(1)
Sifat-sifat Pangkat
1.
a
m. a
n= a
m + n2.
n ma
a
= a
m – n3.
(a
m)
n= a
m.n4.
(ab)
m= a
mb
m5.
m b a =
m m b a6.
a
–m=
m a1
Sifat-sifat logaritma 1. alog b = c ac = b
2. b
m n
bn a
amlog . log
3. alog b.c = a log b + a log c
4. b c
c
b a a
alog log log
5. a log b . b log c = a log c
6. a b b a log 1 log 7. a b b k k a log log
log dengan
( k bil real positif)
1. Bentuk sederhana dari
2 3 2 1 1 3 2 z y x z y x adalah …. A. 8 6 z y x B. 8 10 6 z y x C. 4 2 2 z x y D. 8 2 2 z x y E. 2 2 8 y x z Jawab: 2 3 2 1 1 3 2 z y x z y x = 6 4 2 2 6 4 z y x z y x = 8 2 2 z x y
( D )
2. Bentuk sederhana dari
2 3
6 2
adalah ….
A. 2(3 2 - 2 3) B. 2(3 2 + 2 3) C. 2(2 2 + 3 3) D. 2(2 2 - 3 3) E. 3(3 2 + 2 3) Jawab:
2 3
6 2
= 3 2
2 3 2 3 6 2 = 2 2 2 3 ) 2 3 ( 6 2 = 2 3 ) 12 18 ( 2
= 2(3 2 - 2 3) ( A )
3. Diketahui log 2 = a dan log 3 = b maka log 360 = ... A. a + b + 1
B. a + 2b + 1 C. 2a + b + 1 D. 2a + 2b + 1 E. a + b + 2 Jawab:
log 360 = log (36 10) = log (2.2.3.3.10) = log 2 + log 2 + log 3 + log 3 + log 10 = a + a + b + b + 1 = 2a + 2b + 1 ( D )
Perhatikan selisih pangkat dari pembilang dan penyebut. Jika pangkat pembilang lebih besar maka variabel diletakkan pada pembilang, tapi jika pangkat penyebut yang lebih besar maka variabel diletakkan di penyebut. Besar pangkat sama dengan selisih pangkat pembilanga dan penyebut
Metode paling umum untuk menyelesaikan permasalahan menyederhanakan fungsi rasional bentuk akar adalah dengan mengalikan penyebut dengan bilangan sekawannya. Ini dimaksudkan agar penyebut tidak lagi dalam bentuk akar. Perhatikan
2 3
6 2
, penyebutnya 3 2.
Bilangan sekawan dari 3 2 adalah 3 2 Perkalian bilangan sekawan:
(a + b)(a
–
b) = a
2–
b
2,
jadi
( 3 2)( 3 2) = 32 22 = 3 – 2 = 1
Sifat logaritma terkait yang digunakan
(2) 4. Seorang pengusaha batu akik A membeli 4 buah batu jamrud dan 6 buah batu merah rubi dengan harga Rp 870.000,00 . Sedangkan pengusaha batu akik B membeli 5 buah batu jamrud dan 6 buah batu merah rubi seharga Rp 960.000,00. Maka harga satu buah batu jamrud dan dua buah batu merah rubi adalah ….
A. Rp 155.000,00 B. Rp 165.000,00 C. Rp 260.000,00 D. Rp 265.000,00 E. Rp 275.000,00 Jawab:
Misal x = harga 1 buah batu jamrud dan y = harga 1 buah batu merah rubi 4x + 6y = 870.000
5x + 6y = 960.000
––––––––––––––––
x = 90.000 4(90.000) + 6y = 870.000 360.000 + 6y = 870.000
6y = 510.000 y = 85.000
jadi 1x + 2y = 1(90.000) + 2(85.000) = 90.000 + 170.000 = 260.000 ( C )
5. Apabila K =
1 0 6 3 1 2 L = 1 3 2 2 0 3
dan M =
8 5 6 9 7 4
maka 2K – 3L + M = ...
A. 7 14 12 21 5 1 B.
12 4 7 21 5 1 C. 12 14 7
21 5 1 D. 7 14 12 9 5 1 E. 7 14 6 21 5 1 Jawab:
2K – 3L + M = 2
1 0 6 3 1 2
– 3
1 3 2 2 0 3 + 8 5 6 9 7 4 = 2 0 12 6 2 4 – 3 9 6 6 0 9 + 8 5 6 9 7 4 = 7 14 12 21 5 1
( B )
6. Invers matriks =
3 2 8 5 adalah ... A.
2 5
8 3 B. 5 2 8 3 C. 5 2 8 3 D. 5 2 8 3 E. 5 2 8 3
invers dari matriks M =
d c b a
ditullis M–1
adalah 1 d c b a =
c a
b d bc ad
(3) Jawab:
Invers matriks
3 2
8 5
=
1
3 2
8
5
=
2 5
8 3 2 . 8 3 . 5
1
=
2 5
8 3 16 15
1
=
5 2
8 3 1 1
=
5 2
8 3
( E )
7. Nilai determinan
2 3 1
6 5 3
1 4 2
adalah ...
A. 62 B. -4 C. -42 D. -52 E. -54 Jawab:
2 3 1
6 5 3
1 4 2
= 2.5.-2 + 4.6.1 + -1.-3.3 – -1.5.1 – 2.6.3 – 4.-3.-2
= -20 + 24 + 9 + 5 – 36 – 24 = -42
( C )
8. Grafik fungsi y = 2 5
x2 + 10x yang sesuai adalah ....
Jawab:
Pada pilihan jawaban, kurva-kurva berbeda titik puncaknya, jadi cukup dicari saja titik puncaknya..
y = 2 5
x2 + 10x
Syarat Puncak, y’ = 0 = -5x + 10 5x = 10 x = 2
X Y
-10
-2 0
C. B.
X
-10 2 0 Y
E.
-2 2
Y
X
-10 D.
0 -2
10 Y
X A. Y
10
0 2 X
Untuk menentukan determinan matriks ordo 3 3 digunakan aturan Sarrus
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
=
32 31
22 21
12 11
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a
a a
a a
a a a
a a a
a a a
+ + +
– – –
(4) y(2) =
2 5
(2)2 + 10(2) = -10 + 20 = 10
Jadi titik puncak (2, 10) ( A )
9. Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke-4 dan suku ke-8 berturut-turut adalah 17 dan
37 maka jumlah 20 suku pertama adalah….
A. 300 B. 450 C. 990 D. 1.000 E. 1.080 Jawab:
U4 = a + 3b = 17
U8 = a + 7b = 37
––––––––––––––
4b = 20 b = 5
a + 3(5) = 17 a = 2
Jumlah 20 suku pertama
Sn =
2 n
[2a + (n – 1)b]
S20 =
2 20
[2(2) + (20 – 1).5]
= 10[4 + 95] = 10[99] = 990 ( C )
10. Setiap bulan Hanif menabung di Bank. Pada bulan pertama Hanif menabung sebesar Rp 350.000,00, bulan kedua Rp 375.000,00, dan bulan ketiga Rp 400.000,00. Jika penambahan uang yang ditabung tetap setiap bulannya, jumlah uang yang ditabung Hanif
selama satu tahun adalah ….
A. Rp 1.125.000,00 B. Rp 4.475.000,00 C. Rp 5.500.000,00 D. Rp 5.850.000,00 E. Rp 6.200.000,00
Teknik mengetahui persamaan sebuah fungsi kuadrat
1. Persamaan kuadrat yang puncaknya (a, b) adalah
(y
–
b)
2= k(x
–
a)
2k = konstanta yang nilainya dihitung dengan substitusi titik yang lain
2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya α dan β
y = k[x
2–
(α + β)x + αβ]
k = konstanta yang nilainya dihitung dengan substitusi titik yang lain
Barisan aritmatika
Suku ke-n Un = a + (n – 1)b
Jumlah n suku pertama
Sn =
2 n
[2a + (n – 1)b]
Barisan geometri
Suku ke-n Sn = ar n – 1
Jumlah tak hingga S =
r a 1 Note!
Sebuah persamaan kuadrat dengan fungsi f(x) = ax2 + bx + c
(1). Jika a > 0, kurva terbuka ke atas
Jika a < 0, kurva terbuka ke bawah
(2). Titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0, jadi
y = a.02 + b.0 + c = c
(0 , c)
(3). Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0
x dapat dicari dengan pemfaktoran
(… …)(… …) = 0
(4). Titik puncak (x , y)
x = a b 2
adalah sumbu simetri
y = f( a b 2
(5) Jawab:
Ini adalah persoalan Deret aritmatika karena terjadi penambahan nilai secara tetap. a = U1 = 350.000, U2 = 375.000, U3 = 400.000,
b = 375.000 – 350.000 = 25.000 Satu tahun = 12 bulan, n = 12
Sn =
2 n
[2a + (n – 1)b]
S12 =
2 12
[2(350.000) + (12 – 1).(25.000)]
= 6[700.000 + 275.000] = 6[975.000] = 5.850.000 ( D )
11. Sebuah Mobil dibeli dengan harga Rp 120.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi
5 4
dari harga sebelumnya. Nilai jual setelah dipakai 3 tahun adalah ....
A. Rp24.000.000 B. Rp38.400.000 C. Rp61.440.000 D. Rp76.800.000 E. Rp96.000.000 Jawab:
Ini persoalan Barisan geometri karena memiliki rasio (pembanding) tertentu yaitu 5 4
untuk nilai-nilai berikutnya. a = 120.000.000
r = 5 4
U3 = ar2 = 120.000.000
2
5 4
= 120.000.000
25 16
= 4.800.000 (16) = 76.800.000
( D )
12. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 24 dan suku pertamanya adalah 16. Rasio dari
deret tersebut adalah….
A. 6 1
B. 4 1
C. 3 1
D. 2 1
E. 3 2
Jawab:
Deret geometri tak hingga dengan S = 24, a = 16 S =
r a 1 24 =
r 1
16
1 – r = 24 16
= 3 2
r = 3 1
( C )
Barisan geometri
Suku ke-nSn = ar n – 1
Jumlah tak hingga S =
r a 1
Barisan geometri
Suku ke-nSn = ar n – 1
Jumlah tak hingga S =
(6) 13. Sebuah home industri mainan yang berbahan kayu setiap hari memproduksi dua jenis mainan tidak lebih 70 buah dengan modal Rp 1.250.000,00. Untuk membuat mainan jenis pertama memerlukan biaya Rp 25.000,00 dan mainan jenis kedua memerlukan biaya Rp 50.000,00. Jika banyaknya mainan jenis pertama dimisalkan x dan mainan jenis kedua y
maka model matematika dari persoalan tersebut adalah…
A. x + y 70 ; 2x + y 25 ; x 0; y 0 B. x + y 70 ; 2x + y 25 ; x 0; y 0 C. x + y 70 ; 2x + y 25 ; x 0; y 0 D. x + y 70 ; x + 2y 25 ; x 0; y 0 E. x + y 70 ; x + 2y 25 ; x 0; y 0 Jawab:
jenis pertama jenis kedua batas
jumlah produksi x y 70
biaya 25.000 50.000 1.250.000
Misal x = banyak mainan jenis pertama, y = banyak mainan jenis kedua x + y 70
25.000x + 50.000y 1.250.000 }:25.000 x + 2y 50
( tidak ada jawab)
14. Daerah yang memenuhi pertidaksamaan 3x + y 12, x + 4y 8, x 0, y 0 adalah… A. I
B. II C. III D. IV E. V Jawab:
Mula-mula identifikasikan persamaan garis pada gambar Tanda berarti daerah di bawah garis
Tanda berarti daerah di atas garis 3x + y 12 yang memenuhi {I, II, IV} x + 4y 8 yang memenuhi {I, II, III}
x 0, y 0 berarti daerah di kuadran I (+, +) {II, III, IV, V} yang memenuhi semua kendala adalah daerah II
( B )
15. Seorang pengusaha mainan anak - anak akan membeli beberapa boneka Barbie dan boneka Masha tidak lebih dari 25 buah. Harga sebuah boneka Barbie Rp 60.000,00 dan harga sebuah boneka Masha Rp 80.000,00. Modal yang dimiliki pengusaha Rp1.680.000,00. Jika laba penjualan 1 boneka Barbie Rp 20.000,00 dan 1 boneka Masha Rp 25.000,00, maka laba maksimumnya adalah ....
A. Rp 400.000,00 B. Rp 480.000,00 C. Rp 545.000,00 D. Rp 550.000,00 E. Rp 580.000,00 Jawab:
Barbie Masha batas
jumlah produksi x y 25
biaya 60.000 80.000 1.680.000
laba 20.000 25.000
12
0 2
4 8
Y
V IV
III II
I
X 3x + y = 12
(7) Disusun model matematika:
x + y 25
60.000x + 80.000y 1.680.000 }:20.000 3x + 4y 84 fungsi objektif: (x, y) = 20.000x + 25.000y
Membandingkan gradien
x + y = 25 m = –1
3x + 4y = 84 m =
4 3
(x, y) = 20.000x + 25.000y m =
000 . 25
000 . 20
=
5 4
Karena besar gradien fungsi objektif ( 5 4
) di tengah fungsi-fungsi kendala –1 dan 4 3 , atau
dapat disusun –1 < 5 4 <
4 3
maka nilai optimum berada di titik potong kedua garis
kendala. Titik potong.
x + y = 25 }4 4x + 4y = 100
3x + 4y = 84 3x + 4y = 84
––––––––––––
x = 16
(16) + y = 25 y = 9
diperoleh titik potong (16, 9)
Nilai maksimum (x, y) = 20.000x + 25.000y (16, 9) = 20.000(16) + 25.000(9)
= 320.000 + 225.000 = 545.000 ( C )
16. Persamaan garis yang melalui titik (2, –1) dan tegak lurus garis 3x - 4y + 5 = 0 adalah .... A. 4x + 3y – 5 = 0
B. 4x + 3y – 11 = 0 C. 4x – 3y – 11 = 0 D. 3x – 4y – 10 = 0 E. 3x – 4y – 2 = 0 Jawab:
3x - 4y + 5 = 0
garis tegaklurus melalui (2, -1) 4x + 3y = 4(2) + 3(-1)
4x + 3y = 8 – 3 = 5 4x + 3y – 5 = 0 ( A )
17. Diketahui tan α = – 2 untuk 90
α
180
. Nilai cos α adalah ....A. 3
3 1
B. 3
2 1
C. 3
D. 3
3 1
E. 3
2 1
Persamaan garis yang melalui titik (a, b) dan sejajar garis Ax + By = C
adalah: Ax + By = Aa + Bb
Persamaan garis yang melalui titik (a, b) dan tegak lurus garis Ax + By = C adalah: Bx – Ay = Ba - Ab
Perbandingan Trigonometri
sin = mir ing
depa n
cos =
mir ing sa mping
tan =
sa mping depa n
α
depan
samping miring Dua garis yang bergradien masing-masing m1 dan m2
Sejajar jika : m1 = m2
(8) Jawab:
tan α = - 2, dibuat segitiga siku-siku yang sesuai, tanda minus
diabaikan. Baru nanti setelah diperoleh perhitungan tanda dibuat dengan memperhatikan kuadran. Sisi yang belum ada dilengkapi dulu, yaitu sisi miring dan dihitung dengan phytagoras.
r = 12 22 = 3 cos α =
miring samping
= 3 1
=
3 3 3 1
=
3 3
= 3 3 1
Interval 90
α
180
menunjukkan bahwa sudut berada di kuadran II, nilai cosinus dikuadran II adalah negatif. Jadi jawaban lengkapnya cos α = – 3
3 1
( A )
Untuk menentukan nilai sin, cos atau tan, memang sebaiknya direkonstruksikan sebuah segitiga yang bersesuaian dengan data yang dimiliki, kemudian panjang sisi yang belum diketahui nilainya dicar i dengan dalil Pythagoras. Walaupun sudut yang terlibat adalah sudut di sembarang kuadran dan tidak selalu dikuadran I ( 0< θ < 90) tetapi nilainya sama saja. Yang membedakan hanyalah tanda negatif atau positif.
Perhatikan ilustrasi kurva trigonometri di atas, apabila dirangkum dalam sebuah tabel maka diperoleh:
kuadran I kuadran II kuadran III kuadran IV
sin x + + – –
cos x + – – +
tan x + – + –
18. Sebuah segitiga PQR dengan panjang PR = 12 m, besar P = 30o dan Q = 45o. Panjang
QR adalah .…
A. 6 m B. 6 2 m C. 6 3 m D. 12 m E. 12 2 m Jawab:
Panjang QR dihitung dengan aturan sinus
Q PR P QR
sin sin
sin45 12 30
sin QR
45 sin
12 30
sin
QR =
2 2 1
12 2 1
= 2 12
=
2 2 2 12
=
2 2 12
= 6 2 ( B )
y = Tan x
I
II III
IV I
II III
IV y = Cos x
y = Sin x I II
III IV
α
2
1 3
45 30
P
R
Q 12 m
Aturan sinus
.
Digunakan apabila unsur segitiga yang
terlibat dalam perhitungan berupa dua
pasang sisi
–
sudut yang saling
berhadapan
C
c
B
b
A
a
sin
sin
sin
Aturan cosinus
.
Digunakan apabila unsur segitiga yang
terlibat dalam perhitungan berupa tiga
sisi dan sebuah sudut
a
2= b
2+ c
2–
2bc cos A
b
2= a
2+ c
2–
2ac cos B
c
2= a
2+ b
2–
2ab cos C
A
c C
B
(9) 19. Sebidang tanah berbentuk segitiga ABC seperti pada gambar di bawah. Panjang sisi AB adalah 40 m, panjang sisi AC adalah 24 m dan besar sudut BAC adalah 30o. Jika tanah itu dijual dengan harga Rp 500.000,00 untuk setiap meter persegi. Maka tersebut adalah ....
A. Rp 80.000.000,00 B. Rp 100.000.000,00 C. Rp 120.000.000,00 D. Rp 200.000.000,00 E. Rp 240.000.000,00
Jawab:
Rumus Luas Segitiga, yang diketahui dua sisi dan sudut apitnya
L = a bsinC 2
1
= AB AC sinA 2
1
= 4024sin30 2
1
=
2 1 24 40 2 1
= 240
harga tanah Rp 500.000,00/m2
Harga seluruhnya = 240 Rp 500.000,00 = Rp 120.000.000,00 ( C )
20. Bayangan titik P(–3 , 5) oleh refleksi terhadap garis y = –x dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis x =2 adalah ....
A. P’’(–4, 0) B. P’’(–4, 4) C. P’’(4, 4) D. P’’(8, 4) E. P’’(8, 5)
Jawab:
Sebaiknya digambar agar lebih mudah
Bayangan titik P(-3, 5) direfleksikan terhadap garis y = -x adalah P’(-5, 3)
Bayangan titik P’(-5, 3) direfleksikan terhadap garis x = 2 adalah P’’(9, 3)
Rumus-Rumus Transformasi Sederhana
Titik Asal Transformasi Titik Bayangan
Penjelasan
(a, b)
translasi = n
m (a+ m, b+ n) Menggeser titik (a, b) sejauh m satuan horizontal dan n satuan vertikal. m > 0 pergeseran ke kanan m < 0 pergeseran ke kiri n > 0, pergeseran ke a tas n < 0 pergeseran ke bawah (a, b) dilatasi [k, O]
k = faktor skala, O titik pusat (0, 0)
(ka, kb) Perbesaran k kali dengan pusat perbesaran titik pusat koordinat O(0, 0)
(a, b) Refleksi y = x Refleksi y = -x
Refleksi x = k Refleksi y = k
(b, a) (-b, -a) (2k – a, b) (a, 2k – b)
Pencerminan terhadap garis diagonal y = x Pencerminan terhadap garis diagonal y = -x Pencerminan terhadap garis vertikal x = k Pencerminan terhadap garis horizontal y = k (a, b) Rotasi + 90
Rotasi –90
(-b, a) (b, -a)
Rotasi 90 berlawanan arah jarum jam Rotasi 90 searah putaran jarum jam (tidak ada jawaban)
A
B C
A
B C
40 m 30
24 m
Rumus luas segitiga
L =
2 1
ab sin C
L =
2 1
ac sin B
L =
2 1
bc sin A
P’’ 9, 3
x = 2
y = -x
P(-3, 5)
P’(-5, 3)
(10) 21. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 2 cm, maka luas bidang ABGH adalah ....
A. 8 cm2 B. 8 2 cm2 C. 16 2cm2 D. 32 cm2 E. 32 2 cm2 Jawab:
ABGH sebuah persegi panjang BG = 4 2 2 = 8
AB = 4 2
Luas ABGH = 8 4 2 = 32 2 ( E )
22. Kubus ABCD.EFGH panjang sisi 6 cm. Titik P terletak di tengah-tengah rusuk AE. Jarak titik P ke bidang BDHF adalah ....
A. 3 2 cm B. 6 cm C. 6 2 cm D. 12 cm E. 12 2 cm Jawab:
Jarak titik P ke bidang BDHF,
adalah panjang ruas garis yang melalui titik P dan tegak lurus dengan bidang BDHF.
Titik potong garis yang melalui titik P dengan bidang BDHF berada di pusat bidang BDHF. Jarak titik P ke bidang BDHF ditunjukkan dengan ruas garis PQ, sama dengan setengah diagonal bidang EG.
Panjang diagonal bidang EG = r 2 = 6 2 Jadi setengahnya adalah 3 2
( A )
23. Diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 8 cm. Besar sudut yang terbentuk antara garis AH dan EG adalah ....
A. 15o
B. 30o
C. 45o
D. 60o
E. 75o
Jawab:
Untuk menghitung besar sudut antara garis AH dan EG kita geser EG ke AC, sehingga diperoleh sudut HAC. Perhatikan bahwa segitiga yang terbentuk adalah HAC.
Segitiga HAC adalah sama sisi, dengan sisi sama dengan diagonal bidang kubus yaitu r 2 = 8 2 Karena sama sisi maka sudutnya 60
( D )
4 2 E
F
D C
B A
H G
4 2 4 2
4 2 8
H G
B A
6 E
F
D C
B A
H G
6 6
P
Q
8 E
F
D C
B A
H G
8 8
8 E
F
D C
B A
H G
8 8
diagonal bidang
diagonal ruang
(11) 24. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2, –3) dan memiliki jari-jari 7 adalah….
A. x2 + y2 – 4x + 6y + 49 = 0
B. x2 + y2 – 4x + 6y – 49 = 0
C. x2 + y2 – 4x + 6y + 36 = 0
D. x2 + y2 – 4x + 6y – 36 = 0
E. x2 + y2 + 4x – 6y + 62 = 0
Jawab:
Persamaan lingkaran dengan pusat (2, –3) dan jari-jari 7 adalah (x – 2)2 + (y + 3)2 = 72
x2– 4x + 4 + y2 + 6y + 9 = 49
x2 + y2 - 4x + 6y + 13 – 49 = 0
x2 + y2 - 4x + 6y – 36 = 0
( D )
25. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y 2 = 10 yang melalui titik (1,-3)adalah….
A. x – 3y + 10 = 0 B. x – 3y – 10 = 0 C. x + 3y – 10 = 0 D. 3x – y + 10 = 0 E. 3x – y – 10 = 0 Jawab:
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 =10 yang melalui titik (1, -3)
px + qy = c 1x + (-3)y = c x – 3y = 10 x – 3y – 10 = 0 ( B )
26. Diagram lingkaran berikut menunjukkan persentase jenis olah raga siswa di sekolah X. Jumlah siswa seluruhnya sebanyak 1.200 siswa. Banyak siswa yang suka olah raga Basket adalah ....
A 100 siswa B 108 siswa C 240 siswa D 420 siswa E 432 siswa
Persamaan garis Singgung Pada Lingkaran
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 , melalui titik (p, q)
adalah: px + qy = r2
Persamaan garis singgung pada lingkaran (x
–
a)2 + (y–
b)2 = r2 , melalui titik (p, q)adalah:
(p
–
a)(x–
a) + (q–
b)(y–
b) = r2Persamaan garis singgung pada lingkaran
x2 + y2
–
2ax–
2ay + (a2 + b2–
r2) = 0, melalui titik (p, q)adalah:
px + qy
–
(p + a)x–
(q + b)y + (a2 + b2–
r2) = 0Volly 36% Basket
Badminton 20%
Tenis Meja 35% Persamaan Lingkaran yang berpusat di (a, b), dan berjari-jari = r
(x – a)2 + (x – b)2 = r2 Bentuk Baku
(12) Jawab:
Volly = 36%
Tenis meja = 35%
Badminton = 20%
––––––––––––––––––– –
Jumlah = 91%
Basket = 100% - 91% = 9%
Jumlah siswa yang suka basket = 100
9
1.200 = 108
( B )
27. Berikut ini adalah tabel hasil ulangan matematika kelas XII Teknik Sepeda Motor. Median data tersebut adalah ....
A 59,25 B 69,00 C 69,50 D 70,00 E 78,68 Jawab:
Ukuran data = n = 3 + 8 + 10 + 11 + 7 + 1 = 40 median = X20 berada di kelas ke-3 (61 – 70)
Tb = tepi bawah kelas median = 60,5
o = frekwensi kumulatif sebelum kelas median = 3 + 8 = 11
= frekwensi kelas median = 10 p = panjang kelas = 10
Me = Tb + p
f f
n o
2 1
= 60,5 + 10
10 11 ) 40 ( 2 1
= 60,5 + 10 10
11 20
= 60,5 + 9 = 69,5
( C )
28. Simpangan baku dari data 4, 6, 7, 3, 8, 6, 7, 7 adalah ....
A. 2 10 B. 2 5 C. 10
2 1
D. 5
2 1
E. 2
4 1
Jawab:
Data: 4, 6, 7, 3, 8, 6, 7, 7
Rata-rata =
8
7 7 6 8 3 7 6
4 =
8 48
= 6
Simpangan baku
Nilai Jumlah
41 – 50 3 51 – 60 8 61 – 70 10 71 – 80 11 81 – 90 7 91 - 100 1 Jumlah 40
Rumus Median = Me
Me = Tb + p
f f
n k
. 2
1
Tb = tepi bawah kelas Median
n = ∑fi = ukuran data
fk = frekwensi kumulatif sebelum median
(13)
s =
n X Xi
2=
8
) 6 7 ( ) 6 7 ( ) 6 6 ( ) 6 8 ( ) 6 3 ( ) 6 7 ( ) 6 6 ( ) 6 4
( 2 2 2 2 2 2 2 2
=
8
) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 2
( 2 2 2 2 2 2 2 2
=
8
1 1 0 4 9 1 0
4 =
8 20
= 4 10
= 10 2 1
( C )
Untuk memudahkan menghitung simpangan baku, kita bisa menggunakan jembatan keledai,
misalnya:
R
asah
S
ok
Kakehan
Janji
Ben
Aman
R = rata-rata = (4 + 6 + 7 + 3 + 8 + 6 + 7 + 7)/8 = 6 S = simpangkan
K = kuadratkan J = jumlahkan B = bagi A = akar
x
i4
6
7
3
8
6
7
7
R
6
6
6
6
6
6
6
6
S
-2
0
1
-3
2
0
1
1
K
4
0
1
9
4
0
1
1
J
4 + 0 + 1 + 9 + 4 + 0 + 1 + 1 = 20
B
8 20
=
4 10A
10 2 1 4 10
( C )
29. Nilai rata-rata ulangan matematika 40 siswa di sebuah SMK adalah 78,25. Jika nilai rata rata matematika siswa putri adalah 82 dan nilai rata-rata matematika siswa putra 72, maka
banyak siswa putra adalah .…
A. 25 siswa B. 20 siswa C. 15 siswa D. 12 siswa E. 8 siswa Jawab:
n = 40, X78,25, Xputri 82 dan Xputra 72, nputra = ...?
2 1
2 2 1 1
n n
X n X n X
40
) 72 ( )
82 )( 40
( 25 ,
78 nputra nputra
(78,25)(40) = (40 – nputra)(82) + nputra(72)
(78,25)(40) = (40)(82) – 82.nputra + 72.nputra
(78,25)(40) = (40)(82) – 10.nputra
10.nputra = (40)(82) – (78,25)(40)
nputra =
10 ) 25 , 78 82 (
40
= 4(82 – 78,25)
= 4 (3,75) = 15 ( C )
Rata-Rata Gabungan dua himpunan
jumlah anggota A = n
Ajumlah anggota B = n
Brata-rata himpunan A =
XArata-rata himpunan B =
XBJika digabungkan rata-ratanya menjadi
B A
B B A A
n n
X n X n X
(14) 30. Eko memiliki 6 warna cat yang berbeda. Ia akan mencampur 3 cat yang berbeda untuk
mendapatkan warna cat baru. Banyaknya warna cat baru yang bisa dihasilkan adalah …. A. 8 macam
B. 10 macam C. 12 macam D. 15 macam E. 20 macam Jawab:
Mengambil 3 objek dari 6 objek adalah peristiwa kombinasi, oleh karena urutan tidak diperhatikan.
6C3 =
! 3 ! 3
! 6
=
1 . 2 . 3 . 1 . 2 . 3
1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6
= 20
Misalnya warna semula adalah : ABCDEF Warna campurannya adalah:
ABC, ABD, ABE, ABF, ACD, ACE, ACF, ADE, ADF, AEF, BCD, BCE, BCF, BDE, BDF, BEF
CDE, CDF, CDF, DEF
( E )
31. Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama sebanyak satu kali. Peluang munculnya mata
dadu berjumlah 4 atau 5 adalah ….
A 36
2
B 36
3
C 36
5
D 36
7
E 36 10
Jawab:
Peluang =
sa mpel rua ng
ukura n
keja dia n ba nya k
Dua dadu dilempar, ukuran ruang sampel = 36
Kejadian jumlah mata dadu 4 atau 5 adalah 13, 22, 31, 14, 23, 32, 41 ada 7 kejadian dari 36 kejadian yang mungkin
Peluang = 36
7
( D )
Dua dadu di lempar undi, maka diperoleh ruang sampel:
1 2 3 4 5 6
1 11 12 13 14 15 16
2 21 22 23 24 25 26
3 31 32 33 34 35 36
4 41 42 43 44 45 46
5 51 52 53 54 55 56
6 61 62 63 64 65 66
Kombinasi n objek diambil r objek
n
C
r =)!
(
!
!
r
n
r
n
(15) 32. Empat buah uang logam di lempar undi bersamaan sebanyak 96 kali. Frekuensi harapan
muncul kejadian 3 Angka 1 Gambar ( 3A 1G) adalah …. A. 6 kali
B. 24 kali C. 32 kali D. 36 kali E. 48 kali Jawab:
Empat keping uang logam dilempar undi. Ruang sampelnya: 4A 0G: AAAA,
3A 1G: AAAG, AAGA, AGAA, GAAA,
2A 2G: AAGG, AGAG, GAAG, AGGA, GAGA, GGAA, 1A 3G: AGGG, GAGG, GGAG, GGGA,
0A 4G: GGGG
Kejadian Munculnya 3A 1G = { AAAG, AAGA, AGAA, GAAA} Ada 4 kejadian dari 16 kejadian
Peluangnya = 16
4
Frekwensi harapan = 16
4
96 = 24 ( B )
33. Nilai dari
21 10 42 8 2 lim 2 2
7
x x
x x
x adalah ….
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 5 Jawab: 21 10 42 8 2 lim 2 2
7
x x
x x x = ) 3 )( 7 ( ) 6 2 )( 7 ( lim
7
x x
x x x = ) 3 ( ) 6 2 ( lim 7 x x x = 3 ) 7 ( 6 ) 7 ( 2
= 4 20
= 5
( E )
34. Turunan pertama dari (x) =
4 1 , 1 4 3 x x x adalah …. A. 2 ) 1 4 ( 11 x B. 2 ) 1 4 ( 8 x C. 2 ) 1 4 ( 8 8 x x D. 2 ) 1 4 ( 8 8 x x E. 2 ) 1 4 ( 16 x Frekwensi harapan
= peluang jumlah percobaan
Menyelesaikan limit fungsi aljabar rasional dapat dengan cara turunan: ) ( ) ( lim x g x f c x
apabila subsitusi x dengan c menghasilkan 0 0
maka pembilang dan penyebut diturunkan kemudian disubstitusi ulang, ) ( ' ) ( ' lim x g x f c x 21 10 42 8 2 lim 2 2
7
x x
x x
x = 2 10
8 4 lim 7 x x x = 10 ) 7 ( 2 8 ) 7 ( 4
= 4 20
= 5
cara cepat:
Jika diberikan fungsi (x) = d cx
b a x
maka ’(x) =
2 ) (cx d
bc a d dalam soal 1 4 3 ) ( x x x
f ; a = -1, b = 3, c = 4, d = -1
2 ) 1 4 ( 3 . 4 1 . 1 ) ( ' x x
f =
(16) Jawab:
(x) = 1 4
3
x x
Misal U = -x + 3 U’ = -1 V = 4x – 1 V’ = 4 ’(x) =
2 ' '
V UV V
U
=
2 ) 1 4 (
4 ). 3 ( ) 1 4 ( 1
x x x
=
2 ) 1 4 (
12 4 1 4
x x x
=
2 ) 1 4 (
12 1
x
=
2 ) 1 4 (
11 x ( A )
35. Sebuah bola dilemparkan ke atas. Bola itu bergerak sesuai persamaan h(t) = 40t – 5t2. Tinggi maksimum yang dapat dicapai bola adalah ....
A. 4 meter B. 5 meter C. 40 meter D. 80 meter E. 100 meter Jawab:
Ini persoalan maksimum / minimum fungsi yang bisa dipecahkan dengan turunan. h(t) = 40t – 5t2
h = tinggi bola (hight), t = waktu (time)
Syarat maksimum: y’ = ’(x) = 0
h’(t) = 40 – 10t = 0 10t = 40 t = 4
h(4) = 40(4) – 5(4)2 = 160 – 80 = 80
( D )
36. Interval fungsi turun dari (x) = 3 1
x3– 2x2 +3x + 5 adalah ....
A. 1 < x < 3 B. -1 < x < 3 C. -3 < x < 1
D. x < -3 atau x > 1 E. x < 1 atau x > 3 Jawab:
(x) = 3 1
x3– 2x2 +3x + 5
Syarat stationer ’(x) = 0 ’(x) = x2– 4x + 3 = 0
(x – 1)(x – 3) = 0 x = 1 atau x = 3
Diuji dengan turunan kedua ’’(x) = 2x – 4
’’(1) = 2(1) – 4 = -2 karena ’’(1) negatif deperoleh titik maksimum
’’(3) = 2(3) – 4 = 2 karena ’’(3) positif diperoleh titik minimum
interval yang sesuai: 1 < x < 3 ( A )
1 3
+ + + ––– + + +
naik
naik turun
Karena fungsi yang diberikan adalah fungsi kuadrat maka sebenarnya kita bisa
menyelesaikan persoalan ini dengan konsep fungsi kuadrat
Bandingkan dengan (x) = 40x – 5x2
Titik puncak (x, y) dengan x = a
b 2
dan y = f(x)
Untuk soal tersebut: x =
) 5 ( 2
40 = 4
y = f(4) = 40(4) – 5(4)2 = 160 – 80 = 80
Titik Puncak (4, 80)
x1 x2
max
min naik turun
naik
(17) 37. Hasil dari (3x2– 2)2 dx adalah ....
A. 36x3– 24x + C
B. 5 3
x5– 4x3– 4x + C
C. 5 9
x5– 4x3 + 4x + C
D. 5 3
x5 + 4x3 + 4x + C
E. 5 3
x5– 4x3 + 4x + C
Jawab:
(3x2– 2)2 dx = (9x4 – 12x2 + 4) dx
= 5 9
x5– 4x3 + 4x + C
( C )
38. Nilai dari (3x 10x 3)dx 2
1
2
adalah ...A. 25 B. 16 C. -4 D. -24 E. -25 Jawab:
dx x x 10 3) 3
( 2
1
2
=1 2 ] 3 5
[x3 x2 x
= [(2)3 + 5(2)2 + 3(2)] – [(1)3 + 5(1)2 + 3(1)] = [8 + 20 + 6] – [1 + 5 + 3] = 34 – 9 = 25
( A )
39. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 2 dan garis y = x + 4 adalah ....
A. 2 1
satuan luas
B. 2 6 5
satuan luas
C. 4 2 1
satuan luas
D. 5 2 1
satuan luas
E. 7 2 1
satuan luas
Jawab:
y = (x2 + 2) – (x + 4)
y = x2– x – 2, a = 1, b = -1, c = -2
D = b2– 4ac = (-1)2– 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9
L = 2 6a
D D
= 2 ) 1 ( 6
9 9
= 6 27
= 2 9
= 2 1 4 ( C )
Integral fungsi aljabar:
x
C
n
a
dx
a x
n
n
1
1
Kuadrat suku dua (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(3x2– 2)2 = (3x2)2 + 2(3x2)(-2) + (-2)2
= 9x4– 12x2 + 4
Integral Tertentu
ab x F dx x f ba
) ( )
(
= F(b) – F(a)Menentukan luas daerah antara dua kurva y = f(x) dan y = g(x)
1. Kurangkan f(x) – g(x)
2. Hitung diskriminan D = b2– 4ac
3. Hitung Luas L = 2 6a
(18) a b
y = f(x)
0
40. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 2x – 3, x = 1, x = 3 dan sumbu X, diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 adalah ....
A. 3 1
3 satuan volume
B. 3 2
3 satuan volume C. 4 satuan volume D.
3 1
4 satuan volume
E. 3 2
4 satuan volume Jawab:
y = 2x – 3 a = 1 b = 3
R = y(3) = 2(3) – 3 = 3 r = y(1) = 2(1) – 3 = -1 t = 3 – 1 = 2
V = 3 1
(R2 + Rr + r2).t
= 3 1
(32 + 3.(-1) + (-1)2).2
= 3 1
(9 – 3 + 1).2
= 3 1
(7).2 = 3 14
= 3 2 4 ( E )
Volume Kerucut Terpancung V =
3 1
( R2 + Rr + r2) t
