KALKULUS 1 ATURAN PENCARIAN TURUNAN

KALKULUS 1

ATURAN PENCARIAN TURUNAN

DISUSUN OLEH:

LENY WAHYUNI (2011 121 057) RIRIN APRIANI (2011 121 076) DEVY RISDIANTI (2011 121 078) ARI NUGRAHA (2011 121 083) Kelas : I B

Mata Kuliah : Kalkulus I

Dosen Pengasuh : Dra. Misdalina, M.Pd

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PALEMBANG

2011/2012

Puji dan syukur atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang telah melimpahkan kesehatan, kesempatan, dan petunjuk kepada kami sehingga dapat menyelesaikan makalah ini.

Penyusun sangat menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan makalah ini. Untuk itu, kami semua mengharapkan kritik dan saran yang bersifat konstruktif, dari siapapun.

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL. . . i

DAFTAR ISI. . . ii

KATA PENGANTAR. . . iii

Aturan Pencarian Turunan. . . .1

Teorema-Teorema. . . 2

Contoh Soal . . . .3

Latihan Soal . . . .4

Jawaban . . . 5

ATURAN PENCARIAN TURUNAN

Proses pencarian turunan suatu fungsi kangsung dari definisi turunan yakni dengan menyusun hasil hasil bagi dengan selisih

(

)

( )

h x f h x f + −

.

Ingatlah kembali bahwa turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain f,. Jika

( )

_{x =x}3 ₊7

f adalah rumus untuk f , maka _f ,

( )

_{x =}3_x2 ₊7 _{adalah rumus untuk f},_. Biasanya menggunakan symbol D_x untuk menandakan operasi diferensiasi. Simbol

x

D menyatakan bahwa kita mengambil turunan (terhadap peubah x). Jadi D_xf

( )

x = f,

( )

x .

x

D merupakan contoh operator. Seluruh operator adalah fungsi yang memiliki input berupa fungsi dan output berupa fungsi lainnya.

TEOREMA-TEOREMA TEOREMA A

Aturan Fungsi Konstanta

Jika f

( )

x = k dengan k suatu konstanta, maka untuk sebarang x, f,

( )

x =0; yakni

( )

k =0 D_x

TEOREMA B

Aturan Fungsi Identitas

Jika f

( )

x = x, maka f'

( )

x =1; yakni

( )

x =1 D_x

TEOREMA C Aturan Pangkat

Jika f

( )

x = xn, dengan n bilangan bulat positif, maka f'

( )

x =nxn−1; yakni

( )

−1

= n

n

x x nx

D

TEOREMA D

Aturan Kelipatan Konstanta

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensiasikan, maka

( )

[

k f x

]

kD f

( )

x Dx . = . x

TEOREMA E Aturan Jumlah

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka

(

f +g

)

' = f'

( )

x =g'

( )

x ; yakni

( )

( )

[

f x g x

]

D f

( )

x D g

( )

x

Dx + = x + x

TEOREMA F Aturan Selisih

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasi, maka

(

f −g

) ( )

' x = f '

( )

x −g'

( )

x ; yakni

( )

( )

[

f x g x

]

D f

( )

x D g

( )

x

D_x − = _x − _x

TEOREMA G Aturan Hasilkali

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan,

maka

(

f.g

) ( )

' x = f

( ) ( )

x g' x +g

( ) ( )

x f ' x ; yakni

( ) ( )

[

f x g x

]

f

( )

x D g

( )

x g

( )

x D f

( )

x

D_x = _x + _x

TEOREMA H Aturan Hasilbagi

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan dengan g

( )

x ≠0 maka

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

x

g

x g x f x f x g x g

f

2

' '

'

−

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

x g x g D x f x f D x g x g x f

D x x

x 2

− =

CONTOH SOAL

1. Tentukan turunan dari 5x2 +7x−6?

Penyelesaian:

Dx

(

5x2 +7x−6

)

=Dx

(

5x2

)

+Dx

( )

7x −Dx

( )

6

=2D_x

( )

x2 +7D_x

( )

x −D_x

( )

6

= 2 .2 x + 7 .1

=4x−7

2. Carilah turunan

(

3x2 −5

)(

2x4 −x

)

dengan menggunakan Aturan Hasil kali?

Penyelesaian:

Dx

[

(

3x2 −5

)(

2x4 −x

)

]

=

(

3x2 −5

) (

Dx 2x4 −x

) (

+ 2x4 −x

) (

Dx 3x2 −5

)

=

(

3x2 −5

)(

8x3 −1

) (

+ 2x4 −x

)

( )

6x

=24x5 −3x2 −40x3 +5+12x5 −6x2

=36x5 −40x3 −9x2 +5

3. Carilah turunan

= − 7 5 3 2 x x

dengan menggunakan Aturan Hasil bagi?

Penyelesaian:

( )

(

) (

)

(

)

(

₂

)

2

2 2 2 7 7 5 3 5 3 7 5 3 + + − − − = + − x x D x x D x x x

D x x

x

(

)

( ) (

)( )

(

₂

)

2 2 7 2 5 3 3 7 + − − + = x x x x LATIHAN SOAL

Carilah dengan menggunakan aturan-aturan/teorema:

1. y=100

2. y= x

3. y=2x2

4. ₌₋₃ −4 x y

5. y=πx3

7. y= x12 −5x−2 −π2

8. ₂ −6 −1

+

= x x

y

9. y=

(

2x+1

)

2

10. y=

(

−3x+2

)

2

11. 4

3

3 −

+

= x

x y

12.

2 1

+ − =

x x y

13. y=

(

x4 +2x

)(

x3 +2x2 +1

)

14. y=

(

5x2 −7

)(

3x2 −2x+1

)

15. y=

(

x2 +2

)(

x3 =1

)

16.

x x x y

3 6 2

5 2 + −

=

17.

3 2

5 2

2 2

− +

+ − =

x x

x x y

18.

9 3 4

1

2 _{− +}

=

x x y

19.

x x y

3 2

4

3 ₋

=

20. y=3x

(

x3 −3

)

JAWABAN

1. D_y

(

100

)

=0

2. Dy

( )

x =1

3. D_y

(

2x2

)

=2.2x2−1

=4x

4. Dy

(

−3x−4

)

=

(

−3

)(

−4

)

x−4−1

=12x−5

5. D_y

(

πx3

)

=3.πx3−1

6. D_y

(

3x4 −2x3−5x2 +πx+π2

)

=D_y

(

3x4

)

−D_y

(

2x3

)

−D_y

(

5x2

)

+D_y

( )

πx +

( )

π2

=4D_y

( )

x4 −2D_y

( )

x3 −5D_y

( )

x2 +πD_y

( )

x +D_y

( )

π2

=4.4x3 −2.3x2 −5.2x+π +0

=16x3−6x2 −10x+π

7. Dy

(

x12 −5x−2 −πx−10

)

= Dy

( )

x12 −Dy

(

5x−2

)

−Dy

(

πx−10

)

( )

12

( )

2

(

10

)

5 − − −

−

= D_y x D_y x πD_y x

(

)

3

(

)

11

11

10 2

5

12 _{− −} − _{− −} −

= x x π x

11 3

11

10 10

12 + − + −

= x x πx

8. D_y

(

2x−6 +x−1

)

= D_y

(

2x−6

)

+D_y

( )

x−1

( )

6

( )

1

2 − ₊ −

= D_y x D_y x

(

)

7

( )

2

1 6

.

2 − − + − −

= x x

2 7

12 − − − −

= x x

9. D_y

(

2x+1

)

2 =D_y

[

(

2x+1

)(

2x+1

)

]

=

(

2x+1

)

Dy

(

2x+1

) (

+ 2x+1

)

Dy

(

2x+1

)

=

(

2x+1

)( ) (

2 + 2x+1

)( )

2

=4x+2+4x+2

=8x+4

10. Dy

(

−3x+2

)

2 =Dy

[

(

−3x+2

)(

−3x+2

)

]

\ =

(

−3x+2

)

D_y

(

−3x+2

) (

+ −3x+2

)

D_y

(

−3x+2

)

=

(

−3x+2

)(

−3

) (

+ −3x+2

)(

−3

)

=9x-6+9x-6

=18x-12

11. ₃

1 4

3

3 3

x x x

x

− − +

= +

( )

1

3+ −

= x

x

f Df

( )

x =−1x−2

( )

3 x x

g = Dg

( )

x =3x2

( )(

) (

)(

)

( )

₃ 2

2 1 2

3 3

1 _{3 3}

3

x

x x x

x x

x x Dy

− −

−

= 5 2 3 9 x x x x− − −

12. f

( )

x =x−1 Dyf

( )

x =1

( )

x = x+2

g Dyg

( )

x =1

(

)( ) (

)( )

(

)

2

2 1 1 1 2 2 1 + − − + = + − x x x x x D_y =

(

)

2

2 1 2 + + − + x x x =

(

)

2

2 1

+

x

13. f

( )

x ₌x4 ₊2x

( )

₌₄ 3 ₊₂

x x f D_y

( )

x = x3 +2x2 +1

g Dyg

( )

x 3x 4x

2 ₊ =

(

)(

)

[

x4 +2x x3 +2x2 +1

]

=

(

x4 +2x

)(

3x2 +4x

) (

+ x3 +2x2 +1

)(

4x3 +2

)

Dy

=

(

3x6 +4x4 +6x3 +8x2 +4x6 +8x5 +6x3 +4x2 +2

)

=7x6 +8x5 +4x4 +12x3 +12x2 +2

14. f

( )

x =5x2 −7 D_yf

( )

x =10x

( )

x =3x2 −2x+1

g Dyg

( )

x =6x−2

(

)(

)

[

x x x

]

(

x

)

(

x

)

(

x x

)

(

x

)

D_y 5 2 −7 3 2 −2 +1 = 5 2 −7 6 −2 + 3 2 −2 +1 10

=30x3 −10x2 −42x+14+30x3 −20x2 +10x

=60x3−30x2 −52x+14

15. f

( )

x =x2 +2 D_yf

( )

x =2x2

( )

x = x3 +3

g D_yg

( )

x =3x2

(

)(

)

[

x x

]

(

x

)(

x

) (

x

)

( )

x

Dy 2 3 2 3 1 2

3 2 2

3

2 _{+ + = + + +}

=3x4 +6x2 +2x4 +2x

=5x4 +6x2 +2x

16. f

( )

x =5x2 +2x−6 Dyf

( )

x =10x+2

( )

x x

g =3 D_yg

( )

x =3

( )(

)

(

)

( )

( )

2 2 2 3 3 6 2 5 2 10 3 3 6 2 5 x x x x x x x x

( )

2 2 3 18 15 x x + =

17. f

( )

x =x2 −2x+5 Dyf

( )

x =2x−2

( )

x = x2 +2x−3

g D_yg

( )

x =2x+2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

₂

)

2 2 2 2 2 3 2 2 2 5 2 2 2 3 2 3 2 5 2 − + + + − − − − + = − + + − x x x x x x x x x x x x Dy

(

₂

)

2

2 2 3 2 2 3 3 2 10 10 4 4 2 2 6 6 4 4 2 2 − + − − + + − − + − − + − = x x x x x x x x x x x x

(

₂

)

2 2 3 2 4 16 4 − + − − = x x x x

18. f

( )

x =4 D_yf

( )

x =0

( )

x x x

g =2 3 −3 Dyg

( )

x =6x2 −3

(

)

( ) ( )

(

)

(

₃

)

2 2 3 3 3 2 3 6 4 0 3 2 3 2 4 x x x x x x D_y − − − − = −

(

₃

)

2 2 3 2 3 24 x x x − + − =

19. f

( )

x =1 D_yf

( )

x =0

( )

x =4x2 −3x+9

g Dyg

( )

x =8x−3

(

)

( ) ( )(

)

(

₂

)

2 2 2 9 3 4 3 8 1 0 9 3 4 9 3 4 1 + − − − + − = +

− _{x x}

x x x x x Dy

(

₂

)

2

9 3 4 3 8 + − + − = x x x

20. f

( )

x =3x D_yf

( )

x =3

( )

x = x3 −1

g Dyg

( )

x =3x2

(

)

[

x x

]

( )

x

(

x

) (

x

)

( )

x

D_y 3 3 −1 = 3 3 2 + 3 −1 3

DAFTAR PUSTAKA

J.Purcel Dalle Verberg, Edwin, 1987, Kalkulus, Bandung; Erlangga.