Santosa Program Linear.pptx

(1)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 1

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Disusun Oleh:

Santosa

(2)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 2

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Setiap orang atau perusahaan pasti menginginkan keuntungan atau laba sebesar– besarnya dengan alokasi sumber yang terbatas. Sebagai contoh, sebuah perusahaan memproduksi dua model kapal pesiar.

Apersepsi

(3)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 3

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Standar Kompetensi :

Menyelesaikan masalah program linear.

Kompetensi Dasar :

1. Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel

2. Merancang model matematika dari masalah program linear

3. Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya

(4)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 4

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

1. Siswa dapat menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel

2. Siswa dapat merancang model matematika dari masalah program linear

3. Siswa dapat menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya

(5)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 5

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Sebelum membahas pengertian sistem pertidaksamaan linear dua variabel, perlu diingat kembali tentang pertidaksamaan linear.

Bentuk-bentuk pertidaksamaan linear : ax + by > c, ax + by < c, ax + by  c dan ax + by  c, a, b, c dan d

adalah konstanta dan x,y adalah variabel.

Daerah penyelesaian dari sebuah pertidaksamaan linear adalah daerah yang memuat nilai-nilai (x,y) yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Sistem Pertidaksamaan Linear

(6)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 6

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Perhatikan garis 3x + 5y = 15 di samping.

Nampak bahwa daerah pada diagram kartesius terbagi menjadi 2, yaitu daerah di atas garis dan daerah di bawah garis.

X Y

3

5

Jika kita substitusikan sembarang titik di bawah garis 3x + 5y = 15 ke ruas kiri persamaan tersebut (yaitu 3x + 5y), maka ternyata hasilnya kurang dari 15.

Contoh diambil titik O(0,0).

O(0,0)  3.0 + 5.0 = 0 < 15

Ini berarti, daerah di bawah garis 3x + 5y = 15 merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan 3x + 5y < 15, sebaliknya daerah di atas garis 3x + 5y = 15 merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan 3x + 5y

(7)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 7

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Cara singkat :

Misal terdapat garis ax + by = c

Jika b > 0 (positif)

• _{Daerah penyelesaian dari ax + by}__{c adalah}

daerah di atas garis

• _{Daerah penyelesaian dari ax + by}_{c adalah}

daerah di bawah garis

Jika b < 0 (negatif)

• _{Daerah penyelesaian dari ax + by}__{c adalah}

daerah di bawah garis

• _{Daerah penyelesaian dari ax + by}_{c adalah}

daerah di atas garis

(8)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 8

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Contoh :

Tunjukkan daerah penyelesaian (DP) pertidaksamaan 2x + 3y  6

sebagai daerah yang bersih (tanpa arsiran)!

Jawab :

X Y

2

Garis 2x + 3y = 6 melalui titik (3, 0) dan (0, 2)

2x + 3y = 6 X 0 3

y 2 0 (0, 2) (3, 0)

3

Daerah Himpunan Penyelesaian

(9)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 9

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Contoh :

Tunjukkan daerah penyelesaian (DP) pertidaksamaan 2x - 3y  6

sebagai daerah yang bersih (tanpa arsiran)!

Jawab :

X Y

-2 Garis 2x + 3y = 6 melalui

titik (3, 0) dan (0, -2)

2x - 3y = 6

X 0 3

y -2 0

(0, -2) (3, 0) 3

Daerah Himpunan Penyelesaian

(10)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 10

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Sistem pertidaksamaan linear yaitu sebuah sistem yang terdiri dari dua buah pertidaksamaan linear atau lebih.

Daerah himpunan penyelesaian dari sebuah sistem pertidaksamaan linear merupakan irisan dari daerah penyelesaian tiap pertidaksamaan yang membangunnya.

Contoh :

Tunjukkan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear x + y  6; x  2; y > 1

Jawab :

6 6

X Y

2 1

x + y = 6

x 0 6

Y 6 0

(0, 6) (6, 0)

HP

(11)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 11

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

4 3

3 4

X Y

Contoh :

Tunjukkan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear 4x + 3y  12; 3x + 4y  12; x  0; y  0

Jawab :

HP

(12)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 12

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Model Matematika

Contoh

Susi ingin membeli dua jenis jeruk, jeruk A dengan

harga Rp 6.000,00 per kg dan jeruk B dengan harga Rp 4.000,00 per kg. Ia hanya menyediakan uang Rp

50.000,00, sedangkan kapasitas keranjang yang ia bawa hanya 10 kg. Buatlah model matematika dari masalah ini!

Jawab :

6.000 x + 4.000 y < 50.000 atau 3x + 2y < 25 x + y < 10

x > 0; y > 0

Model matematika adalah suatu rumusan (dapat berupa persamaan, pertidaksamaan maupun fungsi) yang

diperoleh dari penafsiran seseorang ketika

menerjemahkan suatu masalah sehari-hari (masalah program linear) ke dalam bahasa matematika.

(13)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 13

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Jawab :

Contoh:

Sebuah biro transportasi menyediakan tidak lebih dari 100 mobil yang terdiri dari 2 jenis untuk mengangkut penumpang sebanyak 500 orang. Mobil jenis A dan B masing-masing hanya mampu mengangkut 4 orang dan 6 orang. Tentukan model matematika untuk masalah ini.

x + y < 100

4x + 6y > 500

x > 0, y > 0.

(14)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 14

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Fungsi obyektif atau fungsi sasaran atau fungsi tujuan adalah fungsi yang berbentuk f(x,y) = ax + by yang akan ditentukan nilai optimumnya (nilai maksimum atau nilai minimum) untuk (x,y) yang memenuhi syarat tertentu.

Contoh :

Seorang pedagang akan membeli sandal dan sepatu. Harga sepasang sandal Rp 15.000,00 dan harga sepasang sepatu Rp 30.000,00. Modal yang ia miliki Rp 600.000,00. Kiosnya hanya cukup menampung 30 pasang sandal dan sepatu. Jika keuntungan sepasang sandal Rp 4.000,00 dan sepatu Rp 5.000,00 dengan keadaan ini pedagang tersebut ingin mendapatkan keuntungan yang sebesar-besarnya. Tentukan model matematika permasalahan tersebut lengkap dengan fungsi obyektif yang menyatakan keuntungan

Fungsi Obyektif

(15)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 15

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Jawab :

Misal : banyaknya pasangan sandal = x banyaknya pasangan sepatu = y

Model matematika :

15.000x + 30.000y < 600.000 atau x + 2y < 40 x + y < 30

x > 0, y > 0

Fungsi obyektif f(x,y) = 4.000x + 5.000y

(Perhatikan bahwa fungsi f(x,y) = 4.000x + 5.000y menyatakan besar keuntungan yang diperoleh pedagang, yang nilainya tergantung dari banyak sandal dan sepatu yang ia jual)

(16)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 16

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Contoh :

Seorang pasien diharuskan mengkonsumsi vitamin A paling sedikit 1000 mg dan vitamin C paling sedikit 1250 mg tiap hari. Tersedia 2 jenis kapsul, kapsul jenis I mengandung 50 mg vitamin A dan 75 mg vitamin C. Kapsul jenis II mengandung 60 mg vitamin A dan 50 mg vitamin C. Jika harga 1 butir kapsul jenis I dan jenis II masing-masing adalag Rp 8.000,00 dan Rp 6.000,00 maka tentukan model matematika dari masalah ini!

Jawab :

Misal banyak kapsul jenis I = x dan banyak kapsul jenis II = y

Maka model matematika dari masalah ini adalah 50x + 60y > 1.000 atau 5x + 6y > 100

75x + 50y > 1250 atau 3x + 2y > 50 x > 0; y > 0

Fungsi obyektif f(x, y) = 8.000x + 6.000y

(Perhatikan bahwa fungsi obyektif f(x, y) = 8.000x + 6.000y menyatakan besar pengeluaran pasien tiap hari, yang tergantung dari banyak kedua kapsul yang ia

(17)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 17

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Untuk menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari fungsi obyektif, cara yang biasa digunakan adalah dengan uji titik pojok atau dengan garis selidik.

1). Uji Titik Pojok

Menentukan nilai optimum fungsi obyektif f(x, y) = ax + by dengan uji titik pojok dilakukan dengan cara menghitung nilai fungsi tersebut untuk setiap titik pojok (x, y) dari daerah himpunan penyelesaian.

2). Garis Selidik

Apabila suatu persoalan program linear dengan fungsi obyektif f(x, y) = ax + by akan diselesaikan menggunkan garis selidik, maka persamaan umum garis selidik tersebut adalah ax + by = k. Dengan menggeser-geser garis ini melintasi semua daerah himpunan penyelesaian menjauhi dan mendekati titik O(0, 0) akan diperoleh nilai-nilai k yang berbeda.

Nilai maksimum fungsi obyektif adalah nilai k garis selidik yang letaknya paling jauh dari titik O

Nilai minimum fungsi obyektif adalah nilai k garis selidik yang

(18)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 18

Apersep

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Contoh :

Seorang pedagang akan membeli sandal dan sepatu. Harga sepasang sandal Rp 15.000,00 dan harga sepasang sepatu Rp 30.000,00. Modal yang ia miliki Rp 600.000,00. Kiosnya hanya cukup menampung 30 pasang sandal dan sepatu. Jika keuntungan sepasang sandal Rp 4.000,00 dan sepatu Rp 5.000,00 maka tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.

Jawab :

Model matematika x + 2y < 40

x + y < 30 x > 0, y > 0

Fungsi obyektif f(x,y) = 4.000x +

5.000y _X

(30, 0) 120.000 (20, 10) 130.000 (0, 20) 100.000

Maksimum

(19)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 19

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Contoh :

Tentukan nilai minimum fungsi z = 5x + 3y dengan syarat

x + y > 4, x + 3y > 6, x > 0, y > 0.

Jawab :

Uji titik pojok

Titik (x,y) f(x,y) (6, 0) 30

(3, 1) 18 (0, 4) 12

Jadi nilai minimum fungsi z = 5x + 3y adalah 12, yang

dicapai di titik (0, 4).

(20)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 20

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Contoh :

Tentukan nilai maksimum dari Z = x + 3y pada daerah yang diarsir berikut

Garis selidik x + 3y = 0 melalui titik (0, 0) dan (3, -1)

x + y = 7

7x + 2y = 14

2x - 5y = 0

y = x + 1

X

Y

Maksimum

y = x + 1 x + y = 7

Diperoleh x = 3 dan y = 4 Sehingga nilai maksimum

Z = 3 + 3(4) = 15

(21)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 21

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Berikut ini disediakan 5 (lima) butir soal untuk menguji kompetensi dari materi yang telah Kalian

pelajari.

Selamat Mengerjakan…

(22)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 22

Apersep

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Daerah yang diarsir merupakan daerah himpunan penyelesaian sistem

pertidaksamaan A

Coba lagi.

SALAH

Coba lagi.

SALAH

Coba lagi.

(23)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 23

Apersep

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Luas suatu tempat parkir 200 m2. Untuk memarkirkan

mobil rata-rata diperlukan tempat seluas 10 m2 dan

untuk bus rata-rata 20 m2_{. Tempat parkir tersebut tidak}

dapat menampung lebih dari 12 mobil dan bus. Jika di tempat parkir itu akan diparkir x mobil dan y bus, maka x dan y harus memenuhi syarat ....

A

Lanjutkan.

Coba lagi.

SALAH

Coba lagi.

SALAH

Coba lagi.

E

(24)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 24

Apersep

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Sebuah biro transportasi menyediakan tidak lebih dari 100 mobil yang terdiri dari 2 jenis untuk mengangkut penumpang sebanyak 500 orang. Mobil jenis A dan B masing-masing hanya mampu mengang-kut 4 orang dan 6 orang. Model matematika untuk masalah ini adalah...

Lanjutkan.

Coba lagi.

SALAH

Coba lagi.

SALAH

Coba lagi.

E

(25)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 25

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Nilai minimum fungsi z = 2x + 5y dengan syarat x + 2y  6, 2x + y  6, x  0, y  0 adalah...

A

B

C

D 4

7

10

12

14

BAGUS

Lanjutkan.

Coba lagi.

SALAH

Coba lagi.

SALAH

Coba lagi.

E

(26)

• _{Click to edit Master text styles}

–

_{Second level}

• _{Third level}

–

Fourth level

»

Fifth level

10/23/18 26

Apersep

si

Apersep

si

SK/KD

Tujuan

Materi

Latihan

SMA Negeri 3 Surakarta

BAHA

N

AJAR

Sebuah pesawat mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg sedang tiap penumpang kelas ekonomi boleh membawa bagasi 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1.440 kg. Jika harga tiket kelas utama Rp 150.000,00 dan kelas ekonomi Rp 100.000,00. Agar diperoleh pendapatan maksimum, maka banyak penumpang kelas utama adalah … ._A

B

C

D

4

7

10

12

14

BAGUS

Lanjutkan.

Coba lagi.

SALAH

Coba lagi.

SALAH

Coba lagi.

E