BAB 2
DIGRAF PRIMITIF
Pada bagian ini, peneliti akan menjelaskan bahwa digraf kDn merupakan sebuah digraf primitif. Penjelasan tersebut diperkuat dengan memaparkan beberapa definisi digraf dan beberapa unsur-unsur lainnya. Lalu dilanjutkan dengan penje-lasan digraf dikatakan primitif, Definisi dari pembagi persekutuan terbesar, dan pemaparan dari m-kompetisi indeks.
2.1 Definisi Digraf
Digraf D adalah sebuah objek yang terdiri atas sebuah himpunan V(D) berjum-lah n buah dan tak kosong yang unsur-unsurnya merupakan semua titik vi untuk
i = 1,2,3,· · · , n di digraf D dan sebuah himpunan A(D) yaitu sebuah pasan-gan berurut V × V yang terdiri atas semua unsur (vi, vj) dimana vi ∈ V dan
vj ∈ V. Sehingga secara umum, digraf merupakan sebuah objek yang tersusun atas elemen-elemen titik yang tidak kosong dimana setiap titik dapat dihubungkan oleh sebuah penghubung berarah yang dinamakan busur.
Sebagai contoh, gambar 2.1 akan menjadi ilustrasi pendukung untuk memahami pengertian dari digraf D. diberikan sebuah digraf D seperti pada gambar 2.1
Maka digraf D terdiri atas himpunan V(D) = {v1, v2, v3, v4} dan himpunan
A(D) = {(v1, v1),(v1, v2),(v2, v3),(v3, v1),(v3, v4),(v4, v1)}.
Terdapat beberapa istilah penting yang mendukung dalam penelitian ini, a. Jika v ∈ V(D) maka himpunan k-step out-neighborhood dari titik v
didefin-isikan sebagai N+(Dk : v) = {x ∈ V(G) : v →k x} atau semua titik tu-juan dari titik v di D dengan panjang jalan k. Seperti pada contoh diatas, perhatikan titik v1, N+(D : v1) = {v1, v2} , N+(D2 : v1) = {v1, v2, v3},
N+(D3 :v1) = {v1, v2, v3, v4} .
b. Jalan pada digrafDmerupakan sebuah barisan antara busur di Ddinotasikan dengan W tersusun atas barisan (u, v1),(v1, v2),· · · ,(vn−1, vn), (vn, v). bi-asanya penulisan pada barisan Wuv dapat diilustrasikan dengan u → v1 →
v2 → v3 → · · · → vn → v dan panjang dari jalan Wuv dinotasikan dengan
ord(Wuv). Seperti pada contoh diatas, beberapa jalan untuk titik asal adalah
v2 dan titik tujuan v1 yaitu (1) Wv2,v1 : v2 → v3 → v1, (2) Wv2,v1 : v2 →
v3 → v4 → v1, (3) Wv2,v1 : v2 → v3 → v4 → v1 → v1 → v1. Perhatikan
bah-wa banyaknya jalan dengan titik asal v2 dan titik tujuan v1 dapat lebih dari satu selama ada busur yang menghubungkan setiap titik yang dikehendaki. Untuk jalan pada poin 1, panjangnya adalah ord(Wv2,v1) = 2, panjang jalan
pada poin 2 adalah ord(Wv2,v1) = 3, dan panjang jalan pada poin 3 adalah
ord(Wv2,v1) = 5
c. Lintasan pada digraf D merupakan sebuah jalan tanpa perulangan titik dino-tasikan dengan P. Pada dasarnya jalan di digraf D tidak memperhatikan adanya perulangan titik pada busurnya, tetapi pada lintasan sebuah barisan busur tidak memperbolehkan adanya perulangan titik pada titik asal hingga titik tujuan. Perhatikan contoh jalan pada bagian c, jalan pada poin 1 dan poin 2 merupakan sebuah lintasan tetapi jalan pada poin 3 bukan merupakan lintasan.
d. Lingkaran pada digraf D merupakan sebuah lintasan tertutup yang tersusun atas barisan (u, v1),(v1, v2),· · · ,(vn−1, vn),(vn, u). Perhatikan contoh pada gambar 2.1, Wv1v1 : v1 → v2 → v3 → v1 merupakan lingkaran pada digraf
e. Lingkaran Hamiltonian pada digraf D merupakan sebuah lintasan tertutup dimana lintasan tersebut melalui semua titik yang ada diD. Pada gambar 2.1,
Wv1,v1 :v1 →v2 →v3 →v4 →v1.
f. Loop pada digraf D merupakan sebuah lintasan tertutup dengan panjang 1. Pada gambar 2.1,Wv1,v1 :v1 →v1 merupakan loop.
g. jarak antara 2 buah titik u dan w di D adalah panjang jalan terpendek yang bisa ditempuh oleh titik awal u ke titik tujuan w yang dinotasikan dengan
d(u, w).
h. Girthpada sebuah digraf D adalah panjang dari sebuah lingkaran terpendek dari semua lingkaran di D. Maka, sebuah digraf D yang memiliki loop mem-punyai girthsebesar 1.
Sebuah digraf dapat direpresentasikan ke dalam sebuah matriks ketetanggan dengan definisi matriks bujursangkar A = (aij) dengan besar ordo A merupakan banyak titik pada digraf D yang setiap entri pada matriks A adalah
aij = 1, bila (i, j)∈A(D) 0, bila (i, j)∈/ A(D)
berdasarkan definisi digraf, tidak ada jaminan bahwa aij =aji untuk semua 1≤
i, j ≤n. Ini mengakibatkan bahwa representasi matriks ketetanggaan di digrafD
bukan merupakan matriks simetris. Perhatikan digraf pada contoh 5, Representasi matriks ketetanggaan untuk digraf pada gambar 2.1 adalah
A= 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0
Sebuah matriks A dikatakan non negatif jika semua entri (aij) ≥ 0 dan sebuah matriks A dikatakan positif jika semua entri (aij) ≥ 1. Matriks A pada gambar
2.1 merupakan matriks non negatif. untuk matriks A5 yaitu, A5 = 6 4 2 1 3 2 2 1 6 3 2 2 4 2 1 1
merupakan matriks positif, karena tidak ada entri pada matriksA5 yang bernilai 0. Selanjutnya pengertian dari sebuah digraf yang dikatakan terhubung kuat. Sebuah digraf D dikatakan terhubung kuat jika dan hanya jika setiap pasang
u, v ∈ V(D), terdapat sebuah lintasan berarah dari titik u ke v dan dari titik v
ke u. Perhatikan contoh gambar 2.2 berikut,
Gambar 2.2 : Digraf 1D4
Dengan memperhatikan setiap pasang (v1, v2),(v1, v3),(v1, v4),(v2, v3),(v2, v4), dan (v3, v4), untuk
a. pasangan titik (v1, v2) terdapat sebuah lintasan yaitu Pv1,v2 : v1 → v2 dan
Pv2,v1 :v2 →v3 →v4 →v1
b. pasangan titik (v1, v3) terdapat sebuah lintasan yaitu Pv1,v3 : v1 → v2 → v3
dan Pv3,v1 :v3 →v4 →v1
c. pasangan titik (v1, v4) terdapat sebuah lintasan yaitu Pv1,v4 :v1 →v2 →v3 →
v4 dan Pv4,v1 :v4 →v1
d. pasangan titik (v2, v3) terdapat sebuah lintasan yaitu Pv2,v3 : v2 → v3 dan
e. pasangan titik (v1, v3) terdapat sebuah lintasan yaitu Pv2,v4 : v2 → v3 → v4
dan Pv4,v2 :v4 →v1 →v2
f. pasangan titik (v1, v3) terdapat sebuah lintasan yaitu Pv3,v4 : v1 → v3 → v4
dan Pv4,v3 :v4 →v1 →v2 →v3
Karena setiap pasang (vi, vj) di digrafDv1 memenuhi definisi dari terhubung kuat,
maka digraf Dv1 merupakan sebuah digraf yang terhubung kuat.
Teorema 2.1: Andaikan sebuah digrafDdenganntitikv1, v2,· · · ,danvn, setiap
titik diD terletak dalam sebuah lingkaran jika dan hanya jika digraf Dterhubung
kuat
Bukti. Diberikan sebuah digraf D dengan n titik v1, v2,· · · , dan vn. Perhatikan
karena semua titikvi diDuntuki= 1,2,· · · , nberada di sebuah lingkaran, maka dapat dibentuk sebuah jalan dimisalkan dengan Wv1,v1 : v1 → v2 → v3 → · · · →
vn → v1. Didapat bahwa untuk sembarang pasangan vi, vj di D, maka didapat lingkaran dengan jalan yaitu Wvi,vi danWvj,vj. KarenaWvi,vi dan Wvj,vj ada,
ma-ka pasti terdapat sebuah jalan darivi kevj dengan memanfaatkan lingkaranWvi,vi
dan sebuah jalan dari vj ke vi dengan memanfaatkan lingkaran Wvj,vj. Sehingga
karena setiap pasang titik vi, vj di D mempunyai jalan dari titik vi kevj dan dari titik vj kevi maka digraf D terhubung kuat.
Akan dibentuk lingkaran dengan setiap titik di D terletak didalamnya. Kare-naDterhubung kuat, maka setiap pasang titik (u, v) diD, terdapat sebuah jalan berarah sederhana dari ukev dan dariv keu. Sehingga dengan menghubungkan jalan berarah pada jalanWu,v denganWv,u maka akan terbentuk sebuah lingkaran
Wu,uyang memuat seluruh titik di D. Ini merupakan akhir dari pembuktian pada teorema ini.
2.2 Definisi digraf Primitif
Sebuah digraf D dikatakan primitif jika terdapat sebuah jalan berarah dengan panjang tepat k dari setiap titik u ke setiap titik v. Nilai terkecil dari k meru-pakan eksponen dari digrafDdinotasikan denganexp(D) (Akelbek dan Kirkland, 2008). Sebagai contoh, perhatikan kembali gambar 2.2. DigrafDpada gambar 2.2
merupakan sebuah digraf primitif karena setiap pasangan titik (vi, vj) diD mem-punyai jalan dengan panjang yang sama dengan panjang jalan terpendek adalah 6. Sebuah digraf D dikatakan primitif jika dan hanya jika D adalah terhubung kuat dan pembagian persekutuan terkecil untuk setiap lingkaran di D adalah 1 (Shao et al, 2012).
Proposisi 2.2 : (Akelbek dan Kirkland, 2008) Andaikan D merupakan sebuah
digraf primitif dengan n titik dan s merupaka girth pada D. Maka exp(D) ≤
n+s(n−2).
Proposisi 2.3: Andaikan D merupakan sebuah digraf primitif dengan n titik dan
memiliki loop didalamnya. Maka exp(D)≤2n−2
Bukti. Dengan menggunakan proposisi 2.2. Diketahui bahwa loop merupakan
lingkaran terpendek di Dsehingga girthpada D adalah 1. Maka dengan mensu-btitusikan s= 1 ke pertidaksamaan di proposisi 2 didapat exp(D)≤2n−2 2.3 Digraf sDn Sebagai Digraf Primitif
Setelah beberapa pemaparan tentang bagaimana cara sebuah digraf dikatakan primitif maka akan dibuktikan bahwa digraf sDn merupakan sebuah digraf prim-itif. Didefinisikan bahwa digraf sDn adalah digraf dengan lingkaran Hamiltonian dimana terdapat s buah loop yang diletakkan saling berdekatan. Sehingga, Akibat 2.7 Jika k merupakan banyak loop yang diletakkan berdekatan dan n
merupakan banyak titik di sDn Maka sDn merupakan digraf primitif.
Bukti. Untuk membuktikan bahwasDnmerupakan digraf primitif hanya perlu dibuktikan bahwasDnmerupakan digraf yang terhubung kuat dan semua panjang setiap lingkaran pada sDn saling relatif prima. Berdasarkan teorema 2.1 digraf sDn merupakan digraf yang terhubung kuat. Perhatikan bahwa semua lingkaran yang dimiliki digraf sDn adalah v1 → v1, v2 → v2, v3 → v3, · · ·, vi → vi dan
v1 → v2 →v3 → · · · →vn →v1 dengan masing masing panjang adalah 1 dan n. KarenaGCD(n,1) = 1 untuk setiapn bilangan bulat positif maka telah terbukti bahwa sDn merupakan digraf primitif.
2.4 Definisi M-Kompetisi Indeks
Definisi 2.8 : Untuk bilangan bulat positif m dan n dengan 1 ≤ m ≤ n,
didefinisikan m-kompetisi indeks dari sebuah digraf primitif D, dinotasikan
den-gan km(D) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasang
x dan y, terdapat m titik berbeda yaitu v1, v2, v3,· · · , vm sehingga x k
→ vi dan
y →k vi, dalam artian ada jalan Wxvi dan Wyvi dengan panjang yang sama untuk
setiap i= 1,2,· · · , m.
Sebelum memasuki contoh, diperkenalkan terlebih dahulu beberapa definisi pem-bantu dalam pengerjaan m-kompetisi indeks.
Definisi 2.9 : MisalkanD merupakan sebuah digraf primitif. Indeksm-kompetisi
lokal pada sebuah titik x dan y di D adalah panjang jalan terpendek k untuk
sebuah pasangan titik (x, y) sehingga terdapat m titik berbeda v1, v2, v3,· · · , vm
dari x→vt dan y→vt untuk t = 1,2,3,· · · , m, dinotasikan dengan
km(D:x, y) = min{k|x k
→vtdan y k
→vt, t≥k}
Maka dari definisi 2.9, nilai dari m-kompetisi indeks km(D) dari digrafD adalah
km(D) = max
x,y∈V(D)km(D:x, y)
sehingga dari definisi 2.8, untuk setiap m= 1,2,3,· · · , n didapat
km(D :x, y)≤km(D)
Definisi 2.10 : k-step common out-neighborhood titik x dan y adalah semua
him-punan titik vt di D terdiri atas n buah titik yang bisa dikunjungi dengan panjang
jalan k yaitu x→k vt dany k
→vtuntuk t = 1, 2, 3,· · · ,n yang dinotasikan dengan
N+(Dk:x, y) = {vt∈V(D)|x k
→vt dan y k →vt}.
Proposisi 2.11 : (Shao et al, 2012) untuk 1≤ m≤ n, Andaikan D merupakan
dari D. Maka,
k(D) = k1(D)≤k2(D)≤k3(D)≤ · · · ≤kn(D) =exp(D)
Akibatnya scrambling indexmerupakan 1-kompetisi indeks dari sebuah digrafD
dan n-kompetisi indeks merupakan eksponen dari digrafD.
Sebagai contoh perhatikan kembali gambar 2.2. Untuk mendapatkan nilai dari
m-kompetisi indeks dari digraf tersebut terlebih dahulu dicari nilai m-kompetisi indeks lokalnya dan untuk mendapatkan m-kompetisi indeksnya, diambil nilai
m-kompetisi lokal terbesar. Maka, a. Untuk 1-kompetisi indeks didapat,
v1 v2 v3 v4 min(km(vi, vj)) k1(v1, v2) = 3 4 5 6 3 k1(v1, v3) = 2 3 4 5 2 k1(v1, v4) = 1 2 3 4 1 k1(v2, v3) = 3 4 5 6 3 k1(v2, v4) = 3 4 5 6 3 k1(v3, v4) = 2 3 4 5 2 Sehingga, k(D) = max{3,2,1,3,3,2}= 3.
b. Untuk 2-kompetisi indeks didapat,
(v1, v2) (v1, v3) (v1, v4) (v2, v3) (v2, v4) (v3, v4) (km(vi, vj)) k1(v1, v2) = 4 5 6 4 4 5 4 k1(v1, v3) = 3 4 5 4 5 4 3 k1(v1, v4) = 2 3 4 3 4 4 2 k1(v2, v3) = 4 5 6 4 4 5 4 k1(v2, v4) = 4 5 6 4 4 5 4 k1(v3, v4) = 3 4 5 4 5 4 3
Sehingga, k2(D) = max{4,3,2,4,4,3}= 4 c. Untuk 3-kompetisi indeks didapat,
(v1, v2.v3) (v1, v3, v4) (v2, v3, v4) (v1, v2, v4) (km(vi, vj))k1(v1, v2) = 5 6 6 6 5 k1(v1, v3) = 4 5 5 5 4 k1(v1, v4) = 3 4 4 4 5 k1(v2, v3) = 5 6 6 6 5 k1(v2, v4) = 5 6 6 6 5 k1(v3, v4) = 4 5 5 5 4 Sehingga, k3(D) = max{5,4,3,5,5,4}= 5. d. Untuk 4-kompetisi indeks didapat,
(v1, v2.v3, v4) (km(vi, vj)) k1(v1, v2) = 6 6 k1(v1, v3) = 5 5 k1(v1, v4) = 4 4 k1(v2, v3) = 6 6 k1(v2, v4) = 6 6 k1(v3, v4) = 6 5
Sehingga, k4(D) = max{6,5,4,6,6,5}= 6. Ini merupakan akhir dari tinjauan pustaka pada penelitian ini.
2.5 Batas Atas M-Kompetisi Indeks Digraf Primitif.
Pada umumnya, pembuktian rumus umum m-kompetisi indeks digraf primitif di-lakukan dengan membuktikan batas atas dan batas bawah rumusnya. Tetapi, karena keterbatasan waktu, peniliti hanya membuktikan batas atas dari rumus umum m-kompetisi indeks dari digraf primitif.
lin-tasan berarah, jalan yang mengililingi lingkaran, dan jalan yang mengelilingi loop. Untuk membuktikan batas atas km(sDn) ≤ f(m, n, s) cukup dibuktikan bahwa untuk setiap pasangan titik (vi, vj) di sDn terdapat sebuah jalan dengan panjang
f(m, n, s) dari titik vi ke masing-masing titik vt,t= 1,2,3,· · · , vm dan dari titik
vj ke masing-masing titik vt, t= 1,2,3,· · · , vm.
Dengan menggunakan gambar 2.2 sebagai contoh, akan dibuktikan masing-masing batas atas dari digraf1D4.
1. Untuk k1(1D4)≤4.
Cukup dengan membuktikan bahwa setiap titikv1, v2, v3 danv4 ada jalan den-gan panjang 4 ke titikv1. Sehingga setiap titik v1, v2, v3 dan v4 dengan meng-gunakan jalan yaitu :
a. v1 →v1 →v1 →v1 b. v2 →v3 →v4 →v1 c. v3 →v4 →v1 →v1 d. v4 →v1 →v1 →v1
ada jalan dengan panjang 4 ke titikv1. 2. Untuk k2(1D4)≤5.
Cukup dengan membuktikan bahwa setiap titikv1, v2, v3 danv4 ada jalan den-gan panjang 5 ke titikv1 dan v2. Sehingga setiap titik v1, v2, v3 dan v4 dengan menggunakan jalan yaitu :
a. v1 →v1 →v1 →v1 →v1 v1 →v1 →v1 →v1 →v2 b. v2 →v3 →v4 →v1 →v1 v2 →v3 →v4 →v1 →v2 c. v3 →v4 →v1 →v1 →v1 v3 →v4 →v1 →v1 →v2 d. v4 →v1 →v1 →v1 →v1 v4 →v1 →v1 →v1 →v2
3. Untuk k3(1D4)≤6.
Cukup dengan membuktikan bahwa setiap titikv1, v2, v3 danv4 ada jalan den-gan panjang 5 ke titik v1, v2 dan v3. Sehingga setiap titik v1, v2, v3 dan v4 dengan menggunakan jalan yaitu :
a. v1 →v1 →v1 →v1 →v1 →v1 v1 →v1 →v1 →v1 →v1 →v2 v1 →v1 →v1 →v1 →v2 →v3 b. v2 →v3 →v4 →v1 →v1 →v1 v2 →v3 →v4 →v1 →v1 →v2 v2 →v3 →v4 →v1 →v2 →v3 c. v3 →v4 →v1 →v1 →v1 →v1 v3 →v4 →v1 →v1 →v1 →v2 v3 →v4 →v1 →v1 →v2 →v3 d. v4 →v1 →v1 →v1 →v1 →v1 v4 →v1 →v1 →v1 →v1 →v2 v4 →v1 →v1 →v1 →v2 →v3
ada jalan dengan panjang 6 ke titikv1, v2 dan v3. 4. Untuk k4(1D4)≤6.
Cukup dengan membuktikan bahwa setiap titikv1, v2, v3 danv4 ada jalan den-gan panjang 5 ke titik v1, v2, v3 dan v4. Sehingga setiap titik v1, v2, v3 dan v4 dengan menggunakan jalan yaitu :
a. v1 →v1 →v1 →v1 →v1 →v1 →v1 v1 →v1 →v1 →v1 →v1 →v1 →v2 v1 →v1 →v1 →v1 →v1 →v2 →v3 v1 →v1 →v1 →v1 →v2 →v3 →v4 b. v2 →v3 →v4 →v1 →v1 →v1 →v1 v2 →v3 →v4 →v1 →v1 →v1 →v2 v2 →v3 →v4 →v1 →v1 →v2 →v3 v2 →v3 →v4 →v1 →v2 →v3 →v4 c. v3 →v4 →v1 →v1 →v1 →v1 →v1 v3 →v4 →v1 →v1 →v1 →v1 →v2
v3 →v4 →v1 →v1 →v1 →v2 →v3 v3 →v4 →v1 →v1 →v2 →v3 →v4 d. v4 →v1 →v1 →v1 →v1 →v1 →v1 v4 →v1 →v1 →v1 →v1 →v1 →v2 v4 →v1 →v1 →v1 →v1 →v2 →v3 v4 →v1 →v1 →v1 →v2 →v3 →v4
ada jalan dengan panjang 6 ke titikv1, v2, v3 dan v4. Ini merupakan akhir dari bab 2.
