MATA KULIAH METODE RUNTUN WAKTU. Oleh : Entit Puspita Nip

(1)

MATA KULIAH

METODE RUNTUN WAKTU

Oleh :

Entit Puspita

Nip 132086616

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

(2)

BEBERAPA KONSEP DASAR DALAM ANALISIS RUNTUN WAKTU

DEFINISI : RUNTUN WAKTU ADALAH SUSUSNAN OBSERVASI

BERURUT MENURUT WAKTU( ATAU DIMENSI YANG LAIN)

DILIHAT DARI JENIS DATA RUNTUN WAKTU DIBAGI MENJADI: a. RUNTUN WAKTU DISKRIT

b. RUNTUN WAKTU KONTINU

DILIHAT DARI POLANYA RUNTUN WAKTU DIBAGI MENJADI: a. DETERMINISTIK

(3)

KONSEP STASIONERITAS

Himpunan data runtun waktu Z₁, Z₂, …,Z_n yang di anggap sebagai

realisasi VR Z_t, diasumsikan mempunyai fkp bersama f(Z₁, Z₂, …, Z_n). Jika struktur probabilistik fkp tidak berubah oleh adanya perubahan waktu maka runtun waktu tersebut disebut stasioner

Pada proses stasioner kita mempunyai : - E(Z_t) = μ dan kov (Z_t, Z_t-k) = γ_k

- μ adalah mean prose dan γk autokovariansi lag ke k - Nilai μ dan γ_k adalah konstan untuk berbagai lag k

Himpunan {γ_k : k = 0, 1, 2, …, } dinamakan fungsi autokovariansi

(4)

FUNGSI AUTOKORELASI

Autokorelasi pada lag k didefinisikan :

0 2 / 1 )

)]

var(

).

[var(

,

(





k k t t k t t k

Z

kov



 

Himpunan {ρ_k : k =0, 1, 2, 3 … }, dengan ρ₀ = 1 disebut dengan

Fungsi Autokorelasi (Fak)

Untuk proses normal dan stasioner , Rumus Bartlett menyatakan (dengan menganggap ρk =0) bahwa :



   k i i k r N r 1 2 ) 2 1 ( 1 ) var(

(5)

FUNGSI AUTOKORELASI PARSIAL

Alat lain yang digunakan dalam Analisis Runtun Waktu adalah Fungsi autokorelasi Parsial (Fakp), yang ditulis dengan {Φ_kk : k =1, 2, 3, …}

k

kk

P

~

_*





_,

|P_k*| adalah |P_k|(matrik autokorelasi runtun waktu sebanyak k) dengan kolom terakhir diganti oleh [ρ₁ ρ₂ … ρ_k]’















     

1 .

.

1 .

1 ~

3 2 1 3 1 2 2 1 1 1 2 1 k k k k k k k

P



Untuk lag yang cukup besar Quenouille memberikan rumus untuk menguji keberartian nilai Fakp, yaitu:

(6)

METODE BOX-JENKINS

Dalam Metode Box-Jenkins untuk Analisis Runtun waktu digunakan Dua Operator yaitu:

a. Operator Backshift B, dengan definsi BZ_t = Z_t-1

b. Operator Diferensi, dengan definisi ∇Z_t = Z_t – Z_t-1 = (1 – B)Z_t

Model linier yang Sering Digunalan dalam Aanlisis Runtun Waktu :

Φ(B) Zt = θ(B) at (1)

Φ dan θ adalah polinomial, {a_t} adalah proses white noise ditulis a_t ~ N(0;σ2

a)

Persamaan (1) dapat juga ditulis dalam bentuk: Z_t = Ψ(B) a_t, dengan Ψ(B) = 1 + Ψ₁B + Ψ₂B2 _{+ …}

(7)

FILTER LINIER / FUNGSI TRANSFER

Bentuk Z_t = Ψ(B) a_t, dapat diilustrasikan sebagai:

Filter linier a_t

Ψ(B)

Z_t

Ini berarti bahwa RW Z_t dapat diperoleh dengan melewatkan proses white noise a_t melalui filter linier dengan fungsi transfer Ψ(B) = 1 + Ψ1B + Ψ2B2 + … . Jika barisan Ψ 1, Ψ2 …berhingga atau takberhingga tapi konvergen maka filter disebut stabil, dan runtun waktu yang dihasilkan dikatakan stasioner

(8)

Model dalam (1) dapat juga ditulis:

π(B) Z_t = a_t , dengan π(B) = 1- π₁B, π₂B2_,

…

π(B) disebut fungsi pembentuk koefisien π Hubungan antara koefisien Ψ dan π:

Ψ(B) . Π(B) Z_t = Ψ(B) a_t = Z_t

Atau Ψ(B) . Π(B) = 1 atau Ψ(B) = Π-1 _(B)

Hubungan tersebut dapat digunakan untuk menurunkan koefisien Π apabila koefisien Ψ diketahui atau

sebaliknya

Supaya runtun waktu pada bentuk π(B) Zt = a_t stasioner, maka deret Ψ(B) yang merupakan fungsi pembentuk koefisien Ψ

haruslah konvergen untuk |B| ≤ 1 dan dikatakan invertibel apabila koefisien π_j pada deret π(B) konvergen pada atau didalam lingkaran satuan.

(9)

LANGKAH-LANGKAH ITERATIF DALAM MEMILIH MODEL

Postulasikan Kelas Umm Model

Identifikasi Model yang Diselidiki

Estimasikan Parameter dalam Model

Verivikasikan Model Apakah Model Memadai?

Forecasting Ya

(10)

PROSES AUTOREGRESIVE (AR)

Bentuk umum Proses AR orde p (AR(p)) Z_t = ϕ₁Z_t-1 + ϕ₂Z_t-2 + … + ϕ_pZ_t-p + a_t

Atau dapat ditulis

Φ(B) Z_t = a_t

Dengan ϕ(B) = 1 – ϕ₁B – ϕ₂B2 _{– ϕ}

pBp disebut operator AR(P) Pandang proses AR(1), Z_t = ϕZ_t-1 + a_t

Ciri-ciri teoritik proses A(1)

a. Daerah stasioneritas -1< ϕ <1 b. Mean proses adalah nol

(11)

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 A ut oc or re la tio n LBQ T Cor r La g LBQ T Cor r La g 222.91 221.35 218.21 211.09 199.53 182.04 160.34 136.35 109.21 77.94 41.29 0.35 0.51 0.79 1.04 1.34 1.59 1.81 2.12 2.62 3.56 6.23 0.16 0.22 0.34 0.44 0.55 0.62 0.66 0.71 0.77 0.85 0.91 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Fungsi Autokorelasi 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 P ar tia l A ut oc or re la tio n T PAC La g T PAC La g 0.87 -1.20 -0.58 -2.22 -1.29 0.32 0.32 0.09 -0.49 0.84 6.23 0.13 -0.18 -0.08 -0.32 -0.19 0.05 0.05 0.01 -0.07 0.12 0.91 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Fungsi Autokorelasiu Parsial

(12)

PROSES MOVING AVERAGE (MA(q))

Bentuk umum proses MA(q) adalah:

Z_t = a_t + θ₁a_t-1 + … + θ_qa_t-q, dengan a_t ~ N(0, σ2

a) (1)

= θ(B) a_t

Dengan θ(B) = (1 + θ₁B + … + θ_qBq_{) adalah operator MA(q)}

Persamaan (1) dapat juga ditulis: θ-1_{(B) Z}

t = Zt – π1Zt-1 - π2Zt-2 - …. = at

Atau π(B) Z_t = a_t

Proses MA(q) dikatakan invertibel, jika koefisien π merupakan deret yang konvergen

(13)

PROSES MOVING AVERAGE ORDE 1 MA(1)

Bentuk umum : Z_t = a_t + θ₁a_t-1

Dengan a_t adalah proses white noise Ciri – ciri proses MA(1) adalah:

a. Mean = 0 b. fak adalah: 2

1









Dan ρk = 0, k > 1 c. Fakp adalah: ) 1 ( 2 2 1

1 )

1 (

)

1 (

 





k k _k kk





(14)

15 10 5 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Au to co rr el at io n LBQ T Cor r La g LBQ T Cor r La g LBQ T Cor r La g 26.29 26.29 26.02 25.91 24.82 20.80 20.22 18.56 17.40 17.31 15.81 15.11 15.05 15.05 14.47 -0.02 -0.34 0.21 0.70 -1.39 0.54 0.93 -0.79 -0.22 0.94 -0.65 0.19 -0.04 0.61 -3.71 -0.00 -0.06 0.04 0.12 -0.23 0.09 0.15 -0.13 -0.03 0.15 -0.10 0.03 -0.01 0.09 -0.48 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Fungsi Autokorelasi 15 10 5 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Pa rt ia l A ut oc or re la tio n T PAC La g T PAC La g T PAC La g -0.38 0.23 -0.96 -1.36 -3.71 -0.05 0.03 -0.12 -0.18 -0.48 15 9 8 2 1

Fungsi Autokorelasi Parsial

(15)

PROSES CAMPURAN (ARMA(p,q))

Bentuk umum:

Z_t = ϕ₁Z_t-1 + … + ϕ_pZ_t-p + a_t + θ₁a_t-1 + … + θ_qa_t-q

Dapat juga ditulis : ϕ(B) Z_t = θ(B) a_t, syarat stasioneritas dan

invertibilitas adalah akar-akar ϕ(B) = 0 dan θ(B) = 0 terletak di luar lingkaran satuan.

Model ARMA dapat juga ditulis Z_t = Ψ(B) atau π(B) Z_t = a_t

Dimana Ψ(B) = ϕ-1_{(B) θ(B) dan π(B) = θ}-1_(B)ϕ_{(B) adalah deret}

takhingga dalam B. Sehingga dengan menyatakan model ARMA dalam bentuk AR saja atau MA saja kita akan mengharapkan fakp yang kurang terus menerus.

(16)

MODEL ARMA (1,1)



Bentuk umum : (1-

ϕB)Z

_t

= (1 + θB)a

_t



Syarat Stasioner dan invertibel :



-1 < ϕ < 1 dan -1 < θ < 1.



Untuk semua k berlaku:

γ

_k

= ϕγ

_k-1

+ γ

_az

(k) + θ γ

_az

(k-1)

Sehingga

γ

₀

= ϕγ

₁

+ σ

2 a

+ θ γ

az

(-1)

γ

₁

=ϕγ

₀

+ θ σ

2 a

Dan

γ

₀

= ϕγ

_k-1

, untuk k > 1

(17)

RUNTUN WAKTU NONSTASIONER



Penyebab : tidak memiliki mean yang tetap



Sifat nonstasioner tersebut bersifat homogen



RW nonstasioner homogen ditunjuk -kan oleh RW

selisih nilai-nilai yang berurutan adalah stasioner



Jenis Nonstasioner:

– Nonstasioner dalam tingkat, dengan model

ϕ(B) ∇Z

_t

=

θ(B) a

_t

– Nonstasioner dalam tingkat dan lerengan dengan model

ϕ(B) ∇

2

_{Zt =}

_{θ(B) a}

t

Jika kita tulis

∇

d

_{Zt = W}

t

, maka proses ARIMA (p,d,q) untuk {Z

t

}

merupakan proses ARMA(p,q) untuk {W

_t

} sehingga teori untuk

runtun waktu stasioner yang telah dibicarakan berlaku pula

untuk runtun waktu W

_t

.

(18)

Contoh Plot data RW Non Stasioner 100 80 60 40 20 310 300 290 280 270 Index run tun D 10 0 -10 C2

(19)

100 80 60 40 20 20 10 0 -10 -20 Index C3 Keterangan gambar:

a. Plot data RW asli (nonsationer- ditunjukkan oleh adanya trend) b. Plot data selisih pertama (sudah stasioner)

c. Plot data selisih kedua (stasioner dengan variansi yang lebih besar dari selisih pertama), artinya cukup dilakukan selisih pertama untuk membuatnya stasioner

(20)

Fak dan Fakp RW Nonstasioner(Data Asli) 25 15 5 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Au to co rr el at io n LBQ T Cor r La g LBQ T Cor r La g LBQ T Cor r La g LBQ T Cor r La g 419.10 418.91 418.23 416.80 414.17 410.63 407.15 405.21 403.99 403.26 402.80 402.53 402.53 402.38 401.25 398.64 394.09 387.89 376.54 357.63 330.65 295.79 256.97 212.21 157.36 86.22 -0.13 -0.25 -0.36 -0.49 -0.58 -0.58 -0.44 -0.35 -0.27 -0.21 -0.17 0.02 0.12 0.35 0.53 0.71 0.84 1.15 1.53 1.89 2.27 2.54 2.96 3.69 5.17 9.16 -0.04 -0.07 -0.10 -0.14 -0.16 -0.16 -0.12 -0.10 -0.07 -0.06 -0.05 0.00 0.03 0.10 0.15 0.19 0.23 0.31 0.40 0.48 0.55 0.58 0.63 0.70 0.80 0.89 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Fak RW asli 25 15 5 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Pa rti al A ut oc or re la tio n T P AC La g T P AC La g T P AC La g T P AC La g 0.01 0.42 0.55 0.96 1.36 -1.03 -0.05 -0.52 0.06 0.03 -0.99 1.81 -0.46 -1.03 -1.06 1.45 -0.36 -0.78 -1.22 -1.85 0.46 1.07 0.70 -1.09 0.79 9.16 0.00 0.04 0.05 0.09 0.13 -0.10 -0.00 -0.05 0.01 0.00 -0.10 0.17 -0.04 -0.10 -0.10 0.14 -0.04 -0.08 -0.12 -0.18 0.04 0.10 0.07 -0.11 0.08 0.89 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Fakp RW asli

(21)

25 15 5 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Au to co rr el at io n LBQ T Cor r La g LBQ T Cor r La g LBQ T Cor r La g LBQ T Cor r La g 33.78 28.12 28.05 27.82 27.46 27.45 22.10 21.86 21.69 21.14 20.92 18.33 15.37 12.93 12.72 12.71 12.23 10.17 9.90 9.54 5.44 4.18 4.07 3.18 2.65 2.61 1.69 -0.19 -0.35 -0.44 -0.07 -1.75 0.38 0.32 0.57 -0.36 -1.28 1.40 -1.30 0.38 0.10 0.59 -1.25 0.45 -0.53 1.85 1.04 -0.31 -0.89 -0.70 0.19 -1.59 0.20 -0.02 -0.04 -0.05 -0.01 -0.20 0.04 0.04 0.07 -0.04 -0.14 0.15 -0.14 0.04 0.01 0.06 -0.13 0.05 -0.06 0.19 0.10 -0.03 -0.09 -0.07 0.02 -0.15 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Fak RW Selisih Pertama

25 15 5 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Pa rt ia l A ut oc or re la tio n T P AC La g T P AC La g T P AC La g T P AC La g 1.32 -0.87 -0.87 0.45 -1.25 -1.90 0.67 0.67 -0.15 -0.71 -0.93 1.28 -2.05 -0.02 0.42 0.81 -0.80 0.45 -0.05 2.22 0.90 -0.68 -1.17 -0.71 -0.05 -1.59 0.13 -0.08 -0.08 0.04 -0.12 -0.18 0.07 0.07 -0.01 -0.07 -0.09 0.12 -0.20 -0.00 0.04 0.08 -0.08 0.04 -0.00 0.22 0.09 -0.07 -0.11 -0.07 -0.00 -0.15 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Fakp RW Selisih Pertama

(22)

25 15 5 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Au to co rr el at io n LBQ T Cor r La g LBQ T Cor r La g LBQ T Cor r La g LBQ T Cor r La g 82.98 75.92 74.85 74.85 74.79 73.32 68.53 67.08 67.06 66.63 66.63 63.06 55.05 49.86 48.89 48.74 47.35 44.29 42.49 39.65 37.17 37.12 37.00 36.88 36.78 35.45 1.50 -0.59 -0.03 -0.14 0.71 -1.31 0.73 -0.09 0.40 -0.02 -1.18 1.84 -1.52 0.66 -0.26 0.81 -1.22 0.95 -1.22 1.16 0.16 -0.26 -0.26 -0.24 0.88 -5.87 0.22 -0.09 -0.00 -0.02 0.10 -0.19 0.10 -0.01 0.06 -0.00 -0.17 0.25 -0.20 0.09 -0.04 0.11 -0.16 0.12 -0.16 0.15 0.02 -0.03 -0.03 -0.03 0.11 -0.57 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Fak RW Selisih ke-dua

25 15 5 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Pa rt ia l A ut oc or re la tio n T P AC La g T P AC La g T P AC La g T P AC La g 0.20 0.24 -1.16 -0.49 0.02 0.27 -1.69 -0.16 -1.41 -2.25 -3.32 -5.87 0.02 0.02 -0.11 -0.05 0.00 0.03 -0.16 -0.02 -0.14 -0.22 -0.32 -0.57 24 23 22 17 16 15 10 9 8 3 2 1

Fakp RW Selisih Ke-dua