kalkulus bab iii limit fungsi

BAB III

LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

3.1 Pendahuluan

Sebelum mambahas limit fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi f bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal terdapat suatu fungsi f(x) = x + 4. Untuk menentukan harga f bila x mendekati bilangan ril tertentu, misal 2, kita dapat mengamatinya dengan bantuan tabel dan Gambar 3.1 berikut.

x f(x) x f(x)

1,9 1,99 1,999 1,9999

5,9 5,99 5,999 5,9999

2,1 2,01 2,001 2,0001

6,1 6,01 6,001 6,0001

Dari Tabel atau Gambar 3.1 dapat dilihat bahawa untuk x mendekati 2 (baik dari arah kiri mulai dari 1,9 maupun dari arah kanan mulai dari 2,1) didapat harga f yang

6,0001

5,9999 6 0,0001

0,0001

2

1,9999 0,0001

0,0001 0,0001

0 x

y

mendekati 6. Sedangkan untuk x = 2 harga f adalah 6. Selanjutnya coba perhatikan fungsi x lainnya, yaitu

f(x) =

3 x

3 x x 3 x3 2

+ + + +

Jika fungsi pembilang kita faktorkan didapat : f(x) =

3 x

) 3 x )( 1 x ( 2

+ + +

atau f(x) = x2 +1 untuk x ¹ -3. Artinya f(x) = x2

+ 1 tak terdefinisi untuk x = -3. Untuk mengamati perilaku fungsi disekitar titik x = -3 berikut perhatikan buat Tabel dan Grafik fungsi f(x) = x2 _{+1 untuk x ¹ -3 (Gambar 3.2).}

x f(x) x f(x)

-3,1 -3,01 -3,001 -3,0001

10,61 10,0601 10,006001 10,00060001

-2,9 -2,99 -2,999 -2,9999

9,41 9,9401 9,994001 9,99940001

Jika kita perhatikan Tabel dan Gambar diatas maka kita dapat melihat bahwa untuk harga x mendekati -3 maka harga f(x) mendekati 10. Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa :

1. Jika sebuah fungsi terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat bilangan ril c tertentu, kecuali mungkin di titik c itu sendiri, dan

o

-3

-3,0001 -2,9999

0,0001 0,0001

9,99940001 10,00060001

0 y

x

2. bila f(x) mendekati bilangan ril L tertentu pada saat x mendekati c, maka dapat ditulis :

L ) x ( f lim

c x

=

® ( 3.1 )

dibaca “ limit f(x) adalah L bila x mendekati c” atau “f(x) mendekati L bila x mendekati c”

3.2 Definisi limit

Perhatikan Gambar 3.3 berikut !

Untuk x < c , maka : 0 < c – x < d _{atau 0 > x – c > -}d Untuk x > c , maka : 0 < c – x < d

Dari kedua persamaan diatas didapat : ₀< _x-_c <d _{( 3.2 )} Untuk f(x) < L, maka L – f(x) < e _{atau f(x) – L > -}

e

Untuk f(x) > L, maka f(x) – L < e_.

Sehingga didapat : _f(x)-_L <

e

_{( 3.3 )}

Dari Gambar 3.3 dan persamaan 3.1 s/d 3.3 maka didapat definisi sebagai berikut : c - d _{x c x c +} d

L +

e

f(x) L f(x)

L -

e

e

e

f(x) - L f(x) - L

0 y

x

Gambar 3.3

c-x x-c

3.3 Limit fungsi

Untuk menyederhanakan permasalahan, berikut diberikan rumus-rumus penyelesaian limit yang didapat dengan bantuan definisi limit. Pada rumus-rumus ini b, c, k dan L adalah bilangan-bilangan ril, a bilangan ril positif, sedangkan m dan n adalah bilangan ril positif.

Teorema-teorema 1. lim x c

c x

=

® ( 3.5 )

Bukti :

Untuk setiap e _{> 0 maka terdapat} d _{> 0 sedemikian rupa sehingga :} jika 0 < x-c _< d _{maka terdapat x}-_{c <} e_{. Jadi untuk} e ₌ d _{didapat :}

c

x- _< d _(terbukti) Contoh 3.1

a) lim x 5 5 x

= ®

b) lim x 7 7 x

-= -®

2. lim k k c x

=

® ( 3.6 )

Bukti :

Untuk setiap e _{> 0 maka terdapat} d _{> 0 sedemikian rupa sehingga :}

jika 0 < x-c < d _{maka terdapat k-k <} e_{. Karena k-k = 0 dan 0 <} e_{, maka} definisi terpenuhi.

Contoh 3.2 a) lim 4 4

3 x

= -® b) lim9 9

2 x

= ®

3. lim[f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) c x c x c

x® ® ®

+ =

+ _{( 3.7 )}

Bukti :

Misal 1

c xlim f(x) L

=

® dan xlimcg(x) L2 = ®

Dari definisi, untuk setiap e _{> 0 terdapat} d _{> 0 sedemikian rupa sehingga :} jika 0< x-c _< d _{maka (f(x)}+_g(x))-(L1+_{L2) <} e

atau (f(x)-L₁)+(g(x)-L₂)) _< e

Dari ketaksamaan segitiga didapat : ))

L ) x ( g ( ) L

-(f(x) ₁ + - ₂ £

2 1 g(x) L L

) x (

f - + - _atau

Pernyataan : lim f(x) L c x

=

® , berarti untuk setiap

e

_{> 0 terdapat} d _{> 0}

) L (L -g(x))

(f(x)+ ₁+ ₂ £ f(x)-L₁+ g(x)-L₂

Karena ₁

c xlim f(x) L

=

® , maka :

Untuk setiap e

2 1

> 0 terdapat d_{1 > 0 sedemikian rupa sehingga :} jika 0 < x-c _< d_{1 maka f(x)-L}

1 < ₂1e ( * )

Selanjutnya karena ₂

c

xlim g(x) L =

® , maka :

untuk setiap e

2

1 _{> 0 terdapat d}

2 > 0 sedemikian rupa sehingga : jika 0 < x-c _< d_{2 maka f(x)-L2 <} e

2 1

( ** )

Dari ketaksamaan segitiga didapat : )

L ) x ( g ( ) L

-(f(x) ₁ + - ₂ £ _f(x)-_L1+ _g(x)-_L2 atau )

L (L -g(x))

(f(x)+ ₁+ ₂ £ _f(x)-_L1+ _g(x)-_L2 Dari (*), (**) dan (***) didapat :

) L (L -g(x))

(f(x)+ ₁+ _{2 <} e+ e

2 1 2

1 _{atau (f(x) g(x))-(L L )}

2 1+

+ _< e

( terbutki )

Contoh 3.3 = + ® (x 6) lim

5 x

+

® x

lim 5 x

=

® 6

lim 5

x 5 + 6 = 11

4. lim[f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) c x c x c

x® ® ®

-=

- ( 3.8 )

Bukti : ikuti pembuktian teorema 3 Contoh 3.4

= ® (7-x) lim

5

x xlim®57

-=

® x

lim 5

x 7 - 5 = 2

5. =

® [f(x).g(x)] lim

c

x xlim®cf(x).xlim®cg(x) ( 3.9 )

Bukti :

Misal ₁

c xlim f(x) L

=

® dan xlimcg(x) L2 = ®

Dari ketaksamaan segitiga didapat : 2

1L L ) x ( g ). x (

f - ₌

2 1 2

2f(x) L f(x) L L L

) x ( g ). x (

f - +

-£ f(x)g(x)-L₂ + L₂f(x)-L₁

£ f(x)g(x)-L₂ +(1+ L₂)f(x)-L_{1 ( i )} Untuk setiap e_{1>0 terdapat} d_{1>0 sedemikian rupa, sehingga :}

jika 0 < x-c < d_{1, maka} f(x)-L₁ <e_{1 ( ii )} Dari ketaksamaan segitiga didapat : f(x)-L₁ ³ f(x)-L_{1 ( iii )} Dari ( ii ) dan ( iii ) didapat f(x) - L₁ <e_{1 atau}

1 1 L ) x (

Dengan mengambil e_{1 = 1, maka f(x)} < _L1 +₁ ( v ) Untuk setiap e_{2>0 terdapat} d_{2>0 sedemikian rupa, sehingga :} jika 0 < x-c _< d_{2, maka g(x)}-_L <

Untuk setiap e_{1>0 terdapat} d_{1>0 sedemikian rupa, sehingga :} jika 0 < x-c _< d_{3, maka didapat didapat} Selanjutnya dari persamaan (i), (v), (vii) dan (ix) didapat :

e

Untuk e_{1>0 terdapat} d_{1>0 sedemikian rupa sehingga :}

jika 0 < x-c _< d_{1, maka g(x)-L2} <e_{1 ( ii )}

Selanjutnya dari (i) dan (v) didapat : ₂

jika 0< x-c <d₂, maka g(x)-L₂ <e₂ ( vii )

Dengan mengambil e_{2 =} 2 L₂2 e

, maka persamaan (vii) menjadi :

2

. Hal ini membuktikan bahwa :

)

Bukti : Lihat persamaan (3.6) dan (3.9) Contoh 3.7

9. Teorema Sandwich ( teorema apit )

Misal terdapat f(x) £ h(x) £ g(x) untuk setiap harga x pada suatu selang terbuka yang mengandung c, kecuali mungkin di titik c itu sendiri.

Jika = = Selesaikan

x Penyelesaian :

1

10. Limit sepihak L

artinya x mendekati c dari arah kiri x ® c+

artinya x mendekati c dari arah kanan Contoh 3.10

Jika f(x) =

Tentukan lim f(x),jikaada. 2

x®

-Penyelesaian : 5

(limit kiri) 5

(limit kanan)

Karena limit kiri = limit kanan = 5, maka lim f(x) 5 2

x

Soal-soal 1. lim 7

2

x® 6. lim(x 1)(x 5x 6) 2

1 x

+ +

-®

2. lim 5 3

x® 7. x-2

x lim

4 x®

3. lim 3x 5

x®- 8.

3 xlim(5x 9)

-p ®

4. lim(3 5x) e x

-® 9. 2

2 0

x x

1 sin x lim

®

5. lim(x2 4x 12) 5

x

-® 10. Tentukan xlim®4f(x) jika f(x) = îí ì

> £

-4 x jika x -7

4 x jika 5 x 2

3.4 Limit fungsi trigonometri

1. 1

x x sin lim

0 x

=

® ( 3.15 )

Bukti :

Perhatikan Gambar 3.4 berikut !

Luas D_{OPQ < Sektor OPQ <} D_{OPT (*)} Luas D_{OPQ =} q= _{r sin}q

2 1 sin r 2 1 .

r 2 (**)

Luas sektor OPQ = r2 2

1_{q (***)}

Luas D_{OPT = r. rtan}q

2

1 _{= q}

tan r 2

1 2 _(****)

Substitusi persamaan (**) s/d (****) ke persamaan (*) didapat : q

< q <

q _{r tan}

2 1 r 2 1 sin r 2

1 2 2 2 _{( # )}

q

0

r

T

Q

P

x

y

Gambar 3.4

Jika pers. (#) dibagi _{r sin}q

Gunakan teorema apit ! 1

3.5 Limit fungs trigonometri invers

Jadi : =

Soal-soal

3.6 Limit tak hingga

Jika kita lakukan pengamatan terhadap lim f(x) c

x® - dan _® +

c x

lim f(x) mungkin akan didapat bahwa f(x) membesar atau mengecil tanpa batas. Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada Gambar 3.5 berikut.

x f(x) x f(x)

2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001

10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000

1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999

-10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000

Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa pada saat x mendekati titik 2 dari arah kanan maka f(x) membesar tanpa batas (menuju ¥). Sedangkan pada saat x mendekati 2 dari arah kiri maka f(x) mengecil tanpa batas (menuju -¥). Selanjutnya dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 dari arah kanan adalah ¥ atau =¥

+ ®

) x ( f lim

2 x

, sedangkan limit f(x) untuk x mendekati 2 dari arah kiri adalah -¥ atau =-¥

-®

) x ( f lim

2 x

. Karena limit kiri ¹ limit kanan maka

2 x

1 lim

2 x®

-tidak ada (lihat persamaan 3.14).

Untuk memecahkan limit tak hingga perhatikan teorema berikut ! Misal f(x) =

0 1 1

n -1 n n n

0 1 1

m -1 m m m

b x b ... x

b x b

a x a ... x

a x a

+ + + +

+ + + +

-Jika m < n, maka : f(x) =

2 x

1

-

y

0 x

0

Contoh 3.11

Tentukan ¥

am = 2 ; bn = 5 ; m = 4 ; n = 4 Karena m = n , maka

¥ ®

xlim _{5x x-4} 7 x x 3 x 2

4 3 4

+ -+ +

= n m b a

=

5 2

3.7 Asimtot

Dalam menganalisa suatu fungsi kita sering memerlukan nilai atau harga fungsi tersebut pada jarak tak hingga dari titik nol. Jika kurva suatu fungsi mendekati perilaku garis lurus, maka garis lurus tersebut adalah asimtot dari kurva.

3.7.1 Asimtot tegak

Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis vertikal mendekati nol, maka garis tegak lurus tersebut adalah asimtot tegak dari kurva. Contoh asimtot tegak dapat dilihat pada Gambar 3.6 berikut.

Asimtot tegak suatu kurva dapat ditentukan sebagai berikut :

Jika = ¥ -¥

-®

atau )

x ( f lim

a x

dan jika =¥ -¥

+ ®

atau )

x ( f lim

a x

atau jika

¥ -¥ =

® f(x) atau lim

a

x maka garis x = a adalah asimtot tegak kurva f(x)

3.7.2 Asimtot datar

Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis datar mendekati nol, maka garis tersebut adalah asimtot datar dari kurva. Contoh dari asimtot datar dapat silihat pada Gambar 3.7 berikut.

y

0 x

Asimtot datar suatu kurva dapat ditentukan sebagai berikut : Jika lim f(x) b

x

= ¥

® atau jikaxlim f(x) b = -¥

® maka garis y = b adalah asimtot datar kurva f(x).

3.7.3 Asimtot miring

Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis miring mendekati nol, maka garis tersebut adalah asimtot miring dari kurva. Contoh dari asimtot miring dapat silihat pada Gambar 3.8 berikut.

Jika a

x ) x ( f lim x

= ¥

® dan xlim[f(x) ax] b = -¥

® maka garis y = ax + b adalah asimtot miring kurva f(x). Jika a = 0 maka tidak terdapat asimtot miring.

y

x 0

Gambar 3.8 y

x 0

Contoh 3.12

Tentukan asimtot grafik fungsi f(x) = 4 x

3 + Penyelesaian :

¥ = +

-® x 4

3 lim

4

x , maka garis x = -4 adalah asimtot tegak. 0

4 x

3 lim x

= + ¥

® , maka garis y = 0 adalah asimtot datar. 0

) 4 x ( x

3 lim x

) x ( f lim

x x

= + =

¥ ® ¥

® . Karena a = 0 maka grafik tidak mempunyai

asimtot miring.

Contoh 3.13

Tentukan asimtot dari grafik fungsi

6 x x

2 x x ) x ( f

2 2

-+

-=

Penyelesaian :

2 x , 3 x

1 x ) 3 x )( 2 x (

) 1 x )( 2 x ( 6 x x

2 x x ) x ( f

2 2

¹ + + = +

-+ -= -+

-=

¥ = + +

-® x 3

1 x lim

3

x , maka garis x = -3 adalah asimtot tegak. 1

3 x

1 x lim x

= + + ¥

® , maka garis y = 1 adalah asimtot datar. 0

) 3 x ( x

1 x lim x

) x ( f lim

x x

= + + =

¥ ® ¥

® . Karena a = 0 maka grafik tidak mempunyai

asimtot miring.

0 x

y

Contoh 3.14

Tentukan asimtot dari grafik fungsi

x

Penyelesaian : -¥

x , maka f(x) tidak mempunyai asimtot datar. Asimtot miring : y = ax + b

Soal-soal

Tentukan semua asimtot dari fungsi-fungsi berikut, jika ada ! 1.

3.8 Kekontinuan

Suatu fungsi dikatakan kontinu disuatu titik a jika tiga syarat berikut terpenuhi. i) lim f(x) Contoh 3.15

Jelaskan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a 1. f(x) =

Penyelesaian :

1. =¥

x . Karena syarat i) tidak terpenuhi maka f(x) tak kontinu di titik a = -2

Soal-soal

Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a

1. f(x) =

3.9 Kekontinuan yang dapat dihapus dan yang tak dapat dihapus

Telah disebutkan diatas bahwa bila ketiga syarat kekontinuan terpenuhi maka suatu fungsi dikatakan kontinu di suatu titik a. Akan tetapi bila salah satu syarat tidak ketakkontinuan f(x) di titik a tidak dapat dihapuskan.

Contoh 3.16

Diketahui f(x) =

. Tentukan ketakkontinuan fungsi tersebut. Penyelesaian :

=

® f(-2) tak terdefinisi

Jadi f(x) tak kontinu di titik a = -2. Akan tetapi ketakkontinuan tersebut dapat

Contoh 3.17 Diketahui f(x) =

9 x

1

- . Tentukan ketakkontinuan fungsi tersebut. Penyelesaian :

Soal-soal

Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu atau tak kontinu di titik a. Jika tak kontinu tentukan apakah ketak kontinuan tersebut dapat dihapuskan atau tidak.

1. f(x) = 9 x

3 x

; a = 9 4. f(x) =

4 x

6 x x2

+ -+

; a = 4 dan a = -4

2. f(x) = 4 x

1

- ; a = 4 dan a = -4 5. f(x) = _{x -5x 4} ) 12 x x )( 1 x (

2 2

+ -+

; a = -1

3. f(x) =

81 x

9 x

4 2

; a = 3 6. f(x) =

12 x x

3 x 2_-

-+