SMA MA Rangkuman Matematika. pdf

MATEMATIKA

BAB 1

EKSPONEN DAN LOGARITMA

A. EKSPONEN

Definisi

Jika a adalah suatu bilangan real dan n suatu bilangan bulat positif (bilangan asli), maka:

... = × × × × ×

n

a a a a a a

Dengan:

a = bilangan pokok (basis) dan n = pangkat atau eksponen

1. Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat Positif

Jika m, n, dan p adalah bilang bulat positif, a b R, ∈ , maka:

a. _am_×an_=am n+ b. am:an=am n− ,a≠0 c.

( )

_am n_=amn

d. (a bm n p) =a bmp np

e. , 0

p m mp n np

a a

b

b b

 

= ≠

    f. 0

1

a = ,a≠0 g. a n 1_n

a

− _{= , a≠0}

2. Persamaan Eksponen

a. _af x( )_=ag x( )_{⇒f x}( )_{=g x}( )

b. af x( )=bf x( )⇒f x( ) 0= c. f x

( )

g x( )=f x

( )

h x( )maka:

n g(x) = h(x) n f(x) = 1

n f(x) = –1, g(x) dan h(x) sama-sama genap/

ganjil

n f(x) = 0, g(x) dan h(x) sama-sama positif 3. Pertidaksamaan Eksponen

Jika af x( )>ag x( ) maka berlaku:

n f(x) > g(x) , untuk a > 1 n f(x) < g(x) , untuk 0 < a < 1

B. BENTUK AKAR

Sifat-sifat Bentuk Akar

a. n_an _=a

b. a⋅ b= a b⋅ c. a a

b b= d. n_am =_amn

e. 1 1 a 1 a

C. LOGARITMA

Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu

mencari pangkat dari suatu bilangan pokok, sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.

log logaritmanya, dengan b > 0,

3. c dinamakan hasil logaritma.

1. Sifat-Sifat Logaritma

Dalam logaritma berlaku sifat-sifat sebagai berikut.

a. alog_{b= ⇔c a}c_=b

2. Persamaan Logaritma

log ( ) log ( ) ( ) ( )

a _{f x =}a _{g x ⇒f x =g x}

3. Pertidaksamaan Logaritma

Jika alog ( )_{f x ≤}alog ( )_{g x , maka berlaku:} II. Syarat Numerus:

1. f x( ) 0> 2. g x( ) 0>

BAB 2

PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

A. PERSAMAAN KUADRAT

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah

+ + =

2 ₀

ax bx c

dengan a, b, c bilangan real dan a≠0.

1. Jenis-jenis Akar

Persamaan kuadrat _ax2+_bx+ =_{c 0 mempunyai:}

2. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

Diketahui x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan

3. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat

Diketahui persamaan kuadrat _ax2+_bx+ =_{c 0} de-ngan x₁ dan x₂ akar-akarnya, maka sifat akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui:

1. Kedua akarnya positif, jika: + > ⋅ > ≥

1 2 0 ; 1 2 0 ; D 0

2. Kedua akarnya negatif, jika:

+ < ⋅ > ≥

1 2 0 ; 1 2 0 ; D 0

x x x x

3. Kedua akarnya berlainan tanda, jika: ⋅ <

1 2 0 ; D > 0

x x

4. Kedua akarnya berlawanan, jika: + =

1 2 0

x x

5. Kedua akarnya berkebalikan, jika: ⋅ =

1 2 1

x x

4. Menentukan Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat baru yang akarnya α dan

θ

adalah

(

α β

)

α β − + + ⋅ =

2 ₀

x x

B. FUNGSI KUADRAT

Fungsi f yang didefinisikan sebagai _{f x( )}=_ax2+_bx+_c di mana a b c, , ∈R dan a≠0 didefinisikan sebagai fungsi kuadrat.

1. Hubungan a, b, c, dan D

Fungsi kuadrat _{f x( )}=_ax2+_bx+_{c didapat hubungan:}

a. “a” menentukan keterbukaan kurva. i. a > 0 ⇒parabola terbuka ke atas. ii. a < 0 ⇒parabola terbuka ke bawah.

a > 0 a < 0

b. Jika a b⋅ >0 maka puncak berada di sebelah kiri sumbu y.

Jika a b⋅ <0 maka puncak berada di sebelah kanan sumbu y.

c. “c” menentukan titik potong dengan sumbu y. i. c > 0 ⇒parabola memotong sumbu y positif. ii. c = 0 ⇒parabola memotong sumbu y di (0, 0). iii. c < 0 ⇒parabola memotong sumbu y negatif. d. “_D=_b2−_{4ac” menentukan titik potong dengan}

sumbu x.

i. D > 0 ⇒ parabola memotong sumbu x di

dua titik.

ii. D = 0 ⇒ parabola menyinggung sumbu x. iii. D < 0 ⇒ parabola tidak memotong sumbu x.

2. Nilai Ekstrem Dari Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat f x( )=ax2+bx+c mempunyai: 1. Sumbu simetri: =−

2 b x

a 2. Nilai ekstrem: = −

− −

2 ₄

4 4

D b ac

a a

Nilai ekstrem maksimum jika a < 0. Nilai ekstrem minimum jika a > 0.

3. Menyusun Persamaan Fungsi Kuadrat

a. Diketahui titik puncak ( , )x yp p dan titik lain

= ₍ − ₎2+

p p

y a x x y

b. Diketahui titik potong dengan sumbu x, ( ,0)x₁ dan

2

( ,0)x serta titik lain

= ( − 1)( − 2)

y a x x x x c. Diketahui tiga titik pada parabola

= 2+ + y ax bx c

4. Definit a. Definit Positif

Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai positif untuk semua x disebut definit positif.

Syarat: D < 0 dan a > 0 b. Definit Negatif

Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai negatif untuk semua x disebut definit negatif.

BAB 3

PERTIDAKSAMAAN

A. SIFAT UMUM

Sifat yang berlaku pada pertidaksamaan, untuk a, b, c, dan d ∈R adalah sebagai berikut.

1. a > b maka a + c > b + c 2. a > b, c > d maka a + c > b + d 3. a > b, b > c maka a > c 4. a > b, c > 0 maka a c > b c 5. a > b, c < 0 maka a c < b c 6. a > b, a > 0, b > 0 maka a2 > b2 7. a > b, a < 0, b < 0 maka a2 < b2 8. a

b> 0 maka a, b > 0 atau a, b < 0

B. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN

n Tanda koefisien pangkat tertinggi sama dengan

tanda pada ruas yang paling kanan.

n Pangkat genap memiliki tanda yang sama. n Pangkat ganjil memiliki tanda yang berlawanan.

C. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKAR

Langkah penyelesaian: 1. Kuadratkan kedua ruas. 2. Syarat di dalam akar harus ≥ 0.

D. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK NILAI MUTLAK

Nilai mutlak untuk xÎR didefinisikan: jika 0

jika 0 0 jika 0

x x

x x x

x

ì >

ïï ïï

= -_íï <

ïï =

ïî

Beberapa sifat penyelesaian pertidaksamaan mutlak:

1. x £ Û - £ £a a x a

2. x ³ Û £-a x a atau x³a

3. f x( )£g x( ) Û( ( )f x +g x( ))( ( )f x -g x( )) 0£ 4. ( )

( ) f x

k

g x £ Û( ( )f x- ×k g x( ))( ( )f x + ×k g x( )) 0£

BAB 4

LOGIKA MATEMATIKA

A. DEFINISI

n Pernyataan (proposisi) adalah suatu kalimat yang

bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

n Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat

variabel dan menjadi pernyataan jika variabel tersebut diganti konstanta dalam himpunan semestanya.

Beberapa operator yang digunakan dalam logika.

No Operator Arti

Nama Lambang

1 Negasi ~ Tidak, bukan

2 Konjungsi _Ù dan, tetapi

3 Disjungsi ∨ atau

4 Implikasi _Þ jika...maka

5 Biimplikasi _Û jika dan hanya jika

B. NILAI DAN TABEL KEBENARAN

p q ~p p∧q p∨q pÞq pÛq

B B S B B B B

B S S S B S S

S B B S B B S

S S B S S B B

C. NEGASI/INGKARAN

No Pernyataan Negasi/Ingkaran

1 p qÙ pÚq

2 p qÚ pÙq

3 pÞq pÙq

D. EKUIVALENSI

Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama. Contoh:

p

⇒ ≡

q



q

⇒



p

≡



p

∨

q

E. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

n Konvers dari implikasi pÞq adalah qÞp

n Invers dari implikasi pÞq adalah ~pÞ~q

n Kontraposisi dari implikasi pÞq adalah ~qÞ~p

F. PENARIKAN KESIMPULAN

(B) (B) (B) p q p

q Þ

\

(B) (B) (B) p q

q p Þ

\ 



(B) r (B) (B) p q q

p r Þ Þ \ Þ

Modus Ponens Modus Tollens Sillogisme

BAB 5

SISTEM PERSAMAAN DAN PERSAMAAN GARIS

A. SISTEM PERSAMAAN

Sistem persamaan dapat diselesaikan dengan:

n Metode eliminasi n Metode substitusi n Metode campuran

B. PERSAMAAN GARIS

1. Melalui titik (x1, y1) dengan gradien m, berlaku:

1 ( 1)

y−y =m x−x

2. Garis yang melalui (x1, y1) dan(x2, y2), berlaku:

1 1

2 1 2 1

y y x x

y y x x

− −

=

− −

3. Memotong sumbu x di titik (b, 0) dan sumbu y di titik (0, a) berlaku:

y a

b x

ax + by = a.b

C. HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS

Diketahui garis g y: =m x₁ +c₁ dan garis

2 2

:

h y=m x+c maka

n Garis g dan h sejajar jikam₁=m₂

n Garis g dan h berpotongan tegak lurus jika

1 2 1

m m× =

-n Garis g dan h berpotongan dan membentuk sudut

sebesar a dengan

1 2

1 2

tan 1

m m

m m

a=

Sistem persamaan dapat diselesaikan dengan:

n Metode eliminasi n Metode substitusi n Metode campuran

1. Melalui titik , berlaku:

BAB 6

STATISTIKA DAN PELUANG

A. STATISTIKA

1. Rata-rata/mean (x)

Modus adalah data dengan frekuensi paling banyak atau data yang paling sering muncul.

n Data tunggal:

Contoh:

Diketahui data: 3, 3, 6, 8, 7, 9, 9, 7, 5, 7, 7, 7. Modus dari data tersebut adalah 7.

n Data kelompok:

1

1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

d

2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

c = panjang kelas

3. Median (Me/Q₂)

Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Median bisa disebut juga kuartil 2 atau kuartil tengah.

∑

f= jumlah seluruh frekuensi sebelum kelas Me f_k = frekuensi kelas yang memuat Me

4. Kuartil

Nilai yang membagi sekumpulan data yang telah terurut menjadi 4 bagian.

Data kelompok:

n Jangkauan atau range dirumuskan dengan:

max min = −

J x x

n Jangkauan antarkuartil (H):

3 1

= −

H Q Q

n Jangkauan semi antarkuartil (Q_d):

3 1

6. Simpangan rata-rata (SR)

7. Ragam/variansi (R)

8. Simpangan baku/deviasi standar (S)

Data tunggal:

9. Perubahan data

Bila masing-masing data diubah dengan nilai yang sama, berlaku

Perubahan

- Yang termasuk ukuran pemusatan adalah: x , Mo, Me, Q₁ .

- Yang termasuk ukuran penyebaran adalah: J, H, Q_d, S, R.

B. PELUANG

Aturan Perkalian

Misalkan terdapat n tempat tersedia dengan:

n A

1 adalah banyak cara untuk mengisi tempat pertama.

n A

2 adalah banyak cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi.

n A

3 adalah banyak cara untuk mengisi tempat ketiga setelah tempat pertama dan kedua terisi.



n A

n adalah banyak cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat pertama, kedua, ..., ke (n – 1) terisi. Banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia secara keseluruhan adalah:

A

1 × A2 × A3 × ... ×In Notasi Faktorial

n! = 1 × 2 × 3 ×... (n – 1) × n 1! = 0! = 1

dengan n bilangan asli

1. Permutasi

n Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah

cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda dengan memperhatikan urutannya (AB ≠BA)

n Rumus dan notasi yang digunakan dalam

permutasi adalah:

- Banyaknya permutasi n unsur yang diambil dari n unsur adalah P(n, r) = n!

- Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur:

!

n Permutasi k unsur dengan terdapat m unsur yang

sama, n unsur yang sama dan  unsur yang sama

n Banyaknya permutasi siklis (lingkaran) dari n unsur

adalah

(n – 1)!

2. Kombinasi

n Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur dengan

cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutan-nya (AB = BA).

n Kombinasi k unsur dari n unsur dilambangkan dengan _nC

k atau C n k( , ).

n Banyaknya kombinasi k unsur yang diambil dari n

unsur adalah

3. Peluang Kejadian

4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Misalkan Ac adalah komplemen kejadian A, maka ( ) 1c ( )

P A = −P A

5. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah

FH(A) = n × P(A)

6. Peluang Kejadian Majemuk

a. Gabungan Dua Kejadian

Untuk setiap kejadian A dan B berlaku

( ) ( ) ( ) ( )

P A∪ =B P A +P B −P A∩B

b. Kejadian Saling Lepas

Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian saling lepas bila A dan B tidak punya irisan, yang berakibat P A( ∩B)= 0, sehingga

( ) ( ) ( )

P A∪ =B P A+P B c. Kejadian Saling Bebas

A dan B disebut dua kejadian saling bebas bila kejadian yang satu tidak dipengaruhi kejadian lainnya.

( ) ( ) P(B)

P A∩ =B P A⋅

BAB 7

TRIGONOMETRI

Dalam sebuah segitiga ABC berlaku hubungan:

B C

A. SUDUT-SUDUT ISTIMEWA

0o 30o 45o 60o 90o

Sin 0 ½ _{½ 2 ½ 3} 1

Cos 1 _{½ 3 ½ 2} ½ 0

Tan 0 1

3 3 1 3 ~

B. SUDUT-SUDUT BERELASI

y

Kuadran III Kuadran IV

0o

sin(180 ) sin

sin(180 ) sin

cos(180 ) cos

cos(180 ) cos

tan(180 ) tan

tan(180 ) tan

o

sin(270 ) cos

sin(270 ) cos

cos(270 ) sin

cos(270 ) sin tan(270 ) cot

tan(270 ) cot

o

sin(360 ) sin

sin(360 ) sin

cos(360 ) cos

cos(360 ) cos

tan(360 ) tan

tan(360 ) tan

o

C. IDENTITAS TRIGONOMETRI

Dalam trigonometri juga berlaku sifat-sifat:

D. ATURAN SINUS DAN COSINUS

sin sin sin

a b c A= B= C

Pada setiap segitiga sembarang ABC berlaku aturan sinus, yaitu:

Pada tiap segitiga sembarang ABC berlaku aturan

E. MENGHITUNG LUAS SEGITIGA

Jika pada suatu segitiga ABC diketahui besar sudut dan dua sisi yang mengapit sudut, maka berlaku hubungan:

A B

F. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT

2 2

2 2

2 sin2 2sin cos

cos2 cos sin

2cos 1

G. RUMUS PERKALIAN SINUS-COSINUS

1 1

BAB 8

DIMENSI TIGA

A. JARAK

n Jarak Antara Dua Titik

Adalah panjang garis lurus yang menghubungkan kedua titik itu.

A B

Panjang ruas garis AB menunjukkan jarak antara titik A dan titik B.

n Jarak Titik ke Garis

Adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke garis. A

g B

AB menunjukkan jarak antara titik A dan garis g yang ditunjukkan oleh ruas garis AB yang tegak lurus g.

n Jarak antara Titik dengan Bidang

Adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke bidang atau panjang garis lurus dari titik ke titik proyeksinya pada bidang.

B. SUDUT

n Sudut Dua Garis Bersilangan

Misalkan garis g dan h bersilangan maka cara melukis sudut antara garis g dan h adalah: - lukis garis g’ yang sejajar g dan memotong h, - sudutnya = sudut antara garis g’ dan h.

n Sudut Antara Garis g dan Bidang V

Langkah:

- proyeksikan garis g ke bidang V, sebut hasilnya g’,

- sudutnya = sudut antara garis g dan g’.

n Sudut Antara Dua Bidang

Langkah:

- tentukan perpotongan antara bidang V dan W sebut l,

- lukis garis di bidang V tegak lurus l, sebut g, - lukis garis di bidang W tegak lurus l, sebut h, - sudutnya = sudut antara garis g dan h.

Jarak antara P dan bidang ditun-jukkan oleh garis m yang tegak lurus bidang.

BAB 9

LINGKARAN

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

A. PERSAMAAN LINGKARAN

n Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari

jari = r. y

x r (0, 0)

2 2 2

x +y =r

n Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan

jari-jari = r. y

x r (0, 0)

(a, b)

(

) (

)

2 2 2

− + − =

x a y b r

n Persamaan lingkaran dengan pusat (0, b) dan

y

x r

(0, b)

(

) (

2

)

2 2

x−a + y−b =b

n Persamaan lingkaran dengan pusat (a, 0) dan

menyinggung sumbu y: y

x r (a, 0)

(

) (

2

)

2 2

x−a + y−b =a

n Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan

menyinggung garis px + qy + r = 0. y

px + qy + r = 0

x d

(a, b)

(

x−a

) (

2+ y−b

)

2=d2

Dengan

2 2

ap bq r d

p q + + =

+ . Jari-jari lingkaran adalah d.

1. Persamaan Umum Lingkaran

2 2 ₀

x +y +Ax+By+ =C

Pusat , 2 2 A B _{− −} 

 

  dan jari-jari

2 2

4 4

A B

r= + −C 2. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaan L: x2 _{+ y}2 + 2ax + 2by + c = 0 dan sebuah titik A(x

1, y

1). Kedudukan titik A(x1, y1) terhadap lingkaran L adalah:

K = x₁2 _{+ y} 1

2 _{+ 2ax}

1 + 2by1 + c

n K > 0 maka titik A(x

1, y1) berada di luar lingkaran.

n K < 0 maka titik A(x

1, y1) berada di dalam lingkaran.

n K = 0 maka titik A(x

1, y1) berada pada lingkaran.

B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA

LINGKARAN

1. Diketahui titik singgungnya

(

x y₁, ₁

)

n Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 ₊ y2 _{= r}2 di titik (x

1, y1). Rumus:

2

1 1

x x + y y = r

n Persamaan garis singgung pada lingkaran

(

_x−a

) (

2_{+ y−b}

)

2 _=r2 _{di titik (x}

1, y1). Rumus:

(

)

(

)

(

)

(

)

2

1 1

x−a x −a + y−b y −b =r

n Persamaan garis singgung di titik P(x

1, y1) pada lingkaran: x2 _{+ y}2 + 2ax + 2by + c = 0. Rumus:

1 1 ( 1 ) ( 1 ) 0

x x + y y + a x + +x b y + + =y c 2. Diketahui gradien m

n Persamaan garis singgung dengan gradien m

pada lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0) dan jari–jari r.

Rumus:

2

1 = ± +

y mx r m

n Persamaan garis singgung dengan gradien m

pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 _{= r}2. Rumus:

(

)

₁ 2

− = − ± +

y b m x a r m

C. HUBUNGAN GARIS DENGAN LINGKARAN

Diberikan garis g: y = mx + n dan lingkaran:

2 2 2

x ≡ + =

L y r . Hubungan antara garis g dan lingkaran L dapat diselidiki dengan cara:

n Substitusi garis g ke L.

n Selanjutnya, ada 3 kemungkinan yang terjadi,

yaitu:

1. D > 0, maka garis memotong lingkaran pada dua titik,

2. D = 0, maka garis memotong lingkaran pada satu titik (garis menyinggung lingkaran), 3. D < 0, maka garis tidak menyinggung lingkaran.

BAB 10

SUKU BANYAK

Bentuk umum: f(x) = a_nxn _{+ a}

n-1xn-1 + an-2xn-2+ ... + a1x + a0, dengan a

n≠0, n bilangan cacah. an, an-1, an-2, ... , a1, a₀ disebut koefisien-koefisien suku banyak dari masing-masing peubah (variabel) x yang merupakan konstanta real dan a

n≠0. Sedangkan a0 disebut suku tetap

(konstanta).

A. NILAI SUKU BANYAK

Nilai dari f(k) dapat dicari dengan: 1. Cara Substitusi

Jika f(x) = x4 – 2x3 + x + 5 maka nilai suku banyak tersebut untuk x = 1 adalah

f(1) = (1)4 – 2.( 1) 3 _{+ 1 + 5 = 5} 2. Metode Horner

Jika ax3 _{+ bx}2 + cx + d adalah suku banyak maka f(h) diperoleh cara sebagai berikut.

a

a ah3 _{+ bh}2 _{+ ch + d}

ah3 _{+ bh}2 _{+ ch}

ah2 _{+ bh + c}

ah2 _{+ bh}

ah + b ah

h b c d

+

Berarti kalikan dengan h

B. PEMBAGIAN SUKU BANYAK

Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi oleh suku banyak g(x) berderajat kurang dari n, maka didapat suatu hasil bagi h(x) dan sisa pembagian s(x), secara matematis pembagian ini dapat ditulis:

f(x) = h(x) g(x) + s(x) Keterangan:

f(x) = yang dibagi à berderajat n g(x) = pembagi à berderajat k h(x) = hasil bagi à berderajat (n – k) s(x) = sisa à berderajat (k – 1)

Catatan: k < n

C. TEOREMA SISA

n Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x – a) maka

sisanya = f(a).

n Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x + a) maka

sisanya = f(–a).

n Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (ax – b) maka

sisanya = f(b a).

n Jika (x – a) habis dibagi/faktor dari suku banyak f(x)

maka f(a) = 0.

D. TEOREMA FAKTOR

n Jika f(a) = S = 0, sehingga a merupakan pembuat

nol suku banyak f(x), maka (x – a) adalah faktor dari suku banyak f(k).

n Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a) = 0 dan f(b)

= 0, maka f(x) habis dibagi (x – a) (x – b).

n Jika (x – a) adalah faktor dari f(x), maka x = a adalah

akar dari f(x).

E. OPERASI AKAR-AKAR PADA SUKU BANYAK

n Fungsi derajat tiga: ax3 _{+ bx}2 + cx + d = 0

1 2 3

1 2 1 3 2 3

1 2 3

1.

2.

3. . .

b

x x x

a c x x x x x x

a d x x x

a + + = −

+ + =

= −

n Fungsi derajat empat: ax4 _{+ bx}3 _{+ cx}2 + dx + e = 0

1 2 3 3

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 1 3 4 1 2 4 2 3 4

1 2 3 4

1.

2.

3.

4. . . .

b

x x x x

a

c x x x x x x x x x x x x

a d x x x x x x x x x x x x

a e

x x x x a + + + = −

+ + + + + =

+ + + = −

BAB 11

FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS

Relasi dari himpunan A ke himpunan B terjadi jika ada anggota A dan B yang berpasangan. Himpunan A disebut domain/daerah asal, himpunan B disebut daerah kawan/kodomain, dan himpunan bagian B yang berpasangan dengan A disebut daerah hasil atau range. Fungsi adalah suatu relasi yang mengawankan setiap anggota domain dengan tepat satu kawan dengan anggota kodomain ditulis f : A→B.

A. FUNGSI KOMPOSISI

f(x)

x g(f(x))

gof f

A B C

g

(

g f

)( )

x =f f x

(

( )

)

Sifat-sifat fungsi komposisi:

n f g ≠g f

n f (g h)=(f g ) h=f g h 

n I adalah fungsi identitasi di mana I(x) = x, maka

berlaku I f =f I dan _ff−1_=f−1_f=I

B. FUNGSI INVERS

Suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi itu berkorespondensi satu-satu. Invers fungsi f(x) dinotasikan _f−1_{( )x .}

f(x) x

f-1 f

A B

Sehingga jika f(x) = y maka f-1 (y) = x. Fungsi invers berlaku:

-1 ( ) = ⇔ ( )=

f a b f b a

Rumus,

( ) ax b 1( ) dx b

f x f x

cx d cx a

-+ - +

= Þ =

+

-C. INVERS KOMPOSISI FUNGSI

f(x)

x g(f(x))

gof

(gof)-1 f

A B C

g

Sifat:

(

_{g f}

) ( )

−1 _{x =}

(

_f−1_g−1

)

( )

_x

BAB 12

LIMIT

A. TEOREMA LIMIT

n Jika f(x) = k, maka lim

x→a f(x) = k, dengan k konstanta,

k dan a∈ real

n Jika f(x) = x, maka lim

x→a f(x) = a

n lim

x→a { f(x) ±g(x)} = limx→a f(x) ±limx→a g(x)

n lim

x→a k. f(x) = k. limx→a f(x), k konstanta

n lim

x→a { f(x). g(x)} = limx→a f(x). limx→a g(x)

n

lim ( ) ( )

lim , lim ( ) 0

( ) lim ( )→

→ →

→

=x a ≠

x a x a x a

f x f x

g x

g x g x

n lim ( )

{

}

{

lim ( )

}

n n

Relasi dari himpunan ke himpunan

yang berpasangan. Himpunan domain/daerah asal, himpunan

daerah kawan/kodomain, dan himpunan bagian yang berpasangan dengan daerah hasil range. adalah suatu relasi yang mengawankan setiap anggota domain dengan tepat satu kawan dengan anggota kodomain ditulis

n n

n adalah fungsi identitasi di mana ( ) = maka

Suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi itu berkorespondensi satu-satu. Invers fungsi ( )

n ( ) = , maka ( ) = , dengan konstanta,

a. Dengan pemfaktoran.

b. Dengan aturan L’Hospital diperoleh:

( ) '( ) '( )

C. LIMIT TRIGONOMETRI

0

Beberapa rumus bantu: 1. sin2x + cos2x = 1

A. DEFINISI

0

1. Turunan suatu konstanta c. Jika y = c maka y’ = 0 2. Turunan perkalian fungsi dan konstanta.

Jika y = c f(x) maka y’ = c f’ (x)

3. Turunan penjumlahan/pengurangan fungsi. Jika y = u(x) ±v(x) maka y’ = u’(x) ±v’(x) 4. Turunan perkalian fungsi.

Jika y = u(x).v(x) maka y’ = u’(x).v(x) + u(x) v’(x) 5. Turunan pembagian fungsi.

Jika ( )

6. Turunan fungsi komposisi (dalil rantai).

7. Turunan fungsi pangkat.

Jika f(x) = axn _{maka f’(x) = a.n x}n 1₋

Turunan Trigonometri

n f(x) = sin ax, maka f’(x) = a cos ax n f(x) = cos ax, maka f’(x) = –a sin ax n f(x) = tan ax, maka f’ (x) = a sec2ax

C. PENERAPAN TURUNAN

n Gradien (m) garis singgung di titik (x y₁, ₁) pada kurva f(x)

(x y₁, ₁)

m = f’(x) f(x)

Gradien = nilai turunan pertama f(x) ketika x = x₁. m =f ’(x

1)

Persamaan garis singgungnya:

1 ( 1)

y−y =m x−x

n Interval fungsi naik dan interval fungsi turun

Kurva naik jika: f’(x) > 0 Kurva turun jika: f’(x) < 0

n Keadaan stasioner

Bila keadaan stasioner terjadi di titik ( , )x y1 1 maka

f’(x₁) = 0. y₁= f x( )₁ disebut nilai stasioner. Jadi nilai maksimal/minimum adalah .( , ( ))x f x1 1

Catatan:

Titik stasioner sama artinya dengan titik puncak/ titik balik.

BAB 14

INTEGRAL

Integral adalah anti turunan.

( )

( )

f x dx

′

=

f x

+

C

∫

A. RUMUS DASAR

1.

∫

a dx=ax + C

2. 1 1 , syarat 1

1

n n

x dx x C n

n +

= + ≠ −

+

∫

3. 1dx lnx C

x = +

∫

4.

∫

sin x dx= −cosx+C 5.

∫

cos x dx=sinx+C

6. in os 1 in 1

1

m m

s x c xdx s x C

m +

= +

+

∫

7. _sin 1 _cos 1

1

m m

cos x x dx x C

m

+ −

= +

+

∫

8.

∫

(

f x( )±g x( )

)

dx=

∫

f x dx( ) ±

∫

g x dx( ) B. INTEGRAL SUBSTITUSI

(

)

(

( )

)

1 '( ) ( )

1

n n f x

f x f x dx C

n +

⋅ = +

+

∫

C. INTEGRAL PARSIAL

UdV

=

UV

−

VdU

∫

∫

D. LUAS DAERAH

(

)

(

2 1

)

b

atas bawah a

b

a

L y y dx

L y y dx

= −

= −

∫

∫

(

)

(

2 1

)

d

kanan kiri c

d

c

L

x

x

dy

L

x

x dy

=

−

=

−

Integral adalah anti turunan.

E. VOLUME BENDA PUTAR

Jika y

1 dan y2 dua fungsi kontinu pada p≤ ≤x q, maka volume benda putar yang dibatasi oleh y

1 dan y2 bila diputar terhadap sumbu x.

2 2

2 1

2 2

( ) ( )

( ) ( )

q p q

jauh dekat p

V y y dx

V y y dx

π

π

 

= _ − _

 

= _ − _

∫

∫

Jika x

1 dan x2 dua fungsi kontinu pada r≤ ≤x s, maka volume benda putar yang dibatasi oleh x

1 dan x2 terhadap sumbu y.

2 2

2 1

2 2

( ) ( )

( ) ( )

s r s

jauh dekat r

V x x dy

V x x dy

π

π

 

= _ − _

 

= _ − _

∫

∫

BAB 15

PROGRAM LINEAR

Program linear adalah salah satu bagian dari matematika terapan yang dapat memecahkan berbagai persoalan sehari-hari, di mana model matematika terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linier yang mempunyai banyak penyelesaian, satu atau lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian optimum).

n Masalah tersebut disajikan dalam bentuk model

matematika kendala/syarat/masalah berupa sis-tem pertidaksamaan linear.

n Hasil yang optimum ditentukan dengan terlebih

dahulu membuat model matematika. Sasaran pro-gram berupa sebuah fungsi linier yang disebut fungsi sasaran/tujuan/objektif.

A. MENENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN

Daerah (himpunan) penyelesaian pertidaksamaan 0

Ax+By+ ≥C atau Ax+By+ ≤C 0 dapat ditentukan sebagai berikut.

n Jadikan A (koefisien x) bernilai positif.

n Jika tanda pertidaksamaan ≥, maka daerah

pe-nyelesaian di sebelah kanan garis Ax+By+ =C 0.

n Jika tanda pertidaksamaan ≤, maka daerah

penyelesaian di sebelah kiri garis Ax+By+ =C 0. s

B. NILAI OPTIMUM FUNGSI OBJEKTIF

Hasil optimum terletak pada/di sekitar titik pojok atau pada garis batas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan, dengan demikian nilai optimum (maksimum/minimum) fungsi objektif dapat ditentu-kan dengan:

 Penggunaan Garis Selidik

Jika fungsi objektif f x y( , )=Ax+By+C, maka

garis selidiknya adalahAx+By+ =C k.

n Nilai maksimum terjadi di titik pojok/garis

batas paling kanan yang dilintasi garis selidik.

n Nilai minimum terjadi di titik pojok/garis

batas paling kiri yang dilintasi garis selidik.

 Pengujian Titik Pojok

Jika fungsi objektif f x y( , )=Ax+By+Cdisubstitusi

BAB 16

BARISAN DAN DERET

A. BARISAN ARITMATIKA

Barisan dengan selisih di antara dua suku yang berurutan besarnya sama.

Contoh: 2, 4, 6, 8, ... à selisih 2.

Jika U U U₁, , ,...,_{2 3} U_n merupakan suku-suku pada barisan aritmatika maka:

n Suku pertama = U₁=a

B. BARISAN GEOMETRI

Barisan dengan rasio antara 2 suku yang berurutan adalah sama.

Contoh: 1, 2, 4, 8, ... à rasio 2

Jika U U U₁, , ,...,_{2 3} U_n merupakan suku-suku pada barisan geometri, maka:

n Suku pertama = U₁ =a

C. DERET GEOMETRI TAK HINGGA

n Rumus jumlah deret geometri tak hingga:

1 a S

r ∞= ₋

n Jumlah tak hingga dari suku-suku ganjil:

2

n Jumlah tak hingga dari suku-suku genap:

2

n Rasio deret geometri tak hingga:

genap

Deret geometri mempunyai jumlah/limit/konvergen jika − < < ⇔ <1 r 1 r 1.

BAB 17

MATRIKS

Matriks adalah kumpulan elemen–elemen yang disusun dalam baris dan kolom.

Contoh:

Ordo dari matriks dinyatakan oleh banyaknya baris dan kolom. Pada matriks A, karena banyak baris = m dan banyak kolom = n, maka matriks A memiliki ordo m × n, dan ditulis A_mn.

Kesamaan Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama jika: 1. ordonya sama

Barisan dengan selisih di antara dua suku yang berurutan besarnya sama.

Contoh: 2, 4, 6, 8, ... à

merupakan suku-suku pada barisan aritmatika maka:

n Suku pertama = barisan geometri, maka:

adalah kumpulan elemen–elemen yang disusun dalam baris dan kolom.

Contoh:

Jika pada satu matriks baris diubah menjadi kolom dan kolom diubah menjadi baris, maka akan didapat satu matriks baru yang disebut transpose matriks.

Transpose matriks A = At _{= A}T

B. DETERMINAN

Determinan hanya dimiliki matriks-matriks persegi.

n Matriks 2 × 2: A a b

Determinan matriks B:

det B = B =

n Suatu matriks mempunyai invers jika

determinannya tidak nol.

1 1

n Matriks A disebut matriks singular jika det A = 0 n

( )

_A−1 −1_=A

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Notasi vektor:a b c, , , dan seterusnya.

Vektor posisi adalah vektor dengan titik pangkalnya adalah pusat koordinat.

Vektor posisi dari titik A adalah OA=a . Sehingga dari definisi vektor posisi AB= −b a.

Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai besar dan arah yang sama.

A. OPERASI-OPERASI PADA VEKTOR

1.

(

)

Rumus Pembagian Ruas Garis

Jika p adalah vektor posisi dari titik P yang membagi garis AB dengan perbandingan

: :

B. PERKALIAN TITIK/SKALAR (DOT PRODUCT)

n Diketahui a=

(

a a a₁, ,_{2 3}

)

dan b=

(

b b b₁, ,_{2 3}

)

maka

BAB 19

TRANSFORMASI GEOMETRI

Jika suatu transformasi dapat disajikan sebagai matriks

T

Translasi (pergeseran) yaitu pemindahan suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.

Jika sembarang titik P(x,y) ditranslasi dengan matriks T

= a

B. REFLEKSI/PENCERMINAN

n Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan P’(x, –y).

x

( , ) sumbu '( , ) P x y →P x−y Matriks transformasinya adalah 1 0

0 1    ₋   

n Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu y menghasilkan bayangan P’(–x, y).

y

( , ) sumbu '( , ) P x y → −P x y Matriks transformasinya adalah 1 0

0 1 menghasilkan bayangan P’(y, x).

y x

( , ) garis '( , ) P x y →= P y x Matriks transformasinya adalah 0 1

Jika suatu transformasi dapat disajikan sebagai matriks

maka

(pergeseran) yaitu pemindahan suatu objek

Jika sembarang titik ( , ) ditranslasi dengan matriks

, maka

n Pencerminan titik P(x,y) terhadap garis y = –x

menghasilkan bayangan P’(–y, –x) y x

( , )_garis =−_{→ − −}'( , )

P x y P y x

Matriks transformasinya adalah 0 1

1 0

n Refleksi terhadap garis y = k

( , ) y k '( ,2 )

Pencerminan terhadap dua garis yang berpotongan yaitu garis y1 =m x1 +c1 dan y2 =m x2 +c2

akan menghasilkan rotasi dengan: a. pusat di titik potong dua garis,

b. besar sudut rotasi sama dengan dua kali lipat sudut antara kedua garis,

c. arah rotasi sama dengan arah dari garis pertama ke garis kedua.

Jika α sudut yang dibentuk antara garis

1 1 1

Rotasi (perputaran) pada bidang geometri ditentukan oleh titik pusat, besar sudut, dan arah sudut rotasi. Suatu rotasi dikatakan memiliki arah positif jika rotasi itu berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam, berlaku sebaliknya.

n Rotasi dengan pusat (a,b) sebesar α

' cos sin

Dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor dilatasi (faktor skala).

n Matriks transformasi dilatasi dengan faktor skala k

adalah

n Dilatasi dengan pusat (0, 0) dengan faktor skala k

' 0

n Dilatasi dengan pusat (a, b) dengan faktor skala k

' 0

E. KOMPOSISI TRANSFORMASI