MELVI MUCHLIAN Program Studi Magister Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,
email : [email protected]
Abstrak.MisalkanG= (V(G), E(G)) adalah suatu graf terhubung taktrivial. Definisi pewarnaanc :E(G)→ {1,2,· · ·, k}, k ∈N, dimana dua sisi yang bertetangga boleh berwarna sama. Suatu lintasan u−v path P diGdinamakanrainbow path jika tidak terdapat dua sisi di P yang berwarna sama. Graf G disebut rainbow connected jika setiap dua titik yang berbeda di G dihubungkan olehrainbow path. Pewarnaaan sisi yang menyebabkan G bersifat rainbow connected dikatakan rainbow coloring. Bilan-gan Rainbow connection dari graf terhubung G, ditulis rc(G), didefinisikan sebagai banyaknya warna minimal yang diperlukan untuk membuat grafGbersifatrainbow con-nected. Misalkanc adalahrainbow coloring dari graf terhubungG. Untuk dua titiku
danvdiG,rainbowu−vgeodesicpadaGadalahrainbowu−vpathyang panjangnya
d(u, v) dimana d(u, v) adalah jarak antarau danv (panjangu−vpath terpendek di (G). GrafGdikatakanstrongly rainbow connectedjikaGmemiliki suaturainbowu−v
geodesic untuk setiap dua titiku dan v diG.Minimum kyang terdapat pada pewar-naanc:E(G)→ {1,2,· · ·, k}sedemikian sehinggaGadalahstrongly rainbow connected dikatakan bilanganstrong rainbow connection,src(G), diG. Jadi,rc(G)≤src(G) un-tuk setiap graf terhubung diG. Pada paper ini akan diulas kembali tentang Bilangan Rainbow Connectionuntuk Beberapa GrafThorn.
Kata Kunci: BilanganRainbow Connection, grafThorn
.
1. Pendahuluan
Konsep rainbow connection dari suatu graf pertama kali diperkenalkan oleh Char-trand, Johns, McKeon dan Zhang [3] pada tahun 2008. MisalkanG= (V(G), E(G)) adalah suatu graf terhubung tak trivial. Definisi pewarnaan c : E(G) → {1,2,· · ·, k}, k∈N, dimana dua sisi yang bertetangga boleh berwarna sama. Suatu lintasanu−vpathP diGdinamakanrainbow pathjika tidak terdapat dua sisi diP yang berwarna sama. Graf Gdisebut rainbow connected jika setiap dua titik yang berbeda diGdihubungkan olehrainbow path.
Pewarnaaan sisi yang menyebabkan G bersifat rainbow connected dikatakan
rainbow coloring. Jelas jika G adalah rainbow connected, maka G terhubung. Se-baliknya, setiap graf terhubung memiliki pewarnaan sisi trivial sehingga G bersi-fat rainbow connected, yaitu setiap sisi diwarnai dengan warna berbeda. Bilangan
Rainbow connection dari graf terhubung G, ditulis rc(G), didefinisikan sebagai banyaknya warna minimal yang diperlukan untuk membuat graf G bersifat
bow connected. Suatu rainbow coloring yang menggunakan sebanyakrc(G) warna dikatakanminimum rainbow coloring.
Misalkancadalahrainbow coloringdari graf terhubungG. Untuk dua titikudan v diG,rainbow u−v geodesicpadaGadalahrainbow u−v path yang panjangnya d(u, v) dimanad(u, v) adalah jarak antaraudan v (panjangu−vpath terpendek di (G). GrafGdikatakanstrongly rainbow connected jikaGmemiliki suaturainbow
u−v geodesic untuk setiap dua titikudanv di G. Dalam kasus ini, pewarnaanc dikatakanstrong rainbow coloring diG. Minimumkyang terdapat pada pewarnaan c:E(G)→ {1,2,· · ·, k} sedemikian sehinggaGadalahstrongly rainbow connected
dikatakan bilanganstrong rainbow connectionataustrong rainbow connection num-ber, src(G), di G. Suatu strong rainbow coloring di G yang menggunakan src(G) warna dikatakan minimum strong rainbow coloring diG. Jadi,rc(G)≤src(G) un-tuk setiap graf terhubung diG [3]. Selanjutnya, jikaGadalah graf terhubung tak
trivial dengan ukuranmdandiam(G) = max{d(u, v)|u, v∈V(G)}, maka
diam(G)≤rc(G)≤src(G)≤m.
Pada paper ini akan dikaji tentang BilanganRainbow Connection untuk Beber-apa GrafThorn.
2. Bilangan Rainbow Connection
Berikut disajikan kembali propositionosisi yang membahas tentang graf G yang mempunyairc(G) dansrc(G) 1,2 danm.
Proposisi 2.1. [3]MisalkanGadalah suatu graf terhubung tak trivial yang beruku-ranm. Maka
(1) rc(G) =src(G) = 1jika dan hanya jikaGmerupakan graf lengkap, (2) rc(G) = 2jika dan hanya jikasrc(G) = 2, dan
(3) rc(G) =src(G) =m jika dan hanya jikaGsuatu graf pohon.
Proposisi 2.2. [3] Untuk setiap bilangan bulat positif n≥4,rc(Cn) =src(Cn) = ⌈n
2⌉.
Definisi 2.3. [7] Misalkan l1, l2,· · ·, ln adalah bilangan-bilangan bulat positif dan G adalah suatu graf dengan V(G) = {v1, v2,· · · , vn}. Thorn dari graf G, dengan
parameter l1, l2,· · ·, ln diperoleh dengan menghubungkan li titik baru berderajat 1
ke titik vi dari graf G(i∈1,· · ·, n).
Graf thorndari grafGdinotasikan denganG∗atauG∗(l1, l2,· · · , ln) jika masing-masing parameter ditentukan. Contoh graf thorn diperlihatkan pada Gambar 1.
Teorema berikut menyajikan bilanganrainbow connectionuntuk grafthorndari graf lengkap. Pada teorema berikut akan ditinjau graf thorn untuk setiap li ≥ n (i∈ {1,· · ·, n})
Teorema 2.4. [7]Untuk n≥1 danli≥n, berlaku
rc(Kn∗) =src(K
∗
n) = n
X
i=1
Gambar 1. GrafC∗
4(l1, l2,· · ·, l4).
Bukti. Perhatikan bahwa uij adalah thorn dari titik vi(i ∈ {1,· · ·, n}, j ∈ {1,· · ·, li}). Perhatikan Gambar 2.
Gambar 2. GrafK∗
4
Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwarc(K∗
n)≤
Pn
i=1li. Karena semuapath dariui1j1 keui2j2 perlu melalui sisiui1j1vi1, vi2ui2j2, ini jelas bahwa warna dari sisi viuij dimana (i∈ {1,· · ·, n}, j ∈ {1,· · ·, li}) haruslah berbeda. Dengan kata lain, ini merupakan syarat perlu untukrainbow connectivity suatu graf. Oleh karena itu, dalam pewarnaan ini warnai semua sisi thorn viuij dengan c(viuij) =j(i) dimana j(i), i∈ {1,· · · , n}, j∈ {1,· · · , li}terlebih dahulu sebagai kode pewarnaan dari sisi
graf.
Warnai sisi lain dengan cara berikut.
c(vivj) = (j+ 1)(i+1), untuki < j < n, i∈ {1,· · ·, n}, j∈ {1,· · ·, li}, c(vivn) = 1(i+1), untuki∈ {1,· · · , n},
c(vnv1) = 2(2).
Hal ini jelas bahwa lintasan dariui1j1vi1−vi1vi2−vi2ui2j2 dengan pewarnaan j1(i1)−(i2+ 1)(i1+1) −j2(i2) sedangkan ui1j1vi1 −vi1vn −vnunj2 dengan pewar-naan j1(i1)−1(i1+1)−j(n)
2 . j (n)
1 −2(2)−j (1)
2 adalah kode pewarnaan dari lintasan
unj1vn −vnv1 −v1u1j2. Semua lintasan dari graf memiliki warna yang berbeda. Dengan kata lain, setiap dua titik dari graf Kn∗ merupakan lintasan rainbow
con-necteddenganPn
dari Kn∗ sehingga dapat membuat graf Kn∗ rainbow connected. Ini berarti bahwa rc(K∗
n)≤
Pn
i=1li.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwarc(K∗
n)≥
Pn
i=1li. Asumsikan berlawanan sehingga rc(K∗ dariKn∗. Misalkan bahwaui1j1vi1 danvi2ui2j2 adalah dua sisi dengan warna yang sama, maka lintasan ui1j1−ui2j2 di Kn∗ bukanlah rainbow path. Ini menyebabkan kontradiksi, haruslah rc(K∗
Kemudian, akan ditunjukkan bahwa c rainbow coloring adalah strong rain-bow coloring. Karena ui1j1vi1 − vi1vi2 − vi2ui2j2 adalah lintasan dengan pan-jang d(ui1j1, ui2j2) antara ui1j1 dan ui2j2 di Kn∗, dimana i1, i2 ∈ {1,· · · , n} dan
i16=i2, j1∈ {1,· · · , li1}, j2∈ {1,· · ·, li2}, sehinggac rainbow coloring dapat
mem-buatKn∗ strongly rainbow connected. Jadi diperolehsrc(Kn∗)≤
Pn i=1li. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwasrc(K∗
n)≥
Pn
i=1li. Misalkan tanpa men-gurangi keumuman sehingga src(K∗
n) =
Pn
i=1li−1. Terdapat paling sedikit dua sisithornyang berwarna sama, makarainbow geodesicdari satuthorndengan yang lainnya tidak ada, sehingga ini kontradiksi. Oleh karena itu src(K∗
n) =
Berikut diberikan ilustrasi untuk graf thorn dari graf lengkap dengan n = 4, pada Gambar 3 terlihat bahwarc(K∗
4) =src(K4∗) = 16.
Gambar 3.rc(K∗
4) =src(K∗4) = 16
Teorema berikut menyajikan bilanganrainbow connectionuntuk grafthorndari graf lingkaran. Pada teorema berikut akan ditinjau graf thorn untuk setiapli≥n (i∈ {1,· · ·, n}).
Gambar 4. GrafC∗
Karena warna dari sisithorn harus berbeda, maka berlaku bahwarc(C∗
n)≤ ⌈ n
2⌉+
Pn i=1li.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa rc(C∗
n) ≥ ⌈n2⌉ + dapat paling sedikit dua sisi thorn dengan warna yang sama. Sebaliknya, jika c∗(viuij) =c(viuij) maka (⌈n2⌉+P
n
i=1li−1)-coloring dariCn∗memberikan⌈n2⌉ −1
warna yang berbeda sedangkan sisansisi dariCnbukanlah sebuahrainbow coloring. Karena itu, nyatakan sebagairc(C∗
n) =⌈ n
2⌉+
Pn i=1li. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa src(C∗
n) = ⌈n2⌉ +
Pn
i=1li. Karena diam(Cn) = ⌈n2⌉ dan pewarnaan dari sisi thorn haruslah berbeda, maka da-pat simpulkan bahwa src(C∗
n) ≤ ⌈n2⌉+
Pn
i=1li. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa src(C∗ Asumsikan bahwa c1(e
i) =c(ei) maka terdapat paling sedikit dua sisi thorn den-gan warna yang sama. Asumsikan bahwa c1(uij) =c(umn)(i6=m∈ {1,2,· · · , n}), maka tidak terdapat uijvi−vmumn geodesic padaCn∗. Similar untuk pembuktian dari bilangan rainbow connection, asumsikan bahwa c1(viuij) = c(viuij) maka ini
Berikut diberikan ilustrasi untuk graf thorn dari graf lingkaran dengann= 4, pada Gambar 5 terlihat bahwarc(C∗
4) =src(C4∗) = 18.
Gambar 5. GrafC∗
4.
Teorema 2.6. ♦Untuk n≥2 danli≥2n, berlaku
rc(Bn∗) =src(B
∗
n) = 3 +
2n
X
i=1
li.
Bukti. Perhatikan bahwa uij adalah thorn dari titik vi(i ∈ {1,· · · ,2n}, j ∈ {1,· · ·, li}). Perhatikan Gambar 6.
Gambar 6. GrafB∗
4.
Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwarc(B∗
n)≤3 +
P2n
i=1li. Karena semua
path dari ui1j1 ke ui8j2 perlu melalui sisi ui1j1vi1, vi8ui8j2, ini jelas bahwa warna dari sisi viuij dimana (i∈ {1,· · ·,2n}, j ∈ {1,· · · , li}) haruslah berbeda. Dengan kata lain, ini merupakan syarat perlu untuk rainbow connectivity suatu graf. Oleh karena itu, dalam pewarnaan ini warnai semua sisithornviuijdenganc(viuij) =j(i) dimanaj(i), i∈ {1,· · · ,2n}, j∈ {1,· · ·, li}terlebih dahulu sebagai kode pewarnaan
dari sisi graf.
Warnai sisi lain dengan cara berikut:
c(e) =
1, jika e∈(K1
n), 2, jika e∈(K2
n),
3, jika eadalah sebuah bridge
Hal ini jelas bahwa lintasan dariui1j1vi1−vi1vi4−vi4vi5−vi5vi8−vi8ui8j2dengan pewarnaanj1(i1)−1−3−2−j2(i8)sedangkanui1j1vi1−vi1vi4−vi4vi5−vi5vi6−vi6ui6j8 dengan pewarnaanj1(i1)−1−3−2−j
(i6)
Ini menyebabkan kontradiksi, sehingga haruslah rc(B∗
n)≥3 + i=1li selanjutnya diperoleh bahwarc(B∗
n) = 3 +
P2n
i=1li.
Kemudian, akan ditunjukkan bahwa c rainbow coloring adalah strong rainbow coloring. Karenaui1j1vi1 −vi1vi4−vi4vi5−vi5vi8 −vi8ui8j2 adalah lintasan den-gan panjang d(ui1j1, ui8j2) antara ui1j1 dan ui8j2 di Bn∗, dimana i1, i4, , i5, i8 ∈
{1,· · ·,2n} dan i1 =6 i4 6= i5 6= i8, j1 ∈ {1,· · ·, li1}, j2 ∈ {1,· · · , li8}, sehingga
c rainbow coloring dapat membuat B∗
n strongly rainbow connected. Dengan kata lainsrc(B∗
n)≤3 +
P2n
i=1li.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa rc(B∗
n) ≥ 3 +
P2n
i=1li. Misalkan tanpa mengurangi keumuman sehinggasrc(B∗
n) = 3 +
P2n
i=1li−1. Terdapat paling sedikit dua sisithorn yang berwarna sama, makarainbow geodesic dari satuthorn dengan yang lainnya tidak ada, sehingga ini kontradiksi. Oleh karena itu src(B∗
n) = 3 +
P2n
i=1li.
Akibatnya, karena rc(B∗
n) = 3 +
P2n
i=1li dan src(Bn∗) = 3 +
P2n
i=1li maka rc(B∗
n) =src(B∗n) = 3 +
P2n
i=1li.
Berikut diberikan ilustrasi untuk grafthorndari graf barbel dengann= 3, pada Gambar 7 terlihat bahwarc(B∗
3) =src(B3∗) = 39.
Gambar 7. GrafB∗
3.
Teorema 2.7. ♦Untuk n≥1,m≥2 danli≥n+m, berlaku
rc(L∗m,n) =src(L
∗
m,n) = (n+ 1) + n+m
X
i=1
li
Bukti. Perhatikan bahwa uij adalah thorn dari titik vi(i ∈ {1,· · ·, m}, j ∈ {1,· · ·, li}) dan wij adalah thorn dari sisi xi(i∈ {1,· · ·, n}, j ∈ {1,· · ·, li}). Per-hatikan Gambar ??.
Gambar 8. GrafL∗
5,3.
Misalkan v1, v2,· · ·, vm adalah himpunan titik-titik dari graf lengkap Km dan x1, x2,· · ·, xn adalah himpunan titik-titik dari graf lintasanPn. Misalkan titikvm dibuat berdekatan denganx1 pada grafL∗m,n. Sedemikian sehingga ada tepat satu
path connecting dari titikxn danvmdengan panjang (n−1) + 1 =n. Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwarc(L∗
m,n)≤(n+ 1) +
Pn+m
i=1 li. Karena semua path dariui1j1 ke wi3j2 perlu melalui sisi ui1j1vi1, xi3wi3j2, ini jelas bahwa warna dari sisi viuij dimana (i ∈ {1,· · ·, m}, j ∈ {1,· · ·, li}) dan sisi xiwij di-mana (i ∈ {1,· · · , n}, j ∈ {1,· · · , li}) haruslah berbeda. Dengan kata lain, ini merupakan syarat perlu untuk rainbow connectivity suatu graf. Oleh karena itu, dalam pewarnaan ini warnai semua sisi thorn viuij dengan c(viuij) =j(i) dimana j(i), i∈ {1,· · ·, m}, j∈ {1,· · · , li} dan sisithorn x
iwij dengan c(xiwij) =j(i) di-mana j(i), i ∈ {1,· · · , n}, j ∈ {1,· · ·, li} terlebih dahulu sebagai kode pewarnaan
dari sisi graf.
Warnai sisi lain dengan cara berikut:
c(e) =
n−1, untuk e∈(Pn), n+ 1, untuk e∈(Km),
n, untuk eadalah sebuah bridge
Hal ini jelas bahwa lintasan dariui1j1vi1−vi1vi5−vi5xi1−xi1xi2−xi2xi3−xi3wi3j2 dengan pewarnaanj1(i1)−4−3−2−1−j2(i3)sedangkanui2j1vi2−vi2vi5−vi5xi1− xi1xi2 −xi2xi3−xi3wi3j3 dengan pewarnaan j
(i2)
1 −4−3−2−1−j (i3)
3 . Semua
lintasan dari graf memiliki warna yang berbeda. Dengan kata lain, setiap dua titik dari graf L∗m,n merupakan lintasan rainbow connected dengan (n+ 1) +
(n+ 1) +Pn+m
i=1 li, selanjutnya diperoleh bahwarc(L∗m,n) = (n+ 1) +
Pn+m i=1 li. Kemudian, akan ditunjukkan bahwa c rainbow coloring adalah strong rain-bow coloring. Karena ui1j1vi1−vi1vi5−vi5xi1−xi1xi2−xi2xi3 −xi3wi3j2 adalah lintasan dengan panjang d(ui1j1, wi3j2) antara ui1j1 dan wi3j2 di L∗m,n, dimana i1, i5 ∈ {1,· · ·, m} dan i1 6= i5, i1, i2, i3 ∈ {1,· · ·, n} dan i1 6= i2 6= i3,
j1 ∈ {1,· · ·, li1}, j2 ∈ {1,· · ·, li3}, sehingga c rainbow coloring dapat membuat
L∗m,nstrongly rainbow connected. Dengan kata lainsrc(L∗m,n)≤(n+ 1) +
Pn+m
i=1 li. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwasrc(L∗
m,n)≥(n+ 1) +
Pn+m
i=1 li. Misalkan tanpa mengurangi keumuman sehinggasrc(L∗
m,n) = (n+1)+
Pn+m
i=1 li−1. Terdapat paling sedikit dua sisithorn yang berwarna sama, makarainbow geodesic dari satu
thorn dengan yang lainnya tidak ada, sehingga ini kontradiksi. Oleh karena itu src(L∗
m,n) = (n+ 1) +
Pn+m
i=1 li. Akibatnya, karenarc(L∗
m,n) = (n+ 1) +
Pn+m
i=1 li dan src(L∗m,n) = (n+ 1) +
Pn+m
i=1 li makarc(L∗m,n) =src(L∗m,n) = (n+ 1) +
Pn+m
i=1 li.
Berikut diberikan ilustrasi untuk grafthorndari graf lolipop denganm= 3, n= 2, pada Gambar 9 terlihat bahwarc(L∗
3,2) =src(L∗3,2) = 28.
Gambar 9. GrafL∗
3,2
Teorema 2.8. ♦Untuk n≥1,m≥3 danli≥n+m, berlaku
rc(Tm,n∗ ) =src(T
∗
m,n) =⌈ m
2⌉+n+ n+m
X
i=1
li
Bukti. Perhatikan bahwa uij adalah thorn dari titik vi(i ∈ {1,· · ·, m}, j ∈ {1,· · ·, li}) dan wij adalah thorn dari sisi xi(i∈ {1,· · ·, n}, j ∈ {1,· · ·, li}). Per-hatikan Gambar 10.
Gambar 10. GrafT∗
6,3.
Misalkanv1, v2,· · ·, vmadalah himpunan titik-titik dari graf lingkaranCm dan x1, x2,· · ·, xn adalah himpunan titik-titik dari graf lintasanPn. Misalkan titikvm dibuat berdekatan denganx1pada grafTm,n∗ . Makax1−x2− · · · −xn−vmadalah
path dengan panjang n pada graf Tm,n∗ . Sedemikian sehingga ada tepat satu path antaravm danx1.
Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwarc(T∗
m,n)≤ ⌈ m
2⌉+n+
Pn+m
i=1 li. Karena semua path dariui3j1 ke wi3j2 perlu melalui sisi ui3j1vi3, xi3wi3j2, ini jelas bahwa warna dari sisi viuij dimana (i ∈ {1,· · ·, m}, j ∈ {1,· · ·, li}) dan sisi xiwij di-mana (i ∈ {1,· · · , n}, j ∈ {1,· · · , li}) haruslah berbeda. Dengan kata lain, ini merupakan syarat perlu untuk rainbow connectivity suatu graf. Oleh karena itu, dalam pewarnaan ini warnai semua sisi thorn viuij dengan c(viuij) =j(i) dimana j(i), i∈ {1,· · ·, m}, j∈ {1,· · · , li} dan sisithorn x
iwij dengan c(xiwij) =j(i) di-mana j(i), i ∈ {1,· · · , n}, j ∈ {1,· · ·, li} terlebih dahulu sebagai kode pewarnaan
dari sisi graf.
Warnai sisi lain dengan cara berikut:
c(e) =
n−1, untuk e∈(Pn),
n, untuk eadalah sebuah bridge
Warnaipathvm−v1−v2−· · ·−v⌈m
2⌉dengan pewarnaann+1, n+2,· · · , n+⌈ m
2⌉
dan warnai sisipathvm−vm−1−vm−2− · · · −v⌈m
2⌉ dengan pewarnaann+⌈ m
2⌉, n+
⌈m
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa rc(Tm,n∗ ) ≥ ⌈m2⌉+n+
Pn+m
i=1 li. Asum-sikan berlawanan sehinggarc(T∗
m,n)≤ ⌈ xi3wi3j2adalah dua sisi dengan warna yang sama, maka lintasanui3j1−wi3j2diTm,n∗ bukanlahrainbow path. Ini menyebabkan kontradiksi, sehingga haruslahrc(T∗
m,n)≥ Kemudian, akan ditunjukkan bahwa c rainbow coloring adalah strong rainbow coloring. Karenaui3j1vi3−vi3vi2−vi2vi1−vi1vi6−vi6xi1−xi1xi2−xi2xi3−xi3wi3j2 adalah lintasan dengan panjang d(ui3j1, wi3j2) antara ui3j1 dan wi3j2 di Tm,n∗ , di-mana i1, i2, i3, i6 ∈ {1,· · ·, m} dan i1 6= i2 6= i3 6= i6, i1, i2, i4 ∈ {1,· · ·, n} dan
i1 6= i2 6= i3, j1 ∈ {1,· · · , li3}, j2 ∈ {1,· · ·, li3}, sehingga c rainbow coloring
dapat membuat T∗
m,n strongly rainbow connected. Dengan kata lain src(Tm,n∗ ) ≤ ⌈m
2⌉+n+
Pn+m i=1 li.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwasrc(T∗
m,n)>⌈m2⌉+n+
Pn+m
i=1 li. Misalkan tanpa mengurangi keumuman sehinggasrc(T∗
m,n) =⌈m2⌉+n+
Pn+m
i=1 li−1. Terdapat paling sedikit dua sisithorn yang berwarna sama, makarainbow geodesic dari satu
thorn dengan yang lainnya tidak ada, sehingga ini kontradiksi. Oleh karena itu src(T∗
Berikut diberikan ilustrasi untuk grafthorndari graftadpoledenganm= 3, n= 2, pada Gambar 11 terlihat bahwarc(T∗
3,2) =src(T3∗,2) = 28.
Gambar 11. GrafT∗
3. Kesimpulan
Pada tulisan ini telah diperoleh bilanganrainbow connection untuk grafthorn dari graf lengkap dan graf lingkaran. Selanjutnya diperoleh bilanganrainbow connection
untuk grafthorn dari graf barbel, graf lolipop, dan graftadpole.
4. Ucapan Terima Kasih
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Prof. Dr. Syafrizal Sy, Bapak Dr. Muhafzan yang telah memberikan masukan dan saran, sehingga tulisan ini dapat diselesaikan dengan baik. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Lyra Yulianti, Bapak Dr. Admi Nazra, Bapak Dr. Jenizon sehingga paper ini dapat dipublikasikan.
Daftar Pustaka
[1] Bondy, J.A. dan U.S.R. Murty. 2008.Graph Theory. Graduated Texts In Math-ematics. Springer. New York.
[2] Chartrand, G. dan P. Zhang, 2005.Introduction to Graph Theory, McGraw-Hill International Editions, Singapore.
[3] Chartrand, G. dkk, 2008. Rainbow Connection in Graphs, Math. Bohem. 133: 85 – 98.
[4] Diestel, R. 2005.Graph Theory. Electronic Edition 3. New York.
[5] Ericksen, A. 2007. Graduating Engineer & Computer Careers. A Matter of se-curity, 24-28.
[6] Li, X. dan Y. Sun. 2012. Rainbow Connections of Graphs. Springer Briefs in Mathematics. Springer. New York.
[7] Liu, Y. dan Z. Wang. 2014. Rainbow Connection Number of the Thorn Graphs.
