MATEMATIKA 0 1 SET 1 PERSAMAAN KUADRAT

(1)

1

MATEMATIKA

01

SET 1

PERSAMAAN KUADRAT

A. BENTUK UMUM

ax2₊_bx₊_c_{= 0,}_a_{≠ 0}

B. MENCARI AKAR/SOLUSI

a. Faktorisasi b. Rumus ABC

C. OPERASI DASAR AKAR

a. x x b

a 1+ 2= -

b. x x c

a 1× 2=

c. _x _x D

a 1− 2= –

D. SIFAT-SIFAT AKAR

a. Akar real D ≥ 0

1. akar berlainan D > 0 2. akar kembar D = 0

3. akar rasional D = k2_,_k_{= 1, 2, 3, …}

4. akar irasional D ≠ k2_,_k_{= 1, 2, 3, …}

MA

TERI D

AN L

ATIHAN SO

AL SBMPTN

AD

VANCE AND

TOP LE

(2)

2

b. Akar tidak real D < 0

c. Sifat akar lain, analisis sifat x₁ + x₂ dan x₁ . x₂

E. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT

Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x₁ dan x₂ adalah

x₂ – (x₁ + x₂)x + x₁ . x₂ = 0

Contoh Soal

TIPE SOAL: OPERASI AKAR

1. Misalkan x₁ dan x₂ merupakan akar-akar positif dari persamaan x2_–_mx₊_n_{= 0. Jika}_x 1

2_–_x 2

2

= -3 dan x₁ : x₂ = 1 : 2, maka m : n = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236)

A. 0,5 B. 1 C. 1,5 D. 2 E. 2,5

Pembahasan: • x₁ > 0, x₂ > 0

x₁ + x₂ > 0 x₁x₂ > 0 m > 0 n > 0

• x

x x x

1 2

2 1

=1

2→ = 2

• x₁2_–_x 2

2_{= -3} x₁2_{– (2}_x

1) 2_{= -3}

-3x₁2_{= -3}

x₁ = 1 x₂ = 2

• x₁+ x₂= m → m = 3

• m

n =

3 2= 1,5

Jawaban: C

Contoh Soal

(3)

3

Latihan Soal

1. Akar-akar positif dari persamaan x2₊_mx₊_n_{= 0 adalah}a_danβ_{. Jika 2}β_–a_{= 12 dan}a2₌

4β, maka m + n = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)

Jawaban: 39

2. Jika akar-akar persamaan x2_–_ax₊_b_{= 0 memenuhi persamaan 2}_x2_{– (}_a_{+ 3)}_x_{+ (3}_b_{– 2) = 0,}

maka .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009)

(1) a = 3 (2) b = 2

(3) 2a – 2ab + 3b = 0 (4) ab = 5

Jawaban: (1), (2), dan (3) benar

3. Jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan x2_{– 2}_x₊_p_{= 0 adalah 98, maka nilai}_p_adalah

.... A. -20 B. -15 C. -1 D. 15 E. 20

Jawaban: B

4. Persamaan kuadrat x2_–_ax_{= 5}_a2_{memiliki akar-akar}_x

1 dan x2. Nilai

x a

1 1

2 2

+ + +

− −

adalah ....

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

Jawaban: B

5. Akar dari persamaan (x – 2014)2_{+ (}_x_{– 4029)}2_{– (}_x_{+ 1)}2_{= 0 adalah ....}

A. (2014, 10074) B. (2013, 10073) C. (-2014, 10074) D. (-2014, 2014) E. (-2014, -10004)

(4)

4

TIPE SOAL: SIFAT AKAR

6. Misalkan a dan β merupakan akar-akar dari persamaan x2_–_bx_{+ 6 = 0. Jika} 1 α dan

1

β

adalah akar-akar dari persamaan x2_{– 4}_x₊_c_{= 0, maka akar-akar dari persamaan}_x2_{– (}_bc₎_x

+ bc = 0 merupakan .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013)

A. akar kembar dan positif B. akar kembar dan negatif

C. dua akar berbeda dan berlainan tanda D. dua akar berbeda dan positif

E. dua akar berbeda dan negatif

Jawaban: A

7. Himpunan bilangan k sehingga x2_{+ 2(}_k_{– 1)}_x₊_k_{+ 5 = 0 memiliki setidaknya satu akar riil}

positif adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)

A. {kR | k ≤ -1} B. {kR | -∞ < k < ∞} C. {kR | 0 < k ≤ 1} D. {kR | -1 < k < ∞} E. {kR | k > 0}

Jawaban: A

8. Misalkan m adalah bilangan bulat sehingga setiap persamaan 2x2_{+ (}_m_{+ 1)}_x_{– 2}_m_{= 0}

dan persamaan x2_{– (2}_m2_–_m_{+ 1)}_x_{– 3}_m_{– 66 = 0 mempunyai akar-akar riil yang berlainan}

tanda, maka hasil kali semua m yang memenuhi adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011)

A. -1 B. 0 C. 14364 D. 143640 E. tak hingga

Jawaban: E

9. Misalkan a dan β adalah akar-akar dari persamaan x2_{+ 2(}_k_{– 3)}_x_{+ 9 = 0 dengan}a_≠β_,

maka himpunan semua bilangan k sehingga -6 < a < 1 dan -6 < β < 1 adalah .... (Soal SI-MAK Tahun 2011)

A. {k∈ R | 6 < k < 6,75} B. {k∈R | 1 < k < 6,75} C. {k∈R | 1 < k < 9} D. {k∈R| 6,75 < k < 9} E. {k∈R | 6 < k < ∞}

(5)

5

10. Akar-akar persamaan x2_{+ (}_m_{– 2)}_x₊1

4m = 0 adalah x1 dan x2. Batas-batas nilai m agar 1 < x₁ < 2 dan 2 < x₂ < 3 adalah ....

A. -4

5<m< 0 B. 1

5< < 4 5

m

C. 0 < <4 5

m

D. 1 < m < 4 E. -1 < m < 6

Jawaban: C

TIPE SOAL: MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT

11. Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2_{+ 4}_x_{– 2 = 0, persamaan kuadrat}

yang mempunyai akar-akar x₁3₊_x 2

3_dan_x 1

5₊_x 2

5_{adalah ....}_{(Soal SIMAK UI Tahun 2011)}

A. x2_{+ 96}_x_{– 1.148 = 0}

B. x2_{– 96}_x_{– 1.148 = 0}

C. x2_{– 82}_x_{+ 840 = 0}

D. x2_{+ 82}_x_{+ 840 = 0}

E. x2_{+ 96}_x_{+ 1.148 = 0}

Jawaban: E

12. Suku banyak yang akarnya 2− 5 adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2010) A. x4_{+ 14}_x2_{+ 9 = 0}

B. x4_{– 14}_x2_{+ 9 = 0}

C. x4_{– 14}_x2_{– 9 = 0}

D. x4_{+ 14}_x2_{+ 89 = 0}

E. x4_{– 14}_x2 _{+ 89 = 0}

Jawaban: B

13. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar a dan b sehingga 1+1= 7 10

a b adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2010)

A. x2_{+ 7}_x_{– 10 = 0}

B. x2_{+ 7}_x_{+ 10 = 0}

C. x2_{– 10}_x_{+ 7 = 0}

D. x2_{– 7}_x_{– 10 = 0}

E. x2_{– 7}_x_{+ 10 = 0}

(6)

6

14. Jika f(x) = 3x2_{– 6}_x_{+ 1, maka persamaan kuadrat yang akarnya pangkat 3 dari}

akar-akar f(x) = 0 tersebut adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2010)

A. 27x2_{+ 6}_x_{+ 1 = 0}

B. x2_{+ 24}_x_–1

4 = 0

C. x2_{– 6}_x₊ 1

27= 0

D. 2x2_{+ 12}_x₊ 2

27 = 0

E. x2_{– 24}_x₊ 1

27 = 0

Jawaban: C

TIPE SOAL: ANTARRUANG LINGKUP

15. Diberikan suku banyak p(x) = ax2₊_bx_{+ 1. Jika}_a_dan_b_{dipilih secara acak dari selang [0,}

3], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2012 (Persamaan kuadrat, Peluang, Integral))

A. 1

B. 3 4

C. 2 4

D. 1 4

E. 0

(7)

9

MATEMATIKA

02

Set 2

MATRIKS

A. ORDO MATRIKS

A_{m × n}, m baris, n kolom

B. TRANSPOSE MATRIKS

Baris ke i↔ kolom ke i

Notasi: At

C. PENJUMLAHAN/PENGURANGAN MATRIKS

syarat : ordo sama

cara : jumlah/kurang unsur seletak

D. PERKALIAN ANGKA DENGAN MATRIKS

cara : kalikan angka dengan semua unsur matriks

E. PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS

syarat : A_{m × n}× B_{n × p}× C_{m × p}

kolom = baris

cara : baris ke i × kolom ke j dengan pola kali tambah

MA

TERI D

AN L

ATIHAN SO

AL SBMPTN

AD

VANCE AND

TOP LE

(8)

10

F. IDENTITAS/MATRIKS SATUAN

I2 2= I3 3

1 0

0 1 , =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

× ×                

sifat : A.I = I.A = A

G. INVERS MATRIKS

Notasi: A-1

Sifat-sifat : 1. A.A-1₌_A-1_._A₌_I

2. (AB)-1₌_B-1_A-1

3. (A-1₎-1₌_A

cara : A

A A

-1

= 1 ×adj

[ ]

|A| determinan A dimana |A_{2 × 2}| = ad – bc

|A_{3 × 3}| gunakan skema Sarrus

Bila |A| = 0, matriks A tidak punya invers/singular

Contoh Soal dan Latihan

1. Jika A= 1 0 B

1 1 , = 1 1 0 1           

, dan A B a b c d 2012 2012 + =    

, maka a + b + c + d = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)

A. 2012 B. 2014 C. 4024 D. 4028 E. 6039

Pembahasan:

A= 1 0 1 1

 

 



 perhatikan pola

A2

= 1 0 1 1

1 0 1 1 =

1 0 2 1                         × _                     

Contoh Soal dan Latihan

(9)

11

A3 A2 A

= = 1 0

2 1 1 0 1 1             × _                     

= 1 0 3 1

dst = 1 0

1 maka =

1 0

2012 1

n 2012

A

n A

dengan cara yang sama B2012

= 1 2012

0 1

 

 

 , maka

A B a b

c d 2012 2012

+ = 2 2012

2012 2 =

          

, sehingga

a + b + c + d = 4028

Jawaban: D

2. Jika A= -2 4 B C

1 -1 , = -1 -2 -1 1 , =

0 -1 -1 2                 

, dan AB C x y z w

= 



 



, maka (x – 2y – 3z + 3w)2

adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2010)

A. 0 B. 36 C. 63 D. 144

E. semua salah

Jawaban: A

3. Jika x dan y memenuhi persamaan -1 5

4 -6 =

-13 24                  x

y dan x

a

= -1 5 4 -6

, maka nilai a

adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009)

A. 42 B. 3 C. -3 D. -14 E. -42 Pembahasan:

Cara 1

-1 5

4 -6 =

-13 24

= -1 5 4 -6 -13 -1                              x y x

y 224

(10)

12

                             = 1 -14 -6 -5 -4 -1 -13 24

= - 1

                             x y x y 114

-42 28 = 3 -2                   x y

a=x -1 5

4 -6 = 3 6 - 20 = -42

(

)

Cara 2 Aturan Cramer a b c d x y p q p b q d a c b d y a p c q a b c d                 

= x = ,

=

→

dari soal tampak jelas

a a

= -13 5 24 -6 = 78 - 120 = -42

Jawaban: E

4. Diketahui persamaan matriks

3 2 3

1 4 2 3 -1 2

= 13 4 13                               x y z

bila x= a z b

3 2 3

1 4 2

3 -1 2 , =

3 2 3

1 4 2

3 -1 2 ,

maka nilai a + b adalah ....

(11)

13

5. Hasil jumlah akar-akar persamaan yang dinyatakan dengan x x x

x 2

+ 3 2 +1

+ 5 4 = 3 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009)

A. -1 2

B. -1 2

C. 1

D. 3 2

E. 4

Jawaban: A

6. Hubungan yang benar antara matriks A= 1 -2 2 1

 

 



 dengan matriks B= 2 4 -4 2

 

 



 adalah ....

(Soal SIMAK UI Tahun 2009)

(1) B = 2A

(2) A = B-1

(3) A = Bt

(4) B = 10A-1

Jawaban: 4 saja yang benar

7. Jika diketahui matriks B memenuhi persamaan 3 1 3 2

2 5 1 3 =

2 1 4 5

 

 

 



 

  



 



B, maka determi-nan dari B-1_{adalah ....}_{(Soal SIMAK UI Tahun 2009)}

A. 2

B. -1 2

C. 0

D. -1 2

E. -2

(12)

14

8. Persamaan garis lurus yang dinyatakan dengan 1 1 2 1 1 3 2

= 0

y x

memenuhi sifat-sifat ....

(Soal SIMAK UI Tahun 2009 (Matriks, Persamaan Garis))

(1) memotong sumbu x di titik (-1, 0) (2) memiliki gradien 1

(3) melalui (1, 2)

(4) tegak lurus garis x + y + 1 = 0

Jawaban: (1), (2), (3), dan (4) benar

9. Jika tan 1 1 tan cos sinxcos = 1 2 2 x x x x a b                

 , dimana b = 2a, maka 0 ≤ x ≤ π yang memenuhi

adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009 (Matriks, Trigonometri)) (1) π

6 (2) π

12 (3) 5

6 π

(4) 5 12

π

Jawaban: (2) dan (4)

10. Jika _{f x}

( )

_{= 3 2 +1, maka invers dari}_x 1 6

4 4 ’ 11 2 ’ 4 - ’ 11

2 6 f f f f

( )

   _

( )

   _            

adalah .... (Soal UM UGM

Tahun 2008 (matriks/turunan)) A. -0, 9 -0,1

0, 6 -0, 6 



 

 

B. 0, 9 -0, 6 0,1 0, 6 



 

 

C. 0, 6 0, 6 -0,1 0, 9 



 

 

D. 0, 6 -0, 6 0,1 0, 9 



 

 

(13)

17

MATEMATIKA

03

Set 3

PERTIDAKSAMAAN

A. PERTIDAKSAMAAN IRRASIONAL

a. Bentuk 1 f x

( )

≤ g x

( )

syarat: f(x), g(x) ≥ 0 cara:

f x g x

( )

( ) ( )

2 2

≤

→ ≤

b. Bentuk 2

f x

( )

≤ g x

( )

syarat: g(x) ≥ 0 cara:

permisalan

B. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

a. Bentuk 1

|f(x)| < |g(x)|

MA

TERI D

AN L

ATIHAN SO

AL SBMPTN

AD

VANCE AND

TOP LE

(14)

18

cara:

|f(x)|2_{< |}_g₍_x_)|2

→ f(x)2_<_g₍_x₎2

b. Bentuk 2 f x

g x a

( )

<

syarat: g(x) ≠ 0 cara:

|f(x)| < a |g(x)|

→ f(x)2_<_g₍_x₎2

c. Bentuk 3

|f(x)| + |g(x)| < h(x) cara:

kembalikan pada dei nisi nilai mutlak

f x f x f x

f x f x

( )

,

( )

‡0

- , < 0

Contoh Soal

1. Himpunan penyelesaian dari -1− ≥x x+ 3adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013)

A. {x|x≤ 1} B. {x| -5 ≤x ≤ 2} C. {x|x≤i}

D. {x|x≤ -2} E. {x| -3 ≤x ≤ -2} Pembahasan:

• _-1− ≥x x_{+ 3}

syarat - 1 – x ≥ 0

x ≤ -1 ….. Hp₁

• Penyelesaian

-1− ≥ − -1− + 2

⇒ ≥ −

⇒ − ≥

⇒

x

(

x

)

(

)(

)

≤≤ − ≥

⇒ ≤ − − ≥

⇒

(

)

(

−

)

≥

( )

−− ≥ ≤ − ∩

≤ − ∈

{

}

Contoh Soal

(15)

19

- + 2 misal : -1 =

+ 2 0

+ 2 1 0

2 2

− ≥ − −

⇒ ≥ −

⇒ − ≥

⇒

p p x p

p p

p

(

)

(

)(

)

≤≤ − ≥

⇒ ≤ − − ≥

⇒ − ≥

2 atau 1

-1- 2 atau -1 1

tidak mungkin -1 1

- 1

2 ₂

p

x x

x

(

)

(

)

( )

−− ≥ ≤ − ∩

≤ − ∈

x 1

2 ... Hp

Hp = Hp Hp

= 2,

2

total 1 2

x

x x x R

{

}

Jawaban: D

2. Himpunan penyelesaian dari 3 3−x> 5−x adalah ....

Jawaban: -1 < x < 2

3. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan _x2 _x2 _x

1 3 + 2

− ≤ − adalah .... (Soal SIMAK

UI Tahun 2009)

A. x x≤-1ataux≥1

2

  

  

B. {x|x≥ 1 atau x≤ -1} C. {x|x≤ -1}

D. {x|-1 ≤x≤ 1}

E. x 1 x

2≤ ≤1

  

  

Jawaban: B

4. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 x x x

5 + 6 < 2 4 < 3 + 4

− − adalah ....

Jawaban: 2 < x < 4

5. Himpunan penyelesaian _{x x}₋_{4 <} _{x x}₋_{4 adalah ....}(Soal SIMAK UI Tahun 2011)

A. x > 5 B. x > 4 C. 4 < x < 5 D. 0 < x < 4

E. 0 < x < 4 atau x > 5

(16)

20

SOAL NILAI MUTLAK

6. Nilai-nilai x yang memenuhi x – 2 ≤ |1 – 2x| adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)

A. semua bilangan riieal B. x ≥ -1 atau x ≤ C. -1 ≤ x ≤ 1 D. x ≤ -1 atau x ≥ 1 E. x ≤ atau x ≥ 1

Pembahasan:

Deinisi 1 2

1 2 , 1

2

2 1, >1

2

−

− ≤

− x

x x

  

  

maka penyelesaian untuk soal di atas dibagi ke dalam dua domain untuk x ≤ 1

2maka

x – 2 ≤ |1 – 2x|

⇒ x – 2 ≤ 1 – 2x ⇒ 3x≤ 2

⇒ x≤ 1

x≤ 1

2∩ x ≤ 1 → Hp1 x ≤ 1 2 untuk x > 1

2maka

x – 2 ≤ |1 – 2x|

⇒ x – 2 ≤ 2x – 1

⇒ -x≤ 1

⇒ x ≥ -1 ∩ x > 1

2 → Hp2 x ≥1

Hp gab = Hp₁∩ Hp₂

Jawaban: E

7. Himpunan penyelesaian dari x

x

+ 2 <15 adalah ....

Jawaban: 0 < x < 3

8. Himpunan penyelesaian dari x

x+ 2 ≤1 adalah .... _Jaw_{aban: -1 ≤}_x_{≤ 2}

(17)

21

9. Himpunan penyelesaian dari 2 3

3 0

2

x x

x

− −

− ≥ adalah ....

Jawaban: x < -3 atau atau x > 3 10. Nilai x yang memenuhi adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2010)

A. 0 ≤ x ≤ 4 B. x ≤ -2 atau x ≥ 4 C. x ≤ 0 atau x ≥ 4 D. x ≤ 1 atau x > 3 E. x < 1 atau x ≥ 4

(18)

23

MATEMATIKA

04

MA

TERI D

AN L

ATIHAN SO

AL UJIAN NASIONAL (UN)

TOP LE

VEL - XII SM

A

Set 4

SISTEM PERSAMAAN

A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Sistem persamaan linear adalah kumpulan persamaan yang terdiri dari 2 atau lebih peu-bah yang memiliki derajat tertinggi satu.

Bentuk umum sistem persamaan linear 2 peubah

ax + by = c px + qy = r

Bentuk umum sistem persamaan linear 3 peubah

ax + by + cz = p dx + ey + fz = q gx + hy + iz = r

Solusi sistem persamaan linear dicari dengan menggunakan proses eliminasi atau substi-tusi atau eliminasi-substisubsti-tusi.

B. SISTEM PERSAMAAN GABUNGAN

Sistem persamaan jenis ini memiliki bentuk bermacam-macam, ada bentuk persamaan linear 2 variabel dengan fungsi kuadrat, contoh:

2x – y = 7

y + 2x2₊_x_{= 1}

atau bentuk persamaan linear multivariat, contoh: 4xy + y = 1

2x + 3xy = 2 dan lain-lain.

(19)

24

Sistem persamaan n variabel, umumnya membutuhkan n persamaan agar variabelnya bisa ditemukan. Metode memecahkan sistem persamaan gabungan umumnya dengan cara substitusi.

Contoh Soal

1. Diketahui dua sistem persamaan linear berikut mempunyai solusi yang sama:

ax y b

x y

+ 2 = +1 + = 3

 

 dan

2 + = + 2

+ 3 = 3

2

x y a

x y

 



maka nilai a – b adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013)

A. -9 B. -5 C. 0 D. 5 E. 9

Pembahasan:

Karena solusinya sama, maka, kita eliminasi

x + 3y = 3

x + y = 3 – 2y = 0 y = 0, x = 3

kita substitusikan (3, 0) ke

ax + 2y = b + 1 → 3a – b = 1 ….. (1) 2x + y = a2_{+ 2}→ _a2_{= 4}

a = ±2

a = 2, substitusi ke persamaan (1), b = 5 sehingga a – b = -3

a = -2, substitusi ke persamaan (1), b = -7 sehingga a – b = 5

Jawaban: D

2. Jika 3 + 5 = b

3 = 216

b_log4

3

x y

x− y    

dan 3_log_a₌_x₊_y_{, maka}_a_{= ....}_{(Soal SIMAK UI Tahun 2009)}

A. 2 B. 7 C. 9

(20)

25

D. 12 E. 16

Jawaban: C 3. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan: x – y = 7

y = x2_{+ 3}_x_{– 10}

adalah {(x₁, y₁), (x₂, y₂)}. Nilai y₁ + y₂ adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009)

A. -16 B. -2 C. 8 D. 12 E. 20 Pembahasan: x – y = 7

y = x – 7 …. (1)

Persamaan (1) substitusi ke y = x2_{+ 3}_x_{– 10, menjadi}

x2_{+ 3}_x_{– 10 =}_x_{– 7}

⇒ x2_{+ 2}_x_{– 3 = 0}

⇒ (x +3)(x –1) = 0

⇒ x₁ = -3 atau x₂ = 1 dari persamaan (1)

y₁ = -10 atau y₂ = -6 maka y₁ + y₂ = -16

Jawaban: A

4. Dari sistem persamaan

123x + 321y = 345 321x + 123y = 543 nilai x₂ + y₂ adalah ....

Jawaban: 5

2 5. Diberikan sistem persamaan berikut.

x ky

kx y

+ = 3

+ 4 = 6

  

Banyaknya bilangan bulat k sehingga sistem tersebut mempunyai solusi x > 1 dan y > 0 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013)

A. 0 B. 1 C. 3

(21)

26

D. 5

E. tak hingga Pembahasan: Lakukan eliminasi

x + ky = 3 ×k x + ky = 3 × 4

kx + 4y = 6 × 1 kx + 4y = 6 ×k

kx k y k

kx y

k y k

y k

k y k k

+ = 3

+ 4 = 6

- 4 = 3 6

=3 6

4

di mana > 0

3 6

4> 0

2 2 2 2 − − − − − −

(

)

3 3 2

+ 2 2 > 0

1 + 2> 0 > -2 .... Hp1

k k k k k − −

(

)

(

)(

)

4 + 4 = 12

+ 4 = 6

4 = 12 6

= 6 2

2 2 +

= 6 + 2 d 2 2 x ky

k x ky k

k x k

x k k k x k − − − − −

(

)

(

)

(

)(

)

ii mana > 1 6 + 2> 1 6

+ 2 + 2 + 2> 0 - + 4

+ 2 > 0 -2 < < 4 .... Hp2

x k k k k k k k −

k bilangan bulat yang memenuhi hanya k = 35(1 buah bilangan)

Jawaban: D 6. Jika diketahui sistem persamaan

y ax

x y

= + 3

+ = 1

2 2

  

mempunyai dua pasang penyelesaian (x, y), syarat untuk nilai a adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013)

A. -2 2 < < 3 2a

B. _a_{< -2 2 atau > 2 2}_a C. a > 0

D. a> 2 2

E. semua bilangan riil

(22)

27

7. Diketahui x dan y adalah bilangan bulat yang memenuhi xy + x + y = -33 dan x2_y₊_xy2₌

162. Nilai |x – y| adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)

A. 3 B. 6 C. 9 D. 11 E. 12 Pembahasan:

xy + x + y = -33

x2_y₊_xy2_{= 162 –}_xy₍_x₊_y_{) = 162}

Dua persamaan di atas bisa dipenuhi oleh xy = -27 dan x + y = -6

nilai x dan y yang memenuhi dua persamaan baru di atas adalah x = -9 dan y = 3 maka |x – y| = 12

Jawaban: E 8. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut:

x xy y x y

x y

2 2

+ 3 + 2 5 4 = 0

+ 2 = 4

− − −

  

maka x2_–_y2_{= ....}_{(Soal SIMAK UI Tahun 2012)}

A. -6 B. -3 C. 0 D. 3 E. 6

Jawaban: D 9. Jumlah nilai-nilai x yang memenuhi persamaan berikut.

(x – 2)(y – 1) = 3 (x + 2)(2y – 5) = 15 A. -4

B. -3 C. 3 D. 4 E. 5

Pembahasan:

x y

y x

x

− −

−

2 1 = 3

1= 3

2

= +1

2 .... (1)

(

)(

)

(23)

28

(1) disubstitusi ke (x + 2)(2y – 5) = 15, menjadi

x x

x

x x x

x x

+ 2 2 + 2

2 5 = 15

+ 2 -3 +12 = 15 2

- 3 2+ 6 + 24 = 1

(

)





 _

(

)(

)

(

)

− −

⇒ −

⇒ 55 30

- 3 9 + 54 = 0

+ = -b

a= -3

2

1 2

x

x x

−

⇒ −

Jawaban: B 10. Diketahui sistem persamaan

(x – 1)(y – 2) = 12 (y – 2)(z – 3) = 20 (z – 3)(x – 1) = 15

x, y, z > 0

Nilai 3x + 2y + 3z adalah .... A. 48

B. 36 C. 24 D. 12 E. 6

(24)

1

MATEMATIKA

05

MA

TERI D

AN L

ATIHAN SBMPTN

TOP LE

VEL - XII SM

A

Set 5

FUNGSI

Soal-soal matematika IPA yang terkait dengan fungsi, umumnya terkategori ke dalam tipe soal berikut

1. Fungsi komposisi dan invers

2. Menentukan daerah asal dan hasil suatu fungsi 3. Fungsi kuadrat yang lebih kompleks

4. Menentukan rumus fungsi

Deinisi, sifat, dan rumus yang terkait adalah 1. (fog)(x) = f [g(x)]

2. Domain (fog)(x) adalah irisan dari domain g(x) dan fungsi akhir dari (fog)(x) 3. Domain fungsi secara umum adalah x∈ R kecuali

a. y = g x

( )

di mana g(x) ≥ 0 b. y = h x

g x

( )

di mana g(x) ≠ 0

c. y = log g(x) di mana g(x) > 0

4. Range fungsi secara umum adalah y∈ R kecuali a. y = g x

( )

di mana y ≥ 0

b. y = c

g x

( )

di mana y ≠ 0

(25)

2

5. y = f(x) ⇔ x = f-1₍_y₎

6. (fog)-1₍_x_{) = (}_g-1_of-1₎₍_x₎

7. Menentukan fungsi dari soal cerita, bisa melalui langkah-langkah berikut a. Baca soal dengan teliti.

b. Tuliskan semua peubah yang disebutkan dalam soal. c. Tuliskan apa yang diketahui.

d. Perlu dianalisa apa jenis fungsinya apakah fungsi linear, kuadrat, rasional, dan lain-lain.

Contoh Soal

TIPE SOAL: FUNGSI, KOMPOSISI, DAN INVERS

1. Soal SIMAK UI Tahun 2012

Diberikan fungsi f : R → R dengan f(2_{log 4}_x_{) = 2}_x_{+ 1. Jika}_f-1_{adalah invers dari fungsi}_f_,

maka nilai f-1_{(3) = . . . .}

A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 E. -1

Pembahasan: f(2_{log 4}_x_{) = 2}_x_{+ 1}

maka

f-1₍₂_x_{+ 1) =}2_{log 4}_x

set 2x + 1 = 3 2x = 2 x = 1 substitusi x = 1 ke

f-1₍₂_x_{+ 1) =}2_{log 4}_x

f-1_{(3) =}2_{log 4 = 2}

Jawaban: C

Jika diberikan g(x) = x+1 , maka untuk sembarang t selalu berlaku . . . . 1) g(t2_{– 1) = |1|}

2) g(t2_{– 2) =}

(26)

3

3) g(t2_{– 3) mungkin tak terdeinisi}

4) g(2t_{) = 2 +1}_t

Pembahasan:

1) g(x) = _x₊₁

g(t2_{– 1) =} _t2 _t2

1 + 1 =

− = |t| benar

2) g(t2_{– 2) =} _t2 _t2

2 + 1 = 1

− − benar

3) g(t2_{– 3) =}

t2 −3 + 1 = t2 −2 benar mungkin tak terdeinisi bila

- 2 < < 2t

4) g(2t) = 2 + 1t benar

Jawaban: 1), 2), 3), dan 4) benar

3. f-1₍_x_{) dan}_g-1₍_x_{) menyatakan invers fungsi}_f₍_x_{) dan}_g₍_x_{). Jika}_h₍_x_{) = 2}_x_{+ 1 dan (}_fogoh₎₍_x2_{) = 8}_x2

+ 2, maka nilai (g-1_of-1_{)(2) = . . . .}

A. 2 B. 1

C. 1 2

D. 1 4

E. 1 8

Pembahasan:

(fogoh)(x2_{) = 8}_x2_{+ 2}

⇒ ⇒

⇒ −

⇒

fogoh x x

fog x x

f

(

)( )

( )(

)

( )( )



  _

= 8 + 2 2 +1 = 8 + 2

= 8 1 2 + 2

o

og x x

fog x x

g of x x

g of

( )( )

( ) ( )

(

)

( )

(

)

= 4 2

= + 2 4

= + 2 4 2

-1

-1 -1

− ⇒

⇒

(( )

= 1

Jawaban: B

(27)

4

4. Invers dari fungsi f(x) = 8 + 60 +150 +125

6 +12 8

3 2

x x x

x − x x− adalah f

-1₍_x_{) =}ax

x 1 3 1 3 5 + b −

, maka nilai a + b

adalah . . . . A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2

Pembahasan:

8 + 60 +150 +125

6 +12 8 =

2 5 2 = 2 5 2 = 2 3 2 3 2 3 3 1 3

x x x

x x x y

x x y x x y − − − − − −

(

)

(

)

xx−5 =y13

(

x−2

)

2 = 5 2

=5 2

2

=2 5

2

mak 1

3 13

1

3 13

1 3 1 3 1 3 1 3

x y x y

x y y

x y y x y y − − − − − − − −

(

)

aa =2 5

2 -1 1 3 1 3

f x x

x

( )

−

a = 2

b = -2 maka

a + b = 0

Jawaban: C

5. Soal SNMPTN Tahun 2009

(28)

5

A. 11

B. 7 C. -3 D. -5 E. -11

Pembahasan:

2f(x) + f(9 – x) = 3x

substitusi x = 2 2f(2) + f(7) = 6 . . . (1) substitusi x = 7 2f(7) + f(2) = 21 . . . (2) (1) × 2 4f(2) + 2f(7) = 12 (2) × 1 2f(7) + f(2) = 21 –

3f(2) = -9 f(2) = -3

Jawaban; C

6. Diketahui f(x) = 1−1

x, bila f

2₍_x_{) =}_f₍_f₍_x_)),_f3₍_x_{) =}_f₍_f₍_f₍_x_{))) dan seterusnya, maka nilai}_f34₍₅₎

adalah . . . .

A. 4

5

B. 3

5

C. 2

5

D. 1

5

E. 0

Pembahasan:

f x

x

f x x

x f x x

f x f x

x x

( )



  

= 1 1

= 1 = -1

1

= 1 =

1 1

1 -1

2 −

− _↔

−

− − −

−

xx

x− −1 x -1

− −

−

( )

(

( )

)

(

( ))

)

( )

(

( )

)

( )

( ) ( )

−

(29)

6

( )

    − _↔ − − − − − xx x x x x

f x f x

x

f x f f f x f f x

= 1

1 =

-1 1

= = - 1

1 = = 2 -1 3 -1 − − − − −

( )

(

( )

)

(

( ))

)

( )

(

( )

)

( )

( ) ( )

= = ...

= = 1

5 = 5 =5 1

5 = 4 5 34 33 34 x

f x f f x

f x x

x

f f

−

Jawaban: A

7. Soal Fungsi Kuadrat

Jika titik puncak fungsi kuadrat y = (a – 1)x2₊_acx_{+ 4 adalah} 1,39 4

2

a

 

 _, maka jarak antar-titik potong fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu x adalah . . . .

A. 2

19 1101

B. 21

2 2

C. 2

3 21

D. _{2 13}

E. 2

3

Pembahasan:

x_p = 1 →

-2 = 1

b

a

-2 1 = 1

- = 2 2

=2 2

-ac a ac a c a a − − −

(

)

y_p=39a

4

2→ b ac

a a

a c a

a a 2 2 2 2 2 4 -4 = 39 4

4 1 4

-4 1 =

(30)

7

a c2 2 16 +16 = -39a a

− − × − × − −

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 1 2 2

16 +16 = -39 1

4 1 16 1

a

a a

a a a a

a a − − − − − − −

(

)

(

)

       

(

)

(

)

(

))

(

)

(

)

(

)(

)

= -39 1

4 1 16 = -39

39 + 4 20 = 0

13 +10 3 2 = 0

= 2 2 2 a a a a a a a a a − − − − − --10

13 atau =

2 3

a

Jawaban: E

TIPE SOAL: DOMAIN DAN RANGE

Jika f(x) = 1

1

x− dan g(x) = x, maka daerah asal dan daerah hasil dari (gof)(x) adalah . . . .

1) daerah asal {x | -∞ < x 1, 1 < x < ∞} 2) daerah asal {x | 1 < x < ∞}

3) daerah hasil {x | -∞ < y 1, 1 < y < ∞} 4) daerah hasil {x | 0 < y < ∞}

Pembahasan: g[f(x)]

• cari domain input yaitu f(x)

f(x) = 1

1

x−

memiliki domain x∈ R, x≠ 1 . . . Hp₁

• cari domain g[f(x)]

g x x 1 1 = 1 1 − −    

syarat 1

1 0

x− ≥

x > 1 atau bisa ditulis

1 < x < ∞ . . . Hp₂

(31)

8

• Domain komposisi = Hp_gabung = Hp₁∩ Hp₂ = {x | 1< x < ∞}

• Untuk daerah hasil

R_f = {y∈ R, y≠ 0}

maka R_gof = {y∈ R, y > 0}

9. Misalkan diketahui g(x) = log x, h(x) = ₄₋ 2

x , daerah asal (goh)(x) adalah . . . .

A. -2 ≤ x ≤ 2 B. -2 < x < 2 C. -∞ < x < -2 D. 2 < x < ∞ E. x∈ R

Pembahasan:

(goh)(x) = g[h(x)] 1) cari domain h(x) h(x) = ₄₋_x2

h(x) terdeinisi bila 4 – x2_{≥ 0}

x2_{– 4 ≤ 0}

(x + 2)(x – 2) ≤ 0 -2 ≤ x ≤ 2 . . . Hp₁

2) cari domain g[h(x)] g[h(x)] = _{log 4}₋ 2

x g[h(x)] terdeinisi bila 4 – x2_{> 0}

x2_{– 4 < 0}

(x + 2)(x – 2) < 0 -2 < x < 2 . . . Hp₂

Sehingga domain {x | x∈ R, -2 < x < 2}

(32)

9

TIPE SOAL: MENENTUKAN FUNGSI

10. Soal UMB Tahun 2013

POPULASI SATWA LANGKA

Seorang peneliti mengamati populasi satwa langka di suatu hutan tertutup. Populasinya pada tahun ke-t diperkirakan sekitar P(t) satwa, dan pada saat diamati (t = 0) adalah sekitar 850 satwa.

Berdasarkan data dan prediksi pengamat diperoleh suatu rumus hampiran untuk P(t) yang berlaku untuk setiap saat t. Suatu rumus hampiran untuk besarnya laju perubahan dari P terhadap t adalah

P t t

t

’ = 4.800

+16

, 0 12

2 2

( )

(

)

≤ ≤

dengan P(0) adalah populasi satwa pada saat diamati.

Rumus hampiran untuk banyaknya satwa di hutan tertutup pada tahun ke-t, 1 ≤ t ≤ 12 adalah P(t) = . . . .

A. 1.000 4.800

+16 2 −

t

B. 1.150 4.800

+16 2 −

t

C. 1.000 2.400

+16 2 −

t

D. 850 2.400

+16 2 −

t

E. 800 2.400 +16 2 −

t Pembahasan: P(t) =

∫

P t dt’

( )

= 4.800

+16

= 4.800 +16

2 2

2 -2

t t

dt

t t dt

(

)

(

)

∫

= 4.800 +16 +16

2

= 2.400 +16

-1 +

2 -2

2

2 -1

t d t

t

C

(

) (

)

(

)

∫

(33)

10

P t

t C

( )

= - 2.400 +16+

2

Karena P(0) = 850, maka

P(0) = -2.400

16 + C = 850 = -150 + C = 850

C = 1.000

P(t) = 1.000 2.400 +16

2

−

t

Jawaban: C

Latihan Soal

1. Soal SNMPTN Tahun 2009

Jika f

x x

8

1+ =

   

  

 , dengan x ≥ 0, maka f(4) = . . . .

A. 36 B. 25 C. 16 D. 9 E. 1

2. Soal SNMPTN Tahun 2009 (Fungsi Simetris)

DIberikan fungsi f memenuhi persamaan 3f(-x) + f(x – 3) = x + 3 untuk setiap bilangan real

x. Nilai 8f(-3) adalah . . . . A. 24

B. 21 C. 20 D. 16 E. 15

3. Diketahui f(x) = ax7₊_bx3₊_cx_{– 5. Jika}_f_{(-7) = 7, maka}_f_{(7) adalah . . . .}

(34)

11

4. Soal UMB Tahun 2013

Daerah hasil dari f(x) = 2 4

4 2

x x

−

− adalah . . . .

A. (-∞, ∞)

B. (-∞, -2) ∪ (-2, ∞)

C. (-∞, -2) ∪ (-2, 2) ∪ (2, ∞)

D. - ,1 2

1 2,

∞ ∪ ∞

 

 _ _ _

E. - , 0 0,1

2 1 2,

∞ ∪ ∪ ∞

(

)





 _ _ _

5. UMB 2009

denah kebun bunga

taman bermain persegi panjang

setengah lingkaran

Pada gambar diperlihatkan taman bermain yang berbentuk persegi panjang. Bagian tengah taman adalah sebuah kebun bunga yang berbentuk gabungan persegi panjang dengan cakram setengah lingkaran. Keliling kebun bunga ini adalah 60 meter dan diameter setengah lingkarannya adalah x meter.

Luas kebun bunga sebagai fungsi kuadrat dari x adalah L(x) = . . . .

A. 30 1

4 +1

2

x− π x



 _

B. 30 1

4 +

1 2

2

x− π x



 _

C. 30 1

8 +

1 2

2

x− π x



 _

D. 60 + 30 1

8 +

1 2

2

x− π x



 _

E. 60 30 1

8 +

1 2

2

− x− π x



 _

(35)

1

MATEMATIKA

Set 6

BARISAN ARITMETIKA

A. RINGKASAN FORMULA a. Suku ke-n = U_n = a + (n – 1)b

a = U₁ = suku pertama

b = beda

b. b = U₂ – U₁ = U₃ – U₂ = . . . = U_n – U_{n – 1}

c. p, q, r barisan aritmetika maka 1. 2q = p + r

2. p + q + r = 3q

d. Suku tengah (U_t)

U_t =a U+ n 2

U_n = suku terakhir

n = banyak bilangan

e. Bila U₁, U₂, U₃, . . ., U_n barisan aritmetika dengan beda b. Bila di antara 2 bilangan berdekatan disisipkan k bilangan baru, maka

1. U₁ tidak berubah

2. beda berubah menjadi b’, di mana b b k

’ = + 1

06

MA

TERI D

AN L

ATIHAN SBMPTN

TOP LE

(36)

2

f. Jumlah n suku pertama (S_n), di mana

1. Sn=n a Un

2

(

+

)

Untuk suku awal dan akhir diketahui 2. S_n=n a n b

2

(

2 +

(

−1

)

Untuk beda diketahui 3. U_n = S_n – S_n_{– 1}

Contoh Soal

1. Jika suku ke-n dari suatu deret aritmetika adalah U_n = log cn₍_c_{konstanta positif ), maka U} 1

+ U₂ + . . . + U_n + . . . + U_2n = . . . . (Soal UMB Tahun 2013)

A. 1

2n n

(

+1 log

)

c B. n(n + 1) log c C. n(2n – 1) log c D. n(2n + 1) log c E. 2n(n + 1) log c

Pembahasan:

U_n = log cn

• U₁ = a = log c

• U₂ = log c2

= 2 log c

• beda = b = 2 log c – log c = log c

•

S n a n b

S n c n c

S n c n

n

2

=2

2 2 + 2 1 = 2log + 2 1 log

= log 2 + 2 1

− − −

(

)

(

)

(

)

(

)

(

))

(

)

S2n=n 2n−1 logc

Jawaban: C

2. Diketahui a2_{– b}2_{+ c}2_{– d}2_{= 2010 dan a + b + c + d = 2.010. Jika a, b, c, d adalah empat suku}

pertama dari suatu barisan aritmetika, maka a = . . . . (Soal SIMAK UI Tahun 2013)

(37)

3

A. 1.008

B. 898 C. 788 D. 604 E. 504 Pembahasan:

Misal a, b, c, d barisan aritmetika yang bedanya p a2_{– b}2_{+ c}2_{– d}2_{= 2.010}

(a + b)(a – b) + (c + d)(c – d) = 2.010 (a + b)(-p) + (c + d)(-p) = 2.010 -p (a + b + c + d) = 2.010 -p (2010) = 2.010 p = -1 sehingga

a + b + c + d = 2.010 a + (a – 1) + (a – 2) + (a – 3) = 2.010 4a – 6 = 2.010 4a = 2.016 a = 504

Jawaban: E

3. Misalkan f(x) adalah suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan aritmetika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama; dan jumlah akar-akarnya adalah 12. Maka akar-akar dari f(x + 1) adalah . . . . (Soal SIMAK UI Tahun 2011)

1) 1 dan 3 2) 1 dan 5 3) 3 dan 5 4) 2 dan 4 Pembahasan:

misal akar-akar polinom derajat tiga itu adalah x₁, x₂, x₃ dimana

x₃ = 3x₁ . . . (1)

x₁, x₂, x₃ barisan aritmetika, maka

2x₂ = x₁ + x₃

2x₂ = x₁ + 3x₁ {substitusi (1)} 2x₂ = 4x₁

x₂ = 2x₁ . . . (2) jumlah akar-akarnya 12, maka

x₁ + x₂ + x₃ = 12

x₁ + 2x₁ + 3x₁ = 12 {substitusi (1) dan (2)} 6x₁ = 12

(38)

4

maka x₂ = 4, x₃ = 6 akar-akar f(x + 1) adalah

x₁ – 1, x₂ – 1, x₃ – 1 yaitu 1, 3, 5

Jawaban: A

4. Diberikan dua buah barisan aritmetika (A_n) dan (B_n). Diketahui jumlah 100 suku pertama dari barisan (A_n) dengan beda bernilai satu adalah 5.850. Suku pertama kedua barisan adalah sama dan suku terakhir barisan (B_n) sama dengan suku kedua terakhir barisan (A_n). Jika beda barisan (B_n) adalah 2, maka jumlah barisan (B_n) adalah . . . . (Soal SIMAK UI Tahun 2011)

A. 2.385 B. 2.470 C. 2.725 D. 2.900 E. 2.925

Pembahasan:

misal A_n: U₁, U₂, U₃, . . . , U_n , B_n = U₁’, U₂’, . . . , U_m’ S₁₀₀ = 5.850 b’ = 2

b = 1

S a b

a a

100=

100

2 2 + 99 = 5.850

50 2 + 99 1 = 5.850

2 + 99 = 117 2 = 18

= U

(

)

( )

(

)

1

1= 9 = U ’1 misal banyak suku barisan A_n ada 100 maka untuk barisan B_n

Um’ = U₉₉ U₁’ + (m – 1)b’ = U₁ + 98b (m – 1) 2 = 98 . 1 m – 1 = 49 m = 50 maka

S₅₀=50 U₁ b

2 2 ’ + 49 ’ = 25 18 + 98 = 2.900

(

)

(

)

Jawaban: D

(39)

5

Jumlah p suku pertama dari suatu bilangan aritmetika ialah q dan jumlah q suku pertama ialah p. Maka jumlah (p + q) suku pertama barisan tersebut adalah . . . .

A. (p + q)

B. p + q

2

(

)

C. p + q + 1 D. -(p + q) E. -(p + q + 1)

Pembahasan:

S q p a p b q

ap p b pb q

S p q a q b

p

p =

2 2 + 1 =

+

2 2 = ...(1)

=

2 2 + 1 =

2

→ −

−

→ −

(

)

(

)

(

)

(

)

pp

aq+q b qb p

2 2 = ...(2)

2

−

(1) dan (2) eliminasi

(1) (2)

+

2 2 =

+

2 2 =

2

2 ×

×

−

q p

apq p qb pqb q

apq p qb pqb p

p q pq b

q p

pq p q b q p q p

b p q

pq

2 2

2 =

2 = +

= -2 + ...(3) −

−

(

)

(

)

(

)(

)

(40)

6

S p q a p q b

p

a p b qb q a q b pb

p+q= +

2 2 + + 1

=

2 2 + 1 + +2 2 + 1 +

(

)

 

(

)

(

)

(

)

(

)

−

((

−

)

(

)

(

)

(

)

=

2 2 + 1 + 2 +2 2 + 1 + 2

= + +

substitus

p

a p b pqb q a q b pqb

q p pqb

− −

ii (3)

= + + -2 +

= - +

p q pq p q

pq p q

(

)

 

 

(

)

Jawaban: D

6. Jumlah lima puluh suku pertama deret log 5 + log 55 + log 605 + log 6.655 + . . . adalah . . . .

(Soal SNMPTN Tahun 2010)

A. log (551150₎

B. log (525₁₁1225₎

C. log (2525₁₁1225₎

D. log (2751150₎

E. 1.150 log (5)

Pembahasan:

log 5 + log 55 + log 605 + . . . barisan aritmetika karena log 55 – log 5 = log 605 – log 55

log 11 = log 11 = b diketahui: a = log 5 b = log 11

S₅₀ a

50

=50

2 2 + 49b

= 25 2log5 + 49log11 = 50log5 +1225log11

= log 5

(

)

(

)

×× ×

11

= log 25 11

1225

25 1225

(

)

(

)

Jawaban: C

7. Diketahui barisan dengan suku pertama U₁ = 15 dan memenuhi U_n – U_{n – 1} = 2n + 3, n ≥ 2. Nilai U₅₀ + U₂ adalah . . . . (Soal SNMPTN Tahun 2010)

(41)

7

A. 2.688 B. 2.710 C. 2.732 D. 2.755 E. 2.762

Pembahasan:

U_n – U_{n – 1} = 2n + 3 U_n = U_{n – 1} + 2n + 3 n = 2 U₂ = U₁ + 7 = 22 n = 3 U₃ = U₂ + 9 = U₁ + 7 + 9 n = 4 U₄ = U₃ + 11 = U₁ + 7 + 9 + 11 maka

U₅₀ = U₁ + S₄₉

di mana S₄₉ jumlah 49 suku pertama dari deret 7 + 9 + 11 + 13 + . . . + U₄₉

S₄₉= 49 a b

2 2 + 48 =49

2 2 7 + 48 2 = 2.695

(

)

(

× ×

)

maka U₅₀ = U₁ + 2.695 = 2.710 maka U₅₀ + U₂ = 2.732

Jawaban: C

8. Diketahui p, q, r, dan s adalah empat bilangan bulat berurutan yang memenuhi

1

2 +

1

3 +

1 4

p q r = s. Nilai p + q adalah . . . . (Soal SNMPTN Tahun 2010)

A. 51 B. 52 C. 53 D. 54 E. 56

Pembahasan:

p, q, r, s barisan aritmetika dengan b = 1 maka q = p + 1

(42)

8

1

2 +

1

3 +

1

4 =

1

2 +

1

3 +1 +

1

4 + 2 = + 3 12

p q r s

p

(

p

)

(

p

)

p ×

6P + 4P + 4 + 3P + 6 = 12P + 36 13P + 10P = 12P + 36

P = 26 maka q = 27

p + q = 53

Jawaban: C

9. Suatu segitiga siku-siku memiliki panjang sisi yang membentuk barisan aritmetika. Jika luas segitiga tersebut adalah 42, maka kelilingnya adalah . . . . (Soal UMB Tahun 2009)

A. 6 B. 12 C. 13 D. _{12 7} E. 15

Pembahasan:

misal segitiga siku-siku itu a – b, a, a + b

dengan [a + b]2_{= [a – b]}2_{+ a}2

a2_{+ 2ab + b}2_{= a}2_{– 2ab + b}2 _{+ a}2

4ab = a2

Luas = 42, maka

1

2 b a = 42

1 2

1

4 = 42

3

8 = 42

= 112

= 4 7 = 7

2

a

a a a

a a

a b

− ×

→

(

)

 

 _

Keliling = K = 3a = _{12 7}

Jawaban: D

(43)

9

10. Jika akar-akar persamaan suku banyak x4_{– 8}_x3_{+ 2}_ax2_{+ (5}_b_{+ 3)}_x_{+ 4}_c_{– 3 = 0 diurutkan}

menurut nilainya dari yang terkecil ke yang terbesar, maka terbentuk barisan aritmetika dengan beda 2. Nilai a + b + c = . . . . (Soal SIMAK UI Tahun 2009)

A. -3 B. 1 C. 3 D. 5 E. 6

Pembahasan:

misal akar x₁, x₂, x₃, x₄ di mana

x₁ < x₂ < x₃ < x₄ atau x₁ < x₁ + 2 < x 1 + 4 < x₁ + 6

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = -b

a x₁ + x₁ + 2 + x₁ + 4 + x₁ + 6 = 8 4x₁ + 12 = 8 x₁ = -1 maka

x₂ = 1, x₃ = 3, x₄ = 5 maka polinomnya

(x₁ + 1)(x₂ – 1)(x₃ – 3)(x₄ – 5) = 0 (x2_{– 1)(}_x2 _{– 8}_x_{+ 15) = 0}

x4_{– 8}_x3_{+ 14}_x2_{+ 18}_x_{– 5 = 0}

dapat disimpulkan

2a = 14; 5b + 3 = 8; 4c – 3 = -15 a = 7 b = 1 c = -3 maka a + b + c = 5

Jawaban: D

11. Jumlah sebuah barisan aritmetika dengan n suku adalah S. Diantara 2 suku disisipkan 4 buah bilangan sehingga terjadi barisan aritmetika baru yang jumlahnya S’. Perbandingan S dan S’ adalah . . . .

A. n : 2n + 1 B. n : 3n + 1 C. n : 5n – 4 D. n : 5n + 4 E. n : 5n – 3

Pembahasan:

Barisan pertama

S_n= n a n b

(44)

10

Barisan kedua menjadi m suku

b’ = b b 4 +1= 5

berlaku Um = Un a + (m – 1)b’ = a + (n – 1)b (m – 1) = (n – 1)b – m = 5n – 4 maka

S S

n a U m

a U

n m

n n

n

m

n

m

= 2 +

2 +

= =

5 4

(

)

(

)

−

Jawaban: C

Latihan Soal

1. Diketahui 3 buah bilangan memiliki perbandingan 2 : 3 : 5. Jika bilangan kedua ditambah 2, maka ketiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu adalah . . . .

A. 30 B. 40 C. 60 D. 80 E. 100

2. Misalkan f(x) adalah suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan aritmetika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama dan jumlah akar-akarnya sama dengan 12. Maka sisa dari pembagian f(x + 6) oleh x2_{+ 1 adalah . . . .}_(Soal

SIMAK UI Tahun 2011)

3. Empat buah bilangan a, b, c, dan d membentuk barisan aritmetika. Jika b – a = p + 5, d – c = 2p + 3, dan d = 6, maka nilai a adalah . . . .

A. -5 B. -10 C. -15 D. -20 E. -25

(45)

11

4. Jika U_p = q dan U_q = p, maka S_{p + q} = . . . .

A. 1

2

(

p+q

)

B. 1

2 +

2

p q

(

)

C. 1

2

(

p+q p

)(

+ +1q

)

D. 1

2

(

p+q p

)(

+q−1

)

E. 1

(46)

1

MATEMATIKA

Set 7

BARISAN GEOMETRI

A. RUMUS SUKU KE-n (UN)

a. U_n = arn – 1

b. U_n = U_p.rq_{, n = p + q}

B. RASIO (R)

a. r U

U U U

U U

n

= 2 = = ... = 1

3

2

+1

b. r U

U n p q

n p

q

= , = −

C. SUKU TENGAh (UT), PADA n GANJIL

a. U_t = a U× _n

b. t=1+n 2

D. JUMLAh n SUKU PERTAMA

S a r r

a r r

n

n n

= 1

1 =

1 1

− −

(

) (

)

07

MA

TERI D

AN L

ATIHAN SBMPTN

TOP LE

VEL - XII SM

A

(47)

2

E. DERET GEOMETRI TAK hINGGA (S∞)

a. S a

r

∞= ₋

1

b. -1 < r < 1 syarat barisan konvergen

F. U₁ U₂ . . . U_T . . . U_n = U_Tn n bilangan ganjil

Contoh Soal

1. Misalkan x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat x2_{– (2}_k2_–_k_{– 1) + (3}_k_{+ 4) = 0 dan}

kedua akar itu bilangan bulat dengan k konstan. Jika x₁, k, x₂ merupakan 3 suku pertama barisan geometri, maka jumlah n suku pertama dari barisan tersebut adalah . . . .

A. -1

2 -1 +

1 2

( )

n

B. -1 2 -1

1 2

( )

n₋

C. 1

2 -1 +

1 2

( )

n

D. - -1

( )

n

E. 1 2 -1

1 2

( )

n₋

Pembahasan:

• x2_{– (2}_k2_–_k_{– 1) + (3}_k_{+ 4) = 0}

a = 1 b = -(2k2_–_k_{– 1)} _{c = 3}_k_{+ 4} • x₁, k, x₂ barisan geometri

k2₌_x 1x2 k2_{= 3}_k_{+ 4} k2_{– 3}_k_{– 4 = 0}

(k – 4)(k + 1) = 0

k = 4 atau k = -1

(48)

3

P.K. x2_{– 27}_x_{+ 16 = 0}

akar-akarnya bukan bilangan bulat (k ≠ 4) untuk k = -1

P.K. x2_{– 2}_x_{+ 1 = 0}

akar-akarnya bulat yaitu x₁ = 1, x₂ = 1

• Barisan geometrinya menjadi 1, -1, 1 dengan r = -1

maka U_n = arn – 1

= 1 -1

= -1

-1 = - -1 1

1

×

( )

−

( )

n

Jawaban: D

2. Pada suatu barisan geometri dengan r > 1, diketahui dua kali jumlah empat suku pertama adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika di antara suku-suku tersebut disisipkan empat bilangan, dengan cara: antara suku kedua dan ketiga disisipkan satu bilangan, dan antara suku ketiga dan keempat disisipkan tiga bilangan, maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan beda r. Jumlah bilangan yang disisipkan adalah . . . .

(Soal SIMAK UI Tahun 2011)

A. 14 B. 24 C. 28 D. 32 E. 42

Pembahasan:

• Dua kali jumlah empat suku pertama adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama

2 = 3 +

2 1

1 = 3

1 1

4 2 4

4 4

2

S U U

a r r

ar r r

(

)

(

)

   

   

(

)

− −

2 = 3 +1

2 + 2 = 3 = 2

r r r r→r

• Misal barisan geometrinya a, 2a, 4a, 8a, disisipkan bilangan-bilangan dengan beda = r = 2

a, 2a, 2a + 2, 4a, 4a + 2, 4a + 4, 4a + 6, 8a ekuivalen dengan

(49)

4

a, 2a, 2a + 2, 2a + 4, 2a + 6, 2a + 8, 2a + 10, 2a + 12 4a = 2a + 4

2a = 4 a = 2

• Maka barisannya menjadi

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16

disisipkan

• maka jumlah bilangan yang disisipkan 6 + 10 + 12 + 14 = 42

Jawaban: E

3. Bentuk deret geometri bilangan 8,88888… adalah . . . . (Soal SBMPTN Tahun 2010)

A. 8 1

10

+1

=1    _

∑

n

∞

B. ₈ 1

10

+1

=0    _

∑

n

∞

C. ₈ 1

10

1

=0    _

∑

n

− ∞

D. 0, 8 1

10

=1    _

∑

n

∞

E. ₈ 1

10

1

=1    _

∑

n

− ∞

Pembahasan:

• 8,8888… = 8 + 0,8 + 0,08 + 0,008 + … = 8 (1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + …)

• Mencari rumus U_n barisan geometri dengan a = 1, r = 0,1

U_n ar

n

=

= 1

10

n 1

1

− −

   _

• Menyusun notasi sigma 8,8888… = 8

=1

Un n

∞

(50)

5

= 8 1

10

+1

=1    _

∑

n

∞

Jawaban: A

4. Tiga bilangan bulat membentuk barisan aritmetika. Jika suku kedua ditambah 3 dan suku ketiga dikurangi 21, maka akan diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan semula ditambah 9, maka ia menjadi tiga kali suku kedua barisan geometri. Jumlah ketiga suku barisan aritmetika sama dengan . . . . (Soal UMB Tahun 2009)

A. 8 B. 9 C. 15 D. 21 E. 28

Pembahasan:

• Misal barisan aritmetikanya a – b, a, a + b

• Barisan geometrinya a – b, a + 3, a + b – 21

maka (a + 3)2_{= (a – b)(a + b – 21) . . . (1)} • Sifat lainnya

a + b + 9 = 3(a + 3) a + b + 9 = 3a + 9 b = 2 . . . (2)

• pers (1) substitusi ke pers (2) (a + 3)2_{= (a – 2a)(a + 2a – 21)}

a2_{+ 6a + 9 = -a(3a – 21)}

a2_{+ 6a + 9 = -3a}2_{+ 21a}

4a2_{– 15a + 9 = 0}

(4a – 3)(a – 3) = 0

maka a = 3

4 atau a = 3

kita ambil a = 3

maka jumlah 3 bilangan semula a – b + a + a + b = 3a = 9

Jawaban: B

5. Misalkan Un_{menyatakan suku ke-n suatu barisan geometri. Jika diketahui U}

6 = 64 dan log

U₂ + log U₃ + log U₄ = 9 log 2, maka nilai U₃ adalah . . . . (Soal SNMPTN Tahun 2009)

A. 8 B. 6

(51)

6

C. 4 D. 2 E. 1

Pembahasan:

• log U₂ + log U₃ + log U₄ = 9 log 2 log (U₂.U₃.U₄) = log 29 U₂.U₃.U₄ = 29

U

r

3 _{. U}

3.U3.r = 29

U₃₃ = 29 U₃ = 23 = 8

Jawaban: A

6. Barisan geometri diketahui S_n = 150 , S_{n + 1} = 155, dan S_{n + 2} = 1571

2. Maka suku pertamanya

adalah . . . . A. 72,5 B. 75 C. 80 D. 85,5 E. 90

Pembahasan: • U_{n + 1} = S_{n + 1} – S_n arn_{= 155 – 150}

arn_{= 5 . . . (1)} • U_{n + 2} = S_{n + 2} – S_{n + 1}

arn + 1_{= 157,5 – 155}

arn_{.r = 2,5} _{{substitusi (1)}}

5r = 2,5

r = 1571 2

• _S r

r

n

= a 1

1 = 150

− −

(

)

a

n

1 1

2 1 2

= 150

1 1

2 = 75

−

−    _ 



 _

   _ 

  



  

   _

 

(52)

7

1 1 2 − − −    _    _    _            _    _

( )

n n a a a =75 1 2 = 75 ... 2 − S a n n +1 +1 = 1 1 2 1 1 2 = 155 − −    _    _ a a a a n 1 1 2 1

2 = 75,25

1 75 1

2 = 75,25 substi

− × − − ×    _          

 _ ttusi 2

2 + 75

2 = 75,25

+ 75

2 = 75,25 + 75 = 155

= 80

( )

{

}

   _

a a a

a a a a − Jawaban: C

7. Deret geometri dengan 10 suku. Diketahui suku ketiga adalah 25

3 dan jumlah logaritma

semua suku-sukunya adalah 45log 5 – 35log 3. Suku ke-2 barisan itu adalah . . . . A. 2

B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

Pembahasan:

• log U₁ + log U₂ + log U₃ + . . . + log U₁₀ = 45log 5 – 35log 3

log U₁U₂U₃ . . . U₁₀ = log 5

3

45

35

U₁U₂U₃U₄U₅U₆U₇U₈U₉U₁₀ = 5

3 45 35 U r U

r U U rU r U r U r U r U r U r

3 2

3

(53)

8

U r r r

310 25 45

35

10

25 45

35

25 45

35 10

2

=5 3 25

3 =

5 3 =5 3

3 5

   _

× ₀₀

25

= 5

3 =

5 3

r  r



 _ →

• U U

r

2 = 3 =

25 3 5

3 = 5

Jawaban: D

8. Diketahui U₁, U₃, U₁₃, dan U_n dari barisan aritmetika membentuk barisan geometri. Nilai n adalah . . . .

A. 60 B. 63 C. 65 D. 68 E. 72

Pembahasan:

• U₁, U₃, U₁₃ barisan geometri U₃₂ = U₁U₁₃

[a + 2b]2_{= a[a + 12b]}

a2_{+ 4ab + 4b}2_{= a}2_{+ 12ab}

4b2_{= 8ab}

b = 2a

• Barisan geometrinya dapat ditulis a, a + 2b, a + 12b, U_n

a, a + 2(2a), a + 12(2a), U_n

a, 5a, 25a, U_n = 125a

×5 ×5 ×5

• maka Un = 125a a + (n – 1)b = 125a a + (n – 1)(2a) = 125a (n – 1)(2a) = 124a n – 1 = 62 n = 63

(54)

9

9. Misal 3x, 4y, 5z membentuk barisan geometri, sementara 1, 1, 1

x y z membentuk barisan

aritmetika. Nilai dari x

z z x

+ adalah . . . . A. 30

16

B. 34

15

C. 35

17

D. 39

19

E. 41

21

Pembahasan:

• 3x, 4y, 5z barisan geometri

16y2_{= 15}_xz→ _xz₌16y

15

2

• 1, 1, 1

x y z barisan aritmetika

2

= 1+1 2

= +

2 =15

16 +

=15

32 + + =

32 15

2

y x z

y

x z

xz y

x z

y

y x z x z y

×

→

(

)

(

)

• Nilai x

z z x

x z

xz

+ = +

2 2

= + 2

= 32 15 16 15

2 =34 15

2

x z xz

xz

x z

xz y y

(

)

(

)

   _

−

Jawaban: B

(55)

10

10. Barisan geometri positif yang banyak sukunya ganjil. Hasil kali su