BAB 2. Konsep Dasar. 2.1 Definisi graf

(1)

BAB 2

Konsep Dasar

2.1 Definisi graf

Suatu graf G = (V(G), E(G)) didefinisikan sebagai pasangan himpunan titik V(G) dan himpunan sisi E(G) dengan V(G) ≠∅ dan E(G)_⊆_{[ ( )]}_{V G} 2_{. Sebagai}

contoh, graf G1 = (V(G1), E(G1)) dengan V(G1)= {v1 , v2 , v3} dan E(G1)= {v1v2,

v1v3, v2v2, v2v3}.

Jika u, v

∈

V(G) dan uv

∈

E(G), maka u dan v disebut ujung-ujung dari uv. Dengan demikian, pada graf G di atas, sisi v1v2 mempunyai ujung v1 dan v2.

Suatu titik v dikatakan terkait oleh sisi e jika titik tersebut merupakan ujung dari sisi e. Dua buah sisi dikatakan saling terkait jika keduanya memiliki salah satu ujung yang sama. Loop adalah sisi yang mempunyai ujung yang sama. Pada graf G1 diatas, sisi v2v2 adalah loop. Graf sederhana adalah graf yang tidak

mempunyai loop dan tidak ada dua sisi yang memiliki sepasang ujung yang sama. Untuk selanjutnya, setiap graf yang dimaksud dalam tugas akhir ini adalah graf sederhana. Untuk graf G, setiap u

∈

V(G) dapat digambarkan dengan titik dan setiap uv

∈

E(G) digambarkan dengan garis yang menghubungkan titik u dengan titik v. Sebagai contoh, graf G1 diatas dapat digambar seperti Gambar 2.1.

(2)

Dua buah titik yang berbeda dikatakan bertetangga jika dua titik tersebut dihubungkan oleh suatu sisi atau merupakan ujung-ujung dari suatu sisi. Pada gambar di atas, v1 bertetangga dengan v2 dan v3; v2 bertetangga dengan v1 dan v3.

Pada graf, derajat dari titik v didefinisikan sebagai banyaknya tetangga dari titik v.

Matriks ketetanggaan A(G)=[aij] dari G dengan V(G) = {v1, ...,vn} adalah

suatu matriks berukuran n x n dengan:

; , , ( ) ( ); 1 0 ij i j i j v v E G v v E G

a

∈ ∉ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

=

Gambar 2.2 memperlihatkan suatu graf G2 beserta matriks ketetanggaannya.

Gambar 2.2. Graf G2 dan matriks ketetanggaannya

2.2 Keterhubungan, komplemen, dan operasi pada graf

Graf G dikatakan terhubung jika setiap dua titik berbeda di G terdapat suatu lintasan dengan titik ujungnya kedua titik tersebut. Jika tidak demikian, maka G dikatakan tak terhubung. Subgraf terhubung maksimal dari G disebut komponen dari G.

Komplemen dari graf G, dinotasikan dengan G adalah graf dengan himpunan titik V(G) sedemikian sehingga { }uv ∈E G( )⇔{ }uv ∉E G( ).

v1 v1 v2 v2 v3 v3 v4 v4 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 A(G2) G2 v₂ v₄ v₁ v₃

(3)

sisi E(G1) ∪ E(G2). Pada gambar 2.3, Graf G5 adalah gabungan dari graf G3 dan

G4, yaitu G5 = G3∪ G4.

Gambar 2.3. Graf G5 = G3∪ G4

Penjumlahan dari dua graf H dan G, dinotasikan dengan G + H, adalah graf dengan himpunan titik V(G + H) = V(G) ∪ V(H) dan himpunan sisi E(G + H) = E(G) ∪ E(H) ∪ Et_{, dimana E}t_{= {xy| x}_{∈ V(G), y ∈ V(H)}, sebagai contoh dapat}

dilihat pada Gambar 2.4.

Gambar 2.4. Graf G6 = G3 + G4

Korona graf G terhadap H, dinotasikan H: , adalah graf yang G dihasilkan dengan mengambil 1 kopi graf G pada n-titik dan n kopi H1, H2, ..., Hn

dari H, lalu menghubungkan titik ke-i dari G ke setiap titik di Hi. Sebagai contoh

dapat dilihat pada Gambar 2.5.

G3 G4 G6 + G3 G4 ∪ G5 G3 G4

(4)

Gambar 2.5. Graf G7 = G3 : G4

2.3 Kelas-kelas pada graf

Graf lintasan Pn adalah graf terhubung yang terdiri dari tepat 2 titik berderajat 1

dan n-2 titik berderajat 2. Sebagai contoh dapat dilihat pada Gambar 2.6.

Gambar 2.6. Graf lintasan P4

Graf lingkaran Cn adalah graf terhubung yang terdiri dari n buah titik berderajat 2.

Sebagai contoh dapat dilihat pada Gambar 2.7.

Gambar 2.7. Graf lingkaran C4

Graf bipartit adalah graf yang himpunan titiknya dapat dipartisi menjadi 2 subhimpunan X dan Y, sedemikian sehingga setiap sisinya memiliki satu titik ujung di X dan yang lainnya di Y.

G7

G3 G4

(5)

Graf bipartit lengkap adalah graf bipartit dengan bipartisi (X, Y) dan setiap titik di X bertetangga dengan setiap titik di Y. Jika |X| = m dan |Y | = n, maka graf tersebut dinotasikan dengan Km,n.

Graf bintang Sn adalah graf bipartit lengkap K1,n untuk n > 1. Sebagai contoh

dapat dilihat pada Gambar 2.8.

Gambar 2.8. Graf bintang S3

Graf roda Wn, adalah graf yang memiliki n+1 titik, yang dihasilkan dari

pertambahan antara graf lingkaran n titik dengan graf lintasan 1 titik (Wn =

Cn+P1). Sebagai contoh dapat dilihat pada Gambar 2.9.

Gambar 2.9. Graf roda W4

Graf gear Grn adalah graf yang didapatkan dari graf roda Wn dengan

menambahkan 1 titik pada setiap rim-nya. Karena itu, Grn memiliki 2n+1 titik dan

3n sisi. Sebagai contoh dapat dilihat pada Gambar 2.10.

spokes

(6)

Gambar 2.10. Graf gear Gr4

Graf friendship Fn adalah graf yang dihasilkan dari korona n buah P2 terhadap P1

(Fn = P₁:n P₂). Sebagai contoh dapat dilihat pada Gambar 2.11

Gambar 2.11. Graf friendship F4

2.4 Pelabelan-k total, bobot sisi, pelabelan-k total tak teratur sisi

dan nilai tak teratur sisi

Misal G = (V, E) adalah suatu graf. Pelabelan dari G adalah sebuah fungsi yang memetakan himpunan unsur-unsur dari G ke himpunan bilangan (biasanya bilangan positif atau non-negatif). Adapun nama dari pelabelan ditentukan oleh daerah asal pemetaan tersebut, diantaranya pelabelan sisi (daerah asalnya merupakan himpunan sisi), pelabelan titik (daerah asalnya merupakan himpunan titik), dan pelabelan total (daerah asalnya merupakan himpunan gabungan dari himpunan titik dan himpunan sisi). Pelabelan total dari G disebut pelabelan

(7)

k-Bobot sisi e = v1v2 dari graf G pada pelabelan total f didefinisikan sebagai

wt(e) = f(v1) + f(e) + f(v2). Pelabelan-k total disebut pelabelan-k total tak teratur

sisi, jika untuk setiap dua sisi yang berbeda, e dan g ∈ E(G), memenuhi wt(e)≠wt(g).

Nilai tak teratur sisi dari G didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil k sehingga G memiliki pelabelan-k total tak teratur sisi. Sebagai contoh dapat dilihat pada Gambar 2.12 dan Gambar 2.13.

Gambar 2.12. Graf P4yang memiliki pelabelan-4 total tak teratur sisi

Gambar 2.13. Graf P4 yang memiliki pelabelan-2 total tak teratur sisi

Pada Gambar 2.12 diberikan suatu pelabelan-4 total tak teratur sisi dari P4,

sedangkan Gambar 2.13 diberikan suatu pelabelan-2 total tak teratur sisi dari P4.

Karena tidak terdapat pelabelan-1 total tak teratur sisi dari P4, sehingga tes(P4) =

2.

Berikut ini adalah teorema yang dapat memberikan acuan untuk menentukan tes(G) dari suatu graf sebarang G. Teorema tersebut dibuktikan oleh Baca dkk [2] pada tahun 2006.

Teorema 2.4.1. [2]

Jika G adalah suatu graf dengan himpunan titik V(G) dan himpunan sisi E(G) maka ( ) 2 ( ) ( ) 3 E G tes G E G ⎡ + ⎤ ≤ ≤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

(8)

Bukti. Untuk membuktikan batas atas, setiap titik dilabeli dengan 1 dan semua sisi dilabeli berturut-turut dengan label 1, 2, …, |E(G)|. Diperoleh bobot setiap sisi berbeda. Akibatnya tes(G) ≤ |E(G)|.

Untuk membuktikan batas bawah, misalkan β adalah pelabelan total tak teratur sisi pada G dengan label terbesar adalah tes(G), sehingga bobot sisi terbesar e di E(G) adalah wt(e) ≥ E + . Karena bobot sisi ini merupakan penjumlahan dari 2

tiga label, sehingga didapatkan satu labelnya minimal ( ) 2 3 E G ⎡ + ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥. Jadi, ( ) ( ) 2 3 E G tes G _{≥ ⎢}⎡ + ⎤_⎥ ⎢ ⎥.

□

2.5 Hasil Sebelumnya

Bača dkk [2] telah mendapatkan beberapa nilai tak teratur sisi untuk beberapa kelas graf yakni lintasan, lingkaran, graf bintang, graf roda, dan graf friendship, seperti ditulis pada beberapa teorema berikut ini.

Teorema 2.5.1. [2]

Jika Pn dan Cn adalah lintasan dan lingkaran dengan n ≥ 1, maka

Teorema 2.5.2. [2]

Jika Sn adalah graf bintang dengan n>1, maka

Teorema 2.5.3. [2]

Misalkan Wn adalah graf roda dengan n ≥ 3, maka

Teorema 2.5.4. [2] 2 ( ) ( ) 3 n n n tes P =tes C _{= ⎢}⎡ + ⎤_⎥ ⎢ ⎥ 1 ( ) 2 n n tes S _{= ⎢}⎡ + ⎤_⎥ ⎢ ⎥ 2 2 ( ) 3 n n tes W _{= ⎢}⎡ + ⎤_⎥ ⎢ ⎥

(9)

Selanjutnya di sajikan beberapa hasil dari Asmiati [1] pada tahun 2002.

Teorema 2.5.5. [1]

Jika Bn adalah graf buku maka

2 ( ) 1 3 n n tes B =⎡_⎢ + ⎤_⎥ ⎢ ⎥. Teorema 2.5.6. [1]

Jika K2,n adalah graf bipartite lengkap

2, 2 2 ( ) 3 n n tes K _{= ⎢}⎡ + ⎤_⎥ ⎢ ⎥. Teorema 2.5.7. [1]

Untuk setiap bilangan bulat positif m berlaku

3

( ) 1

tes mC = + . m Teorema 2.5.8. [1]

1,3

( ) 1

tes mK = + m Teorema 2.5.9. [1]

3 1

( k ) 1

tes mP + =km+ .

Pada tahun 2008, Nurdin dkk [4] memperoleh nilai tak teratur sisi untuk korona graf lintasan terhadap graf lintasan, lingkaran, graf bintang, graf roda, graf gear dan graf friendship. Hasil lengkap ditulis sebagai berikut.

Teorema 2.5.10. [4]

Untuk bilangan bulat m ≥ 2 dan n ≥ 2,

2 1 ( ) 3 m n mn tes P P _{= ⎢}⎡ + ⎤_⎥ ⎢ ⎥ :

(10)

Teorema 2.5.11. [4]

2( 1) 1 ( ) 3 m n n m tes P C _{= ⎢}⎡ + + ⎤_⎥ ⎢ ⎥ : . Teorema 2.5.12. [4]