Suara Di Ruang Tertutup
Pada bab-bab sebelumnya menunjukkan bahwa meningkatnya bidang pembatas bunyi disertai dengan meningkatnya kompleksitas. Demikian bayangan yang dihasilkan pesawat yang terkena gelombang pesawat pada bidang miring sehingga menciptakan pesawat terkena gelombang insiden pesawat di bidang miring menciptakan gelombang yang bersifat progresif sehubungan dengan satu koordinat sementara muncul sebagai yang lebih atau kurang gelombang berdiri diucapkan. Jika pada jangkauan tertentu di batasi oleh suatu pipa atau saluran sumber bunyi akan menimbulkan berbagai jenis gelombang diskrit atau mode gelombang. Proses ini akan dibahas mengenai suara di ruang sepenuhnya tertutup. Pada hal ini bidang suara terdiri dari pola gelombang diskrit yang membuat gagasan propagasi suara agak dipertanyakan pada pandangan pertama.Hal ini merupakan dasar fisik meskipun pada bidang akustik biasanya akan lebih sederhana dan tidak terlalu formal dalam menggambarkan bunyi di ruang tertutup.
9.1 Getaran pada system ruang satu dimensi
Pada materi bab ini kita mulai dengan ruang 1 dimensi, yaitu pada pipa panjang dengan dinding keras. Diasumsikan bahwa dimensi lateral kecil untuk menjamin bahwa dalam rentang frekuensi hanya dianggap gelombang fundamental ada. Ada kerugian pada proses yang mungkin terjadi dalam medium dan di dinding pada bagian 4.4 dan 8.1 diabaikan. Koordinat yang relevan adalah-x sumbu bertepatan dengan sumbu pipa.
Pada kasus pertama kita mempertimbangkan bahwa kedua ujung pipa tertutup dengan plat keras atau penutup. Setiap bidang bunyi yang harmonis dalam pipa terdiri dari gelombang berdiri dengan amplitudo pada tekanan maksimum yang terjadi pada penghentian. Ini hanya mungkin jika jumlah integral dari setengah panjang gelombang cocok ke dalam tabung panjang L (lihat Gambar 9.1a). Persyaratan ini mendefinisikan frekuensi yang akan disebut '’eigenfrequencies' sebagai berikut :
Gambar 9.1 Getaran pada sistem tabung panjang (a) kedua ujung tabung ditutup. (b) terbuka pada kedua ujungnya dan (c) salah satu ujung tabung ditutup dan yang lain satu terbuka.
Gelombang berdiri terkait dengan eigenfrequency tertentu diberikan oleh
(9.2)
Dengan . Di sini ujung kiri pipa terletak pada x = 0. Ini karakteristik amplitudo disebut getaran pada system rongga tertutup.
Sekarang diasumsikan bahwa, berbeda dengan kasus yang disebutkan sebelumnya, pipa diakhiri dengan nol impedansi pada kedua ujung-ujungnya Kondisi ini dapat didekati dengan meninggalkan pipa terbuka. Sekali lagi, bidang suara dengan harmonis variasi tekanan terdiri dari gelombang berdiri, tetapi sekarang tekanan amplitudo pada x = 0 dan x = L harus nol. Seperti penghentian kaku, ini tercapai, jika panjang pipa sama dengan jumlah integral halfwavelengths, maka eigenfrequencies pipa diberikan oleh persamaan (9.1) sebagai sebelumnya. Namun, distribusi amplitudo tekanan suara yang berbeda dalam bahwa kosinus di persamaan (9.2) diganti dengan fungsi sinus dengan sama argumen. Jelas, tidak ada suara bisa eksis untuk n = 0, kontras dengan dianggap pada kasus sebelumnya.
Pada kasus ketiga menganggap pipa dengan satu ujung terbuka pada x = L sedangkan ujung akhir pada x = 0 adalah topi kaku (lihat Gambar 9.1c).
Karena menghasilkan gelombang berdiri memiliki maksimum tekanan pada sisi kiri dan tekanan simpul di ujung kanan, panjang pipa harus sama dengan jumlah integral setengah-panjang gelombang ditambah satu seperempat panjang gelombang, atau, dengan kata lain, beberapa panjang gelombang-kuartal. Ini berarti bahwa
(9.3)
Sekali lagi, eigenfrequencies yang berjarak sama sepanjang sumbu frekuensi, namun terendah hanya setengah setinggi itu dari pipa dengan sama penghentian. Sekarang tekanan suara yang diwakili oleh
(9.4)
Dapat disimpulkan bagian ini dengan contoh di mana tidak bisa eigenfrequencies diekspresikan dengan menggunakan formula yang tertutup, yaitu, klakson kerucut yang keras ditutup pada akhir yang sempit yang terletak pada x = x1, sementara ujung lebar pada x = x1 + L
terbuka. Lihat gambar 9.2a
Seperti yang kita lihat dalam topic bahasan 8.4.1 gelombang yang berbentuk kerucut yang berbentuk bola gelombang perjalanan baik terhadap ujung atau jauh dari itu. Dalam kasus umum
dengan konstanta A dan B masih harus ditentukan. Diferensiasi untuk menghasilkan nilai x
Kondisi batas adalah p ∂ / ∂ x = 0 pada x = x1 dan p = 0 pada x1 + L di x1 pada tempat ini
(akhirnya ditutup), sementara ujung yang luas yang terletak pada x = terbuka (p = 0). Dari kedua persamaan sebelumnya kita menemukan
Membagi persamaan pertama ini oleh satu hasil kedua
atau, dengan menggunakan Persamaan. (2.6a) dan (2.6b):
(9.5)
Gambar 9.2 Eigenfrequencies dari corong kerucut (a) longitudinal pada bagian corong kerucut, (b) gambaran pada persamaan (9.5).
Persamaan transendental adalah grafis diwakili pada Gambar 9.2b, dan solusi knl= 2πLfn / c
sesuai dengan persimpangan garis lurus dengan fungsi tangen. Dengan batas limit x1→∞ dengan
ciri pipa silinder yang solusi knl = (2n - 1) • (π / 2) (n = 1, 2,...) pada Pers. (9,3).(titik-titik garis
vertikal pada gambar).
Dibandingkan dengan garis-garis ini solusi dari Pers. (9.6) yang bergeser ke arah yang lebih tinggi KL, yaitu, terhadap frekuensi yang lebih tinggi. Terutama, yang terendah eigenfrequencies secara signifikan lebih tinggi daripada persamaan. (9,3).
Isi bagian ini dapat diringkas sebagai berikut: dalam hal ini semua kerugian diabaikan, bidang suara dalam pipa panjang bisa ada hanya pada diskrit frekuensi tertentu, yang di sebut dengan eigenfrequencies. Masing-masing terkait dengan gelombang berdiri karakteristik yang dikenal sebagai getaran pada suatu system.
9.2 Getaran pada system ruangan persegi panjang dengan dinding keras
Pada bahasan bab tidaklah sulit untuk menemukan nilai eigenfrequencies dan getaran pada suatu system sebuah ruangan persegi panjang dengan dimensi Lx, Ly dan Lz semua
dinding yang keras (lihat Gambar 9.3) Untuk tujuan ini kita mengganti pipa tipis dengan pertimbangan pada bagian sebelumnya dengan saluran dimensi bunyi Ly, dan Lz. Oleh karena
itu kami mengakui bahwa jenis gelombang yang lebih tinggi yang dijelaskan di Bagian 8.5 merambat dalam saluran ini masing-masing ditandai oleh dua bilangan bulat m dan n. Sudut wavenumber dari setiap gelombang tersebut diberikan oleh Persamaan. (8,52) dan (8.53).
panjang gelombang yang terkait dengan itu adalah λ"= 2π/k".dengan persyaratan bahwa jumlah integral dari setengah panjang gelombang muat ke dalam Lx panjang saluran tersebut sudah
setara dengan Lx =1 • (π / k") dengan
l = 0, 1, 2, dll Gabungan dengan eq. (8,52) ini menghasilkan diperbolehkan sudut frekuensi
(9.6)
Dengan eigenfrequencies flmn = ωlmn/2π ditemukan dengan memasukkan ωmn dari Pers. (8,53):
(9.7)
Modus normal yang terkait dengan eigenfrequencies yang diberikan, pada prinsipnya dari Pers. (9.2),mengganti n dengan l dan L dengan Lx. Namun, amplitudo tidak lagi independen dari y dan
itu tekanan suara dari getaran pada system normal ditandai dengan bilangan bulat l, m dan n berbunyi:
(9.8)
Ini adalah ekstensi tiga dimensi dari gelombang berdiri pada Bagian 6.5 dengan R = 1. Sebuah modus yang diberikan memiliki garis l yang tegak lurus sumbu x, serta garis m tegak lurus dengan sumbu y dan garis n tegak lurus terhadap sumbu z. garis ini tekanan suara selalu nol. Gambar 9.4 menunjukkan untuk modus normal dengan l = 3 dan m = 2, amplitudo distribusi melalui bidang tanah z = 0.
dalam bentuk kontur amplitudo tekanan suara sama .
Table 9.1 daftar 21 eigenfrequencies dari sebuah kamar persegi panjang dengan dimensi 4,7 × 4,1 × 3,1 m3 Nilai frekuensi (Hz) l m n Nilai frekuensi (Hz) l m n 36,17 1 0 0 90,47 1 2 0 41,46 0 1 0 90,97 2 0 1 54,84 0 0 1 99,42 0 2 1 55,02 1 1 0 99,80 2 1 1 65,69 1 0 1 105,79 1 2 1 68,55 0 1 1 108,51 3 0 0
72,34 2 0 0 109,68 0 0 2
77,68 1 1 1 110,05 2 2 0
82,93 0 2 0 115,49 1 0 2
83,38 2 1 0 116,16 3 1 0
Nodal pesawat ditandai dengan garis putus-putus. Masing-masing memisahkan dua daerah dengan berlawanan tanda-tanda tekanan suara seketika.
Tabel 9.1 daftar 21 eigenfrequencies dari sebuah kamar persegi panjang dengan dimensi 4,7 × 4,1 × 3,1 m3. Tentu saja, tidak berjarak sama sepanjang sumbu frekuensi, tampaknya densitas meningkat dengan frekuensi.
Untuk mendapatkan gambaran jumlah dan kepadatan eigenfrequencies membayangkan ruang frekuensi 'dengan koordinat Cartesian fx, fy dan fz. Hal ini untuk membatasi octant di mana
semua nilai l, m dan n positif atau 0, jika mengubah tanda tidak mengubah Persamaan. (9.7) dan (9.8).
gambar 9.5
Dalam ruang ini suatu eigenfrequency tertentu sesuai dengan titik yang dengan koordinat
totalitas dari semua eigenfrequencies membentuk kisi biasa seperti yang ditunjukkan pada Gambar 9.5. Jarak dari suatu titik kisi tertentu dari asal tersebut, dari persamaan (9.7):
Jumlah eigenfrequencies dalam interval frekuensi dari 0 sampai beberapa frekuensi f dapat diperkirakan sebagai berikut: menganggap bola dengan jari-jari f di sekitar titik asal.'frekuensi
volume' dari fx octant ≥ 0,fy ≥ 0 dan fz ≥ 0 adalah V (f) = (4π / 3) • f3 / 8; mengandung semua kisi
jatuh ke dalam interval frekuensi. Untuk masing-masing satu sel kisi dengan 'Volume frekuensi'
disebabkan di mana V adalah volume geometrik dari ruangan. Jumlah Nf dari eigenfrequencies hingga batas f diperoleh dengan membagi V (f) dengan sel volume c3/8V dengan hasilnya
(9.9a)
Diterapkan ke ruang yang ditentukan dalam Tabel 9.1 formula ini memprediksi hanya 10 eigenfrequencies dalam rentang dari 0 sampai f = 116,5 Hz sedangkan yang benar nomor 20. Alasan perbedaan ini terletak pada poin eigenfrequency terletak pada koordinat pesawat, mereka tidak hanya milik yang dianggap octant tetapi juga yang berdekatan, sehingga hanya separuh dari Pers. (9.9a) meskipun mereka mewakili eigenfrequencies penuh. Demikian pula, hanya seperempat dari titik berbaring sepanjang sumbu koordinat diambil ke account di persamaan (9.9a) karena masing-masing dari mereka milik empat octants. Setelah menambahkan koreksi istilah yang sesuai kita memperoleh rumus ditingkatkan
(9.9b)
Tentu saja, pada frekuensi yang lebih tinggi tambahan istilah-istilah ini dapat diabaikan. Persamaan (9.9b) hanya berlaku untuk kamar persegi panjang sementara persamaan (9.9a), seperti tidak ditampilkan di sini, dapat diterapkan pada lampiran bentuk apapun.
Dengan membedakan persamaan (9.9a) terhadap frekuensi f diperoleh jumlah eigenfrequencies per Hertz, yaitu kepadatan eigenfrequencies pada frekuensi f:
(9.10)
Sebagai contoh, kita menganggap lagi ruang segi empat dengan dimensi 4,7 m × 4,1 m × 3,1 m. Menurut Pers. (9.9a) kita harus memperhitungkan lebih dari eigenfrequencies 6 juta dalam kisaran 0-10 000 Hz. Di1000 Hz jumlah rata-rata per Hertz eigenfrequencies setelahpersamaan (9.10) adalah sekitar 19, maka jarak berarti antara eigenfrequencies adalah sekecil sekitar 0,05 Hz.
9.3 Getaran pada suatu sistem silinder dan bola rongga
Getaran pada sistem rongga silinder dapat dihitung dalam konteks yang sama dengan cara sebagai orang-orang dari sebuah kamar persegi panjang. titik awal kami adalah persamaan (8.55) yang merupakan getaran pada suatusistem gelombang dalam tabung silinder berdinding keras. Kita mengasumsikan sekarang pipa diakhiri pada kedua sisi dengan sepiring kaku. Seperti dijelaskan dalam Bagian 9.1 medan gelombang hanya bisa ada dalam pipa panjang jika LX sama
Table 9.2 Karakteristik nilai xmn di persamaan (9.13)
Order m of spherical fungsi bessel
n=1 n=2 n=3
0 0 4.493 7.725
1 2.082 5.940 9.206
2 3.342 7.290 10.614
ke nomor integer dari setengah panjang gelombang panjang gelombang yang sedang λ"= 2π/k". wavenumber sudut k"diberikan oleh Pers. (8.52) bersama-sama dengan Pers. (8.56).Sekali lagi, eigenfrequencies sudut diperoleh dari Pers. (9.6), sehingga di dapat hasil akhir
(9.11)
sebagai sebuah awal menunjukkan jari-jari tabung dan l adalah integer. Suara tekanan mode normal
(9.12)
Jumlah νnm dijelaskan dalam Bagian 8.5 (lihat Tabel 8.1).
Untuk melengkapi nilai eigenfrequencies dari bola rongga dengan dinding keras. dicirikan oleh dua subskrip hanya:
(9.13)
Dalam formula ini χmn adalah nol nth turunan dari Bessel bola m fungsi ketertiban, jm.1 Dalam
Tabel 9.2 beberapa nomor ini terdaftar2 .
9.4 Getaran teredam dalam rongga tertutup pada ruang 1 dimensi
Sejauh ini diasumsikan bahwa semua batas-batas dalam rongga tertutup yang keras dan karenanya bebas dari kerugian. Oleh karena itu pertanyaan tentang bagaimana getaran pada suatu system normal dihasilkan
Gambar 9.6 Pipa dengan piston reciprocating sebagai sumber suara, pemutusan pada kanan. tidak muncul. Begitu gelombang akan bertahan selamanya tanpa pasokan energi. Konsep ini sangat berguna karena menghasilkan hasil yang pantas bahkan untuk rongga tertutup nyata selama kerugian yang terjadi pada gelombang pada bidang pembatas yang tidak terlalu tinggi. Namun, untuk mendapatkan gambaran yang lebih realistis kita harus membahas mempengaruhi setidaknya kerugian dinding. Anggap bahwa suara stasioner lapangan hanya dapat dipertahankan jika ada sumber bunyi yang terus menerus mengkompensasi energi yang hilang pada bidang pembatas suatu pandu gelombang dalam rongga tertutup.Kami membatasi diskusi ke ruang satu dimensi, yaitu, dengan
gelombang fundamental dalam pipa berdinding keras seperti dalam Bagian 9.1. Kerugiannya diperkenalkan oleh pengakhiran kanan pada x = L yang dapat dianggap sebagai piring dengan beberapa faktor refleksi R = | R | exp (jχ) (lihat Gambar 9.6).. Selanjutnya, pemutusan kiri terdiri
dari sebuah piston bergerak keras yang bergetar dengan kecepatan v0 exp (jωt) dan membuat akhir yang baik kerugian. Dengan kata lain: kita sekarang membahas getaran teredam pipa pada frekuensi sudut ω diberikan.
Pada dasarnya, tekanan suara dan kecepatan partikel dalam pipa diberikan oleh Persamaan. (6.8) dan persamaan (6.12) dengan θ = 0. Karena lebih praktis untuk memiliki kiri akhir pipa pada x = 0 dan yang benar pada x = L kita menggeser koordinat sumbu oleh L yang berarti bahwa dalam persamaan x diganti dengan x -L. Selanjutnya, demi kejelasan menunjukkan di sini faktor waktu exp (jωt) yang dihilangkan dalam persamaan Bagian 6.3. Dengan pemikiran ini,diperoleh dari Persamaan. (6.8)
(9.14)
(9.15)
Untuk x = 0 yang Vx kecepatan partikel harus sama dengan kecepatan v0 · exp (jωt) dari
piston dari yang
(9.16)
berikut. Kemudian ekspresi di persaman (9.14)
(9.17)
(Indeks ω adalah untuk menggaris bawahi ketergantungan dari tekanan suara amplitudo pada frekuensi ω = ck.)
Dilihat sebagai fungsi dari x ekspresi sebelumnya merupakan gelombang berdiri (Lihat Bagian 6.5). besarnya permukaan piston (x = 0) adalah
(9.18)
Amplitudo tekanan suara mengasumsikan nilai-nilai yang sangat tinggi jika argument fungsi kosinus adalah kelipatan 2π, yaitu, jika k diasumsikan kn salah satu nilai = (2nπ + χ) / 2L dengan
integer n. Oleh karena itu, sudut eigenfrequencies pipa diperoleh sebagai solusi ωn = ckn dari
persamaan
(9.19)
Untuk χ = 0 fn eigenfrequencies setuju dengan yang diberikan di persamaan (9.1).
Dalam Gambar 9.7 nilai absolut dari tekanan suara pada x = 0 setelah persamaan (9.18) diplot sebagai fungsi dari parameter frekuensi ωL / c. Untuk demi kesederhanaan | R | = 0,7 dan χ = 45 ◦ dipilih untuk faktor refleksi.
faktor refleksi penghentian R = exp 0,7 ·(π / 4)
Perlu dicatat bahwa secara umum baik besar dan sudut fase faktor pantul adalah frekuensi tergantung. Oleh karena itu resonansi dari pipa nyata tidak berjarak sama sepanjang sumbu frekuensi. Namun demikian, diagram menunjukkan fakta penting, sebuah pipa panjang hingga menunjukkan tak terhingga kurang lebih banyak diucapkan resonansi, dan resonansi frekuensi identik dengan eigenfrequencies pipa.
Sifat resonansi pipa dapat menunjukkan bahkan lebih mudah jika persamaan (9.17) dibagi dalam pecahan parsial. Hal ini dimungkinkan karena fungsi ini telah jauh tiang tunggal banyak yang tentu saja bertepatan dengan nol dari penyebutnya yang kita nyatakan dengan
Kn= (9.20)
Nilaifrequencies sudut ωn adalah solusi dari Persamaan (9.19), sedangkan bagian imajiner
kn diberikan oleh
δn= (9.21)
berarti fisik mereka akan menjadi lebih jelas dalam Bagian 9.6. Dengan jumlah ekspansi Pers. (9.17) dalam pecahan parsial berbunyi:
(Pada ekspresi kedua sudut wavenumbers telah diganti dengan frekuensi sudut ω = ck) Oleh karena itu persamaan (9.17) dapat ditulis dalam bentuk
(9.22)
Kosinus dalam istilah nominator masing-masing mewakili modus normal terkait dengan eigenfrequency ωn. Jelas, kontribusi tertentu istilah ke pω (x)tekanan total adalah lebih besar
lebih dekat frekuensi putar dari piston dalam Gambar 9.6 adalah ωn.
Sejak | R (ω) | adalah genap dan χ (ω) adalah fungsi ganjil (lihat Pers. (6.9) kita belajar dari Persamaan. (9.19) dan (9.21) yang
ω-
n=-ω
ndan δ-
n=δ
n(9.23a)
lebih lanjut
(9.23b)
Oleh karena itu istilah dengan subskrip ± n di persamaan (9.22) dapat digabungkan. Kemudian kita memperoleh setelah beberapa penyederhanaan dibenarkan jika δn<<ωn
(9.24)
Ketergantungan frekuensi yang relevan dalam hal ini adalah bahwa dari penyebut. Oleh karena itu, setiap jangka waktu jumlah ini merupakan kurva resonansi.(Lihat Bagian 2.5) dinyatakan dengan frekuensi sudut adalah 2 (Δω)n = 2δn atau, alternatifnya
2(Δf)n = (9.25)
Diskusi dalam bagian ini berhubungan dengan cara tertentu untuk suara produksi pipa, yaitu, oleh piston berosilasi di salah satu ujung-ujungnya. Sebaliknya gelombang dapat juga dihasilkan oleh sumber titik segera di depan sebuah terminasi keras. Jika sumber suara terletak di posisi apapun x0, sebuah cos faktor tambahan (knx0) muncul dalam jumlah nominator dari
masing-masing panjang. Dalam hal ini tidak semua getaran pada sutu system normal akan memiliki kekuatan sama.
Representasi bidang suara oleh Pers. (9.24) bisa menyarankan ide bahwa tidak ada propagasi suara apa pun terjadi dalam rongga dipertimbangkan. Ini, Namun, tidak begitu. Karena jika besarnya faktor refleksi lebih kecil dari satu penghentian kanan pipa memboroskan energi yang harus diberikan oleh sumber bunyi. Dalam kenyataannya persamaan. (9.14) dapat diubah menjadi
Istilah pertama dari formula ini merupakan gelombang berdiri tanpa energi apapun transportasi sedangkan gelombang diwakili oleh yang kedua adalah murni progresif dan karenanya terus transfer energi dari sumber menuju lossy penghentian. Dalam Pers. (9,24) fakta ini menemukan ekspresi dalam sifat kompleks dari cos (knx). Sebuah pernyataan yang sesuai berlaku untuk
bidang suara dalam 3 dimensi rongga yang akan dibahas dalam bagian berikutnya.
Referensi:
Kuttruff, Heinrich.2004.Acoustics-An Introduction (ch.9.1-9.4/p.160-188). London&New York:Taylor&Francis Group
