DIMENSI TIGA
Macam-macam Bangun Ruang :
1. Kubus :
Kubus ABCD. EFGH di atas mempunyai rusuk-rusuk yang panjangnya a.
Panjang diagonal bidang (AH) = a 2 Panjang diagonal ruang (BH) = a 3
Volume Kubus = a3 Luas Kubus = 6 a2
2. Balok:
Balok ABCD.EFGH di atas mempunyai panjang p, lebar l dan tinggi t.
Volume Balok = p x l x t
Luas Balok = 2 ( p.l + l . t + p. t )
3. Limas
Volume Limas = 3 1
luas alas x tinggi
Luas limas = luas alas + luas bidang sisi tegak
4. Kerucut
Kerucut di atas mempunyai panjang jari-jari alas r, tinggi t dan panjang garis pelukis s.
hubungan ketiganya dirumuskan sbb: s2 = r2 + t2
Volume Kerucut = 3 1
π r2 t
5 5. Bola
Bola di atas mempunyai jari-jari r (diameter = 2 1
r ) Volume Bola =
3 4
π
r3 Luas Bola = 4
π
r2
Pengertian titik, garis dan bidang
1. Titik
Titik tidak mempunyai ukuran yang berarti tidak mempunyai panjang, lebar atau tinggi sehingga titik dikatakan berdimensi nol. Titik ditandai dengan tanda noktah.
• • A B
2. Garis
• • • P Q R Perbedaan ruas garis dan garis:
Ruas garis PQ mempunyai panjang tertentu yaitu sebesar jarak antara titik P dan titik Q
Garis mempunyai panjang tak hingga, garis tidak mungkin digambar secara keseluruhan atau yang dapat igambar hanya sebagian saja (yang tergambar masih bisa diperpanjang.
Ruas garis PQ ≠ruas garis QR
garis PQ = garis QR karena bila diperpanjang akan mewakili garis yang sama
3.Bidang
D C
A B
Daerah dan Bidang:
Daerah : mempunyai luas tertentu Bidang : mempunyai luas tak terbatas , untuk menggambarkan bidang
hanya sebagian saja sebagai perwakilan
Daerah ABC ≠ daerah ABCD Bidang ABC = bidang ABCD
Jarak, Proyeksi dan Sudut
Jarak
1. Jarak antara dua titik • • A B
Jarak antara titik A dan B = panjang ruas garis AB
2. Jarak antara titik dan garis A
•
• g B
3. Jarak antara titik dan bidang
Jarak antara titik A dan bidang
α
= panjang ruas garis AB ( AB tegak lurus bidangα
)4. Jarak antara dua garis sejajar
garis g sejajar garis h
jarak garis g dan garis h = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g dan h)
5. Jarak antara dua garis bersilangan
garis g bersilangan dengan garis h
jarak garis g dan h = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g dan h) sama dengan point 3 di atas
6. Jarak antara garis dan bidang yang sejajar
garis g sejajar dengan bidang
α
jarak antara garis g dengan bidangα
= panjang ruas garis AB (AB tegak lurus bidangα
dan garis g)7. Jarak antara dua bidang yang sejajar
Bidang
α
sejajar dengan bidangβ
Jarak kedua bidang = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus dengan kedua bidang)
Proyeksi :
1. Proyeksi titik pada garis
2. Proyeksi titik pada bidang
Titik B adalah proyeksi titi A pada bidang
α
(AB tegak lurus dengan bidangα
)3. Proyeksi garis pada bidang a. Garis g menembus bidang
α
garis BA menembus bidang
α
di titik A titik B’ adalah proyeksi titik B pada bidangα
proyeksi garis BA pada bidangα
adalah = ruas garis AB’b. garis g sejajar dengan bidang
α
Titik A dan B terletak pada garis g
titk A’ dan B’ merupakan proyeksi titik A dan B pada bidang
α
Ruas garis A’B’ adalah proyeksi garis g pada bidang
α
Sudut
1. Sudut antar dua garis yang bersilangan
garis g dan h bersilangan g // g’ dan h // h’
∠(g,h) = ∠(g',h') = ∠(g, h') = ∠( g',h)
2. Sudut antara garis dan bidang
∠(BA, bidang
α
) = ∠(BA,AB’)3. Sudut antara dua bidang
(
α
,β
) adalah garis potong antara bidangα
dan bidangβ
.Contoh Soal :
UN2010 - 2012
1. UN2010
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm
dan T adalah titik tengah CG. Jarak titik E ke BT adalah ….
A.
Dari gambar terlihat Jarak titik E ke BT adalah EP
EP2 = EB2- BP2 = ET2- TP2
H G
Titik P adalah titik tengah AH maka AP = 2
3. Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah ….
A. 192 cm2 C. 162 cm2 E. 144 cm2
B. 172 cm2 D. 148 cm2
Jawab:
Luas segi n beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran r adalah:
Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah:
4. Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan
A. 55 2 cm3 C. 75 3 cm3 E. 120 3 cm3
B. 60 2 cm3 D. 90 3 cm3
Jawab:
D F
E
20
A 3 C
6 3 7 B
Volume = Lalas x tinggi
Mencari Lalas:
Lalas = 2 1
x jarak bidang datar x t
Lihat ∆ABC: B
6 t 3 7
A 3-x x C
t2 = 62 - (3-x)2 = (3 7)2 - x2 36 - (9 - 6x + x2) = 63 - x2
36 - 9 + 6x - x2 = 63 - x2
36 – 9 – 63 = - 6x
- 36 = - 6x
x = 6
t2= (3 7)2 - x2
= 63 – 36 = 27
t = 27 = 3 3
Lalas = 2 1
x jarak bidang datar x t = 2 1
. 3 . 3 3
= 2 9
3
Volume = Lalas x tinggi
= 2 9
3 . 20 = 90 3 cm3 Jawabannya adalah D
UN2011
5. Dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 8 cm, dibuat
segi-8 beraturan. Panjang sisi segi-8 tersebut adalah....
A. 128 64√3 cm D. 128 16√2 cm
B. 128 64√2 cm E. 128 16√3 cm
C. 128 16√2 cm
Jawab:
x
8cm 450 8cm 450
8 cm
ditanya = panjang sisi segi-8 = x = ...?
diketahui jari-jari = 8 cm
sudut antar sisi = = 450
pakai rumus aturan cosinus:
b a
α
2
a = b2+ c2 - 2bc cos
α
b = 8 cm ; c = 8 cm ;
α
= 450 ; x = ax2 = 82 + 82 – 2 . 8 . 8 cos 450
X2 = 64 + 64 – 128 √2 = 128 - 64√2
x= 128 − 64√2 cm
Jawabannya adalah B
UN2011
6. Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang AB= 4 cm , BC = 6 cm, AC = 2√7 cm,
dan CF = 8 cm. Volume prisma tersebut adalah ...
A. 96 √3 cm3 B. 96 √2 cm3 C. 96 cm3 D. 48 √3 cm3 E. 48 √2 cm3
Jawab:
Trigonometri dan Dimensi Tiga F
8
D E
C 2√7 6
α
A 4 BVolume Prisma = Luas alas x tinggi
Luas alas = luas segitiga =
2
1 AB.BC. sin α cari
α
dengan aturan cosinus.2
a = b2+ c2 - 2bc cos
α
AC2 = AB2 + BC2 – 2 AB. BC cos
α
cos
α
=.
= ( √ )
. . = = 48
24 =
2 1
α
= 600Volume Prisma = Luas alas x tinggi
=
2 1
AB.BC. sin
α
x tinggi=
2 1
.4.6. sin 600 x 8 = 12 .
2 1
√3 . 8 = 48 √3 cm3
Jawabannya adalah D
UN2011
7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah...
A. 4√6 cm C. 4√3 cm E. 4 cm B. 4√5 cm D. 4√2 cm
Jawab:
Dimensi Tiga
H G
E M F
8 D O C
A 8 B
EH = 8 cm
EM = EH = . 8 = 4 cm
AM = √ ! + "
= √8 + 4
= √64 + 16 = √80 = 4√5 cm
jarak titik M ke AG = OM = √!" − !$
AG = 8 √3 cm (diagonal ruang)
AO = AG = 4 √3 cm
= %(4√5 ) − (4√3 )
= √80 − 48 = √32 = 4√2 cm
UN2011
8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG adalah....
A. √6 B. √3 C. √2
D. √3 E. √2
Jawab:
Dimensi Tiga
H G
E F
α
10 D C
O
A 10 B
G O
α
α
O C C G
CG = 10 cm AC = 10 √2 cm
OC = AC = 5 √2 cm
OG = √$& + &' = %(5√2) + 10
= √50 + 100 = √150 = 5√6 cm
cos α = ()()
*+,+-()() .)-)/0 = 1
21 = 3√ = √ = √ √
√ = √6 = √6
Jawabannya adalah A
UN2012
9. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. Jika P titik tengah CG, maka jarak titik P dengan garis HB adalah ....
A. 8√5 cm C. 6√3 cm E. 6 cm B. 6√5 cm D. 6√2 cm
Jawab:
H G
E F P
O
D C
A 12 cm B
P
H O B
ditanya OP =...?
BH = 12√3 ; GP = CP = ½ . 12 = 6 HP2 = GH2 + GP2
= 122 + 62= 144 + 36 = 180 HP = √180 = 6 √5 = BP
∆ BHP adalah sama kaki HO = BO = ½ . 12√3 = 6 √3
OP = (56) − (5$)
= %(6 √5) − (6 √3)
=√180 − 108 = √72 = 6√2 cm
UN2012
10. Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST. Dengan
rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak 3√2 cm. Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah ....
A. √3 D. 2 √2
B. √2 E. 2 √3
C. √3
Jawab:
P
3√2 cm
T S O
Q 3 cm R
Alas limas
T S
O O
T α O Q R
Tan α = 7
8 = 29
2: OP = √6; − $;
panjang diagonal RT = panjang diagonal QS
= 3 x √2 = 3√2
PT = 3√2 ; OT = ½ diagonal RT = ½ . 3√2 = √2
OP = %(3√2 ) − ( √2 )
= %18 −
= % = %3 = √6
Tan α = 7
8 = 292: = < √
< √ = √ √ = % = √3