Daftar Isi... i
Daftar Gambar ... ii
A. Titik, Garis dan Bidang ... 5
1. Titik ... 5
2. Garis ... 5
3. Bidang ... 5
B. Kedudukan Titik, Garis dan Bidang ... 7
1. Kedudukan Titik... 7
2. Kedudukan Garis ... 10
3. Kedudukan Dua Bidang ... 15
C. Proyeksi ... 19
1. Proyeksi Titik ... 19
2. Proyeksi Garis ... 19
3. Proyeksi Dua Bidang ... 21
D. Jarak ... 23
1. Titik ... 23
2. Garis ... 29
3. Bidang ... 31
E. Sudut ... 33
1. Sudut Antar Dua Buah Garis... 33
2. Sudut Antara Garis Dan Bidang ... 37
3. Sudut Antara Dua Bidang ... 40
F. Ragam Soal Aplikasi Dimensi Tiga... 433
G. Irisan bidang dengan bangun ruang ... 477
Ringkasan Materi ... 49
Uji Kompetensi ... 52
Kunci Jawaban ... 55
Glosarium ... iv
Gambar 7. 1 Titik ... 5
Gambar 7. 2 Garis ... 5
Gambar 7. 3 Bidang ... 5
Gambar 7. 4 Bidang α , α , α dan α ... 6
Gambar 7. 5 Dua titik membentuk garis ... 6
Gambar 7. 6 Garis terletak pada bidang ... 7
Gambar 7. 7 Tiga titik membrntuk bidang ... 7
Gambar 7. 8 Burung ... 7
Gambar 7. 9 Garis melalui titik ... 7
Gambar 7. 10 Rel kereta api ... 8
Gambar 7. 11 Titik di luar garis ... 8
Gambar 7. 12 Lapangan bola ... 8
Gambar 7. 13 (a) Titik dalam bidang (b) Titik di luar bidang ... 9
Gambar 7. 14 Jam dinding ... 10
Gambar 7. 15 Garis berimpit ... 10
Gambar 7. 16 Rel kereta api ... 10
Gambar 7. 17 Garis sejajar ... 11
Gambar 7. 18 Titik dan garis sejajar ... 11
Gambar 7. 19 Garis berpotongan ... 11
Gambar 7. 20 Garis bersilangan ... 12
Gambar 7. 21 Garis dalam bidang ... 13
Gambar 7. 22 Garis sejajar bidang ... 13
Gambar 7. 23 Garis menembus bidang ... 13
Gambar 7. 24 Titik tembus garis menembus bidang ... 14
Gambar 7. 25 Bidang saling berimpit ... 15
Gambar 7. 26 Dua bidang saling sejajar ... 16
Gambar 7. 27 Dua bidang berpotongan ... 16
Gambar 7. 28 Tiga bidag berpotongan ... 17
Gambar 7. 29 Proyeksi titik pada garis ... 19
Gambar 7. 30 Ilustrasi proyeksi titik pada bidang ... 19
Gambar 7. 32 Proyeksi garis miring terhadap garis lurus ... 20
Gambar 7. 33 Proyeksi garis pada bidang ... 20
Gambar 7. 34 Proyeksi garis pada bidang ... 21
Gambar 7. 35 Proyeksi dua bidang ... 21
Gambar 7. 36 Jarak dua titik ... 24
Gambar 7. 37 Jarak titik ke garis ... 25
Gambar 7. 38 Jarak titik dan bidang ... 27
Gambar 7. 39 Jarak antar dua garis sejajar ... 29
Gambar 7. 40 Jarak dua garis bersilangan ... 30
Gambar 7. 41 Jarak garis dan bidang ... 31
Gambar 7. 42 Jarak dua bidang sejajar ... 31
Gambar 7. 43 Tiang bendera ... 33
Gambar 7. 44 Sketsa tiang bendera ... 34
Gambar 7. 45 Sudut dua garis berpotongan ... 34
Gambar 7. 46 Sudut dua garis bersilangan ... 34
Gambar 7. 47 Sketsa proyeksi pohon ... 37
Gambar 7. 48 Sudut garis menembus bidang ... 38
Gambar 7. 49 Buku ... 40
Gambar 7. 50 Sudut bidang berpotongan ... 41
Kompetensi Dasar:
Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu:
Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.
Mendeskripsikan konsep jarak dan sudut antar titik, garis dan bidang melalui demonstrasi menggunakan alat peraga atau media lainnya.
Menggunakan berbagai prinsip bangun datar dan ruang serta dalam menyelesaikan masalah nyata berkaitan dengan jarak dan sudut antara titik, garis dan bidang.
Pengalaman belajar:
Melalui pembelajaran materi geometri, siswa memperoleh pengalaman belajar dalam: Menemukan konsep dan prinsip geometri melalui pemecahan masalah otentik Berkolaborasi memecahkan masalah aktual dengan pola interaksi sosial kultur Berpikir tingkat tinggi dalam menyelidiki dan mengaplikasikan konsep dan prinsip-prinsip bangun datar dan ruang dalam geometri untuk memecahkan
masalah otentik.
Pada bab ini, kita akan membahas ruang tiga dimensi. Topik yang akan dibahas meliputi cara menggambar objek ruang dimensi tiga atau bangun ruang. Menggambar bangun ruang membutuhkan imajinasi dan visualisasi yang cukup tinggi. Bab ini akan menyajikan kemampuan dasar untuk menggambar bangun ruang seperti kubus, balok dan limas. Pelajaran menggambar pada bab ini akan berbeda dengan pembelajaran pada kelas kesenian karena tujuan dari pelajaran menggambar pada bab ini adalah untuk memahami geometri matematis. Kemampuan menggambar ini akan dibutuhkan terutama bagi mereka yang bercita-cita pada bidang yang membutuhkan teori dan materi dalam ruang dimensi tiga seperti arsitektur, liberal arts dan teknik sipil. Bagi orang-orang yang tidak tertarik dengan bidang yang demikian, dapat mempertimbangkan pembahasan dalam bab ini sebagai sebuah latihan simulasi untuk kemampuan imajinasi dan visualisasi mereka.
Titik
Garis
Bidang
Jarak
Sudut
Bentuk Bumi dapat dianggap sebagai bola, sedangkan kutub Utara dan kutub Selatan bumi dapat dianggap sebagai ujung-ujung garis tengah dari bola yang disebut poros. Lingkaran-lingkaran yang melewati kutub Utara dan Selatan disebut garis bujur. Bidang yang memotong bumi tegak lurus pada poros untuk membentuk lingkaran yang disebut garis Lintang. Coba bayangkan bumi sebagai sebuah bola karet. Kemudian potong bola menjadi setengah lingkaran dan regangkan bola untuk membentuk sebuah lembaran persegi panjang. Lingkaran garis bujur akan menjadi garis vertikal yang sejajar dan lingkaran garis lintang menjadi garis horizontal yang sama dan sejajar. Garis-garis ini mempermudah untuk mengetahui posisi dan jarak dari suatu tempat ke tempat lain. Ini merupakan salah satu aplikasi ilmu ukur ruang (dimensi tiga).
Tahukah Anda?
Menghitung luas permukaan dan volume bangun ruang sisi datar (kubus, balok, prisma dan limas)
1. Perbandingan panjang rusuk kubus . dan panjang rusuk kubus . adalah 3 : 4. Jika jumlah volume kedua kubus = , maka hitunglah panjang rusuk masing-masing kubus tersebut.
2. Tentukan luas permukaan dan volume dari limas berikut!
3. Rani diminta ibunya untuk mengisi penuh sebuah bak mandi yang berbentuk balok dengan ukuran panjang, lebar dan tinggi berturut-turut adalah . , dan . Di saat yang bersamaan Rani juga harus pergi ke sebuah tempat untuk menyelesaikan urusan lainnya dan dia akan kembali lagi setelah 4 jam. Jika Rani dapat mengisi air sebanyak . liter dalam 5 detik, akankah air meluap dari bak mandi setelah Rani kembali dari urusannya?
4. Tentukan luas permukaan dan volume dari prisma berikut!
Answer Key
1. dan
2. . dan .
3. Hampir penuh dan belum meluap 4. dan
A B
C D
T
�
Dalam ilmu Geometri, terdapat beberapa istilah atau sebutan yang tidak memiliki definisi (undefined terms), antara lain titik dan garis.
1.
Titik
Titik tidak memiliki ukuran, biasanya dideskripsikan menggunakan tanda noktah dan penamaannya menggunakan huruf kapital seperti titik A, titik B atau titik
C seperti gambar 7.1.
2.
Garis
Garis merupakan dibentuk dari kumpulan titik-titik dan merupakan kurva lurus yang tidak memiliki ujung maupun pangkal. Artinya garis dapat diperpanjang kedua arahnya. Namun, garis lurus yang mempunyai pangkal dan ujung, disebut segmen garis dan dilambangkan dengan ̅̅̅̅ yang artinya panjang garis AB terbatas (gambar 7.2). Selain menggunakan segmen garis, nama garis juga dapat ditentukan dengan menyebutkan nama wakil garis tersbut dengan memakai huruf kecil contohnya �, ℎ, .
3.
Bidang
Sebuah bidang datar mempunyai luas tak terbatas. Dalam geometri, sebuah bidang hanya digambar dengan perwakilannya yang disebut wakil bidang. Wakil sebuah bidang mempunyai dua ukuran yaitu panjang dan lebar. Wakil bidang dapat berbentuk persegi panjang, persegi atau jajar genjang.
Bidang-bidang di atas disebut bidang atau dapat juga disebut dengan bidang .
Postulat Garis dan Bidang
Sebuah bidang dapat dibentuk melalui:
A
Gambar 7. 1 Titik Gambar 7. 1 Garis
1. Tiga buah titik yang tidak segaris. Pada gambar 7. 4a titik , dan yang tidak terletak pada garis yang sama membentuk bidang .
2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis tersebut. Contohnya sebuah titik yang terletak di luar garis � dapat membentuk bidang (gambar 7. 4b). 3. Dua buah garis yang saling berpotongan. Pada gambar 7. 4c Garis � dan garis
ℎ saling berpotongan dapat membentuk bidang .
4. Dua garis yang sejajar. Pada gambar 7. 4d garis � sejajar dengan garis ℎ mampu membentuk bidang .
Postulat atau aksioma adalah pernyataan yang kebenarannya diterima tanpa ada pembuktian. Dalam geometri terdapat tiga buah postulat yang penting yang diperkenalkan oleh Euclides (± SM), seorang ahli matematika dari Alexandria. Berikut ini adalah postulat-postulat Euclides:
Postulat 1
Melalui dua buah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.
(a) (b)
�
ℎ
�
(c)
ℎ
�
(d)Gambar 7. 3 Bidang , , dan
�
Postulat 2
Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.
Postulat 3
Melalui tiga buah titik sembarang hanya dapa dibuat sebuah bidang.
1.
Kedudukan Titik
a. Kedudukan Titik Terhadap Garis
Perhatikan gambar 7. 8 misalkan kabel listrik adalah suatu garis dan burung adalah titik, maka posisi burung terhadap kabel listrik merupakan sebuah titik yang terletak pada garis. Sehingga dapat disimpulkan bahwa
Titik P terdapat pada garis � jika titik P dilalui garis �
Gambar 7. 5 Garis terletak pada bidang
Gambar 7. 6 Tiga titik membentuk bidang
Gambar 7. 8 Burung
Jika dimisalkan rel kereta api merupakan suatu garis dan dua orang pada gambar adalah suatu titik maka dapat disimpulkan bahwa dua orang tersebut tidak melalui atau berada dalam rel kereta api. Contoh tersebut merupakan ilustrasi dari suatu titik yang tidak berada pada garis. Sehingga dapat disimpulkan bahwa
Titik P berada di luar garis � jika titik P tidak di lalui garis �
Contoh
Simak kubus . di samping dengan ̅̅̅̅ sebagai wakil garis ℎ. Sebutkan kedudukan titik-titik sudut kubus . terhadap garis ℎ!
Penyelesaian:
i. Titik-titik sudut kubus yang terletak pada garis ℎ adalah titik A dan titik B
ii. Titik-titik sudut kubus yang berada di luar garis ℎ adalah titik-titik C, D, E, F, G dan H.
b. Kedudukan Titik Terhadap Bidang
Gambar di samping merupakan ilustrasi dari kedudukan titik terhadap bidang dengan bola sebagai titik dan lapangan bola sebagai bidang.
Sehingga dapat di simpulkan
A B
C
E F
G H
D
Gambar 7. 10 Rel kereta api
Gambar 7. 11 Titik di luar garis
Jika titik A dapat dilalui oleh bidang maka titik A terletak pada bidang (gambar 7. 13a). Jika titik A tidak dapat dilalui bidang maka
titik A berada di luar bidang (gambar 7. 13b).
Contoh
Pada kubus . , bidang sebagai perwakilan bidang . Tentukan kedudukan titik-titik sudut kubus . terhada bidang !
Penyelesiaan:
i. Titik-titik sudut kubus yang terletak pada bidang adalah titik-titik C, D, G dan H.
ii. Titik-titik sudut kubus yang berada di luar bidang adalah titik-titik A, B, F dan E.
Latihan 7. 1
1. Diketahui kubus . , rusuk mewakili garis dan mewakili garis . Sebutkan titik-titik sudut
kubus yang:
a. Terletak pada garis b. Berada di luar garis c. Terletak pada garis
d. Berada di luar garis
2. Diketahui limas beraturan . seperti gambar di samping. Sebutkan:
a. Titik-titik sudut limas yang terletak pada rusuk-rusuk alas
A B
C
E F
G H
D
A B
C D
T
O
(a) (b)
b. Titik-titik sudut limas yang terletak pada bidang alas
c. Titik-titik sudut limas yang berada di luar bidang-bidang sisi d. Titik-titik sudut limas yang berada di luar bidang-bidang alas
3. Diketahui kubus . , bidang mewakili bidang dan bidang mewakili bidang . Sebutkan titik-titik sudut kubus yang: a. terletak pada bidang
b. berada di luar bidang
c. terletak pada bidang
d. berada di luar bidang
2.
Kedudukan Garis
a. Kedudukan garis terhadap garis lain (kedudukan dua buah garis)
Terdapat empat kemungkinan kedudukan dua buah garis dalam sebuah bangun ruang yaitu dua buah garis yang saling berpotongan, berimpit, sejajar dan bersilangan.
1) Berimpit (Coinciding)
Gambar jam dinding disamping menunjukkan pukul 12.00 dan jarum panjang berimpit dengan jarum pendek sehingga membentuk satu garis. Ini merupakan contoh kedudukan garis yang berhimpit. Dari gambar jam dinding di samping dapat disimpulkan bahwa dua garis dikatakan saling berimpit ketika
suatu garis terletak pada garis lain atau sebaliknya dan membentuk satu garis lurus.
Pada gambar di atas garis k dan l saling berimpit jika setiap titik
yang terdapat pada garis termuat di dalam garis begitu juga sebaliknya. Dalam sajian geometri garis berimpit direpresentasikan sebagai garis yang sama (identik).
2) Sejajar (Parallel)
Dua buah garis dikatakan sejajar apabila kedua garis tersebut terletak pada satu bidang datar yang tidak akan berpotongan meskipun diperpanjang tanpa batas dan jarak antar kedua garis tersebut selalu sama. Contoh garis sejajar dapat ditemukan pada lintasan rel kereta api. Pada lintasan rel kereta api, jarak antara dua rel akan
Gambar 7. 14 Jam dinding
Gambar 7. 16 Rel kereta api
selalu tetap dan tidak pernah saling berpotongan antara satu dengan lainnya. Apabila dua buah rel kereta api dianggap sebagai dua buah garis, maka dapat digambarkan seperti:
Garis dan garis di atas dikatakan sejajar, karena kedua garis
terletak pada bidang yang sama dan apabila kedua garis diperpanjang sampai tak berhingga maka kedua garis tidak akan pernah berpotongan. Garis sejajar dinotasikan dengan “//”.
Hukum dua garis sejajar
Sebuah titik yang berada di luar sebuah garis, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu.
Pada gambar 7. 18, tiik A berada di luar garis . Melalui titik A dan
garis dapat dibuat bidang . Kemudian melalui titik A dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis .
3) Berpotongan (Intersecting)
Garis-garis yang terletak pada bidang datar dikatakan berpotongan apabila garis-garis tersebut terletak pada bidang yang sama dan memiliki sebuah titik persekutuan yang disebut titik potong.
Garis p, q, dan r saling berpotongan karena memiliki titik potong di titik O dan terletak pada bidang yang sama yaitu bidang .
Gambar 7. 17 Garis sejajar
A
Gambar 7. 18 Titik dan garis sejajar
Titik Potong
O
4) Bersilangan (Skew)
Pada gambar di bawah, garis a dan b adalah garis bersilangan karena garis a dan b bukanlah garis yang sejajar dan kedua garis terletak pada sisi atau bidang yang berbeda. Apabila kedua garis diperpanjang, kedua garis tersebut tidak akan pernah berpotongan. Jadi, dua buah garis dikatakan bersilangan jika kedua garis tidak memiliki titik persekutuan, tidak sejajar, dan tidak terletak pada bidang yang sama.
Contoh
Pada Kubus . rusuk mewakili garis ℎ. Tentukanlah kedudukan rusuk-rusuk kubus . terhadap garis ℎ!
Penyelesaian:
a. Rusuk-rusuk kubus yang berpotongan dengan garis ℎ adalah , , dan
b. Rusuk-rusuk kubus yang sejajar dengan garis ℎ adalah . , dan
c. Rusuk-rusuk yang berimpit dengan garis ℎ adalah rusuk itu sendiri d. Rusuk-rusuk yang bersilangan dengan garis ℎ adalah , , dan .
b. Kedudukan garis terhadap bidang
Terdapat tiga kemungkinan kedudukan sebuah garis terhadap sebuah bidang dalam bangun ruang.
1) Garis terletak pada bidang
A B
C
E F
G H
D
�
Jika sebuah garis terletak pada bidang , maka sekurang-kurangnya terdapat dua titik persekutuan
pada garis tersebut yang terletak pada bidang .
2) Garis sejajar dengan bidang Sebuah garis dikatakan sejajar
dengan sebuah bidang jika memenuhi salah satu syarat berikut: i. Garis tersebut tidak berada pada sebuah bidang, atau
ii. Garis dan bidang tersebut tidak mempunyai titik persekutuan, atau iii. Garis tersebut sejajar dengan garis lain yang terletak pada bidang
tersebut.
Pada gambar di samping, garis sejajar dengan bidang karena garis tidak terletak pada bidang , garis tidak mempunyai titik persekutuan dengan bidang serta garis sejajar dengan garis yang terletak pada bidang .
Hukum garis sejajar dengan bidang
Jika garis � sejajar dengan bidang , maka bidang memuat sebuah garis yang sejajar dengan garis �.
3) Garis yang menembus atau memotong bidang Sebuah garis � dikataan memotong
bidang jika garis � tidak terletak pada bidang dan tidak sejajar dengan bidang . Pada kasus ini, garis � dan bidang mempunyai sebuah titik persekutuan yang disebut titik potong atau titik tembus.
A
B
Gambar 7. 21 Garis dalam bidang
Gambar 7. 22 Garis sejajar bidang
�
A
Contoh
Diketahui kubus . dengan sebagai perwakilan bidang . Tentukan kedudukan rusuk-rusuk kubus . terhadap bidang .
Penyelesaian:
a. Rusuk-rusuk kubus yang terletak pada bidang adalah rusuk-rusuk , , dan .
b. Rusuk-rusuk kubus yang sejajar pada bidang adalah rusuk-rusuk , , dan .
c. Rusuk-rusuk kubus yang menembus pada bidang adalah rusuk-rusuk , , dan .
c. Titik Tembus Garis dan Bidang yang Berpotongan
Jika sebuah garis memotong sebuah bidang maka ada sebuah titik tembus.
Titik tembus antara garis � dan bidang (garis � menembus bidang ) dapat
Tentukan garis perpotongan bidang dan bidang , dengan cara menghubungkan dua
buah titik persekutuan antara bidang dan bidang Garis potong bidang dan bidang
2. Diketahui kubus . . Sebutkan kedudukan diagonal-diagonal sisi kubus terhadap rusuk !
3. Diketahui kubus . . Sebutkan kedudukan rusuk-rusuk kubus terhadap bidang !
4. Diketahui kubus . . Sebutkan kedudukan diagonal-diagonal sisi kubus terhadap bidang !
5. Pada kubus . gambarlah titik tembus antara diagonal ruang dengan:
a. Bidang diagonal b. Bidang diagonal
c. Bidang diagonal .
3.
Kedudukan Dua Bidang
Terdapat tiga kemungkinan kedudukan sebuah bidang terhadap bidang lain dalam sebuah bangun ruang, yaitu:
1) Dua bidang saling berimpit
Bidang dan bidang dikatakan berimpit jika bidang dan bidang memiliki bidang daerah persekutuan
dan setiap titik yang terletak pada bidang juga terletak pada bidang dan sebaliknya. Gambar 7. 25 bidang dan bidang mempunyai bidang daerah persekutuan yaitu bidang .
2) Dua bidang sejajar
Bidang dan bidang dikatakan sejajar jika bidang dan bidang tidak memiliki titik persekutuan.
Kasus I: Jika titik dan terletak pada bidang , dan kedua titik tersebut memiliki jarak yang sama ke bidang maka bidang dan adalah dua bidang yang sejajar.
Kasus II: Dua bidang dapat disebut sejajar jika dua garis yang saling
berpotongan pada bidang sejajar dengan dua garis yang saling berpotongan pada bidang . Garis dan terletak pada bidang saling berpotongan dan garis , sejajar dengan garis , yang juga saling
berpotongan yang terletak di bidang . Sehingga dapat disimpulkan bahwa bidang sejajar dengan bidang .
3) Dua bidang yang saling berpotongan
Bidang dan bidang dikatakan saling berpotongan jika antara bidang dan bidang tidak sejajar dan kedua bidang tersebut memiliki tepat sebuah garis persekutuan (garis potong) antara bidang dan bidang yang simbolkan dengan ( , .
Hukum dua bidang yang saling berpotongan
Jika bidang dan sejajar dengan bidang dilalui oleh bidang lain (bidang ), maka bidang juga dilalui oleh bidang lain tersebut (bidang .
4) Perpotongan antara tiga bidang atau lebih
Gambar 7. 26 Dua bidang sejajar
, ,
,
Jika perpotongan antara dua bidang selalu membentuk sebuah garis, maka perpotongan antara tiga bidang atau lebih dapat membentuk sebuah garis atau sebuah titik. Misalkan bidang , , , saling berpotongan maka terdapat tiga kemungkinan kedudukan garis persekutuan dari bidang-bidang tersebut yaitu
berpotongan pada sebuah titik, berpotongan pada sebuah garis dan
berpotongan pada tiga buah garis sejajar.
Gambar 7. 28a menunjukkan bidang , dan saling berpotongan dan memiliki garis persekutuan yaitu garis , , . Pada gambar 7. 28b bidang , , dan saling berpotongan dan memiliki sebuah titik persekutuan yaitu titik . Pada gambar 7. 28c bidang , dan saling berpotongan dan memiliki tiga buah garis perekutuan yang sejajar yaitu , , , dan , .
Contoh
Diketahui kubus . dengan bidang sisi sebagai perwakilan bidang . Tentukan kedudukan bidang-bidang sisi
kubus terhadap bidang !
Penyelesaian:
a. Bidang sisi kubus yang berimpit dengan bidang adalah bidang sisi .
b. Bidang sisi kubus yang sejajar dengan bidang
adalah bidang sisi . A B
C
E F
G H
D
A B
C D
T
, ,
,
,
,
(a) (b) (c)
c. Bidang sisi kubus yang berpotongan dengan bidang adalah bidang sisi
, , dan .
Latihan 7. 3
1. Diketahui kubus . . Tentukanlah kedudukan bidang-bidang kubus .
terhadap bidang ! Kemudian tentukanlah garis persekutuan antara bidang dan bidang
2. Perhatikan limas di samping. Tentukan kedudukan titik T terhadap bidang !
3. Diketahui balok . dengan panjang = , lebar = dan tinggi = . Tunjukan bahwa bidang sejajar dengan bidang !
4. Pada kubus . dengan titik dan masing-masing terletak pada pertengahan rusuk dan . Tentukan hubungan antara bidang:
a. dengan b. dengan c. dengan
5. Perhatikan prisma di samping. Tentukan: a. Bidang-bidang yang sejajar
b. Perpotongan dari bidang , dan ! 6. Perhatikan limas segi lima T. ABCD di bawah ini!
Tentukan bidang-bidang yang sejajar dengan bidang !
A B
C D
T
C
B
D E
F
A
T
E
A B
1.
Proyeksi Titik
a. Proyeksi titik terhadap garis
Proyeksi titik terhadap garis � adalah titik ′ sehingga garis ′ ⊥ �. b. Proyeksi titik terhadap bidang
Sebagai gambarannya adalah setiap objek di muka bumi pada saat tengah hari serta matahari tepat membentuk sudut ° terhadap permukaan bumi akan mempunyai bayangan sebagaimana ilustrasi berikut ini. Pada bidang datar sebagaimana ilustrasi di atas proyeksi adalah bayangan yang terbentuk dari suatu bangun pada bidang datar dengan arah bayangan dengan bidang datar tersebut sebagai bidang proyeksi terbentuk sudut ° jika dilukiskan.
Cara memproyeksikan titik terhadap bidang adalah sebagai berikut:
2.
Proyeksi Garis
a. Proyeksi garis terhadap garis lain.
Step 1 Step 2 Step 3
Misalkan titik B berada di luar bidang α akan diproyeksikan terhadap bidang
Tarik garis lurus (garis �) dari titik yang tegak lurus degan bidang . Sehingga garis � ⊥ .
Garis � menembus bidang di titik ′. ′ adalah proyeksi titik terhadap
bidang .
Gambar 7. 29 Proyeksi titik pada garis
Gambar 7. 30 Ilustrasi proyeksi titik pada bidang
Langkah-langkah memproyeksikan garis miring terhadap garis lurus garis adalah sebagai berikut:
Perhatikan gambar 7. 32 Jika garis dengan panjang membentuk sudut � dengan garis �, maka panjang proyeksi yang adalah garis ′ ′ adalah
�.
b. Proyeksi garis terhadap bidang
Proyeksi sebuah garis pada sebuah bidang dapat diperoleh dengan memproyeksikan titik-titik garis tersebut ke bidang seperti gambar 7. 33.
langkah-langkah memproyeksikan garis pada bidang adalah sebagai berikut:
Step 1 Step 2 Step 3
Gambar proyeksi garis terhadap garis sehingga
′ adalah proyeksi ke garis
Gambar proyeksi garis B terhadap garis sehingga ′ adalah proyeksi ke garis
Gambar 7. 32 Proyeksi garis miring terhadap garis lurus
B′ B
A′ A
Kasus I: Jika garis tegak lurus terhadap bidang , maka proyeksi garis terhadap bidang hanyalah sebuah titik yang terletak pada bidang (gambar 7. 34a).
Kasus II. Jika sebuah garis menembus bidang (gambar 7. 34b), maka langkah-langkah meproyeksikannya adalah sebagai berikut:
3.
Proyeksi Dua Bidang
Misalkan segitiga diproyeksikan pada bidang maka langkah-langkah memproyeksikannya adalah:
Step 1 Step 2 Step 3
Proyeksikan titik terhadap bidang . ′ adalah proyeksi titik
Proyeksikan titik
Gambar 7. 34 (a) Proyeksi garis tegak lurus pada bidang (b) Proyeksi garis menembus bidang
Contoh
Kubus . memilikipanjang rusuk cm. Tentukan panjang proyeksi
a. Garis ke bidang b. Garis ke bidang c. Bidang ke bidang
Penyelesaian:
a. Proyeksi ke bidang adalah garis , panjang = cm b. Proyeksi ke bidang adalah titik , panjang = cm
c. Proyeksi bidang pada bidang adalah garis . Luas dari proyeksi =
1. Gambar segmen garis yang mempunyai panjang 5 cm dan membentuk sudut sebesar ° dengan garis g. Gambarkan juga proyeksi garis pada garis �, kemudian tentukan panjang proyeksinya!
2. Gambarkan limas persegi panjang . :
a. Tentukan di mana letak proyeksi titik pada bidang ? b. Gambarkan proyeksi garis terhadap bidang
c. Gambarkan proyeksi bidang terhadap bidang . Jika = , tentukan luas dari proyeksi tersebut.
Latihan 7.4
1. Diberikan kotak . . Tentukan: a. Proyeksi garis dan terhadap bidang b. Proyeksi garis pada bidang
2. Diketahui kubus . . carilah proyeksi dari:
a. Garis pada bidang b. Garis pada bidang
A B
C
E F
G H
c. Garis pada bidang
3. Diberikan sebuah kubus . dengan titik terletak di tengah garis . Tentukan proyeksi dari:
a. terhadap bidang alas b. terhadap bidang
c. AF terhadap bidang
4. Pada kubus . dan titik adalah titik tengah dari garis . Gambarkan proyeksi:
a. Garis dengan bidang alas b. Garis terhadap bidang
5. Diketahui kubus . dengan rusuk 6 cm. Hitung panjang proyeksi garis pada bidang !
Pada kajian geometri analitis, konsep jarak yang dipelajari adalah jarak antara dua titik menggunakan koordinat titik kartesius sehingga dapat dicari dengan menggunakan rumus
= √ − + −
Selain jarak antar dua titik, dapat dihitung pula jarak antara sebuah titik dengan sebuah garis jika diketahui persamaan garis tersebut menggunakan rumus
= |
√ ++ +|
Teknis perhitungan jarak dalam geometri ruang lebih banyak menggunakan Teorema Phytagoras dan sifat-sifat bangun ruang. Konsep jarak yang pernah dipelajari pada geometri analitik tersebut selanjutnya diperluas dalam geometri menjadi menghitung jarak antara
i. Dua titik, titik ke garis dan titik ke bidang ii. Dua garis dan garis ke bidang
iii. Dua bidang.
1.
Titik
Jarak merupakan garis terpendek yang diperoleh dari menggambarkan dua buah titik. Oleh karena itu, jarak antara dua titik (titik dan titik ) adalah panjang dari segmen garis .
Contoh
Sebuah kubus . dengan rusuk 6 cm. Jika titik merupakan titik perpotongan antara diagonal sisi , hitunglah panjang antara titik dan titik .
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa ∆ merupakan segitiga siku-siku dengan siku-siku di titik ( ⊥ bidang ).
= +
= +
= + √
=
= √ cm
Rumah Asri, Benny dan Claudia berada dalam sebuah pedesaan. Rumah Benny terletak di sebelah Timur dari rumah Asri dan jarak antara rumah Benny dan Asri adalah 4 km, sedangkan rumah Claudia terletak 3 km di bagian Utara dari rumah Benny. Tentukan jarak sesungguhnya antara rumah Asri dan Claudia!
b. Jarak antara titik dan garis
Jika suatu titik dilalui oleh garis atau bidang, apakah titik tersebut memiliki jarak terhadap garis dan apakah titik memiliki jarak terhadap bidang?
A B
C
E F
G H
D
Ambil alat ukur sejenis meteran dan gunakan alat ukur tersebut untuk mengukur jarak antara titik penalti terhadap titik yang berada di garis gawang pada lapangan sepak bola yang ada di sekolahmu. Lakukan hal ini berulang-ulang hingga mendapatkan jarak minimum antara titik penalti dengan garis gawang tersebut! Buatlah tabel yang memuat hasil pengukuran tersebut kemudian buatlah kesimpulan dari hasil yang diperoleh!
Jika sebuah titik terletak di luar garis, maka ada jarak antara titik ke garis tersebut.
Kasus I: Jika titik dan garis � terletak pada bidang dan titik berada di luar garis � (gambar 7. 37a), maka jarak antara titik dan garis � dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut
Step 1 Step 2 Step 3 ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah berikut:
Step 1 Step 2 Step 3
Contoh
Sebuah kotak . mempunyai ukuran panjang 8 cm, lebar 6 cm dan tinggi 6 cm. Titik merupakan titik perpotongan antara diagonal sisi permukaan atas kotak tersebut yaitu dan . Titik dan berturut-turut adalah titik tengah dari garis dan garis . Tentukan jarak antara:
a. Titik dan garis b. Titik dan garis
Penyelesaian:
a. Titik berada di luar bidang sehingga jarak antara titik dan garis dapat dicari dengan menggunakan langkah-langkah berikut:
(i) Gambar garis ⊥ (ii) Gambar garis ⊥
(iii) merupakan jarak antara titik dengan garis .
. Oleh karena itu, jarak antara titik dan garis adalah garis
.
= +
= + =
= √ =
c. Jarak antar titik dan bidang
Step 1 Step 2 Step 3
Perhatikan gambar kubus . di samping! Titik terletak pada bidang . Bidang dan
Latihan 7. 5
1. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk 5 cm. Titik pertengahan rusuk . Hitunglah jarak:
a. Titik ke titik b. Titik ke titik
c. Titik ke titik d. Titik ke titik
2. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk 5 cm. Titik pertengahan rusuk . Hitunglah jarak:
a. Titik A ke garis terletak pada pusat kubus tersebut. Hitunglah jarak antara: a. Titik dan
b. Titik dan garis
9. Kubus . memiliki panjang rusuk 8 cm. Titik merupakan titik tengah . Hitunglah jarak antara:
a. Titik dan titik b. Titik dan garis
10. Diketahui kubus . dengan rusuk . Titik adalah suatu titik pada perpanjangan garis sehingga = . Jika bidang memotong bidang atas sepanjang , maka tentukan panjang !
11. Pada kubus . dengan rusuk . Tentukan panjang proyeksi garis pada bidang !
12. Diketahui kubus . dengan rusuk . adalah titik tengah rusuk . Tentukan jarak antara titik ke garis !
13. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk . Jika merupakan proyeksi titik pada bidang , maka tentukanlah jarak titik ke titik ! 14. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk . Jika titik P berada pada
perpanjangan garis sehingga = , maka tentukanlah jarak titik ke garis !
15. Panjang rusuk kubus . adalah 6 cm. Titik dan masing-masing terletak pada rusuk dan . Panjang = dan = . Hitunglah jarak antara:
a. Titik dan titik b. Titik dan garis
c. Titik dan bidang
2.
Garis
a. Jarak antara dua garis sejajar
Jika dua garis sejajar, garis � dan garis ℎ terletak pada bidang yang sama bidang maka garis memotong garis � dan ℎ secara tegak lurus dengan titik potong berturut-turut dan ′, maka jarak antara titik � dan titik ℎ adalah panjang dari segmen garis ′.
�
′
b. Jarak antara dua garis bersilangan
Kasus I: Pada gambar 7. 40a, garis � dan ℎ saling bersilangan maka untuk mencari jarak antara garis � dan ℎ adalah sebagai berikut:
Step 1 Step 2 Step 3 Step 4 Step 5 yang memuat garis �
yang tegak lurus
Gambar garis yang melalui dan tegak lurus terhadap garis �. Asumsikan garis ini memotong garis � pada
titik .
merupakan jarak antara garis �
dan ℎ yang saling bersilangan tegak
lurus.
c. Jarak antara garis sejajar dan sebuah bidang
Pada gambar 7. 41 garis � berada di luar bidang dan sejajar dengan bidang . Untuk mencari jarak antara garis � dengan bidang adalah sebagai berikut:
�
Gambar 7. 40 Jarak dua garis bersilangan
Step 1 Step 2 Step 3
Pilih sebuah titik pada garis � misalnya titik
Gambar sebuah garis dari titik tegak lurus terhadap bidang dan menembus bidang di titik
′. (Titik ′ adalah proyeksi pada bidang )
Segmen garis ′ merupakan jarak garis � ke bidang
.
3.
Bidang
Jika bidang sejajar dengan bidang . Maka untuk menentukan jarak antara dua bidang sejajar tersebut adalah sebagai berikut:
Step 1 Step 2 Step 3
Pilih sebuah perwakilan titik pada
pada bidang misalnya titik .
Dari titik ditarik garis yang tegak lurus terhadap bidang dan menembus bidang di titik
. (Titik adalah proyeksi titik pada bidang )
Segmen garis merupakan jarak dari bidang ke
bidang . P′
� P
Gambar 7. 41 Jarak garis dan bidang
Contoh
Balok . mempunyai panjang 8 cm, lebar 4 cm dan tinggi 6 cm. tentukan jarak antara:
a. Garis dan b. dan bidang c. Bidang dan d. Garis dan
Penyelesaian:
a. dan terletak dalam bidang
. sejajar dengan sehingga jarak antara dan dapat diwakili oleh panjang garis .
= √ + = √
∴ Jarak antara garis dan adalah √ .
b. Garis sejajar dengan bidang . Garis sejajar dngan pada bidang . Jarak antara garis dan bidang dapat diwakili dengan jarak = .
∴ Jarak antara garis dan bidang adalah .
c. Bidang sejajar dengan . Segmen garis mewakili jarak antara dua bidang ini dikarenakan ⊥ .
∴ Jarak antara bidang dan adalah .
d. Garis dan saling bersilangan. Garis sejajar dengan dan memotong pada titik . garis dan membentuk sebuah bidang . Garis tegak lurus terhadap bidang dan memotong dengan tegak lurus garis sehingga dapat mewakili jarak garis dan . ∴ Jarak antara garis dan adalah .
Latihan 7. 6
1. Diketahui balok . dengan panjang = , = dan = . Hitunglah jarak antara:
a. Garis dan
A B
C
E F
G H
D
b. Garis dan bidang
c. Bidang dan .
2. Pada kubus . dengan rusuk . Tentukan panjang proyeksi pada bidang !
3. Pada balok . diketahui pajang = = . Jika panjang = , maka hitunglah panjang !
4. Pada kubus . , diketahui rusuk kubus adalah 8 cm dan titik , titik , titik , serta titik beruturut-turut merupakan titik tengah dari garis
, , dan . Hitunglah jarak antara garis: a. dan
b. dan
c. dan bidang
5. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah jarak antara:
a. Garis dan
b. Garis dan bidang
c. Bidang dan .
6. Pada kubus . dengan panjang rusuk √ cm. Hitunglah jarak antara bidang dan !
Pada bidang dua dimensi, sudut hanya dapat dibentuk oleh dua garis yang tidak sejajar. Dalam ruang dimensi tiga, konsep sudut diperbesar menjadi sudut antar dua garis yang berpotongan, dua garis yang bersilangan, sudut antara garis dengan bidang dan sudut antara dua buah bidang.
1.
Sudut Antar Dua Buah Garis
Pada gambar 7. 43 sebuah tiang bendera disambung dan diikat menjadi sebuah tiang. Tiang tersebut berdiri tegak dengan bantuan tali yang diikat pada tongkat dan ditarik dengan kuat ke pasak yang telah ditancapkan ke tanah ke tiga arah. Melalui gambar 7. 43 dapat disketsakan menjadi sudut antar dua garis perhatikan gambar 7. 44.
adalah tiang bendera dengan dan adalah tali pandu. Dari gambar 7. 44, jelas dapat dilihat bahwa sudut yang di bentuk oleh dan
adalah dan sudut yang dibentuk oleh dan adalah .
Kasus I: Jika garis �berimpit atau sejajar dengan ℎ, maka sudut yang terbentuk sama dengan nol.
Kasus II: Apabila garis � dan ℎ berada pada bidang yang sama dan
memotong pada titik (gambar 7. 45), maka sudut yang terbentuk oleh garis � dan ℎ ditulis ∠ �, ℎ adalah ∠ atau ∠ ′ ′.
Cara menentukan sudut antar dua garis berpotongan adalah sebagai berikut:
Step 1 Step 2
Ambil sembarang titik pada garis � dan sembarang titik pada garis
ℎ. Dengan garis � dan ℎ berpotongan di titik
Besar sudut ditetapkan sebagai ukuran sudut antara
garis � dan garis ℎ yang berpotongan
Gambar 7. 44 Sketsa tiang bendera
′
′
�
ℎ
��
′
ℎ
�
�(a) (b)
Gambar 7. 45 Sudut dua garis berpotongan
� �′
ℎ′ ℎ
Kasus III: Gambar 7. 46 menunjukkan garis � dan garis ℎ bersilangan
garis � menembus bidang di titik dan garis ℎ terletak pada bidang . Sudut antar garis � yang bersilangan dengan garis ℎ dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut:
Note: lebih praktis memilih titik dari salah satu garis (garis � atau garis ℎ
Contoh
Melalui titik , buatlah garis �′ sejajar dengan
garis � dan garis ℎ′ sejajar dengan garis ℎ
Sudut yang dibentuk oleh garis �′ dan garis ℎ′ merupakan sudut antar garis
Penyelesaian: dengan garis yang terdapat pada bidang . ∠ , = ∠ . Perhatikan ∆ di berikut!
� = √ = √ � = tan− √
� = , °
Latihan 7. 7
1. Diketahui kubus . , tentukan sudut antara garis a. dan sudut yang terbentuk antara:
a. Garis dan garis b. Garis dan garis
c. Garis dan garis
4. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk 12 cm. Hitunglah tangen sudut yang terbentuk antara garis dan !
5. Pada kubus . dengan adalah sudut antara diagonal dan rusuk . Tentukan nilai !
6. Pada kubus . panjang rusuk 8 cm. adalah sudut antara garis dengan garis diagonal ruang . Tentukan nilai � dan !
8. Sebuah prisma segitiga . dengan alas berupa segitiga sama sisi dengan sisi 6 cm dan panjang rusuk tegak 10 cm. Tentukan besar sudut yang dibentuk antara: a. Garis dan
b. Garis dan
9. Pada balok . , titik merupaka titik . Jika panjang = , =
dan = . Tentukan besar sudut antara garis dan !
10. Balok . dengan panjang rusuk = , = , dan = . Tentukan nilai cosinus sudut yang terbentuk antara garis dan !
2.
Sudut Antara Garis Dan Bidang
Gambar 7. 47 menunjukkan sebuah pohon yang tumbuh miring di sebuah lapangan. Pada pukul 12.00, matahari akan bersinar tepat di atas pohon tersebut sehingga bayangan pohon tersebut merupakan proyeksi ortogonal pada bidang (tegak lurus). Misalkan garis adalah pohon tersebut dan merupakan proyeksi pada bidang, dengan demikian sudut yang dibentuk oleh dengan bidang adalah sudut yang dibentuk dengan proyeksinya pada bidang tersebut yaitu ∠ .
Kemungkinan kedudukan antara garis dan bidang adalah:
A B
C G
F E
Pohon tumbuh miring
Bayangan Pohon Matahari (Pukul 12.00)
Proyeksi
a. Jika sebuah garis terletak pada bidang, maka sudut yang terbentuk adalah sebesar °
b. Jika sebuah garis sejajar dengan sebuah bidang, maka sudut yang terbentuk juga sebesar °
c. Jika sebuah garis memotong atau menembus sebuah bidang maka terdapat sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang itu. Langkah-langkah dalam menentukan sudut yang terbentuk oleh garis yang memotong bidang adalah sebagai berikut:
Contoh
lurus terhadap bidang . Garis ℎmenembus bidang di titik ′
b. ∠ , = ∠ , yaitu sudut yang dibentuk oleh garis dan garis , sebab garis
adalah proyeksi pada bidang ∆ merupakan segitiga siku-siku di dengan =
√ , = √ dan = . Dengan mengambil sinus, kosinus dan tangen sudut pada ∆ maka diperoleh:
2. Diketahui kubus . dengan rusuk 10cm. Hitunglah: a. ∠ ,
6. Pada limas tegak beraturan . dengan rusuk alas 4 cm dan rusuk tegaknya 6 cm. Hitunglah ∠ , !
7. Diketahui limas segi empat beraturan . dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak √ cm. Hitunglah tan ∠ , !
9. Diketahui kubus . dengan rusuk 4 cm. titik adalah titik perpanjangan sehingga = . Hitunglah tan ∠ , !
10. Balok . dengan panjang = = dan = . Titik terletak pada sehingga : = : dan titik terletak pada sehingga
: = : . Hitunglah tan ∠ , !
11. adalah persegi panjang pada bidang horizontal dal adalah persegi panjang pada bidang vertikal. Panjang = , = dan = . Jika dan berturut-turut sudut antara dengan bidang dan bidang
, tentukan;ah tan . tan !
3.
Sudut Antara Dua Bidang
Sebuah buku terbuka seperti gambar 7. 49. Jika sampul depan buku dimisalkan bidang dan sampul belakang buku adalah bidang berpotongan pada tulang buku yang dimisalkan garis dan disketsakan seperti gambar (), maka akan ada sudut yang terbentuk antara sampul depan buku dengan sampul belakang buku. Pada gambar () garis dan garis tegak lurus degan garis . Dengan demikian, sudut yang dibentuk oleh bidang dan bidang adalah sudut yang dibentuk oleh garis dan .
Kemungkinan kedudukan antara dua bidang adalah:
a. Pada dua bidang saling berimpit, sudut yang terbentuk adalah sebesar ° b. Sudut yang terbentuk antara dua bidang yang sejajar sebesar °
c. Jika dua buah bidang saling berpotongan maka terdapat ukuran sudut yang dibentuk oleh kedua bidang tersebut.
Tulang buku Sampul depan
Sampul belakang
Langkah-langkah dalam menentukan sudut yang terbentuk oleh dua bidang, bidang dan bidang adalah sebagai berikut:
Contoh
Kubus . dengan panjang rusuk 4 cm. Tentukan besar ∠ , !
Penyelesaian:
Bidang dan saling memotong pada garis . Pilih titik yang merupakan titik tegah garis sehingga ⊥ (diagonal persegi ), ⊥
(tinggi atau membagi ∆ menjadi dua bagian yang sama)
∠ , = ∠ =
tan = √ = √ = tan− √ = , °
∠ , = , °.
Step 1 Step 2 Step 3
Ambil sembarang titik pada garis perpotongan ,
Melalui titik , buatlah garis pada bidang dan garis
pada bidang yang masing-masing tegak lurus terhadap garis potong ,
Sudut
merupakan sudut yang terbentuk antara bidang
dan bidang
A B
C
E F
G H
D ,
Latihan 7. 9
1. Kubus . dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah
a. ∠ ,
b. ∠ ,
c. tan ∠ ,
2. Sebuah balok dengan = , = dan = . Hitunglah:
a. ∠ ,
b. ∠ ,
c. ∠ ,
3. Diketahui titik dan berturut-turut adalah titik tengah rusuk tegak dan . Hitunglah sin ∠ , !
4. Pada limas segi empat . , bidang alas berbentuk persegi panjang
dengan = , = dan = = = = .
Hitung:
a. tan ∠ ,
b. c�s ∠ ,
5. Bidang empat beraturan . dengan panjang rusuk-rusuknya 6 cm. Hitunglah c�s ∠ , !
6. Diketahui limas beraturan . dengan titik adalah titik potong diagonal dan merupakan tinggi limas. Panjang = dan
= √ . Tentukan besar ∠ , !
7. Balok . dengan alas berbentuk persegi. Jika = , = , dan adalah ∠ , mka hitunglah sin !
8. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk 12 cm. Hitung
sin ∠ , )!
9. Pada kubus . dengan dan berturut-turut adalah titik tengah dan . Hitunglah tan ∠ , !
Proyeksi dan jarak titik ke garis, antar dua garis, garis terhadap bidang, antar dua bidang serta sudut antar dua garis, garis dengan bidang dan antar dua bidang dapat dikombinasikan untuk menyelesaikan berbagai soal penerapan dimensi tiga.
Contoh
1. Sebuah limas dengan alas persegi dan titik puncak limas adalah . Jika luas alas adalah 196 dan ∆ =
serta ∆ = , maka volume limas tersebut adalah . . .
Penyelesaian:
Misalkan ℎ adalah tinggi limas dan merupakan jarak dari ℎ ke garis . Cari tinggi ∆ dengan rumus luas ∆
∆ = . . ∆ ( adalah sisi persegi)
= . . ∆ → ∆ = × ÷ =
Sedangkan ∆ :
∆ = . . ∆
= . . ∆ → ∆ = × ÷ =
Maka dengan teorema Phytagoras diperoleh
ℎ = − − … (i)
ℎ = − …(ii)
Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh
− − = −
− − + = −
− + = → =
Maka ℎ = √ −
ℎ = √ − = √ =
sehingga, = × × ℎ
∴ = × × =
A B
C D
E
2. Diketahui sebuah balok memiliki perbandingan rusuk-rusuk ∶ ∶ . Panjang diagonal rusuknya 21 cm. maka volum balok
1. Sebuah tiang listrik setinggi 6 m ditopang oleh tiga buah kawat yang ditancapkan ke tanah. Jika jarak antara tiang dan posisi kawat yang ditancapkan ke tanah adalah 2,5 m dan posisi tiang tegak lurus dengan posisi kawat yang ditancapkan di tanah. Tentukan panjang kawat yang diperlukan!
3. Dalam kubus . , titik adalah titik tengah sisi dan adalah titik tengah diagonal ruang . Tentukan perbandingan antara volume limas dan volume kubus . !
4. Diketahui prisma tegak segitiga . . jika = , = √ dan = . Tentukan volume prisma!
5. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk 4. Jika titik dan masing-masing adalah titik tengah dari garis dn , tentukanlah luas segitiga !
6. Sebuah piramida tegak . mempunyai alas berbentuk persegi
dengan luas dan panjang rusuk tegaknya 13 cm. jika adalah sudut antara bidang dan . Tentukan nilai sin !
7. Diketahui kubus . . Titik , , dan berturut-turut adalah titik tengah , , dan . Tentukan perbandingan luas ∆ dengan proyeksi ∆ ke bidang !
8. Tentukan volume prisma . (dalam bentuk variabel ) yang beralaskan segitiga sama kaki dengan tinggi limas adalah 4 cm!
9. Pada kubus . dengan rusuk dan titik merupakan titik tengah bidang . Tentukan luas segitiga !
10. Kubus . panjng sisinya 1 dm. Titik adalah titik tengah dengan = . Titik adalah proyeksi titik pada garis dan titik adalah proyeksi pada bidang . Hitunglah luas ∆ !
Menentukan Luas Bidang Irisan
I. Tujuan: menentukan dan menghitung luas daerah irisan bangun ruang pada diagram Cartesius.
II. Alat dan bahan: 1. Karton 2. Penggaris 3. Spidol
4. Gunting 5. Buku 6. Alat tulis
7. Lem 8. Kertas
III. Langkah Kerja:
1. Siapkan alat dan bahan yang akan digunakan.
2. Buatlah beberapa bangun kubus, balok, limas segitiga dan limas segi empat dari karton.
3. Buatlah tiga titik sembarang pada bangun dengan spidol di mana tidak semua titiknya terletak pada satu bidang.
4. Guntinglah bangun tersebut menurut bidang irisan yang melewati ketiga titik tersebut. Bidang irisan tersebut merupakan bidang datar. Sebelum digunting, lukislah bidang irisan tersebut terlebih dahulu pada sisi-sisi bangun. Jika kesulitan dalam melukis bidang irisan, cobalah untuk membuat sketsanya di kertas terlebih dahulu.
5. Cetaklah bidang irisan tersebut pada selembar kertas. Jika semua sisi irisan menempel pada kertas maka Anda telah membuat irisan yang benar.
6. Lakukan langkah 2-5 untuk limas segi lima, limas segi enam, prisma segitiga, prisma segi lima, prisma segi enam ataupun bangun lainnya.
IV. Pertanyaan
Bentuk bidang irisan seperti apa saja yang diperoleh dari masing-masing bangun ruang? Hitunglah luas bidang-bidang irisan yang telah diperoleh dari bangun-bangun ruang tersebut!
V. Kesimpulan
Sebuah bangun ruang jika diiris sebuah bidang maka hasilnya berupa sebuah
bidang datar. Gambar 7. 51a menunjukkan bahwa suatu kubus diiris vertikal oleh bidang α hasuil irisannya berbentuk bidang dan gambar 7. 51b menunjukkan bahwa limas segitiga yang diiris oleh bidang hasil irisannya berupa bidang berbentuk segitiga .
Langkah-langkah dalam menggambar bidang hasil irisan adalah sebagai berikut:
Contoh
Diketahui suatu kubus ABCD.EFGH. Titik P terletak padarusuk EF sedemikian rupa sehingga EP:PF = 1:3.Titik Q terletak pada garis BC sehingga BQ:BC =
1:3,dan titik R terletak padagaris CG sehingga GR:RC = 1:3.Gambarlah bidang irisan kubus tersebut dengan bidangyang melalui titik P, Q, dan R!
Penyelesaian:
Step 1 Step 2 Step 3
Gambar sumbu afinitas yaitu garis potong antara bidang irisan dengan salah
satu bidang pada bangun yang diiris
Dengan menggunakan bantuan sumbu afinitas,
gambarlah garis-garis potong bidang irisan dengan
bangun yang diiris
Berdasarkan garis-garis potong tersebut
tentukan bidang irisnya.
Gambar 7. 51 Bidang irisan
Langkah 1: Gambarkan sumbu afinitasnya dengan menarik garis yang menghubungkan titik R dan Q
sampai memotongperpanjangan FG
di titik W dan perpanjangan BF di titik U. Garis WU merupakansumbu afinitasnya.
Langkah 2: Tarik garis dari U ke P,
sehingga memotong garis AB di titik
S. Tarik pula garis dari W ke P
sehingga memotong garis HG, di titik T.
Langkah 3: Hubungkan TR dan QS dengan sebuah garis sehingga terbentuk bidangirisan PSQRT.
Latihan 7. 11
1. Diketahui kubus . dengan rusuk . Gambarlah irisan bidang yang melalui diagonal dan titik tengah rusuk dan tentukan luas bidang di dakam kubus tersebut!
2. Kubus . dengan rusuk cm. Titik , dan adalah titik-titik tengah dari , dan . Tentukan bentuk bangun datar bidang ? 3. Diketahui kubus . . Titik adalah titik tengah rusuk . Tentukan
bentuk irisan bidang yang melalui titik , dan dengan kubus!
4. Balok . memiliki titik , dan yang berturut-turut terletak pada rusuk , dan . Diketahui = , = dan = . Tentukanlah bentuk irisan bidang yang melalui titik , dan pada balok
. !
Titik, Garis dan Bidang
Titik dideskripsikan dengan menggunakan tanda noktah.
Garis lurus merupakan kumpulan dari titik-titik dan merupakan kurva lurus yang tidak memiliki ujung maupun pangkal.
Sebuah bidang datar mempunyai luas daerah tak terbatas. Kedudukan titik terhadap garis:
1. Titik terletak pada garis � jika titik dilalui oleh garis �. 2. Titik berada di luar garis � jika titik tidak dilalui oleh garis �. Kedudukan titik terhadap bidang:
1. Sebuah titik terletak pada bidang , jika bidang memuat titik .
2. Sebuah titik terletak di luar bidang , jika bidang tidak memuat titik . Kedudukan dua buah garis:
1. Berimpit, jika setiap titik pada garis � juga terletak pada garis ℎ.
2. Berpotongan, jika terdapat dua buah garis yang memiliki sebuah titik persekutuan yang sama.
3. Sejajar, jika terdapat dua buah garis yang tidak memiliki titik persekutuan. 4. Bersilangan, jika terdapat dua buah garis yang tidak sejajar dan tidak
berpotongan serta terletak pada dua bidang yang berbeda. Kedudukan garis terhadap bidang:
1. Garis terletak pada bidang, jika garis dan bidang tersebut sekurang-kurangnya mempunyai dua titik persekutuan.
3. Garis menembus bidang, jika garis dan bidang tersebut mempunyai titik pesekutuan.
Kedudukan dua buah bidang: 1. Berhimpit, jika setiap titik pada
bidang juga terletak pada bidang kedua bidang tersebut memiliki bidang daerah persekutuan.
2. Sejajar, jika terdapat dua buah bidang yang tidak memiliki titik maupun garis persekutuan.
3. Berpotongan, jika terdapat dua buah bidang yang tidak sejajar dan memiliki titik tepat sebuah garis persekutuan (garis potong).
Proyeksi
Proyeksi titik pada bidang
Proyeksi titik pada bidang adalah sebuah titik yang dilalui oleh garis yang berpangkal di titik yang tegaklurus terhadap bidang .
Proyeksi garis pada bidang
Proyeksi garis pada bidang adalah ′ ′ dengan garis ′ dan ′ tegak lurus terhadap bidang .
Jarak dalam bangun ruang
Jarak antar dua buah titik adalah panjang segmen garis tependek yang menghubungkan dua buah garis tersebut.
Jarak titik ke garis adalah jarak titik ke proyeksinya pada garis tersebut. Jarak antar dua buah garis:
1. Jarak antar dua garis sejajar adalah jarak salah satu titik di salah satu garis ke garis lainnya
2. Jarak atara dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap kedua garis tersebut.
Jarak antar dua buah bidang yang sejajar adalah jarak dari salah satu titik pada bidang yang satu ke bidang yang lainnya.
Sudut dalam bangun ruang
�
Sudut antara dua buah garis adalah sudut yang terbentuk akibat perpotongan dua garis pada satu titik.
Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis dengan poyeksi bidangnya.
Sudut antara dua buah bidang adalah sudut yang terbentuk akibat perpotogan
dua bidang pada satu garis.
�
ℎ
�ℎ
′
�
A. Pilihan Berganda
1. Pusat dari permukaan-permukaan prisma yang alasnya berbentuk belahketupat akan digabung membentuk sebuah oktahedron. Volume dari oktahedron tersebut adalah . . . (American Mathematics Competition, 2015)
5. Diberikan sebuah limas . dengan alas persegi . = = = , jika = dan ∠ = �, maka volume limas adalah . . . (American High School Mathematics Examination, 1990)
a. i �
b. c �
c.
i �
d. − i �
e. √c �
i �
B. Essay
1. Sebuah tong berbentuk tabung yang penuh dengan air memiliki jari-jari 4 dm dan tinggi 10 dm. Sebuah kubus padat dengan rusuk 8 m
dicelupkan ke dalam tong sehingga diagonal ruang kubus menjadi tegak lurus dan volume air (� yang berada di dalam tong meluap keluar. Tentukan nilai � ! (American Invitational Mathematics Examination, 2015)
2. Sebuah prisma dengan alas berbentuk jajargenjang dengan
ukuran × × dengan titik , , bersebelahan dengan titik . Tentukan jarak garis yang tegak lurus dari titik ke bidang yang memuat , , ! (American High School Mathematics Examination, 1996)
3. Perhatikan bidang empat . ! nilai c�s ∠ , adalah . . . (SBMPTN, 2007)
A
B
4. Titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah rusuk dan pada kubus . . jika panjang kubus adalah 1 satuan, tentukan luas segi empat ! (OSN, 2003)
5. Titik merupakan titik tengah dari sebuah tetrahedron . Titik , dan berturut-turut adalah titik tengah dari , dan . Asumsikan bahwa +
= + , + = + dan + = + . Buktikan
bahwa ∠ = ∠ = ∠ ! (Internasional Mathematics Olimpiad, 1991)
Challenge Question!
Titik , , dan merupakan empat titik dalam sebuah bangun ruang dan merupakan jarak antara titik dan . Tunjukkan bahwa + + +
≥ ! (USA Mathematical Olimpiad, 1975)
A B
C D
E F
G H
P
Q
B
C
Latihan 1
berpotongan dengan rusuk adalah rusuk , , dan b. Rusuk-rusuk kubus yang sejajar dengan rusuk adalah rusuk, dan
c. Rusuk-rusuk kubus yang bersilangan dengan rusuk adalah rusuk , , dan d. Rusuk-rusuk kubus yang berimpit dengan rusuk adalah rusuk itu sendiri.
2. a. Diagonal-diagonal sisi yang berpotongan dengan rusuk adalah diagonal , , dan
b. Tidak ada diagonal-diagonal sisi yang sejajar dengan rusuk .
c. Diagonal-diagonal sisi yang bersilangan dengan rusuk adalah diagonal , , dan
d. Tidak ada diagonal-diagonal sisi yang berimpit dengan rusuk . 3. a. Rusuk-rusuk kubus yang terletak
pada bidang adalah rusuk , , dan
b. Rusuk-rusuk kubus yang sejajar dengan bidang adalah rusuk
, , dan
c. Rusuk-rusuk kubus yang memotong atau menembus bidang
adalah rusuk , , dan
4. a. Diagonal-diagonal sisi kubus yang terletak pada bidang
adalah dan
b. Diagonal-diagonal sisi kubus yang sejajar dengan bidang
b.
c.
Latihan 3
1. a. Bidang-bidang kubus yang berimpit dengan bidang
adalah bidang itu sendiri b. Bidang-bidang kubus yang sejajar dengan bidang
adalah bidang
c. Bidang-bidang kubus yang berpotongan dengan bidang adalah bidang
, , dan
d. Garis persekutuan antara bidang dan adalah garis
3. √
2. Segi enam beraturan 3. Belah ketupat 4. Segi enam beraturan 5. Layang-layang
Uji Kompetensi
Pilihan Berganda
1. Jawaban: B
Oktaheron merupakan dua limas yang saling kongruen satu dengan yang lain yang digabungkan oleh kedua alas limas tersebut seperti gambar di samping.
Luas alas limas: = . . = . = Tinggi oktahedron = tinggi prisma = , sehingga tinggi salah satu limas (ℎ adalah .
Volume dua limas/oktahedron:
= . . . = . . . =
Garis akan berpotongan dengan garis karena kedua garis tersebut terletak pada bidang .
Perhatikan dua segitiga dan . Karena garis ⊥ dan ⊥ maka ⊥ dan ⊥ , sehingga
∠ − ∠ . Selain itu, ∠ − ∠ (bertolak belakang). Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa ∆ sebangun dengan ∆ . Karena merupakan diagonal sisi kubus maka,
Karena dua bidang tersebut saling tegak lurus maka ∆ merupakan segitiga siku-siku sehingga = √ + = √ + = √ + = √ 4. Jawaban: B
Tinjau salah satu sudut pada sisi kubus, merupakan sisi miring dari sebuah segitiga siku-siku sehingga panjang
= √ +
= √ = √
=√
√ + = → =√ + = √ − (rasionalkan), maka
=√ − √ = −√
∆= . . ( =
= . = . −√ = − √
Karena setiap perpotongan sudut kubus membentuk sebuah limas maka volume 8 limas yang ada pada sudut-sudut kubus adalah
= × × ∆ � (tinggi limas adalah
= × × − √ × −√ = × − √ = − √ 5. Jawaban: E
Luas alas =
� = �
Untuk mencari tinggi, proyeksikan titik ke garis sehingga hasil proyeksi yaitu titik membagi dua garis seperti gambar. Misalkan ∠ = �, maka c�t � = = ↔ = c�t �.
Gunakan teorema Phytagoras untuk mencari tinggi limas.
� = − = c i �� −
� = c �− i �i � = c i ��
� = √c i �� =√ci ��
� = � = √ci �� = √c i ��
Essay
1. Sisi-sisi tabung menyentuh kubus pada tiga titik. Karena ruang diagonal kubus tegak lurus maka terdapat tiga buah titik yang akan membentuk tiga buah segitiga sama sisi. Dengan aturan kosinus dan jari-jari tabung = di dapat sisi segitiga,
= − c�s ° =
A B
C D
P
= √ . Volume air yang meluap adalah volume dari tetrahedron dengan siku-siku di setiap sisinya sehingga panjang tetrahedron adalah √
√ = √ . Sudut dari tiga sisi
segitiga yang menyentuh tabung adalah ° − ° − ° sehingga
� = ( √ ) [ . ( √ ) ] = ( √ ) = √ � = ( √ ) =
2. Volume limas dengan alas ∆
, = ∆ ,
= [ ∆ ] ,
= [ ] =
Jika adalah jarak yang diminta dan merupakan tinggi limas dengan alas ∆ maka,
nilai dapat dicari dengan menghitung volume limas dengan alas berupa ∆ :
, = ∆
Alas dari limas adalah ∆ dengan
= √ + = √ + = ,
= √ + = √ + = ,
= √ + = √ + = √ dan
tinggi ∆ = √ − = √
∆ = . . ∆ = . √ . √ = √
∴ , = ,
= √
= √ = √ = .
A
B
C F
3. Proyeksi pada bidang segaris dengan ′. Sudut ∠ , =
Pada ∆ berlaku aturan kosinus:
∴ Luas segi empat = √
5. Asumsi yang diberikan + = + , + = + dan + = + berati = , = dan = .
Jika , dan berturut-turut merupakan titik tengah dari , dan . Maka dari persamaan diatas diperoleh
= = sehingga ∥ ∥
= = sehingga ∥ ∥
.
Titik , , dan merupakan titik-titik yang terletak pada bidang yang sama dan
membentuk belah ketupat begitu juga dan . Maka garis , dan mempunyai titik tengah yang sama yaitu dimisalkan titik dan ⊥ , ⊥ , dan ⊥ . Dapat diambil kesimpulan bahwa garis ⊥ oleh karena itu garis ⊥ . Karena = maka + + sehingga merupakan titik tengah dan ∠ =
∠ = ∠ = °.
Challenge Question
Jika proyeksi dari titik , , dan terhadap bidang yang sejajar dengan garis
dan , serta sejajar dengan garis dan adalah tetap sama hanya saja panjang garis , , dan menjadi berkurang sehingga membuat adanya suatu pertidaksamaan.
Jika = , = , = , =
, = dan = maka untuk
membuktikan + + + ≥ harus memfokuskan pada ∆ dan panjang garis .
B
C
Asumsikan titik berada pada lingkaran yang berpusat di titik dengan jari-jari . Dengan aturan kosinus diperoleh
+ = + + − c�s � − c�s � −
+ − − − = [ c�s � + c�s � − +
c�s � c�s � − ]
+ merupakan sebuah fungsi dari � sehingga untuk mencari nilai minimumnya maka persamaan diatas di turunkan terhadap � sehingga didapat
sin � − sin − � =
sin � + sin − � + sin � sin − � =
+ − − − =
[ sin � + sin − � + sin � sin − � ]
= + + c�s
= + −
Tetapkan = + dan = + , sehingga
− − = −
+ + − + −
= −
+ + − + − = −
− + − + = − +
−
= + − − ≥
+ + + ≥ +
∴ Terbukti bahwa + + + ≥ D
B
C A
