Bahan ajar 5 Nilai Sentral

PENGUKURAN NILAI SENTRAL/PUSAT

Nilai tunggal yang mewakili (representatif) bagi seluruh nilai dalam data dianggap sebagai

rata-rata (averages).

Nilai rata-rata umumnya cenderung terletak ditengah dalam suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai. Jadi keseluruhan nilai yang ada dalam data diurutkan besarnya dan selanjutnya nilai rata-rata dimasukan kedalamnya, maka nilai rata-rata tersebut mempunyai tendensi (kecenderungan) terletak diurutan paling tengah atau pusat.

Maka nilai rata-rata sering disebut sebagai ukuran kecenderungan memusat (measures of central tendency).

Beberapa jenis rata-rata yang sering digunakan :

1. Rata-rata hitung (Mean) : X

2. Median : Md

3. Modus : Mod

4. Rata-rata Ukur (geometric mean) : Gm.

5. Rata-rata Harmonis : Rh.

1. Rata-rata Hitung

Rata-rata hitung (mean) :

merupakan jumlah nilai seluruh data dibagi dengan

jumlah data.

Mean populasi diberi simbol

_

(miyu)

Mean sampel diberi simbol

x (eks bar)

n

Xn X

X

X  1 2....

n Xi X

n

i



i

= nomor data, dengan nilai 1 sampai n

x

= merupakan nilai data

n

= jumlah data (sample size)

Contoh : Perusahaan pembuat lampu pijar PT. Jelas Terang pada tahun 2004 telah berhasil memproduksi lampu sebanyak 50.000 buah. Untuk memperoleh informasi teknis tentang umur rata-rata bola lampu pijak tersebut, maka diambil sampel sebanyak 5 buah bola lampu untuk ditest. Dari 5 buah lampu tersebut, didapatkan umur masing-masing bola lampu : 967, 949, 940, 952 dan 922 jam.

Maka umur rata-rata bola lampu (dari sampel) adalah :

946

Jika sampel tersebut dianggap dapat mewakili populasi maka umur rata-rata bola lampu (untuk 50.000 buah) diduga mendekati 946 jam. atau  = 946 jam

Apabila data disajikan dalam bentuk tabel frekwensi, dimana X1 mempunyai frekwensi f1 kali, X2 mempunyai frekwensi f2 kali dan seterusnya hingga Xn mempunyai frekwensi fn

kali, maka rumus rata-ratanya

:



f

= frekwensi (keseringan terjadi)

x

= nilai data

Contoh : Didapatkan data sebagai berikut :

6, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 10, 10, 10,10.

diketahui nilai rata-rata dan jumlah datanya, maka “

mean

” dari seluruh kumpulan

data dapat dicari langsung dengan cara :

n

1

. X

1

+ n

2

. X

2

+ .. + n

k

X

k

k

= Jumlah kelompok data

ni

= jumlah data pada kelompok ke i

Xi

= mean kelompok ke i

Contoh : Berikut ini disajikan data tentang harga beras rata-rata pada 5 kelompok

pasar di propinsi X seperti pada tabel berikut ini :

Tabel 1. Harga beras rata-rata pada 5 kelompok pasar di propinsi X pada bulan

Desember 1990.

Kelompok

A

B

C

D

E

15

10

8

24

20

320

300

290

310

295

n

1

.X

1

+ n

2

. X

2

+ n

3

.X

3

+ n

4

.X

4

+ n

5

.X

5

X =

n

1

+ n

2

+ n

3

+ + n

4

+ n

5

15.320 + 10.300 + 8.290 + 24.310

+ 20.295

X =

15 + 10 + 8

+ 24 + 20

RATA-RATA HITUNG GRUPED DATA

Grouped data

atau data yang telah dikelompokan ialah data yang telah

mengalami penyederhanaan dalam bentuk distribusi frekwensi.

m

1

. f

1

+ m

2

. f

2

+ . . + m

k

. f

k

X =

f

1

+ f

2

+ . . + n

k





 

k

i i k

i i i

f f m X

1 1

X = rata-rata hitung (mean)

m = titik tengah interval kelas (class mark)

f = frekwensi

i = nomor kelas dari 1 s/d k

Contoh

Tabel. Perhitungan Rata-rata hitung data yang dikelompokan

Hasil Ujian

Jumlah

50

2695



Metode Short Cut

Pada dasarnya menghitung rata-rata hitung dengan metode short cut adalah merubah skala titik tengah (class mark) suatu kelas dengan sebuah skala baru yaitu

skala U

yang bernilai kecil dan bulat

= 0,



1,



2,



3

dan selanjutnya skala U ini juga disebut penyeimbangan nomer interval kelas.

Langkah-langkah pengunaan metode short cut.

1. Menentukan letak pusat skala U (skala U = 0)

Pusat skala U (U=0) diletakan pada titik tengah (class mark) dari kelas yang

memiliki frekwensi yang terbesar, atau kadang-kadang diletakan pada class

mark dari kelas yang memiliki urutan tengah.

3. Menghitung titik tengah suatu kelas yang dianggap sebagai nilai rata-rata

(Xo).

Nilai rata-rata ini (Xo) letaknya sebaris dengan skala

U = 0

.

4. Menghitung faktor koreksi yang akan membuat rata-rata yang

diasumsikan (dianggap) menjadi sama dengan rata-rata yang diperoleh

dari metode langsung

.

Rumus perhitungan rata-rata hitung dengan Metode Short Cut

adalah :

Xo

= rata-rata hitung yang diasumsikan

Ui

= nilai skala U kelas i

fi

= frekwensi kelas i

i

= internval kelas



= notasi penjumlahan

Tabel. Perhitungan rata-rata hitung dengan Metode Short Cut

Nomor

Median

adalah suatu ukuran pemusatan yang menempati posisi tengah jika data

diurutkan menurut besarnya. Median ini merupakan rata-rata ditinjau dari segi

kedudukannya dalam urutan data (positional avarage).

1.

Data yang

tidak dikelompokan

1.1.

Jika jumlah data tidak merupakan kelipatan 2.

Maka nilai median adalah sama dengan nilai data yang memiliki urutan tengah atau data yang bernomor urut k

n + 1

k =

2

n

= jumlah data

k

= nomor urut data

Contoh :

Didapat kumpulan data sebagai berikut :

6, 17, 13, 3, 10, 7, 9

Maka mediannya dapat dicari sebagai berikut :

3, 6, 7

, 9 ,

10, 13, 17

k

selanjutnya dapat dicari sebagai berikut :

n + 1

7 + 1

k =

=

= 4

2

2

Jadi nilai mediannya sama dengan nilai data yang memiliki urutan data yang ke – 4, y.i = 9

1.2.

Jika jumlah data merupakan kelipatan 2

Maka

k

merupakan bilangan rasional pecahan, yang didapat dari rumus:

n + 1

k =

Sedangkan nilai mediannya merupakan rata-rata nilai data yang bernomor urut paling dekat dengan k. Rumus mediannya adalah :

n

a

+ n

b

Md =

2

n

a

& n

b adalah nilai suku yang dekat dengan

k.

Contoh :

Didapatkan kumpulan data sebagai berikut :

4, 8, 7, 15, 12, 13.

Maka mediannya dapat dicari sebagai berikut :

4, 7, 8, 12, 13, 15

data tersebut

n

–

nya

=

6

(

kelipatan 2

)

maka k = n + 1 = 6 + 1 = 3,5

2

2

Data yang paling dekat dengan

k

adalah :

Data ke – 3 ke ke – 4 dan berturut-turut memiliki nilai 8 dan 12.

Md = 8 + 12 = 10

 merupakan nilai rata-rata dari dua nilai yang ada

2

ditengah.

2. Data yang dikelompokan (Grouped Data)

Median Grouped data merupakan sebuah nilai yang membagi seluruh luas histogram frekwensi menjadi dua bagian yang sama besar.

Perhitungan Media data yang telah dikelompokan.

Kelas median terletak pada kelas yang pertama kali mempunyai frekwensi kumulatif dari atas sama dengan atau melebihi n/2.

2. Mencari nilai median (Md) dengan rumus :

Md = T

B

+ (n/2) – F x i

F

m

T

B

= tepi kelas bawah dari kelas yang memuat median

n = jumlah frekwensi/banyaknya observasi

F = Frekwensi kumulatif “dari atas” pada klas sebelum klas median.

F

m

= Frekwensi klas median

i = Interval klas median

Tabel. Perhitungan Median Grouped Data

Hasil

Ujian

Mahasiswa

Banyaknya

Frekwensi kumulatif

kurang dari

20 – 29

30 – 39

40 – 49

50 – 59

60 – 69

70 – 79

80 – 89

4

7

8

12

9

8

2

4

11

19

31

40

48

50

50

Md = 49,5 + 50/2) – 19 x 10 = 54,5

12

Perhitungan median dapat juga didasarkan pada tepi kelas atas (upper class boundary) dengan rumus :

F

m

TA = tepi kelas atas (upper class boundary)

n = jumlah frekwensi/banyaknya observasi

Fm = frekwensi kumulatif kurang dari pada klas sebelum klas median

i = interval kela

Md = 59,5 – (50/2) – 19 x 10

12

MODUS (Mod)

Modus atau mode

adalah nilai dari observasi atau pengamatan yang memiliki frekwensi tertinggi.

Nilai observasi yang memiliki 2 modus disebut Bimodal, dan lebih dari 2 disebut “Multi Modal”.

1. Modus data yang tidak dikelompokan.

Diketahui sekumpulan data sebagai berikut :

3, 5, 8, 2, 9, 10, 10, 9, 9, 11, 12, 18, 18, 9.

Penyelesaian : dibuat tabel frekwensi

Penyelesaian : dibuat tabel frekwensi

X

Y

3

5

8

9

10

11

12

18

2

1

1

4

2

1

1

2

2. Data yang dikelompokan

i S S

S T

Mod _B .

2 1

1    

 

  

TB = tepi kelas bawah dari kelas modus i = interval kelas

S1 = Selisih frekwensi kelas modus dengan frekwensi klas sebelumnya. S2 = Selisih frekwensi kelas modus dengan frekwensi klas sesudahnya.

Tebel. Distribusi frekwensi hasil ujian

Hasil Ujian

Jumlah Mahasiswa

20 – 29

Perhitungan modus dapat juga didasarkan pada tepi klas atas (TA) dengan rumus sebagai berikut :

Perbandingan antara rata-rata hitung, Median & Modus

1. Jika distribusi frekwensi mempunyai kurva yang simetris sempurna, maka letak

rata-rata hitung (X), median (Med) dan modus (Mod) adalah sama.

2. Jika distribusi frekwensi mempunyai kurva menceng kekanan, maka nilai

rata-rata hitung (X) paling besar, diikuti dengan median (Md), kemudian modus

(Mod) sebagai berikut :

3. Apabila distribusi frekwensi kurvanya menceng kekiri maka nilai rata-rata (X)

paling kecil, diikuti median (Md), kemudian modus (Mod) sebagai berikut :

Rata-rata ukur dan Rata-rata Harmonis

Dalam bidang bisnis dan ekonomi seringkali diperlukan informasi tentang tingkat perubahan (rate of change) atau pengrata-rataan rasio.

Misalnya rata-rata persentase tingkat perubahan hasil penjualan, produksi, harga, pendapatan nasional selama 10 tahun yang lalu.

Cara menghitung rata-rata ukur secara sederhana dari serangkaian nilai observasi X1, X2, ..., Xn dirumuskan sebagai berikut :

n

Gm = X1 . X2 . . . Xn

R

ata-rata ukur suatu kelompok nilai X1, X2, X3 . ., Xn merupakan akar pangkat n dari hasil kali masing-masing nilai dari kelompok tersebut.

Untuk mencari rata-rata ukur dapat juga digunakan rumus :

n



log X

i

log Gm = i = 1

n

atau

n



log X

i

Gm

= antolog i = 1

N

Diketahui serangkaian nilai observasi sebagai berikut :

10, 8, 12, 15

Berapa rata-rata hitungnya ?

4

Gm = X1 . X2. X3 . X4

4

4

= 10,95

atau dapat dihitung dengan jalan sebagai berikut :

log Gm = ¼ (log 10 + log 8 + log 12 + log 15)

= ¼ (1 + 0,9031 + 1,0792 + 1,1761)

= ¼ (4,1584) = 1,0396

Gm = antilog 1,0396 = 10,95

Hubungan antara Rata-rata Ukur dan Bunga Majemuk

Rumus bunga majemuk (Compound Interest) :

Pn = P

0

(1 + r)

n

P

0

= Jumlah uang permulaan

r

= tingkat bunga (rate of interest)

n

= banyaknya waktu

Pn

= jumlah akumulasi pada akhir tahun ke – n (

end of n period

)

Jika tingkat bunga berubah dari waktu ke waktu yaitu, r1, r2, ..,rn, maka jumlah akumulasi

uang pada akhir tahun ke – n

:

Pn = P

0

(1 + r

1

) (1 + r

2

) ... (1 + r

n

)

Hubungan antara Gm dengan bunga majemuk dapat diuraikan sebagai berikut :

Pn = P

0

(1 + r)

n

Pn = P

0

(1 + r

1

) (1 + r

2

) .. (1 + r

n

)

P

0

= (1 + r)

n

= P

0

(1+r

1

) (1 + r

2

) .. (1 + r

n

)

(1 + r)

n

_{= (1+r}

1

) (1 + r

2

) .. (1 + r

n

)

n n

(1 + r)

n

₌

_{(1 + r)}

n

_{= (1+r}

1

) (1 + r

2

) .. (1 + r

n

)

Jadi (1 + r ) = merupakan rata-rata ukur dari (1+r

1

) (1 + r

2

) .. (1 + r

n

)

Jika jumlah uang pada permulaan tahun P0 = 100.000,- dan dibungakan dengan tingkat

bunga r = 3% maka jumlah uang pada akhir tahun pertama

P

1

= 100.000 (1+0,03) =

P

I

103

1 + r

1

= ---- = --- = 1,03

P

0

100

Jadi nilai-nilai

(1+r

1

) (1 + r

2

) .. (1 + r

n

)

menunjukan hubungan relatif antara nilai P

dengan nilai P sebelumnya.

P

1

(103.000) adalah 3% > P

0

(100.000)

Angka (1 + r)

merupakan rata-rata relatif (average relative), dan angka

r

merupakan rata-rata persentase tingkat perubahan per periode waktu.

Untuk

menghitung r

dapat digunakan rumus

n n

p P

r 1

0

 

Contoh :

Diketahui tingkat produksi barang A mempunyai kenaikan sebesar 25% dari tahun pertama ke tahun kedua, selanjutnya 40% dari tahun kedua ke tahun ketiga. Produksi mula-mula = 100 ton.

Hitung rata-rata tingkat kenaikan (average rate of increase) selama 2 tahun tersebut.

n n

p P

r 1

0

Pn = P

0

(1 + r

1

) (1 + r

2

) .. (1 + r

n

)

P

2

= P

0

(1 + r

1

) (1 + r

2

)

P

2

= 100 (1 + 0,25) (1 + 0,4)

= 125 (1,4) = 175

P

0

= 100

175



r

= - 1 = 1,323 ( 32, 3%)

100

atau

n

1 + r = (1+r

1

) (1 + r

2

) .. (1 + r

n

)

n

1 + r = (1+0,25) (1 + 0,4) = 1,75

r = 1,75 – 1 = 0,323 (32,3%)

Jadi rata-rata tingkat kenaikan r = 32,3%.

Jadi dapat disimpulkan, bahwa rata-rata tingkat perubahan sebesar r diperoleh dengan menggunakan rumus rata-rata ukur, yang merupakan tingkat bunga didalam rumus bunga majemuk (compound interest).

Contoh :

Pendapatan Nasional (National Income) suatu negara pada tahun 1988 sebesar 400 milyar dan tahun 1992 menjadi 600 milyar selama 4 tahun berapa besarnya rata-rata tingkat pertumbuhan ?

n = 4

600 = 400 (1 + r )

4

600

4 600

(1 + r)

4

₌



r =

-1 = 1,105 – 1 = 0,107

400

400

atau

4 600

4

P =

= 6/4 = ( 6/4 )

1/4

400

log P = ¼ log 6/4 = ¼ (log 6 – log 4)

= ¼ (0,778 – 0,002) = 0,176/4 = 0,044

P

= 1,107



r = 1,107 –1 = 0,107

Jadi rata-rata tingkat pertumbuhan pendapatan nasional selama 4 tahun = 0,107 =

10,7%

Rata-rata ukur data yang dikelompokan

Apabila sebuah distribusi frekwensi mempunyai nilai-nilai titik tengah (class mark) m1, m2, . ., mk dengan frekwensi masing-masing f1, f2, . ., fk, maka rata-rata ukurnya dapat dicari dengan rumus :

n

Gm = m

1

. f

1

. m

2

. f

2

. . . m

k

. f

k

log m

1

. f

1 +

m

2

. f

2

+ . . + log m

k

. f

k

LogGm =

n

n



log m

i

. f

I

n = f

1

+ f

2

+ . . + f

k

Tabel. Cara menghitung rata-rata ukur dari hasil ujian statistik 50 mhs

FE.UI. Th. 1986.

Hasil

50

85,46202

2695

85,46202

log Gm =

= 1,70924

50

Gm = anti log 1,70924 = 51,1965

Rata-rata ukur hasil ujian 50 mhs FE.UI. Th.1986 adalah 51,1965. Bila kita hitung rata-rata ( X ) data diatas, maka akan diperoleh hasil :

2695

X =

= 53,9

50

Hasil pengukuran dengan rata-rata hitung (mean) seharusnya lebih besar dari pada hasil pengukuran rata-rata ukur.

Rata-rata harmonis (R

h

)

Rata-rata harmonis dari n angka, X1, X2, . . , Xn adalah nilai yang diperoleh dengan jalan membagi n dengan jumlah kebalikan dari masing-masing X tersebut.

Rata-rata harmonis dari angka-angka : 1, 3, 9 adalah

3

3

3

R

h

=

=

=

1/1 + 1/3 + 1/9

9/9 + 3/9 + 1/9 13/9

3 x 9

=

= 2,077

13

Untuk data yang disusun dalam daftar distribusi frekwensi maka rumusnya :





 

 _k

i i

i k

i i

h

m f f R

1 1