Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 Matematika IPA kode 521

(1)

Pembahasan Soal

SIMAK

–

UI 2012

SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA

Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS

Matematika IPA

Disusun Oleh :

(2)

Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 1

Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT

Pembahasan Soal SIMAK

–

UI 2012

Matematika IPA Kode Soal 521

By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) PETUNJUK A: Untuk soal nomor 1-11 pilihlah satu jawaban yang paling tepat. 1. Misalkan dan bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut:

{ − + ₊+ ₌− − =

Perhatikan bentuk sistem persamaan berikut:

− + + − − = ...(1) karena tidak mengandung unsur pecahan. 

Substitusi = − ke persamaan (1) akan diperoleh:

(3)

Fungsi � + dapat diperoleh dengan mensubstitusikan dengan + , sehingga:

� = − + − + − ⇒ � + = ( + − ) + ( + − ) + ( + − )

⇔ � + = − + + +

Misal sisa pembagian dari � + oleh − adalah + , maka menurut teorema pembagian suku banyak bisa dirumuskan sebagai berikut:

� + = ∙ ℎ + ⇒ � + = − ℎ + +

Dengan mensubstitusikan pembuat nol dari fungsi pembagi, maka akan diperoleh persamaan:

= − ⇒ � = − + ... (1)

(4)

TRIK SUPERKILAT:

� = − + − + − ⇒ � + = − + + +

⇔ � + = − +

⇔ � + = ⏟ −

� � −

+ −⏟ +

− � −

− +

⇔ � + = − + − − − +

⇔ � + = − − + −

Jadi, sisa pembagian dari � + oleh − adalah − .

LOGIKA PRAKTIS

Soal tersebut bisa dikerjakan menggunakan pembagian ”porogapit”.

� = − + − + − ⇒ � + = − + + +

⇔ � + = − +

− − − +

− − + − +

−

(5)

3. Nilai-nilai yang memenuhi − | − | adalah .... A. Semua bilangan riil

B. − atau C. −

D. − atau E. atau Pembahasan:

Perhatikan pertidaksamaan pada soal melibatkan harga mutlak, ingat lagi definisi nilai mutlak:

| − | = { − , untuk − − , untuk >

Jadi, kita harus memisah pertidaksamaan tersebut menjadi dua bentuk, yaitu: Bentuk pertama,

Untuk , maka:

− − ⇒ + + ⇔

⇔ ⇔

Bentuk kedua, Untuk > , maka:

− − − ⇒ − − + ⇔ − − + ⇔ − − ⇔ −₋ ⇔

(6)

4. Misalkan dan adalah akar-akar persamaan kuadrat − � − � − + � + = dan kedua akar itu bilangan bulat dengan � konstan. Jika , �, merupakan 3 suku pertama barisan geometri, maka jumlah suku pertama dari barisan tersebut adalah ....

A. − − + adalah bilangan bulat serta � konstan.

= , = − � − � − , = � +

Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar diperoleh:

= ⇒ = � +

⇔ = � + … … … .

Dengan memandang bahwa , �, adalah 3 suku pertama barisan geometri, maka kuadrat suku tengah adalah perkalian dari suku pertama dan suku terakhir, sehingga diperoleh:

� = … … … .

Dengan mensubstitusi persamaan (1) dan (2) diperoleh:

� = � + ⇒ � − � − =

Kok sepertinya tidak bisa difaktorkan ya? Mari kita periksa diskriminannya!

= − = − = > dan bukan bilangan kuadrat Sehingga akar-akarnya bukan bil. bulat

(7)

Sehingga, substitusi , pada persamaan (2) akan menghasilkan:

� = ⇒ � = ⇔ � = ⇔ � − = ⇔ � + � − = ⇔ � = − atau � =

Dengan mudah kita memilih � = − sebagai pilihan yang tepat, mengingat di semua opsi jawaban mengandung unsur − 

Jadi barisan geometri yang dimaksud adalah , − , , − , …

Hal ini berarti bahwa suku pertama = dan rasio barisan = − . Jadi, jumlah suku pertama barisan geometri tersebut adalah:

(8)

5. Dalam segitiga , ⃗⃗⃗⃗⃗ = , ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ . Jika titik adalah titik berat segitiga maka ⃗⃗⃗⃗⃗ = .... A.

6( + ⃗ )

B. ( + ⃗ ) C. ( + ⃗ ) D. ( + ⃗ ) E. ( + ⃗ ) Pembahasan:

Misalkan titik adalah titik tengah garis ⃗⃗⃗⃗⃗ , sehingga ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah salah satu garis berat segitiga. Dan titik adalah titik berat segitiga, yaitu titik perpotongan semua garis berat segitiga.

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

Jika ⃗⃗⃗⃗⃗ = dan ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ , maka:

⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ = − + ⃗

Sehingga,

⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ = + (− + ⃗ ) = − + ⃗ = + ⃗ = ( + ⃗ )

Perhatikan bahwa titik membagi ⃗⃗⃗⃗⃗ sehingga ⃗⃗⃗⃗⃗ ∶ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ∶ , sehingga:

⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( + ⃗ ) = ( + ⃗ )

B C

A

D G

B C

A

(9)

Perhatikan gambar di samping!

Pada ∆ , berlaku aturan sinus yang nilai perbandingannya merupakan dua kali panjang jari-jari lingkaran luar segitiga, yaitu:

sin = sin = sin =

Dari aturan sinus bisa diperoleh kesamaan berikut:

sin = ⇒ = sin dan sin = ⇒ = sin

Sehingga, substitusikan = sin dan = sin ke persamaan pada soal,

(10)

7. Jika sin csc − − sin + sin − sin + … = , dengan �< �, maka nilai dari cos adalah ....

A. √ − − B. −√ − − C. −√ + − D. −

√ − �−

E.

√ + �−

Pembahasan: Perhatikan!

sin ⏟ csc −

� � �� c c − =c

− sin + sin − sin + … ⏟

� � � � � ℎ� �� = =− i

�∞= −

= ⇒ _{sin ∙ cot ∙ ( + sin ) =} ⇔ sin ∙cos_{sin ∙ ( + sin ) =} ⇔ _{cos ∙ ( + sin ) =} ⇔ − sin _{∙ ( + sin ) =} ⇔ − sin _{+ sin ∙ ( + sin ) =} ⇔ − sin = ⇔ − = sin

Karena �< � berarti berada di kuadran II, artinya nilai cos negatif.

Sehingga, bentuk cos dapat diperoleh dari sin dengan menggunakan identitas trigonometri:

cos + sin = ⇒ cos = − sin

⇔ cos = −√ − sin ingat di kuadran II maka cos bernilai negatif

= −√ − − ingat − = −

(11)

8. lim

�→−∞ − √ + = ....

A. −∞ B. − C. D. E. ∞

Pembahasan:

Ingat bentuk limit tak hingga bentuk ∞ − ∞ adalah salah satu limit bentuk tak tentu.

Sekarang periksa nilai limit berikut dengan mensubstitusikan nilai pada fungsi limit terlebih dahulu, apakah menghasilkan sebuah limit bentuk tak tentu?

lim

�→−∞ − √ + = −∞ − √ −∞ +

= −∞ − √∞ = −∞ − ∞ = −∞

(12)

Perhatikan bentuk limit pada soal!

lim

(13)

10. Jika diketahui garis singgung parabola = + + , pada titik = − membentuk sudut terhadap sumbu sebesar arctan . Luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus = − − dan parabola tersebut adalah ....

A. turunan pertama dari kurva pada titik tersebut, sehingga:

� = + + ⇒ �′ ₌ _{+ ⇒} _{= �}′ ₋

⇔ = − +

⇔ = − + ... (1)

Garis singgung tersebut membentuk sudut terhadap sumbu sebesar arctan , sehingga:

� = arctan ⇒ tan � =

Padahal gradien garis singgung dari sebuah kurva juga merupakan nilai dari tan �, dimana � adalah sudut yang dibentuk oleh garis singgung dengan sumbu , sehingga diperoleh:

= tan � ⇒ = ... (2) Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) akan diperoleh:

− + = ⇒ = + ⇔ =

Jadi, dengan mensubstitusi nilai = , maka persamaan parabola tersebut adalah:

= + +

Sehingga, untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh = + + dan sebuah garis lurus,

= − − maka gunakan rumus cepat TRIK SUPERKILAT berikut:

Luas daerah yang hanya dibatasi kurva dan garis lurus adalah:

� = √

dimana,

= − .

adalah nilai diskriminan dari persamaan kuadrat + + yang diperoleh dengan mensubstitusi persamaan garis ke persamaan kurva.

Jadi, substitusi = − − pada kurva, akan diperoleh:

− − = + +

⇔ = + + − − − ⇔ = + + + + ⇔ = ⏟ + ⏟ + ⏟

Sehingga, nilai adalah:

= − ⇒ = − = − =

Jadi, luas daerah tersebut adalah:

(14)

Perhatikan bidang segiempat . di samping!

⊥ , ⊥ bidang = = √ cm

= cm

Maka besar sudut antara bidang dan dapat ditentukan dengan membuat menentukan titik potong kedua bidang terlebih dulu.

Ternyata garis potong kedua bidang tersebut adalah terletak pada ruas garis .

Sudut antara bidang bidang dan adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis pada masing-masing bidang yang tegak lurus dengan garis potong, Misal adalah titik tengah , maka sudut antara bidang bidang dan adalah sudut yang dibentuk oleh ruas garis dengan ruas garis . Jadi,

= ∠ bidang , bidang = ∠ ,

Perhatikan bidang alas yang merupakan segitiga siku-siku sama kaki. Apabila bidang alas kita perluas sehingga menjadi sebuah persegi , sehingga adalah salah satu diagonal persegi.

= √ + = √( √ ) + ( √ ) = √ + = √ =

Dan dengan mudah kita mengetahui bahwa:

= = = ⇒ = = = ⇔ = = =

Jadi, besar sudut dengan mudah ditentukan dari nilai tangen sudut , dimana nilai tangen sudut adalah perbandingan antara ruas garis dengan ruas garis :

tan = ⇒ tan = ⇔ tan =

(15)

PETUNJUK C: Untuk soal nomor 12

12. Persamaan kuadrat − + + = akar-akarnya dan dengan = + . Pernyataan berikut yang BENAR untuk hubungan antara dan adalah ....

(1) = (2) = (3) = + (4) = Pembahasan:

Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat maka dari persamaan kuadrat − + + = akan diperoleh:

+ = − ⇒ + = − − ⇔ + = = ⇒ = +

⇔ + = +

Sehingga = + bisa dinyatakan menjadi:

= + ⇒ + = ⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ − − = Pembuat nol ⇒ − = atau − = ⇔ = atau =

Sehingga diperoleh hubungan antara dan , yaitu = atau =

Untuk download rangkuman materi, kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT dalam menghadapi SIMAK-UI, UM STIS, SBMPTN, SNMPTN, OSN serta kumpulan pembahasan soal SIMAK-UI, SNMPTN, UM STIS, UMB PTN, OSN ataupun yang lainnya jangan lupa untuk selalu mengunjungi

http://pak-anang.blogspot.com. Terimakasih,