PEMBAHASAN SOAL DIMENSI TIGA
1.
Jarak titik C terhadap bidang AFH adalah CQ CQ = AC sin ∝
sin∝=PT
AT
AC=
√
62+62
=6
√
2 PT = tinggi = rusuk = 6 cmAT=
√
AP2 +PT2AP=1
2AC= 1
2.6
√
2=3√
2AT=
√
(3√
2)2+62=
√
18+36=√
54=3√
6CQ = AC sin ∝=6
√
2. 63
√
6=12√
2√
6.√
6√
6=12
6
√
12=2.2√
3=4√
3 Jawaban : B2.
1 P
T
∝
A
B
C D
E F
G H
E F
Panjang proyeksi AH pada bidang BDHF adalah panjang PH
PH=
√
AH2−AP2Segitiga APH=segitiga siku−sikudi P
AP=1
2AC
AC=8
√
2 . Jadi AP=12.8
√
2=4√
2 AH = diagonal bidang = 8√
2PH=
√
AH2−AP2=√
(
8√
2)
2−(
4√
2)
2=√
128−32=√
96=4√
6cmJawaban: C
3. AD tegak lurus alas, berarti AD ⊥ AC dan AD ⊥ DB Dari gambar terlihat ∠BDC = siku-siku
E C
B P
D A
4
c
m
tan∝=AD
DE; AD=4cm
DE=DBcos900
2 =DBcos 45 0
=2.1
2
√
2=√
2cmtan∝= 4
√
2= 42
√
2=2√
2cm Jawaban : E4.
BG sejajar AH.
∠
BE, AH
∠
BE, BG
60 0 Jawaban : C5. Pada kubus ABCD.EFGH, titik P, Q, dan R terletak di pertengahan rusuk AD, BC, dan CG.
R G
X Y
H
F S
E H
F
G
C D
B A
Langkah- langkah melukisnya adalah:
Hubungkan titik P dan Q, karena keduanya terletak pada bidang ABCD. PQ adalah sumbu afinitas.
Hubungkan titik Q dan R, karena keduanya terletak pada bidang BCGF.
Perpanjang garis QR dan FG sehingga berpotongan di titik X.
Perpanjang garis EH.
Dari titik X buatlah garis yang sejajar HG sehingga memotong perpanjangan garis EH di titik Y.
Hubungkan titik P dan Y sehingga memotong sisi DCGH di titik S. Diperolehlah persegi panjang PQRS.
Jadi, irisan bidangnya berbentuk persegi panjang. Jawaban : E
6. T.ABCD limas beraturan dengan panjang rusuk alas 12 cm dan rusuk tegak = 12
√
2cm.Jarak A ke TC = AP
∆ ATP = ∆ siku-siku di P Perhatikan ∆ ATC.
AC adalah diagonal sisi alas limas. AC = 12
√
2 cm.AT = CT = 12
√
2 cm (rusuk tegak)Karena AC = CT = AT = 12
√
2 cm maka ∆ ACT adalah segi tiga sama sisi.P QC
CT adalah alas ∆ ACT sedangkan AP adalah garis tingginya. Dengan demikian CP = TP
= 12 CT = 6
√
2 cm.Karena ∆ ATP siku-siku, maka berlaku : AP2 = AT2 – TP2
= (12
√
2)2 – (6√
2)2 = 288 – 72 = 216AP =
√
216 cm = 6√
6 cm Jadi jarak A ke TC adalah 6√
6 cm. Jawaban : C7. Bidang empat beraturan dengan panjang rusuk 4 cm. Suut antara TP dengan bidang alas = sudut TPC. Dari ∆ TPC terlihat
TP = PC TP =
√
42−22=
√
12 = 2√
3 Dan TC = 4Dari rumus cosinus didapat : TC2=TP2+PC2−2TP . PCcosα
42=(2
√
3)2+(2√
3)2−2.(
2√
3) (
2√
3)
cosα16=12+12−2.12 cosα
−8=−24 cosα
cosα= 8
24= 1 3 Lihat gambar !
tanα=2
√
28. Limas T.ABCD dengan panjang rusuk tegak =
√
11 cm dan panjang rusuk alas = 2√
2 cmSudut antada bidang TAD dan TBC adalah α . Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah ¿ PTQ = α
AP = 12 AD =
√
2 TP = TQTP2
=TA2
−AP2 11
√¿ ¿ ¿ ¿ ¿
= 11 – 2 = 9
TP =
√
9 = 3 = TQ PQ = AB = 2√
2Dari rumus cosinus didapat :
PQ2
=TP2
+TQ2
−2TP . TQcosα
(2
√
2)2=32+32−2.3.3 cosα8=18−18 cosα
18 cosα = 18 – 8 = 10 cosα=10
18= 5 9 Jawaban : B
9. Prisma segi empat beraturan ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm dan tinggi prisma 8 cm. Jarak D ke garis HT adalah DP
DP = TD sin¿PTD
¿PTD=¿HTD , jadi
DP=TDsin¿HTD
TD = 12 diagonal alas = 12×6
√
2=3√
2 cm sin¿HTD=DHTH
DH = tinggi prisma = 8 cm TH =
√
TD2+DH2
=
√
(3√
2)2+82 =√
18+64=√
82 , jadi :sin¿HTD= 8
√
82 Sehingga didapat :DP = TDsin¿HTD=3
√
2. 8√
82= 3
√
2×8√
2√
41 =24
√
41=Jawaban : B
10. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm.
α adalah sudut antara BF dan bidang BEG sinα=FI
BI
FI = 1
2 diagonal sisi = 1
2×4
√
2=2√
2 BI =√
FI2+BF2
=
√
(2√
2)2+42 =√
8+16 =√
24=2√
6Sehingga didapat : sinα=FI
BI=2
2
√
2 2√
6 =√
2√
2√
3= 1√
3=1 3
√
3 Jawaban : C11. Limas beraturan T.ABC dengan panjang rusuk alas 6 cm dan rusuk 9 cm. sudut antara bidang TAB dengan bidang ABC adalah ¿TDC=α
cosα=DE
TD
Karena T.ABC limas beraturan, maka DE = 1 3 DC DE = 1
3.
√
BC 2−BD2 = 1
3.
√
6 2−32=1
3
√
27 = 13.3√
3=√
3 TD =√
TB2−BD2 =√
92−32=
√
72=6√
2 cosα=DETD=
√
3 6√
2=√
6 12sinα=
√
1−cos2α =√
1−(√
6 12)2
=
√
1− 6144=
√
144−6 144 =
√
138 12 Jawaban : D12.
7 D
E
F T
C A 5
AE = jarak (A,TBC)
BC=
√
52+52=5√
2 TC=√
52+52=5
√
2CD=1
2TC=5
√
2BD=
√
BC2−CD22 5√¿
¿
¿2−(5
2
√
2) 2 ¿ ¿¿√¿
AE=
√
AB2−BE2
=
√
52−
(
23
√
752
)
2=
√
25−503 =
√
253 = 5 3
√
3 Jawaban : B13.
∝=∠(ADHE, ACH)=∠CPD
Misal: rusuk kubus = a
PD=1
2ED= 1 2a
√
2CP=
√
CD2+PD2=√
a2+(
12a
√
2)
2=
√
a2+12a 2
=
√
32a 2
=1
2a
√
6cos∝=PD
CP=
1 2a
√
2 1 2a√
6=
√
2√
6=√
1 3=1 3
√
3 Jawaban : B14. Kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 4 cm. P titik tengah EH. Ditanyakan jarak P terhadap garis CF.
Jarak suatu titik terhadap garis adalah jarak tegak lurus titik tersebut terhadap garis atau perpanjangannya.
Jarak P terhadap CF adalah PQ. PQ=CPsin(∠PCF)
Untuk mencari sin ∠PCF digunakan rumus cosinus
PF2
=CP2
+CF2
−2CP .CF cosθ
PF2=FE2+EP2=42+22=20
CP2=CD2+DH2+HP2=42+42+22=36
CP=
√
36=6 CF2=CB2 +BF2
=42
+42=32
CF=
√
32=4√
2cos∠PCF=68−20
48
√
2 = 1 2√
2 sin∠PCF=√
1+(12
√
2) 2=1 2
√
2PQ=CPsin∠PCF=6.1
2
√
2=√
18 Jawaban : B15. Kubus ABCD.EFGH, α sudut antara bidang ACF dan ABCD. 12+¿(
1 2√2)
2
=
√
1+24=
√
3 2PF=√¿ PFsin∝=1
sin∝= 1
PF=
1
√
3 2=
√
2√
3= 1 3√
6 Jawaban : B16. KL= jarak (K,CH)
CH=12
√
2cmKC=
√
122+62=√
180=6√
5DK=KC=6
√
5 56√¿ ¿
¿2
¿ 122+¿
KH=√¿
KH2=KC2+CH2−2.KC . CH .cos∠KCH
182
=(6
√
5)2+(12√
2)2−2.6√
5.12√
2 cos∠KCH324=180+288−144
√
10 cos∠KCH144
√
10 cos∠KCH=144 cos∠KCH= 144144
√
10= 1√
10 sin∠KCH= 3√
10 sin∠KCL=KLKC
3
√
10=KL
6
√
5√
10KL=18√
5KL=18
√
5