Bab 7 dimensi tiga (1)

7. DIMENSI TIGA

A. JARAK

1) Garis Tegak Lurus Bidang

Sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang jika garis itu tegak lurus pada setiap garis di bidang itu.

2) Jarak Titik dan Garis

Jarak titik A dan garis g adalah panjang ruas garis AA’, dengan titik A’ merupakan proyeksi A pada g.

3) Jarak titik dan bidang

Jarak antara titik A dan bidang adalah panjang ruas garis AA’ dengan titik A’ merupakan proyeksi titik A pada bidang.

4) Jarak Antara Dua Garis Sejajar Menentukan jarak dua garis sejajar adalah dengan membuat garis yang tegak lurus dengan keduanya. Jarak kedua titik potong merupakan jarak kedua garis tersebut.

5) Jarak Garis dan Bidang yang Sejajar

Menentukan jarak garis dan bidang adalah dengan memproyeksikan garis pada bidang. Jarak antara garis dan bayangannya merupakan jarak garis terhadap bidang.

6) Jarak Antar titik sudut pada kubus

CATATAN PENTING

Pada saat menentukan jarak, hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat garis–garis

bantu sehingga terbentuk sebuah segitiga sehingga jarak yang ditanyakan akan dapat dengan

mudah dicari.

Kemampuan mengerjakan soal akan terus

71

diagonal sisi AC = a 2 diagonal ruang CE = a 3

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2011 PAKET 12

Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 8 cm. M titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah …

a. 4 6 cm b. 4 5 cm c. 4 3 cm d. 4 2 cm e. 4 cm Jawab : d

2. UN 2011 PAKET 46

Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk a cm. Jarak C ke bidang AFH adalah …

a. ₆1a 6 cm b. 1₃a 3 cm

c. ₃1a 6 _cm d. ₃2a 2 cm e. ₃2a 3 cm Jawab: e

3. UN 2010 PAKET A

Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P adalah titik potong AH dengan ED dan titik Q adalah titik potong FH dengan EG. Jarak titik B dengan garis PQ adalah …

a. 22cm b. 21cm c. 2 5cm d. 19 cm e. 3 2cm

Jawab : c

4. UN 2010 PAKET B

Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik A ke garis CF adalah …

a. 6 3cm b. 6 2cm c. 3 6cm d. 3 3cm e. 3 2cm

Jawab : e

5. UN 2009 PAKET A/B

Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk a cm. Titik K pada perpanjangan DA sehingga KA = ₃1 KD. Jarak titik K ke bidang BDHF adalah … cm

a. ₄1_a 2 b. ₄3_a 2 c. ₃2_a 3 d. ₄3_a 3 e. ₄5_a 3 Jawab : d

6. UN 2008 PAKET A/B

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Jarak titik F ke garis AC adalah … cm

a. 5 6 b. 5 2 c. 10 2 d. 10 3 e. 5 3

Jawab : a

SOAL PENYELESAIAN

7. UN 2007 PAKET A

Perhatikan gambar kubus di bawah ini! Jarak bidang ACH dan bidang BEG adalah

… cm

a. 3 3 d. 3

b. 3 2 e. 2 2

c. 2 3 Jawab : c

8. UN 2007 PAKET B

Perhatikan gambar kubus di bawah ini! Jika titik K adalah titik potong EG dan FH, maka jarak K ke garis BG adalah ……

a. 3 6 d. 6

b. 3 2 e. ₂3 2

c. ₂3 6 Jawab : c

9. UN 2006

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik G ke garis BD adalah …

a. 4 3cm d. 4 10cm b. 4 6 cm e. 8 3 cm c. 8 2 cm Jawab : b

SOAL PENYELESAIAN

10. UN 2005

a. 4 2 b. 4 3 c. 6 2 d. 6 3 e. 6 6 Jawab : b

11. UN 2004

Diketahui limas segi empat beraturan

T.ABCD dengan AB = 6 2cm dan AT = 10 cm. Apabila P titik tengah CT, maka jarak titik P ke diagonal sisi BD adalah … cm

a. 5 b. 6 c. 7 d. 3 2 e. 2 3 Jawab : a

SOAL PENYELESAIAN

12. UN 2004

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6cm, titik P terletak pada perpanjangan CG sehingga CP = 2CG. Panjang proyeksi CP pada bidang BDP adalah … cm

a. 14 d. 7 2

b. 9 2

e. 3

6

c. 8 2 Jawab : c

13. UAN 2003

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH. Jarak titik A ke garis CE adalah … cm

a. ₃2 2 _{d. 3}4 3 b. ₃4 2 _{e. 3}4 6 c. ₃2 3 Jawab : d

14. EBTANAS 2002

Panjang rusuk kubus ABCD. EFGH adalah a. jarak titik F ke bidang BEG sama dengan …

a. ₆a 3 _d. a₃ 2 b. ₃a 3 _{e. 2}a 3 c. 2

6

a _{Jawab : b}

B. SUDUT

1) Sudut Antara Garis dan Bidang

tersebut diproyeksikan pada bidang.

2) B. Sudut Antara Dua Bidang

Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang tegak lurus garis potong pada bidang  dan 

CATATAN PENTING

Pada saat menentukan sudut, hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan titik

potong antara dua obyek yang akan dicari sudutnya, kemudian buat garis-garis bantu

sehingga terbentuk sebuah segitiga.

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2011 PAKET 12

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG adalah …

a. 1₃ 6 b. ₂1 3 c. ₂1 2 d. 1₃ 2 e. ₃1 3 Jawab : a

SOAL PENYELESAIAN

2. UN 2011 PAKET 46

Diketahui limas segiempat beraturan

T.ABCD. Panjang rusuk alas 6 cm, dan rusuk tegak 12 cm. Nilai kosinus sudut antara TA dengan bidang alas adalah …

a. ₄1 2 b. ₂1

c. 1₃ 3

d. ₂1 2 e. ₂1 3 Jawab : a

3. UN 2010 PAKET A

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a satuan panjang. Titik T adalah titik tengah rusuk HG. Jika  adalah sudut antara TB dan ABCD, maka nilai tan  adalah …

a. ₂1 b. ₅2 5 c. 1 d. ₃2 3 e. 2 Jawab : b

4. UN 2010 PAKET B

Diketahui kubus ABCD.EFGH. Nilai sinus sudut antara CH dan bidang BDHF adalah … a. ₂1

b. ₃1 3 c. ₂1 2

d. ₂1 3 e. 3 Jawab : b

SOAL PENYELESAIAN

5. UN 2009 PAKET A/B

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan rusuk AB = 10cm, BC = 5cm dan CG = 10cm. Jika titik P pada pertengahan AB dan titik Q pada pertengahan CG, maka kosinus sudut yang dibentuk oleh PQ dengan alas adalah …

a. ₂1 3

b. 3

d. ₃2 6

e. 3 2

Jawab : c

6. UN 2008 PAKET A/B

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Jika  adalah sudut antara garis CG dengan bidang BDG, maka tan  = …

a. ₂1 2 d. 3

b. 1₂ 3 _{e. 2}1 6

c. 2 Jawab : a

7. UN 2007 PAKET A

Perhatikan limas beraturan T.ABCD berikut! Besar sudut antara bidang TAD dan TBC adalah

a. 90º b. 75º c. 60º d. 45º e. 30º Jawab : a

SOAL PENYELESAIAN

8. UN 2007 PAKET B

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm, besar sudut yang dibentuk garis BE dan bidang BDHF adalah …

a. 30º d. 90º

b. 45º e. 135º

c. 60º Jawab : a

9. UN 2006

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik p pada pertengahan CG. Jika  sudut antara bidang BDG dengan bidang BDP, maka nilai cos  = …

a. ₆1 2 d. ₃2 2 b. ₆1 6 e. ₃2 6

c. ₂1 2 Jawab : d 10. UN 2005

Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan tinggi 3cm dan panjang AB = 6 cm. Besar sudut antara TAD dan alas adalah…

a. 30º b. 45º c. 60º d. 90º e. 120º Jawab : a

SOAL PENYELESAIAN

11. UN 2004

Pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dan bidang ABCD adalah … a. 15º

b. 30º c. 45º d. 60º e. 75º Jawab : c

12. EBTANAS 2002

adalah sudut antara sisi FG dan bidang BGE, maka tan  = …

a. 3 d. ₂1 2

b. 2 e. 1₄ 3

c. ₂1 3 Jawab : d 13. UAN 2003

Perhatikan gambar limas beraturan T.ABCD. P, Q, R, dan S berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB, AD, BC, dan CD. Nilai sinus sudut antara bidang TPQ dengan bidang TRS adalah …

a. ₅2 d. ₅3 5

b. ₅3 e. ₅4 5

c. ₅4 Jawab : c

KUMPULAN SOAL INDIKATOR 19 UN 2011

Menghitung jarak dan sudut antara dua objek (titik, garis dan bidang) di ruang 1. Perhatikan gambar kubus di

bawah ini!

Jika titik K adalah titik potong EG dan FH, maka jarak K ke garis BG adalah ……

a. 3 6 c. ₂3 6 e. ₂3

2

b. 3 2 d. 6

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm.M pada pertengahan EG, jarak E ke garis AM adalah … cm

a. 4 2 c. 6 2 e. 6

6

b. 4 3 d. 6 3

3. Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 8 cm. M titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah … cm

a. 4

6

c. 4

3

e. 4

b. 4

5

d. 4

2

4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6cm, titik P terletak pada perpanjangan CG sehingga CP = 2CG. Panjang proyeksi CP pada bidang BDP adalah … cm

a. 14 c. 8 2 e. 3

6

b. 9 2 d. 7 2

5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Jarak titik F ke garis AC adalah … cm

a. 5 6 c. 10 2 e. 5 3 b. 5 2 d. 10 3

6. Perhatikan gambar kubus di bawah ini!

Jarak bidang ACH dan bidang BEG adalah … cm

a. 3 3 c. 2 3 e. 2 2

b. 3 2 d. 3

7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik G ke garis BD adalah … cm

a. 4 3 c. 8 2 e. 8 3 b. 4 6 d. 4 10

8. Perhatikan gambar kubus

ABCD.EFGH. Jarak titik A ke garis CE adalah … cm

9. Panjang rusuk kubus ABCD. EFGH adalah a. jarak titik F ke bidang BEG sama dengan …

10.Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk a cm. Jarak C ke bidang AFH adalah … cm

11.Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P adalah titik potong AH dengan ED dan titik Q adalah titik potong FH dengan EG. Jarak titik B

dengan garis PG adalah … cm

a.

22

c. 2

5

e. 3

2

b.

21

d.

19

12.Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik A ke garis CF adalah … cm

a. 6

3

c. 3

6

e. 3

2

b. 6

2

d. 3

3

13.Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD dengan AB = 6

2 cm dan AT = 10 cm. Apabila P

titik tengah CT, maka jarak titik P ke diagonal sisi BD adalah … cm

a. 5 c. 7 e. 2

3

b. 6 d. 3 2

14.Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk a cm. Titik K pada perpanjangan DA sehingga KA =

3

1 _{KD. Jarak titik K ke bidang}

BDHF adalah … cm

a.

₄1a 2

_c.

₃2a 3

_e.

15.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a satuan panjang. Titik T adalah titik tengah rusuk HG. Jika  adalah sudut antara TB dan ABCD, maka nilai tan 

adalah …

a. ₂1 c. 1 e. 2 b. ₅2 5 _{d. 3}2 3

16.Diketahui balok ABCD.EFGH dengan rusuk AB = 10cm, BC = 5cm dan CG = 10cm. Jika titik P pada pertengahan AB dan titik Q pada pertengahan CG, maka kosinus sudut yang dibentuk oleh PQ dengan alas adalah …

a. 1₂ 3 _{c. 3}1 6 _{e. 3 2}

b. 3 d. ₃2 6

17.Diketahui kubus ABCD.EFGH. Nilai sinus sudut antara CH dan bidang BDHF adalah …

a.

₂1 c. ₂1 2 _{e. 3}

b. 1₃ 3 _{d. 2}1 3

18.Panjang sisi kubus ABCD.EFGH adalah a.  adalah sudut antara sisi FG dan bidang BGE, maka tan

 = …

a. 3 c. ₂1 3 e. ₄1 3

b. 2 d. ₂1 2

19.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Jika  adalah sudut antara garis CG dengan bidang BDG, maka tan  = …

a. ₂1 2 _{c. 2 e. 2}1 6

b. 3

2

1 _{d. 3}

20.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan

rusuk 10 cm. Kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG adalah …

a. 1₃ 6 _{c. 2}

21.Perhatikan limas beraturan T.ABCD berikut!

Besar sudut antara bidang TAD dan TBC adalah

a. 90º c. 60º e. 30º b. 75º d. 45º

22.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm, besar sudut yang dibentuk garis BE dan bidang BDHF adalah …

a. 30º c. 60º e. 135º b. 45º d. 90º

23.Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan tinggi 3cm dan

panjang AB = 6 cm. Besar sudut antara TAD dan alas adalah…

a. 30º c. 60º e. 120º b. 45º d. 90º

24.Pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dan bidang ABCD adalah … a. 15º c. 45º e. 75º b. 30º d. 60º

25.Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD. Panjang rusuk alas 6 cm, dan rusuk tegak 12 cm. Nilai kosinus sudut antara TA dengan bidang alas adalah … a. ₄1 2 c. ₃1 3 e. ₂1 3

b. ₂1 d. ₂1 2

26.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik p pada pertengahan CG. Jika 

sudut antara bidang BDG dengan bidang BDP, maka nilai cos  = …

a. ₆1 2 c. ₂1 2 e. ₃2

6

C. VOLUM BANGUN RUANG

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2011 PAKET 12

Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC = 2 7 cm, dan CF = 8 cm. Volum prisma tersebut adalah …

a. 96 3 cm3 b. 96 2 cm3 c. 96 cm3 d. 48 3 cm3 e. 48 2 cm3 Jawab : d

2. UN 2011 PAKET 46

Limas segitiga T.ABCD dengan AB = 7 cm, BC = 5cm, AC = 4 cm, dan tinggi = 5 cm. Volum limas T.ABC tersebut adalah … a. ₃5 30 _cm3

b. ₃4 30_cm3 c. ₃2 30cm3 d. ₃2 15cm3 e. ₃1 15cm3 Jawab: b

3. UN 2010 PAKET A

Diketahui prisma tegak ABC. DEF. Jika panjang BC = 5cm, AB = 5cm, AC = 5 3 cm dan AD = 8cm. Volume prisma ini adalah …

a. 12 cm3 b. 12 3cm3 c. 15 3 cm3 d. 24 3 cm3 e. 50 3 cm3

Jawab : e

SOAL PENYELESAIAN

4. UN 2010 PAKET B

Kemampuan mengerjakan soal akan terus

A C

E

D F

B

Diketahui prisma tegak ABC. DEF. panjang rusuk-rusuk alas AB = 5 cm, BC = 7cm, dan AC = 8 cm. Panjang rusuk tegak 10 cm. Volume prisma tersebut adalah … a. 100 cm3

b. 100 3 cm3 c. 175 cm3 d. 200 cm3 e. 200 15 cm3

Jawab : b

5. UN 2009 PAKET A/B

Diberikan prisma tegak ABC. DEF. dengan panjang rusuk AB = 6cm, BC = 3 7cm, dan AC = 3cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah …

a. 55 2cm3 b. 60 2cm3 c. 75 3 cm3 d. 90 3 cm3 e. 120 3 cm3

Jawab : d

A C

E

D F

B

A C

E

D F

KUMPULAN SOAL INDIKATOR 21 UN 2011

Menentukan volume bangun ruang dengan menggunakan aturan sinus dan kosinus

1. Diketahui Limas tegak T.PQRS. Alas Limas PQRS berbentuk segi empat sembarang dengan

panjang PS = 5 cm, PQ = 12 cm, QR = 8 cm,  SPQ = 90o_{,  SQR =} 1500 _{Jika tinggi limas TP = 6 cm} maka Volum limas adalah…. cm3 a. 92 c. 200 e. 368 b. 112 d. 328

Limas segitiga T.ABCD dengan AB = 7 cm, BC = 5cm, AC = 4 cm, dan tinggi = 5 cm. Volum limas

T.ABC tersebut adalah … cm3 a. ₃5 30 _{c. 3}2 30 _e.

15

3 1

b. ₃4 30 d. ₃2 15

2. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Titik-titik P, Q, R, dan S berturut-turut adalah titik tengah rusuk BC, DC, FG dan DH. Volume limas A-PQRS

adalah… cm3

a. 32 c. 128 e. 256 b. 64 d. 196

3. Diketahui prisma tegak ABC. DEF. Jika panjang BC = 5cm, AB = 5cm, AC = 5 3cm dan AD = 8cm. Volume prisma ini adalah … cm3

4. Diketahui prisma tegak sisi tiga ABC.DEF dengan panjang sisi AB = 6 cm, AC = 8 cm dan besar sudut BAC = 30°. Jika tinggi prisma 12 cm maka volum prisma tersebut adalah … . cm³ a. 144 c. 288 e. 576

b. 144 3 d. 288 3

5. Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Segitiga ABC adalah alas prisma dengan panjang rusuk AC = 12 Cm , AB = 5 Cm dan  BAC = 150o _{. Jika tinggi prisma 10 Cm} maka Volume prisma adalah …. cm3

a. 150 c. 50 e. 10 b. 100 d. 30

6. Diketahui prisma tegak ABC. DEF. panjang rusuk-rusuk alas AB = 5 cm, BC = 7cm, dan AC = 8 cm. Panjang rusuk tegak 10 cm. Volume prisma tersebut adalah … cm3

7. Volum prisma tegak segi enam beraturan ABCDEF.KLMNOP dengan panjang rusuk alas 4 cm dan rusuk tegak 8 cm adalah …. cm3

a. 128 3 c. 192 3 e. 384 3

b. 192 d. 384 8. Diketahui prisma tegak

ABCD.EFGH. Alas prisma ABCD berbentuk jajar genjang dengan panjang AB = 5 Cm, BC = 4 Cm dan  ABC = 120o. _{Jika tinggi} prisma 12 Cm ,maka Volume prisma adalah …. cm3

a. 150 3 c. 100 3 e. 100 b. 120 3 d. 120

9. Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF dengan segitiga ABC sebagai alas. Panjang AB = 7 Cm ,

Kemampuan mengerjakan soal akan terus

AC = 5 Cm dan  ACB = 120o_{. Jika} tinggi prisma AD = 8 3 Cm ,maka Volume prisma adalah …. cm3

a. 30 3 c. 30 6 e. 90 6

b. 90 d. 90 3

10.Diketahui prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan panjang rusuk AB = 6 cm, BC = 3 7 cm dan AC = 3 cm . Jika tinggi prisma 20 cm maka Volume prisma adalah …. cm3

a. 55 2 c. 75 3 e. 120 3

b. 60 2 d. 90 3

11.Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC = 2 7 cm, dan CF =

8 cm. Volum prisma tersebut adalah … cm3

a. 96 3 c. 96 e. 48 2

b. 96 2 d. 48 3

12.Prisma tegak ABC.DEF dengan AB = AC = 8 cm dan AD 6 cm. Jika sudut antara DB dan DC adalah 600_{, maka volume prisma}

tersebut adalah .... cm3

a. 5 39 c. 30 39 e. 240 39

b. 30 29 d. 40 29

13.Prisma tegak ABC.DEF dengan AB = AC = 6 cm dan AD = 8 cm. Jika sudut antara DB dan DC adalah 60, maka volume prisma tersebut adalah ... cm3

a. 5 11 c. 40 11 e. 80 11

b. 8 11 d. 50 11

14.Diberikan prisma tegak ABC. DEF. dengan panjang rusuk AB = 6cm, BC = 3 7 cm, dan AC = 3cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah … cm3

a. 55 2 c. 75 3 e. 120 3