Pemrograman Dinamis (Dynamic Programming) Materi

TI3131 Penelitian Operasional II 1

Pemrograman Dinamis

(Dynamic Programming)

Kuliah 04-05

Materi

• Pengantar

• Masalah pemrograman dinamis deterministik

• Masalah pemrograman dinamis probabilistik

TI3131 Penelitian Operasional II 3

Pendahuluan

• Pemrograman dinamis (dynamic programming) merupakan teknik matematis yang dapat berguna untuk membuat suatu urutan keputusan yang saling berkaitan.

• Pemrograman dinamis tidak mempunyai rumusan yang baku.

• Tiap permasalahan memerlukan perumusan tertentu. • Teknik pemrograman dinamis dikenal juga dengan

multistage programming.

Klasifikasi Pemrograman Dinamis

Status diskret Status kontinyu Tunggal Majemuk Tunggal Majemuk Deterministik

TI3131 Penelitian Operasional II 5

Karakteristik

Masalah Pemrograman Dinamis (1)

• Masalah dapat dibagi atas tahap (stage)

dimana keputusan (decision) harus dibuat pada

tiap tahap.

• Tiap tahap mempunyai sejumlah status (state).

• Efek dari keputusan pada tiap tahap adalah

mengubah status saat ini menjadi status yang

berkaitan dengan tahap berikutnya.

Karakteristik

Masalah Pemrograman Dinamis (2)

• Prosedur pemecahan didesain untuk

mendapatkan kebijakan optimal (optimal

policy) untuk keseluruhan masalah.

• Diberikan status saat ini, kebijakan optimal

untuk tahap tersisa adalah independen terhadap

kebijakan yang diambil dalam tahap

berikutnya (disebut principle of optimality

dari pemrograman dinamis).

Karakteristik

Masalah Pemrograman Dinamis (3)

• Associated with each stage, there is a return function

that evaluates the choice made at each decision in term of contribution that the decision can make to the overall objective

• Each stage N the total decision process is related to its adjoining stage by a quantitative relationship called a

transition function

• A recursive relationship is always used to relate the optimal policy at stage n to the (n-1) stage.

TI3131 Penelitian Operasional II 7

Pengambilan Keputusan (1)

• Tahap (Stage)

– Titik dimana suatu keputusan dibuat

• Status (State)

– Parameter masukan

• Transformasi (Transformation)

TI3131 Penelitian Operasional II 9

Pengambilan Keputusan (2)

Tahap Keputusan Transformasi Keluaran Masukan

Suatu Tahap Tunggal



n n



n n

r

S

x

g



,

n

x

n S n S~_n n

S

= status input (input state) n

S

~

= status ouput (output state) n

x

= keputusan (decision) n

g

= fungsi pengembalian (return function)

TI3131 Penelitian Operasional II 11

Sistem Banyak-Tahap

(Multi-Stage System)

//

n

g

n

x

n S n n S~

//

1

g

1 S 1 1 ~ S 1

x

N

g

N

x

N S N N S~ 1

~





_i i

S

S

i



1

,

2

,



,

N



1

Prosedur Pemecahan

• Prosedur pemecahan

– Rekursi maju (forward recursion) – Rekursi mundur (backward recursion)

• Perbedaan prosedur

– Cara mendefinisikan status dalam sistem.

• Prosedur rekursi mundur secara umum lebih

efisien.

TI3131 Penelitian Operasional II 13

Rekursi Maju

//

n

g

n

x

n S n n S~

//

1

g

1 S 1 1 ~ S 1

x

N

g

N

x

N S N N S~

Proses perhitungan mulai dari tahap n = 1 hingga tahap n = N

Rekursi Mundur

//

n

g

n

x

n S n n S~

//

g

1 S 1 1 ~ S 1

x

N

g

N

x

N S N N S~

Proses perhitungan mulai dari tahap n = N hingga tahap n = 1

TI3131 Penelitian Operasional II 15

Fungsi Transisi

(Transition Function)

n n n

S

x

S

_1





Rekursi maju : n n n

S

x

S

_1





Rekursi mundur :

Beberapa Contoh Fungsi Transisi

 Fungsi Transisi Maju Mundur + -× n n n

S

x

S

_1





n n n

S

x

S

_1





n n n

S

x

S

_1



n n n

S

x

S

_1





 n n n

S

x

S

_1





n n n

S

x

S

_1





n n n

S

x

S

_1



n n n

S

x

S

_1





TI3131 Penelitian Operasional II 17

Hubungan Rekursif Maju

 

S



r



S

x



f

 

S



n

N

f

_{n n n n n} x n n n

,

,

1

,

,

opt

*_{1 1} *







_

  n n n

S

x

S

_1





 

₀

0

* 0

S



f



S

x



r



S

x



f

 

S

n

N

f

_{n n}

,

_n



_{n n}

,

_n



_n*_{1 n1}

,



1

,



,

 

S

f



S

x



n

N

f

_n* _n



_n

,

_n*

,



1

,



,

Hubungan Rekursif Mundur

 

opt





,



*₁

 

₁



,

,

,

1

*

_

N

n

S

f

x

S

r

S

f

_{n n n n n} x n n n







_{ }

1

,

,

,

1

S

x

n

N



S

_n



_n



_n





₁



0

* 1 



 N N

S

f



S

,

x



r



S

,

x



f

*₁

 

S

₁

,

n

N

,



,

1

f

_{n n n}



_{n n n}



_{n n}



 



,

*



,

,

,

1

*

_

N

n

x

S

f

S

f

_{n n}



_{n n}



TI3131 Penelitian Operasional II 19

Langkah-langkah Pemecahan

• Tentukan prosedur pemecahan (maju atau mundur). • Tentukan tahap (stage).

• Definisikan variabel status (state) pada tiap tahap. • Definisikan variabel keputusan pada tiap tahap. • Definisikan fungsi pengembalian pada tiap tahap. • Definisikan fungsi transisi.

• Definisikan fungsi rekursif. • Perhitungan.

• Tentukan solusi optimal dengan backtracking.

Beberapa Contoh Masalah Pemrograman

Dinamis Deterministik

• Stagecoach problem • Cargo loading problem • Inventory problem • Reliability problem

• Nonlinear programming problem • Linear programming problem

Single-state discrete deterministic DP Single-state continuous deterministic DP Multiple-state continuous deterministic DP

TI3131 Penelitian Operasional II 21

Stagecoach problem

A B D E C G F H I J 2 3 3 7 4 6 3 2 4 4 1 5 1 4 6 3 3 3 3 4 A B D E C G F H I J 1 2 3 4 Tahap n = region (n = 1, 2, 3, 4)

TI3131 Penelitian Operasional II 23

Status:

S_n= simpul saat ini pada tahap n

Variabel keputusan

x_n= simpul tujuan berikutnya pada tahap n

Fungsi pengembalian ) , (Sn xn n

c

g



n n x S S x c n

n, ) jarak darisimpul kesimpul

( 

Fungsi transisi (mundur):

Hubungan rekursif (mundur)

n n

x

S

_1



 

min



_{( , )} *₁

 

₁



,

4

,

,

1

*







_

 

S

n

f

c

S

f

_{S x n n} x n n n n n

 

₅

0

* 5

S



f

 

min



_{( , )} *₁

 



,

4

,

,

1

*







_



x

n

f

c

S

f

_{S x n n} x n n n n n

TI3131 Penelitian Operasional II 25 Tahap n = 4 x₄ S₄ f4*(S4) x4* J H 3 3 J I 4 4 J



4 4



_{ 4}, _4 4 S ,x cS x f  Perhitungan

 

₅ 0 * 5 S  f Tahap n = 3 x₃ S₃ f3*(S3) x3* H I E 1 + 3 = 4 4 + 4 = 8 4 H F 6 + 3 = 9 3 + 4 = 7 7 I G 3 + 3 = 6 3 + 4 = 7 6 H





_{ } *

 

₃ 4 , 3 3 3 S ,x c 3 3 f x f  _{S x} 

TI3131 Penelitian Operasional II 27 Tahap n = 2 x2 S2 f2*(S2) x₂* E F G B 7 + 4 = 11 4 + 7 = 11 6 + 6 = 12 11 E, F C 3 + 4 = 7 2 + 7 = 9 4 + 6 = 10 7 E D 4 + 4 = 8 1 + 7 = 8 5 + 6 = 11 8 E, F





_{ }

 

2 * 3 , 2 2 2 S ,x c 2 2 f x f  _{S x}  Tahap n = 1 x1 S1 f1*(S1) x₁* B C D A 2 + 11 = 13 4 + 7 = 11 3 + 8 = 11 11 C, D





_{ } *

 

₁ 2 , 1 1 1 S,d c 1 1 f x f  _{S x} 

TI3131 Penelitian Operasional II 29 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 (x1*, x2*, x3*,x4*) S₁ x₁* S₂ x₂* S₃ x₃* S₄ x₄* A C C E E H H J (C, E, H, J) A D D E E H H J (D, E, H, J) A D D F F I I J (D, F, I, J) A  C  E  H  J A  D  E  H  J A  D  F  I  J

Backtracking

Cargo Loading Problem

(Knapsack Problem)

Item i Berat w_i Nilai, v_i

1 2 65

2 3 80

3 1 30

TI3131 Penelitian Operasional II 31







n i i i

x

v

Z

1

W

x

w

n i i i





1

bulat

bilangan

dan

0



i

x

maksimisasi

Integer Linear Programming (ILP) Model

Tahap

n = item (n = 1, 2, 3)

Status:

S

_n

= pada tahap n, kapasitas yang tersedia

Variabel keputusan

TI3131 Penelitian Operasional II 33 Fungsi Pengembalian: Fungsi Transisi: Hubungan Rekursif: n n n n

S

w

x

S

_1





 

max



*₁

 

₁



,

3

,

2

,

1

*







 

S

n

f

x

v

S

f

_{n n n n} d n n n

 

₄

0

* 4

S



f

 

max



*₁







,

3

,

2

,

1

*











S

w

x

n

f

x

v

S

f

_{n n n n n n} d n n n n n n

v

x

g



Tahap n = 3 x₃ S_{3 0 1 2 3 4 5} f3*(S3) x3* 0 0 - - - 0 0 1 0 30 - - - - 30 1 2 0 30 60 - - - 60 2 3 0 30 60 90 - - 90 3 4 0 30 60 90 120 - 120 4 5 0 30 60 90 120 150 150 5



3 3



3 3 3 S ,x v x f  Perhitungan

 

₄ 0 * 4 S  f

TI3131 Penelitian Operasional II 35 Tahap n = 2 x₂ S_{2 0 1} f2*(S2) x2* 0 0 - 0 0 1 30 - 30 0 2 60 - 60 0 3 90 80 90 0 4 120 110 120 0 5 150 140 150 0







2 2 2



* 3 2 2 2 2 2 S ,x v x f S w x f    Tahap n = 1 x₁ S_{1 0 1 2} f1*(S1) x1* 0 0 - - 0 0 1 30 - - 30 0 2 60 65 - 65 1 3 90 95 - 95 1 4 120 125 130 130 2







1 1 1



* 2 1 1 1 1 1 S ,x vx f S wx f   

TI3131 Penelitian Operasional II 37 n = 1 n = 2 n = 3 (x₁*, x₂*, x₃*) w₁= 2 w₂ = 3 w₃= 1 S₁ x₁* S₂ x₂* S₃ x₃* 5 2 1 0 1 1 (2, 0, 1) n n n n

S

w

x

S

_1





Backtracking

Masalah Persediaan

(Inventory Problem)

Bulan Okt Nov Des Jan Feb Mar

Permintaan 40 20 30 40 30 20

Permintaan:

Biaya pembelian = $4/unit

TI3131 Penelitian Operasional II 39

Ukuran lot Diskon (%)

10 4 20 5 30 10 40 20 50 25 Diskon harga

Biaya pesan: tetap = $2, variabel = $8/unit Kapasitas gudang (persediaan) 40 unit

Biaya simpan = $0.2/unit/bulan (dihitung pada persediaan pada akhir bulan)

Permasalahan

Menentukan jumlah produk yang dipesan (diorder) pada tiap bulan yang meminimumkan biaya total (mencakup biaya pembelian, biaya pesan dan biaya simpan)

Asumsi:

Persediaan pada awal Oktober dan akhir Maret adalah nol.

TI3131 Penelitian Operasional II 41

Tahap:

n = bulan (n = 1, 2, …, 6)

Status:

S_n= jumlah persediaan pada awal tahap n

Variabel keputusan:

x_n= jumlah produk yang dipesan pada tahap n

Fungsi pengembalian:



(x_n) = biaya pembelian dan pemesanan (fungsi dari x_n)

h_n = biaya simpan pada tahap n

D_n = permintaan pada tahap n

Fungsi transisi: n n n n S x D S _1   

 

n n



n n n



n

x

h

S

x

D

g











TI3131 Penelitian Operasional II 43

Hubungan rekursif:

 

min



 





*₁

 

₁



, 1, ,6 *       _   S n f D x S h x S f _{n n n n n n n} x n n n 

 

min



 





*₁







, 1, ,6 *          x h S x D f _ S x D n S f _{n n n n n n n n n} x n n n 

 

₇ 0 * 7 S  f

Ukuran lot Harga ($/unit) Diskon (%) Biaya pembelian ($) Biaya pesan ($) Biaya pembelian + pesan ($) 10 4 4 38 10 48 20 4 5 76 10 86 30 4 10 108 10 118 40 4 20 128 10 138 50 4 25 150 10 160

TI3131 Penelitian Operasional II 45 Tahap n = 6 x₆ S_{6 0 10 20} f6*(S6) x6* 0 - - 86 86 20 10 - 48 - 48 10 20 0 - - 0 0



6 6

  

6 6 S ,x x f  0 6 6 6 7 S x D  S

Perhitungan:

 

₇ 0 * 7 S  f Tahap n = 5 x5 S5 f5*(S5) x5* 0 10 20 30 40 50 0 - - - 204 186 164 164 50 10 - - 172 168 142 - 142 40 20 - 134 136 122 - - 122 30 30 86 98 90 - - - 86 0 40 50 52 - - - - 50 0        5 5 5 * 6 5 5 5 5 5 5 5 5S,x x h S x D f S x D f       

TI3131 Penelitian Operasional II 47 Tahap n = 4 x4 S4 f4*(S4) x4* 0 10 20 30 40 50 0 - - - - 302 304 302 40 10 - - - 282 282 286 282 30,40 20 - - 250 262 264 252 250 20 30 - 212 230 244 230 218 218 10 40 164 192 212 210 196 - 164 0        4 4 4 * 5 4 4 4 4 4 4 4 4S ,x x h S x D f S x D f        Tahap n = 3 x3 S3 f3*(S3) x3* 0 10 20 30 40 50 0 - - - 420 422 414 414 50 10 - - 388 402 392 384 384 50 20 - 350 370 372 362 332 332 50 30 302 332 340 342 310 - 302 0 40 284 302 310 290 - - 284 0        3 3 3 * 4 3 3 3 3 3 3 3 3S,x x h S x D f S x D f       

TI3131 Penelitian Operasional II 49 Tahap n = 2 x2 S2 f2*(S2) x2* 0 10 20 30 40 50 0 - - 500 504 474 468 474 50 10 - 462 472 454 446 452 446 40 20 414 434 422 426 430 - 414 0 30 386 384 394 410 - - 384 10 40 336 356 378 - - - 336 0        2 2 2 * 3 2 2 2 2 2 2 2 2S ,x x h S x D f S x D f        Tahap n = 1 x1 S1 f1*(S1) x1* 0 10 20 30 40 50 0 - - - - 606 608 606 40        1 1 1 * 2 1 1 1 2 1 1 1 1S,x x h S x D f S x D f       

TI3131 Penelitian Operasional II 51 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 xn* D1= 40 D2= 20 D3= 30 D4= 40 D5= 30 D6= 20 S₁ x₁* S₂ x₂* S₃ x₃* S₄ x₄* S₅ x₅* S₆ x₆* 0 40 0 50 30 0 0 40 0 50 20 0 (40, 50, 0, 40, 50, 0) n n n n S x D S _1   

Backtracking

Masalah Keandalan

(Reliability Problem)

Komponen I Komponen II Komponen III

Permasalahan: Menentukan jumlah unit paralel yang dipasang

pada tiap komponen agar diperoleh reliabilitas sistem yang maksimum dengan mempertimbangkan dana yang tersedia.

TI3131 Penelitian Operasional II 53 Jumlah unit paralel yang dipasang, k Komponen I II III r1 c1 r2 c2 r3 c3 1 0,6 1 0,7 3 0,5 2 2 0,8 2 0,8 5 0,7 4 3 0,9 3 0,9 6 0,9 5

r_i= reliabilitas komponen i (diberikan jumlah unit paralel k)

c_i= biaya pemasangan komponen i (diberikan jumlah unit paralel k) [dalam jutaan rupiah]

Dana yang tersedia untuk perancangan sistem = Rp 10 juta

• Tahap

– Jenis komponen (n = 1, 2, 3)

• Status

– Untuk tiap tahap n, status S_nadalah banyaknya dana yang tersedia yang dapat dialokasikan pada tahap n

• Variabel keputusan

– Untuk tiap tahap (komponen) n, keputusan adalah

TI3131 Penelitian Operasional II 55

• Fungsi pengembalian:

• Fungsi transisi:

• Hubungan rekursif:

 

_n n n r x g 

 

_n n n n

S

c

x

S

_1





 

max



 

 

1



, 3,2,1 * 1 *      S n f x r S f n n n n x n n n

 

₄ 1 * 4 S  f

 

max



 

*1



 





, 3,2,1 *      S c x n f x r S f n n n n n n x n n n Tahap n = 3 x3 S3 f3*(S3) x3* r3= 0,5; c3= 2 r3= 0,7; c3= 4 r3= 0,9; c3= 5 1 2 3 2 0,5 - - 0,5 1 3 0,5 - - 0,5 1 4 0,5 0,7 - 0,7 2 5 0,5 0,7 0,9 0,9 3 6 0,5 0,7 0,9 0,9 3



3 3

  

3 3 3 S ,x r x f  Perhitungan

 

₄ 1 * 4 S  f

TI3131 Penelitian Operasional II 57 Tahap n = 2 x2 S2 f2*(S2) x2* r2= 0,7; c2= 3 r2= 0,8; c2= 5 r2= 0,9; c2= 6 1 2 3 5 0,35 - - 0,35 1 6 0,35 - - 0,35 1 7 0,49 0,40 - 0,49 1 8 0,63 0,40 0,45 0,63 1 9 0,63 0,56 0,45 0,63 1





 



2 2

 

2



* 3 2 2 2 2 2 S ,x r x f S c x f    Tahap n = 1 x1 S1 f1*(S1) x1* r1= 0,6; c1= 1 r1= 0,8; c1= 2 r1= 0,9; c1= 3 1 2 3 6 0,210 - - 0,210 1 7 0,210 0,280 - 0,280 1 8 0,294 0,280 0,315 0,315 3 9 0,378 0,392 0,315 0,392 2 10 0,378 0,504 0,441 0,504 2      1 1 1  * 2 1 1 1 1 1 S,x r x f S c x f   

TI3131 Penelitian Operasional II 59 n = 1 n = 2 n = 3 (x₁*, x₂*, x₃*) c₃= 2 c₂= 3 c₁= 1 S₁ x₁* S₂ x₂* S₁ x₁* 10 2 8 1 5 3 (2, 1, 3)

 

n n n n

S

c

x

S

_1





Nonlinear Programming Problem (1)

3 2 2 1 2x 3x x Z    i i i S x S_1 3  i i S x   0 maksimisasi dengan pembatas-pembatas:

TI3131 Penelitian Operasional II 61

Nonlinear Programming Problem (2)

Tahap n = 3



_{3 3}



 

₃ 3

S

,

x

3

x

f



 

 

3 0 * 3

max

3

3 3

x

S

f

S x  







₃ * 3

S

x

f

₃*

 

S

₃



3S

₃

Nonlinear Programming Problem (3)

Tahap n = 2





 

 

3 * 3 2 2 2 2 S ,x 2x f S f  

 





2 2





* 3 2 0 * 3 max 2 3 2 2 x S f x S f S x     





0

* 2

x

 



2 2



* 3 2 3 2x  f S x 



2 2 2



0max2 2 2 9 3 x S x S x     



2 2



0max2 2 9 x S S x    

 

2 2 * 2 S 9S f 

TI3131 Penelitian Operasional II 63

Nonlinear Programming Problem (4)

Tahap n = 1



  

 

2 * 2 2 1 3 3 3 S ,x x f S f  

 





1 1





* 1 2 1 0 * 1 max 3 1 1 x S f x S f S x     

 



1 1



* 2 2 1 f 3S x x   



1 1



2 1 0max1 1 27 9 x S x S x     

Nonlinear Programming Problem (5)

27S₁ 9_/ 17



convex fungsi 27 9 1 1 2 1    x x S f

TI3131 Penelitian Operasional II 65

Nonlinear Programming Problem (6)

Kebijakan keputusan optimal:

0 * 1 1 x  S  3 * 1 1 x S S    3 * 1 1 x 0atau S S   

Titik



diperoleh melalui:

9 27 9 27 1 1 2 1 1    S   S

Nonlinear Programming Problem (7)

 















9

,

18

9

,

27

1 1 2 1 1 1 1 * 1

S

S

S

S

S

S

f

Kebijakan keputusan optimal tersedia untuk sebarang status masukan S₁.

TI3131 Penelitian Operasional II 67

Nonlinear Programming Problem (8)

S₁ x₁* x₂* x₃* f₁*(S₁)

3 27 0 0 81

6 54 0 0 162

9 81(54) 0 0(9) 243

12 72 0 12 360

Nilai solusi untuk beberapa nilai status masukan S₁.

Pemrograman Linier

(Linear Programming)

2 1

5

3

x

x

Z





4

1



x

12

2

x

₂



0

,

₂ 1

x



x

dengan pembatas-pembatas: Maksimisasi

18

2

3

x

₁



x

₂



TI3131 Penelitian Operasional II 69

• Tahap:

n = aktivitas (n = 1, 2)

• Status:

Jumlah ketersediaan masing-masing sumber

pada tahap n (P

_n

, Q

_n

, R

_n

) yang dapat

dialokasikan untuk tahap (aktivitas) n, n + 1,…

• Variabel keputusan

x

_n

= jumlah dari aktivitas n

Tahap n = 2

 

2 2 * 2 2 2

,

min

Q R

x





2 2 2 2



2 2 2

P

,

Q

,

R

;

x

c

x

f







 

₂ 2 2 2 2 2 * 2

,

,

max

5

2 2 2 2

x

R

Q

P

f

R x Q x  



TI3131 Penelitian Operasional II 71 Tahap n = 1



P

2

,

Q

2

,

R

2

 



P

1



a

p1

x

1

,

Q

1



a

q1

x

1

,

R

1



a

r1

x

1





4



x

1

,

12

,

18



3

x

1









 



2



3 18 2 12 2 2 2 2 2 * 2 1 2 2

,

min

5

,

min

5

,

,

Q

R

Q R x

P

f













2 2 2



* 2 1 1 1 1 1 1 1

P

,

Q

,

R

;

x

c

x

f

P

,

Q

,

R

f











2



3 18 2 12 1 1 1 1 1 1 1

,

min

5

3

;

,

R

x

x

x

Q

P

f







 

























4

2

,

9

5

2

0

,

6

5

3

1 1 2 3 1 1

x

x

x

x





















4

2

,

45

2

0

,

30

3

1 1 2 15 1 1

x

x

x

x

TI3131 Penelitian Operasional II 73





































 

₄₅

_,

₂

₄

2

0

,

30

3

max

,

,

1 1 2 15 1 1 4 0 1 1 1 * 1 1

x

x

x

x

R

Q

P

f

x



























 

₄₅

_,

₂

₄

2

0

,

30

3

max

1 1 2 9 1 1 4 0 1

x

x

x

x

x



,

,



36

2

1 1 1 * 1 * 1





Q

R

P

f

x

2

* 1



x

12

)

2

(

3

18

12

2

2

4

2 2 2















R

Q

P



,



6

min

12₂ 2 12 * 2





x

TI3131 Penelitian Operasional II 75

Pemrograman Dinamis Probabilistik

• Dalam pemrograman dinamis probabilistik

(probabilistic dynamic programming), status

pada tahap berikutnya ditentukan oleh:

– Status dan keputusan saat ini – Probabilitas dari status berikutnya

Struktur Dasar

Pemrograman Dinamis Probabilistik

S_n x_n 1 2 . . . p₁ p₂ p_S



n n



n S x f , Status: Keputusan Tahap n Tahap n + 1 C₁ C₂ C_S

 

1 * 1  n f

 

2 * 1  n f Probabilitas

TI3131 Penelitian Operasional II 77

• Hubungan antara f

_n

(S

_n

, x

_n

) dengan f*

_n+1

(S

_n+1

)

bergantung pada bentuk dari fungsi tujuan

secara keseluruhan.

• Contoh: tujuan adalah meminimumkan jumlah

ekspektasi kontribusi dari tahap individual

• f

_n

(S

_n

, x

_n

) menunjukkan jumlah ekspektasi

minimum dari tahap n ke depan, dengan

diberikan status dan keputusan pada tahap n

masing-masing S

_n

dan x

_n

.



,





 



, , ,1 1 * 1 i n N  f C p d S f S i n i i n n n 



   

 



1



1





* 1 min , 1      _{n n} x n i f i x f n dengan

• Akibatnya,

TI3131 Penelitian Operasional II 79

Beberapa Contoh Masalah Pemrograman

Dinamis Deterministik

• Reject allowance

• Permainan

Reject Allowances

• Perusahaan menerima order untuk membuat

satu item dari suatu jenis produk tertentu.

• Karena pemesan menetapkan standar kualitas

yang ketat, perusahaan harus memproduksi

lebih dari item agar produk dapat diterima.

• Jumlah tambahan item yang diproduksi disebut

TI3131 Penelitian Operasional II 81

• Perusahaan mengestimasi bahwa tiap item yang

diproduksi dapat diterima dengan probabilitas sebesar

1_/

2dan cacat (tanpa dapat dirework) dengan

probabilitas sebesar 1_/ 2.

• Jumlah item yang diproduksi yang dapat diterima dari suatu ukuran lot L mempunyai distribusi binomial

.

• Probabilitas memproduksi item yang tak

diterima dari suatu lot adalah (½)

L

• Biaya produksi satuan = $100 per item. • Kelebihan item = tak bernilai.

• Biaya set-up = $300 per production run.

• Production run berikutnya dilakukan apabila belum dapat diperoleh item yang diterima

• Perusahaan mempunyai kesempatan untuk membuat

item hingga tiga kali production run.

• Jika pada akhir production run belum diperoleh item yang dapat diterima maka perusahaan akan

kehilangan pendapatan dan dikenakan biaya penalti sebesar $1600.

TI3131 Penelitian Operasional II 83

• Permasalahan: Menentukan kebijakan optimal

terhadap ukuran lot (1 + reject allowance)

untuk production run yang diperlukan yang

meminimasi ekspektasi biaya total bagi

perusahaan.

Perumusan Pemrograman Dinamis

• Tahap

n = production run (n = 1, 2, 3)

• Status

S

_n

= jumlah item yang acceptable yang masih

dibutuhkan (1 atau 0) jika mulai dari tahap n

• Variabel keputusan

TI3131 Penelitian Operasional II 85

Pada tahap 1

• Status S

₁

= 1

• Jika paling sedikit satu item yang dapat

diterima diperoleh berikutnya, status berubah

ke S

_n

= 0, dimana tidak ada tambahan biaya

yang diperlukan.

f_n(S_n, x_n) = ekspektasi biaya total untuk tahap

n, …, 3 jika sistem mulai dalam

status S_npada tahap n keputusan

x_n dengan f*_n(0) = 0

 

_n



_{n n}



x n n

S

f

S

x

f

n

,

min

, 1 , 0 *  



TI3131 Penelitian Operasional II 87

Kontribusi biaya dari tahap n (tanpa memandang status berikutnya)

= K(x_n) + 100x_n

dimana K(x_n) adalah fungsi dari x_n

K(x_n) = 0 jika x_n = 0 = 300 jika x_n > 0

 

1,

 

100

 

*

 

1



1

 

₂1



*₁

 

0 1 2 1 *        x _n n x n n n n x K x x f f f n n Untuk S_n = 1,

f₄*_{(1) = 1600, biaya akhir jika tidak ada item yang dapat}

diterima yang diperoleh setelah tahap ke-3.

 

100

 

₂1 *₁

 

1     x _n n n x f x K n

TI3131 Penelitian Operasional II 89

 

1

min



1

 

 

₂1 *₁

 

1



, 1 , 0 *  







x _n n x n

K

x

f

f

n n  Hubungan rekursif untuk n = 1, 2, 3 Tahap n = 3 x3 S3 f3* x₃* 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 1 1600 1200 900 800 800 850 800 3 atau 4    

 

3 2 1 3 3 3 3 3 , 100 1600 x x x K x S f   

TI3131 Penelitian Operasional II 91 Tahap n = 2 x2 S2 f2*(x2) x₂* 0 1 2 3 4 0 0 0 0 1 800 800 700 700 750 700 2 atau 3



,



 

100

 

₂1 ₃*

 

1 2 2 2 2 2 2 f x x K x S f    x Tahap n = 1 x1 S1 f1*(x1) x₁* 0 1 2 3 4 1 700 750 675 687.5 743.75 675 2  ,    100

 

2 2* 1 1 1 1 1 1 1 1 f x x K x S f    x

TI3131 Penelitian Operasional II 93

Production run Kebijakan optimal (optimal policy)

1 Memproduksi 2 item

2 Jika tidak ada item yang acceptable maka produksi sebanyak 2 atau 3 item

3 Jika ada tidak ada item yang acceptable maka produksi 3 atau 4 item

Ekspektasi biaya dari kebijakan = $675

Permainan

• Diberikan suatu permainan mirip Russian Roulette yang memutar sebuah lingkaran yang diberi n angka berurutan, yaitu antara 1 hingga n.

• Probabilitas bahwa lingkaran akan berhenti pada suatu angka j setelah satu putaran adalah p_i.

• Seorang membayar $x untuk permainan sebanyak m putaran.

• Payoff kepada pemain adalah dua kali angka yang dihasilkan dalam putaran terakhir.

TI3131 Penelitian Operasional II 95

• Tahap n dinyatakan sebagai putaran (n = 1, ..,

m)

• Status j dari sistem pada tahap i dinyatakan

sebagai salah satu angka dari 1 hingga n yang

diperoleh pada putaran terakhir.

• Alternatif keputusan pada tiap tahap mencakup

baik pemutaran sekali lagi atau menghentikan

permainan.

Misal

f_i(j) = Ekspektasi return untuk permainan pada tahap (putaran) i dengan hasil putaran terakhir adalah j

= 2j, jika permainan berakhir

jika permainan berlanjut

) ( 1 1 k f p n k i k



 

TI3131 Penelitian Operasional II 97 Hubungan rekursif :

 

j

j

f

_m1



2

 

_

 





n k k

f

k

p

f

1 2 1

0

 

 

m i k f p j j f n k k i k i , 1, , berlanjut permainan jika berhenti permainan jika 2 max 1          



 

• Pada saat putaran pertama (i = 1), status sistem adalah

j = 0 (permainan dimulai)

• Maka f₁(0) = p₁f₂(1) + p₂f₂(2) + ... + p_nf₂(n) • Pada putaran terakhir (i = m), permainan harus

berhenti tanpa memandang bagaimana hasil j pada putaran ke-m. Sehingga,

f_m+1(j) = 2j

• f₁(0) diperoleh dari perhitungan rekursif, yang merupakan ekspektasi return dari m putaran. • Net return adalah f₁(0) - x

TI3131 Penelitian Operasional II 99 1 2 3 m-1 m Berhenti Berhenti Berhenti Putar Putar Putar Berhenti Putar m+1

• Contoh numerik

– Lingkaran diberi angka berurutan mulai dari 1 hingga 5.

– Probabilitas bahwa lingkaran akan berhenti pada nomor j adalah sebagai berikut:

p₁= 0,3; p₂= 0,25; p₃= 0,20; p₄ = 0,15; p₅= 0,10 – Pemain membayar $5 untuk permainan sebanyak 4

putaran.

– Tentukan strategi optimal dari empat putaran untuk memaksimumkan net return.

TI3131 Penelitian Operasional II 101 Tahap n = 5 d₅ S_{5 Berhenti} f5*(S5) d5* 1 2 2 Berhenti 2 4 4 Berhenti 3 6 6 Berhenti 4 8 8 Berhenti 5 10 10 Berhenti f₅*(S₅) = 2j f₅(S₅, d₅) Tahap n = 4 d₄ j _{Berhenti Putar} f4*(S4) d3* 1 2 5 5 Putar 2 4 5 5 Putar 3 6 5 6 Berhenti 4 8 5 8 Berhenti 5 10 5 10 Berhenti f₄*(S₄) = max{2j, p₁f₅(1) + p₂f₅(2) + p₃f₅(3) + p₄f₅(4 + p₅f₅(5)} = max{2j, 5} f₄(S₄, d₄)

TI3131 Penelitian Operasional II 103 d₃ S_{3 Berhenti Putar} f3*(S3) d3* 1 2 6,15 6.15 Putar 2 4 6,15 6.15 Putar 3 6 6,15 6.15 Putar 4 8 6,15 8.00 Berhenti 5 10 6,15 10.00 Berhenti Tahap n = 3 f₃(S₃, d₃) Tahap n = 2 d2 S2 f2*(S2) x2* Berhenti Putar 1 2 6,8125 6,8125 Putar 2 4 6,8125 6,8125 Putar 3 6 6,8125 6,8125 Putar 4 8 6,8125 8,0000 Berhenti 5 10 6,8125 10,0000 Berhenti f₂(S₂, d₂)

TI3131 Penelitian Operasional II 105 Tahap n = 1 d1 S1 f1*(S1) d1* Putar 0 7,31 7,31 Putar f₁(S₁, d₁)

Putaran Strategi optimal

1 Permainan mulai, putar

2 Lanjutkan jika putaran 1 menghasilkan 1, 2 atau 3; jika tidak berhenti

3 Lanjutkan jika putaran 2 menghasilkan 1, 2 atau 3; jika tidak berhenti.

4 Lanjutkan jika putaran 3 menghasilkan 1 atau 2; jika tidak berhenti