Jawab Soal Penjajakan P1B 1516 DIY

(1)

Sifat-sifat Pangkat

1.

a

m

. a

n

= a

m + n

2.

n m

a

= a

m – n

3.

(a

m

)

n

= a

m.n

4.

(ab)

m

= a

m

b

m

5.

m b a      

=

m m b a

6.

a

–m

=

m

a 1

Sifat-sifat logaritma 1. a_{log b = c}_ac_{= b}

2. b

m n

bn a

am_log _ _. _log

3. a_{log b.c =}a_{log b +}a _{log c}

4. b c

c

b _a _a

a_log _ _log _ _log

5. a_{log b .}b_{log c =}a_{log c}

6. a b b a log 1 log  7. a b b k k a log log

log  dengan

( k  bil real positif) 1. Bentuk sederhana dari

2 3 2 1 1 3 2            c b a c b a adalah …. A. 8 6 c b a B. 8 10 6 c b a C. 8 2 2 c a b D. 4 2 2 c a b E. 2 2 8 b a c Jawab: 2 3 2 1 1 3 2            c b a c b a = 6 4 2 2 6 4 c b a c b a    = 8 2 2 c a b

( C )

2. Bentuk sederhana dari

2 3

6 3

 adalah ….

A. 3(3 3 + 2 2) B. 3(3 3 – 2 2) C. 3(2 3 + 3 2) D. 2(2 3 - 3 2) E. 3(3 2 – 2 3) Jawab:

2 3

6 3

 = 3 2

2 3 2 3 6 3     = ) 2 3 )( 2 3 ( ) 2 3 ( 6 3    ₌ ) 2 3 ( ) 12 18 ( 3 2 2   = 2 3 ) 3 2 2 3 ( 3  = 3(3 2 - 2 3) ( E )

3. Diketahui log 2 = a dan log 3 = b maka log 180 = ... A. a + b + 1

B. a + 2b + 1 C. 2a + b + 1 D. 2a + 2b + 1 E. 2(a + b + 1) Jawab:

log 180 = log (18  10) = log (2.3.3.10) = log 2 + log 3 + log 3 + log 10

= a + b + b + 1 = a + 2b + 1 ( B )

Perhatikan selisih pangkat dari pembilang dan penyebut. Jika pangkat pembilang lebih besar maka variabel diletakkan pada pembilang, tapi jika pangkat penyebut yang lebih besar maka variabel diletakkan di penyebut. Besar pangkat sama dengan selisih pangkat pembilanga dan penyebut

Metode paling umum untuk menyelesaikan permasalahan menyederhanakan fungsi rasional bentuk akar adalah dengan mengalikan penyebut dengan bilangan sekawannya. Ini dimaksudkan agar penyebut tidak lagi dalam bentuk akar. Perhatikan

2 3

6 3

 , penyebutnya 3 2.

Bilangan sekawan dari 3 2 adalah 3 2 Perkalian bilangan sekawan:

(a + b)(a

–

b) = a

2

–

b

2

,

jadi

( 3 2)( 3 2) = 32 22 = 3 – 2 = 1

Sifat logaritma terkait yang digunakan

(2)

Wagiman, S.Si

(2) 4. Ibu Hasnah membeli 2 kg beras C4 dan 3 kg beras Raja Lele dengan harga Rp 69,000,00. Sedangkan Ibu Hilda membeli 3 kg beras C4 dan 4 kg beras Raja Lele seharga Rp 96.000,00. Harga 4 kg beras C4 dan 3 kg beras Raja Lele adalah ….

A. Rp 40.000,00 B. Rp 45.000,00 C. Rp 48.000,00 D. Rp 93.000,00 E. Rp 96.000,00 Jawab:

Misal x = harga 1 kg C4 dan y = harga 1 kg Raja Lele 2x + 3y = 69.000 }3 6x + 9y = 207.000

3x + 4y = 96.000 }2 6x + 8y = 192.000 –––––––––––––––––

y = 15.000

2x + 3(15.000) = 69.000 2x + 45.000 = 69.000

2x = 24.000  x = 12.000

jadi 4x + 3y = 4(12.000) + 3(15.000) = 48.000 + 45.000 = 93.000 ( D )

5. Apabila P =

      1 0 6 3 1 2 Q =       1 3 2 2 0 3

dan R =

    8 5 6 9 7 4

maka 2P – Q + 3R = ...

A.     25 12 10 35 15 13 B.     25 18 10 35 19 13 C.     25 18 8 37 19 13 D.     25 18 4 35 19 13 E.     25 18 10 35 25 13 Jawab:

2P – Q + 3R = 2

      1 0 6 3 1 2 – _ _   1 3 2 2 0 3 + 3     8 5 6 9 7 4 =       2 0 12 6 2 4 –       1 3 2 2 0 3 +     24 15 18 27 21 12 =     25 18 4 35 19 13

( D )

6. Invers matriks =

      4 3 7 5 adalah ... A.       5 3 7 4 B.       5 3 7 4 C.       5 3 7 4 D.      3 5

7 4 E.      5 3 7 4

Invers dari matriks M = _      d c b a

ditullis M–1

adalah 1        d c b a = _       

 c a

b d bc ad

(3)

(3) Jawab:

Invers matriks

  

  

4 3

7 5

=

1

4 3

7

5 

  

  

=

  

   



 3 5

7 4 3 . 7 4 . 5

1

=

  

   

 3 5

7 4 21 20

1

=

  

   5 3

7 4 1 1

=

  

   5 3

7 4

( A )

7. Nilai determinan

2 3 1

6 5 3

1 4 2



 adalah ...

A. -86 B. -80 C. -76 D. -70 E. -60 Jawab:

2 3 1

6 5 3

1 4 2



 = 2.5.-2 + 4.6.1 + 1.-3.3 – 1.5.1 – 2.6.3 – 4.-3.-2

= -20 + 24 – 9 – 5 – 36 – 24 = -70 ( D )

8. Grafik fungsi kuadrat yang mempunyai persamaan y = x2–_{5x + 6 adalah ....}

Jawab:

Pada pilihan jawaban, kurva-kurva berbeda titik potong dengan sumbu X, jadi cukup memeriksa titik potong dengan sumbu x.

y = x2–_{5x + 6}

Memiliki titik potong dengan sumbu x x2–_{5x + 6 = 0}

(x – 2)(x – 3) = 0 x = 2 atau x = 3 ( B )

E. Y

1 6 X

0

B. Y

6

2 3

X 0

D. Y

-6 -1

X 0

C. Y

-2 3

X 0

A. Y

6

-3 -2

X 0

Untuk menentukan determinan matriks ordo 3  3 digunakan aturan Sarrus

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

=

32 31

22 21

12 11

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a

a a a

+ + +

– – –

(4)

Wagiman, S.Si

(4) 9. Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke-4 dan suku ke-9 berturut-turut adalah 18 dan

43 maka jumlah 20 suku pertama adalah…. A. 480

B. 840 C. 940 D. 1.010 E. 2.020 Jawab:

U4 = a + 3b = 18

U9 = a + 8b = 43

––––––––––––––

5b = 25  b = 5

a + 3(5) = 18  a = 3

Jumlah 20 suku pertama

Sn =

2 n

[2a + (n – 1)b]  S20 =

2 20

[2(3) + (20 – 1).5]

= 10[6 + 95] = 10[101] = 1.010

( D )

10. Setiap bulan Ardy menabung di Bank. Pada bulan pertama Ardi menabung sebesar Rp 450.000,00, bulan kedua Rp 470.000,00, dan bulan ketiga Rp 490.000,00. Jika penambahan uang yang ditabung tetap setiap bulannya, jumlah uang yang ditabung Ardi selama satu tahun adalah ….

A. Rp 1.410.000,00 B. Rp 4.020.000,00 C. Rp 6.720.000,00 D. Rp 7.200.000,00 E. Rp 7.600.000,00 Jawab:

Ini adalah persoalan Deret aritmatika karena terjadi penambahan nilai secara tetap. a = U1 = 450.000, U2 = 470.000, U3 = 490.000,

b = 470.000 – 450.000 = 20.000 (selisih dua suku terdekat) Satu tahun = 12 bulan, n = 12

Sn =

2 n

[2a + (n – 1)b]

S12 =

2 12

[2(450.000) + (12 – 1).(20.000)]

= 6[900.000 + 220.000] = 6[1.120.000] = 6.720.000 ( C )

Teknik mengetahui persamaan sebuah fungsi kuadrat

1. Persamaan kuadrat yang puncaknya (a, b) adalah

(y

–

b)

2

= k(x

–

a)

2

k = konstanta yang nilainya dihitung dengan substitusi titik yang lain

2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya α dan β

y = k[x

2

–

(α + β)x + αβ]

k = konstanta yang nilainya dihitung dengan substitusi titik yang lain

Barisan aritmatika

Suku ke-n Un = a + (n – 1)b

Jumlah n suku pertama

Sn =

2 n

[2a + (n – 1)b]

Barisan geometri

Suku ke-n Sn = ar n – 1

Jumlah tak hingga

S = r a  1 Note!

Sebuah persamaan kuadrat dengan fungsi f(x) = ax2 + bx + c

(1). Jika a > 0, kurva terbuka ke atas Jika a < 0, kurva terbuka ke bawah (2). Titik potong dengan sumbu Y

syarat x = 0, jadi y = a.02_{+ b.0 + c = c}

(0 , c)

(3). Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0

x dapat dicari dengan pemfaktoran

(… …)(… …) = 0

(4). Titik puncak (x , y)

x =

a b 2

 _{adalah sumbu simetri}

y = f(

a b 2

(5)

(5) 11. Sebuah Mobil dibeli dengan harga Rp 125.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi

5 3

dari harga sebelumnya. Nilai jual setelah dipakai 3 tahun adalah ....

Ini persoalan Barisan geometri karena memiliki rasio (pembanding) yang tetap yaitu 5 3

untuk nilai-nilai berikutnya. a = 125.000.000

r = 5 3

Setelah 3 tahun = U3

U3 = ar2 = 125.000.000

2

5 3     

 _{= 125.000.000}_ _     

25 9

= Rp. 45.000.000,00

( Tidak ada jawaban )

12. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 48 dan suku pertamanya adalah 16. Rasio dari deret tersebut adalah….

A. 6 1

B. 4 1

C. 3 1

D. 2 1

E. 3 2

Jawab:

Deret geometri tak hingga dengan S = 48, a = 16

S = r a  1 48 =

r  1

16

1 – r = 48 16

= 3 1

r = 3 2

( E )

13. Sebuah home industri roti membuat 2 jenis roti. Roti jenis pertama memerlukan 150 gram tepung dan 350 gram gula, roti jenis kedua memerlukan 250 gram tepung dan 450 gram gula. Persediaan tepung 24 kg dan gula 48 kg. Jika x dan y berturut-turut menyatakan banyak roti jenis pertama dan roti jenis kedua maka model matematika dari persoalan tersebut adalah…

A. 3x + 5y  480 ; 7x + 9y  960 ; x  0; y  0 B. 3x + 5y  480 ; 7x + 9y  960 ; x  0; y  0 C. 3x + 5y  480 ; 7x + 9y  960 ; x  0; y  0 D. 5x + 3y  480 ; 7x + 9y  960 ; x  0; y  0 E. 5x + 3y  480 ; 7x + 9y  960 ; x  0; y  0

Barisan geometri

Suku ke-n

Sn = ar n – 1 Jumlah tak hingga

S_ = r a  1

Barisan-Deret geometri

Suku ke-n

Sn = ar n – 1 Jumlah n suku pertama Sn =

r r

a n

  1

) 1 (

, untuk r < 1

Sn = 1

) 1 (

 r r a n

, untuk r > 1 Jumlah tak hingga

S_ = r a  1 Tahun pertama = 125.000.000 Tahun kedua = 125.000.000 

5 3

= 75.000.000 tahun ketiga = 75.000.000 

5 3

(6)

Wagiman, S.Si

(6) Jawab:

roti jenis pertama roti jenis kedua persediaan

tepung 150 250 24.000

gula 350 450 48.000

banyak roti x y

Misal x = banyak roti jenis pertama, y = banyak roti jenis kedua

150x + 250y  24.000 }:50  3x + 5y  480 350x + 450y  48.000 }:50  7x + 9y  960 x  0 , y  0 kendala tak negatif

( B )

14. Daerah yang memenuhi pertidaksamaan 3x + y  18, x + 3y  9, x  0, y  0 adalah… A. I

B. II C. III D. IV E. V Jawab:

Mula-mula identifikasikan persamaan garis pada gambar Tanda  berarti daerah di bawah garis

Tanda  berarti daerah di atas garis 3x + y  18 yang memenuhi {I, II, IV} x + 3y  9 yang memenuhi {I, II, III}

x  0, y  0 berarti daerah di kuadran I (+, +) {II, III, IV, V} yang memenuhi semua kendala adalah daerah II

( B )

15. Pesawat udara mempunyai tempat duduk 58 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg sedang kelas ekonomi 20 kg. Pesawat hanya mampu membawa bagasi 1.440 kg. Harga tiket kelas utama Rp 750.000,00 dan kelas ekonomi Rp 500.000,00. Hasil dari penjualan tiket maksimum adalah ....

Kelas Utama Kelas Ekonomi batas

jumlah penumpang x y 58

bagasi 60 20 1.440

harga tiket 750.000 500.000

Disusun model matematika: x + y  58

60x + 20y  1.440 }:20  3x + y  72 fungsi objektif: (x, y) = 750.000x + 500.000y Membandingkan gradien

x + y = 58 m =

1 1  _{= -1}

3x + y = 72 m =

1 3  _{= -3}

(x, y) = 750.000x + 500.000y m =

000 . 500

000 . 750

 ₌

-2 3

3x + y = 18

x + 3y = 9 18

8

0 3

6 9

Y

V IV

III II

I

X

Gradien garis

ax + by = c

adalah m =

y koefisien

x koefisien



=

(7)

(7) Karena besar gradien fungsi objektif

(-2 3

) di tengah fungsi-fungsi kendala (-1 dan -3) atau

dapat ditulis 3 < -2 3

< -1, maka nilai optimum berada di titik potong kedua garis kendala.

Titik potong. x + y = 58 3x + y = 72 ––––––––– –

2x = 14  x = 7

(7) + y = 58  y = 51

diperoleh titik potong (7, 51)

Nilai maksimum (x, y) = 750.000x + 500.000y

(16, 9) = 750.000(7) + 500.000(51) =5.250.000 + 25.500.000 = 30.750.000 ( C )

16. Persamaan garis yang melalui titik (2, –1) dan sejajar garis 3x - 4y + 5 = 0 adalah .... A. 3x – 4y – 10 = 0

B. 3x – 4y – 2 = 0 C. 4x + 3y – 5 = 0 D. 4x + 3y – 11 = 0 E. 4x – 3y – 11 = 0 Jawab:

3x - 4y + 5 = 0

garis yang sejajar dan melalui (2, -1) pasti juga berbentuk: 3x – 4y = ... 3x – 4y = 3(2) – 4(-1)

3x – 4y = 6 + 4 = 10 3x – 4y – 10 = 0 ( A )

17. Diketahui tan α = – 3 untuk 90





α



180



. Nilai cos α adalah .... A.

3 1 

B. 2 1 

C.  3

D. 3

3 1

E. 3

2 1

Jawab:

tan α = – 3, dibuat segitiga siku-siku yang sesuai. Abaikan dulu tanda minus, jadi gunakan saja tan α = 3 Setelah nanti panjang semua sisi segitiga sudah lengkap, baru diperhitungkan min plusnya berdasar kuadran yang diminta soal.

Sisi miring yang belum diketahui dihitung dengan phytagoras.

r = 12  32 = 4 = 2 cos α =

miring samping

= 2 1

Interval 90





α



180



menunjukkan bahwa sudut berada di kuadran II, nilai cosinus di

kuadran II adalah negatif. Jadi jawaban lengkapnya cos α = – 2 1

( B )

Persamaan garis yang melalui titik (a, b) dan sejajar garis Ax + By = C

adalah: Ax + By = Aa + Bb

Persamaan garis yang melalui titik (a, b) dan tegak lurus garis Ax + By = C adalah: Bx – Ay = Ba - Ab

Perbandingan Trigonometri

sin = miring

depa n

cos =

mir ing sa mping

tan =

sa mping depa n

α

depan samping

miring

Dua garis yang bergradien masing-masing m1 dan m2

Sejajar jika : m1= m2

Tegak Lurus jika : m1 m2 = –1

α

3

(8)

Wagiman, S.Si

(8) Perhatikan kurva-kurva sin, cos, dan tan berikut yang dapat menunjukkan min-plus di tiap tiap kuadran

Untuk menentukan nilai sin, cos atau tan, sebaiknya direkonstruksi sebuah segitiga yang bersesuaian dengan data yang dimiliki, kemudian panjang sisi yang belum diketahui nilainya dicari dengan dalil Pythagoras. Walaupun sudut yang terlibat adalah sudut di sembarang kuadran dan tidak selalu dikuadran I ( 0 < θ < 90) tetapi nilainya sama saja. Yang membedakan hanyalah tanda negatif atau positif.

Perhatikan ilustrasi kurva trigonometri di atas, yang apabila dirangkum dalam sebuah tabel maka diperoleh:

kuadran I kuadran II kuadran III kuadran IV

sin x + + – –

cos x + – – +

tan x + – + –

18. Sebuah segitiga PQR dengan panjang PR = 10 m, besar P = 30o dan Q = 45o. Panjang QR adalah .…

A. 5 m

B. 5 2 m C. 5 3 m D. 10 m E. 10 2 m Jawab:

Panjang QR dihitung dengan aturan sinus

Q PR P QR

sin sin 

 

 sin45 10 30

sin QR

   

45 sin

10 30

sin

QR

=

2 2 1

10 2 1



= 2 10

=

2 2 2 10

 = 2

2 10

= 5 2

( B )

y = Tan x

I

II III

IV I

II III

IV y = Cos x

y = Sin x I _II

III _IV

45 30

P

R

Q 10 m

Aturan sinus.

Digunakan apabila unsur segitiga yang terlibat dalam perhitungan berupa dua pasang sisi

–

sudut yang saling berhadapan

C

c

B

b

A

a

sin



Aturan cosinus.

Digunakan apabila unsur segitiga yang terlibat dalam perhitungan berupa tiga sisi dan sebuah sudut a2_{= b}2_{+ c}2

–

_{2bc cos A}

b2 = a2 + c2

–

2ac cos B c2 = a2 + b2

–

2ab cos C

A

c C

B

(9)

(9) 19. Sebidang tanah berbentuk segitiga ABC seperti pada gambar di bawah. Panjang sisi AB

adalah 50 m, panjang sisi AC adalah 24 m dan besar sudut BAC adalah 30o. Jika tanah itu dijual dengan harga Rp 400.000,00 untuk setiap meter persegi. Maka harga penjualan tanah tersebut adalah ....

A. Rp 80.000.000,00 B. Rp 100.000.000,00 C. Rp 120.000.000,00 D. Rp 200.000.000,00 E. Rp 240.000.000,00

Jawab:

Rumus Luas Segitiga, yang diketahui dua sisi dan sudut apitnya

L = a bsinC 2

1

= AB AC sinA 2

1

= 5024sin30 2

1

=

2 1 24 50 2 1

 

 = 300

harga tanah Rp 400.000,00/m2

Harga seluruhnya = 300  Rp 400.000,00 = Rp 120.000.000,00 ( C )

20. Bayangan titik Q(–2 , 5) oleh refleksi terhadap garis y = x dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis x =3 adalah ....

A. Q’’(5, 2) B. Q’’(1, -2) C. Q’’(10, 5) D. Q’’(9, 6) E. Q’’(1, 2)

Jawab:

Membuat gambar akan lebih mudah

Bayangan titik Q(-2, 5) direfleksikan terhadap garis y = x adalah Q’(5, -2) Bayangan titik Q’(5, -2) direfleksikan terhadap garis x = 3 adalah Q’’(1, -2) ( B )

Rumus-Rumus Transformasi Sederhana

Titik Asal Transformasi Titik Bayangan

Penjelasan

(a, b)

translasi =     n

m (a+m, b+n) Menggeser titik (a, b) sejauh m satuan horizontal dan n satuan vertikal. m > 0 pergeseran ke kanan m < 0 pergeseran ke kiri n > 0, pergeseran ke atas n < 0 pergeseran ke bawah A

B C

A

B C

50 m 30

24 m

Rumus luas segitiga

L = 2 1

ab sin C

L = 2 1

ac sin B

L = 2 1

bc sin A

Q’’(1, -2) x = 3

y = x

Q(-2, 5)

Q’(5, -2) X

(10)

Wagiman, S.Si

(10) (a, b) dilatasi [k, O]

k = faktor skala, O titik pusat (0, 0)

(ka, kb) Perbesaran k kali dengan pusat perbesaran titik pusat koordinat O(0, 0)

(a, b) Refleksi y = x Refleksi y = -x Refleksi x = k Refleksi y = k

(b, a) (-b, -a) (2k – a, b) (a, 2k – b)

Pencerminan terhadap garis diagonal y = x Pencerminan terhadap garis diagonal y = -x Pencerminan terhadap garis vertikal x = k Pencerminan terhadap garis horizontal y = k (a, b) Rotasi +90

Rotasi –90

(-b, a) (b, -a)

Rotasi 90 berlawanan arah jarum jam Rotasi 90 searah putaran jarum jam

21. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 2 cm, maka luas bidang ABGH adalah .... A. 36 cm2

B. 36 2 cm2 C. 64 2cm2 D. 72 cm2

E. 72 2 cm2 Jawab:

ABGH sebuah persegi panjang BG = 6 2 2 = 12

AB = 6 2

Luas ABGH = 12  6 2 = 72 2 ( E )

22. Kubus ABCD.EFGH panjang sisi 8 cm. Titik P terletak di tengah-tengah rusuk AE. Jarak titik P ke bidang BDHF adalah ....

A. 4 2 cm B. 8 cm C. 8 2 cm D. 12 cm E. 12 2 cm Jawab:

Jarak titik P ke bidang BDHF,

adalah panjang ruas garis yang melalui titik P dan tegak lurus dengan bidang BDHF.

Titik potong garis yang melalui titik P dengan bidang BDHF berada di pusat bidang BDHF dilambangkan dengan Q.

Jarak titik P ke bidang BDHF ditunjukkan dengan ruas garis PQ, sama dengan setengah diagonal bidang EG.

Panjang diagonal bidang EG = r 2 = 8 2 Jadi setengahnya adalah 4 2

( A )

6 2 E

F

D _C

B A

H _G

6 2 6 2

6 2

12

H G

B A

8 E

F

D _C

B A

H _G

8 8

P

Q

diagonal bidang diagonal

ruang

(11)

(11) 23. Diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm.

Besar sudut yang terbentuk antara garis BG dan AC adalah ....

A. 15o

B. 30o

C. 45o

D. 60o

E. 75o

Jawab:

Untuk menghitung besar sudut antara garis BG dan AC kita geser BG ke AH, sehingga diperoleh sudut HAC. Perhatikan bahwa segitiga yang terbentuk adalah HAC.

Segitiga HAC adalah sama sisi, (AH, AC, CH adalah diagonal bidang) dengan sisi sama dengan diagonal bidang kubus yaitu r 2 = 6 2

Karena sama sisi maka sudutnya 60 ( D )

24. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-3, 2) dan memiliki jari-jari 2 adalah…. A. x2_{+ y}2–_{4x + 6y + 4 = 0}

B. x2_{+ y}2–_{4x + 6y + 9 = 0} C. x2_{+ y}2–_{6x + 4y + 4 = 0} D. x2_{+ y}2_{+ 6x}–_{4y + 4 = 0} E. x2_{+ y}2_{+ 6x}–_{4y + 9 = 0} Jawab:

Persamaan lingkaran dengan pusat (-3, 2) dan jari-jari 2 adalah (x + 3)2_{+ (y}–₂₎2_{= 2}2

x2_{+ 6x + 9 + y}2–_{4y + 4 = 4}

x2_{+ y}2_{+ 6x}–_{4y + 13}–_{4 = 0}

x2_{+ y}2_{+ 6x}

– 4y + 9 = 0

( E )

25. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y 2 = 13 yang melalui titik (-2,3)adalah…. A. 2x + 3y + 13 = 0

B. 2x – 3y + 13 = 0 C. 2x – 3y – 13 = 0 D. 3x + 2y – 13 = 0 E. 3x – 2y + 13 = 0 Jawab:

Persamaan garis singgung lingkaran x2_{+ y}2_{=13 yang melalui titik (-2, 3)}

px + qy = r2

-2x + 3y = 13

jika dikalikan -1 menjadi: 2x – 3y = –13

2x – 3y + 13 = 0 ( B )

6 E

F

D _C

B A

H _G

6 6

Persamaan Lingkaran yang berpusat di (a, b), dan berjari-jari = r

(x – a)2 + (x – b)2 = r2 Bentuk Baku

x2_{+ y}2–_2ax–_{2ay + (a}2_{+ b}2–_r2_{) = 0 Bentuk Umum}

6 E

F

D _C

B A

H _G

6 6

Persamaan garis Singgung Pada Lingkaran

Persamaan garis singgung pada lingkaran x2_{+ y}2_{= r}2_{, melalui titik (p, q)}

adalah: px + qy = r2

Persamaan garis singgung pada lingkaran (x

–

a)2_{+ (y}

–

_b)2_{= r}2_{, melalui titik (p, q)}

adalah:

(p

–

a)(x

–

a) + (q

–

b)(y

–

b) = r2

Persamaan garis singgung pada lingkaran x2_{+ y}2

–

_2ax

–

_{2by + (a}2_{+ b}2

–

_r2_{) = 0,}

melalui titik (p, q) adalah:

(12)

Wagiman, S.Si

(12) 26. Diagram lingkaran berikut menunjukkan persentase jenis olah raga

siswa di sekolah X. Jumlah siswa seluruhnya sebanyak 1.200 siswa. Banyak siswa yang suka olah raga Volly adalah ....

A 100 siswa B 108 siswa C 240 siswa D 420 siswa E 432 siswa Jawab:

Basket = 9%

Tenis meja = 35%

Badminton = 20%

––––––––––––––––––– –

Jumlah = 64%

Basket = 100% - 64% = 36%

Jumlah siswa yang suka basket = 100

36

 1.200 = 432

( E )

27. Berikut ini adalah tabel hasil ulangan Fisika kelas XII Gambar Teknik Bangunan. Median data tersebut adalah ....

A 69,00 B 69,25 C 69,50 D 69,75 E 71,92 Jawab:

Ukuran data = n = 3 + 8 + 10 + 11 + 5 + 3 = 40 median = X20 berada di kelas ke-3 (61 – 70)

Tb = tepi bawah kelas median = 60,5

o = frekwensi kumulatif sebelum kelas median = 3 + 8 = 11

 = frekwensi kelas median = 10 p = panjang kelas = 10

Me = Tb + p

f f

n _o

   

 

   



 _

2 1

= 60,5 + 10

10 11 ) 40 ( 2 1

   

 

   



 _

= 60,5 + 10 10

11 20

  

  _{= 60,5 + 9 = 69,5}

( C )

28. Simpangan baku dari data 6, 8, 3, 7, 6, 9, 4, 5 adalah .... A. 2 7

B. 7

C. 14 2 1

D. 7

2 1

E. 14

4 1

Nilai Jumlah

41 – 50 3 51 – 60 8 61 – 70 10 71 – 80 11 81 – 90 5 91 - 100 3 Jumlah 40

Rumus Median = Me

Me = Tb + p f

f

n _k

. 2

1

    

 

 _

Tb = tepi bawah kelas Median

n = ∑fi = ukuran data

fk = frekwensi kumulatif sebelum median

f = frekwensi kelas Median p = panjang kelas

Volly Basket

9% Badminton

20%

(13)

(13) Jawab:

Data: 6, 8, 3, 7, 6, 9, 4, 5

Rata-rata =

8

5 4 9 6 7 3 8

6       =

8 48

= 6

Simpangan baku

s =





n X X_i



 2

=

8

) 6 5 ( ) 6 4 ( ) 6 9 ( ) 6 6 ( ) 6 7 ( ) 6 3 ( ) 6 8 ( ) 6 6

(  2   2  2   2   2   2   2   2

=

8

) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 0

( 2 2   2  2 2 2   2  2

=

8

1 4 9 0 1 9 4

0       =

8 28

= 4 14

= 14 2 1

( C )

Untuk memudahkan menghitung simpangan baku, kita bisa menggunakan jembatan keledai,

misalnya:

R

asah

S

ok

Kakehan

Janji

Ben

Aman

R = rata-rata = (6 + 8 + 3 + 7 + 6 + 9 + 4 + 5)/8 = 6 S = simpangkan

K = kuadratkan J = jumlahkan B = bagi A = akar

x

i

6

8

3

7

6

9

4

5

R

6

S

0

2

-3

1

0

3

-2

-1

K

0

4

9

1

0

9

4

1

J

0 + 4 + 9 + 1 + 0 + 9 + 4 + 1 = 28

B

8 28

=

4 14

A

14 2 1 4 14



( C )

29. Nilai rata-rata ulangan matematika 40 siswa di sebuah SMK adalah 78,25. Jika nilai rata rata matematika siswa putra adalah 72 dan nilai rata-rata matematika siswa putri 82, maka banyak siswa putri adalah .…

A. 30 siswa B. 25 siswa C. 15 siswa D. 12 siswa E. 8 siswa Jawab:

25 , 78 

X , n = 40, X_putra 72 dan X_putri 82 nputri = ...?

2 1

2 2 1 1

n n

X n X n X

 



40

) 82 )( (

) 72 )( 40

( 25 ,

78  nputri  nputri

(78,25)(40) = (40)(72) -72 nputri + 82.nputri

(78,25)(40) = (40)(72) + 82.nputri– 72.nputri

Rata-Rata Gabungan dua

Himpunan

jumlah anggota A = n

A

jumlah anggota B = n

B

rata-rata himpunan A =

X_A

rata-rata himpunan B =

X_B

Jika digabungkan rata-ratanya menjadi

B A

B B A A

n n

X n X n X

(14)

Wagiman, S.Si

(14) (78,25)(40) = (40)(72) + 10.nputri

10.nputri = (78,25)(40) – (72)(40)

nputri =

10 ) 72 25 , 78 (

40 

= 4(78,25 – 72)

= 4 (6,25) = 25 ( B )

30. Norma memiliki 6 warna cat yang berbeda. Ia akan mencampur 2 cat yang berbeda untuk mendapatkan warna cat baru. Banyaknya warna cat baru yang bisa dihasilkan adalah ….

A. 8 macam B. 10 macam C. 12 macam D. 15 macam E. 20 macam Jawab:

Mengambil 2 objek dari 6 objek seperti kasus diatas adalah peristiwa kombinasi, oleh karena urutan tidak diperhatikan.

6C2 =

! 4 ! 2

! 6

=

1 . 2 . 3 . 4 . 1 . 2

1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6

= 15

Misalnya warna semula adalah : ABCDEF Warna campurannya adalah:

AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD, BE, BF CD, CE, CF DE, DF EF ( D )

31. Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama sebanyak satu kali. Peluang munculnya mata dadu berjumlah 4 atau 5 adalah ….

A 36

2

B 36

3

C 36

5

D 36

7

E 36 10

Jawab:

Peluang =

sa mpel rua ng

ukura n

keja dia n ba nya k

Dua dadu dilempar, ukuran ruang sampel = 36

Kejadian jumlah mata dadu 4 atau 5 adalah 13, 22, 31, 14, 23, 32, 41 ada 7 kejadian dari 36 kejadian yang mungkin

Peluang = 36

7

( D )

32. Empat buah uang logam di lempar undi bersamaan sebanyak 96 kali. Frekuensi harapan muncul kejadian 2 Angka 2 Gambar ( 2A 2G) adalah ….

A. 6 kali B. 24 kali C. 32 kali D. 36 kali E. 48 kali

Dua dadu di lempar undi, maka diperoleh ruang sampel:

1 2 3 4 5 6

1 11 12 13 14 15 16 2 21 22 23 24 25 26 3 31 32 33 34 35 36 4 41 42 43 44 45 46 5 51 52 53 54 55 56 6 61 62 63 64 65 66

Kombinasi n objek diambil r objek n

C

r =

)!

(

!

r

n

r

(15)

(15) Jawab:

Empat keping uang lgam dilempar undi. Ruang sampelnya: 4A0G: AAAA,

3A1G: AAAG, AAGA, AGAA, GAAA,

2A2G: AAGG, AGAG, GAAG, AGGA, GAGA, GGAA, 1A3G: AGGG, GAGG, GGAG, GGGA,

0A4G: GGGG

Kejadian Munculnya 2A2G = { AAGG, AGAG, GAAG, AGGA, GAGA, GGAA } Ada 6 kejadian dari 16 kejadian

Peluangnya = 16

6

Frekwensi harapan = 16

6

 96 = 36 ( D )

33. Nilai dari

3 2 24 11 lim 2 2

3  

 



 x x

x x

x adalah ….

A. 4 7  B. 4 5 

C. 0

D. 4 5 E. 4 7 Jawab: 3 2 24 11 lim 2 2

3  

 



 x x

x x x = ) 1 )( 3 ( ) 8 )( 3 ( lim

3  

 



 x x

x x x = ) 1 ( ) 8 ( lim 3     x x x = 1 ) 3 ( 8 ) 3 (     ₌ 4 5 

( B )

34. Turunan pertama dari (x) =

2 1 , 1 2 5 3    _x x x adalah …. A. 2 ) 1 2 ( 13   x x B. 2 ) 1 2 ( 13   x C. 2 ) 1 2 ( 7 4   x x D. 2 ) 1 2 ( 7   x E. 2 ) 1 2 ( 13  x Frekwensi harapan

= peluang  jumlah percobaan

Menyelesaikan limit fungsi aljabar rasional dapat dengan cara turunan: ) ( ) ( lim x g x f c x

apabila subsitusi x dengan c menghasilkan 0 0

maka pembilang dan penyebut diturunkan kemudian disubstitusi ulang, ) ( ' ) ( ' lim x g x f c x 3 2 24 11 lim 2 2

3  

 



 x x

x x x = 2 2 11 2 lim 3     x x x = 2 ) 3 ( 2 11 ) 3 ( 2     ₌ 2 6 11 6     ₌ 4 5  cara cepat:

Jika diberikan fungsi (x) = d cx

b a x

 maka ’(x) =

2 ) (cx d

bc a d

 

dalam soal

(x) = ,

1 2 5 3   x x

; a = -3, b = 5, c = 2, d = -1

2 ) 1 2 ( 2 . 5 1 . 3 ) ( '      x x

f =

(16)

Wagiman, S.Si

(16) Jawab:

(x) = ,

1 2

5 3

 

x x

Misal U = -3x + 5 U’ = -3 V = 2x – 1 V’ = 2

’(x) = 2

' '

V UV V

U 

=

2 ) 1 2 (

2 ). 5 3 ( ) 1 2 ( 3

     

x x x

=

2 ) 1 2 (

10 6 3 6

    

x x x

=

2 ) 1 2 (

10 3

  x

=

2 ) 1 2 (

7   x ( D )

35. Suatu benda bergerak menempuh jarak s meter dalam waktu t detik dengan persamaan s(t)

= 60t – 2t2. Jarak maksimum yang dapat ditempuh benda tersebut adalah .... A. 150 meter

B. 240 mater C. 450 meter D. 600 meter E. 900 meter Jawab:

Ini persoalan maksimum / minimum fungsi yang bisa dipecahkan dengan turunan. h(t) = 60t – 2t2

h = tinggi bola (hight), t = waktu (time) Syarat maksimum: y’ = h’(x) = 0 h’(t) = 60 – 4t = 0

4t = 60 t = 15

h(15) = 60(15) – 2(15)2_{= 900}–_{450 = 450}

( C )

36. Interval fungsi naik dari (x) = 3 1

x3–_2x2_{+ 3x + 5 adalah ....}

A. 1 < x < 3 B. -1 < x < 3 C. -3 < x < 1

D. x < -3 atau x > 1 E. x < 1 atau x > 3 Jawab:

(x) = 3 1

x3–_2x2_{+ 3x + 5}

Syarat stationer ’(x) = 0 ’(x) = x2–_{4x + 3 = 0}

(x – 1)(x – 3) = 0 x = 1 atau x = 3

Diuji dengan turunan kedua ’’(x) = 2x – 4

’’(1) = 2(1) – 4 = -2 karena ’’(1) negatif deperoleh titik maksimum ’’(3) = 2(3) – 4 = 2 karena ’’(3) positif diperoleh titik minimum

interval naik yang sesuai: x < 1 atau x > 3 ( E )

1 3

+ + + ––– + + +

naik

naik _turun

Karena fungsi yang diberikan adalah fungsi kuadrat maka sebenarnya kita bisa

menyelesaikan persoalan ini dengan konsep fungsi kuadrat

Bandingkan dengan (x) = 60x – 2x2 Titik puncak (x, y) dengan x =

a b 2

 _{dan y = f(x)}

Untuk soal tersebut: x =

) 2 ( 2

60 

 _{= 15}

y = f(15) = 60(15) – 2(15)2_{= 900}–_{450 = 450} Titik Puncak (15, 450)

Yang merupakan nilai maksimum atau nilai minimum adalah nilai y(x) = f(x) yang diperoleh dengan memasukkan sumbu simetri

a b x

2 

 pada persamaan asal

x1 x2

max

min naik turun

naik

(17)

(17) 37. Hasil dari (3x + 2)(2x + 1) dx adalah ....

A. x3_{+ 3x}2_{+ 2x + C}

B. 2x3_{+ 3x}2_{+ 2x + C}

C. 2x3_{+ 7x}2_{+ 2x + C}

D. 2x3₊

7 2

x2_{+ 2x + C}

E. 2x3₊

2 7

x2_{+ 2x + C}

Jawab:

(3x + 2)(2x + 1) dx =  (6x2 _{+ 3x + 4x + 2) dx}

=  (6x2_{+ 7x + 2) dx}

= 2x3₊

2 7

x2_{+ 2x + C}

( E )

38. Nilai dari (4x 8x 3)dx 3

1

2 _ _



adalah ...

A. 3 10 

B. 3 11 

C. 3 13 

D. 3 14 

E. 3 16 

Jawab:

dx x

x 8 3)

4 ( 3

1

2_ _



=

1 3 ] 3 4 3 4

[ x3 x2 x

= [ 3 4

(3)3–₄₍₃₎2–_3(3)]–_[

3 4

(1)3–₄₍₁₎2–_3(1)]

= [36 – 36 – 9] – [ 3 4 _–

4 – 3] = -9 – 3 4

+ 4 + 3 = -2 - 3 4

=

3 10 3 4 3 6

    ( A )

39. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2–_{3x dan garis}_y_{= 3}–_x_{adalah ....}

A. 10 3 2

satuan luas

B. 9 satuan luas

C. 7 2 1

satuan luas

D. 6 satuan luas

E. 2 2 1

satuan luas

Jawab:

y = (x2–_3x)–₍₃–_x)

y = x2–_2x–_3, _{a = 1, b = -2, c = -3}

D = b2–_{4ac = (-2)}2–_{4(1)(-3) = 4 + 12 = 16}

L = 2 6a

D D

= 2 ) 1 ( 6

16 16

= 6 64

= 3 32

= 3 2 10

( A )

Integral fungsi aljabar:







x



C

n

a

dx

a x

n

1

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd) (a + b)2_{= a}2_{+ 2ab + b}2

(3x2–₂₎2_{= (3x}2₎2_{+ 2(3x}2_{)(-2) + (-2)}2

= 9x4–_12x2_{+ 4}

Integral Tertentu



_ab x F dx x f b

a

) ( )

( 



= F(b) – F(a)

Menentukan luas daerah antara dua kurva y = f(x) dan y = g(x)

1. Kurangkan f(x) – g(x)

2. Hitung diskriminan D = b2–_4ac

3. Hitung Luas L = 2 6a

(18)

Wagiman, S.Si

(18) a b

y = f(x)

0

40. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = x– 3, x = 0, dan sumbu X, diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 adalah ....

A. 8 satuan volume

B. 3 1

8  satuan volume C. 9 satuan volume

D. 3 2

9  satuan volume

E. 2 1

2  satuan volume

Jawab: y = x – 3 ,

karena batas dengan garis vertikal hanya satu yaitu x = 0 (sumbu y) dan sumbu x, maka perlu dicari titik potong dengan sumbu x untuk memperoleh batas kedua

Titik potong y = x – 3 dengan sumbu x, syarat y = 0 0 = x – 3 , jadi x = 3

Sekarang sudah punya dua batas yaitu x = 0 dan x = 3 a = 0

b = 3

R = y(0) = (0) – 3 = -3 r = y(3) = (3) – 3 = 0 t = 3 – 0 = 3

V = 3 1

(R2_{+ Rr + r}2_).t

= 3 1

((-3)2_{+ (-3).(0) + (0)}2_{).3 =}

3 1

(9 – 0 + 0).3 = 9

( C )

Ilustrasi persoalan

y = x - 3

x = 0 x = -3

Volume Kerucut Terpancung V =

3 1_

( R2_{+ Rr + r}2_{) t}

dengan R = f(b) , r = f(a) , t = b - a

Volume benda putar dari daerah yang dibatasi garis y = x – 3, x = 0 dan sumbu x

Batas yang dimiliki baru x = 0.

Batas lainnya diperoleh dari keterangan yang menyebut bahwa daerah dibatasi oleh sumbu x. Cara mencari titik potong dengan sumbu x, disubstitusi y = 0 (karena persamaan sumbu x adalah y = 0)

y = x – 3

0 = x – 3 , jadi x = 3

Volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dengan batas a dan b adalah:

V = 



b

a

dx x

f2( ) = 



 3

0

2 ) 3

(x dx = 



  3

0

2 ₆ ₉₎

(x x dx

= [



0 3 9 3 3

1 3 2

x x

x  

=  (3) 3(3) 9(3)] 3

1

[ 3 2  – 0

= [9 – 27 + 27] = 9