1 TUGAS I “RANCANGAN PERCOBAAN”
Nama : Dwi Shinta Marselina
BAB I
A. Pengertian Desain Eksperimen
Contoh bahwa suatu desain eksperimen perlu dibuat selengkap mungkin :
a. Bagaimana pengaruh perlakuan ini harus diukur? b. Karakteristik apa yang harus diukur?
c. Faktor – faktor apa yang mempengaruhi karakteristik yang dianalisis? d. Faktor-faktor apa yang penting dianalisis?
e. Berapa kali eksperimen harus dilakukan? f. Metode analisis mana yang harus digunakan? g. Berapa kali eksperimen harus dilakukan?
h. Perlukah eksperimen control diambil untuk dijadikan perbandingan? i. Bagaimana eksperimen harus dilakukan?
B. Tujuan Desain Eksperimen
Desain
Eksperimen
Merupakan langkah-langkah lengkap yang perlu di ambil jauh sebelum eksperimen dilakukan supaya data yang seharusnya diperlukan dapat diperoleh sehingga akan menghasilkan analisis obyektif dan kesimpulan yang berlaku untuk persoalan yang sedang dibahas.
Untuk memperoleh atau mengumpulkan informasi sebanyak-banyaknya yang diperlukan dan berguna dalam melakukan penelitian persoalan yang akan dibahas. Untuk memperoleh informasi yang maksimum dengan biaya yang minimum
2
C. Prinsip Dasar dalam Desain Eksperimen
Prinsip dasar dalam desain eksperimen meliputi Replika, Pengacakan, dan Kontrol
Lokal.
1. Perlakuan
Sekumpulan kondisi eksperimen yang akan digunakan terhadap unit eksperimen dalam ruang lingkup desain yang dipilih. Perlakuan bisa berbentuk
tunggal dan bentuk kombinasi. Contohnya ketika melakukan percobaan meneliti efek makanan terhadap sapi, misalkan perlakuan tunggalnya adalah a) Jenis sapi, b) Jenis kelamin sapi, c) umur sapi, d) Jenis makanannya, yang dimana tiap perlakuan tunggal memberikan efek sendiri-sendiri terhadap variabel respon (contohnya : berat badan sapi). Efek perlakuan terhadap variabel respon terjadi dalam bentuk gabungan, yang mungkin saja terjadi secara bersamaan, misalkan efek gabungan daripada jenis kelamin sapi dan ukuran makanan yang diperikan terhadap berat badan sapi.
2. Unit Eksperimen
Yang dimaksud unit disini adalah unit yang dikenai perlakuan tunggal dalam
sebuah replikasi eksperimen dasar.
Contohnya : seekor sapi merupakan unit eksperimen dalam percobaan penelitian efek makanan terhadap sapi.
3. Kekeliruan Eksperimen
Menyatakan kegagalan dari dua unit eksperimen identik yang dikenai perlakuan untuk memberikan hasil yang sama. Tentunyan kekeliruan eksperimen
hendaknya diusahakan supaya terjadi sekecil-kecilnya.
Cara yang lazim ditempuh adalah :
Menggunakan bahan eksperimen yang homogen.
Menggunakan informasi yang sebaik-baiknya tentang variabel yang telah ditentukan denagn tepat.
Melakukan eksperimen seteliti-telitinya.
3
Tiga prinsip dasar dalam desain eksperimen :
1) Replikasi
Yaitu merupakan pengulangan eksperimen dasar
Replikasi dibutuhkan karena :
Memberikan taksiran kekeliruan eksperimen yang dapat dipakai untuk menentukan panjang interval konfidensi (selang kepercayaan) atau dapat digunakan sebagai “satuan dasar pengukuran” untuk penetapan taraf signifikan dari perbedaan-perbedaan yang diamati.
Menghasilkan taksiran yang lebih akurat untuk kekeliruan eksperimen.
Memungkinkan kita untuk memperoleh taksiran yang lebih baik mengenai efek rata-rata suatu faktor.
2) Pengacakan
Pengacakan menyebabkan pengujian menjadi berlaku yang memungkinkan data analisis di anggapan seolah-olah asumsi tentang independen dipenuhi.
Pengacakan memungkinkan untuk melanjutkan langkah-langkah berikutnya dengan anggapan soal independen sebagai suatu kenyataan.
Pengacakan tidak menjamin terjadinya independen, melainkan hanyalah memperkecil adanya korelasi antar pengamatan (bisa jadi antar kekeliruan)
Pengacakan merupakan suatu cara untuk “menghilangkan” bias. Jika pengacakan tidak digunakan, maka setiap kesimpulan yang dibuat bersifat bias dan tidak dapat didukung oleh pengertian peluang sebagaimana mestinya.
4
3) Kontrol lokal
Merupakan langkah-langkah atau usaha yang berbentuk penyeimbangan, pemblokan, dan
pengelompokan unit-unit eksperimen yang digunakan dalam desain.
Jika replikasi dan pengacakan pada dasarnya akan memungkinkan berlakunya uji keberatian, maka kontrol lokal menyebabkan desain lebih efisien, yaitu menghasilkan prosedur pengujian dengan kuasa yang lebih tinggi.
Pengelompokan diartikan sebagai penempatan
sekumpulan unit eksperimen yang homogen kedalam kelompok-kelompok agar kelompok yang berbeda memungkinkan untuk mendapatkan perlakuan yang berbeda pula.
Pemblokan : Pengalokasian unit-unit eksperimen ke dalam blok sehingga unit-unit dalam blok secara relatif bersifat homogen, sedangkan sebagaian besar dari variasi yang dapat diperkirakan diantara unit-unit telah baur dengan blok.
Berarti, berdasarkan pengetahuan peneliti mengenai sifat atau kelakuan unit-unit eksperimen dapat dibuat desain eksperimen sedemikian rupa sehingga bagian terbesar variasi yang dapat diduga tidak menjadi bagian dari kekeliruan eksperimen. Dengan jalan demikian dapat diperoleh desai yang lebih efisien.
Penyeimbangan : Usaha memperoleh unit-unit eksperimen, usaha pengelompokan, pemblokan dan penggunaan perlakuan terhadap unit-unit eksperimen sedemikian rupa sehingga dihasilkan suatu konfigurasi atau formasi yang seimbang.
5
D. Efek dan Interaksi
Untuk keperluan desain, variabel bebas dinamakan faktor, dan nilai-nilai atau
klasifikasi-klasifikasi daripada sebuah faktor dinamakan taraf faktor. Faktor-faktor biasanya
dinyatakan dengan huruf kecil a, b, c, d, dan seterusnya. Sedangkan taraf faktor dinyatakan dengan angka 1, 2, 3, dan seterusnya yang dituliskan sebagai indeks untuk faktor yang bersangkutan.
Contohnya :
a = jenis kelamin
ada dua jenis kelamin yaitu pria dan wanita, yang merupakan taraf bagi faktor a. Jika 1 menyatakan pria, dan 2 menyatakan wanita, maka untuk faktor a dengan tarafnya masing-masing dapat ditulis sebagai (a1, a2). Artinya faktor a terdiri dari
2 taraf.
Antara faktor-faktor yang memberikan efek pada variabel respon, bisa bebas atau independen satu sama yang lain atau bisa interdependen sehingga akan terjadi interaksi
diantara faktor-faktor. Dalam analisis desain eksperimen, hal demikian mengakibatkan perlunya untuk menentukan efek utama daripada faktor-faktor dan pula efek interaksi
antara faktor-faktor.
E. Langkah-langkah Membuat Desain Eksperimen
Menurut Kempthorne ada 9 pokok langkah-langkah desain, yaitu:
2. Perumusan hipotesis.
3. Penentuan teknik dan desain eksperimen yang diperlukan.
4. Pemeriksaan semua hasil yang mungkin dan latar belakang atau alasan supaya eksperimen setepat mungkin memberikan informasi yang diperlukan.
5. Mempertimbangkan semua hasil yang mungkin ditinjau dari prosedur statistik yang diharapkan berlaku untuk itu, dalam rangka menjamin dipenuhinya syarat-syarat yang diperlakukan dalam prosedur.
6 Terdapat langkah-langkah usaha mempermudah kerja perencanaan menurut Bicking, yaitu :
1. Dapatkan pernyataan yang jelas mengenai persoalan
a. Kenali ruang lingkup persoalan termasuk hal-hal yang baru dan penting.
b. Berikan garis besar tentang persoalan khusus dalam batas-batas yang berlaku masa itu.
c. Definisikan ruang lingkup yang tepat mengenai program pengujian.
d. Tentukan hubungan antara persoalan tertentu dengan seluruh penelitian atau pengembangan program.
2. Kumpulkan latar belakang informasi yang tersedia
a. Teliti semua sumber yang tersedia
b. Sajikan atau susun data yang tepat atau benar untuk merencanakan program baru.
3. Desain program pengujian
a. Adakah diskusi dengan semua pihak yang bersangkutan. Jelaskan persoalan atau kaidah yang akan dibuktikan.
Ambil kesepakatan mengenai perbedaan-perbedaan yang terjadi. Gariskan hasil-hasil alternative yang mungkin timbul
Tentukan daerah gerak faktor-faktor dan juga taraf faktor yang akan diuji. Tentukan pengukuran akhir yang akan dibuat.
Pertimbangkan pengaruh variabilitas sampling dan sisi metoda pengujian. 9. Penilaian seluruh penelitian, dibandingkan dengan
penelitian-penelitian lain mengenai masalah yang sama.
7. Penggunaan teknik statistika terhadap data hasil eksperimen. 6. Melakukan eksperimen
8. Mengambil kesimpulan dengan jalan menggunakan atau memperhitungkan derajat kepercayaan yang wajar mngenai satuan-satuan yang dinilai.
7
Pertimbangkan baik-baik adanya interaksi antara faktor-faktor.
Tentukan batas waktu, biaya, bahan, tenaga, peralatan, dan fasilitas-fasilitas lain serta kondisi-kondisi yang mungkin terjadi.
Perhatikan baik-baik masalah hubungan kemanusiaan yang terlibat. b. Buat desain dalam bentuk pendahuluan.
- Siapkan daftar kegiatan yang sistematik dan bersifat inklusif.
- Lakukan pekerjaan selangkah demi selangkah, jika perlu adakan penyesuaian terhadap daftar kegiatan.
- Hilangkan efek variabel-variabel yang tidak sedang dipelajari dengan jalan melakukan control, penyeimbangan atau pengacakan.
- Minimalkan banyaknya rangkaian eksperimen. - Tentukan metoda analisis statistika yang diperlukan. - Lakukan pengumpulan data secara teratur.
c. Bahas desain dengan semua pihak yang bersangkutan.
Lakukan penyesuaian terhadap program disertai komentar-komentar.
Rumuskan langkah-langkah yang harus dilakukan dengan menggunakan istilah-istilah yang benar.
4. Rencanakan dan laksanakan pekerjaan eksperimen.
a. Kembangkan metoda, bahan dan peralatan.
b. Gunakan metoda-metoda atau teknik-teknik yang tepat. c. Periksa rincian, lakukan penyesuaian metoda jika diperlukan. d. Catat setiap penyesuaian yang terjadi terhadap desain.
e. Ambil langkah yang hati-hati dalam usaha pengumpulan data. f. Catat pengajuan mengenai program.
5. Analisis data
a. Sederhanakan data yang telah dicatat, jiak perlu ubah ke dalam bentuk bilangan. b. Gunakan teknik-teknik statistika yang seharusnya.
6. Tafsirkan hasil-hasil
a. Pertimbangkan semua data yang diamati.
b. Batasi kesimpulan-kesimpulan kepada deduksi yang tepat berdasarkan kenyataan-kenyataan yang tersedia.
8
c. Uji pertanyaan-pertanyaan berdasarkan data yang tersedia menggunakan eksperimen yang independen.
d. Ambil kesimpulan berdasarkan pengertian teknik statistika dan juga jelaskan keberatian statistisnya.
e. Tunjukkan implikasi penemuan untuk pemakaian dan kerja lebih lanjut. f. Terangkan setiap pembatasan yang disebabkan oleh metoda yang digunakan. g. Nyatakan hasilnya dalam bentuk pengertian peluang yang dapat diperiksa benar
atau tidaknya.
7. Siapkan laporan
a. Lukiskan hasil kerja dengan jelas disertai latar belakang, ketepatan persoalan dan arti daripada hasil yang diperoleh.
b. Gunakan metoda penyajian data dalam bentuk gambar dan daftar/tabel yang baik dan jelas.
c. Lengkapi informasi secukupnya agar pembaca dapat mencek hasil-hasilnya dan mengambil kesimpulan sendiri yang diperlukan.
d. Batasi kesimpulan-kesimpulan pada perumusan kenyataan yang objektif sehingga hasil kerja itu dengan sendirinya akan menjadi dasar untuk pertimbangan-pertimbangan yang tepat dan tindakan-tindakan yang sifatnya menentukan.
Bukan saja ketelitian, keahlian, dan keuletan yang dieprlukan tetapi juga kesabaran dari semua pihak yang bersangkutan.
9
BAB II
DESAIN ACAK SEMPURNA
A. Pendahuluan
Eksperimen faktor tunggal merupakan eksperimen dimana hanya mempunyai sebuah
faktor yang nilainya berubah-ubah.
B. Analisis Varians untuk Desain Acak Sempurna
Untuk analsis data yang diperoleh berdasarkan desain eksperimen, khususnya desain acak sempurna, akan ditinjau desain dengan sebuah observasi tiap unit eksperimen.Maka, untuk keperluan analisisnya,data tersebut disusun seperti daftar II.1 yang kemudian dihitung besaran-besaran yang diperlukan ialah :
Jumlah nilai pengamatan untuk tiap perlakuan 𝐉𝐢 = ∑𝐧𝐣=𝟏𝐢 𝐘𝐢𝐣 Jumlah seluruh nilai pengamatan 𝐉 = ∑𝐤𝐢=𝟏𝐉𝐢
Rata-rata pengamatan untuk tiap perlakuan Y̅ = Ji 𝑖⁄ 𝑛𝑖 Rata-rata seluruh nilai pengamatan Y̅ = J
∑𝑘𝑖=1𝑛𝑖
⁄ Desain acak
sempurna (DAS)
merupakan desain dimana perlakuan dikenakan sepenuhnya secara acak kepada unit-unit eksperimen, atau sebaliknya
Tidak terdapat batasan terhadap pengacakan seperti misalnya dengan adanya pemblokan dan pengalokasian perlakuan terhadap unit-unit eksperimen.
Desain ini hanya dapat digunakan apabila persoalan yang dibahas mempunyai unit-unit eksperimen yang bersifat homogen. Jika hal ini tidak terjadi, maka pemblokan harus diadakan agar efisien desain menjadi meningkat.
10 Harga-harga ini dapat dilihat dalam daftar II.1 berikut ini :
DAFTAR II.1
DATA PENGAMATAN UNTUK DESAIN ACAK SEMPURNA (TIAP PERLAKUAN BERISI 𝒏𝒊 PENGAMATAN)
Perlakuan Jumlah 1 2 ….. k Data Pengamatan Y11 Y12 ….. ….. ….. ….. ….. Y1𝑛1 Y21 Y22 ….. ….. ….. ….. Y2𝑛2 ….. ….. ….. ….. ….. ….. Y𝑘1 Y𝑘2 ….. ….. ….. ….. ….. Y𝑘𝑛𝑘 Jumble J1 J2 J𝑘 J = ∑ J𝑖 𝑘 𝑖=1 Banyak pengamatan n1 n2 n𝑘 ∑ n𝑖 𝑘 𝑖=1 Rata-rata Y̅1 Y̅2 Y̅𝑘 Y̅ = J ∑𝑘𝑖=1𝑛1 ⁄ Selanjutnya diperlukan :
∑ Y2 = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) semua nilai pengamatan
= ∑ ∑𝑛𝑖 Yij2
j=1 𝑘
𝑖=1
Ry = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) untuk rata-rata. = J
2
∑𝑘𝑖=1𝑛𝑖 ⁄
Py = Jumble kuadrat-kuadrat (JK) antar perlakuan
= ∑𝑘𝑖=1𝑛𝑖(Y̅i− Y ̅ )2 = ∑ (J𝑖2 𝑛𝑖 ⁄ ) − Ry 𝑘 i=1
11
Ey = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) kekeliruan eksperimen.
= ∑ ∑ni (Yij− Y̅i)2
j=1 k i=1
= ∑Y2− Ry− Py
Maka disusunlah sebuah daftar Analisis Varian (ANAVA). Seperti daftar II.2 dibawah ini :
DAFTAR II.2
DAFTAR ANAVA UNTUK DATA DALAM DAFTAR II.1
Sumber Variasi Derajat Kebebasan (dk) Jumlah Kuadrat-kuadrat (JK) Kuadrat Tengah (KT) Rata-rata Antar perlakuan Kekeliruan Eksperimen (Dalam perlakuan) 1 k-1 ∑(ni− 1) k i=1 Ry Py Ey R = Ry P = Py⁄(k − 1) E = Ey ∑(𝑛 i− 1) ⁄ (Sc2 = E) Jumlah/Total ∑ ni k i=1 ∑ Y2 -
Apabila banyak pengamatan untuk tiap perlakuan sama, yakni n1 = n2 = ⋯ = nk= n, maka tentulah: ∑ Y2 = ∑ ∑ Yij2 n j=1 𝑘 i=1 Y ̅ = J⁄ kn Ry = J 2 kn ⁄ Py = (∑ki=1Ji2) n − R𝑦 ⁄ Ey = ∑Y2 − Ry− Py
12
Daftar ANAVA yang diperlukan untuk ini masih seperti dalam daftar II.2 hanya bedanya dengan mengganti :
∑ki=1ni oleh kn dan ∑ki=1(ni− 1) oleh k(n − 1)
Sebelum mendapatkan kesimpulan khususnya mengenai efek – efek perlakuan, maka perlu asumsi yang biasa diambil dalam ANAVA ialah sifat aditif dan linieritas model, normalitas, independen dan homogenitas varians. Model yang diandaikan ialah model linier bersifat aditif dengan persamaan
II.1 … 𝐘𝐢𝐣 = 𝜇 + 𝝉𝐢+ 𝝐𝐢𝐣; (𝐢 = 𝟏, 𝟐, … , 𝐤 ; 𝐣 = 𝟏, 𝟐, … , 𝐧𝐤)
Dengan
Yij = variabel yang akan dianalisis, dimisalkan berdistribusi normal
𝜇 = rata-rata umum atau rata-rata sebenarnya 𝝉𝐢 = efek perlakuan ke i
𝝐𝐢𝐣 = kekeliruan, berupa efek acak yang berasal dari unit eksperimen ke j karena
perlakuan ke i.
𝜇 berharga tetap dan efek 𝜖ij berdistribusi normal dan identik dengan rata-rata 0 dan
varians 𝜎𝜖2 yang akan ditulis sebagai 𝜖ij ~ DNI (0, σϵ2). Mengenai 𝝉𝐢 nya sendiri ada dua
pilihan yang dapat diambil , ialah :
1) ∑𝑘i=1𝜏i = 0, yang menggambarkan bahwa kita hanya berurusan dengan semuanya k buah perlakuan dalam eksperimen.
2) 𝜏i ~ DNI (0, στ2), yang menggambarkan bahwa kita berurusan dengan sebuah populasi perlakuan sedangkan sebuah sampel acak perlakuan sebanyak k buah diambil sebagai eksperimen.
Penentuan salah satu modal diatas sangat penting karena akan menentukan berlakunya uji keberatian berdasarkan adanya KT yang diharapkan atau ekspektasi KT, disingkat EKT.
13 Daftar ANAVA disertai EKT untuk model diberikan dalam Daftar II.3 berikut ini :
DAFTAR II.3
DAFTAR ANALISIS MODEL TETAP UNTUK DESAIN ACAK SEMPURNA (SATU PENGAMATAN TIAP PERLAKUAN)
Sumber Variasi dk JK KT EKT
Rata-rata 1 Ry R Antar Pelakuan k-1 Py P 𝝈𝝐𝟐+∑ 𝐧𝐢𝝉𝐢 𝟐 (𝐤 − 𝟏) ⁄ Kekeliruan ∑(𝐧 𝐢− 𝟏) Ey E=𝒔𝝐 𝟐 𝝈 𝝐 𝟐 Jumlah(Total) ∑ 𝐧 𝐢 ∑ 𝐘𝟐 - -
Apabila model yang terjadi merupakan model acak, maka daftar ANAVA dan EKT dapat dilihat seperti Daftar II.4 berikut ini :
DAFTAR II.4
DAFTAR ANAVA MODEL ACAK UNTUK DESAIN ACAK SEMPURNA
(SATU PENGAMATAN TIAP PERLAKUAN)
Sumber Variasi dk JK KT EKT
Rata-rata 1 Ry R Antar Pelakuan k-1 Py P 𝝈𝝐𝟐+ 𝐧𝟎𝝈𝝉𝟐 Kekeliruan ∑(𝐧 𝐢− 𝟏) Ey E=𝒔𝝐 𝟐 𝝈 𝝐 𝟐 Jumlah(Total) ∑ 𝐧 𝐢 ∑ 𝐘𝟐 - -
Setelah EKT untuk sumber-sumber variasi antar perlakuan dan kekeliruan ditentukan, kesimpulan statistis sekarang dapat dilakukan. Kesimpulan ini, tepatnya pengujian statistis yang membawa kepada kesimpulan, akan bergantung pada model yang diambil. Berikut modelnya :
14
Model I (Model Tetap)
Hipotesis nol tidak terdapat perbedaan diantara efek-efek k buah perlakuan yang terdapat didalam eksperimen. Hipotesis nol ini biasanya dirumuskan sebagai :
H0 : 𝜏i = 0 untuk i = 1, 2, …, k.
Jika H0 benar, maka KT yang berasal dari kekeliruan eksperimen dan KT yang berasal
dari antar perlakuan, masing-masing merupakan taksiran 𝜎𝜖2.
Karena juga 𝜖ij ~ DNI (0, σϵ2), maka perpandingan yang ditentukan oleh
II.2 … 𝐅 = −𝐏
𝐄
=
𝐊𝐓 (𝐚𝐧𝐭𝐚𝐫 𝐩𝐞𝐫𝐥𝐚𝐤𝐮𝐚𝐧)
𝐊𝐓 (𝐤𝐞𝐤𝐞𝐥𝐢𝐫𝐮𝐚𝐧 𝐞𝐤𝐬𝐩𝐞𝐫𝐢𝐦𝐞𝐧)
akan berdistribusi F dengan dk pembilang 𝒗𝟏 = (𝐤 − 𝟏) dan dk penyebut
𝒗𝟐= ∑(𝐧𝐢− 𝟏).
Jika harga F diatas lebih besar dari
F
𝛼(𝑣1,𝑣2) dengan 𝛼 merupakan taraf signifikan, maka hipotesis H0 akan ditolak. Kesimpulannya ialah bahwa terdapat perbedaan diantara efek k buah perlakuan.Model II (Model Acak)
Hipotesis nol nya berbunyi : tidak terdapat perbedaan diantara efek-efek semua perlakuan di dalam populasi dari mana sebuah sampel telah diambil sebanyak k perlakuan. Perumusan hipotesis nol untuk model ini biasa ditulis sebagai :
H0 : 𝝈𝝉𝟐 = 0
Cara pengujian untuk model ini sama dengan pengujian untuk model tetap. Jadi
ditentukan perbandingan F = P/E dengan distribusi dan daerah penolakan hipotesis nol seperti dalam model tetap.
Perbedaan terletak pada kesimpulan yang dibuat. Yang pertama hanya berlaku untuk k buah perlakuan yang terdapat dalam eksperimen, sedangkan yang terakhir ini berlaku
15
untuk populasi perlakuan berdasarkan sebuah sampel terdiri dari k buah perlakuan yang diambil dari populasi.
C. Uji Rata-rata Sesudah Anava
1. Kontras Ortogonal
Jika perbandingan atau kontras mengenai rata-rata perlakuan telah direncanakan terlebih dahulu sebelum eksperimen dilakukan, maka dengan hati-hati kontras dapat dipilih dimana banyak kontras tidak boleh melebihi banyak derajat bebas (dk) untuk rata-rata perlakuan. Metoda yang biasa digunakan dalam hal ini disebut metoda
kontras orthogonal.
Definisi : Kontras Cp untuk kombinasi linier beberapa jumlah perlakuan Ji , i = 1, 2,
…, k (pengamatan untuk tiap perlakuan sama banyak ialah sama dengan (n) di definisikan sebagai :
𝐂𝐏= 𝐜𝟏𝐩𝐉𝟏+ 𝐜𝟐𝐩𝐉𝟐+ ⋯ + 𝐜𝐤𝐩𝐉𝒌
Dengan 𝐜𝟏𝐩+ 𝐜𝟐𝐩+ ⋯ + 𝐜𝐤𝐩= 𝟎
Atau ∑𝐤𝐢=𝟏𝐜𝐢𝐩 = 𝟎
Bila untuk menyelidiki apakah rata-rata perlakuan kesatu dan kedua pengaruhnya sebesar dua kali rata-rata perlakuan maka :
Dua kontras Cp dan Cq dikatakan kontras orthogonal jika :
𝐂𝐏 = 𝐜𝟏𝐩𝐉𝟏+ 𝐜𝟐𝐩𝐉𝟐+ ⋯ + 𝐜𝐤𝐩𝐉𝒌 dan 𝐂𝐪= 𝐜𝟏𝐪𝐉𝟏+ 𝐜𝟐𝐪𝐉𝟐+ ⋯ + 𝐜𝐤𝐪𝐉𝒌
Memenuhi syarat ∑𝐤𝐢=𝟏𝐂𝐢𝐩𝐂𝐢𝐪 = 𝟎
Jika untuk membandingkan antara pengaruh perlakuan yang satu dengan yang lainnya, maka perlu ditentukan jumlah kuadrat-kuadrat kontras disingkat JK (Cp), dengan rumus :
II.3…. JK (CP)
=
𝐂𝐩𝟐 𝐧 ∑ 𝐂𝒊𝒑𝟐Selanjutnya, tentukan kuadrat tengah kontras KT (Cp) dengan membagi JK
16
2. Pengujian Rata-rata Sesudah Eksperimen
Jika penyelidikan perbandingan antara perlakuan ditentukan sesudah data diperiksa, jadi setelah pengujian atas ANAVA dilakukan, maka α akan berubah. Dikarenakan bahwa penentuan yang diambil tidak secara acak melainkan berdasarkan haisl yang telah dicapai.
Metoda – metoda khusus, diantaranya :
a) Uji Rentang Newman – Keuls
Langkah – langkah utama untuk melakukan uji Newman – Keuls :
i) Susun k buah rata-rata perlakuan menurut urutan nilainya, dari yang paling kecil sampai ke yang terbesar.
dengan KT (kekeliruan) yang mempunyai dk = k (n-1) untuk memperoleh statistik . II.4
𝐅 (𝐂𝐏) = 𝐊𝐓(𝐂𝐏) 𝐊𝐓(𝐤𝐞𝐤𝐞𝐥𝐢𝐫𝐮𝐚𝐧)
Statistik ini digunakan untuk menguji hipotesis nol. 𝐇𝟎 ∶ 𝐂𝐏= 𝟎
Dan tolak H0 jika F(Cp) > F, untuk α = taraf signifikan yang dipilih dengan
dk pembilang 1 dan dk penyebut k(n-1)
Jika tiap perlakuan berukuran berlainan, yakni perlakuan ke I berisikan pengamatan sebanyak ni, i = 1, 2, …, k, maka kontras Cp didefinisikan sebagai :
𝐂𝐏 = 𝐜𝟏𝐩𝐉𝟏+ 𝐜𝟐𝐩𝐉𝟐+ ⋯ + 𝐜𝐤𝐩𝐉𝒌 dengan 𝐧𝟏𝐜𝟏𝐩+ 𝐧𝟐𝐜𝟐𝐩+ ⋯ + 𝐧𝐤𝐜𝐤𝐩 = 𝟎 Dua kontras Cp dan Cq ortogonal apabila
∑
𝐤𝐢=𝟏𝐧
𝐢𝐂
𝐢𝐩𝐂
𝐢𝐪= 𝟎
Untuk pengujian kontras ini digunakan jumlah kuadrat-kuadrat kontras JK (Cp)
dengan rumus II.5 : JK (CP)
=
𝐂𝐩 𝟐17
ii) Dari daftar ANAVA, ambil KT (kekeliruan) disertai dk nya.
iii) Hitung kekeliruan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dengan rumus 𝐈𝐈. 𝟔 … . 𝐒𝐘̅𝐢 = √𝐊𝐓 (𝐊𝐞𝐤𝐞𝐥𝐢𝐫𝐮𝐚𝐧)
𝐧𝐢
iv) Tentukan taraf signifikan α, lalu gunakan daftar Rentang Student yang tercantum dalam Apendiks, Daftar E. Daftar ini mengandung dk = v dalam kolom kiri dan p dalam baris atas. Ambil v = dk untuk KT (kekeliruan) dan p = 2, 3, …, k. Harga-harga yang didapat untuk v dan p dari badan daftar sebanyak (k-1) buah, supaya dicatat.
v) Kalikan harga-harga yang didapat di titik iv) itu masing – masing dengan 𝐒𝐘̅𝐢
.
Dengan jalan demikian diperoleh apa yang dinamakan rentang signifikanterkecil (RST).
vi) Bandingkan selisih rata-rata terbesar dan rata-rata terkecil dengan RST untuk p = k, selisih rata-rata terbesar dan rata-rata terkecil kedua dengan RST untuk p = (k – 1), dan seterusnya. Demikian pula bandingkan selisih rata-rata terbesar kedua dan rata-rata terkecil dengan RST untuk p = (k – 1), selisisih rata-rata terbesar kedua dan rata-rata terkecil kedua dengan RST untuk p = (k – 2), dan seterusnya. Dengan jalan begini, semuanya aka nada 1
2
⁄ k (k − 1) pasangan yang harus dibandingkan. Jika selisih – selisih yang didapat lebih besar daripada RST-nya masing-masing, maka disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti diantara rata-rata perlakuan.
b) Uji Scheffé
c) Digunakan untuk membandingkan pasangan rata-rata perlakuan, jadi dengan cara ini yang dibandingkan setiap dua hasil perlakuan. Sering dikehendaki untuk mengadakan perbandingan tidak saja berbentuk berpasangan, melainkan merupakan kombinasi linier dari perlakuan, khususnya berbentuk kontras. Uji
Scheffé memungkinkan untuk melakukan hal ini, meskipun kontrasnya tidak orthogonal. Karena kontras lebih umum daripada perbandingan berpasangan, maka akibatnya Uji Scheffé lebih umum dripada uji Newman – Keuls.
18 Langkah – langkah menggunakan Uji Scheffé adalah sebagai berikut :
a. Susunlah kontras CP yang diinginkan lalu hitung harganya.
b. Dengan mengambil traf signifikan α, derajat kebebasan pembilang v1 = (k – 1) dan penyebut v2 = ∑ni− k), untuk ANAVA supaya dihitung nilai krisis
F α(v1,v2)
c. Hitung besaran A = √(k − 1)F dengan F yang didapat dari langkah b diatas. d. Hitung kekeliruan baku tiap kontras yang akan diuji, dengan rumus
s(𝐶P) = √KT (kekeliruan) × ∑ niCip2
e. Jika harga kontras Cp lebih besar daripada A x s(Cp), maka hasil pengujian
dinyatakan signifikan. Atau, jika |CP| > A × s(Cp) maka tolak hipotesis nol bahwa kontras antara rata-rata sama dengan nol.
D. Batas-batas Konfiden untuk Rata-rata
Untuk menentukan interval taksiran parameter μi diperlukan kekeliruan baku rata-rata perlakuan ke I yang dihitung dengan Rumus II.6, untuk E = KT (kekeliruan) dapat ditulis pula :
II.7 ….
𝐒
𝐘̅𝐢= √𝐄 𝐧
⁄
𝐢Interval konfiden ( 1 – α ) 100% untuk μi dihitung dengan menggunakan
II.8 …. 𝐘̅𝐢− 𝐭
𝟏−𝟏 𝟐⁄ 𝛂√𝐄 𝐧⁄ 𝐢 < 𝝁𝐢 < 𝐘̅𝐢+ 𝐭𝟏−𝟏 𝟐⁄ 𝜶√𝐄 𝐧⁄ 𝐢 Dengan 𝐭
𝟏−𝟏 𝟐⁄ 𝛂 didapat dari daftar distribusi Student(Daftar B, dalam Apendiks) dengan dk = dk untuk sumber variasi kekeliruan.
E. Komponen Varians
Untuk modek acak atau Model II, biasanya peneliti tidak tertarik pada pengujian seperti dimuka, melainkan pada taksiran komponen varians.Untuk menaksir varians 𝜎𝜖2 𝑑𝑎𝑛 𝜎𝜏2 digunakan taksiran takbiasnya masing-masing. Taksiran takbias untuk 𝜎𝜖2
ialah S𝜖2 = E. Selanjutnya, apabila taksiran takbias untuk 𝜎𝜏2 ialah S𝜏2, maka ternyata
bahwa taksiran takbias untuk (𝜎𝜖2+ n0𝜎𝜏2) adalah (S𝜖2+ n0S𝜏2)
19 S𝜖2+ n0S𝜏2) = 𝑃 dengan S𝜖2 = E dan n0 = (∑ ni−∑ ni 2 ∑ ni ⁄ ) (k − 1) ⁄
Dalam desain yang lebih rumit, penentuan harga-harga komponen varians sangat penting untuk menentukan efisiensi desain. Definisi efisiensi sebuah desain berdasarkan
varians rata-rata perlakuan 𝐒𝐘̅𝟐, yaitu
- Desain pertama lebih efisien daripada desain kedua apabila 𝐒𝐘̅𝟐𝐢 desain pertama
lebih kecil daripada 𝐒𝐘̅
𝐢
𝟐 desain kedua.
- Jika varians rata-rata perlakuan dari kedua desain dibandingkan dan dinyatakan dalam persen, maka diperoleh efisien relative, disingkat ER. Jadi
II.9 … ER (desain I terhadap desain II )
=
𝐒𝐘̅𝐢𝟐(𝐝𝐞𝐬𝐚𝐢𝐧 𝐈𝐈)
𝐒𝐘̅𝐢𝟐(𝐝𝐞𝐬𝐚𝐢𝐧 𝐈)
× 𝟏𝟎𝟎%
F. Subsampling dalam Desain Acak Sempurna
Jika pengamatan tidak dilakukan terhadap setiap unit eksperimen secara keseluruhan melainkan hanya terhadap sebagaian tertentu saja dari unit eksperimen, maka prosesnya dinamakan subsampling dan yang diperoleh adalah dalam eksperimen.
Modelnya adalah sebagai berikut : II.10 … 𝐘𝐢𝐣𝐡 = 𝝁 + 𝝉𝐢+ 𝛜𝐢𝐣+ 𝜼𝐢𝐣𝐡
Dengan i = 1, 2, …, k j = 1, 2, …, n k = 1, 2, …, m
𝐘𝐢𝐣𝐡 = variabel respon yang sedang diukur.
𝝁 = rata-rata umum
𝝉𝐢 = efek perlakuan ke i
𝛜𝐢𝐣 = efek unit eksperimen ke j karena perlakuan ke i
𝜼𝐢𝐣𝐡 = efek sampel ke h yang diambil dari unit eksperimen ke j yang dikenai perlakuan ke i.
Untuk perlakuan analisis desain dengan model seperti dalam Persamaan II.10, maka harus dihitung jumlah kuadrat-kuadrat (JK)
20
∑ Y
2= ∑
∑
∑
Y
ijh2 m h=1 n j=1 k i=1, dengan dk = knm
Ry =J2⁄knm, dengan dk = 1 Py = ∑ Ji2 nm ⁄ k i=1 − Ry, dengan dk = (k − 1) Ey = ∑ ∑ Eij 2 m ⁄ k j=1 k i=1 − Ry− Py, dengan dk = k(n − 1) Sy= ∑ Y2− Ry− Py− Ey, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 dk = kn(m − 1) Dengan Eij = ∑mh=1Yijh Ji = ∑nj=1Eij J = ∑ki=1Ji 3 macam rata-rata ialah :Y ̅ij =Eij m ⁄ Y ̅i =Ji nm ⁄ Y ̅ = J⁄knm
Daftar ANAVA untuk desain ini, dengan model tetap tercantum dalam daftar II.12 berikut ini :
21 DAFTAR II.12
DAFTAR ANAVA UNTUK DESAIN ACAK SEMPURNA DENGAN SUBSAMPLING
(MODEL TETAP)
Sumber Variansi dk JK KT EKT
Rata - rata 1 Ry R Perlakuan k - 1 Py P 𝜎𝜂2+ mσ ϵ 2+ nm ∑ τ𝑖2 (k − 1) ⁄ k i=1 Kekeliruan Eksperimen k(n – 1) Ey E 𝜎𝜂2+ mσϵ2 Kekeliruan Sampling kn( m – 1) Sy S 𝜎𝜂2 Jumlah knm ∑ Y2 - -
Untuk ini kekeliruan baku rata-rata perlakuan dihitung dengan rumus :
Sy̅i = √E nm⁄
G. Asumsi tentang Model
Asumsi – asumsi yang dimaksud, ialah sifat aditif daripada model, normalitas,
homogenitas varians dan sifat independen kekeliruan, sudahlah seharusnya diperiksa
terlebih dahulu sebelum ANAVA ditempuh. Penyimpangan yang moderat dari syarat-syarat yang telah digariskan dalam asumsi-asumsi tidaklah terlalu bahaya. Misalnya apabila terdapat sedikit penyimpangan dari asumsi normalitas dan atau homogenitas varians maka ternyata hanya akan berpengaruh kecil sekali terhadap pengujian dan
Untuk menguji hipotesis nol H0 : 𝝉𝐢 = 0 dengan i = 1, 2, …, k
Yang menyatakan tidak ada perbedaan pengaruh diantara perlakuan, statistik F = P/E harus dihitung dan selanjutnya dibandingkan dengan harga F dari daftar distribusi F dengan dk v1 = k – 1, v2 = k (n – 1) dan taraf signifikansi α yang dipilih. Tolak H0
22
kesimpulan yang dihasilkan. Jika hal demikian terjadi, maka biasanya dikatakan
pengujian bersifat ajeg. Teknik ANAVA bersifat ajeg, khususnya terhadap asumsi normalitas dan homogenitas varians.
Sebelum ANAVA dilakukan, maka perlu pemeriksaan terlebih dahulu mengenai asumsi-asumsi yang telah diambil, meliputi :
1. Normalitas atau Kenormalan
Untuk memeriksa apakah populasi berdistribusi normal atau tidak. Dapat ditempuh uji normalitas dengan menggunakan kertas peluang normal dan atau chi-kuadrat. 2. Homogenitas Varians
Uji Bartlett untuk hipotesis nol : H0 : 𝜎12 = 𝜎22 = ⋯ = 𝜎k2
Ditempuh berdasarkan sampel acak berukuran ni yang masing – masing telah diambil
dari populasi ke i ( i = 1, 2, … , k) yang berdistribusi normal. 3. Independen
Asumsi mengenai faktor kekeliruan 𝜖ij , bahwa 𝜖ij ~ DNI (0, σϵ2). Ini berarti 𝝐𝐢𝐣, mempunyai rata-rata sama, varians yang homogen juga berdistribusi normal dan tidak berkorelasi, jadi bersifat independen.
4. Aditivitas
Gagalnya suatu model untuk mempunyai sifat aditif umumnya dikarenakan ;
Model bersifat multiplikatif. Penyebabnya adalah apabila model multiplikatif, pad umumnya dapat diubah menjadi aditif dengan jalan mengambil logaritmanya atau transformasi bentuk lain.
Adanya interaksi yang belum dimasukkan ke dalam model.
Terdapatnya observasi kekeliruan. Mudah dihilangkan dengan jalan melakukan observasi yang tepat dan cara yang benar.
Jika model multiplikatif berbentuk Y = μ𝝉𝐢𝝐𝐢𝐣 ,maka dengan transformasi logaritma akan berubah menjadi bentuk aditif :
23 Berikut ini beberapa transformasi yang sering digunakan untuk keadaan tertentu :
a. Logaritma Y’ = log Y
Digunakan apabila efek-efek bersifat multiplikatif atau proporsional atau pula apabila simpangan baku berbanding lurus dengan rata-rata.
b. Akar kuadrat Y’ = √𝐘 atau Y’ = √𝐘 + 𝟏
Digunakan apabila varians berbanding lurus dengan rata-rata (misalnya jika data asli Y merupakan sampel dari populasi berdistribusi Poisson)
c. Arc sinus Y’ = 𝐚𝐫𝐜 𝐬𝐢𝐧√𝐘
Jika μ = rata-rata populasi dan varians berbanding lurus dengan μ ( 1 – μ ) (misalnya jika data asli merupakan sampel dari populasi berdistribusi binom), maka menggunakan transformasi ini.
d. Kebalikan Y’ = 1/Y
Transformasi ini digunakan jika simpangan baku berbanding lurus dengan pangkat dua rata-rata.
