PEMBAHASAN UN SMA IPA TAHUN AJARAN 2011/2012

(1)

(2)

Page 2 of 32

PEMBAHASAN UN SMA IPA

TAHUN AJARAN 2011/2012

OLEH:

SIGIT TRI GUNTORO, M.Si MARFUAH, S.Si, M.T

REVIEWER: UNTUNG TRISNA S., M.Si

(3)

Page 3 of 32 Alternatif penyelesaian:

Misalkan, p : hari ini hujan q: saya tidak pergi r: saya nonton sepak bola maka

Premis I : p → q Premis II : q → r Kesimpulannya adalah p → r .

Jadi jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola

JAWAB : B

Alternatif penyelesaian: Misalkan,

: ada ujian sekolah : semua siswa belajar rajin

maka pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan rajin” dapat ditulis sebagai . Mengingat ⇔ maka diperoleh

(4)

Page 4 of 32 Jadi negasi dari pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan rajin” adalah “Ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin”

JAWAB: B

Alternatif penyelesaian:

(5)

JAWAB: E

(6)

Karena dan akar-akar persamaan maka dan

Dengan mengingat hasil diatas perhatikan bahwa

Jadi

JAWAB: B

Karena persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berbeda maka Diskriminan ( harus memenuhi Dari sini diperoleh . Kemudian diselesaikan untuk variabel sebagai berikut:

Didapatkan penyelesaian atau

(7)

Misalkan suku banyak tersebut . Berarti dipenuhi

(1)

dan

(2)

dengan dan masing-masing merupakan suku banyak (polinomial) berderajat satu. Dari (1) diperoleh

(3)

dan

(4)

Misalkan (5)

maka sesuai (1), (2), (3), (4) dan (5) diperoleh

dan

(8)

Page 8 of 32

; (6)

Solusi dari sistem persamaan (6) adalah dan Mengingat (2) dan (5) maka diperoleh suku banyak

JAWAB: B

JAWAB: E

Alternatif penyelesaian: Misalkan,

(9)

Page 9 of 32 Dari permasalahan di atas dapat disusun model matematika sebagai berikut

; ; yang ekuivalen dengan

; ; .

Fungsi sasarannya adalah

Karena mengharuskan maka daerah penyelesaiannya adalah (ruas garis AB) seperti pada gambar berikut.

Selanjutnya dengan membandingkan hasil di titik dan maka diperoleh nilai maksimum berada pada titik yaitu

(10)

Dari sini diperoleh dan . Jadi,

(11)

Diketahui dan . Karena tegak lurus maka

yang menghasilkan penyelesaian . Selanjutnya,

(12)

Diketahui dan . Proyeksi orthogonal pada adalah dengan

atau ditulis dengan

JAWAB: D

Karena transformasi yang dilakukan tidak memuat dilatasi (perbesaran/pengecilan) maka yang perlu diperhatikan hanya titik pusat saja, sedangkan jari-jari tetap 2.

(13)

Page 13 of 32 Lingkaran berpusat di (0,0). Oleh pencerminan terhadap garis pusat berpindah ke titik (4,0). Selanjutnya, oleh translasi itk pusat bergeser ke titik

Jadi persamaan lingkaran yang baru adalah

JAWAB: A

Alternatif penyelesaian: Misalkan , maka

yang menghasilkan penyelesaian atau . Karena maka penyelesaiannya

(14)

Page 14 of 32 JAWAB: D

Perhatikan gambar terlihat bahwa grafik tersebut menggambarkan hubungan . Dengan mengganti maka diperoleh

(15)

JAWAB: B 20. Suatu pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1960 unit. Tiap tahun produksi turun sebesar 120 unit sampai tahun ke-16. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-16 adalah ...

A. 45760 B. 45000 C. 16960 D. 16000 E. 9760 Alternatif penyelesaian:

Soal di atas merupakan contoh soal deret aritmatika dengan: Suku pertama, U1 = a = 1960 ;

Beda, b = −120

Ditanyakan total produksi pada tahun ke-16, yakni S_n dengan n=16

(

)

(

2 1

)

2 n n S = a+ n− b

(

)

(

)

16 16 2 1960 15 120 16960 2 S = ⋅ + − = unit Jawab: C

21. Barisan geometri dengan U₇_{= 384 dan rasio = 2. Suku ke-10 barisan tersebut adalah ...} A. 1920

B. 3072 C. 4052 D. 4608 E. 6144

(16)

Page 16 of 32 Alternatif penyelesaian: Rasio, r = 2 U7 = ar = 384 6 Suku ke-10, U10 = ar9 =ar6⋅r3=384 2⋅ 3=384 8⋅ =3072 Jawab: B

22. Suku ketiga dan suku ketujuh suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah ...

A. 500 B. 504 C. 508 D. 512 E. 516 Alternatif penyelesaian: Dari U3 = 16 diperoleh ar2= 16 (1) Dari U7 = 256 diperoleh ar6= 256 2 4 256 ar ⋅r = (2)

Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2), diperoleh

4

16⋅r =256 _{r=2 atau r=−2}

Karena pilihan yang diberikan semua bernilai positif, maka diambil r=2. Sehingga berlaku:

2 2

2 4 16 4

ar = ⋅a = a= ⇔a=

Jumlah tujuh suku pertama, karena r>1 berlaku:

(

7

)

(

7

)

(

)

7 1 4 2 1 4 128 1 508 1 2 1 1 a r S r − − − = = = = − − Jawab: C

23. Pada kubus ABCD.EFGH , panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke bidang BGD adalah ... A. 1 3

3 B. 2 3

(17)

Page 17 of 32 C. 4 3 3 D. 8 3 3 E. 16 3 3 Alternatif penyelesaian:

Jarak titik E ke bidang BGD adalah panjang ES. Perhatikan persegi panjang ACGE

Panjang EG = panjang AC = panjang diagonal sisi = 8 2 Panjang AT = 1 8 2 4 2 2⋅ = Panjang GT = panjang ET =

(

)

2 2 2 2 8 4 2 96 4 6 CG +CT = + = =

Luas segitiga ETG = Luas ACGE – luas ATE – luas TCG

C D E H F G A _B S T A C E G T S 8 8 α 4 2 4 2 4 6 4 6

(18)

Page 18 of 32 =

(

8.8 2

)

1.4 2.8 1.4 2.8 32 2 2 2     −_ _{ }− _=    

Luas segitiga ETG = 1

2⋅GT tinggi⋅

Jadi Jarak titik E ke bidang BGD adalah 16 3

3 cm.

Jawab: E

24. Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α . Nilai sin α = ... A. 1 2 2 B. 1 3 2 C. 1 3 3 D. 2 2 3 E. 3 3 4 Alternatif penyelesaian: 1 32 2 4 6 2 2 32 2 4 6 16 3 3 ES ES = ⋅ ⋅ ⋅ = = α T C D E H F G A _B

(19)

Page 19 of 32 Perhatikan segitiga EAT.

Panjang ET = 1

2⋅ panjang diagonal sisi = 1 .4 2 2 2 2 = Panjang AT = 2 2

( )

2

(

)

2 4 2 2 24 2 6 AE +ET = + = = Jawab: C

25. Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut adalah ... A. 432 3 cm2 B. 432 cm2 C. 216 3 cm2 D. 216 2 cm2 E. 216 cm2 Alternatif penyelesaian:

Setiap segitiga di dalam segienam beraturan merupakan segitiga sama sisi karena sudut-sudutnya sama besar (60˚).

Menggunakan rumus sinus untuk luas segitiga, diperoleh:

luas masing-masing segitiga = 1 12 12 sin 60

(

)

1 12 12 1 3 36 3

2⋅ ⋅ ⋅ ° =2⋅ ⋅ ⋅2 = A E T α 4 2 2 2 6 2 2 1 sin( ) 3 3 2 6 ET AT α = = = 12 cm 60˚ 12 cm 12 cm 12 cm 60˚ 60˚ 60˚

(20)

Page 20 of 32 Sehingga luas segienam keseluruhan = 6 36 3⋅ =216 3cm2

Jawab: C

26. Diketahui nilai sin α cos β = 1

5dan

(

)

3 sin 5 α β− = untuk 0° ≤α≤180° dan 0° ≤β ≤90°. Nilai sin

(

α+β

)

=... A. 3 5 − B. 2 5 − C. 1 5 − D. 1 5 E. 3 5 Alternatif penyelesaian:

Karena 0° ≤α≤180° dan 0° ≤β ≤90°maka sin

(

α+β

)

dapat bernilai negatif.

Jawab: C 27. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0_{° ≤}_x_≤₁₈₀_°

adalah ... A. {120˚, 150˚} B. {150˚, 165˚} C. {30˚, 150˚} D. {30˚, 165˚} E. {15˚, 105˚}

(

)

(

)

sin

α β

+ +sin

α β

− =2 sin

α

cos

β

(

)

3 1 sin 2 5 5 α+β + = ⋅

(

)

1 sin 5

α β

+ = −

(21)

Misal y=sin 2

( )

x

Karena y=sin 2

( )

x tidak mungkin bernilai 2, maka akan ditentukan nilai x yang

memenuhi sin 2

( )

1 2 y= x = −

( )

1 sin 2 2 2 210 105 x x x = − = ° ⇔ = ° Atau 2x=330° ⇔x=165°

Jadi himpunan penyelesaian untuk persamaan tersebut adalah {110˚, 165˚}. Jawaban tidak terdapat di pilihan jawaban yang disediakan.

28. Nilai dari _{sin 75}o₋_sin165oadalah ... A. 1 2 4 B. 1 3 4 C. 1 6 4

( )

cos 4x +3sin 2x = −1

( )

2 1 2 sin 2− x+3sin 2x = −1

( )

2 2 sin 2x 3sin 2x 2 0 ⇔ − − = 2 2y 3y 2 0 ⇔ − − =

(

y 2

)(

2y 1

)

0 ⇔ − + = 1 2 2 y y ⇔ = ∨ = −

(22)

Page 22 of 32 D. 1 2 2 E. 1 6 2 Alternatif penyelesaian:

Dengan menggunakan rumus sinA−sinB=...

(

)

(

)

75 165 75 165

sin 75 sin165 2 cos sin

2 2 2 cos 120 sin 45 1 1 2 2 2 2 1 2 2 ° + ° ° − °     − = _ _ _ _     = ⋅ ° ⋅ − °     = ⋅ −_ _{ }⋅ − _     = o o Jawab: D 29. Nilai 3 2 1 lim 3 x x x → − + = − A. 1 4 − B. 1 2 − C. 1 D. 2 E. 4 Alternatif penyelesaian:

(23)

Page 23 of 32

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3 3 3 3 3 2 1 2 1 2 1 lim lim . 3 3 2 1 4 ( 1) lim 3 2 1 3 lim 3 2 1 1 lim 2 1 1 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → − + − + + + = − − + + − + = − + + − − = − + + − = + + = − Jawab: A 30. Nilai 0 cos 4 1 lim tan 2 x x x x → − = ⋅ A. 4 B. 2 C. −1 D. −2 E. −4 Alternatif penyelesaian:

( )

(

)

( )

2 0 0 2 0 0 1 2 sin 2 1 cos 4 1 lim lim tan 2 . tan 2 2 sin 2 lim . tan 2 sin 2 sin 2 2 lim tan 2 2 2 2 2 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → − − − = ⋅ − = = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − Jawab: E

(24)

Page 24 of 32 31. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya

(

₅_x2₋₁₀_x₊₃₀

)

dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ... A. Rp10.000,00 B. Rp20.000,00 C. Rp30.000,00 D. Rp40.000,00 E. Rp50.000,00 Alternatif penyelesaian: Total penjualan = 50000x

Total biaya produksi =

(

2

)

5x −10x+30 x dalam ribuan rupiah

3 2

5000x 10000x 30000x

= − +

Keuntungan = total penjualan – total biaya produksi

(

3 2

)

50000x 5000x 10000x 30000x

= − − +

Apabila F(x) merupakan fungsi yang menyatakan keuntungan, maka

3 2

( ) 5000 10000 20000

F x = − x + x + x

F(x) mencapai maksimal untuk F x'( )=0

2 15000x 20000x 20000 0 ⇔ − + + = 2 3x 4x 4 0 ⇔ − + + =

(

3x 2

)(

x 2

)

0 ⇔ − − − = 2 3 x ⇔ = atau x=2

Karena x menyatakan unit barang, maka x tidak mungkin berupa pecahan. Sehingga keuntungan maksimal diperoleh untuk x = 2.

3 2 3 2

( ) 5000 10000 20000 5000.2 10000.2 20000.2 40000

F x = − x + x + x= − + + =

Jadi keuntungan maksimal perusahaan tersebut adalah Rp40.000,00.

(25)

Page 25 of 32 32. Nilai

(

)

3 2 1 2x +4x−3 dx=...

∫

A. 271 3 B. 271 2 C. 371 3 D. 371 2 E. 271 3 Alternatif penyelesaian:

(

)

3 3 2 3 2 1 1 2 2 2 1 2 4 3 2 3 27 2 9 9 2 3 27 3 3 3 3 x + x− dx= x + x − x = ⋅ + ⋅ − −_ + − _=   

∫

Jawab: A 33. Nilai

(

( )

)

3 1 sin 2x +3cosx dx=...

∫

A. 3 2 3 4+ B. 3 3 3 4+ C. 1

(

1 2 3

)

4 + D. 2

(

1 2 3

)

4 + E. 3

(

1 2 3

)

4 + Alternatif penyelesaian:

(26)

Page 26 of 32

( )

(

)

(

)

1 3 3 0 1 1

sin 2 3cos cos 2 3sin

2

1 2 1

cos 3sin cos 0 3sin 0

2 3 3 2 1 1 1 1 . 3. 3 2 2 2 2 3 3 3 4 2 3 1 2 3 4 x x dx x x π π π  + = − +      = − +  − − +          = − − +  − −      = + = +

∫

Jawab: E 34. Hasil dari 2 3x 3x +1dx=...

∫

A. 2

(

2

)

2 3 1 3 1 3 x x C − + + + B. 1

(

2

)

2 3 1 3 1 2 x x C − + + + C. 1

(

2

)

2 3 1 3 1 3 x + x + +C D. 1

(

2

)

2 3 1 3 1 2 x + x + +C E. 2

(

2

)

2 3 1 3 1 3 x + x + +C Alternatif penyelesaian: Misal 2 3 1 t= x + maka 6 1 6 dt xdx dx dt x = = Sehingga berlaku:

(27)

Page 27 of 32 2 3x 3x +1dx= 3x

∫

1 6 t x ⋅ ⋅

∫

(

)

1 2 3 2 2 2 1 2 1 2 2 3 1 3 1 3 1 3 dt t dt t C x x C ⋅ = = ⋅ ⋅ + = + + +

∫

Jawab: C

35. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 2

3 4 y=x + x+ dan y= − adalah ... 1 x A. 2 3satuan luas B. 4 3satuan luas C. 7 4satuan luas D. 8 3satuan luas E. 15 3 satuan luas Alternatif penyelesaian: 2 3 4 y=x + x+ 1 y= −x

(28)

Page 28 of 32 Misal f x( )=x2+3x+4 dan g x( )= −1 x

Batas daerah yang dibatasi kedua kurva ditentukan sebagai berikut: f x( )=g x( ) Diperoleh luas=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 3 ( ) ( ) 1 3 4 3 4 1 3 2 3 1 3 2 9 18 9 3 4 3 g x f x dx x x x dx x x dx x x x − − − − − − − − − = − − + + = − − −  = − − − _   =_ − + _− − +   =

∫

Jawab: B

36. Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva 2

y=x dengan

2

y= x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360˚ adalah ... A. 2π satuan volume B. 3 1 15π satuan volume C. 4 4 15π satuan volume D. 12 4 15πsatuan volume E. 14 2 15

π

satuan volume Alternatif penyelesaian: 2 3 4 1 x + x+ = −x

(

)(

)

2 4 3 0 3 1 0 3 1 x + x+ = ⇔ x+ x+ = ⇔ = − ∨ = −x x

(29)

Page 29 of 32 Untuk menentukan volume benda putar antara dua kurva, ditentukan terlebih dahulu titik potong dua kurva.

Titik potong antara y₁=x2dan y₂ =2x diperoleh untuk:

1 2 y = y 2

(

)

2 2 0 x x x x ⇔ = ⇔ − = x = 0 dan x=2 Sehingga:

( )

2 2 2 1 2 0 ( ) V =π y − y dx 

∫

 2 2 4 0 4x x dx π  =  −  

∫

 2 3 5 0 4 1 3x 5x π  = _ − _   4 1 (8) (32) 0 3 5 π  = _ − − _   4 4 15π = satuan volume Jawab: C

37. Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut:

Ukuran f 20 − 29 3 30 − 39 7 40 − 49 8 50 − 59 12 60 − 69 9 70 − 79 6 80 − 89 5

Nilai modus dari data pada tabel adalah ... A. 49, 5 40

7 −

(30)

Page 30 of 32 B. 49, 5 36 7 − C. 49, 5 36 7 + D. 49, 5 40 7 + E. 49, 5 48 7 + Alternatif penyelesaian: Modus = a . a b f Tb I f f + + dengan:

Tb = tepi bawah kelas dengan frekuensi terbesar ( f=25) , yakni 49,5

fa = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya, yakni 12−8 = 4

fb = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sesudahnya, yakni 12− 9 = 3

I = interval kelas = 10 Jadi: Modus = 49, 5 4 .10 49, 5 40 4 3 7 + = + + Jawab: D

38. Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata “WIYATA” adalah ... A. 360 kata B. 180 kata C. 90 kata D. 60 kata E. 30 kata Alternatif penyelesaian:

Permutasi n objek dari n objek yang terdiri dari sejumlah n1 objek q1, sejumlah n2 objek q2, … nk objek qk, dengan n1+n2+…+nk = n adalah

1 2 ( , ,... ) 1 2 ! ! !... ! k n n n n k n P n n n =

(31)

Page 31 of 32 Pada kata “WIYATA” terdapat 6 huruf, yang terdiri dari 1 huruf “W”, 1 huruf “I”, satu huruf “Y”, 1 huruf “T” dan 2 huruf “A”.

Sehingga banyaknya susunan kata yang dapat dibentuk adalah ...

Jawab: A

39. Dalam kotak terdapat 3 kelereng merah dan 4 kelereng putih, kemudian diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih adalah .... A. 3 35 B. 4 35 C. 7 35 D. 12 35 E. 22 35 Alternatif penyelesaian: Misal:

A = kejadian terambil paling sedikit 2 kelereng putih. Maka ada dua kemungkinan kejadian, yakni

terambil 2 kelereng putih dan satu kelereng merah, atau terambil 3 kelereng putih.

S = ruang sampel, yaitu kejadian terambilnya 3 kelereng dari 7 kelereng

Maka peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih adalah ( ) ( ) ( ) n A P A n S =

dengan n(A) kombinasi terambilnya paling sedikit 2 kelereng putih. Jadi: 6 (1,1,1,1,2) 6! 6 5 4 3 360 1!1!1!1!2! 2 P = = × × × =

(32)

Page 32 of 32

(

4 2 3 1

)

4 3 7 3 4! 3! 4! 22 2!2! 1!2! 3!1! ( ) 7! ₃₅ 3!4! C C C P A C   ⋅ +   ⋅ +   = = = Jawab: E