Penyetaraan Persamaan Reaksi Kimia denga

Penyetaraan Persamaan Reaksi Kimia dengan Metode

Eliminasi Gauss

Jonathan Marcel T (13507072)

1

Program Studi Teknik Informatika

Sekolah Teknik Elektro dan Informatika

Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia

1

cel_tum@yahoo.co.id

Abstract—Eliminasi Gauss merupakan salah satu teknik penyelesaian sistem persamaan linear yang paling populer. Sistem persamaan linear banyak digunakan dalam memodelkan permasalahan-permasalahan yang berhubungan dengan kerekayasaan dan ilmu pasti. Salah satu permasalahan yang dimaksud adalah masalah penyetaraan reaksi pada persamaan reaksi kimia. Persamaan reaksi kimia dapat disetarakan dengan berbagai cara, dimana salah satu cara yang dapat digunakan ialah dengan menggunakan metode eliminasi Gauss. Untuk menyetarakan reaksi dengan eliminasi Gauss, sebisa mungkin bentuk-bentuk persamaan linear yang terbentuk harus disederhanakan, sehingga ukuran matriks yang akan dieliminasikan tidak akan menjadi terlalu besar.

Kata Kunci—eliminasi Gauss, penyetaraan reaksi kimia, solusi sistem persamaan linear

I.

I

NTRODUCTION

Di dalam metode numerik, solusi sistem persamaan linear merupakan permasalahan yang penting karena persamaan linear digunakan dalam berbagai bidang kerekayasaan dan sains komputer. Sebagai contoh, persamaan linear digunakan di dalam pemrosesan sinyal digital pada bidang teknik elektro. Banyak permasalahan kerekayasaan dapat dimodelkan menjadi bentuk sistem persamaan linear.

Salah satu contoh penyelesaian persoalan dengan sistem persamaan linear adalah pemodelan kuat dan arah arus listrik pada rangkaian listrik dengan hukum Kirchoff serta pemodelan matematika untuk ekonomi suatu negara atau region berdasarkan berbagai sektor perekonomian dengan menggunakan model Leontief.

Sistem persamaan linear dapat dicari solusinya dengan menggunakan pendekatan keinformatikaan, yaitu dengan menggunakan berbagai macam algoritma yang ditujukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Beberapa algoritma penyelesaian sistem persamaan linear yang terkenal diantaranya ialah algoritma eliminasi Gauss, algoritma eliminasi Gauss Jordan, dekomposisi matriks LU, dekomposisi matriks Crout, dekomposisi matriks Cholesky, dekomposisi matriks Doolittle, algoritma lelaran Jacobi, algoritma lelaran Gauss Seidel, Successive Over Relaxation atau SOR, dan lain-lain.

Dari sekian banyak metode penyelesaian yang ada,

eliminasi Gauss merupakan metode penyelesaian sistem persamaan linear yang paling popular dan mudah diimplementasikan. Pada makalah ini akan dijelaskan penggunaan algoritma eliminasi Gauss di dalam menyelesaikan masalah klasik di dalam ilmu kimia, yaitu masalah penyetaraan persamaan reaksi kimia.

II.

STOIKIOMETRI

Stoikiometri berasal dari bahasa Yunani, yaitu stoicheion yang berarti elemen dan metron yang berarti pengukuran.

Stoikiometri adalah cabang dari ilmu kimia yang berhubungan dengan jumlah relatif dari reaktan dan produk di dalam reaksi kimia. Di dalam istilah kimia, reaktan adalah materi yang digunakan di dalam reaksi kimia, sedangkan produk adalah materi yang dihasilkan di dalam reaksi kimia. Di dalam suatu reaksi kimia yang setara, hubungan setiap jumlah dari reaktan dan produk biasanya membentuk rasio berupa suatu angka bulat. Sebagai contoh, di dalam reaksi pembentukan amonia (NH3), tepat satu molekul Nitrogen (N2) bereaksi dengan

tiga molekul Hidrogen (H2) untuk menghasilkan dua

molekul NH3.

N2 + 3H2→ 2NH3

Stoikiometri dapat digunakan untuk menghitung jumlah seperti jumlah dari produk yang dapat dihasilkan dari sejumlah reaktan yang diberikan. Perhitungan stoikiometri dapat memprediksikan bagaimana elemen dan komponen terlarut di dalam larutan standar di dalam kondisi eksperimental tertentu. Stoikiometri dibangun dari hukum kekekalan massa, yaitu massa total reaktan sama dengan massa total produk di dalam reaksi kimia.

Stoikiometri reaksi mendeskripsikan hubungan kuantitatif dari setiap materi di dalam reaksi kimia. Pada contoh di atas, stoikiometri reaksi mendeskripsikan rasio 1:3:2 dari molekul nitrogen, hidrogen, dan amonia.

Makalah IF4058 Topik Khusus Informat Hukum utama dari stoikiometri adalah 1. Hukum kekekalan massa yaitu to sama dengan total massa produk 2. Hukum kepastian proporsi ata

yaitu sebuah materi kimia se proporsi massa yang sama dari s 3. Hukum proporsi banyak atau hu

apabila dua elemen bergabung dari satu materi, maka rasio elemen kedua yang digabung tetap dari massa elemen pertam rasio dengan bilangan yang kecil

III.

P

ERSAMAAN

R

EAK

Persamaan reaksi adalah representa suatu reaksi kimia. Bentuk umum p adalah entitas reaktan diletakkan p persamaan dan entitas produk diletak kanan persamaan. Koefisien yang berad dan formula dari entitas adalah nil bilangan stoikiometri. Orang yang mengenalkan persamaan reaksi adalah tahun 1915.

Persamaan reaksi terdiri atas form reaktan dan produk. Keduanya dipisah simbol panah ( ) dan setiap substa kimia dipisahkan oleh simbol tambah (+ persamaan kimia dari pembakaran meta berikut:

CH4 + 2 O2 CO2 + 2

Persamaan diatas dapat dibaca pembacaan IUPAC. IUPAC (Internation Chemistry) merupakan organisasi in melakukan standardisasi terhadap ilmu reaksi diatas dapat dibaca sebagai: “ oksigen menghasilkan karbon dioksida d Persamaan diatas menunjukkan bah oksigen dibutuhkan untuk setiap mol reaksi ini akan menghasilkan dua mol molekul karbon dioksida.

Pada persamaan reaksi, biasanya set akan diberikan state untuk setiap simbol state yaitu solid (s), liquid (l), gas aqueous (aq).

Reaksi redoks (reduksi-oksidasi) a reaksi kimia dimana elektrolit dituliskan terdisosiasi. Reaksi redoks digunakan pelepasan ion-ion (tunggal maupun gand dalam larutan aqueous. Sebagai contoh p berikut:

CaCl2(aq) + 2AgNO3(aq) Ca(NO3

Persamaan ionik secara lengkap sebagai:

atika I: Metode Numerik – Sem. II Tahun 2010/2011 lah tiga, yaitu:

u total massa reaktan uk.

atau hukum Proust selalu mengandung i setiap elemen. hukum Dalton yaitu

g membentuk lebih rada di dekat simbol nilai absolute dari etana adalah sebagai

2 H2O

a dengan standar tional Union of Pure internasional yang u kimia. Persamaan : “metana ditambah bol. Ada empat buah as (g), dan larutan adalah persamaan kan sebagai ion yang n untuk menuliskan anda) yang terjadi di h pada reaksi redoks

3)2(aq) + 2AgCl(s)

p dapat dituliskan

Ca2+ + 2Cl− + 2Ag+ + 2N 2AgCl(s)

IV.

P

ENYETARAAN

P

ERS

Persamaan reaksi harus dise perhitungan kuantitatif kimia. kimia dilakukan berdasarkan h Atom-atom di dalam reaksi tida yang terdapat pada reaktan ha produk.

Contoh persamaan reaksi y pada reaksi sintesis air berikut: H2 + O2

-Persamaan diatas memiliki du kiri tetapi hanya satu atom o Persamaan reaksi tersebut menyetarakan persamaan reak ruas kiri dan kanan persamaan setiap koefisien senyawa harus dan dengan rasio terkecil. persamaan reaksi diatas:

2H2 + O2

-Bentuk lain seperti:

H2 + 1/2O2

4H2 + 2O2

Adalah salah karena ti penyetaraan seperti yang telah Untuk membenarkan kesalahan pada persamaan reaksi pertam seluruh koefisien pada persam dibagi dua. Di dalam penyetaraa boleh mengubah bentuk subscri komposisi senyawa. Penyetar dilakukan dengan memodifikas persamaan reaksi.

Metode penyetaraan persam ada tiga macam, yaitu:

1. Metode inspeksi 2. Metode setengah reaksi 3. Metode aljabar

Pada makalah ini penyeta dilakukan sebenarnya merupak dengan menggunakan metode pengganti metode aljabar konve

V.

S

OLUSI

S

ISTEM

P

ER

Di dalam matematika, sebuah adalah sekumpulan persamaan variabel yang sama. Sebagai con

NO3− Ca2+ + 2NO3− +

ERSAMAAN

R

EAKSI

isetarakan untuk melakukan ia. Penyetaraan persamaan n hukum kekekalan massa. idak akan lenyap, atom-atom haruslah terdapat juga pada yang belum setara seperti

-> H2O

i dua atom oksigen pada ruas oksigen pada ruas kanan. t belum setara. Untuk aksi, jumlah atom-atom di an haruslah sama. Selain itu, ruslah berupa bilangan bulat l. Perhatikan penyetaraan

-> 2H2O

2 -> H2O

-> 4H2O

tidak memenuhi syarat lah dijelaskan sebelumnya. an diatas, seluruh koefisien tama harus dikali dua dan samaan reaksi kedua harus raan persamaan reaksi, tidak cript karena akan mengubah taraan reaksi hanya bisa

ERSAMAAN

L

INEAR

Sistem persamaan linear tersebut m variabel x, y, dan z. Solusi dari sistem adalah setiap variabel memiliki nil memenuhi setiap persamaan pada s linear. Solusi pada sistem persamaan lin

Bentuk umum sistem m buah persam n buah variabel dapat ditulis sebagai:

Dimana x1, x2, …, xn adalah varia

diketahui, a11, a12, …, amn adalah koefis

b2, …, bmadalah nilai konstan. Sistem

dapat diubah dalam bentuk matriks deng

Dimana A adalah matriks m*n, x ada dengan n buah entri dan b adalah vektor buah entri.

Di dalam ilmu keinformatikaan persamaan linear dipelajari di dalam khususnya pada bagian aljabar numer numerik linear adalah studi a menyelesaikan komputasi persamaan li berupa operasi matriks pada suatu ko numerik linear merupakan bagian f permasalahan kerekayasaan dan sains pada pemrosesan citra dan sinyal, keuangan komputer, simulasi sains structural, data mining, bioinformati bidang lainnya.

Ada tiga cara yang dapat d menyelesaikan sistem persamaan lin substitusi, eliminasi, dan matriks.

memiliki tiga buah m persamaan linear nilai tertentu yang sistem persamaan linear diatas adalah:

amaan linear dengan

ariabel yang belum fisien sistem dan b1,

m persamaan linear ngan persamaan:

adalah vektor kolom tor kolom dengan m

an, solusi sistem m metode numerik, erik linear. Aljabar algoritma untuk linear, kebanyakan komputer. Aljabar fundamental dari s komputer, seperti al, telekomunikasi, s material, biologi atika, dan

bidang-digunakan untuk linear, yaitu cara

Pada gambar diatas sebuah dengan tiga buah variabel m sumbu x, y, dan z. Solusi dari tersebut adalah titik potong dari

Pada gambar diatas terdapat s

Dengan solusi x=1 dan y=1. Salah satu cara menyelesaika adalah dengan mengelimina persamaan linear. Metode yang Gauss.

VI.

M

ETODE

E

LIM

Di dalam aljabar linear, elim algoritma yang digunakan unt persamaan linear. Selain itu digunakan untuk menghitung ra menghitung determinan dari menghitung matriks balikan dar ini diberi nama sesuai ahli Jermam yaitu Carl Friederich Ga

Metode eliminasi Gauss me elementer untuk mengurangi baris eselon.

Bentuk baris eselon disebut

ah sistem persamaan linear menunjukkan bidang pada ari sistem persamaan linear ari bidang-bidang tersebut.

t sistem persamaan linear

ikan sistem persamaan linear nasi baris pada matriks ng terkenal adalah eliminasi

IMINASI

G

AUSS

liminasi gauss adalah suatu untuk menyelesaikan sistem u algoritma ini juga dapat ranking dari sebuah matriks, ari sebuah matriks, dan dari sebuah matriks. Metode li matematika kebangsaan Gauss.

Makalah IF4058 Topik Khusus Informat matriks apabila seluruh baris nonzero, y minimal satu elemen bukan nol bera dengan elemen nol. Syarat berikutny terdepan pada baris nonzero selalu bera posisi sebelah kanan dari baris diatasny baris eselon dapat dilihat seperti matriks

Contoh eliminasi Gauss pada sistem p

Algoritma eliminasi Gauss ialah: el seluruh persamaan dibawah L1, kemudi

dari seluruh persamaan dibawah L2. Sis

menjadi bentuk triangular. Kem menggunakan teknik sulih mundur set belum diketahui dapat diperoleh solusiny

Pada contoh diatas x dieliminasikan d menambahkan 3/2L1 pada L2. x dielim

dengan cara menambahkan L1 pada L3

sebagai berikut:

Sekarang y dieliminasikan dari menambahkan -4L2 pada L3. Hasilny

berikut:

Dengan penyulihan mundur, dipero persamaan linear, yaitu:

VII.

M

ETODE

E

LIMINASI

G

AU

P

ENYETARAAN

P

ERSAMAAN

Metode eliminasi Gauss dapat menyetarakan persamaan reaksi kimia. penyetaraan persamaan reaksi kimia Gauss adalah:

1. Setiap senyawa diberikan k

atika I: Metode Numerik – Sem. II Tahun 2010/2011 , yaitu baris dengan

erada di atas baris nya ialah koefisien rada pada tepat satu snya. Contoh bentuk iks dibawah:

persamaan linear:

eliminasikan x dari udian eliminasikan y Sistem akan berubah

emudian, dengan setiap variabel yang

inya.

eroleh solusi sistem

AUSS

U

NTUK N

R

EAKSI

digunakan untuk ia. Langkah-langkah ia dengan eliminasi koefisien terlebih

dahulu. Koefisien m haruslah berbeda. Mis seterusnya.

2. Jumlah atom di ruas k haruslah sama. Karen linear untuk masing persamaan akan mem linear.

3. Permisalkan salah satu bulat tertentu, misalnya 4. Selesaikan sistem pe metode eliminasi Ga adalah pemodelan sist matriks.

5. Seluruh koefisien har bilangan bulat terkeci setiap koefisien denga terkecil.

Untuk lebih memahami peny dengan metode eliminasi Gauss berikut:

P2I4 + P4 + H2O ->

Pertama-tama diberikan ko reaksi sehingga persamaan rea berikut:

aP2I4 + bP4 + cH2O

-Setiap atom harus memiliki ruas kiri dan kanan. Pertama-ta terlebih dahulu. Di ruas kiri hidrogen dan di ruas kanan te hidrogen. Persamaan linear untu berikut:

2×c = 4×d Dengan cara yang sama, a linear untuk oksigen:

c = 4 Dan juga persamaan linear un

2×a + 4×b Dan juga persamaan linear un 4×a = Sistem persamaan linear yang berikut:

2c – 4d c = 4 2a + 4b -4a – d Apabila dimisalkan e=1, mak akan menjadi sebagai berikut:

masing-masing senyawa isalnya a, b, c, d, e, dan s kiri dan kanan persamaan rena itu, dibuat persamaan ing-masing atom. Seluruh mbentuk sistem persamaan atu koefisien sebagai angka

ya satu.

persamaan linear dengan Gauss. Langkah terpenting sistem persamaan di dalam arus diubah menjadi rasio l dengan cara mengalikan ngan kelipatan persekutuan enyetaraan persamaan reaksi uss, tinjau persamaan reaksi

> PH4I + H3PO4

koefisien pada persamaan eaksi akan menjadi sebagai ntuk hidrogen adalah sebagai

d + 3×e

ang terbentuk adalah sebagai 4d = 3e

= 4e - d = e d = 0

2c – 4d = 3 c = 4 2a + 4b - d = 1

4a – d = 0

Persamaan ini dapat dipindahkan ke dalam matriks, menjadi:

2 4 0 −1 4 0 0 −1 0 0 2 −4 0 0 1 0

= 1 0 3 4

Baris kedua ditambahkan dengan -2 * baris pertama. Matriks akan menjadi seperti berikut:

2 4 0 −1 0 −8 0 1 0 0 1 0 0 0 2 −4

= 1 −2

4 3

Baris ketiga dan keempat dipertukarkan. Baris keempat ditambahkan dengan -2 * baris ketiga. Hasil akhir matriks adalah sebagai berikut, yaitu mencapai bentuk eselon baris:

2 4 0 −1 0 −8 0 1 0 0 1 0 0 0 0 −4

= 1 −2

4 −5

Berdasarkan matriks diatas, dapat disusun persamaan yang telah disederhanakan menjadi sebagai berikut:

2a + 4b – d = 1 -8b + d = -2

c = 4 -4d = -5

Dengan manipulasi aljabar, diperoleh hasil-hasil sebagai berikut:

d = 5/4 c = 4 b = 13/32

a = 5/16

Perhatikan bahwa e dimisalkan adalah 1, dan nilai-nilai a, b, c, d, e, sekarang telah lengkap. Namun, nilainya belumlah bilangan bulat, karena itu semua koefisien akan dikalikan dengan suatu bilangan tertentu, dalam kasus ini bilangan tersebut adalah 32, sehingga hasil akhir seluruh koefisien adalah:

a = 10 b = 13 c = 128

d = 40 e = 32

Maka persamaan reaksi yang telah disetarakan dengan eliminasi Gauss adalah:

10P2I4 + 13P4 + 128H2O -> 40PH4I + 32H3PO4

Bagaimana dengan reaksi redoks? Reaksi redoks juga dapat disetarakan dengan metode eliminasi Gauss. Perhatikan reaksi kimia berikut:

Cr2O72- + H+ + Fe2+ -> Cr3+ + H2O + Fe3+

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, pertama-tama setiap senyawa diberikan koefisien tertentu:

aCr2O72- + bH+ + cFe2+ -> dCr3+ + eH2O + fFe3+

Kemudian disamakan atom-atom ruas kiri dan ruas kanan. Untuk reaksi redoks, muatan total ruas kiri dan ruas kanan juga harus disamakan.

Untuk atom kromium:

2a = d Untuk atom oksigen:

7a = e Untuk atom hidrogen:

b = 2e Untuk atom besi:

c = f Untuk keseimbangan muatan:

-2a + b + 2c = 3d + 3f

Matriks akan menjadi berukuran besar, karena terdapat 6 buah variabel. Untuk mempermudah penyelesaian, perhatikan bahwa c = f sehingga persamaan muatan dapat disederhanakan menjadi:

-2a + b - c = 3d

Sistem persamaan linear akan menjadi seperti berikut: 2a = d

7a – e = 0 b – 2e = 0 -2a + b – c = 3d

Apabila d = 1, maka sistem persamaan linear akan menjadi seperti berikut:

2a = 1 7a – e = 0 b – 2e = 0 -2a + b – c = 3

Matriks sistem persamaan linear menjadi sebagai berikut:

2 0 0 0

7 0 0 −1 0 1 0 −2 −2 1 −1 0

Makalah IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik – Sem. II Tahun 2010/2011 Baris keempat dipindahkan ke baris yang paling atas.

Baris kedua menjadi baris keempat. Kemudian baris kedua ditambahkan dengan 1*baris pertama, dan baris keempat ditambahkan dengan 7/2*baris pertama. Matriks yang akan terbentuk adalah sebagai berikut:

−2 1 −1 0

0 1 −1 0

0 1 0 −2

0 7/2 −7/2 −1 =

3 4 0 21/2

Baris ketiga ditambahkan dengan -1*baris kedua, maka matriks yang terbentuk adalah:

−2 1 −1 0

0 1 −1 0

0 0 1 −2

0 7/2 −7/2 −1 =

3 4 −4 21/2

Baris keempat ditambahkan dengan -7/2*baris kedua, maka matriks yang terbentuk adalah:

−2 1 −1 0 0 1 −1 0 0 0 1 −2 0 0 0 −1

= 3 4 −4 −7/2

Berdasarkan matriks diatas, diperoleh hasil-hasil sebagai berikut:

e = 7/2 c = 3 b = 7 a = 1/2

d = 1 f = 3

Seluruh koefisien tersebut akan dikalikan dengan dua sehingga hasil akhir seluruh koefisien adalah:

a = 2 b = 14

c = 6 d = 2 e = 7 f = 6

Dengan demikian persamaan reaksi redoks yang telah setara adalah:

Cr2O72- + 14H+ + 6Fe2+ -> 2Cr3+ + 7H2O + 6Fe3+

VIII.

K

ESIMPULAN

Berdasarkan hal-hal yang telah dijabarkan diatas, dapat disimpulkan bahwa:

1. Eliminasi Gauss dapat digunakan untuk memecahkan permasalahan penyetaraan reaksi pada persamaan reaksi kimia.

2. Reaksi yang dapat disetarakan dengan metode eliminasi Gauss adalah reaksi kimia biasa maupun reaksi reduksi oksidasi (redoks).

3. Metode eliminasi Gauss mirip dengan metode aljabar pada penyetaraan persamaan reaksi, namun lebih baik karena menggunakan matriks sehingga hasilnya lebih cepat dibandingkan manipulasi aljabar biasa.

R

EFERENSI

[1] http://www.chembuddy.com/?left=balancing-stoichiometry&right=algebraic-method

[2] http://chemistry.about.com/cs/stoichiometry/a/aa042903a.htm

[3] http://www.math-linux.com/spip.php?article53

[4] http://mgccl.com/2007/09/20/balance-chemical-equations

[5] http://www.purplemath.com/modules/systlin1.htm

[6] http://www.scribd.com/doc/24456131/Metode-eliminasi-Gauss-untuk-sistem-persamaan-linier

P

ERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa makalah yang saya tulis ini adalah tulisan saya sendiri, bukan saduran, atau terjemahan dari makalah orang lain, dan bukan plagiasi.

Bandung, 13 Mei 2011