1 BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Belakangan ini, ilmu matematika telah berkembang pesat. Bukan hanya sebatas hitung menghitung menggunakan skala statistik, nilai, angka-angka real, kalkulus dan peluang. Akan tetapi, perkembangan ilmu matematika juga terjadi didasarkan pada penalaran – penalaran yang logis atas sistem matematis.
Penalaran yang dilakukan oleh para ahli matematik diperoleh atas realita kehidupan yang nyata yang dirasakan oleh manusia. Perkembangan dan aplikasi dan bagian matematik ini sangat dirasakan oleh manusia di berbagai kehidupan. Penalaran inilah dalam bahasa matematika sering disebut logika.
Dari latar belakang masalah di atas maka penulis akan menyusun salah satu pembahasan matematika yaitu tentang logaritma beserta contoh – contoh soal dan jawaban.
B. Rumusan Masalah
1. Pengertian dan seputaran logaritma logaritma 2. Mencari nilai logaritma 3. Rumus logaritma
4. Kegunaan logaritma 5. Kalkulus
6. Penghitungan nilai logaritma
C. Tujuan
Untuk memenuhi tugas yang diberikan oleh guru serta untuk menambah pengetahuan dalam memahami logaritma
2 BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian Dan Seputaran Logaritma
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Rumus dasar logaritma:
bc= a ditulis sebagai blog a = c (b disebut basis)
Beberapa orang menuliskan blog a = c sebagai logba = c.
Basis
Basis yang sering dipakai atau paling banyak dipakai adalah basis 10, e≈ 2.71828... dan 2.
Notasi
Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran Matematika menggunakan notasi blog a daripada logba. Buku-buku Matematika berbahasa Inggris
menggunakan notasi logba
Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti elog a, log a sebagai ganti 10log
a dan ld a sebagai ganti 2log a.
Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis 10 dan LN menunjuk kepada logaritma berbasis e.
Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++,Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis e.
3
Terkadang Log x (huruf besar L) menunjuk kepada 10log x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada elog x.
B. Mencari Nilai Logaritma
Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:
Tabel
Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log) C. Rumus Logaritma Logaritma ac = b → ª log b = c a = basis b = bilangan yang dilogaritma
c = hasil logaritma Sifat-sifat Logaritma ª log a = 1 ª log 1 = 0 ª log aⁿ = n ª log bⁿ = n • ª log b ª log b • c = ª log b + ª log c
ª log b/c = ª log b – ª log c
ªˆⁿ log b m = m/n • ª log b ª log b = 1 ÷ b log a ª log b • b
log c • c log d = ª log d
ª log b = c log b ÷ c log a
4
Berikut ini adalah contoh-contoh soal logaritma dalam pelajaran Matematika SMA dan jawabannya/ penyelesaiannya/ penjelasannya.
Yang perlu diperhatikan adalah bagaimana kita mengerjakan soal-soal logaritma dengan teliti step by step. Gambar di atas adalah sifat-sifat dasar logaritma. Semoga bisa memberi sedikit pencerahan untuk semua yang ingin belajar materi logaritma ini.
1. Jika log 2 = a makalog 5 adalah …
jawab :
log 5 = log (10/2) = log 10 – log 2 = 1 – a (karena log 2 = a)
2. √15 + √60 - √27 = ... Jawab : √15 + √60 - √27 = √15 + √(4x15) - √(9x3) = √15 + 2√15 - 3√3 = 3√15 - 3√3 = 3(√15 - √3)
3. log 9 per log 27 =...
Jawab : log 9 / log 27 = log 3² / log 3³
= (2. log 3) / (3 . log 3) <-- ingat sifat log a^n = n. log a = 2/3
5 4. √5 -3 per √5 +3 = ...
Jawab :
(√5 - 3)/(√5 + 3)
= (√5 - 3)/(√5 + 3) x (√5 - 3)/(√5 - 3) <-- kali akar sekawan = (√5 - 3)²/(5 - 9)
= -1/4 (5 - 6√5 + 9) = -1/4 (14 - 6√5) = -7/2 + 3/2√5 = (3√5 - 7)/2
5. Jika a log 3 = -0,3 tunjukkan bahwa a = 1/81 3√9
Jawab : ª log 3 = -0,3 log 3/log a = -0.3 log a = -(10/3)log 3 log a = log [3^(-10/3)] a = 3^(-10/3) = 3^(-4) (3²)^(⅓ ) a= 1/81 3√9
6. log (3a - √2) dengan basis 1/2. Tentukan nilai a!
Jawab :
[log (3a - √2)]/log(0.5) = -0.5
log (3a - √2) = -0.5 log 0.5 = log (1/√½) 3a - √2 = 1/√½
6 D. Kegunaan Logaritma
Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.
1. Sains dan teknik
Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.
Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.
Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.
Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.
Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.
7 2. Penghitungan yang lebih mudah
Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::
Penghitungan dengan angka
Penghitungan dengan
eksponen Identitas Logaritma
Sifat-sifat di atas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.
Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.
E. Kalkulus
8
dimana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis e. Jika b = e, maka rumus di atas dapat disederhanakan menjadi
Integral fungsi logaritma adalah
Integral logaritma berbasis e adalah
Sebagai contoh carilah turunan
F. Penghitungan Nilai Logaritma
Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.
Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian
9 BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Rumus dasar logaritma:
bc= a ditulis sebagai blog a = c (b disebut basis)
Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan: 7. Tabel
8. Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log) Turunan fungsi logaritma adalah
Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.
B. Saran
Penulis harap kepada siswa – siswi untuk tidak lagi menanggap bahwa pelajaran matemetika adalah pelajaran yang sangat sulit untuk dipelajari.
10
DAFTAR PUSTAKA
