Edisi Khusus Juni 2010 | JURNAL PENELITIAN SAINS a evi genap

(1)

Jurnal Penelitian Sains Edisi Khusus Juni 2010 (A) 10:06-02

Ring Regular yang Memenuhi Ring Stabil Diperumum

(Generalized

Stable Rings)

Evi Yuliza

PrJurusan Matematika FMIPA, Universitas Sriwijaya, Sumatera Selatan, Indonesia

Intisari: Dalam tulisan ini akan diselidiki keterkaitan antara ring regulerR dengan ring stabil diperumum. Suatu ringR merupakan ring stabil diperumum jika aR+bR =R maka terdapatyǫR sehinggaa+byǫK(R). Disini K(R) didefinisikan sebagai berikut: K(R) =xǫR|(∃s, tǫR)sxt= 1. Suatu ringR dikatakan ring reguler apabila untuk setiap

xdiR terdapatydiR sehinggax=xyx. Selanjutnya, akan diselidiki pula sifat-sifat yang berlaku pada ring reguler stabil diperumum

Kata kunci: ring reguler, ring stabil diperumum

Juni 2010

1 PENDAHULUAN

S

uatu ring R dikatakan memenuhi sifat stable range one apabila kondisi berikut dipenuhi: Jika

aR+bR = R dengan a, b ∈ R maka terdapat su-atu y ∈ R sehingga a+by ∈ U(R). Dalam hal ini,

U(R) adalah himpunan semua unit dalam R. Dari

U(R) dapat dibentuk himpunan yang lebih umum yaitu K(R) dengan definisi sebagai berikut: K(R) = {x∈R|(∃s, t∈R)sxt= 1}. K(R) adalah generalisasi dariU(R), sebab: jikax∈U(R) maka terdapatu∈R

sehinggaux= 1 yang berartiux.1 = 1.

Suatu ring R dikatakan ring reguler apabila untuk setiapx∈R terdapat suatuy∈R sehinggaxyx=x. Goodear[4]_{menyelidiki keterkaitan antara ring reguler}

yang memenuhistable range one dengan unit reguler, yaitu: JikaRring reguler memenuhi sifatstable range one maka Rmerupakan unit ring reguler. Suatu ring

Rdikatakan unit reguler apabila untuk setiapxǫR ter-dapat suatu unitu∈Rsehinggaxux=x.

Selanjutnya, dari ringRyang memenuhi sifatstable range one dapat didefinisikan ring stabil diperumum sebagai berikut: Suatu ringR merupakan ring stabil diperumum jika aR+bR = R maka a+by ∈ K(R) untuk suatu y∈R. Chen[1,3] _{menyelidiki keterkaitan}

antara ring reguler R dengan sifat ring stabil diperu-mum. Dalam tulisan ini akan diselidiki syarat perlu dan cukup ring regulerR merupakan ring stabil dipe-rumum.

2 LANDASAN TEORI

Definisi 2.1[4] _{Suatu ring} _R _{disebut ring reguler}

apabila untuk setiapxdiR terdapatydi R sehingga

xyx=x.

Teorema 2.2[4] _{Untuk sebarang ring} _R_{, kondisi}

berikut ini adalah ekuivalen:

1. Radalah reguler.

2. Setiap ideal kanan (kiri) utama di R dibangun oleh suatu elemen idempoten.

3. Setiap ideal kanan (kiri) yang dibangun hingga di

Rdibangun oleh suatu elemen idempoten

Definisi 2.3[4] _{Suatu ring} _R _{disebut unit reguler}

apabila untuk setiapx∈R terdapat unitu∈R (ele-men invertibel) sehinggaxux=x.

Akibat 2.4[4] _{Jika suatu ring reguler}_R_mempunyai

sifat stable range one maka R merupakan ring unit reguler.

Definisi 2.5[1] _{Suatu ring} _R _{dikatakan memenuhi}

sifatstable range oneapabila kondisi berikut dipenuhi: jikaaR+bR=Rdengana, b∈Rmaka terdapat suatu

y∈Rsehinggaa+by∈U(R).

Definisi 2.6[1] _Ring_R_{dikatakan ring stabil}

diperu-mum apabila memenuhi kondisi berikut:

(∀a, b∈R)(aR+bR=R)⇒(y∈R)a+by∈K(R).

Akibat 2.7[1] _Misalkan _R _{ring stabil diperumum.}

Jikaax+b= 1 maka terdapaty∈Rsehinggaa+by∈

K(R).

Teorema 2.8[1] _Jika_R_{ring stabil diperumum maka}

untuk sebarang regulerx∈Rterdapat suatue=e2∈

R, w∈K(R) sehinggax=ew.

c

(2)

Evi/Ring Regular yang Memenuhi . . . JPS Edisi Khusus (A) 10:06-02 Akibat 2.9[1] _Misalkan _R _{ring stabil diperumum.}

Jika aR =bR dengan a, b ∈ R maka terdapat suatu

w∈K(R) sehinggaa=bw.

Definisi 2.9[2] _Misalkan_R _{ring dan}_g_∈_R_{. Elemen} g diR disebut suatu anggota grup (a group member) diR apabila terdapat suatug#∈Rsehinggagg#g=

g, g#gg#=g#dangg#=g#g.

3 HASIL DAN PEMBAHASAN

Sebelum diselidiki keterkaitan antara ring reguler dan ring stabil diperumum, terlebih dahulu di berikan teo-rema berikut ini.

Teorema 3.1[1] _Jika _R _{ring reguler maka}

pernya-taan berikut ini ekuivalen:

1. Rmerupakan ring stabil diperumum.

2. Untuk sebarangx∈Rterdapat suatuw∈K(R) sehinggax=xwx.

3. Untuk sebarangx∈Rterdapat suatuw∈K(R) sehinggawxidempoten di R.

Bukti: (1) ⇒(2)

Ambil sebarang x ∈ R, maka terdapat y ∈ R se-hingga x = xyx dan y = yxy. Berdasarkan Teo-rema 2.7, untuk sebarang reguler y ∈ R terdapat

e = e2 ∈ R, w ∈ K(R) sehingga y = ew. Karena

e)wb=w. Mengingat R ring reguler, maka terdapat suatuc∈R sehingga

reguler di R, maka menurut Teorema 2.7. terdapat suatu g = g2 _∈ _{R, w} _∈ _K₍_R_{) sehingga} _gwb _{= (1}₋

Teorema 3.2[3] _Jika _R _{ring reguler maka}

pernya-taan berikut ini ekuivalen:

1. Rmerupakan ring stabil diperumum.

2. Jika xR = eR dengan e ∈ R idempoten maka terdapat suatuw∈K(R) sehinggaxw=e.

3. Untuk setiap x ∈ R terdapat suatu w ∈ K(R) dan suatu grupGdiR sehinggaxw∈G.

Bukti (1)⇒(2)Menurut yang diketahuixR=eR

dengane∈Ridempoten diR, makax=esdane=xt

untuk suatus, t∈R. Karenats+ (1−ts) = 1, maka terdapat suatu y ∈ R sehingga t+ (1−ts)y = w ∈

K(R). Jadi,e=xt=x(t+ (1−ts)y) =xw.

(3)

Evi/Ring Regular yang Memenuhi . . . JPS Edisi Khusus (A) 10:06-02 (2) ⇒ (3) Ambil sebarang x ∈ R, maka terdapat

suatu elemen idempoten e ∈ R sehingga xR = eR. Menurut yang diketahui, terdapat suatu w ∈ K(R) sehinggaxw=e∈Rmerupakan idempoten yang be-rartixw2=xw=e. Selanjutnya,

xw(xw)xw = (xwxw)xw

= xw2xw=xwxw=xw2=xw.

Menurut Definisi 2.9, elemen xw ∈ R merupakan anggota grup di R. Disini dapat dibentuk grup G

yang didefinisikan sebagai berikut:

G={y∈R|yelemen idempoten}

yang berarti terdapat suatu grup G di R sehingga

xw ∈ G. Jadi, setiap elemen idempoten diR meru-pakan suatu anggota grup yang berakibat terdapat su-atu grupGdi Rsehinggaxw∈G.

(3) ⇒ (1) Diberikan ax+b = 1 di R. Ambil se-barang x ∈ R, maka terdapat suatu w ∈ K(R) dan

suatu grupG di R sehinggaxw ∈G. Ini berarti ele-menxw di R merupakan anggota grupGdi R. Oleh karena itu, elemen xw ∈ R mempunyai invers grup (xw)#∈R. Selanjutnya,

xw((xw)#+ 1−(xw)#xw)xw

= (xw(xw)#+xw−xw(xw)#xw)xw=xw

dan

(xw)#+1−(xw)#xw= (xw+1−(xw)#xw)−1_∈_U₍_R₎_.

Dari sini diperoleh,

xw((xw)#+ 1−(xw)#xw)xw

=xw(xw#+ 1−(xw)#_xw₎_xw_{= 1}

sehingga w((xw)# _{+ 1} ₋ ₍_xw₎#_xw₎ _∈ _K₍_R_{) dan}

xw((xw)#_{+ 1}₋₍_xw₎#_xw_{) merupakan idempoten di}

R. Sejalan dengan Teorema 3.1 (3)⇒(1) diperoleh

a+bc(1−e)(1 +e(w((xw)#+ 1−(xw)#xw))bc(1−e))∈K(R).

Teorema 3.2 di atas merupakan syarat perlu dan cukup ring regulerRmerupakan ring stabil diperumum.

4 KESIMPULAN

Dari hasil pembahasan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut: Ring regulerRmerupakan ring stabil diperu-mum jika dan hanya jika untuk setiapx∈R terdapat suatu w ∈ K(R) dan suatu grup G di R sehingga

wx∈G.

DAFTAR PUSTAKA

[1]_{Chen, H., 2000, On Generalized Stable Rings,}_Comm.

Algebra, (28), 1907-1917

[2] _{, 2001, Regular Rings with Finite Stable Range,}

Comm. Algebra, (29), 157-166

[3] _{, 2003, Generalized Stable Regular Rings,}_Comm.

Algebra, (31), 4899-4910

[4]_{Goodearl, K.R., 1991,}_{Von Neumann Regular Rings}_{, 2}nd

edition, Malabar, Florida, Krieger