Soal Jawab Pembahasan SBMPTN MTK IPA Saintek

(1)

SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 1

SOAL-JAWAB MATEMATIKA SAINTEK

PEMBAHASAN SBMPTN

Soal 1

Diketahui dua lingkaran berpusat di titik O(0,0) berjari-jari r dan R dengan r < R. Sebuah garis menyinggung lingkaran dalam di titik E dan memotong lingkaran luar di titik P. Jika diketahui selisih luas antara lingkaran luar dan lingkaran dalam

36 

dan







EOP

60

, maka persamaan lingkaran luar adalah….

Jawab:

Perhatikan gambar berikut!

Dari informasi selisih luas =

36 

, maka











R

2

r

2

36 

R

2



r

2



36

………... (1) Karena garis PE menyinggung lingkaran dalam, maka



OEP



90 

(siku-siku).

Dari informasi



EOP



60 

, maka

OP

OE

EOP





cos

Maka

R

r





60 cos

_

R

r



2

1



r

R

2

1 

_{……. (2)}

Substitusi (2) ke (1), kita peroleh:

36

2

1

2

_

_













R

36

4

1

₂

2

_

_R

_

R

36

4

3

₂

_

R

_

48

3

4

36

2

_

_

_

R

_.

Dengan demikian persaman lingkaran luarnya adalah: 2

2

_y

_R

(2)

Soal 2

Misalkan segitiga ABC adalah segitiga siku-siku pada titik C. Jika panjang sisi di hadapan titik A, B, C berturut-turut adalah a, b, c maka cos 2A = ….

Jawab:

A

cos

2

sin

2

2 cos





2 2





























c

a

c

b

2 2 2 2

c

a

c

b

_



2 2 2

c

a

b





Ada juga ya soal

SBMPTN yang simpel..

Soal 3

Fungsi

f

(

x

)



sec

2

x



tan

x

sec

x

untuk

0 

x



2 

,

2 



x

_dan

2

3 



x

naik pada interval…..

Jawab:

Fungsi

f

(

x

)

naik sa’at

f



(

x

)



0

. Perhatikan bahwa:

Jika

y



sec

2

x



U

n maka

y





nU

n1

.

U





2 sec

x

.

tan

x

.

sec

x



2 tan

x

sec

2

x

. Jika

y



tan

x

.

sec

x



u

.

v

maka

y





u

'

v



uv

'

x

.

sec

tan

.

tan

.

sec

2





x

tan

.

sec

3



2

(3)

Karena

f

(

x

)



sec

2

x



tan

x

sec

x

, maka untuk bagian naik,

0 )

(





x

f

2 tan

x

.

sec

2

x



(sec

3

x



tan

2

x

sec

x

)



0

0 )

tan

sec

tan

2 (

sec

x



2

x



2

x



sec

x

(

2 tan

x



1 

tan

2

x



tan

2

x

)



0

(sebab

sec

2

x



1 

tan

2

x

)

sec

x

(

2 tan

x



1 

2 tan

2

x

)



0 

sec

x

(

2 tan

2

x



2 tan

x



1 )



0

………..(*)

Bentuk

(

2 tan

2

x



2 tan

x



1 )

adalah definit postif karena Diskriminannya:

0

4

8

4

1 .

2 .

4 )

2 (

4

2

_

_

_

_

_

_

_

_



b

ac

D

.

Sehingga (*) menjadi:



sec

x



0 sec

x



0

0 cos

1 _

x

Fungsi cos bernilai negatif pada kuadran II dan III, yakni pada interval

2

3

2 





x

_.

Jadi, fungsi

f

(

x

)

naik pada interval

2

3

2 





x

_.

Soal 4

Jika titik (a, b) dicerminkan terhadap garis y = x– 1 menjadi titik (c, d), maka 2c + d= …. (nyatakan dalam a dan b !)

Jawab:

Wah… rumus pencerminan terhadap garis y = x – 1 tidaklah terkenal, dan kebanyakan orang tidak hafal…!! Tapi soal ini bisa kita kerjakan dengan ide sebagai berikut:

(4)

SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 4 y = x, bayangannya kita namakan Q’. Lalu titik Q’ ini kita geser satu satuan ke kanan, menjadi P’. Nah, P’ inilah bayangan titik P jika dicerminkan terhadap garis y = x– 1.

Perhatikan koordinatnya:

Titik P(a, b) digeser satu satuan ke kiri, menghasilkan titik Q(a – 1, b).

Titik Q(a – 1, b) dicerminkan terhadap garis y = x menghasilkan titik Q’(b, a – 1)

(Ingat pencerminan terhadap garis y=x memenuhi: (x, y)  (y, x)) Lalu titik Q’(b, a – 1) digeser satu satuan ke kanan menjadi P’(b + 1, a – 1).

Titik P’ ini pada soal berkoordinat (c, d) maka: P’ = (c, d) = (b + 1, a – 1).

Sehingga c = b + 1 dan d = a– 1.

Jadi, 2c + d = 2(b + 1) + (a– 1) =2b + 2 + a– 1 = a + 2b + 1.

Soal 5

Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik M berada pada rusuk AD sedemikian sehingga AM : MD = 1 : 2. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga CN : ND = 1 : 2. Titik P berada pada rusuk DH sedemikian sehingga DP : PH = 2 : 1. Jika adalah sudut antara bidang MNP dan bidang ACGE, maka nilai sin 

Hmmm, ide ini sepertinya cukup

(5)

Jawab:

Karena pada gambar di atas, bidang MNP “tidak berpotongan langsung” dengan bidang ACGE, maka untuk menentukan sudut antara bidang MNP dengan bidang ACGE, ganti saja bidang MNP dengan bidang lain yang sejajar dengannya, dalam kasus ini kita ganti dengan bidang ACH. Bidang ACH adalah bidang yang sejajar dengan bidang MNP. (Ingat bahwa titik-titik M, N, dan P membagi rusuk-rusuk kubus terkait dengan perbandingan yang sama yaitu 1 : 2).

Jadi, sudut antara bidang MNP dengan bidang ACGE

= sudut antara bidang ACH dengan bidang ACGE = 



HOR

.

(disini O adalah pusat bidang ABCD dan R adalah pusat bidang EFGH) Maka

OH

HR





sin

_{…….. (1)}

Misal panjang rusuk kubus = r, maka:

2

1

2

1 r

HF

HR



dan

2 2 2

2 2

2

4

2

1 r

r

RO

HR

OH

























6

2

1

4

6

₂

r



(6)

Substitusi nilai-nilai ini ke persamaan (1), maka:

3

dapat kita tuliz:

x

maka dapat kita tuliz:

(7)

Masukkan x = 1, Perhatikan yang berikut ini:

2

Grafik

x

Grafik

(8)

1

Samakan penyebut, sehingga menjadi

0

Misalkan

p



3

x, maka pertidaksamaan menjadi

0

dibagi p– 1, sehingga dapat difaktorkan. Yuk kita bagi sekarang…!!

(9)

Dari pembagian di atas, kita dapatkan

)

1

2 )(

1 (

1

2 p

3



p

2





p



p

2



p



Sehingga pertidaksamaan menjadi:

(

1 )(

2

₂

1 )

0

2







p

Bentuk

(

2 p

2



p



1 )

adalah definit positif (selalu bernilai positif, berapapun nilai p-nya) karena diskriminannya

D



b

2



4 ac



1

2



4 .

2 .

1 



7 

0

dan koefisien p2_{nya =}_a_{= 2 > 0.}

Buat garis bilangan:

0 

p

atau

0 

p



1

0

3

x



0 

3

x



1

0

3





x



(tidak ada x yang memenuhi)







x



0

Jadi, penyelesaiannya adalah







x



0

atau cukup dituliz saja

x



0

.

Soal 8

Nilai dari

x

₂

)

2 cos(

1

2 2

lim



 = ….

Jawab:

 

)

2 (

)

sin

2

1 (

1

2 )

2 cos(

1

2 ₂2

2 2

2

lim





_





_x

x

(10)

 

(11)

Dengan demikian,

2

Misalkan

x

Kita cari turunan pertama:

(12)

SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 12 2

Kalikan kedua ruas dengan 4 x 32, sehingga menjadi:



4 a



3 b



0

……… (2) Eliminasi persamaan (1) dan (2), kita peroleh:

8

Sehingga

8

dengan periode = 2. Dengan demikian, berlaku:

....

(13)





 





b p

p a p

b

p a b

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

(

)

(

)

(

)

_{…... (3)}

Maka:







7

3 7

3

f

(

x

8 )

dx

f

(

x

)

dx

(digunakan persamaan (1))





₃7_₂2

f

(

x

)

dx





₁5

f

(

x

)

dx





₁2

f

(

x

)

dx





₂4

f

(

x

)

dx





₄5

f

(

x

)

dx

(“dipecah”)





₁2

f

(

x

)

dx





₂4_₂2

f

(

x

)

dx





₄5_₂2

f

(

x

)

dx





₁2

f

(

x

)

dx





₀2

f

(

x

)

dx





₂3

f

(

x

)

dx





₁2

f

(

x

)

dx





₀2

f

(

x

)

dx





₂3_₂2

f

(

x

)

dx





₁2

f

(

x

)

dx





₀2

f

(

x

)

dx





₀1

f

(

x

)

dx





₀1

f

(

x

)

dx





₁2

f

(

x

)

dx





₀2

f

(

x

)

dx

(pindah tempat aja)





₀2

f

(

x

)

dx





₀2

f

(

x

)

dx

(digabung)



2 

₀2

f

(

x

)

dx



2B

.

CARA LAIN:

(14)

Maka







7

3 7

3

f

(

x

8 )

dx

f

(

x

)

dx

= Luas daerah biru di bawah:

= 2 x Luas ini:

=

2 

₀2

f

(

x

)

dx

= 2B.

Soal 12

Diketahui fungsi

f

(

x

)



x

k dan

g

(

x

)



x

. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi kurva g , sumbu y dan y = 1. Jika kurva f membagi daerah D sama besar maka k= ….

(15)

Perhatikan grafik di bawah!

Fungsi f membagi daerah D menjadi dua bagian sama besar, misalkan D1 dan D2 seperti pada gambar. Jelas fungsi f mesti cekung ke bawah agar dapat membagi dearah D. (Kalau cekung ke atas tidak bisa, coba aja gambar sendiri!)

(16)

Soal 13

Banyaknya bilangan genap tiga digit

n



abc

sehingga

3 

b



c

_adalah…. Jawab:

n adalah bilangan genap tiga digit , berbentu

n



abc

.

Kemungkinan digit untuk a adalah 1, 2, 3, …., 9  ada 9 kemungkinan ! Karena disyaratkan

3 

b



c

, maka b paling kecil mulai dari 4.

Untuk b = 4 maka c = 6 atau 8 (karena harus genap) ada 2 kemungkinan. Untuk b = 5 maka c = 6 atau 8 ada 2 kemungkinan.

Untuk b = 6 maka c = 8 ada 1 kemungkinan. Untuk b = 7 maka c = 8 ada 1 kemungkinan. Untuk b = 8 maka tidak ada pilihan digit untuk c. Untuk b = 9 juga tidak ada pilihan digit untuk c.

Jadi , banyak kemungkinan susunan (b, c) adalah 2 + 2 + 1 + 1 = 6.

Dengan demikian, banyaknya bilangan genap tiga digit n = abc ada 9 x 6 = 54 bilangan.

Soal 14

Garis singgung kurva

y



3 

x

2 di titik

P

(



a

,

b

)

dan

Q

(

a

,

b

)

memotong sumbu y di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah….

Jawab:

(17)

Gradien garis singgung kurva di titik Q(a,b) adalah

m



y



_x__a. Karena

y



3 

x

2, maka

m



y



_x__a





2 x

_x__a





2 a

.

Maka persamaan garis singgung kurva yang melalui titik Q(a,b) adalah:

)

(

x

a

m

b

y







)

(

2 a

x

a

b

y









y





2 ax



2 a

2



b

………….(1)

Misalkan koordinat titik R adalah

(

x

_R

,

y

_R

)

. Dari gambar jelas

x

_R



0

. Karena titik R terletak juga pada garis persamaan (1), maka titik

(

x

_R

,

y

_R

)

memenuhi persamaan (1) . Maka:

b

a

b

a

b

a

ax

y

_R





2

_R



2





0 

2





2



. Diketahui segitiga PQR samasisi. Maka berlaku:

QR

PQ



2 2

_QR

PQ



2 2

2

₍

₎

₍

₎

₍

₎

)

(

x

_Q



x

_P



y

_Q



y

_P



x

_R



x

_Q



y

_R



y

_Q

2 2

2

₍

₎

₍

₀

₎

₍

₂

₎

))

(

a



a



b



b



a





a



b



b

2 2 2

2

₀

₍

₂

₎

)

2 (

a





a



a

4 2

2

₄

4 a



a



a

2 4

₃

4

0 

a



a

)

3

4 (

0 

a

2

a

2



0

2

_

a

atau

4 a

2



3 

0 a



0

4

3

2

_

a

3

2

1 



a

Jadi, nilai a yang memenuhi adalah

3

2

1 

_.

Tidak memenuhi, sebab a = 0

(18)

Soal 15

Diketahui tiga bilangan positif 2

log

a

, 2

log

b

, 2

log

c

membentuk barisan aritmatika. Jika

abc



128

maka suku kedua barisan tersebut adalah…. Jawab:

Barisan aritmatika adalah barisan yang mempunyai beda (selisih antar suku) yang tetap. Pada barisan ini,