Modul Matematika kelas X semester 2 kuri

(1)

Created by Mukhlisah Zulfa Nadiya 1

NAMA : ……….

………

KELAS :………..

………

Matematika itu mudah

dan menyenangkan!

SEMANGAT!!!

(2)

Lembar Kerja Siswa 1

Ringkasan Materi :

A. PERSAMAAN KUADRAT

Persamaan kuadrat satu variabel adalah persamaan yang terdiri dari ….. variabel an pangkat tertimggi ari variabel tersebut adalah …..

Bentuk umum: ax2_{+ bx + c = 0}

a ≠ 0 dan a, b , c ∈ R a adalah koefisien dari …. b adalah koefisien dari …. c adalah ……….….

Manakah yang merupakan Persamaan Kuadrat? a. x2_{– 3x + 4 = 0}

b. 2x – 6x2_{= 0} c. 3 – 2x = 0 d. 4x + x2_{= 0} e. x3_{– 6x}2_{+ 3 = 0}

1. PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT

Bentukumumpersamaankuadratadalah ax2+bx+c=0 , dimana

a

≠

0

dana,b,c ¿R .

Pembuat nol dari persamaan di atas merupakan penyelesaian persamaan kuadrat. Himpunan dari penyelesaian di atas disebut Himpunan Penyelesaian (HP). Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat sama dengan menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Secara geometri, menentukan penyelesaian persamaan kuadrat berarti menentukan titik-titik potong kurva

y

=

ax

2

+

bx

+

c

dengan sumbu X.

Cara menentukan penyelesaian persamaan kuadrat ada 3 cara, yaitu : 1. memfaktorkan

2. melengkapkankuadratsempurna 3. rumuskuadrat (rumusabc)

1.1 Penyelesaian persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

Jika suatu persamaan kuadrat dapat diubah menjadi bentuk AB = 0, maka penyelesaiannya adalah A = 0 atau B = 0.

a) Bentuk x2_{+ bx + c = 0 dengan a = 1} (x + p)(x + q) = 0

di mana p + q = b p . q = c Contoh:

1. x2_{– 2x – 8 = 0}

a = … b = … c = … (x + p)(x + q) = 0

(3)

Jadi, memfaktorannya (x + …)(x + …) = 0 Sehingga x = … atau x = … HP = {……….}

2. x2_{+ 5x + 6 = 0}

a = … b = … c = … (x + p)(x + q) = 0

p + q = … p . q = …. … + … = … … . … = …. Jadi, memfaktorannya (x + …)(x + …) = 0 Sehingga x = … atau x = … HP = {……….}

b) Bentuk ax2_{+ bx + c = 0 dengan a ≠ 1} 1

a (ax + p)(ax + q) = 0

p + q = b p . q = a .c Contoh:

1. 2x2_{+ 5x – 12 = 0}

a = … b = … c = … 1

a (ax + p)(ax + q) = 0

p + q = b p . q = a .c … + … = … … . … = … . …

… . … = …. Jadi pemfaktorannya

1

… . (…x +….)(….x + ….) = 0

(………….)(…………..) = 0 x = …. x = ……. HP = {…………..} 2. 6x2_{– 17x + 12 = 0}

a = … b = … c = … 1

a (ax + p)(ax + q) = 0

p + q = b p . q = a .c … + … = … … . … = … . …

… . … = …. Jadi pemfaktorannya

1

… . (…x +….)(….x + ….) = 0

(………….)(…………..) = 0 x = …. x = ……. HP = {…………..} LATIHAN SOAL

(4)

TentukanHPnyadenganmenggunakancarapemfaktoran ! 1. x2−x−12=0

2. x2−8x+16=0 3. x2−9=0

4. 3x2+12x=0 5. 2x2−x−6=0

1.2. Penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna Yaitu dengan mengubah persamaan ax2+bx+c=0 menjadi bentuk

(

x

+

p

)

2

=

q

sehingga penyelesaiannya

x

=−

p

±

√

q

. Pertama, usahakan menjadi bentuk

x2+b

ax=− c

a _{. Kemudian menjadikan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna,}

yaitu dengan menambahkan kedua ruas dengan (

b

2a)

2 .

a. Tentukan HP dari x2−2x−8=0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna Jawab : x2 – 2x – 8 = 0

x2 – 2x = 8

………..……. + (…….)2 = 8 + (……..)2 (...)2_{= ...}

... =

√

… … … …

x = ... atau x = ... Jadi HP : {……,…….}

b. Tentukan HP dari 6x2−x−5=0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna Jawab : 6x2 – x – 5 = 0

6x2 – x = 5

………..……. + (…….)2 = 5 + (……..)2 (...)2_{= ...}

... =

√

… … … …

x = ... atau x = ... Jadi HP : {……,…….}

LATIHAN SOAL

Tentukan HPnya dengan melengkapkan kuadrat sempurna, dari : 1. x2+7x+12=0

2. x2−8x+16=0 3. 5x2+8x−4=0 4. −x2+81=0 5. 3x2+12x=0

1.3. Penyelesaian Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat (Rumus abc)

(5)

⇔ _{………... =} −c

a

⇔ _{……….. + (….)}2_{= …. + (….)}2

⇔

(……+……)2 = ………..

⇔ _{… + … =}

√

_{… … … …} ⇔ _{x = ………}

Sehingga :

x

1.2

=

−

b

±

√

b

2

−

4

ac

2

a

_dimana b2−4ac _{disebut dengan diskriminan}

(D)

Jadi D = b2−4ac

Rumus di atas dikenal dengan nama rumus kuadrat atau sering dikenal dengan rumus abc.

a. Tentukan HP dari x2−2x−8=0 dengan menggunakan rumus kuadrat Jawab : a = … , b = …. , c = ….

x

_1.2

=

−

b

±

√

b

2

−

4

ac

2

a

_{= ………}

x₁=.... x₂=.. .. Jadi HP:{ …. }

b. Tentukan HP dari 5−9x−2x2=0 denganmenggunakanrumuskuadrat Jawab : a = … , b= …. , c = ….

x

_1.2

=

−

b

±

√

b

2

−

4

ac

2

a

_{= ………}

x₁=.... x₂=.. .. Jadi HP:{ …. }

LATIHAN SOAL

TentukanHPnyadenganmenggunakanrumuskuadrat (abc) dari : 1. x2−x−12=0

2. 5x2+8x−4=0 3. x2−8x+16=0 4. 6x2+11x+3=0

Lembar Kerja Siswa 2

Ringkasan Materi :

(6)

Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat

a

2

+

bx

+

c

=

0,

a

≠

0

Misal x1,x2 _{akar-akar persamaan kuadrat di atas maka :} x1 + x2 =

−b

a x1 – x2 =

√

D

a

x1 . x2 = c_a

Beberapa rumus aljabar: 1. x₁2+x₂2=

(

x₁+x₂

)

2−2x₁x₂

2. x1 2

−x2 2

=¿ (x1 + x2)( x1 - x2) 3. x₁3+x₂3=

(

x₁+x₂

)

3−3x₁x₂(x₁+x₂)

4. x₁3−x₂3=

(

x₁−x₂

)

3+3x₁x₂(x₁−x₂)

5. 1

x1

+ 1

x2

=x1+x2

x1. x2

6. x1

x₂+ x2

x₁= x12+x22

x₁. x₂

7. x1 2

x2+x1x2 2

=x1. x2(x1+x2)

Contoh :

Jika x1,x2 _{akar-akar persamaan} x2−6x+3=0 _{, tentukan nilai-nilai berikut :} a. x1 + x2 c.

1

x₁+

1

x₂

b. x1 . x2 d. x12+x22 Jawab :

a. x1 + x2 = ……….. b. x1 . x2 = ………. c. 1

x1

+ 1

x2

=x1+x2

x1. x2

= ………

d. x₁2+x₂2=

(

x₁+x₂

)

2−2x₁x₂ = (…..)2_{– 2 (…..) = …… - …… = ……..} Soal latihan

1. Diketahui persamaan kuadrat x2−5x+2=0 . Akar- akar persamaaan tersebut adalah

x₁ _dan x₂ _{. Tentukan :}

a. x1+x2 b. x1x2

2. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2+5x−2=0 adalah α _dan

β

_{. Tentukan :}

a.

α β+

β

α _b.

1

α2+

1

β2

LEMBAR KERJA SISWA 3

(7)

D = b2_{– 4ac}

Jenis akar Persamaan Kuadrat:

1. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real berlainan. Bila D merupakan kuadrat sempurna, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang rasional dan bila tidak maka kedua akarnya irasional.

2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang sama.

3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat memiliki akar-akar yang tidak real (bilangan kompleks)

Lengkapilah

Tentukan deskriminan dan jenis akar dari persamaan kuadrat berikut: a. x2_{– 7x + 12 = 0}

Jawab:

a = ... b = ... c = ...

D = b2_{– 4ac = (....)}2_{– 4 . (...)(...) = ... - ... = ...} Jenis akar :

b. x2_{+ 5x + 6 = 0}

a = ... b = ... c = ...

D = b2 – 4ac = (....)2 – 4 . (...)(...) = ... - ... = ... Jenis akar :

LATIHAN

Tentukan nilai deskriminan dan jenis akar dari persamaan kuadrat a. x2_{– 4x +6 = 0}

b. x2_{+ 6x + 9 = 0} c. 2x2_{– 3x +5 = 0}

d. x2_{– 7x + 8 = 0} e. 3x2_{– 4x + 1 = 0} f. 4x2_{– x – 2 = 0} LEMBAR KERJA SISWA 4

Topik: Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2 , maka persamaan kuadrat adalah (x – x1)(x – x2) = 0 kalikan dengan cara distributive perkalian

Lengkapilah

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya: a) 4 dan -2

Jawab:

(x – x1)(x – x2) = 0 (x - ...)(x - ...) = 0

x2_{- ... = 0} x2_{- ...- ... = 0}

b) -2 dan -5 Jawab:

(x – x1)(x – x2) = 0 (x - ...)(x - ...) = 0

x2_{+ ... = 0} x2 _{+ ... + ... = 0}

LATIHAN

(8)

a. -3 dan 5 c. 6 dan -2 b. -4 dan -5 d. 1/2 dan 3/2

LEMBAR KERJA SISWA 5

Topik : Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah

f(x) = ax2_{+ bx + c, dimana a ≠ 0 dan a, b, c} _∈ _R GRAFIK FUNGSI KUADRAT

Grafik fungsi kuadrat berupa parabola

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat:

a. Menentukan titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0 b. Menentukan titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0 c. Menentukan persamaan sumbu simetri: x = −₂_ab

d. Menentukan nilai ekstrem grafik: y = −D 4a

e. Menentukan titik balik:

(

−b 2a,−

D

4a

)

Karakteristik Grafik Fungsi Kuadrat a. Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas b. Jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah

c. Jika D > 0, maka parabola memotong sumbu X di dua titik d. Jika D = 0, maka parabola menyinggung sumbu X di satu titik

e. Jika D < 0, maka parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu X

SOAL LATIHAN

(9)

X Y

f(x) = x2_{– 4x – 5 , x} _∈_R a = ... b = ... c = ...

a > 0 maka kurva terbuka ke ...

a. titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0 x2_{– 4x – 5 = 0}

(x - ....)(x + ....) = 0 x = .... atau x = ....

Titik potong dengan sumbu X adalah (...) dan (...) b. titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0

f(0) = ... = ...

Titik potong dengan sumbu Y adalah (...) c. Persamaan sumbu simetri: x = −b

2a = ...

d. Nilai ekstrem grafik: y = −₄D_a = ... e. Titik balik = (...)

LEMBAR KERJA SISWA 6

Menyajikan masalah nyata berkaitan Fungsi Kuadrat Selesaikan masalah berikut!

Seorang pengusaha meminta sebuah perusahaan konstruksi untuk membangun gedung yang akan ia jadikan pusat perbelanjaan modern. Gedung itu harus beralas persegi panjang dengan luas 20.000 m2_{. Secara spesifik pengusaha tersebut meminta agar} panjang gedung harus 60 m lebih panjang daripada lebarnya. Langkah pertama yang harus dilakukan perusahaan konstruksi adalah mencari lahannya. Berapa ukuran lahan minimal sehingga keinginan pengusaha tersebut dapat terwujud?

Model Matematika:

Luas gedung = L = ... panjang = p

lebar = l = p - ... L = p.l

20.000 = p (...) 20.000 = p2_{- ...} p2_{- ... – 20.000 = 0}

Menyelesaikan masalah matematika Menentukan nilai p dengan rumus abc

(10)

p1,2= −b ±

√

b 2

−4ac

2a

=

−(…..)±

√

(… .)2−4… … …

2… … . =

… … .±

√

… … … . … … … =

… … .± … …..

… … … .

p1 = ... p2 = ...

nilai yang memenuhi adalah ... Sehingga l = ...

Jadi, pangjang gedung = p = ... dan lebar gedung = l = ... LATIHAN

1. Selisih dua bilangan positif adalah 3 dan jumlah kuadratnya adalah 117. Tentukan kedua bilangan tersebut

2. Sebuah kotak terbuka memiliki alas berbentuk persegi dengan sisi x cm, dan memiliki tinggi 4 cm. Jika untuk membuat kotak tersebut diperlukan karton 132 cm2_, maka berapa nilai x?

Lembar Kerja Siswa 1

Topik : Ukuran Sudut 1. Derajat

1 putaran = 360ᵒ

1/360 putaran = 1ᵒ

2. Radian

1 putaran = 1keliling lingkaran

jari−jari =

… … … …..

r = …. radian

Jadi 1 putaran = …. rad 1 rad = …… putaran Hubungan Derajat dengan radian

1 putaran = ….. = …… radᵒ

1 = …….. radᵒ 1 rad = …….ᵒ

Mengubah satuan sudut:

a. Dari derajat ke radian: a = a x ᵒ ᵒ π

180°

(11)

kuadran I

kuadran III kuadran II

kuadran IV

A B

C

D E

F G

4 4

4 9

6

3 5

5 5

LATIHAN

1. Ubahlah menjadi satuan radian

a. 30ᵒ b. 45ᵒ c. 60ᵒ d. 90ᵒ e. 120ᵒ

Jawab:

a. 30 = 30 x ᵒ ᵒ ₁₈₀π _° = …..

b. 45 = 30 x ᵒ ᵒ ₁₈₀π _° = …..

c. 60 = 30 x ᵒ ᵒ ₁₈₀π _° = ….. d. 90 = 30 x ᵒ ᵒ ₁₈₀π _° = ….. e. 120 = 30 x ᵒ ᵒ ₁₈₀π _° = …..

2. Ubahlah menjadi satuan derajat

a. π₅ b. ₁₀π c. ₁₂π d. π₈ e.

π

20 Jawab:

a. π₅ = π₅ x 180_π ° = … b. ₁₀π = … x …… = …

c. ₁₂π = … x …… = … d. π₈ = … x …… = … e. π

20 = … x …… = …

Lembar Kerja Siswa 2

Topik : Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku Perhatikan segitiga-segitiga yang sebangun berikut

(12)

A

y r

x α

B C

L

K

M k

m

α β

l

A B

C

a

c

α β

Perhatikan ΔABC Perhatikan ΔADE Perhatikan ΔAFG

AB AC=

…..

AD AE=

…..

FG AG=

…..

BC AC=

…..

DE AE=

…..

AF AG=

…..

BC AB=

…..

DE AD=

…..

FG AF=

…..

Perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku yang sebangun adalah ……….. Perhatikan segitiga berikut

sin α =

_{… … … .}… … … …

cos α =

_{… … … .}…… … …… … ……

tan α =

_{… … … .}… … …… … …… …

cosec α =

_{… … … .}… … … …

sec α =

_{… … … .}…… … …… … ……

cot α =

_{… … … .}…… … …… … ……

Latihan

1. Tentukanlah nilai sinus, kosinus, tangen, cosec, sec, dan cot untuk sudut α dan β

a. b.

(13)

A

y = 12 r = 13

x ? α

B C

B

A

y = … r = …

x = …. α

2. Diketahui segitigaPQR panjang sisi PQ = 6 cm dan sisi QR =12 cm. Jika siku-siku berada pada titik Q dan sudut α berada di titik P , tentukan nilai Sin α, cos α dan tan α dalam bentuk yang paling sederhana.

3. Sebuah tangga disandarkan pada sebuah tembok rumah , jika tinggi tangga adalah 13meter dan sudut yang terbentuk antara tangga dan tembok 45 0_{tentukanlah jarak lantai} antara tangga dengan tembok tersebut

Lembar Kerja Siswa 3

Topik : Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-siku

1. Diketahui sin α = 12₁₃ . Tentukan: cos α , tan α , cosec α , sec α , dan cot α Jawab:

Dari yang diketahui soal, sin α = _sisimiringsisidepan=12

13

Gambarkan sketsa segitiga siku-siku dengan sisi depan = y = ... dan sisi miring = r = ... Tentukan nilai x dengan teorema Pythagoras.

x =

√

r2−y2 =

√

…2−…2 = ... cos α = sisi samping_sisimiring =BC

AB= …

… sec α =

sisi… …… … … . sisi… …… … … .=

… …=

… …

tan α = sisidepan

sisi samping= AC

… = …

… cot α =

sisi……… ……. sisi… …… ……… ……..=

… …=

… …

cosec α = sisimiring

sisidepan= AB … .=

… …

2. Diketahui cos α = ₃2 . Tentukan: sin α , tan α , cosec α , sec α , dan cot α Jawab:

Dari yang diketahui soal, cos α = sisi samping_sisimiring =…

…

Gambarkan sketsa segitiga siku-siku dengan sisi samping = x = ... dan sisi miring = r = ... Tentukan nilai x dengan teorema Pythagoras.

y =

√

r2

−…2 ₌

√

_…2

−…2 _{= ...} sin α = sisi… … … …_sisimiring = …

AB= …

… sec α =

sisi… …… … … . sisi… …… … … .=

… …=

… …

(14)

B

A

y = … r = …

x = …. α

C

P

5 cm

β α

12 cm

Q _R

tan α = _{sisi… … … …}sisidepan =AC

… = …

… cot α =

sisi……… ……. sisi… …… ……… ……..=

… …=

… …

sisidepan= AB … .=

… …

3. Diketahui tan α = 7

24 . Tentukan: sin α , cos α , cosec α , sec α , dan cot α Jawab:

Dari yang diketahui soal, tan α = sisi… … … .

[image:14.595.70.563.29.634.2]

sisi… … … .= … …

Gambarkan sketsa segitiga siku-siku dengan sisi depan = y = ... dan sisi samping = x = ... Tentukan nilai x dengan teorema Pythagoras.

r =

√

y2+x2 =

√

…2−…2 = ... sin α = sisidepan

sisimiring= AC

… = …

… sec α =

sisi… … … …… … … … . sisi… … … …… … … … .=

… …=

… …

cos α = sisi samping

sisimiring = BC

AB= …

… cot α =

sisi……… ……. sisi… …… ……… ……..=

… …=

… …

sisidepan= AB … .= … … Latihan

Diberikan permasalahan sebagai berikut

1.Diberikan berbagai macam segitiga siku-siku berikut ini berikut:

Dari kedua gambar segitiga siku-siku diatas tenukanlah nilai dari sin α, cos α ,tan α, sinβ, cos β serta tan β

2.Dua orang guru dengan tinggi badan yang sama yaitu 170 cm, sedang berdiri tepat didepan tiang bendera dan memandang puncak tiang bendera sekolahnya. Guru pertama berdiri tepat 10m didepan guru kedua.Jika sudut elevasi guru pertama 600_{dan guru kedua 30}0_{maka :} a.Lukislah model masalah tiang bendera menggunakan konsep segitiga diatas.

b. Hitunglah tinggi tiang bendera sekolah tersebut.

LEMBAR KERJA SISWA 4

C

(15)

kuadran I

kuadran III kuadran II

kuadran IV X Y

X Y

A(1, 0) B(0, 1)

2

2 ₂

1 ?

Topik : Nilai Perbndingan Trigonometri pada Semua Kuadran Perhatikan koordinat cartesius berikut

Lengkapilah tabel berikut dengan memberi tanda + atau

-Kuadran x y r sin α cos α tan α

I + + +

II III IV

LEMBAR KERJA SISWA 5

Topik : Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Sudut-sudut istimewa yaitu ……… a. Sudut 0 dan 90ᵒ ᵒ

Perhatikan lingkaran di samping. Jari-jari lingkaran = r = …

∠ AOA = ….. ∠ AOB = …..

Koordinat titik A (……..) Koordinat titik B (……..) sin 0 = ᵒ y

r = …..

….. = …. sin 90 = ᵒ

y r =

…..

….. = …. cos 0 = ᵒ x_r = …_….._.. = …. cos 90 = ᵒ x_r = …_….._.. = ….

tan 0 = ᵒ y_x = …..

….. = …. tan 90 = ᵒ

y x =

…..

….. = …. b. Sudut 30 dan 60ᵒ ᵒ

Perhatikan segitiga sama sisi berikut. Segitiga sama sisi dibagi menjadi dua sama besar. Lengkapilah sudut-sudutnya dan hitung sisi yang ditanyakan

sin 30 = ᵒ y_r = …..

….. = …. sin 60 = ᵒ

y r =

…..

(16)

A 4 cm B

3 cm α

β

1

1 ?

cos 30 = ᵒ x_r = …_….._.. = …. cos 60 = ᵒ x_r = …_….._.. = ….

tan 30 = ᵒ y_x = …_….._.. = …. tan 60 = ᵒ y_x = …_….._.. = …. c. Sudut 45ᵒ

Perhatikan segitiga siku-siku sama kaki berikut. Lengkapi sudutnya dan hitung sisi yang ditanyakan

sin 45 = ᵒ y_r = …..

….. = …. cos 45 = ᵒ x_r = …_….._.. = ….

tan 45 = ᵒ y_x = …_….._.. = ….

Kesimpulan:

0ᵒ 30ᵒ 45ᵒ 60ᵒ 90ᵒ

sin cos tan

LEMBAR KERJA SISWA 6

Topik : Identitas Trigonometri Mari Buktikan identitas berikut 1. tanα=sinα

cosα

Bukti: sinα

cosα = y r x r

= …_…x… … =

…

… = ……..

2. sin2_{α + cos}2_{α = 1} Bukti:

Ingat teorema Phytagoras sin2_{α + cos}2_{α =}

(

…

...

)

2

+

(

…

...

)

2

=…

…+

…

…=

…+…

… =

…

... = ….. 3. tan2_{α + 1 = sec}2_α

Bukti:

Gunakan identitas nomor 1 4. tan2_{α + 1 =}

(

… … … .

. … … …

)

2

+1 = … … … ._{.… … …} + 1 = … … …_{. …… … …}..+… … … … . =

… … … .

(17)

LEMBAR KERJA SISWA 7

Topik : GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

1. Gambarlah grafik fungsi y = sin x pada interval 0º ≤ x ≤ 360º

Langkah 1 : Lengkapilah table berikut untuk menentukan titik bantu.

x 0

º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º y =

sin x

Langkah 2 : Gambarlah titik bantu pada sumbu koordinat kemudian hubungkan menjadi kurva mulus.

2. Gambarlah grafik fungsi y = cos x pada interval 0º ≤ x ≤ 360º

x 0

cos x

3. Gambarlah grafik fungsi y = tan x pada interval 0º ≤ x ≤ 360º

(18)

A

B

A

g

x 0

tan x

Kesimpulan:

1. Nilai maksimum dan minimum fungsi sinus dan kosinus adalah … dan … 2. Grafik fungsi trigonometri bersifat periodic.

3. Periode grafik fungsi sinus dan kosinus adalah ……… 4. Periode grafik fungsi tangen adalah ………

5. Amplitudo grafik fungsi y = sin x dan y = cos x adalah ………

Lembar Kerja Siswa 1

A. Jarak Antara Titik, Garis, dan Bidang 1. Jaran Antara Dua Titik

Jarak antara dua titik adalah panjang yang menghubungkan kedua titik.

2. Jarak Antara Titik dengan Garis

(19)

A

α

A B

C D

E _F

G H

A B

C D

T

S 3. Jarak Antara Titik dengan Bidang

Jarak antara titik ke bidang adalah panjang garis tegak lurus yang menghubungkan titik ke bidang.

4. Jarak Antara Dua Garis Sejajar

Jarak antara dua garis yang sejajar adalah panjang garis tegak lurus yang menghubungkan kedua garis.

5. Jarak Antara Garis dan Bidang Sejajar

Jarak antara garis dan bidang yang sejajar adalah panjang garis tegak lurus yang menghubungkan garis dan bidang.

6. Jarak Antara Dua Bidang Sejajar

Jarak antara dua bidang yang sejajar adalah panjang garis tegak lurus yang menghubungkan kedua bidang.

LATIHAN

1. Dari kubus ABCD.EFGH berikut, tentukan jarak dari a. Titik A dan E

b. Titik F dan H c. Titik G dan A d. Titik E ke garis AB e. Titik H ke garis BF f. Titik C ke garis BD g. Titik A ke bidang DCGH

2. Limas segi empat beraturan T. ABCD dengan AB = 10 cm dan TS = 12 cm Hitunglah:

a. Jika R titik tengan BC, berapa jarak S ke R b. jarak T ke R

c. jarak T ke bidang ABCD

(20)

A B C D

T

O

g

h

α

g

β

α k

l A

C D

E _F

G H

3. Limas segi empat beraturan T. ABCD dengan AB = 12 cm dan TO = 8 cm Hitunglah:

a. Jarak T ke BC b. jarak T ke C

c. jarak O ke bidang TAD

4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Titik P adalah titik tengah CE. Sketsalah gambar kubus yang dimaksud dan hitunglah jarak antara :

a. Titik G dan titik P b. Titik A dan titik P

c. Titik P dan garis BD

d. Titik B dan garis CH e. Titik A dan garis CE

5. Diketahui limas segiempat T.ABCD dengan AB = 4cm, BC = 3 cm, TA=TB=TC=TD = 6,5 cm. Sketsalah gambar limas segiempat yang dimaksud dan tentukan jarak titik T ke bidang ABCD.

B. Sudut pada Bangun Ruang

1. Sudut antara dua garis dalam ruang

Sudut antara dua garis adalah sudut lancip yang terbentuk di antara kedua garis

2. Sudut antara garis dan bidang pada bangun ruang

Sudut antara garis dan bidang adalah sudut lancip yang terbentuk di antara garis dan proyeksi garis pada bidang

3. Sudut antara dua bidang pada bangun ruang

Sudut antara dua bidang α dan β adalah sudut lancip yang terbentuk oleh garis l pada α dan garis k pada β, di mana l dan k memotong tegak lurus pada garis potong kedua bidang (α, β) di satu titik.

LATIHAN

1. Ditentukan balok ABCD.EFGH. Sebutkan nama sudut antara: a. HF dan DCGH

(21)

A B C D

T

O E

2. Ditentukan limas segi empat beraturan T.ABCD. Sebutkan nama sudut antara: a. TA dengan ABCD

b. TB dengan ABCD c. TC dengan ABCD d. TD dengan ABCD e. TE dengan ABCD

3. Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α. Nilai sin α adalah……

Lembar Kerja Siswa 1

Perhatikan ilustrasi berikut

Pada suatu jalan raya, sebuah mobil melaju dengan kecepatan cukup tinggi. Tiba-tiba pada saat bersamaan, rombongan anak SD menyeberang jalan itu. Pengemudi secara spontan mengurangi kecepatan mobilnya, sehingga dapat terhindar dari kecelakaan. Dari ilustrasi tadi, kita dapat menangkap bahwa mobil itu sudah dekat, sedikit lagi, atau hamper menabrak siswa SD. Dalam matematika, perkataan hampir atau dekat dapat dianalogikan dengan limit.

PENGERTIAN LIMIT SECARA INTUISI

Diberikan fungsi f(x) = x + 2, dengan daerah asal {x│x ∈ R}. Jika x mendekati 2, berapakah nilai fungsi f?

Strategi 1:

Hitung nilai-nilai fungsi f untuk nilai x yang mendekati 2, baik dari kiri maupun dari kanan

x 2,

8 1, 9

1,9 9

1,99

9 →

2 ←2,00

1 2,0₁ 2,₁ 2,₂ f(x) = x +

2 → ←

Strategi 2:

Gambarkan grafik fungsi f(x) = x + 2

Apabila x mendekati 2 dari kiri, maka nilai fungsi f mendekati …. Apabila x mendekati 2 dari kanan, maka nilai fungsi f mendekati …. Jadi, lim

x→2(x

+2)=¿ _….

dibaca limit x mendekati 2 adalah ….

SIFAT-SIFAT LIMIT

Misalkan f(x) dan g(x) adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan k dan c adalah bilangan real serta n adalah bilangan bulat positif.

a. lim_{x→ c}k=k

(22)

b. lim

x→ cx

=c

c. lim

x→ c

[

kf

(x)

]

=k

[

lim

x → cf

(x)

]

d. lim

x→ c

[

f

(x)+g(x)

]

=

[

lim

x→ cf(x)

]

+

[

limx→ cg(x)

]

e. lim

x→ c

[

f

(x)−g(x)

]

=

[

lim

x →cf

(x)

]

−

[

lim

x→ cg

(x)

]

f. lim

x→ c

[

f

(x)× g(x)

]

=

[

lim

x→ cf(x)

]

×

[

limx→ cg(x)

]

g. lim

x→ c

[

f(x)

g(x)

]

=

[

lim

x→ cf(x)

lim

x→ c g(x)

]

dengan lim

x→ cg(x)≠0

h. lim

x→ c

[

f

(x)

]

n=

[

lim

x → cf

(x)

]

n

i. lim

x→ c n

√

f(x)=n

√

lim

x → cf

(x) _{, asalkan} lim

x→ cf(x) > 0 bilamana n genap

Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar

A. Cara Numerik f(x) = x

2

−4

x−2 dengan daerah asal Df = {x│x ∈R dan x ≠ 2}

Tentukan nilai lim

x→2f(x) dengan cara menghitung nilai-nilai fungsi di sekitar x = 2

Jawab:

Lengkapilah tabel berikut

x 1, 7 1, 8 1, 9 1,9 9 1,99 9

→2←2,00

1 2,0 1 2, 1 2, 2

x2−4

x−2

Berdasarkan tabel di atas, terlihat bahwa f(x) = x

2

−4

x−2 mendekati nilai L = ... ketika x

mendekati 2 baik dari kiri maupun kanan.

B. Substitusi

Hitunglah nilai limit fungsi berikut: 1. lim

x→3(4x−5) = 4 (...) – 5 = ... (bandingkan dengan nilai f(3))

2. limx →2 x 2

−4

x−1 =

(… .)2−4

… .−1 =

… … … .

… … … . (bandingkan dengan nilai

f(2))

3. limx →4 x 2

+3x−4

x−4 =

(….)2+3(…)−4

….−4 =

…… ….

…… …. (bandingkan dengan

nilai f(4))

4. limx →0 x 2

+4

x2

−2x =

(… .)2+4

(… .)2−2(… .) =

…… ….

…… …. (bandingkan dengan

nilai f(0))

Jika nilai f(a) merupakan bentuk tak tentu, seperti 0

0 ,

∞

∞ , ~ - ~ , maka nilai limit

(23)

C. Faktorisasi

Perhatikan nilai limit fungsi berikut yang dikerjakan dengan substitusi:

lim

x →2 x 2

−4

x−2 = 22

−4

2−2 = ...

karena nilai limitnya merupakan bentuk tak tentu, maka nilai limit harus ditentukan dengan cara memfaktorkan. Setelah diperoleh faktor yang sama, maka bentuk fungsi dapat disederhanakan.

lim

x →2 x 2

−4

x−2 = lim

x →2(x−2)(x+2)

x−2 =limx→2 … … … …

= ....

Secara umum, pengerjaan limit bentuk tak tentu dapat dilakukan dengan metode pemfaktoran. Misalkan lim

x→ a

[

f(x)

g(x)

]

=

f(a)

g(a)=

0

0 . Upayakan f(x) dan g(x) memiliki faktor yang sama,

misalkan (x – a), sehingga

lim

x→ a

[

f(x)

g(x)

]

=limx→ a

[

(x−a). p(x)

(x−a). q(x)

]

=limx →a

[

p(x)

q(x)

]

=

p(a)

q(a)

dengan syarat p(a) ≠ 0 dan q(a) ≠ 0 Latihan:

Tentukan nilai limit berikut

1. limx →3 x 2

+x−12

x−3 = lim

x →3(x−…)(x+…)

x−3 =limx →3… … … …

= ....

2. x →lim−22x 2

+3x−2

x+2 = lim

x →−2(… …… …)(… …… …)

x+2 =x →lim−2… … … …

=…

3. limx →0 x 2

−x

x2+3x

= limx →0 x(…… …..)

x(… … …..) =limx →0… … …=…

D. Mengali Faktor Sekawan Misal f(x) = g(x)

h(x) dengan g(x) dan h(x) adalah fungsi bentuk akar.

Jika lim

x→ a

[

g(x)

h(x)

]

=

g(a)

h(a)=

0

0 , maka untuk menentukan nilai limit f(x), kita harus

menyederhanakan pecahan g(x)

h(x) dengan mengalikan faktor sekawan dari g(x) atau h(x).

Selanjutnya perhitungan limit dilakukan dengan substitusi.

Latihan

1. limx →1 x−1

√

x−1 =

lim

x→1 x−1

√

x−1 ×

√

x+1

√

x+1=

lim

x →1(x−1)(… … …..)

…..−1 =limx→1… … …

= ...

2. limx →4 x 2

−16

√

x−4

= limx →4 x 2

−16

√

x−4 .

√

x−4

√

x−4

=

x

(¿¿2−16)

√

x−4

… … …… .

lim

x→4¿

=

lim

x →4

(… … …..)(… … … …)

√

x−4

… … … … = lim

x →4

(…… …)

√

x−4 _{= ………..}

(24)

3. limx →2

√

x+2−

√

6−x

x−2 = lim

x→2

√

x+2−

√

6−x

x−2 ×

√

x+2+

√

6−x

√

x+2+

√

6−x =

lim

x →2… … … …..

(x−2)(… … …..… … … …)

= limx →2….

(…… …)

(x−2)(…..… … … …)

= limx→2… .

…..… … … … = … . … .

SOAL LATIHAN

Tentukan nilai limit berikut dengan substitusi. Jika hasilnya bentuk tak tentu, maka gunakan cara faktorisasi atau mengali factor sekawan

1. lim

x →−12x 3

−8x

2.

lim

x→3x

√

x2

+7

3. x →lim−2x 2

+5x+6

x3

−4x

4. limx →02x 9

−9x2

5x7−x2

5. limx →0

√

9+x−

√

9−x

x

6. limx→3x

−3

√

x+4−

√

2x+1

7. x →lim−24−x 2

3−

√

x2

(25)

Lembar Kerja Siswa 1

Topik : Penyajian Data Tunggal dalam Bentuk Tabel dan Diagram Mean, Median, Modus Data Tunggal

A. Penyajian data tunggal dalam bentuk tabel dan diagram

Hasil pengukuruan berat badan 40 orang siswa di kelas X 4 SMA Pertiwi adalah sebagai berikut:

35 39 37 37 35 38 35 36

37 37 37 35 35 39 36 37

37 38 39 37 37 38 36 38

38 35 39 37 36 37 38 39

39 35 39 37 38 36 39 38

Sajikan data tersebut dalam bentuk: a. Tabel

Berat Badan (kg) Turus Frekuens i

Jumlah b. Diagram Garis

[image:25.595.73.509.126.502.2]

(26)

35 36 37 38 39 _{Berat Badan} (kg)

Frekuens i

35 36 37 38 39 Berat Badan (kg)

Frekuens i

c. Diagram Batang

[image:26.595.92.484.361.766.2]

Perhatikan tabel yang telah kalian buat. Berdasarkan data pada tabel tersebut, gambarkan diagram batangnya!

d. Diagram Lingkaran

Berat Badan (kg) Frekuensi Derajat

(27)

Jumlah 40 Buatlah diagram lingkarannya!

Soal Latihan

Diketahui data tentang tinggi badan 20 siswa (dalam cm) sebagai berikut : 156, 158, 160, 164, 160, 156, 160, 162, 164, 160

156, 160, 160, 164, 170, 158, 156, 170, 155, 155 Sajikan data di atas dalam bentuk :

a. Tabel

b. Diagram garis c. Diagram batang dan d. Diagram lingkaran

Lembar Kerja Siswa 2 Topik :

- Menyusun Tabel Distribusi Frekuensi Berkelompok$ - Menyusun Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif - Menggambar Histogram, Poligon dan Ogive A. Tabel Distribusi Frekuensi Berkelompok

Perhatikan tabel distribusi frekuensi berkelompok berikut. Panjang Benda(cm) Frekuens

i

71 – 80 2

81 – 90 4

91 – 100 25 101 – 110 47 111 – 120 18 121 – 130 4

[image:27.595.75.487.60.781.2] [image:27.595.105.471.69.370.2]

(28)

Data tersebut dikelompokkan menjadi ... kelas. Kelas pertama : ... - ...

Kelas kedua : ... - ... Kelas ketiga : ... - ... Kelas keempat : ... - ... Kelas kelima : ... - ... Kelas keenam : ... - ... 2. Batas Kelas

Batas bawah kelas adalah nilai di ujung bawah kelas. Batas atas kelas adalah nilai di ujung atas kelas. Misal kelas pertama: 71 – 80

Batas bawah : ... dan batas atas : ... 3. Tepi Kelas

Tepi Bawah = batas bawah – 0, 5 Tepi Atas = batas atas + 0, 5 Misal kelas pertama: 71 – 80 Tepi bawah : ... Tepi atas : ...

4. Panjang Kelas = Tepi atas – tepi bawah 5. Titik tengah kelas = 1

2 (batas bawah + batass atas)

MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI BERKELOMPOK Suatu data tinggi badan diperoleh dari 40 siswa.

157 149 125 144 132 156 164 138 144 152 148 136 147 140 158 146 165 154 119 163 176 138 126 168 135 140 153 135 147 142 173 146 162 145 135 142 150 150 145 128

Buatlah tabel distribusi frekuensi berkelompok untuk data tersebut. Ikuti langkah-langkah berikut.

Jawab: Langkah 1:

Tentukan x maks = ... dan x min = ...

Rentang (range) = R = x maks – x min = ... - ... = ... Langkah 2:

Banyak data = n = ....

Banyak kelas = k = 1 + 3,3 log n = 1 + 3, 3 log ... = 1 + ... = ... Banyak kelas dapat dibulatkan menjadi =...

Catatan:

Menentukan banyakkelas dengan aturan Sturgess, nilai k bukan bilangan bulat. Nilai k dapat dibulatkan ke bawah atau ke atas sedemikian sehingga panjang kelas yang diperoleh

merupakan bilangan ganjil dan tidak terlalu besar. Langkah 3:

Panjang kelas = p = R : k = ... : ... = ... P = ... (dibulatkan)

Langkah 4:

(29)

Tepi Atas Kelas keempat: ... - ...

Kelas kelima : ... - ... Kelas keenam : ... - ... Kelas ketujuh : ... - ... Langkah 5:

Tentukan frekuensi setiap kelasnya. Buatlah tabel distribusi frekuensi berkelompok Tinggi badan (cm) Turus Frekuensi (f)

119 – 127

Jumlah 40

B. Menyusun Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif 1. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari

Frekuensi Kumulatif Kurang Dari ( fk kurang dari) jumlah frekuensi semua nilai amatan yang ...

Dan dilambangkan dengan ... 2. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari

Frekuensi Kumulatif Lebih Dari ( fk lebih dari) jumlah frekuensi semua nilai amatan yang ...

Dan dilambangkan dengan ...

Salin kembali tabel frekuensi berkelompok pada LKS 1 Tinggi badan (cm) Frekuensi (f)

119 – 127

Jumlah 40

Hasil Pengukuran

(cm) kumulatif (fFrekuensik ≤)

≤ 127,5 3

≤ 136,5 9

≤... ≤... ≤... ≤... ≤...

(30)

0 2 4 6 8 10 12

118,5 127,5136,5 145,5154,5163,5172,5181,5 Tepi Bawah

C. Menggambar Histogram, Poligon dan Ogive

Sajian tabel distribusi frekuensi dengan menggunakan gambar berbentuk persegi panjang yang berimpit disebut ...

Apabila titik-titik tengah dari bagian atas persegi panjang pada histogram tersebut dihubungkan, akan diperoleh diagram garis yang disebut ...

Titik-titik yang merupakan pasangan nilai tepi keas dengan nilai frekuensi kumulatif kemudian dihubungkan menjadi kurva mulus disebut...

[image:30.595.200.394.63.245.2]

Kurva untuk tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari disebut ... Kurva untuk tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari disebut ... Tugas

Gambarkan histogram, poligon, ogive positif dan ogive negatif dari tabel frekuensi yang telah kalian lengkapi di bagian A.

Lembar Kerja Siswa 3

Hasil Pengukuran

(cm) kumulatif (fFrekuensik ≥)

≥ 118,5 40

≥ 127,5 37

≥ ... ≥ ... ≥ ... ≥ ... ≥ ...

(31)

Topik : Menentukan Mean, Median dan Modus Data Tunggal A. Menentukan Rata-Rata (Mean) Data Tunggal

(1) Nilai ulangan harian matematika 4 orang siswa sebagai berikut;

76 80 50 95

Berapa nilai rata-ratanya? Penyelesaian:

´

x=

∑

x

n =

…+…+…+…

… = ...

(2) Nilai ulangan harian kimia 5 orang siswa sebagai berikut: 50 40 45 60 75

Berapakah nilai rata-rata? Penyelesaian:

´

x=

∑

x

n =

…+…+…+…+…

… = ...

(3) Nilai ulangan harian fisika 6 orang siswa sebagai berikut; 70 80 75 45 50 60

Berapakah nilai rata-rata? Penyelesaian:

´

x=

∑

x

n =

…+…+…+…+…+…

… = ...

Kesimpulan:

 Nilai rata – rata =……….. (4) Perhatikan tabel data tunggal pada LKS 1

BeratBadan (kg) Frekuens i

Jumlah

Menentukan mean data tunggal yang memiliki frekuensi x f F . x

Jumlah

 ´x=

∑

fx

(32)

B. Menentukan Median Data Tunggal

(1) Nilai ulangan harian kimia 3 orang siswa sebagai berikut: 72 53 60

Berapakah nilai tengah (median)? Penyelesaian:

Urutkan data tersebut dari yang terkecil: ….. ….. …..

Nilai tengahnya (median) adalah datum ke ….. = ….. (2) Nilai ulangan harian fisika 4 orang siswa sebagai berikut;

76 80 56 93 Berapakah nilai tengahnya? Penyelesaian:

Urutkan data tersebut dari yang terkecil:

….. ….. ….. ….. Nilai tengahnya (median) adalah datum ke ….. = …..

(3) Nilai ulangan harian kimia 5 orang siswa sebagai berikut: 50 40 45 60 75

Berapakah nilai tengah (median)? Penyelesaian:

…. . ….. ….. ….. ….. Nilai tengahnya (median) adalah datum ke ….. = ….. (4) Nilai ulangan harian fisika 6 orang siswa sebagai berikut;

70 80 75 45 50 60 Berapakah nilai tengahnya? Penyelesaian:

…. . ….. ….. ….. ….. …..

Nilai tengahnya (median) adalah datum ke ….. = ….. Kesimpulan:

 Jika ukuran data n ganjil, maka mediannya adalah nilai datum yang di tengah yaitu datum ke …………..

Me = datum ke (…+…) 2

 Jika ukuran data n genap, maka mediannya adalah nilai rataan dari datum ke ….. dan ke …………..

(33)

C. Menentukan Modus Data Tunggal

(1) Nilai ulangan harian matematika 10 orang siswa sebagai berikut: 72 53 60 75 80 75 80 80 85 90

Berapakah nilai modus? Penyelesaian:

Tuliskan data yang sering muncul adalah: N ilai Modus adalah …..

(2) Nilai ulangan harian fisika 6 orang siswa sebagai berikut; 76 80 56 93 76 80

Tuliskan data yang sering muncul: ……. Nilai modus adalah = …..

(3) Nilai ulangan harian kimia 8 orang siswa sebagai berikut: 50 70 45 75 75 85 85 70

Tuliskan data yang sering muncul: ... Nilai modus adalah = …..

Kesimpulan:

Jadi nilai modus adalah nilai yang ... Latihan

1. Tentukan mean, median dan modus dari data berikut: 60, 70, 65, 60, 75, 80, 80, 90, 45, 50

2. Diketahui tinggi badan siswa kelas X adalah sebagai berikut : Tinggi Frekuensi

147 6

148 5

150 6

152 8

155 7

Tentukan :

a. Rata-rata b. modus

3. Suatu lembaga survey menemukan 10 Usaha Kecil Menengah (UKM) yang tersebar di Kabupaten Bahagia yang memproduksi berbagai produk seperti: Kerajinan tangan, makanan kering, dan asesoris. Lembaga Survey tersebut memperoleh data produksi sepuluh UKM untuk tahun 2012 yakni sebagai berikut

UKM A B C D E F G H I J

Jumlah Produksi (Unit) 5 0

6 5

7 0

8 0

4 5

5 5

7 5

7 0

8 5

(34)

Lembar Kerja Siswa 4

Topik : Menentukan Mean dan Modus Data Berkelompok A. Menentukan Mean Data Berkelompok

Lengkapilah tabel berikut

Tinggi Badan (cm) Titik Tengah (xi) Frekuensi (fi) Fi . xi

150 – 152 151 2 302

153 – 155 9

156 – 158 14

159 – 161 8

162 – 164 5

165 – 167 2

Jumlah

´

x=

∑

Fx

n = ...

B. Menentukan Modus Data Berkelompok

Nilai F

55 – 59 6

60 – 64 8

65 – 69 16

70 – 74 10

75 – 7 6

80 - 84 4

Jumlah Tentukan:

Kelas modus = ... - ... karena frekuensinya tertinggi L = tepi bawah kelas modus = ... – 0, 5 = ...

d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya = ... - ... = ... d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya = ... - ... = ... p = panjang kelas = ....

Mo = L +

(

d1

d₁+d₂

)

. p = ...

LEMBAR KERJA SISWA 1

Topik : Ruang sampel, Titik sampel, Peluang A. Ringkasan Materi

Ruang sampel : himpunan semua kejadian yang mungkin dari suatu percobaan Dituliskan dengan huruf ...

Titik sampel : anggota ... Peluang

P(A) = … …… … … ._{… … … ……}

(35)

Dadu Kedua

Dadu Pertama

A

A A

G

… … … … … … …

AAA B. Soal

1. Pada suatu percobaan, dua buah dadu dilemparkan secara bersamaan. a) Tentukan ruang sampel dan banyak titik sampel

Ruang sampel pada percobaan ini dapat dituliskan dalam tabel berikut. Lengkapilah

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1)

2 (2, 3)

3

4 (4, 5)

5

6 (6, 4)

Banyak titik sampel : n(S) = …

b) Tulislah kejadian-kejadian berikut dengan notasi himpunan dan tentukan banyak anggotanya

A = kejadian muncul kedua mata dadu angka yang sama

A = {(1, 1) , (2, 2) ,……….} n(A) = … B = kejadian muncul jumlah mata dadu sama dengan 10

B = {………} n(B) = … c) Tentukan P(A) dan P(B)

P(A) = n(A)

n(S)=

…

… P(B) = …. n(S)=

… …

2. Pada percobaan melempar sekeping uang logam dan sebuah dadu secara bersamaan, tentukan

a) Tentukan ruang sampel dan banyak titik sampel Lengkapilah tabel berikut.

1 2 3 4 5 6

A (A, 1)

G (G, 4)

n(S) = …

b) Tulislah kejadian berikut dalam notasi himpunan dan tentukan banyak anggotanya D = kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan angka prima pada dadu

D = {………} n(D) = …

c) Tentukan P(D) P(D) = ……

……= … …

3. Tiga buah uang logam dilempar bersamaan.

a) Tentukan ruang sampel dan banyak titik sampel Dadu Uang

(36)

S = {AAA, ………..………} n(S) = …

b) Tuliskan dengan notasi himpunan kejadian berikut dan tentukan P(E) E = kejadian muncul satu gambar dan dua angka

E = {……….} n(E) = … P(E) = ……

……= … …

Lembar Kerja Siswa 2

Topik : Frekuensi Harapan dan Komplemen Suatu Kejadian A. Ringkasan Materi

Frekuensi Harapan

Jika sekeping uang logam dilempar satu kali, maka peluang munculnya sisi gambar adalah ½. Jika percobaan tersebut dilakukan 50 kali maka banyak munculnya sisi gambar yang diharapkan adalah 25 kali. angka 25 tersebut menyatakan frekuensi harapan kejadian munculnya sisi angka.

25 = ½ x 50 Simpulkanlah:

Misalkan sebuah percobaan dilakukan n kali dan P(A) adalah peluang kejadian A, maka frekuensi harapan kejadian A adalah:

Fh = ... x ... Keterangan:

Fh : frekuensi harapan n : banyak percobaan P(A) : peluang kejadian A

Peluang komplemen suatu kejadian:

Pada percobaan melempar sebuah dadu sebanyak satu kali. A = kejadian muncul mata dadu 1, maka A = { 1 }

A’ = kejadian muncul mata dadu bukan angka 1, maka A’ = {2,...} n(A) = 1, n(A’) = ..., dan n(S) = ..., sehingga diperoleh hubungan n(A) + n(A’) = n(S)

Masing-masing ruas dibagi n(S)

n(A)

n(S)+

n(A ')

n(S) =

n(S)

P(A) + P(A’) = ... Simpulkan:

A’ adalah komplemen kejadian A. Peluang komplemen kejadian A’ ditulis P(A’) P(A’) = ... – ...

B. SOAL

1. Dua buah dadu dilempar bersamaaan sebanyak 72 kali. Berapa frekuensi harapan munculnya jumlah kedua mata dadu sama dengan 5?

Jawab:

A adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu sama dengan 5

A = {… … … …… … … …} n(A) = … n(S) = … P(A) ¿n(A)

n(S)=

…

… Fh = n x P(A) = … x … = …

(37)

2. Peluang kesebelasan Indonesia memnangkan pertandingan melawan Malaysia adalah 0, 75. Berapa peluang kesebelasan Indonesia kalah?

Jawab:

P (A) = … P(A’) = 1 – P(A) = ………

3. Pada percobaan melempar dua buah dadu. Berapa peluang muncul mata dadu jumlahnya tidak sama dengan 12?

Jawab:

A : kejadian muncul jumlah sama dengan 12 = {...} A’ : kejadian muncul jumlah tidak sama dengan 12

P(A) = n(A)

n(S)=

…

… P(A’) = …

4. Dua keping uang logam dilempar bersama-sama sebanyak satu kali. Tentukan a. Peluang kejadian munculnya paling sedikit satu gambar

b. Peluang kejadian munculnya tidak ada gambar Jawab:

a. Misal A adalah kejadian munculnya paling sedikit satu gambar A = {… … … …} n(A) = …

S = {… … … …} n(S) = … P(A) ¿n(A)

n(S)=

… …

b. Karena A adalah kejadian munculnya paling sedikit satu gambar, maka A’ adalah kejadian munculnya tidak ada gambar

P(A’) = 1 – P(A) = 1 - ... = ...

Lembar Kerja Siswa 3

Topik : Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Tidak Saling Lepas dan Saling Lepas

A. Ringkasan Materi

Peluang gabungan dua kejadian A atau B ditulis P(A ∪ B)

1. Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Tidak Saling Lepas

P(A ∪ B) = ... + ... - ...

2. Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Saling Lepas

Kejadian tidak saling lepas jika ada irisan dari kedua himpunan

Kejadian saling lepas jika tidak ada irisan dari kedua himpunan

A B

S

(38)

P(A ∪ B) = ... + ...

B. SOAL

1. Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu. Berapa peluang terambil kartu hati atau kartu As?

Jawab:

A = kejadian terambil kartu hati n(A) = ... P(A) = ₅₂…=…

…

B = kejadian terambil kartu As n(B) = ... P(B) = … 52=

… …

n(A ∩ B) = ... n(S) = 52 P(A ∩

B) = …_…

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = …

…+ … …−

… …=

… …

2. Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Berapa peluang muncul jumlah kedua dadu sama dengan 6 atau 9?

Jawab:

A = kejadian muncul jumlah kedua dadu sama dengan 6 = {(1, 5), (2, 4), (...), (...), (...)}

B = kejadian muncul jumlah kedua dadu sama dengan 9 = {...}

A ∩ B = {... } maka A dan B dua kejadian yang saling lepas n(A) = ... n(B) = ... n(S) = ...

P(A) = …_… P(B) = …_… P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = …

…+ … …=

… …=

… …

3. Dalam sebuah kantong berisi 7 kelereng merah, 5 kelereng hijau, dan 4 kelereng biru. Diambil sebuah kelereng secara acak. Berapa peluang terambil kelereng merah atau hijau?

Jawab:

A = kejadian terambil kelereng merah n(A) = 7 B = kejadian terambil kelereng hijau n(B) = ...

C = kejadian terambil kelereng biru n(C) = ... n(S) = ... P(A) = …

… P(B) = … …

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = …_…+…

…= … …=

… …

4. Dari 100 orang siswa, 30 orang suka belajar komputer, 30 orang suka bahasa Inggris dan 20 orang suka keduanya. Jika seorang siswa dipilih secara acak, tentukan peluang siswa tersebut suka belajar komputer atau bahasa Inggris?

Jawab:

A = siswa suka belajar komputer B = siswa suka belajar bahasa Inggris A ∩ B = siswa suka belajar keduanya

(39)

P(A) = …_… P(B) = …_… P(A ∩ B) = …_… P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = …

…+ … …−

… …=

… …

5. Sebuah kantong berisi 12 bola kuning, 4 bola hijau dan 8 bola biru. Diambil secara acak sebuah bola dari kantong tersebut. Tentukan peluang terambil 1 bola kuning atau 1 bola hijau!

Jawab:

A = kejadian terambil bola kuning n(A) = ... P(A) =

… …

B = kejadian terambil bola hijau n(B) = ... P(B) =

… …

C = kejadian terambil bola biru n(C) = ... n(S) = ... P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = …_…+…

…= … …=

… …

6. Dua buah dadu dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali. Hitunglah peluang kejadian munculnya jumlah kedua dadu sama dengan 4 atau 7!

Jawab:

A = kejadian muncul jumlah kedua dadu sama dengan 4 n(A) = ... = {...}

B = kejadian muncul jumlah kedua dadu sama dengan 7 n(B) = ... = {...}