Ringkasan matematika sma ipa Dimensi Tiga 2

(1)

DIMENSI TIGA

Macam-macam Bangun Ruang :

1. Kubus :

Kubus ABCD. EFGH di atas mempunyai rusuk-rusuk yang panjangnya a.

Panjang diagonal bidang (AH) = a 2 Panjang diagonal ruang (BH) = a 3

Volume Kubus = a3 Luas Kubus = 6 a2

2. Balok:

Balok ABCD.EFGH di atas mempunyai panjang p, lebar l dan tinggi t.

Volume Balok = p x l x t

Luas Balok = 2 ( p.l + l . t + p. t )

3. Limas

Volume Limas = 3 1

luas alas x tinggi

Luas limas = luas alas + luas bidang sisi tegak

4. Kerucut

Kerucut di atas mempunyai panjang jari-jari alas r, tinggi t dan panjang garis pelukis s.

hubungan ketiganya dirumuskan sbb: s2 = r2 + t2

Volume Kerucut = 3 1

π r2 t

(2)

5 5. Bola

Bola di atas mempunyai jari-jari r (diameter = 2 1

r ) Volume Bola =

3 4

_π

r3 Luas Bola = 4

π

r2

Pengertian titik, garis dan bidang

1. Titik

Titik tidak mempunyai ukuran yang berarti tidak mempunyai panjang, lebar atau tinggi sehingga titik dikatakan berdimensi nol. Titik ditandai dengan tanda noktah.

• • A B

2. Garis

• • • P Q R Perbedaan ruas garis dan garis:

Ruas garis PQ mempunyai panjang tertentu yaitu sebesar jarak antara titik P dan titik Q

Garis mempunyai panjang tak hingga, garis tidak mungkin digambar secara keseluruhan atau yang dapat igambar hanya sebagian saja (yang tergambar masih bisa diperpanjang.

Ruas garis PQ ≠ruas garis QR

garis PQ = garis QR karena bila diperpanjang akan mewakili garis yang sama

3.Bidang

D C

A B

Daerah dan Bidang:

Daerah : mempunyai luas tertentu Bidang : mempunyai luas tak terbatas , untuk menggambarkan bidang

hanya sebagian saja sebagai perwakilan

Daerah ABC ≠ daerah ABCD Bidang ABC = bidang ABCD

Jarak, Proyeksi dan Sudut

Jarak

1. Jarak antara dua titik • • A B

Jarak antara titik A dan B = panjang ruas garis AB

2. Jarak antara titik dan garis A

•

• g B

(3)

3. Jarak antara titik dan bidang

Jarak antara titik A dan bidang

α

= panjang ruas garis AB ( AB tegak lurus bidang

α

)

4. Jarak antara dua garis sejajar

garis g sejajar garis h

jarak garis g dan garis h = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g dan h)

5. Jarak antara dua garis bersilangan

garis g bersilangan dengan garis h

jarak garis g dan h = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g dan h) sama dengan point 3 di atas

6. Jarak antara garis dan bidang yang sejajar

garis g sejajar dengan bidang

α

jarak antara garis g dengan bidang

α

= panjang ruas garis AB (AB tegak lurus bidang

α

dan garis g)

7. Jarak antara dua bidang yang sejajar

Bidang

α

sejajar dengan bidang

β

Jarak kedua bidang = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus dengan kedua bidang)

Proyeksi :

1. Proyeksi titik pada garis

(4)

2. Proyeksi titik pada bidang

Titik B adalah proyeksi titi A pada bidang

α

(AB tegak lurus dengan bidang

α

)

3. Proyeksi garis pada bidang a. Garis g menembus bidang

α

garis BA menembus bidang

α

di titik A titik B’ adalah proyeksi titik B pada bidang

α

proyeksi garis BA pada bidang

α

adalah = ruas garis AB’

b. garis g sejajar dengan bidang

α

Titik A dan B terletak pada garis g

titk A’ dan B’ merupakan proyeksi titik A dan B pada bidang

α

Ruas garis A’B’ adalah proyeksi garis g pada bidang

α

Sudut

1. Sudut antar dua garis yang bersilangan

garis g dan h bersilangan g // g’ dan h // h’

∠(g,h) = ∠(g',h') = ∠(g, h') = ∠( g',h)

2. Sudut antara garis dan bidang

∠(BA, bidang

α

) = ∠(BA,AB’)

3. Sudut antara dua bidang

(

α

,

β

) adalah garis potong antara bidang

α

dan bidang

β

.

(5)

Contoh Soal :

UN2010 - 2012

1. UN2010

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm

dan T adalah titik tengah CG. Jarak titik E ke BT adalah ….

A.

Dari gambar terlihat Jarak titik E ke BT adalah EP

EP2 = EB2- BP2 = ET2- TP2

(6)

H G

Titik P adalah titik tengah AH maka AP = 2

3. Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah ….

A. 192 cm2 C. 162 cm2 E. 144 cm2

B. 172 cm2 D. 148 cm2

Jawab:

Luas segi n beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran r adalah:

Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah:

4. Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan

(7)

A. 55 2 cm3 C. 75 3 cm3 E. 120 3 cm3

B. 60 2 cm3 D. 90 3 cm3

Jawab:

D F

E

20

A 3 C

6 3 7 B

Volume = L_alas x tinggi

Mencari L_alas:

L_alas = 2 1

x jarak bidang datar x t

Lihat ∆ABC: B

6 t 3 7

A 3-x x C

t2 = 62 - (3-x)2 = (3 7)2 - x2 36 - (9 - 6x + x2) = 63 - x2

36 - 9 + 6x - x2 = 63 - x2

36 – 9 – 63 = - 6x

- 36 = - 6x

x = 6

t2= (3 7)2 - x2

= 63 – 36 = 27

t = 27 = 3 3

L_alas = 2 1

x jarak bidang datar x t = 2 1

. 3 . 3 3

= 2 9

3

Volume = L_alas x tinggi

= 2 9

3 . 20 = 90 3 cm3 Jawabannya adalah D

UN2011

5. Dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 8 cm, dibuat

segi-8 beraturan. Panjang sisi segi-8 tersebut adalah....

A. 128 64√3 cm D. 128 16√2 cm

B. 128 64√2 cm E. 128 16√3 cm

C. 128 16√2 cm

Jawab:

x

8cm 450 8cm 450

8 cm

ditanya = panjang sisi segi-8 = x = ...?

diketahui jari-jari = 8 cm

sudut antar sisi = = 450

pakai rumus aturan cosinus:

b a

α

(8)

2

a = b2+ c2 - 2bc cos

α

b = 8 cm ; c = 8 cm ;

α

= 450 ; x = a

x2 = 82 + 82 – 2 . 8 . 8 cos 450

X2 = 64 + 64 – 128 √2 = 128 - 64√2

x= 128 − 64√2 cm

Jawabannya adalah B

UN2011

6. Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang AB= 4 cm , BC = 6 cm, AC = 2√7 cm,

dan CF = 8 cm. Volume prisma tersebut adalah ...

A. 96 √3 cm3 B. 96 √2 cm3 C. 96 cm3 D. 48 √3 cm3 E. 48 √2 cm3

Jawab:

Trigonometri dan Dimensi Tiga F

8

D E

C 2√7 6

α

A 4 B

Volume Prisma = Luas alas x tinggi

Luas alas = luas segitiga =

2

1_{AB.BC. sin α} cari

α

dengan aturan cosinus.

2

a = b2+ c2 - 2bc cos

α

AC2 = AB2 + BC2 – 2 AB. BC cos

α

cos

α

=

.

= ( √ )

. . = = ₄₈

24 =

2 1

α

= 600

Volume Prisma = Luas alas x tinggi

=

2 1

AB.BC. sin

α

x tinggi

=

2 1

.4.6. sin 600 x 8 = 12 .

2 1

√3 . 8 = 48 √3 cm3

Jawabannya adalah D

UN2011

7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah...

A. 4√6 cm C. 4√3 cm E. 4 cm B. 4√5 cm D. 4√2 cm

Jawab:

Dimensi Tiga

H G

E M F

8 D O C

A 8 B

EH = 8 cm

EM = EH = . 8 = 4 cm

AM = √ ! + "

= √8 + 4

= √64 + 16 = √80 = 4√5 cm

jarak titik M ke AG = OM = √!" − !$

AG = 8 √3 cm (diagonal ruang)

AO = AG = 4 √3 cm

= %(4√5 ) − (4√3 )

= √80 − 48 = √32 = 4√2 cm

(9)

UN2011

8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG adalah....

A. √6 B. √3 C. √2

D. √3 E. √2

Jawab:

Dimensi Tiga

H G

E F

α

10 D C

O

A 10 B

G O

α

O C C G

CG = 10 cm AC = 10 √2 cm

OC = AC = 5 √2 cm

OG = √$& + &' = %(5√2) + 10

= √50 + 100 = √150 = 5√6 cm

cos α = ()()

*+,+-()() .)-)/0 = 1

21 = 3√ = √ = √ √

√ = √6 = √6

Jawabannya adalah A

UN2012

9. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. Jika P titik tengah CG, maka jarak titik P dengan garis HB adalah ....

A. 8√5 cm C. 6√3 cm E. 6 cm B. 6√5 cm D. 6√2 cm

Jawab:

H G

E F P

O

D C

A 12 cm B

P

H O B

ditanya OP =...?

BH = 12√3 ; GP = CP = ½ . 12 = 6 HP2 = GH2 + GP2

= 122 + 62= 144 + 36 = 180 HP = √180 = 6 √5 = BP

∆ BHP adalah sama kaki HO = BO = ½ . 12√3 = 6 √3

OP = (56) − (5$)

= %(6 √5) − (6 √3)

=√180 − 108 = √72 = 6√2 cm

(10)

UN2012

10. Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST. Dengan

rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak 3√2 cm. Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah ....

A. √3 D. 2 √2

B. √2 E. 2 √3

C. √3

Jawab:

P

3√2 cm

T S O

Q 3 cm R

Alas limas

T S

O O

T α O Q R

Tan α = 7

8 = 29

2: OP = √6; − $;

panjang diagonal RT = panjang diagonal QS

= 3 x √2 = 3√2

PT = 3√2 ; OT = ½ diagonal RT = ½ . 3√2 = √2

OP = %(3√2 ) − ( √2 )

= %18 −

= % = %3 = √6

Tan α = 7

8 = 292: = <_√

<_√ = _√ √ = % = √3