia, John Napier telah menemukan suatu cara yang tepat, yaitu dengan logaritma. Logaritma ditemukannya pada tahun 1614.

Untukp > 0 dan p ≠ 1, berlaku ploga=n jika dan hanya jika pn= a, denganp adalah bilangan pokok.

a adalah numerus, yaitu bilangan yang akan dicari logaritmanya. (a > 0)

n adalah logaritma dari a dengan bilangan pokok p

Definisi ini sangat berguna untuk menentukan nilai x yang memenuhi

y= 3x, khususnya seperti permasalahan pada langkah ke-3 aktivitas 3. Untuky= 4, didapat 3x= 4. Akibatnya, x=3log 4.

Untuky= 10, didapat 3x= 10. Akibatnya, x=3log 10. 1. log 100 = 2 karena 100 = 102

2. 2log 16 = 4 karena 16 = 24 3. 3log 3₉ = 2

3 karena 39 =

2 3

3

4. 6

log36= 4 karena 36 =

( )

4

6

Pada contoh tersebut, kamu mudah menentukan logaritmanya karena bilangan yang kamu hadapi tergolong istimewa. Bagaimana menentukan

6_{log 50,}9_{log 2, atau}27_{log 11?}

Untuk memudahkanmu dalam menentukan logaritma seperti itu, kamu harus mempelajari sifat-sifat berikut.

Untuk bilangan pokok positif, tidak sama dengan satu, dan numerus positif, berlaku

1. plog (ab)=ploga +plogb

2. plog⎛ ⎞⎜ ⎟_{⎝ ⎠}a_b =ploga−plog b

3. plogan=nploga

4. a. ploga= log_log

q

a

p c.

a_log_a₌₁ _e. p_{log 1}₌₀

b. ploga= a_log1 _p d. alogan=n

5. ploga× alogq=plogq

6. a. pnlog_am mplog_a

n

(26)

Pembuktian dalam buku ini hanya akan dijelaskan untuk sifat 1, 3, dan6a.

Dengan menggunakan definisi logaritma akan diperoleh

p_{log (}_ab₎₌_x₊_y₌p_log_a₊p_log_b

Jadi,plog (ab)=ploga+plogb.

p_log_an₌₌₌₌₌_np_log_a

Misalkanx=ploga maka a=px.

Jika kedua ruas persamaan dipangkatkan n maka

an=pxn

Logaritma dari kedua ruas dengan bilangan pokok q adalah

q_log_a₌q_log_px

Dengan menggunakan sifat 4a dan 3, didapatkan

log

Untuk sifat lainnya, coba kamu buktikan sendiri.

"

Gunakan sifat perkalian bilangan berpangkat

"

Ayo, gunakan sifat 3

CONTOH

Pembuktian sifat 4a

Pembuktian sifat 3

1. Tulislah 7log 45 sebagai penjumlahan beberapa bentuk logaritma! 2. Tulislah3log 12 sebagai selisih dua bentuk logaritma!

3. Tulislah 9log 32 sebagai perkalian bilangan cacah dengan bentuk logaritma!

4. Jika log 2 =a dan log 3 =b, nyatakan 27log 8 dalam a dan b! 5. 2log 3 ⋅ 3log 4 ⋅ 4log 5 = ….

Pembuktian sifat 1

(27)

Asah Kompetensi

₅

CONTOH

Jawab:

1. Soal ini termasuk soal terbuka (open ended question). Salah satu jawabannya adalah 7log 45 =7log 9 +7log 5.

(Jika jenis soalnya seperti ini, mungkin jawabanmu dengan jawaban teman berbeda tetapi kedua jawaban tersebut benar.)

2. Soal ini juga termasuk soal terbuka (open ended question). Salah satu jawabannya adalah 3log 12 =3log 24 −3log 2.

3. Oleh karena 32 = 25, maka kamu dapat menyatakan

9_{log 32}₌9_{log 2}5₌₅9_{log 2.}

4. 27log 8 = 3

3 3

log 2 = 33log 2 3 =

log 2 log 3

a b

=

"

_{Ayo, gunakan}_{sifat 6a dan 4a}

5. 2log 3 ⋅ 3log 4 ⋅ 4log 5 =2log 5

"

Ayo, gunakan sifat 5

1. Tuliskan dalam bentuk perkalian berulang!

a. 9log 64 = . . . . c. 6log 126 = . . . .

b. 3log 125 = . . . . d. 5log81= . . . .

2. Sederhanakanlah!

a. 2log 6 ⋅ 6log 8 ⋅ 8log 9 = . . . . c. 5log 7 ⋅ 7log 8 ⋅ 8log 10 = . . . . b. 2log 4 ⋅ 4log 3 ⋅ 3log 5 = . . . . d. 6log 2 ⋅ 2log 3 ⋅ 3log 6 = . . . .

D. Aplikasi Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

Konsep-konsep bentuk pangkat, akar, dan logaritma sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Bilangan berpangkat digunakan untuk menuliskan bilangan yang sangat kecil sampai pada bilangan yang sangat besar.

Bentuk akar dikembangkan sampai merasionalkan penyebut pecahan berbentuk akar. Sedangkan logaritma dapat digunakan untuk menentukan besarnya gempa bumi. Lebih jelasnya, pelajari contoh berikut ini.

Dari seismograf diketahui suatu gempa menghasilkan 0,1 milimeter pada jarak 100 km dari pusat gempa. Tentukan besarnya gempa tersebut! Jawab:

M (x) = M (0,1)

= log

0

x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = log

0, 1 0, 001

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

1

10−

(28)

Waktu : 60 menit

1. Tentukanlah nilai logaritma berikut. Kemudian, berikan alasannya! a.

1

2_log1

8= … , karena . . . . d.

1

3_{log 9} = …, karena . . . .

b. 5_{log 0,0016 = …, karena . . . .} _e. x_log_x_{= …, karena . . . .}

c. log 10= …, karena . . . . f. xlog 4

x = …, karena . . . .

2. Tulislah dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan beberapa

bentuk logaritma!

a. log 57 d. 5_{log 36}

b. 9_{log 5} _e. 2_{log (}_x3₊_x2_y₎

c. 12_{log 6} _f. _log

3 4

3 2

a b

c

3. x₁ dan x₂ memenuhi persamaan

(log (x− 1) ⋅ log(x+ 1)) x_log101 = log 10

Tentukanlahx₁⋅ x₂!

4. x₁ dan x₂ memenuhi persamaan

log

log log

x

x × = x

5 100

100

100 100

5 100

Tentukanlah 5 1 2

x x _!

5. Jikax dan y memenuhi persamaan

x_log_xyy_log_xy+x_log(_x−_y₎_y_log(_x−_y_{) = 0 dan}_x_>_y_{> 0}

tentukanlah x+y!

1. Jikax₁danx₂ memenuhi persamaan 100x_{log 0,1 =}1

3 −

x_{log 100, tentukanlah nilai}

1 2

logx nlogx

2. Jikay₁ dan y₂ memenuhi persamaan y + 3_{log 8 = log}2.000

3

y+ , tentukanlah nilai dari (y1+ 3)(y2+ 3)!

3 A

SAH

K

EMAMPUAN

Bobot soal: 8 Bobot soal: 13 Bobot soal: 12

Bobot soal: 18

(29)

6. Jika5_{log 3 =}_a_dan3_{log 4 =}_b_{, nyatakanlah}12_{log 75 dalam}_a_dan_b_! 7. Jika2_{log 3 =}_p_dan2_{log 5 =}_q_{, nyatakanlah}6_{log 50 dalam}_p_dan_q_! 8. Sederhanakanlah!

a. 2_{log 27}×5_{log 64}×3_log 1

5

b. 12 12

log 4+ log 4

c. 4_{log 12}+₂4_{log 3 – 3}4_{log 6}

9. Jikaa = br_, _b₌_cs_{dan c =}_at_{, tentukan nilai 2}_r+_st_!

10. Jika log _ba + log b_a = log (a+ b) maka a2+ _b2_{= . . . .}

1. Jikan bilangan bulat positif dan a bilangan real maka:

faktor

n

a = × × ×a a " a

2. Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat dan nol. a. _am ×_an =_am n+

b.

, 0

m

m n n

a

−

=

≠

c. a0 =1, 0a≠

3. Sifat pemangkatan bilangan berpangkat

a. ₍ m n₎ mn

a =a c.

n n n

a

b

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

b. (a b× )n =an×bn d.

a

m

1

m

a

−

₌

4. Sifat-sifat bentuk akar

a. n _am = _amn d. n _ab = n _a ⋅ n_b

b. _{p a}n +_q n_a =(_p+_q) n_a _e.

, 0

n n

n

a

b

=

b

≠

Bobot soal: 5

Bobot soal: 8

Bobot soal: 9

R

angkuman

(30)

5. Bentuk-bentuk akar sekawan

•

_a sekawan dengan − a

• (

a

+

b

)

sekawan dengan

(

a

−

b

)

• (

a

+

b

)

sekawan dengan

(

a

−

b

)

6. Jikan adalah logaritma dari a dengan bilangan pokok p, maka berlaku:

log ; 0, 0 dan 1

p n

a =n ⇔ p =a a> p > p≠

7. Sifat-sifat logaritma

a. log p (ab)= ploga + plogb

b. log p a ploga plogb

b

⎛ ⎞ = −

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

c. logp _an ₌_n plog_a

d.

•

log log log

log

q

p n p

q a

a n a n

p

⎛ ⎞

= = _⎜ _⎟

pnlogam m ploga n

=

•

plog pnlog n

(31)

Ulangan Bab 1

I. Pilihlah jawaban yang paling tepat!

1. Jika 25.125 = 3x⋅ 5y. 67z, maka nilai x,y, dan

3. Jika n adalah bilangan cacah dan

(32)

II. Jawablah pertanyaan berikut dengan jelas dan tepat!

1. Tentukanlah massa jenis rata-rata bumi jika massa bumi 5,98 × 1024 kg dan volum 1,08 × 1021m3!

2. Hambatan total R dari sebuah rangkaian seri-paralel diberikan oleh persamaan

R= (

1

R + ₂

1

R )−1+ R3

Jika R₁= 7,5 Ω , R₂= 5 Ω dan R₃= 6,5 Ω, maka R = . . . Ω

3. Hitunglah nilai dari 5 1 3 289 3 1

343+ + 512 !

4. Jika {alog (6x − 5)}(3log a) =20, tentukanlah nilai x!

5. Energi diam E sebuah proton dengan massa

diam m dihubungkan oleh persamaan

Einstein E = mc2, di mana c = kecepatan cahaya. Jika m = 1,7 × 10−27 kg dan

(33)

TUJUAN

PEMBELAJARAN

B

A

B

Gambar orang melempar batu ke atas

Sebuah batu yang dilempar vertikal ke atas memiliki ketinggianh meter di atas tanah setelah t detik, dinyatakan dengan persamaan h = 30t – 5t 2. Kapankah batu itu berada pada ketinggian 40 m di atas tanah?

Untuk menjawabnya, kamu harus mempelajari sebuah fungsi yang dikenal dengan nama fungsi kuadrat. Sebelum mempelajari fungsi tersebut, kamu juga harus mempelajari persamaan kuadrat.

Persamaan

Kuadrat dan

Fungsi Kuadrat

Persamaan

Kuadrat dan

Fungsi Kuadrat

♦ Kamu dapat menentukan akar-akar

persamaan kuadrat.

♦ Kamu dapat menentukan jumlah dan

hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

♦ Kamu dapat menyusun persamaan

kuadrat yang akar-akarnya memenuhi kondisi tertentu.

♦ Kamu dapat menggambarkan grafik

fungsi kuadrat.

♦ Kamu dapat menentukan syarat fungsi

kuadrat definit positif dan negatif.

♦ Kamu dapat menentukan akar-akar

persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat.

♦ Kamu dapat menentukan sumbu

simetri, titik puncak, sifat definit positif atau negatif fungsi kuadrat.

♦ Kamu dapat menentukan fungsi

kuadrat yang melalui tiga titik yang tidak segaris.

♦ Kamu dapat menjelaskan karakteristik

masalah yang mempunyai model matematika persamaan atau fungsi kuadrat.

♦ Kamu dapat menentukan besaran

masalah yang dirancang sebagai variabel persamaan atau fungsi kuadrat.

♦ Kamu dapat merumuskan persamaan

atau fungsi kuadrat yang merupakan model matematika dari masalah.

(34)

Panjang suatu kandang yang berbentuk persegi panjang adalah 3 m lebih panjang daripada lebarnya. Jika luas kandang tersebut 40 m2, berapakah ukurannya?

Untuk menyelesaikan masalah ini, kamu harus menggunakan rumus luas persegi panjang, yaitu L =pl. Misalkan, lebarnya x maka panjangnya x

+ 3, sehingga diperoleh persamaan berikut. (x+ 3)x= 40

x2+ 3x− 40 = 0

Pangkat terbesar variabel x pada persamaan tersebut adalah 2 dan pangkat terkecilnya 0. Persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat x2+ 3x− 40 = 0 telah ditulis dalam bentuk umum.

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx+ c= 0; a, b, c∈Rdan

a≠ 0, dengan :

• x adalah variabel

• a adalah koefisien dari x2

• b adalah koefisien dari x

• c adalah konstanta

Jika kamu menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut, berarti kamu mencari nilai variabel xyang memenuhi persamaan kuadrat. Nilai variabel

xini disebut akar persamaan kuadrat.

1. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Ada tiga cara untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu dengan memfaktorkan, melengkapkan kuadrat, dan rumus.

a. Memfaktorkan

Jika persamaan kuadrat ax2+bx + c= 0 dapat difaktorkan maka kamu dapat menuliskannya sebagai berikut.

ax2+ bx + c = 1_a(ax+p)(ax+ q)

ax2+bx+ c= (x+ p_a)(ax+ q)

ax2+ bx+ c= ax2+ (p+q)x+ pq_a

Jadi, p+q= b dan pq= ac.

Dengan demikian, untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat

ax2 + bx+ c = 0, kamu harus mencari dua bilangan yang jika dijumlahkan hasilnyab dan jika dikalikan hasilnya ac.

A. Persamaan Kuadrat

Catatan

6x2_–_x_{–15 = (2}_x+_{3) (3}_x_–5)

Bentuk umum:

ax2+_bx+_{c = (}_mx+_p_{) (}_nx+_q)

maka:m× n = a

mq+ np = b p×q = c

Sebaliknya,

m p n q

(2x+ 3) (3x− 5)

= (2x)(3x)+ (2x)(−5) + 3(3x)

+ 3(−5)

= 6x2−₁₀_x+₉_x−₁₅

= 6x2−_x−₁₅

1 2

4 3

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat berikut!

1. x2+ 3x= −2 2. 2x2− 5x− 12 = 0

(35)

Jawab:

Melengkapkan bentuk kuadrat persamaan ax2 + bx + c = 0 dilakukan dengan mengubah persamaan tersebut menjadi bentuk (x + h)2 = k, k ≥ 0. Untuk jelasnya, pelajari contoh berikut ini.

Tentukanlah nilai xyang memenuhi persamaan kuadrat berikut!

1. x(x+ 2) = 195 2. 2x2− 11x+ 15 = 0 Jawab:

1. x(x+ 2) = 195

• Gunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

x2+ 2x= 195

• Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien x, yaitu

2

pada kedua ruas persamaan.

(36)

2. 2x2−11x+ 15 = 0

• Tentukan persamaan kuadrat yang ekuivalen dengan 2x2− 11x+ 15 = 0 dan koefisien x2adalah 1.

− pada kedua ruas persamaan.

x2− 11

• Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien x, yaitu

2

⎝ ⎠ pada kedua ruas persamaan.

x2− 11

Dengan demikian, nilai x yang memenuhi persamaan adalah x= 21 2 atau 3.

c. Rumus

Rumus untuk menentukan akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 diperoleh melalui langkah-langkah yang sama seperti menentukan akar persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat. Langkah-langkah tersebut adalah sebagai berikut:

• Bagi persamaan kuadrat ax2+bx+ c= 0 dengan a, didapat x2+ b

(37)

Didapat, x2+ b_a x + c_a + _⎝⎜⎛−c_a⎞⎟_⎠ = 0 + ⎛⎜_⎝−c_a⎞⎟_⎠

x2+ b_a x = − c_a

• Tambahkan kedua ruas dengan kuadrat dari setengah koefisien x, yaitu

2

• Tentukan akar kuadrat dari kedua ruas sehingga diperoleh nilai x.

1

Dari rumus akar persamaan kuadrat tersebut, tentukanlah rumus untuk

(38)

x₁x₂=

Perhatikan kembali rumus akar persamaan kuadrat ax2+bx+c= 0, yaitu

2

Jenis kedua akar tersebut bergantung dari nilai b2− 4acyang ada di bawah tanda akar. Nilai b2 − 4ac disebut diskriminan, dilambangkan dengan D. Diskriminan berarti membedakan jenis akar.

Jikax₁ dan x₂akar-akar persamaan kuadrat ax2+ bx+ c= 0; a, b, c∈ R

D kuadrat sempurna

D bukan kuadrat sempurna

mempunyai dua akar yang sama

Dua akar bilangan real dan rasional

Dua akar bilangan real dan irasional

Tidak mempunyai akar bilangan real

D= 0

D> 0

(39)

Jawab:

a. Diskriminan persamaan kuadrat 3x2− 5x+ 2 = 0 adalah

D = (−5)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2

= 25 − 24 = 1

BerartiD > 0 maka merupakan kuadrat sempurna.

Sehingga persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar bilangan real dan rasional yang berbeda.

b. Pada persamaan kuadrat 3x2− 5x+ 2 = 0, diketahui a= 3, b= −5, danc= 2. Dengan menggunakan rumus akar persamaan kuadrat, maka akan diperoleh nilai x₁ dan x₂ sebagai berikut.

c. Dengan menggunakan rumus.

• x₁+x₂= −_ab = −( 5)−₃ =5₃

"

Gunakan sifat komutatif penjumlahan, yaitu

x₂+x₁ = x₁+x₂

"

Gunakan sifat komutatif penjumlahan, yaitu - 2x₁x₂+x₂2₌_x

2

2_{- 2}_x

(40)

Asah Kompetensi

₁

1. Dengan menggunakan diskriminan, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut. Kemudian, tentukan akar-akar tersebut dengan cara memfaktorkan!

a. x2 − 7x− 30 = 0 e. 3x2 = 7 − 4x

b. y2 − 6y− 16 = 0 f. 2y2 −( −y ) = 0 c. z2 − 12z + 36 = 0 g. −8z − 30 + 5z2 = 0

d. p2 + 7 = 4p h. (2p+ 1)(5p− 4) − (3p−2)2 = 0

2. Dengan menggunakan diskriminan, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut. Kemudian, tentukanlah akar-akar tersebut dengan cara melengkapkan kuadrat!

a. 2x2 − 2x− 1 = 0 e. 3x2 − 4 = (x+ 1)2 b. 3y2 − 6y+ 1 = 0 f. 1

3(y− 1) = y

2

c. 5p2 − 5p+ 2 = 0 g. (p+ 1)(2p− 1) = y+ 2 d. − h+ 4 = 0 h.

2

1 2

4 6

y− y +

=

3. Dengan menggunakan diskriminan, tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut. Kemudian, tentukan akar-akar tersebut dengan menggunakan rumus!

a. 5x2 − 16x + 2 = 0 c. (x− 1)(x+ 1) = 20 b. y2 + 5y − 24 = 0 d. _yy₋+₄4+_yy−₊₄4=10₃

e. (z − 1)(z − 1) = 12 g. 2+ 2

7 4

z= z

f. (p− 1)2 − 2p= 0 h. 1 1 1 0

1 2 3

x− +x− +x− =

4. Akar-akar persamaan kuadrat ax2 − 3ax + 5(a− 3) =0 adalah x₁ dan x₂. Jikax₁3 + x₂3= 117, tentukanlah nilai a2+ a!

5. Jika x₁ dan x₂ akar-akar persamaan kuadrat ax2+bx+ c=0 dan 1 +

1 2

1 1

x +x = 0, buktikan

bahwab= c!

6. Akar-akar persamaan kuadrat x2 − 2x + m=0 adalah x₁ dan x₂. Jika 12 22

2 1

1 1

9

x x

x +x = − , tentukanlah nilai m!

7. Selisih akar-akar persamaan x2 − nx + 24 = 0 adalah 5. Tentukanlah jumlah akar-akar

persamaan tersebut! UMPTN 1994*

8. Tentukanlah nilai ab jika a dan b merupakan akar-akar real persamaan

x2+ x= 2

2 1

(41)

Nini Sentera dan Cendikia mencoba mencari akar-akar persamaan kuadrat. Saat mengerjakannya, Cendikia melakukan kesalahan ketika menyalin konstanta persamaan kuadrat itu. Ia pun mendapatkan akar persamaan kuadrat 2 dan 8. Sedangkan Nini Sentera melakukan kesalahan ketika menyalin koefisien x sehingga mendapatkan akar −9 dan −1. Coba cari akar persamaan kuadrat yang benar. Tentukan pula persamaan kuadratnya!

Persaman kuadrat (2x+ 3)(3x− 5) dapat dibentuk dengan men-galikan (2x+ 3) dan (3x− 5)

2x+ 3 3x− 5 --–––––––––––×

−10x− 15 6x2 +₉_x

--–––––––––––--––– × 6x2 − _x −₁₅

2. Membentuk Persamaan Kuadrat

Suatu persamaan kuadrat dapat dibentuk apabila diketahui nilai akarnya atau nilai akar persamaan kuadratnya berelasi dengan akar-akar persamaan kuadrat lain.

Pada bagian sebelumnya, kamu telah mengetahui jika akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah x₁ dan x₂ maka kamu dapat menyatakan persamaan kuadrat itu sebagai a(x−x₁)(x−x₂)= 0.

Sekarang, pernyataan tersebut dibalik, jika kamu mengetahui akar-akar persamaan kuadrat maka kamu dapat menyusun persamaan kuadrat tersebut melalui persamaan berikut.

a(x− x₁)(x−x₂)= 0 ⇔a(x2− (x₁+x₂)x+ x₁x₂)= 0