Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah persamaan bentuk :

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. _{MATEMATIKA IV 1}

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah persamaan bentuk :

 



x,y',y'',y ''',...,y n



0 F

Yang menyatakan hubungan antara x, fungsi y (x) dan turunannya y',y'',y''',...

sampai turunan orde n.

Misalnya : y''3y'2y6ex 0 (i)

 

y''' 22y'y''

 

y'' 2 0 ( ii )

Persamaan ( i ) berorde dua tetapi derajad satu, sedangkan persamaan ( ii ) berorde tiga dan berderajad dua, karena tampilnya turunan ketiga dalam pangkat dua. Persamaan diferensial tersebut biasa atau Ordinary karena tidak adanya turunan parsial. Persamaan diferensial yang memiliki turunan parsial tersebut persamaan diferensial parsial, misalnya :

d cV t V b t V a x V x c ab t M                2 2 2 2

Sejumlah besar masalah fisika dan teknik harus ditangani dengan persamaan diferensial parsial. Dalam bab ini hanya akan kita tinjau persamaan – persamaan yang dapat diselesaikan untuk turunan tertinggi dan ditulis dalam bentuk :

 



1



... ,... ' ' , ' , ,   n n y y y y x F y PENYELESAIAN

Dengan penyelesaian khusu diartikan sebuah fungsi y f

 

x,axb yang memiliki turunan sampai orde n dalam interval tersebut, sehinga persamaan (24 – 1 ) terpenuhi jika y dan turunannya disubstusikan dalam persamaan tersebut.

Maka y = ex merupakan penyelesaian khusus dari persamaan ( i ) sedangkan y = x adalah penyelesaian khusus persamaan ( ii ).

Untuk kebanyakan persamaan difrensial ditemukan bahwa semua penyelesaian khusus dapat dicakup dalam satu bentuk y f



x,c1,c2...cn



dengan c1, c2, ………cn adalah sebarang konstanta

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. _{MATEMATIKA IV 2}

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Persamaan diferensial yang ditinjau memiliki penyelesaian khusus yang dapat dicakup dalam bentuk :



x c c cn



f

y , 1, 2...

Dengan c1, c2, ………cn adalah sebarang konstanta. Misalnya semua penyelesaian dari persamaan ( i) diberikan oleh

x x e x c e c y 1   22 

Penyelesaian y = ex diperoleh jika c1 = 0 dan c2 = 0.

Jika diperoleh bentuk (24.3) yang mencakup semua penyelesaian disebut Penyelesaian Umum. Untuk persamaan yang dibahas ini diketemukan bahwa jumlah konstanta sama dengan orde n.

Tampilnya sebarang konstanta tidak mengejutkan karena konstanta senatiasa muncul karena integrasi suatu persamaan diferensial yang paling sederhana :

 

x dx C F y x F y' ( )menghasilkan 





Setelah integrasi, timbul satu konstanta sebarang c1 = C. Secara umum hal ini berlaku

untuk persamaan dengan orde tinggi.

2 1 5 3 an menghasilk 20 ' ' x y x c x c y    

Setelah dua kali integrasi. Maka jelas bahwa integrasi turunan kedua memberikan dua konstanta.

PERSAMAAN ORDE SATU DERAJAD SATU

Persamaan diferensial orde satu dan derajad satu umunya diberikan dalam bentuk :

 

x y dy F

 

x y dx F dx dy , atau ,  

Jika dikalikan dengan g (x,y) dapat dituliskan dalam bentuk M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0

yang disebut Persamaan Diferensial Eksak Jika dipenuhi x N y M     

maka (24-4) adalah diferensial dari suatu fungsi z = f (x,y). Ini berarti (24-4) sama dengan persamaan dz = 0 yang mempunyai penyelesaian umum z = c atau f (x,y) = c. Uraian ini kita buktikan dengan menemukan fungsi c = f (x,y).

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. _{MATEMATIKA IV 3} Dengan mengingat ketentuan bahwa M adan N diberikan dan memenuhi

x N y M     

dapat diambil langkah :

(i) Integrasikan M terhadap x dengan y tetap. Hasilnya : z M dx Q

 

y

x 





Dengan Q (y) adalah fungsi sebarang dari y saja. (ii) Nyatakan A sebagai beda







    xM dx y N A







M dx



x y x N dx M y x x N x M x x 2 2





__            

Urutan diferensial dapat ditukar . Tetapi





y M dx M x y M dx M x x x         





sehingga 2 Akibatnya 0         y M x N x A

dan A bebas dari x

Sekarang akan kita tentukan Q (y) sehingga

 







     xM dx y N A y Q'

Setelah ini dilakukan, diperoleh :



M dx



Q

 

y y N x  '  

_

Diperoleh :



M dx



Q

 

y N y y z M x z x           



' dan ,

Sehingga dy dzTinggalmenentukan Q(y)

y z dx x z dy N dx M        

(iii) untuk mencari Q (y), integrasikan Q '

 

y terhadap y.

 

M dx dy y N y Q x



_ _



_ 

Memasukan persamaan ini dalam (24-5) memberikan c dy dx M y N dx M z x x           







CONTOH : Tunjukan bahwa cos y dx + (2y – x sin y) dy = 0 adalah eksak. Jawab : M = cos y dan N = 2y – x sin y

x N y M y x N y y M             Jelas . sin dan sin

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. _{MATEMATIKA IV 4} .









umum. an penyelesai adalah cos sin sin 2 cos sin cos , cos cos 2 c y y x z dy y x y x y y x z y x y x y dx M y y x dx y dx M x x                









PERSAMAAN DIFERENSIAL VARIABEL – VARIABEL TERPISAH

Jika persamaan eksak M dx + N dy = 0 mempunyai sifat bahwa M fungsi x saja dan N fungsi y saja, maka 0

     x N y M

. Ini adalah bentuk paling sederhana dari persamaan diferensial eksak, dan dikatakan bahwa variable – variabelnya terpisah. Penyelesaian umum dapat ditulis :



M dx



Ndyc CONTOH dy (1) Selesaikan y' y/k Jawab :  atau  0 x dx y dy x y dx dy x c c y c e x y c y dy c x y x dx y dy        





dan , In In In dan 0 1 1 1

Penyelesaian berlaku untuk semua (x,y) kecuali x = 0.

(2) Selesaikan 0 ) 1 ( 1 2 2 3     x xy y dx dy Jawab :





















e c y y x c c x x y c y x y x dx x x dx y dy y dx x x y dy y c                          2 3 2 2 3 6 2 1 2 3 2 2 3 2 2 3 2 1 1 In 6 1 In 3 In 6 1 In 2 1 1 In 2 1 In 3 1 In 3 1 0 1 1 maka terpisah. ya variabeln -el dan variab 0 1 1 1

PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. _{MATEMATIKA IV 5}



x y



f

 

x y

f   n, , . Persamaan M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 disebut homogen jika M (x,y) dan (x,y) hohogen dengan derajad sama. Untuk persamaan homogen

dilakukan substitusi yvxdyvdxxdv.

Dengan substitusi ini persamaan homogen dibah menjadi bentuk variable – variable terpisah x dan v.

(3) Selesaikan xy y x y 2 2 '  0 dan x 0 y untuk In In 2 1 0 1 substitusi , 1 ' : 2 2 2 2 1 2                        cx x x y c x v x dx dv v dx v dv x dx v v dy vx y v v x y y Jawab (4) Selesaikan 2 xy dy = (x2 – y2 ) dx

Jawab : Persamaan ini homogen derajat dua. Subsitusi y = xv

 















1 3 memberikan 1 3 1 atau 0 c In In 3 3 1 In dan , In In 3 1 In 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ) x y c (x v x c x v c x v x dx v v d x dx v dv v dx x v x dv x dx v vx x                    

(5) Selesaikan sin







 cos



xdyydx



0

y y y x dy y dx x y x

Jawab : Persamaan ini homogen derajat dua. Subsitusi y = vx

x sin v (vx dx + x2 dv + vx dx) + vx cos v (x2 dv + vx dx – vx dx ) = 0 sin v ( 2 v dx + x dv ) + xv cos v dv = 0 0 2 sin cos sin    x dx dv v v v v

Maka In vsin v 2In x In c dan x2 (v sin v ) = C menghasilkan

C x y xysin 

(6) Selesaikan



x22y2



dy2xydx0

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. _{MATEMATIKA IV 6}









_

_







v



C y x y C vx c x v v c x v x dx v dv v v dv x dx dv v v v vdx dv x dx v v                          ) 2 3 ( dan 2 3 Maka ' In 3 In 3 2 3 In In ' In 3 In 3 2 3 In v In 0 2 3 3 4 3 0 2 3 2 1 0 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 (7) Selesaikan



x2 y

 

dx y3 x



dy0

Jawab : Persamaan dapat ditulis x2 dx + (y dx + x dy ) + y3 dy = 0 x3 xy y4 C

4 1 3

1

(8) Selesaikan



xexsiny

 

dx yexcosy



dy0

Jawab : Integrasi dari xdx ydy



excosydyexsinydx



0 Memberikan : x  y exsinyC 2 1 2 1 2 2 (9) Selesaikan x xy + y dx = 2 x2 y dx

Jawab : Bentuk x dy – y dx memberikan segesti pada bentuk

cx x y C x x y dx x x y d x dx x x dx y dy x x x dx y dy x x y d                       3 2 2 3 2 2 2 atau 2 2 1 dikalikan atas di Persamaan (10) Selesaikan x dy + y dx = 2 x2 y dx

Jawab : Kombinasi x dy + y dx memberikan sugesti pada bentuk





C x xy dx x xy dx y dy x xy xy dx y dy x xy d      2 In dan 2 memberikan 1 dikalikan atas di Persamaan In (11) Selesaikan x dy +



3yex



dx0

Jawab : Dikalikan dengan x2 diperloeh x3 dy + 3x2 y dx = x2 ex dx

 

x y  x e dx x y

_

x e dxx e  xe  e C

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. _{MATEMATIKA IV 7}

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU

Persamaan diferensial dengan bentuk py Q dx

dy

 

Dengan P dan Q adalah fungsi x saja, disebut persamaan diferensial linear orde satu. Perlu diperhatikan bahwa turunan dan variable tidak bebas y hanya tampil dalam derajat satu. Persamaan ini memiliki factor integrasi S (x) = e



P dx Berarti ruas kiri dan kanan harus dikalikan S (x) kemudian di integrasikan .

CONTOH

(1) Selesaikan y'xyx

Jawab : P

 

x  xdan S e



xdxe1/2x2

Persamaan dikalikan S memberikan _e1/2x2_y'|_xye1/2x2 _xe1/2x2

 

_1/2x2 _1/2x2 xe e dx d 



xe dxC e C y e1/2x2 1/2x2 1/2x2 Maka y 1ce1/2x2

 

















      _                                           x y f f x y y x x f d f df y x dy y dx x dy y dx x y x d y x dy y dx x y x d y x dx y dy x x y arc d x dx y dy x x y d dy x dx y dy d 1 1 1 1 In 2 2 2 2 log 2 1 tan 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. _{MATEMATIKA IV 8} (2) Selesaikan y x cx dx dy cos cot  

Jawab : P(x)cotxdan



pdx



cotxdxIn sinx

C x x y dx dx x dy x x e x x y dx dy x x e x S x            _   sin dan cos sin cos sin cot sin sin ) ( In sin PERSAMAAN DIFERENSIAL

Persamaan diferensial yang tidak linear mungkin dapat disusutkan dalam bentuk linear dengan mengadakan substitusi yang sesuai. Suatu persamaan yang cukup penting ialah persamaan Bernoulli, berbentuk : yP

 

x y Q

 

x

dx

dy  n

Dengan P dan Q ialah fungsi dari x saja dan n sebarang bilangan bukan nol. Tranformasi dilakukan dengan substitusi :

dx dz n dx dy y y z n n 1 1 dan 1      

Yang menghasilkan persamaan linear . CONTOH (1) Selesaikan y xy2 dx dy_{ } dengan dikalikan setelah atas di persamaaan dan memberikan Substitusi . 2 dan 1 ) ( dengan , berbentuk ini Persamaan : 2 1 2 1 1 dx dy y dx dz y y y z n x P xy Py dx dy Jawab n n              2  y menghasilkan

 

 

 

1 . 2 2 2 2 y z karena atau dan Maka 1 berarti , kembali Ditulis memberikan                                        







C e e x e z xdx xe e z dx e x e z d dx e x dx e z dz e e e e S p x z dx dz x z dx dz xy y y y dx dy y x x x x x x x x x x dx dx p Akhirnya diperoleh x _x e c x y e c x y 1 1 1 1       