smart learning center
HIMPUNAN
1. Pengertian
Himpunan adalah kumpulan dari objek atau unsur tetentu yang keanggotaannya diterangk an dengan jelas. Objek atau unsur yang temasuk dalam himpunan disebut anggota atau elemen himpunan tersebut.
Contoh :
- Himpunan Mahasiswa UI yang namanya diawali huruf A.
- Himpunan bilangan nyata diantara 2 dan 10.
2. Cara menyatakan Himpunan
2.1 Cara tabulasi (pendaftaran) yaitu dengan menuliskan ssemua elemen yang termasuk dalam himpunan.
Contoh :
Bila A adalah himpunan semua bilangan prima yang lebih kecil dari 0, maka dapat dituliskan dengan cara tabulasi :
A : {2,3,5,7,11,13} 2.2 Cara Deskripsi (perincian)
Yaitu dengan menuliskan sifat dan keanggotaan himpunan tersebut.
Contoh :
Dengan cara deskripsi, himpunan A pada contoh 2.1 dituliskan :
A = {x/x < 17, x bilangan Prima}.
3. Skema Himpunan Bilangan HIMPUNAN BILANGAN KOMPLEKS
a. Bilangan Riel : bilangan yang dibentuk oleh bilangan Rasional dan irrasional. Atau bilangan riel adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam desimal.
Contoh : 0,2, -4, 3/7, 0, 132, dsb
b. Bilangan Imajiner : bilangan yang apabila dikalikan dengan bilangan itu sendiri menghasilkan bilangan negatif. Contoh : 1 = −1, − 5
c. Bilangan rasional : bilangan yang dapat
dinyatakan sebagai hasil bagi dua buah bilangan bulat, dimana penyebutnya = 0
d. Bilangan Irrasional : tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat, sehingga merupakan bilangan desimal yang tidak berulang.
Contoh : 2, 5, 10
e. Bilangan Bulat : terdiri dari bilangan bulat positif, nol dan bilangan bulat negatif. B = {..., -2,-1, 0, 1, 2...}
f. Bilangan Cacah : nol + bilangan asli C = {0, 1, 2, 3 }
g. Bilangan asli : bilangan bulat Positif A = { 1, 2, 3, 4, ...}
h. Bilangan Prima: bilangan asli kecuali yang tidak mempunyai faktor selain 1 dan bilangan itu sendiri.
P = { 2, 3, 5, 7, 11}
4. Himpunan Menurut banyak anggota
a. Anggota (elemen) sebuah hoimpunan : Jika H = { a, e, l, o, u}
Maka : a adalah anggota h dinotasikan :
a є H demikian juga pєH nєH (n bukan anggota H).
b. Bilangan Kardinal : yaitu banyaknya dari suatu himpunan.Pada himpunan H diatas banyak anggota bilangan kardianalnya adalah 5. Dinotasikan :
N(H,= 5)
4.1 Himpunan berhingga yaitu: Himpunan yang banyak anggotanya dapat dihitung (berhingga).
Contoh :
M = {2, 4,6,8,} ....n (M) = 4
4.2 Himpunan tak berhingga : yaitu banyak anggotanya tidak dapat dihitung. Contoh:
N= { 1,3,5,7}
4.3 Himpunan kosong yaitu himpunan yang anggotanya tidak ada (tidak mempunyai
anggota).
- P = { x 12x + 6 = 4, x = bil. Asli }
- Himppunan sarjana indonesia yang berumur 11 tahun. Bil.Imajiner Bil. Riel Bil. Irrasional Bil. Rasional
Bil. Bulat Bil. Pecahan
Bil. Cacah Bil. Bulat Negatif
Bil. Asli Bil. Nol (0)
smart learning center
- 2 - 4.4 Himpunan Semesta : yaitu himpunan semua
elemen yang terjadi pokok pembicaraan. Umumnya dinotasikan dengan S.
5.Hubungan antara himpunan.
Melibatkan dua buah himpunan atau lebih
5.1 Himpunan bagian
Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B. Jika setiap anggota dari A adalah juga merupakan anggota dari B. Contoh : jika A { 1, 3, 6, 9}
B = {6, 3, 1}
Maka : B himpunan bagian dari A, dinotasikan B⊂A
Banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari suatu himpunan dengan banyaknya anggotanya = n adalah :
2 n ( dua pangkat n) 5.2 Himpunan Komplemen
Jika A suatu himpunan dan S himpunan Semesta A⊂S : maka himpunan komplemen A adalah himpunan semua unsur S yang bukan merupakan anggota A.
Dinotasikan : A', Ac, atau A. Contoh : lihat contoh 5.1
Jika A himpunan Semesta maka B' = (9) 5.3 Himpunan Ekivalen
Dua himpunan A dan B dikatakan Ekivalen jika kedua himpunan mempunyai banyak anggota sama. Dinotasikan A˜ B
Contoh : A = {p, g, r, s,} B = {1 ,2, 5, n} A˜ B
5.4 Himpunan yang sama
Dua himpunan A dan B dikatakan sama, jika semua elemen A adalah juga elemen B, dan sebaliknya dinotasikan A = B
Contoh : A = {a, b, c} B = {b ,c, a} A = B 5.5 Himpunan Lepas
Dua himpunan A dan B dikatakan lepas/ saling asing, jika kedua himpunan tidak mempunyai anggota persekutuan, atau tidak ada satupun anggota yang sama, dinotasikan: A/ /B
Contoh : A = {x I x bilangan genap} B = {y I y bilangan ganjil } Maka A/ /B
Catatan :
- Himpunan kosong, θ atau { } adalah merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan
- Setiap himpunan adalah merupakan himpu-
nan bagian dari dirina sendiri.
- Jika A⊂B dan juga B⊂A , maka A = A - Bedakan antara ∈ dengan ⊂.
6. Diagram Venn
Digunakan untuk menjelaskan tentang himpunan, yang digambarkan berupa kurva tertutup.
Contoh ;
Jika himpunan-himpunan berikut digambarkan dalam diagram Venn.
S = {a, e, l, o, 1, 2, 3} A = {o, a, l, u} B = {a, u, 3} C = {1, 3}
Maka akan diperoleh diagramnya :
7. Operasi Himpunan
1. Irisan (intersection) :
Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota himpunan A dan B Definisi :
A∩B = {x I x ∈A & x ∈B} 2. Gabungan (union) :
Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah
himpunan yang anggotanya merupakan anggo ta himpunan A atau B.
Definisi :
A∪B = {x I x ∈A V x ∈B} 3. Pengurangan Himpunan :
Pengurangan (selisih) himpunan A dan B (him punan A kurang himpunan B) adalah himpun an yang anggotanya merupakan anggota A ta pi tidak meupakan anggota B.
A - B = {x I x ∈A & x ∈B} B - A = {x I x ∉A & x ∈B} 4. Penjumlahan Himpunan :
Penjumlahan Himpunan A dan B adalah himp unan yang anggotanya merupakan anggota A dan B, tetapi bukan anggota keduanya seka ligus. Definisi : A + B = {x I x ∈AV x ∈B, x∉(A∈B)} A 2 e B C o a i u 3 1 S
smart learning center
- 3 - 5. - (Produk Cartesius Himpunan) Perkalian Himpunan
Perkalian dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotana merupakan pasa ngan berurut (a,b) dimana a anggota A dan b anggota B.
Definisi :
A x B = {(a,b) \ a ∈A b∈B) }
Bila operasi-operasi diatas dinyatakan de ngan diagram venn, didapat sbb:
B. Sifat-sifat Himpunan 1. Sifat Komutatif A∩B = B ∩A A∪B = B ∪A A + B = B + A A - C # B - A A x B # B x A 2. Sifat Asosiatif A∩(B∩C) = B ∩A A∪(B ∩C ) = (A ∪B) ∪C 3. Sifat Distributif A∩(B∪C) = (B ∩A) ∪ (A ∩C) A∩(B∩C) = (A ∪B) (A ∪C) 3. Hukum De Morgan (A ∩B)' = A' ∪B' (A ∪B)' = A' ∩B' 9. Rumus-rumus Himpunan
n(A) artinya: bilangan kardinal himp.A maka: 1. # n (A ∪B) = n(A) + n(B) - n(A ∩B) # n (A ∪B) + n(A ∪B)' = n(S) 2. n (A ∪B ∪C) = n(A) + n(B) + n(C)- n (A ∩B)- n(A ∩C)- n(B ∩C ) + n (A ∩B ∩C) Contoh Soal :
01. Hasil penelitian yang dilakukan terhadap 250 orang penduduk suatu desa, menyatakn bahwa ada 60 orang pemilik sawah dan 110 orang penggarap sawah. Disampinng itu ada pula 100 orang yang bukan pemilik maupun penggarap sawah, maka banyak orang yang pemilik dan sekaligus penggarap sawah adalah :
(A) 170 (D) 20 (B) 90 (E) 10 (C) 70
SKALU 1979 Penyelesaian :
M = himpunan pemilik sawah, n(M) = 60 G = himpunan penggarap sawah, n(G) = 110 n (M∩G) = x
n(M∪G)' = 100
n(S) = 100 + (60-x) + x + (110-x) 250 = 270 – x
x = 20 (jawab D)
02. Jika himpunan P dan himpunan Q terpotong sedangkan PC
dan QC berturut-turut adalah komplemen dari P dan Q, maka (P∩Q) (P∩ Qc ) = ... (A) PC (D) P (B) QC (E) PC QC (C) Q Penyelesaian : P∩Q = diarsir datar P∩QC = diarsir tegak (P∩Q) ∪ (P∩ Qc ) = P (jawab D) PP-I 1980 60-x x 110-x S M G 60-x x 110-x
smart learning center
- 4 - LOGIKA MATEMATIKA
Pada umumnya logika matematika hanya membicarakan pernyataan (kalimat deklaratif, yaitu kalimat yang mengandung arti dan dapat ditentukan nilai kebenaran (nilai logikanya). Nilai logika (nilai kebenaran) ada dua, yaitu :
- Benar = B - Salah = S
1. Kalimat
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum di- tentukan nilai kebenaran atau salahnya.Sedang
kan kalimat tertutup (proposisi/pernyataan) adalah merupakan kalimat yang dapat ditentukan nilai benar atau salah.
Contoh :
Untuk x elemen bilangan asli, X lebih besar dari 0
2. Disjungsi dan Konjungsi
- Penggabungan dua statement dengan
menggunakan operasi union ("ATAU" = 'V') disebut disjungsi.
- Penggabungan dua dua statement dengan menggunakan operasi penghubungan
("DAN = 'V' = "&") disebut konjungsi. Perhatian :
Tabel kebenaran disjungsi dan konjungsi (dimana P dan Q adalah dua pernyatan deklaratif)
P Q PVQ PΛQ B B S S B S B S B B B S B S S S Dari tabel disimpulkan
Kesimpulan 1
Suatu disjungsi bernilai "salah" hanya apabila kedua statement bernilai salah. Selainnya disjungsi bernilai benar.
Kesimpulan 2
Suatu konjungsi bernilai "benar" hana apabila kedua statement bernilai benar. Selainnya kon- jungsi bernilai salah,
3. Implikasi (kondisional)
Adalah penggabungan dua buah statement dengan menggunakan perangkai "jika ..., maka..., dan disimbolkan dengan :
"P = = > Q"
Dibaca : "jika P, maka Q" Statement P disebut antesedent Statement Q disebut konsequent. 4. Blimplikasi (bikondisional) = implikasi dua arah
= gabungan konjungsi dari dua buah implikasi. disimbolkan dengan "P <···> Q" atau "Q<···> P". berarti :
"(P <···> Q) Λ (Q<···> P) " dibaca :
"P bilaman dan hana bilamana Q"
Tabel kebenaran implikasi & biimplikasi : P Q P = >Q Q = > P P < = >Q B B S S B S B S B S B B B B S B B S S B Kesimpulan 3 :
Suatu implikasi bernilai "salah" hana apabila ante sedennya benar dan konsequennya salah. Selain nya implikasi benar.
Kesimpulan 4 :
Suatu biimplikasi bernilai "benar" apabila kedua komponennya (maksudnya P dan Q) bernilai sama.dan salah bila kedua komponennya bernilai berlawanan.
5. Beberapa Sifat Operas Logika
1. Operasi disjungsi dan konjungsi adalah kom utatif.
P V Q = Q V P P ΛQ = A ΛP
2. Operasi disjungsi dan konjungsi adalah asso siatif.
(P V Q) V R = P V (Q V R) (P ΛQ)ΛR = PΛ(Q ΛR)
3. Operasi disjungsi dan konjungsi adalah distri butif.
P V (Q R ) = (P V Q) ( (P V R) P Λ(Q R ) = (PΛQ) ( (P ΛR)
Kalimat Ingkar = Non + negatif
Jika suatu statement disimbolkan dengan P, maka kalimat ingkarnya disimbolkan dengan "˜P". Dibaca bukan P = tidak p = non P
Tabel kebenaran negasi : P __P = ˜ P
B
S B S
smart learning center
- 5 - 6. Hubungan Disjungsi, Konjungsi, Implikasi
dengan ingkaran (Negasi)
dengan tabel kebenaran dapat dibuktikan kesa maan-kesamaan logika. (coba sendiri)
Kesimpulan 5 : P ···> Q = P V Q (nilai logikannya sama) Kesimpulan 6 :
Disebut juga Dalil De Morgan P V Q + P ΛA
PΛQ + P V Q
"Ingkaran (negasi) dari suatu disjungsi, sama dengan konjungsi, sama dengan konjungsi dari masing-masing ingkaran". Demikian juga sebaliknya.
Jadi berarti, ˜ (˜P) = P
7. Konversi, invers, &Kontraposisi
Dari implikasi P = = = > Q, dapat diturutkan Tiga buah implikasi, aitu :
I. Q = = = > P disebut konversi dari P = = = > Q
II. P = = = > Q disebut inversi dari P = = = > Q
III. Q = = = > P disebut kontraposisi dari P = = => Q
Latihan : Coba buat tabel nilai kebenaran dari ketiga implikasi di atas
Kesimpulan 7 :
(P = = => Q) = (Q = = = > P)
"Suatu implikasi mempunyai logika yang sama dengan kontraposisinya".
8. Pernyatan kalimat berkuantor yaitu yang me- ngambil (suatu ukuran) yang berkuantitas. I. Kuantor Universal = A atau V
II. Kuantor Eksitensial = E atau menyatakan berapa, sekurang-kurangnnya satu.
Ingkaran kalimat berkuantor :
Semua ingkarannya : berapa atau tidak semua Beberapa ingkarannya : tidak ada
Tidak ada negasinya : berapa
Contoh Soal:
01. Jika P = saya hadir Q = anda pergi
Maka pernyataan yang setara dengan : ~ (P ^ Q) adalah :
(A) Saya tidak hadir dan anda tidak pergi (B) Saya tidak hadir atau anda pergi (C) Saya tidak hadir atau saya pergi (D) Anda tidak pergi jika saya tidak pergi (E) Saya tidak hadiratau anda tidak pergi SIPENMARU IPS `87 KUNCI E
02. Apabila ˜ adalah lambang dari ingkaran suatu propisisi, maka : ˜ (P V q) = (A) ˜ P Λ˜ q (B) ˜ p V q (C) q V ˜ p (D) p = = > q (E) q = = > p SIPENMARU IPS `86 KUNCI (A) periksa sendiri
PERSAMAAN KUADRAT
1. Pengertian dan bentuk umum
Persamaan kuadrat ialah persamaan dalam x yang berderajat dua. x disebut perubahan (variabel).
- Bentuk umum persamaan kuadrat : ax-2 + bx + c = 0
dimana a,b,c adalah konstanta dan a ≠ 0 2. Penyelesaian persamaan kuadrat :
- Penyelesaiaan persamaan kuadrat berarti mencari akar-akar persamaan kuadrat (menetukan harga-harga x yang memenuhi persamaan).
- akar-akar persamaan kuadrat biasanya di nyatakan dengan x1 dan x2
- Besaran D = b2 – 4ac disebut dengan istilah diskriminan(D).
- Cara-cara menyelesaikan persamaan kuadrat, antara lain:
1. Cara memfaktorkan
Cara ini biasa dilakukan jika diskriminan D merupakan kuadrat bilangan rasional Caranya : x-2 + bx + c = 0 a(x1 - x) (x – x2) = 0 x- x1 = 0 ···> x = x1 atau x – x2 = 0 ···> x = x2
2. Dengan melengkapkan kuadrat sempurna Yaitu dengan mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk :
(x - p) 2 = q x – p = ±q x12 = p±q 2 Dengan rumus abc
Yaitu jika persamaan kuadrat dengan bentuk ax-2 + bx + c = 0
smart learning center
- 6 - maka akar-akar ialah :
x1, 2 = a ac b b 2 4 2 − ± − 4. Dengan grafik
Yaitu dengan cara menggambarkan grafik : f : x ···> ax-2 + bx + c,
Yang merupakan parabola, absis titik potong parabola dengan sumbu x adalah akar-akar persamaan kuadrat
ax-2 + bx + c = 0
3. Jenis-jenis persamaan kuadrat dan diskriminan. Jenis-jenis persamaan kuadrat ditentukan oleh diskriminan.
1. Jika D> 0, maka persamaan kuadrat mem- punyai akar-akar nyata (riel) dan berlainan (x1 ≠ x2)
2. Jika D = 0, maka akar-akarnya sama besar /kembar (x1 = x2)
3. Jika D < 0, maka akar-akarnya tidak nyata 4. Jika D merupakan kuadrat bilangan
rasional, maka akar-akarnya rasional
Contoh :
Tentukan harga m agar persamaan 2x2 - mx + 2 = 0, mempunyai akar-akar kembar
Penyelesaian :
Syarat akar kembar : D = 0 Maka :
(-m)2 – 4(2)(2) = 0 m2 – 16 = 0
(m - 4)(m + 4) = 0 m = 4 atau m = -4
5. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar per- samaan kuadrat ax-2 + bx + c = 0, maka : 1. Jumlah akar-akarnya :
x1 + x2 = -b/a
2. Hasil kali akar-akarnya : x1 . x2 = c/a
3. Selisih akar-akarnya :
x1 . x2 = 1/a D
5. Bentuk Simetris
Beberapa bentuk simetris yang menggunakan Jumlah dan hasil kali akar-akar :
1. x1 2 + x2 2 = (x1 + x2 )2 . 2 x1 . x2 2. x13 + x2 3 = (x1 + x2 )3 . 3 x1 . x2 3. 1 1 x + 2 1 x = 1 2 2 1 .x x x x + Contoh : Dari persamaan x2 + 2x -2 = 0 Tentukanlah : . 1. x1 2 + x2 2 2. ( x1 - x2 ) 2 Penyelesaian : x2 + 2x -2 = 0 x1 + x2 = -2 dan x1 . x2 = -2 1. x1 2 + x2 2 = ( x1 + x2 )2 - 2 x1 . x2 = 4 + 4 = 8 2. (x1 - x2 )2 = ( x1 + x2) 2 - 4 x1 . x2 = 4 + 8 = 12 6. Keadaan khusus
Keadaan khusus akar-akar x1 dan x2 dari persam aan kuadrat ax-2 + bx + c = 0, dengan sifat, sya- rat , perlu dinyatakan.
Tabel berikut : Keadaan
kedua akar Sifat Syarat 1. berlawanan - x1 = x2 b = 0 2. berlebihan x1 = 1/x2 c = a 3. positif x1 < 0 x2 < 0 b/a > 0 D > 0 c/a >0 4. negatif x1 < 0 x2 < 0 b/a > 0 D > 0 c/a >0 5. satu (+)
satu (-) x1 + x2 -atau x1 - , x2 + c/a < 0 D > 0 Contoh :
Tentukan nilai k agar akar-akar persamaan x2 + kx + 1 = 0, keduanya selalu negatip
Penyelesaian : x2 + kx + 1 = 0
smart learning center
- 7 - kedua akar negatif, maka : : b/a > 0 = = > k > 0 (1)
: c/a > 0 = = > 1 > 0 jelas (2) : k2 – 4 > 0 = = > k < -2k >2 (3) Dari 1), 2), 3) diperoleh bahwa agar kedua akar selalu negatif, maka harus nilai k >2.
7. Membentuk persamaan kuadrat.
1. Bila diketahui akar-akar x1 dan x2 maka per samaan kuadratnya adalah :
(x – x1) (x – x2) = 0
2. Bila diketahui jumlah dan hasil kali akar – akar, maka persamaan kuadratnya adalah : x2- (x1 + x2) x +x1.x2 = 0
Contoh Soal :
01. Bila jumlah kuadrat akar-akar persamaan : x2 -(2m + 4)x + 8m = 0, sama dengan 52, maka salah satu nilai m = ……
(A) 2 (D) 6 (B) 3 (E) 7 (C) 4 UMPTN '89 Penyelesaian : x2 - (2m + 4) x + 8m = 0 x1 + x2 = 2m + 4 x1 . x2 = 8m x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1. x2 52 = (2m + 4)2 - 2 (8m) 52 = 4m2 + 16m + 16 - 16m 36 = 4m2 m = + 3 (jawab B)
02. Bila x1 dan x2 akar-akar persamaan x2 - 5x + 9 = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ( x12 + x22 ) dan ( 2 1 1 x + 22 1 x ) adalah : (A) 81x2 + 7x+ 49 = 0 (B) 81x2 - 7x+ 49 = 0 (C) 81x2 - 574x+ 49 = 0 (D) x2 - 7x+ 7 = 0 (E) x2 +574x+ 49 = 0 SIPENMARU '86 Penyelesaian : x2 - 5x+ 9 = 0 x1 + x2 = 5 x1 . x2 = 9 x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1. x2 = 25 - 18 = 7 = a 2 1 1 x + 22 1 x = 1 2 2 2 2 2 1 ) . ( ) ( x x x x + = 81 7 = p
β
a +β
= 7 + 7/81 = 81 7 567 + = 81 574 a + β = 7 (7/18) = 81 49Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya a danβ adalah : x2 - 81 574x + 81 49 = 0 atau 81x2 -574x + 49 = 0 ( jawab C)
FUNGSI KUADRAT
1. Bentuk Umum Y = ax-2 + bx + c atau f(x) = ax-2 + bx + cdimana a, b,c, konstanta dan a ≠ 0 2.Sketsa grafik fungsi kuadrat pada fungsi f(x) = ax-2 + bx + c (a ≠ 0), berlaku
1. Grafik dari kuadrat adalah parabola 2. Koordinat dari titik puncak parabola
P ( a b 2 − , a D 4 − )
3. Persamaan sumbu simetrisnya adalah : x =
a b
2 −
4. Jika a >0, maka parabola terbuka ke atas, dan mempunyai harga minimum
5. Jika a<0, maka parabola terbuka ke bawah, dan mempunyai hargamaksimum
6. Sketsa grafik ditinjau dari harga a dan diskri minan D : a D a >0 a<0 D>0 x x D=0 x D<0 x
smart learning center
- 8 -
- Defenit positif maksudnya apabila grafik parab ola terletak di atas sumbu-x.ini dipenuhi bila :
a >0, D<0
- Defenit negative, maksudnya apabila grafik pa rabola terletak di bawah sumbu-x.ini dipenuhi
bila :
a <0, D>0 Contoh :
1. Gambarkan grafik dari : y = 2x2 - 5x – 3 langkah-langkah :
- Grafik memotong sb-x, jika y = 0 2x2 - 5x – 3 = 0
(2x + 1) (x – 3) = 0
x1 = -1/2 ...(-1/2,0) x2 = 3 ………(3,0)
- Grafik memotong sb-y, jika x = 0, = 0- 0- 3 = -3 ...(0,-3)
- Koordinat titik puncak : ( a b 2 − , a D 4 − ) = ( 4 5, 8 24 25 − + ) = (4 4 1, −6 8 1) - Sumbu simetris : x = a b 2 − = 11/4 - Maka grafik dimaksud : y -1 0 1 2 3 x -3 -4 (1 1/4, -61/6)
3.Garis singgung pada kurva jika diketahui suatu fungsi/kurva y = f(x) maka persamaan garis singgung pada kurva tersebut di titik(a,b)ialah : y – b = m (x - a) atau
y = m(x-a) + b dimana :
m = gradien garis singgung m = f'(x) pada x = a
Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung kurva : y = x2 - x di titik (2,2)
y' = 2x -1 = = => a = y'(2) = 3 y - 2 = 3(x - 2)
3x - y - 4 = 0 4. Garis dan Parabola
(fungsi linier dari fungsi kuadrat) Bila diketahui :
Garis g : y = mx + n Parabola : y = ax-2 + bx + c
Maka antara parabola dan grafik terdapat hubungan : ax-2 + bx + c = mx + n atau : ax-2 + (b - )x + c – n = 0 dan D = (b - m)2 – 4ac(c - n) Kemungkinan-kemungkinan :
D>0 : garis g memotong parabola di dua titik D=0 : garis g menyinggung parabola
D<0 : garis g memotong dan tidak me nyinggung parabola
Contoh :
Grafik garis y = mx + 8 memotong kurva y = 1/2x2 – 4x + 12 selain di titik puncaknya juga di titik A. Koordinat titik A itu adalah : (A) (6,2) (D) (2,6) (B) (-6,14) (E) (4,4) (C) (-2,10) SIPENMARU '87 Pembahasan : Puncak Parabola : = ( a b 2 − , a D 4 − ) = ( 1 4 , 2 24 16 − − ) = (4,4)
y = mx + 8 melalui titik (4,4) maka : 4 = 4m + 8 ···> a = -1 Jadi : y = -x + 8, disubtitusi ... 1/2x2 – 4x + 12 = -x + 8 1/2x2 – 3x + 4 = 0 x2 – 6x + 8 = 0 (x - 4) (x - 2) = 0 ···> x = 4 (sudah) x = 2 (ya) x = 2 ···> y = -2 +8 = 6 ···> A = (2,6) ( Jawab D)
smart learning center
- 9 - 5. Membentuk fungsi kuadrat
Ada tiga cara, yaitu
1. Bila diketahui titik puncak P(x,y) dan parabola melalui (xp,yp), maka tuliskan : y = a(x - xp)2 + yp
2. Bila diketahui titik potong kurva dengan sumbu-x, yaitu (x1, 0) da (x2, 0) serta melalui satu titik (x0, y0), maka dituliskan : y = a(x - x1) (x - x2)
3. Bila diketahui bahwa parabola melaui tiga titik sembarang, maka substitusi langsung pada bentuk umumnya, sehingga didapat 3 persamaan dengan 3 perubah.
Contoh :
1. Tentukan parabola yang melaui titik - titik (-2,0), (3,0) dan (1,-6)
2. Tentukan fungsi kuadrat yang mem- punyai titik puncak (2,2) serta melalui - (1,4)
Penyelesaian :
1. Gunakan rumus (2) dan(3) y = a(x + 2) (x - 3) (1,-6) ···> -6 = a(3)(-2) = -6a a = 1 y = (x + 2) (x - 3) y = x2 - 8x + 10 2. Gunakan rumus (1) y = a(x-2)2 + 2 (1,4) ···> 4 = a(-1)2 + 2 = a + 2 ···> a = 2 y = 2(x-2)2 + 2 y = 2x2 – Bx + 10 6. Pergeseran kurva
Fungsi kuadrat dengan bentuk umum : y = ax2 + bx + c
Jika diadakan pergeseran, akan terbentuk fungsi kuadrat baru :
1. Jika dieser kekiri/kanan sejajar sumbu-x sejauh p satua, maka fungsi kuadrat yang baru adalah :
y = a(x + p)2 + b(x + p) + c
2. Jikadigeser ke bawah/ke atas sumbu-y sejauh p satuan, maka fungsi kuadrat yang baru adalah :
y + p = ax2 + bx + c Contoh :
Tentukan fungsi kuadrat yang baru, jika fungsi : digeser ke kanan sejajar sumbu- x sejauh 2 satuan
Penyelesaian :
Digeser// sumbu-x ke kanan(kearah yang positif) maka harga x dikurangi
y = (x - 2)2 + 2(x - 2) +1 y = x2 - 4x + 2x – 4 + 1 y = x2 - 2x + 1
Contoh Soal :
01. Parabola yang melaui titik-titik (1,11),(0,6) dan(-2,2) dan mempunyai sumbu simetris sejajar dengan summbu y mempunyai puncak : (A) (2,-2) (D) (-2,2) (B) (2,2) (E) (-2,4) (C) (-2,1) SIPENMARU '87 Penyelesaian : FK = y = ax2 + bx + c (1,11) ···> 11 = a + b + c (-2,2) ···> 2 = 4a – 2b + c (0,6) ···> 6 = C Jadi : a + b = 5 | x 4| 4a + 4b = 20 4a – 2b = -4 | x 1| 4a - 2b = -4 6b = 24 b = 4 a = 5 – b = 1 FK ; y= x2 + 4x = 6 P( 2 4 − ,
4
)
24
16
( −
−
) = P(-2,2) Jawab : D02. Grafik fungsi = ax –ax2, a < 0 (1) Terbuka ke atas
(2) Memotong sumbu- x di titik (a,0) (3) Mempunyai sumbusimetris x = 1/2 (4) Melalui titik(-a,a3) SIPENMARU '84 Penyelesaian : y = ax –ax2, a < 0 - berarti koefesien x2 > 0 ···> terbuka ke atas
- memotong sumbu-x ···> = 0 ax(1- x) - sumbu simetris : x = a a 2 − − = 1/2 x = 0 atau x = 1 (0,0) (1,0) -x = -a ···> y = -a2 – a3 (Jawab B)
smart learning center
- 10 - PERTIDAKSAMAAN
1. Pengertian
: Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dimana ruas kiri dan kanan dihubungkan oleh salah satu tanda dari ; ≠, <, >,< ,dan > : Suatu bilangan a disebut lebih besar dari b,
bila a – b >0 dan a < b, bila a – b < 0 2. Sifat-sifat pertidaksamaan : Jika a > b, maka a + b > b + c : jika a > b, maka a – b > b – c : Jika a + b > c, maka a > c – b : Jika a > b dan p > 0 Maka ap >bp : jika a > b dan p < 0 Maka a/p < b/p : Jika a > b dan p < 0 Maka ap < bp : a > b dan p < 0 Maka a/p < b/p : jika a > b ; a, b < 0 Maka a2 < b2 3. Macam-macam pertidaksamaa
1. Pertidaksamaan linier dalam variabel x adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandunnng bentuk linier dalam x
1. Himpunan penyelesaian dari pertidak- samaan : 2x < 8; -x < 4 dan 0< x < 6 Penyelesaian :
I. 2x < 8 x < 4 II. –x < 4 x < -4 III. 0 < x < 6
Gambarkan ketiga pertidaksamaan dalam satu garis bilangan :
-4 2 0 2 4 6 8
Maka himpunan peyelesaian adalah irisan (i), (ii), (iii).
0 < x < 4 2. 6 – 2x < x + 3 -3x < -3 x > 1
3. Himpunan penyelesaian dari pertidak- samaan 3x + 4 < x + 12 < 2x + 10 adalah : Penyelesaian : i. 3x + 4 < x + 12 2x < 8x < 4 ii. x + 12 < 2x + 10 iii. -x < -2 iv. x > 2
gambarkan garis bilangan, maka diperoleh :
0 2 4 6
Himpunan penyelesaian adalah irisan i dan ii : 2 < x < 4
2. Pertidaksamaan kuadrat
Suatu pertidaksaman dimana varibelnya berbentuk kuadrat
Contoh :
1. x2 – x- 6 > 0 (x + 2) ( x – 3) > 0 x1 = -2 dan x2 = 3
Gambarkan pada garis bilangan, maka diperoleh : + + + + - - - + + + + -4 -2 0 2 3 4 x < -2 atau x > 3 2. 4 – x2 > 0 x2 – 4 < 0 ( x + 2) ( x – 2) < 0 + + + + - - - + + + + -4 -2 0 2 4 -2 < x < 2
3. Pertidaksamaan dibawah akar x adalah bilangan riel
Jika x > 0
smart learning center
- 11 - Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksama- an 2 −x 3 < x – 3 Penyelesaian : I. 2x – 3 > 0 2x > 3 x > 1 1/2 II. ( 2 −x 3)2 < (x – 3)2 2x – 3 < x2 – 6x - + 9 -x2 + 8x – 12 < 0 X2 – 8 + 12 > 0 ( x – 6 ) ( x – 21) > 0
HP adalah irisan I dan II
11 1/2 2 3 4 5 6 7 8 1 1/2 < x < 2 atau x > 6 4. Pertidaksamaan harga mutlak |x| < a ···> -a < x < a |x| > a ···> x < -a atau x > a Contoh : |x – 2| > 3 ···> (x -2) > 3 ···> x > 5 ···> ( x -2) < -3 X < -1 HP merupakan irisanya -1 5 x < -1 atau x > 5 Cara II (x -2)2 > 32 x2 – 4x + 4 > 9 x2 – 4x – 5 > 0 (x + 1) ( x + 5) > 5 X < -1 atau x > 5 5. pertidaksamaan pecahan
Definisi : suatu pecahan a/b adalah nilainya, Jika b≠ 0
Sifat : a. Jika a/b > 0 maka ab > 0 Contoh :
Tentukan harga x yang memenuhi sistem per- tidaksamaan : 4 2 3 + − x x -1 < 0 Penyelesaian : 4 2 3 + − x x -1 < 0 4 2 3 + − x x - 4 4 + + x x < 0 4 6 2 + − x x < 0 + + + + + - - - + + + + + + -4 3 (2x – 6) (x + 4) < 0, asal x ≠ -4 HP : ( -4 < x < 3)
6. Pertidakamaan Pangkat Tinggi Sifat :
a. Untuk n bilangan ganjil, maka (-1)n = -1 b. Untuk n bilangan genap, maka (1)n = 1
dan 1n = 1 akibat : a. Pertidaksamaan : Pn > 0 ···> P > 0, asal n ganjil Pn < 0 ···> P < 0 asal n ganjil b. Pertidaksamaan : Pn > 0 ···> P ≠ 0 asal n genap
Pn < 0 tidak ada harga p yang memenuhi, asal n genap
Contoh :
1. (3 - 2)6 (x + 2)5 ( 2x – 5)3 (5x2 – 3x + 1)3 = 0 karena 5x2 – 3x + 1 adalah definitif positif,
maka dengan mengingat sifat diatas soal terse- but akivalen dengan x + 2 > 0 asalkan x ≠ 11/2 dan x ≠ 2,5 maka penyelesaian pertidaksamaan : x > -2, x ≠11/2, x ≠2,5 2. (x – 3)(x2- 8x + 12) < 0 (x – 3) (x -2) (x – 6) < 0 HP : (x < 2) atau 3 < x< 6) Contoh Soal 01. Agar pecahan : 2 10 3 2 2 + − − + x x x x
Bernilai positif, maka x anggota himpunan : (A) {x|x < -5, atau x > 2}
(B) {x|-5 < x < 2} (C) {x|x > -5} (D) {x|x < 2} (E) {x|-5 < x < 2}
smart learning center
- 12 - Penyelesaian : 2 10 3 2 2 + − − + x x x xPenyebut : D = 1-8 < 0 tanda hana tergantung pada pembilang Jadi : x2 + 3x – 10 > 0 (x + 5) (x – 2) > 0 x = 15 x = 2 + + + + - - - + + + + -5 2 HP = { x|x < -5, atau x > 2} (jawab A)
02. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan : | 4 x + 6 | > 0,5 adalah : (A) {x|x < -26} (B) {x|x < -2 2} (C) {x|x > -26}{x|x < -22} (D) {x|x < -26}{x|x > -22} (E) {x|x > -26} Penyelesaian : | 4 x + 6 | > 0,5 Artinya : a. x/4 + 6 > 0,5 x + 24 > 2 x > -22 b. x/4 + 6 < 0,5 x + 24 < -2 x < -26 Jawab : D HP : {x|x < -26 atau x > -22}
GRADIEN DAN PERSAMAAN GARIS LURUS
Gradien Garis Lurus
Gradien garis lurus adalah merupakan kecondongan (koefisien arah) suatu garis dan dilambangkan dengan "m". Gradien garis lurus yang melalui titik(x1, y1) dan (x2, y2) adalah :
m = 1 2 1 2 x x y y − −
Keadaan garis ditinjau dari gradient : m > 0 garis condong ke kanan m < 0 garis condong ke kiri m = 0 garis sejajar ke kiri m = garis sejajar sumbu-y
Persamaan Garis Lurus
- Persamaan garis lurus melalui titik(a,0) dan (o,b) y b a x + b y = 1 a x atau bx + ay = ab - Persamaan garis melalui titik(x1, y1) dan (x2, y2) y (x2,y2) (x,y) x (x1,y1) m = 1 1 x x y y − − m = 1 2 1 2 x x y y − − karena m = m, maka 1 2 1 y y y y − − = 1 2 1 x x x x − −
- Persamaan garis melalui titik(0,0) dan gradien m : y
y = mx X
(0,0)
smart learning center
- 13 - - Persamaan garis melalui titik (0,c) dan gradien
m y y = mx + c c x
- Persamaan garis melalui titik (x1,y1) dan gradien m
y – y1 = m(x – x1)
Titik potong dua garis lurus dapat dicari melalui cara :
- metode grafik - metode subtitusi - metode eliminasi
Sudut yang dibentuk antara dua grafik g1 : y = m1x + c1 g1 : y = m2 + c2 y g1 r g2 x
sudut yang dibentuk oleh gradien g1 dan g2 adalah
γ
, maka : tyγ
= 2 1 2 1 . 1 m m m m + −Dimana terdapat hubungan g1// g2 bila m1 = m2 dan g1⊥g2 bila m1. m2 = -1 jarak titik dan garis
Gradien garis singgung kurva di titik (x1,y2) Bila y = f(x) maka gradien garis singgung kurva dari titik(x1,y2) adalah :
m = dy/dx = f'(x) ... (x1,y2) m = f'(x1)
Contoh soal :
01. Dari segitiga ABC diketahui bahwa titik A ialah Perpotongan garis :
2x + y - 4 = 0 dengan garis
AC : x + 2y – 2 = 0, sedangkan koordinat B dan C berturut-turut ialah (0,1) dan (1,3). Persamaan garis tinggi dari titik sudut A adalah :
(A) x – y - 2 = 0 (B) 2x – y +2 = 0 (C) x – 2y +1 = 0 (D) 2x + y +1 = 0 (E) x + 2y - 1 = 0 SIPENMARU '84 Penyelesaian :
Titik potong garis 2x + y = 4 dan x + 2y = 2 adalah 4x + 2y = 8 x + 2y = 2 3x = 6 x = 2 y = 0 (2,0)
Persamaan garis tinggi dari titik sudut A adalah garis melalui A dan tegak lurus BC
mbc 0 1 1 3 − − = 2 ·· ma = -1/2 y - 0 = -1/2 (x - 2) y = -1/2x + 2/2 atau x + 2y – 2 = 0 Jawab A
02. Persamaan garis singgung kurva yang = 2/x2 di titik yang mempunyai absis 1 adalah :
(A) y = -6x (B) y = 6x - 4 (C) 6x + y - 8 = 0 (D) 2x – 3y + 4 = 0 (E) 2x + 3y – 8 =0 SIPENMARU '87 Penyelesaian : y = f(x) = 2/x3 = 2x-3 ···>f'(x) = -6x-4 pada absis 1···> a = f'(1) = -6 x = ···> y = 2/13 = 2 (1,2)
PGL dengan m = -6 lewat (1,2) adalah : y – 2 = -6(x - 1)
smart learning center
- 14 - y = -6x + 6 + 2 6x + y – 8 = 0 Jawab (C) PROGRAM LINIER 1. PengertianProgram linier adalah suatu metode untuk memecahkan masalah yang dapat dilukiskan dengan model matematika.
Beberapa istilah matematika yang sering di jumpai pada masalah program linier,adalah :
- model matematika
- konstrain ( syarat, pembatas) - daerah jawab (daerah penyelesaian) - fungsi tujuan ( fungsi/ sasaran ) - jawab optimal
2. Model Matematika
Model matematiak ialah suatu hasil penter Jemahan bentuk sehari-hari ke dalam bentuk
matematika, yang biasanya terdiri dari pertidaksamaan-pertidaksamaan linier. Contoh :
perhatikan latihan soal no. 3 pada akhir bab ini. Model matematikanya adalah sbb : mis , banyak kain A yang di beli = xm banyak kain B yang dibeli = ym laba maksimum = k maka : x + y < 30 1000x + 2000y < 40.000 x > 0 y > 0 300x + 200y = k maks
Dengan model ini x, yang, dan k dapat di tentukan.
1. Konstrain (pembatas, syarat)
Yaitu berupa pertidaksamaan-pertidaksama an linier, seperti ke lima pertidaksamaan di atas
2. Dan daerah yang dipenuhhi semua pertidak samaan Konstrain ini,dimana daerah jawab (daerah feasible ,daerah penyelesaian) 3. Fungsi tujuan (fungsi sasaran, fungsi objek tif ) , yaitu sebuah fungsi linier dengan 2 variabel x dan y yang merupakan tujuan dari masalah program linier tersebut. Bentuk umum fungsi tujuan adalah : z = ax + by
dimana x > 0 dan yang > 0 , serta a, b, konstanta
Fungsi tujuan z = ax + by umumnya adalah menentukan nilai optimal
4. Pasangan (x,y) pada daerah jaawab yang menjadikan fungsi sasaran menjadi optimal disebut titik optimal
5. Sedangkan nilai dari z = ax + by dimana (x,y) adalah titik optimal, disebut jawab optimal ( jawab maksimum atau jawab minimum)
Contoh :
Menetukan daerah jawab & konstrain/model matematika :
1. Tentukan daerah yang memenuhi system pertidaksamaan berikut :
2x + 5y < 10, 6x + y < 12 x > 0 dan y > 0
Penyelesaian :
Terlebih dahulu digambarkan garis dengan per - samaan 2x + 5y = 10, 6x + y < 12, c > 0 dan y > 0 Lalu ditentukan daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan dengan cara mencobakan satu titik sembarang di luar garis. Maka
02. Perhatikan grafik sebelah, dan tentukan system pertidaksamaan yang dipenuhi daerah diarsir.
Penyelesaian :
Pertama dicari dahulu persamaan konstrain ( garis pembatas), yaitu :
- Garis yang melalui titik (2,0) & (0,4) ialah : 1 2 1 y y y y − − = 1 2 1 x x x x − − = = > 4 y = 2 2 − − x = = = > 4x + 2y = 8
Daerah yang diarsir adalah yang memenuhi pertidaksamaan 4x + 2y > 8
smart learning center
- 15 - - Garis yang melalui titik (4,0) & (0,3) ialah:
0 3 0 − − y = 4 0 4 − − x = = > 3x + 4y = 12
Daerah yang diarsir adalah memenuhi per- tidaksamaan
3x + 4y < 12
- Maka sistem pertidaksamaan yang meme- nuhi daerah yang diarsir adalah :
2x + y > 4, 3x + 4y < 12 x > 0, y > 0
3. Penggunaan Model Matematika
Kegunaan dari model matematika ini adalah untuk menyelesaikan persoalan program linier langkah-langkah :
- Terjemahkan persoalan ke dalam metode matematika.
- Gambarkan grafik dari model matematika - Tentukan daerah penyelesaian (daerah
jawab)
- Tentukan titik vertex (titik optimal) - Biasanya jawab optimal ( jawab
maksimum atau minimum) terdapat pada titik vertex.
Contoh :
Suatu pesawat udara mempunyai kapasitas tidak lebih dari 43 penumpang. Untuk kelas utama, setiap penumpang boleh membawa bagasi 60 kg, sedangkan untuk tiap penumpang kelas ekonomi bagasi dibatasi sampai 20 kg, (penumpang hanya terbagi atas 2 kelas). Pesawat tersebut hanya dapat membawa bagasi sampai 1440 kg.
a. Tuliskan empat pertidaksamaan yang dipenuhi persoalan tersebut
b. Gambarkan pada diagram koordinat penyelesaiannya
c. Bila harga tiket untuk setiap penumpang kelas utama Rp. 100.000,00 dan kelas ekonomi Rp. 50.000,00. Tentukanlah banyaknnya penumpang pada masing-masing kelas agar diperoleh hasil penjualan tiket maksimum
d. Dan berapakah hasil penjualan tiket yang maksimum
Penyelesaian : Misal :
Banyak penumpang kelas utama = x Banyak penumpang kelas ekonomi = y Maka :
a. Pertidaksamaan (model matematikanya) ialah: x > 0
y > 0
x + y < 48 60x + 20 < 1440
b. Daerah yang memenuhi keempat pertidaksamaan (himpunan penyelesaiannya) adalah daerah yang diarsir berikut :
c. Fungsi objektifnya :
z = 100.000x + 50. 000y
Titik ekstrin z = 100.000x + 50. 000y (0,0) (24,0) (0,48) (12,36) 0 2.400.000 2.400.000 3.000.000
Maka hasil penjualan maksimum dari tiket didapat bila banyaknya penumpang kelas utama = 12 orang dan kelas ekonomi = 36 orang d. Banyaknya hasil penjualan maksimum = Rp. 3.000.000,00
4. Pengunaan garis selidik pada program linier. Garis selidik bentuk umumnya :
ax + by = k
Dgunakan untuk menentukan nilai optimal (nilai maksimum atau nilai minimum) dari fungsi sasaran z = ax + by
Cara menggunakan garis selidik ax + by = k - Gambarkanlah grafik ax + by = 0, yaitu garis
lurus yang melalui titik pusat 0 (0,0)
- Tarik garis sejajar dengan ax + by = 0 hingga garis tersebut melalui hanya satu titik pada daerah jawab (feasible) yang tentunya jadi titik optimal
- Maka nilai dari ax + by pada titik optimal tersebutlahyang menjadi jawab optimal Contoh :
Andaikan model matematika dari suatu persoalan program linier adalah sbb :
2x + y < 800 x + y < 500 x > 0 y > 0
x, y∈C (cacah)
Tentukan nilai maksimum dari 40x + 30y yang memenuhi pertidaksamaan diatas.
smart learning center
- 16 - Penyelesaian :
Derah yang memenuhi keempat pertidaksamaan adalah daerah yang diarsir berikut :
Titik P ialah perpotongan antara kedua garis : 2x + y = 800
x + y = 500
x = 300 300 + y = 500 y = 200 = = = > P (300,200)
Untuk mencari nilai maksimum dari 40x + 30y = 0. kita gambarkan suatu gaaris 40x + 30y = 0 . Kemudian tarik garis sejajar sedemikian sehingga melalui satu titik pada daerah jawab, dalam hal itu yaitu titik P( 300, 200). Garis pada titik tersebut mempunyai persamaan :
40x + 30y = 18.000
Jadi nilai maksimum dari 40x +30y adalah18.000 Contoh Soal :
Seorang pedagang buah-bbuahan denngan menggunakan gerobak, menjual apel dan pisnag. Harga pembelian apel Rp.1000/kg dan pisang Rp.400/kg. Modal yang tersedia Rp.250.000. Sedangkan muatan gerobak maksimum 400kg. Jika keuntungan tiap kg apel Rp. 200,- dan tiap kg pisang Rp.100,- maka banyaknya apel dan pisang yang dibeli agar pedagang mendapat keuntungan yang sebesar-besarnya adalah :
Penyelesaian : Saya andaikan :
Banyak apel yang dibeli = x kg dan banyaknya pisang yang dibeli = y kg. Maka model matematika dari persoalan diatas ialah :
x + y < 400 1000 x + 400y < 250.000 x > 0 y > 0 Ditanya : x = ? y = ?
Agar z = 200x + 100y maksimum
Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan ialah( daerah yang diarsir, sbb :
Titik potong A : 10x + 4y = 2500│x 1│ 10 + 4y = 2500 x + y = 400 │x 4│4x + 4y = 1600 6x = 900 x = 150 x = 150 = = > 150 + y= 400y = 250 ···> A ( 150, 250)
Nilai z = 200x + 100y paling benar terdapat pada titik A. Ini berarti, agar keuntungan yang diperoleh maksimum, maka pedagang harus membeli : Apel = 150 kg
Pisang = 250 kg
PERSAMAAN LINGKARAN
Persamaan lingkaran Pusat (0,0) jari-jari R
P{x,y)|x2 + y2 = r2} adalah HP titik dalam lingkaran P{x,y)|x2 + y2 < r2} adalah HP titik dalam lingkaran P{x,y)|x2 + y2 > r2} adalah HP titik diluar lingkaran Persamaan lingkaran Pusat (a,b) jari-jari
Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran pusat (3,4) dan me- lalui titik (-3,12)
smart learning center
- 17 - = Jawab : P (3,4) a = 3, b = 4 (x-3)2 + (y-4)2 = r2 Melalui titik (-3,12) (-3-3)2 + (12-4)2 = r2 r2 = 100 r = 100Persamaan Umum lingkaran x2 + y2 + Ax + By + c = 0 titik pusat (-1/2 A, -1/2B)2 -c Contoh :
Tentukan pusat dan jari-jari persamaan lingkaran: 3x2 + 3y2 -12x + 18y -36 = 0
Jawab :
Persamaan lingkaran menjadi : x2 + y2 - 4x + 6y -12 = 0 P(-1/2A, 1/2B) ... P(2,-3) r2 = 22 + (-3)2 - (-12) = 25 r = 5
Perpotongan Garis Dengan Lingkaran y = mx + c,
x2 + y2 + Ax + By + c = 0
D > 0, garis memotong lingkaran pada dua titik D = 0, garis menyinggung lingkaran
D < 0, garis di luar lingkaran
Contoh :
Supaya garis y = x + p memotong lingkaran x2 + y2 = 25 pada dua titik, tertentu harga P : Penyelesaian : x2 + y2 = 25 y = x + p x2 + (x + p)2 = 25 x2 + x2 + 2px + p2 = 25 2x2 + 2px + p2 - 25 = 0 Syarat : D > 0 4p2 – 4(2) (p2 - 25) > 0 4p2 -8p2 + 200 >0 -4p2 + 200 > 0 P2 – 50 < 0 ( p - 5 2) (p + 5 2) < 0 -5 2 < p < 5 2
Persamaan Garis singgung
Pusat (0,0) garis singgung dengan gradien m y = mx + r 2 +1
m
pusat (a,b) garis singgung dengan gradien m y- b = m(x – a) + r 2 +1
m
Pusat (0,0) melalui titik (x1,y1) x1x + y1y = r
Pusat (-1/2A,-1/2B) melalui titik (x1,y1)
x1x + y1y + -1/2A ( x + x1) + 1/2B ( y + y1) + C = 0 persamaan garis singgung pada lingkaran
(x – a)2 + (y – b ) 2 = r2 titik (x1,y1) (x1 – a)(x – c) + (y1– b ) (y– b) = r2 Tali Busur Lingkaran
Jika dua lingkaran saling berpotongan maka garis menhubungkan kedua titik lingkran dimanakah tali busur lingkaran
Syarat mencari tali Busur : dimana L1 = L2 Contoh :
1. Tentukan persamaan tali busur lingkaran x2 = (y – 2)2 = 25 dengan lingkaran ( x – 2)2 + y2 = 25 Jawab : L1 = x2 + y2 - 4y + 4 – 25 = 0 L2 = x2 + y2 - 4x + 4 – 25 = 0 L1 = L2 ……….. y = x Contoh Soal :
01. Jika lingkaran yang berpusat di (-4,3) dan menyinggung sumbu x dicerminkan pada y = x, maka persamaan lingkaran yang terjadi adalah : (A) x2 + y2 + 6x - 8y + 16 = 0 (B) x2 + y2 - 8x - 6y + 16 = 0 (C) x2 + y2 - 6x + 8y + 16 = 0 (D) x2 + y2 + 8x – 6x + 16 = 0 (E) x2 + y2 + 6x + 8y + 16 = 0 SIPENMARU '84 Penyelesaian :
Lingkaran pusat (-4,3) menyinggung sumbu-x berarti jari-jari = 3, dicerminkan pada y = x menjadi : P (3,-4) r = tetap = 3
Persamaan :
(x – 3) + (y + 4)2 = 32 x2 + y2 - 6x + 8y + 16 = 0 (Jawab C)
02. Empat lingkaran berjari-jari satu satuan saling bersinggungan di sumbu koordinat (lihat gambar). Dilukis lingkaran Mdan menyinggung keempat lingkaran tadi.Persamaan lingkaran M ialah :
smart learning center
- 18 - (A) x2 + y2 = 4 (B) x2 + y2 = 8 (C) x2 + y2 = 3 + 2 2 (D) x2 + y2 = 6 + 42 (E) x2 + y2 = 9 + 4 2 SIPENMARU '87 Penyelesaian lingkaran : Pusat 0 (0,0) jari-jari : r = 1 + 1/2 4 + 4 = 1 + 2 Maka : x2 + y2 = r2 x2 + y2 = ( 1 + 2 )2 x2 + y2 + 3 + 2 2TRIGONOMETRI
1. Fungsi Sinus, Cosinus dan Tangens A. Fungsi sinus : y = sin x
B. Fungsi cosinus : y = cos x
C. Fungsi tangens : y = tg x
Dari grafik fungsi diatas dapat dituliskan : * y = sin x
Periode : 2π (360°) Positif pada kuadrat I & II Negatif pada kuadrat III & IV *y = cos x
periode : 2π(360°)
Positif pada kuadrat I & IV Negatif pada kuadrat II & III *y = tg x
Periode : π
Positif pada kuadrat I & III Negatif pada kuadrat II & IV Tambahan :
Sec x = 1/cos x Cossec x = 1/sin x Cotg x = 1/tg x
2. Nilai Fungsi Sinus, Cosinus & tg untuk sudut- sudut istimewa dalam hal ini kkita ambil dari kuadrat pertama saja :
x Sin x Cos x tg x 0º 30º 40º 60º 90º 0 1/2 1/2 2 1/2 3 1 1 1/2 2 1/2 2 1/2 0 0 1/3 3 1 3 1
3. Sinus, Cosinus & tangens untuk sudut- sudut (-aº) ; (90-a º) dan (180-a)º :
* Sin (-aº) = -sin aº Cos (-aº) = cos aº Tg (-aº) = -tg aº * Sin (90-a)º = cos aº Cos(90-a)º = sin aº Tg (90-a)º = cotg aº * Sin (180-a)º = sin aº Cos (180-a)º = -cos aº Tg (180-a)º = -tg aº 4. Rumus- rumus yang berlaku
Cos (A + B) = cosA. cosB - sinA .sinB
smart learning center
- 19 - Cos (A - B) = cosA. cosB + sinA .sinB
Sin (A + B) = sin A. cosB + cosA .sinB Sin (A - B) = sin A. cosB - cosA .sinB Tg (A + B) = tgA.tgB 1 tgB tgA − + Tg (A + B) = tgA.tgB 1 tgB -tgA + Contoh :
a. Jika sin A = 3/5 (sudut lancip), tentukanlah cosA dan tg A
b. Carilah cos 15º, sin75º, tg 105º dengan menggunakan rumus
Penyelesaian :
a. Gunakan dalil Phytagoras
PO = 25 − = 4 9 Cos A = 4/5: tgA = 3/4 b. Cos 15 º = cos (45-30)º
= cos 45º cos 30º + sin 45º sin30º = 1/4 ( 6 + 2 ) Tg 105º = tg(60 +45)º = 60 tg 1 60 tg − ° - ° ° 45 tg 45 tg = 3 1 1 3 − + = -2 (1 = 3 ) 5. Rumus-rumus Sudut Rangkap Sin 2A = 2 sin A . cos A Cos 2A = cos2A – sin2A = 2cos2A -1 = 1- 2 sin2A Tg 2A = A tg -1 A tg 2 2 6. Rumus-rumus Perkalian
2sinA.cosB = sin(A + B) + sin(A - B) 2cosA.sinB = sin(A + B) - sin(A - B) 2cosA.cosB = cos(A + B) + cos(A - B) -2sinA.sinB = cos(A + B) - cos(A - B)
7. Rumus Penjumlahan dan Selisih Cos A + cos B = 2cos
2 B) (A + . Cos 2 B) (A − Cos A – cos B = -2sin
2 B) (A + . sin 2 B) (A − Sin A + sin B = 2sin
2 B) (A + .Cos 2 B) (A − Sin A – sin B = 2cos
2 B) (A + . sin 2 B) (A − contoh :
a. Jika sin A = 4/5, carilah sin 2A, cos 2A dan tg 2A
b. Tentukanlah :
sin 75º cos 15º = ... cos 165º - cos 75º =... penyelesaian :
a. SinA = 4/5, dengan menggunakan segitiga phytagoras, maka didapat :
cos A = 3/5 dan tg A = 4/3 sin 2A = 2sin A. Cos A = 2 (4/5)(3/5) = 24/25 Cos 2A= 2cos2 A – 1 = 2(3/5)2 = -7/25 = A tg 1 tgA 2 2 − = 2 ) 3 / 4 ( 1 ) 23 / 4 ( 2 − = -24/4 b. sin 75º cos 15º = = 2 ) 15 75 sin( ) 15 75 sin( °+ ° + °− ° = 1/2 (sin 90°+ sin 60º) = 1/2 (1 + 12 3) cos 165º - cos 75º = = 2sin 2 ) 75 165 ( °+ ° . sin 2 ) 75 (165°− ° = -2sin 120º.sin 45º = -2 ( 3/2) ( 2/2) = -1/2 6
8. Menyatakan a cos x + b sin x sebagai k cos (x-p) x positif dan 0° < x < 360
a cosx + b sin x = k cos (x-p) = k cos x. Cos p + k sin x . sin p ····> k cos p = a : k sin p = b
smart learning center
- 20 - ···· > kcosp ksinp = tg p = b/a k = a +2 b2 9. Persamaan Trigonometri a cos x + b sin x = c(a, b dan c adalah konstanta)
Karena nilai maksimum fungsi cosinus=1 Dan nilai minimum = -1 maka –k < c< k Contoh :
Carilah harga x yang memenuhi persamaan : a. cos x + sin x = 0 b. 3cos x + sin x = 1 Penyelesaian : a. cos x + sin x = 0 a = 1 b = 1 tg p b/a = 1 ····> p = 45º ····> 2 cos (x- 45°) = 0 Cos (x- 45°) = 0 x- 45° = 90° x = 270° ····> x1 = 90º + 45° = 135° x2 = 270° + 45º = 315º b. 3cos x + sin x = 1 k = 3+ 1 = 4= 2 tg p = 1 3····> p = 30º ····> 2 cos(x -30) = 1 cos(x - 30º) = 1/2 x - 30º = 60° =300° ····> x1 = 60° + 300° = 90° x2 = 300° + 30º = 330°
10. Maksimum dan minimum fungsi trigonometri Fungsi trigonometri dituliskan :
y = a cos x + b sin x atau y = a2 +b2cos(x−p) nilai maksimum = a +2 b2 nilai minimum = - a +2 b2 contoh :
tentukan niali maksimum dan minimum dari : y = 4 cos x – 3 sin x = ... jawab : nilai maksimum = 12 +(−3)2 = 25= 5 Nilai minimum = -5 11. Sketsa Grafik Contoh :
Gambarkan kurva dari : y = cos x + sin x Penyelesaian :
Untuk mempermudah menggambarkannya, ma- ka terlebih dahulu dirobah menjadi :
y = 2cos (x-45º) sehingga diperoleh
12. Koordinat kartesies dan koordinat kutub :
Menurut pengertian sin dan cos, maka : 1. sin a° = y/r ····> y = r sin a° 2. cos a° = x/r ····> x = r cos a° 3. x2 + y2 = r2
jadi :
koordinat kartesins P(x,y) dapat juga dinyatakan dengan koordinat kutub(polar) yaitu : P(r,a)
sehingga :
P(x,y) = P (r cos a°, r sin a°) = P (r,a°)
Contoh :
1. Koordinat kutub titikP (6,30°) tentukan koor- dinat kutub (polar) yaitu:
Penyelesaian :
P ( 6,30°) ····> r = 6, a°= 30° x = r cos a° = 6 cos 30° = 6. 1/2 3 = 3 3 y = r sin a° = 6 sin 30° = 6. 1/2 = 3
smart learning center
- 21 -
Contoh Soal :
1. Jadi 0 < x < π dan x memenuhi persamaan tg2x- tgx -6 = 0, maka himpunan nilai sin x adalah: (A) ( 10 10 3 , 5 5 2 ) (B) ( 10 10 3 , -5 5 2 ) (C) (-10 10 3 , 5 5 2 ) (D) ( 10 10 , 5 5 2 ) (E) ( 10 10, 5 5 2 ) SIPENMARU ‘88 Penyelesaian : tg2x- tgx -6 = 0 misalkan tg2x = a a2 - a - 6 = 0 (a + 2) ( a - 3) = 0 a = -2a = 0 dari tg x = -2 sin x = 2/ 5= (2/ 5) ( 5/ 5) = 5 5 2 dari tg x = 3 sin x = 3 /10= (3 10) ( 10/ 10) = 10 10 3
02. Dua orang mulai berjalan dari titik A dan pada saat yang sama. Supaya keduanya sampai di C pada saat yang sama maka kecepatan berjalan orang yang dari titik a harus :
(A) 1/2 2 kali kecepatan orang yang dariB (B) 2 kali kecepatan orang yang dari B (C) 2 2kali kecepatan orang yang dari B (D) 1/3 3 kali kecepatan orang yang dari B (E) 3 kali kecepatan orang yang dari B Penyelesaian : Dalil sinus : o 45 sin BC = o 30 sin AC AC = o o 45 sin 30 sin BC =
2
2
/
1
2
/
1 BC
AC = 1/2 2BC tA = A AC = A BC 2 2 tB = VB BC Agar tA = tB B BC A BC = 2 2 VA = B BC B BC 2 2 / 1 2 2 = ⋅Kecepatan A harus 1/2 2 kali kecepetan B (jawab A)
FUNGSI KOMPOSISI & FUNGSI INVERS
Pengertian Relasi dan Fungsi
Relasi dari himpuna A ke himpunan B adal ah pemasangan anggota A ke anggota himpunan B. Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus (relasi fungsional) dimana setiap anggota A dipasangkan tepat satu kali pada anggota himpunan B.
Misalnya : A = (a,b,c) B = (p,q,r) a a. A B b. A B
smart learning center
- 22 - c. A B d. A B e. e. A B e. A Bdari hubungan di atas yang merupakan fungsi ada lah : b, c, d, f. Sedangkan a dan e merupakan rela si.jika f memetakan suatu elemen x
ε
A ke suatu elemen yε
B dikatakan bahwa "y adalah elemen dari x oleh f" atau dapat juga dinyatakan : f(x) atau f : x ···> f(x) = y, himpunan A daerah kawan (kodomain), sedangkan peta di B dimanakan daerah hasil fungsi (renge).
Contoh :
Tentukan renge dari f(x) = x2 untuk -2 < x <2
Penyelesaian : Grafik f(x) = x2
Daerah hasil (renge) adalah 0 < x < 4 Komposisi Fungsi
Fungsi f : A ···> B dan g : B ···> C maka fungsi h : A···> C hal ini dapat ditentukan oleh rumus : h (x) = (g o f) = g (f(x)) Contoh ; Fungsi f : R ···> R dan g : R ···> R Dimana : F(x) = x2 - 3x dan g (x) = x – 1 Tentukan (gof) (x) dan (fog) (x) Penyelesaian : g(f(x) = g(x2 - 3x) (gof) (x) = g(x2 - 3x) = x2 - 3x-1 (fog) (x) = f (g(x)) = f (x-1) = (x-1)2 - 3 (x-1) = x2 –5x + 4 (gof) (2) = g (-2) = -2 -1 = -3 (fog) (2) = f(1) = -2 Dapat disimpulkan : (gof) (x) ≠(fog) (x)
Tidak berlaku hukum komutatif Berlaku hukum assosiatif
{go(foh)}(x) = {9gof) oh} (x) Fungsi invers
Perhatikan gambar di bawah ini :
f : A···> B, tanda panah dari diagram diatas diubah arahnya berlawanan dan disebut relasi dari B ke A. Misalnya : g :B···> A mka dikatakan merupakan fungsi invers dari f, dapat dituliskan f-1 (dibaca f invers), hal iini dapat berlaku jika setiap anggota B ialah peta tepat satu anggota dari A atau A dabn B berkorespondensi satu-satu.
Contoh :
1. f(x) = 2x tentukan f-1(x) y = 2x ...x = 1/2y f-1 (x) = 1/2x
2. Tentukan fungsi invers dari : F(x) = 3 2 + − x x dan g(x) = x – 2
smart learning center
- 23 - Penyelesaian : f(x) = 3 2 + − x x .. . y(x + 3) = x – 2 yx – x = -2 – 3y x(y -1) = -3y -2 maka : x = 1 2 3 − − − x x f- -1(x) = 1 2 3 − − − x x y = x -2 ... x = y + 2 g -1(x) = x + 23. Dari soal no. 2 tentukan : (gof)-1 (x) dan (f -1 o g -1) (x) g (f(x)) = g( 3 2 + − x x ) = 3 2 + − x x -2 = 3 6 2 2 + − − − x x x = 3 8 + − − x x y = 3 8 + − − x x xy + 3y = -x-8 x(y +1) = -3y -8 x = 1 8 3 + − − y y maka (gof)-1 (x) = 1 8 3 + − − x x (f -1 o g -1) (x) = f -1 (x + 2) = 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 3 − + − + − x x = 1 8 3 + − − x x
Sifat-sifat fungsi invers : 1. (fof -1)(x) = (f -1of) (x) 2. (gof)-1 (x) = (f -1 o g -1) (x) Contoh : 01. Jika f(x) = x+1 dan g(x) = x+1 Maka g [f(x)] adalah : (A) x+2 (B) x+1+1 (C) x+1 (D) x+1 +1 (E) 4 x+1+1 Penyelesaian : g [f(x)] = x+1 + 1 = 4 x+1+1
02. Jika f(x) = 3x dan g(x) = 3x, maka 3log [gof(x)] = ……….. (A) f(x) (D) 3f(x) (B) g(x) (E) 3log x (C) x UMPTN ‘90 Penyelesaian : (gof) = [(gof(x)] = 33x
3log [gof(x)] = 3log 33x 3x = f(x) (Jawab A)
BARISAN DAN DERET
Definisi Barisan :
Barisan bilangan : susunan berurut bilangan-bilan- gan yang mempunyai pola dan aturan tertentu. Tiap-tiap bilangan ini disebut dengan suku-suku barisan.
A. Barisan Aritmatika
Bentuk Umum a, a + b, a + 2b, a +3b
Dari bentuk umum ini, kita definisikan barisan arit- matika sbb :
* Barisan aritmatika ialah barisan yang mempunyai beda tetap antara setiap suku yang berurutan . * Bila diambil tiga suku berurutan, maka suku yang
ditengah sama dengan jumlah suku pertama dan ketiga dibagi dua.
Rumus :
Un = a + (n – 1) b Dimana : U = suku ke-n an = suku pertama b = beda Un – Un -1
B. Deret Aritmatika
Yaitu jumlah dari suku-suku barisan aritmatika Bentuk Umum : a + (a + b) + ( a + 2b) + ……… Rumus : Sn = 1/2 n (a + Un) = 1/2 n {2a + (n -1) b}
Dimana Sn = jumlah n suku pertama n = banyaknya suku
smart learning center
smart learning center
- 24 -
Bagi deret aritmatika yang banyak sukunya ganjil, misalny = 2n + 1, maka suku tengah :
Ut = Un + 1 = a + nb = 1/2 (a + U2n +1) dan S2n +1 = (2n + 1 ) Ut C. Barisan Geometri
Adalah suatu barisan yang apabila diambil tiga suku yang berurutan, maka kuadrat suku yang ditengah sama dengan hasil kali suku yang pertama dan ketiga.
Bentuk Umum : a, ar, ar2, ar2 rumus :
Un = a r n - 1 Dimana : Un = suku ke- n a = suku awal
r = ratio (perbandingan)
D. Deret Geometri
adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri bentuk umum : a + ar + ar2 + …. + arn – 1 Rumus : Sn = r 1 ) r a(2 n − − = 1 r ) r a( n 1 − − Dimana :
Sn = jumlah n suku pertama n = banyaknya suku
untuk deret geometri dengan banyak suku ganjil, misalnya = 2n + 1
maka :
suku tengah = Ut = Un + 1 = arn dan Ut = U1 . U2n + 1 + U2. U2n = U3. U2n – 1
E. DeretGeometri tak terhingga
Adalah deret geometri yang mempunyai suku-suku yang terhingga banyaknya. Jika suatu geometri tak terhingga mempunyai perbandingan dalam batas-batas.
-1 < r < 1 atau | r | < 1, maka Lim Sn
n ···> -
ada nilainya, dan deret dikatakan konvergen. Deret geometri dengan | r |>1, dikatakan divergen. Untuk deret geometri yang konvergen jumlah seluruh suku-sukunya ialah :
Sn = r 1 a − ( | r | < 1) Contoh Soal :
01. Jumlah n bilangan positif genap yang pertama adalah 306. Dari bilangan-bilangan genap tersebut, jumlah 5 bilangan terakhir adalah : (A) 180 (D) 150 (B) 170 (E) 140 (C) 160 UMPTN ‘90 Penyelesaian : Deret : 2 + 4 + 6 + Sn = 2 n[ 2a + (n – 1) b] 306 = 2 n[ 4 + (n – 1) 2] 306 = 2 n[ 2 + 2n) = n + n2 n2 + n – 306 = 0 ( n + 18(n – 17 ) = 0 n = -18n = 17 Jadi n = 17
Jumlah 5 bilangan terakhir,
S17 – S12 = 306 – 12/2 [4 + (12- 1 ) 2] = 306 – 156 = 150
Jawab : D
02. Lingkaran L1 yang berjari R adalah lingkaran luar sangkar B1. Lingkaran L2 menyinggung sisi - sisi B1. dan merupakan lingkaran luar bujur sangkar B2. Demikian seterusnya dioperoleh barisan tak terhingga bbujur sangkar- bujur sangkar B1,B2………
Jumlah luas semua bujur sangkar tersebut adalah : (A) 2R2 (D) 5R2 (B) 3R2 (E) 6R2 (C) 4R2 SIPENMARU ‘86 Penyelesaian : Lihat gambar
smart learning center
- 25 - Sisi B1 : B12 = R2 = R2 – 2RR cos 90° = 2R2 R1 = 2R Luas = ( 2 )2 R = 2R2 Sisi B2 : B2 = (1/2 2R)2 + (1/2 2R)2 – 0 B2 = R Luas = R2 Deret : 2R2 + R2 + …………. S = r 1 a − 1 1/2 2 2 − R = 4R2 Jawab : C EKSPONEN1. Eksponen Bilangan Bulat Pengertian :
Jika a∈R dan n∈B, maka : an = a . a . a ……….a
Dimana :
a = bilangan pokok dari pemangkatan a = pangkat ( eksponen)
Jika a, n ∈B ( bil. Bulat ) maka berlaku : 1. am : an = am + n 2. am : n = n m a a = am-n 3. (am)n = amn 4. (ab)n = anbn 5. a-n = 2 n 1 6. aº = 1: 1≠0 Contoh : 1. 2-3 = 3 2 1 = 8 1 = 0,125 2. 4 3 2 2 − = 2 3-(-4) = 23+4 = 27 = 256 II. Eksponen Bilangan Rational = Pangkat tak sebenarnya
= maksudnya bilangan dengan pangkat
RUMUS-RUMUS
Selain rumus 1 -6 di atas, maka berlaku juga : 1. n am = am/n ···> a1/2 = a 2. an = b < = = > a = n b Contoh : 1. (a5)-3/2 = . a5-3/2 = a -15/2 = 15/2 a 1 = 15 a 1 = a a 1 7 2. (0,0001) -1 0,04 = = (10 -4)-1 (0,2)2 = 104. (0,2) = 2000
III. PERSAMAAN EKSPONEN
Adalah suatu persamaan dengan variabelnya merupakan pangkat dari bilangan pokok dari yang telah diketahui.
Bentuk-bentuk persamaan eksponen 1. Bentuk af(x) = ag(X) Berarti : f(x) = g(x) 2. Bentuk af(x) = bf(x) ; (a ≠0) Berarti : f(x) = 0 3. Bentuk af(x) = bg(x) Berarti : f(x) . log a = g(x). log b 4. Bentuk f(x)g(x) = f(x)h(x) Berarti ada tiga kemungkinan (x)g(x) = f(x)h(x)
ada tiga kemungkinan yaitu: a. g(x) = h(x)
b. f(x) = 1
c. f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) keduanya harus genap
