1. Titik adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran dan dengan sumbu- . Nilai adalah ....
A. B. C. D. E.
Pembahasan:
Ingat,
Jari-jari lingkaran dapat dihitung menggunakan jarak titik pusat ke garis singgung lingkaran. Misal lingkaran berpusat di dan garis singgung lingkaran dapat dinyatakan dalam , maka jari-jari lingkaran adalah:
Perhatikan,
Terdapat dua lingkaran pada soal, yaitu: (i)
-
(ii) -
Perhatikan ilustrasi berikut,
Karena panjang jari-jari kedua lingkaran adalah sama, maka besar gradien dari garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah sama dengan besar gradien dari garis yang melalui kedua pusat lingkaran.
Sehingga, gradien garis singgung persekutuan dua lingkaran yang dimaksud sama dengan gradien garis yang melalui titik dan yaitu:
8 X
Y
8
O
TRIK SUPERKILAT:
8 X
Y
8
O (0, )
= + Dari sketsa gambar kita
akan segera tahu bahwa besar sudut , sehingga kita akan cepat tahu juga bahwa segitiga pada gambar siku-siku sama kaki, sehingga .
Y
8
O
Titik adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran dengan sumbu- , maka persamaan garis singgung persekutuan luar lingkaran yang dimaksud adalah persamaan garis lurus dengan gradien yang melalui adalah:
Jari-jari lingkaran yaitu dapat dihitung menggunakan jarak titik pusat lingkaran ke garis singgung , yaitu:
2. Segitiga siku-siku di . Titik pada sehingga dan . Jika
Pada suatu segitiga seperti pada gambar di samping berlaku aturan kosinus:
Sekarang perhatikan segitiga , berlaku aturan kosinus,
Cara 2: Rumus Pengurangan Dua Sudut Sinus
Ingat,
Rumus pengurangan dua sudut sinus:
Perhatikan segitiga dan serta sudut dan ,
Maka diperoleh nilai-nilai trigonometri berikut,
Perhatikan baik-baik bahwa .
Sehingga,
Nilai dapat diperoleh dengan mengkuadratkan nilai ,
3. Fungsi untuk dan naik pada
Daerah yang memenuhi dapat dicek dengan menguji nilai pada garis bilangan berikut
4. Suatu transformasi terdiri dari pencerminan terhadap , dilanjutkan dengan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu , maka:
Sampai disini, kita harus dapat menemukan pola dari transformasi tersebut, karena akan ribet banget kalau sampe f . H .
Mari kita periksa,
Perhatikan, ternyata transformasi adalah berulang setiap 4 kali, sehingga hasil transformasi ke-24 terhadap transformasi adalah:
Apabila suatu titik dikenakan transformasi sebanyak 24 kali, ini sama artinya memutar titik tersebut sebesar , artinya titik tersebut tidak diputar sama sekali, sehingga bayangannya tetap di titik semula. Jadi, bayangan titik adalah tetap . S .!
Cara 2: Matriks Transformasi
Ingat,
Apabila suatu titik dicerminkan terhadap garis , maka pemetaan yang terjadi adalah sebagai berikut:
Sehingga, matriks transformasi pencerminan terhadap garis :
Apabila suatu titik dicerminkan terhadap sumbu , maka pemetaan yang terjadi adalah sebagai berikut:
Sehingga, matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu :
Misal,
Perhatikan, apabila transformasi terdiri dari pencerminan terhadap garis , dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu , maka:
Jadi, apabila titik dikenakan transformasi sebanyak 24 kali, maka hasil transformasinya adalah:
Sampai disini, kita harus dapat menemukan nilai .?
Mari kita periksa terlebih dahulu,
Perhatikan, karena , maka nilai adalah berulang setiap 4 kali, sehingga:
Maka, bayangan titik terhadap transformasi sebanyak 24 kali adalah:
Cara 3: TRIK SUPERKILAT (Sifat komposisi pencerminan dua garis saling berpotongan)
Ingat,
Operasi dua pencerminan berurutan terhadap dua garis yang saling berpotongan akan menghasilkan rotasi, dengan:
Pusat rotasi adalah titik potong kedua garis.
Sudut rotasi sebesar dua kali sudut yang dibentuk oleh garis pertama dengan garis kedua.
Perhatikan sketsa grafik di bawah,
Titik potong antara garis dan sumbu ( adalah titik . Sudut yang dibentuk antara garis dengan sumbu adalah .
Perhatikan lagi sketsa grafik di bawah,
Sehingga, komposisi dua pencerminan berurutan oleh garis dilanjutkan oleh sumbu akan menghasilkan rotasi dengan pusat sebesar .
Nah, karena transformasi sebanyak 24 kali, maka sama artinya dengan dikenakan sebanyak 24 kali rotasi tersebut. Namun, coba perhatikan:
;
Dan mengingat sifat sudut rotasi , maka:
Apabila suatu titik dikenakan transformasi sebanyak 24 kali, ini sama artinya memutar titik tersebut sebesar , artinya titik tersebut tidak diputar sama sekali, sehingga bayangannya tetap di titik semula.
Jadi, bayangan titik adalah tetap .
5. Diketahui kubus . . Titik berada di rusuk sedemikian sehingga
Kita menggunakan alternatif jawaban pada cara (ii) b), yaitu menggeser bidang MNP menjadi bidang ACH.
Perhatikan gambar berikut,
Sudut adalah sudut antara garis dan bidang .
Jadi,
Nah, berarti kita tinggal mencari panjang adalah panjang rusuk kubus, dan merupakan sisi miring pada segitiga siku-siku .
Misalkan terlebih dahulu panjang rusuk kubus adalah . Maka panjang .
Perhatikan, titik merupakan titik potong antara diagonal dan diagonal , maka .
Panjang dapat dicari pada segitiga siku-siku , yaitu:
Jadi,
A B
C D
E F
G H
P
M
N
�
6. Jika sisa pembagian oleh adalah , dan sisa pembagian oleh adalah , maka = ....
A. 33 B. 43 C. 53 D. 63 E. 73
Pembahasan:
Cara 1: R S B B
Ingat,
Rumus pembagian suku banyak,
dimana,
yang dibagi; pembagi; hasil bagi; sisa pembagian
Perhatikan,
Sisa pembagian oleh adalah , maka:
Perhatikan juga bahwa yang akan dicari adalah sisa pembagian oleh dalam bentuk , maka kita harus dapat menemukan bentuk terlebih dahulu. Perhatikan uraian berikut:
Perhatikan bentuk berikut,
Jadi, sisa pembagian oleh sama artinya juga dengan mencari sisa pembagian oleh . Oleh karena itu, mari kita jabarkan terlebih dahulu bentuk sehingga diperoleh:
Sehingga, sisa pembagian dapat diperoleh dengan pembagian bersusun :
TRIK SUPERKILAT:
dibagi oleh bersisa dibagi oleh bersisa dibagi oleh bersisa
Dengan kesamaan suku banyak diperoleh:
Jadi, nilai
Cara 2: TRIK SUPERKILAT (Horner Modifikasi)
S sisa pembagian oleh pembagi derajat berapapun, khususnya pembagi yang tidak bisa difaktorkan, juga dapat diperoleh dengan Horner Modifikasi.
Caranya adalah perhatikan bentuk pembagi berikut:
Maka,
Angka kita susun dari bawah ke atas di bagian kiri bagan Horner Modifikasi. Lalu koefisien dari fungsi yang dibagi ditulis seperti biasa pada Horner Biasa.
Hasil sisa pembagian oleh dapat dilihat pada perhitungan Horner Modifikasi berikut:
Hasil Sisa Pembagian
Jadi,
Sisa pembagian oleh adalah
Dengan kesamaan suku banyak diperoleh:
Jadi, nilai
Langkah-langkah Horner Modifikasi: Kolom pertama dijumlahkan, hasilnya 9.
9 dikalikan dengan 0, 3, masing-masing hasilnya 0, 27, . Kolom kedua dijumlahkan, hasilnya 6.
6 dikalikan dengan 0, 3, masing-masing hasilnya 0, 18, . (Perkalian berhenti kalau kolom terakhir sudah terisi, yaitu .)
7. Grafik berada di bawah grafik jika .... A.
B. C. D. E.
Pembahasan:
Cara 1: Pertidaksamaan Eksponen
Ingat,
Pada pertidaksamaan eksponen, berlaku: Untuk , maka:
.
Perhatikan,
Grafik
berada di bawah grafik , maka:
f H f
f
f
Jadi, grafik berada di bawah grafik jika .
Tambahan:
Pemfaktoran bentuk menggunakan metode Horner.
Perhatikan, karena jumlah semua koefisien adalah , maka salah satu faktornya adalah , sehingga:
Jadi,
TRIK SUPERKILAT:
Karena untuk dan nilai , maka jelas dan , tidak bisa v . Jadi jawabannya adalah jelas C. Sudah gitu aja, gampang kan?
Bukti:
Cara 2: TRIK SUPERKILAT (Cek Interval Pilihan Jawaban)
Karena batas interval di pilihan jawaban hanya memuat , , dan . Tidak terlalu banyak dan rumit untuk diperiksa satu per satu untuk menguji jawaban mana yang benar.
Nah, waktu yang diperlukan mungkin bisa lebih singkat ketimbang membuktikan jawaban benar dengan menguraikan menggunakan sifat pertidaksamaan eksponen.
Oke, mari kita coba.
Ada dua alternatif cara TRIK SUPERKILAT yang bisa dilakukan pada soal ini. Jadi, sebenarnya kita cukup mengecek hal berikut:
Pertama, cek nilai setiap interval yang disediakan pilihan jawaban.
Ambil sebarang nilai pada setiap interval, lalu substitusikan dan periksa interval mana saja yang menyebabkan bernilai benar.
Dari pengujian nilai setiap interval, jelas diperoleh interval yang menyebabkan
adalah .
Kedua, cek apakah , , dan pada pilihan jawaban menyebabkan nilai .
Lihat pada Cara 3: TRIK SUPERKILAT (Cek Batas Interval Pilihan Jawaban) di bawah ini:
Cara 3: TRIK SUPERKILAT (Cek Batas Interval Pilihan Jawaban)
8. ....
9. Jika dalam suatu barisan geometri dan , maka
....
A. B. C. D. E.
Pembahasan:
Cara 1: Barisan dan Deret Geometri
Ingat,
Rumus suku ke- dan jumlah suku pertama barisan geometri adalah:
S
Perhatikan,
Pada soal diketahui nilai suku pertama dan jumlah delapan suku pertama deret geometri. Dan yang ditanyakan adalah perbandingan suku ke-251 dengan suku ke-250, yang tak lain adalah nilai dari rasio .
f H f
Jadi,
Tambahan:
Pemfaktoran menggunakan metode Horner. Perhatikan karena .
Jadi, kemungkinan nilai adalah . jelas tidak mungkin, sehingga kita pilih ,
Jadi,
TRIK SUPERKILAT:
Karena dan , maka
Cara 2: TRIK SUPERKILAT (Feeling dan Cek Angka pada Pilihan Jawaban)
Ingat,
Rumus suku ke- dan jumlah suku pertama barisan geometri adalah:
S
Perhatikan,
Pada soal diketahui nilai suku pertama dan jumlah delapan suku pertama deret geometri. Dan yang ditanyakan adalah perbandingan suku ke-251 dengan suku ke-250, yang tak lain adalah nilai dari rasio .
.
S .
.
Jadi,
10. Misalkan . Jika nilai minimum dan maksimum pada selang atau minimum dengan syarat stasioner serta menentukan nilai fungsinya.
(iii) Membandingkan nilai fungsi pada langkah (i) dan (ii), lalu dipilih sesuai yang diinginkan. Apakah mencari nilai maksimum atau nilai minimum.
Perhatikan,
