MASSA NEUTRINO SETELAH PERUSAKAN SIMETRI GUT SU(6) DIMENSI-5

MASSA NEUTRINO SETELAH PERUSAKAN SIMETRI GUT SU(6) DIMENSI-5

BUNDI EKO WIJAYA 0706262230

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI FISIKA

DEPOK

JUNI 2012

MASSA NEUTRINO SETELAH PERUSAKAN SIMETRI GUT SU(6) DIMENSI-5

SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains

BUNDI EKO WIJAYA 0706262230

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI FISIKA

DEPOK

JUNI 2012

Skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri, dan semua sumber baik yang dikutip maupun dirujuk

telah saya nyatakan dengan benar.

Nama : Bundi Eko Wijaya

NPM : 0706262230

Tanda Tangan :

Tanggal : 8 Juni 2012

ii

Skripsi ini diajukan oleh

Nama : Bundi Eko Wijaya

NPM : 0706262230

Program Studi : Fisika

Judul Skripsi : Massa Neutrino Setelah Perusakan Simetri GUT SU(6) dimensi-5

Telah berhasil dipertahankan di hadapan Dewan Penguji dan diterima se- bagai bagian persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengeta- huan Alam, Universitas Indonesia.

DEWAN PENGUJI

Pembimbing I : Dr. L. T. Handoko ( )

Pembimbing II : Prof. Dr. Terry Mart ( )

Penguji I : Dr. Agus Salam ( )

Penguji II : Dr. Anto Sulaksono ( )

Ditetapkan di : Depok Tanggal : 8 Juni 2012

iii

Sebagai civitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan dibawah ini:

Nama : Bundi Eko Wijaya

NPM : 0706262230

Program Studi : S1 Fisika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jenis Karya : Skripsi

demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Univer- sitas Indonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive Royalty-Free Right ) atas karya ilmiah saya yang berjudul:

MASSA NEUTRINO SETELAH PERUSAKAN SIMETRI GUT SU(6) DIMENSI-5

beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti Noneksklusif ini Universitas Indonesia berhak menyimpan, mengalih media/ formatkan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), merawat, dan mempublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/ pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di : Depok

Pada tanggal : 8 Juni 2012

Yang menyatakan

(Bundi Eko Wijaya)

soon as possible.”

”Salah satu tujuan fisikawan teori adalah membuktikan dirimu salah sesegera mungkin”

Richard Feynman

”Anyone who has never made a mistake has never tried anything new.”

”Seseorang yang tidak pernah berbuat kesalahan berarti belum pernah mencoba sesuatu yang baru.”

Albert Einstein

”Make Physics as simple as possible, but not simpler.”

”Jadikan Fisika sesederhana mungkin, tapi tidak lebih sederhana.”

Albert Einstein

v

keluarga besar kedua orang tuaku dan

semua pencinta fisika, terutama fisika teori

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Perawan Santa Maria karena atas rahmat-Nyalah ini penulis dapat menyelesaikan Skripsi Tugas Akhir ini tepat pada waktunya. Selama kurang lebih lima tahun penulis belajar di Departemen Fisika UI, akhirnya penulis dapat menyelesaikan sebuah karya tulis yang tidak begitu indah ini dalam bentuk Tugas Akhir yang berjudul ”Massa Neutrino Setelah Perusakan Simetri GUT SU(6) Dimensi-5”. Penulis berterimakasih kepada dosen-dosen di jurusan Fisika UI yang telah mengajarkan fisika kepada penulis selama kurang lebih lima tahun. Ucapan terima kasih juga penulis ucapkan kepada:

1. Dr. L. T. Handoko selaku pembimbing I atas waktu yang telah disediakan oleh be- liau untuk berdiskusi mengenai topik TA ini dengan penulis dan juga atas sharing cerita beliau selama kuliah ataupun di sela-sela diskusi TA.

2. Prof. Dr. Terry Mart selaku pembimbing II dan Ketua Peminatan Fisika Nuklir dan Partikel UI atas nasihat dan sharing cerita beliau selama penulis mengikuti kuliah-kuliah beliau dan di sela-sela waktu pengerjaan tugas akhir ini.

3. Dr. Agus Salam selaku penguji I dan salah satu dosen Fisika Nuklir dan Partikel yang telah mengajarkan fisika kepada penulis.

4. Dr. Anto Sulaksono selaku pembimbing akademik, penguji II, dan juga salah satu dosen Fisika Nuklir dan Partikel yang telah mengajarkan fisika kepada penulis.

5. Teman-teman lab fisika teori, baik angkatan 2007 (Lomario, Yulia C.W, Radi- tya,Jaelani,Vera, Saipudin, dan Nurhadiansyah) dan angkatan 2008 (Januar, Fah- mi, Anggun, Richard, Rahardian, dan Farid), Pak Andreas Hartanto, Kak Han- dhika, Kak Ardian, dan juga Pak Ayung yang merupakan alumni SMAN 2 Jakarta sama seperti penulis.

6. Mas Heri selaku staf petugas perpustakaan fisika UI yang telah membantu penulis dalam proses peminjaman buku-buku selama penulis kuliah di Departemen Fisika UI.

vii

8. Kedua orang tua penulis yang telah mendukung penulis selama penulis berkuliah di Departemen Fisika UI.

Akhir kata, penulis mohon maaf jika ada kesalahan dan kekurangan dalam penulisan karya tulis ini karena setiap manusia tak luput dari kesalahan dan kekurangan. Terima kasih.

Depok, 8 Juni 2012

Bundi Eko Wijaya

viii

Judul : MASSA NEUTRINO SETELAH PERUSAKAN SIMETRI GUT SU(6) DIMENSI-5

ABSTRAK

Dikaji masalah massa neutrino berdasarkan model GUT (Grand Unified Theory) SU(6) 5D setelah mengalami perusakan simetri menjadi SU (3)

_C

⊗SU (3)

_H

⊗U (1)

_C

melalui me- kanisme Scherk-Schwarz. Dari level SU (3)

_C

⊗SU (3)

_H

⊗U (1)

_C

ini diperoleh lagrangian massa partikel neutrino yang berasal dari representasi {6}, {15}, {6}, dan {15} untuk diaplikasikan mekanisme seesaw. Lagrangian massa ini yang terdiri atas suku neutri- no Dirac dan suku neutrino Majorana dibentuk kembali dalam bentuk matriks massa.

Dari matriks massa ini kemudian didapatkan nilai eigen massa (mass eigenvalue) yang merupakan massa efektif neutrino.

Kata kunci : massa neutrino, mekanisme Scherk-Schwarz, lagrangian massa, mekanisme seesaw, matriks massa, nilai eigen massa.

xiii + 104 hlm. : lamp.

Daftar Acuan : 26 (1984-2012)

ix

Title : NEUTRINO MASS AFTER SYMMETRY BREAKING GUT SU(6) DIMENSION-5

ABSTRACT

The neutrino mass problem based on GUT (Grand Unified Theory) SU(6) 5D model breaking to SU (3)

_C

⊗SU (3)

_H

⊗U (1)

_C

by Scherk-Schwarz mechanism is discussed. From SU (3)

_C

⊗SU (3)

_H

⊗U (1)

_C

is obtained neutrino mass lagrangian which from {6}, {15}, {6}, and {15} representation for applied seesaw mechanism. This mass lagrangian which consists of Dirac and Majorana neutrino term is formed again into a mass matrix. From this mass matrix we got mass eigenvalues which are the neutrino effective mass.

Keywords : neutrino mass, Scherk-Schwarz mechanism, seesaw mechanism, mass matrix, mass eigenvalue.

xiii + 104 pp. : appendices.

References : 26 (1984-2012)

x

Halaman Pernyataan Orisinalitas ii

Halaman Pengesahan iii

Halaman Pernyataan Persetujuan Publikasi iv

Kata Pengantar vii

Abstrak ix

Daftar Isi xi

1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . 2

1.3 Metode Penelitian . . . . 3

1.4 Tujuan Penelitian . . . . 3

2 Transformasi Gauge dan Perusakan Simetri 4 2.1 Transformasi Gauge . . . . 4

2.1.1 Simetri Lokal Abelian U(1) : QED . . . . 5

2.1.2 Simetri Lokal Non-Abelian SU(2)–Model Yang-Mills . . . . 7

2.1.3 Simetri Lokal Non-Abelian SU(3) : QCD . . . . 9

2.2 Perusakan Simetri . . . . 11

2.2.1 Perusakan Simetri Spontan Mekanisme Goldstone . . . . 12

2.2.2 Perusakan Simetri Spontan Mekanisme Higgs . . . . 16

2.2.3 Perusakan Simetri pada Dimensi Ekstra . . . . 21

xi

3.2 Teori Elektro-lemah SU(2)

_L

⊗U(1)

_Y

. . . . 25

3.2.1 Lagrangian Invarian Gauge Teori SU(2)

_L

⊗U(1)

_Y

. . . . 25

3.2.2 Mekanisme Higgs pada Teori Elektro-lemah . . . . 27

3.3 Model Standar SU(3)

_C

⊗SU(2)

_L

⊗U(1)

_Y

. . . . 31

4 Neutrino 34 4.1 Massa Neutrino . . . . 34

4.1.1 Massa Dirac . . . . 34

4.1.2 Massa Majorana . . . . 37

4.1.3 Massa Dirac dan Majorana . . . . 41

4.2 Mekanisme Seesaw . . . . 43

5 Teori Penyatuan Agung SU(6) 46 5.1 Representasi Partikel pada GUT SU(6) . . . . 47

5.2 Lagrangian GUT SU(6) 4D . . . . 49

5.2.1 Transformasi Fungsi Gelombang . . . . 49

5.2.2 Derivatif Kovarian . . . . 50

5.2.3 Suku Kinetik Fermion . . . . 51

5.3 Mekanisme Higgs pada GUT SU(6) 4D: Suku Massa . . . . 52

5.4 Perusakan Simetri pada GUT SU(6) 5D . . . . 53

5.5 Massa Neutrino Setelah Perusakan Simetri GUT SU(6) 5D . . . . 57

5.5.1 Massa Neutrino pada Level SU (3)

_C

⊗SU (3)

_H

⊗U (1)

_C

. . . . 59

6 Kesimpulan dan Saran 79 A Karakteristik Partikel Dasar pada Model Standar 81 A.1 Keluarga Lepton . . . . 81

A.2 Keluarga Kuark . . . . 82

A.3 Keluarga Boson Gauge . . . . 82

B Rumus dan Formula yang Berguna 83 B.1 Matriks Dirac . . . . 83

xii

C Diagonalisasi Matriks Massa Neutrino 84

D Generator Grup SU(2), SU(3), dan SU(6) 86

E Bentuk Matriks Massa Neutrino Berdasarkan Mekanisme Seesaw untuk

Berbagai Kemungkinan Pemilihan VEV SU(3) 90

Daftar Pustaka 103

xiii

Pendahuluan

1.1 Latar Belakang Masalah

Sekarang kebanyakan fenomena-fenomena fisika energi tinggi yang melibatkan interaksi kuat, lemah, dan elektromagnetik mampu dijelaskan dengan baik oleh Model Stan- dar. Model Standar ini merupakan model/teori yang berbasiskan simetri gauge lokal SU(3)

_C

⊗SU(2)

_L

⊗U(1)

_Y

[3]. Model Standar ini pada keeadaan energi tertentu akan pecah menjadi SU(3)

_C

⊗U(1)

_EM

melalui mekanisme Higgs. Hasil pemecahan Model Standar ini ternyata sesuai dengan hasil yang diperoleh pada eksperimen fisika energi tinggi. Meskipun dianggap berhasil, ternyata Model Standar juga memiliki kelemahan, di antaranya adalah munculnya tiga kopling gauge yang berasal dari SU(3), SU(2), dan U(1). Oleh karena dianggap kurang efisien, fisikawan mulai memikirkan untuk mengga- bungkan ketiga jenis simetri itu (SU(3), SU(2), dan U(1)) dalam bentuk suatu simetri tunggal yang mampu menampung ketiga jenis simetri itu sehingga diperoleh hanya satu kopling gauge saja. Teori/model yang mencoba menjelaskan Model Standar ini dalam suatu model tunggal ini disebut sebagai Teori Penyatuan Agung (Grand Unified The- ory/GUT) oleh para fisikawan. Model pertama yang diusulkan adalah model SU(5) [2, 4, 7, 9]. Model ini diusulkan oleh Howard Georgi dan Sheldon L. Glashow. Setelah itu, mulai diusulkan model GUT yang lain seperti model Pati-Salam, SO(10) [2], supersym- metry (SUSY), dan SU(6) [11, 20]. Selain itu, Model Standar juga memiliki kelemahan lain, yaitu tidak dapat menjelaskan masalah massa neutrino yang sangat kecil yang diperoleh pada eksperimen.

Neutrino sebagai salah satu partikel dasar pada Model Standar merupakan partikel yang tidak bermuatan dan hanya dipengaruhi oleh interaksi lemah dan gravitasi saja.

1

Pada Model Standar, neutrino dianggap bermassa nol karena neutrino hanya memiliki komponen left-handed saja. Kita tahu dari formalisme khiralitas (chirality), diperluk- an komponen left-handed dan right-handed untuk membangkitkan suku massa fermion.

Oleh karena itu, diperlukan model/mekanisme baru untuk menjelaskan massa neutrino yang sangat kecil ini. Mekanisme yang umumnya sekarang dipakai adalah mekanisme seesaw. Umumnya, mekanisme seesaw diaplikasikan pada model GUT karena pada GUT umumnya neutrino right-handed dianggap ada.

Salah satu model GUT yang digunakan untuk menjelaskan masalah massa neutri- no ini adalah model GUT SU(6) yang diusulkan oleh A. Hartanto dan L.T. Handoko [11, 20]. Seperti pada model-model GUT yang lain, model ini juga mengalami per- usakan simetri untuk membangkitkan massa fermion melalui mekanisme Higgs. Te- lah dikaji oleh A. Hartanto, C. Wijaya, dan L.T. Handoko bahwa untuk menentukan multiplet Higgs yang sesuai untuk merealisasikan perusakan simetri melalui mekanisme Higgs konvensional sangatlah sulit. Hal ini disebabkan karena multiplet-multiplet Higgs yang diperbolehkan pada model GUT SU(6) tidak dapat mereproduksi semua spektrum massa partikel yang sesuai dengan hasil eksperimen [26]. Oleh karena itu, mengikuti perkembangan fisika dimensi ekstra, maka mulailah ditinjau perusakan simetri model GUT SU(6) pada dimensi ekstra melalui mekanisme Scherk-Schwarz [26]. Melalui me- kanisme Scherk-Schwarz ini diperoleh hasil perusakan simetri yang sesuai dengan hasil eksperimen. Namun, makalah yang ditulis oleh A.Hartanto, F.P. Zen, J.S. Kosasih, dan L.T. Handoko baru sebatas membahas perusakan simetri GUT SU(6) dimensi-5 [26].

Berbekal dengan hasil yang telah diperoleh dan melanjutkan penelitian mengenai GUT SU(6), maka dicoba dikaji masalah neutrino ini pada model GUT SU(6) pada dimensi-5.

Ide inilah yang melatar-belakangi penulisan topik penelitian ini.

1.2 Perumusan Masalah

Pada beberapa model GUT (misal SU(6) ataupun SO(10)) dianggap bahwa neutrino

memiliki komponen right-handed, tidak seperti Model Standar yang menganggap kompo-

nen right-handed tidak ada. Dengan menggunakan model GUT SU(6) dan melanjutkan

penelitian terakhir mengenai model ini [26], dicoba dicari reperesentasi massa neutri-

no. Oleh karena itu, penulisan karya ilmiah ini dibatasi hanya sampai pada pencarian

deskripsi matriks massa neutrino secara kualitatif pada Model SU(6) dimensi-5 sehing-

ga dapat ditentukan mana yang merupakan massa neutrino masif dan ringan. Segala pembahasan di karya ilmiah ini sebagian besar tertuju pada sektor lepton dan sedikit pembahasan sektor kuark (untuk lebih detil mengenai sektor kuark dapat dilihat pada Ref.[3].

1.3 Metode Penelitian

Penelitian ini bersifat teoritik, dengan mempergunakan model GUT SU (6) 5D. Dari model GUT SU (6) 5D yang telah pecah/rusak menjadi SU (3)

_C

⊗SU (3)

_H

⊗U (1)

_C

me- lalui mekanisme Scherk-Schwarz pada orbifold S

¹

/Z

2

, dicoba diaplikasikan mekanisme seesaw. Sumber neutrino yang digunakan berasal dari representasi partikel dasar pada representasi {6}, {15}, {6}, dan {15} pada GUT SU (6).

1.4 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk memeriksa apakah massa neutrino dapat dibangkitkan

secara alami pada level SU (3)

C

⊗SU (3)

H

⊗U (1)

C

tanpa harus menambahkan komponen

neutrino right-handed seperti pada Model Standar melalui mekanisme seesaw.

Transformasi Gauge dan Perusakan Simetri

2.1 Transformasi Gauge

Dalam teori medan kuantum, semua hukum dan teori fisika yang dibuat haruslah invari- an (sama) terhadap kerangka acuan manapun. Cara untuk membuat keinvarianan teori fisika ini adalah dengan melakukan transformasi gauge. Transformasi gauge ada 2 ma- cam, yaitu transformasi yang bersifat global dan lokal. Transformasi gauge global (atau kadang disebut juga transformasi gauge jenis pertama) adalah transformasi yang para- meter transformasinya tidak bergantung terhadap perubahan ruang-waktu, sedangkan transformasi gauge lokal (atau kadang disebut juga transformasi gauge jenis kedua) adalah transformasi yang parameternya bergantung terhadap perubahan ruang-waktu.

Pada fisika hanya transformasi gauge lokal yang mempunyai arti fisis yang penting kare- na transformasi ini tidak merubah teori fisika terhadap ruang dan waktu yang berbeda, di mana teori ini diukur (diamati). Jenis transformasi gauge yang akan dibahas pa- da bab ini adalah transformasi gauge yang berbasiskan simetri grup U(1), SU(2), dan SU(3)

¹

. Simetri grup U(1) merupakan simetri grup unitary yang paling sederhana de- ngan hanya memiliki 1 generator saja. Simetri yang hanya memiliki 1 generator saja disebut simetri Abelian. Sedangkan simetri grup yang memiliki lebih dari 1 generator seperti SU(2), SU(3), SU(5), dan SU(6) disebut simetri non-Abelian.

1Catatan: U merupakan singkatan dari Unitary, sedangkan SU merupakan singkatan dari Special Unitary

4

2.1.1 Simetri Lokal Abelian U(1) : QED

Perhatikan Lagrangian persamaan Dirac untuk partikel bebas berikut ini:

L = i ¯ ψ(x)γ

^µ

∂

µ

ψ(x) − m ¯ ψ(x)ψ(x) (2.1) Lagragian ini akan dibuat invarian terhadap transformasi gauge lokal U(1) dengan cara mentransformasikan:

ψ(x) → e

^−iθ(x)

ψ(x) dan ψ(x) → e ¯

^iθ(x)

ψ(x) ¯ (2.2) di mana θ(x) merupakan parameter transformasi gauge yang bergantung kepada koo- rdinat ruang-waktu.

Jika persamaan (2.2) disubstitusikan ke persamaan (2.1) akan diperoleh hasil:

L

⁰

= ie

^iθ(x)

ψ(x)γ ¯

^µ

∂

_µ

(e

^−iθ(x)

ψ(x)) − me

^iθ(x)

ψ(x)e ¯

^−iθ(x)

ψ(x)

= i ¯ ψ(x)γ

^µ

∂

_µ

ψ(x) + ¯ ψ(x)γ

^µ

∂

_µ

θ(x)ψ(x) − m ¯ ψ(x)ψ(x)

= L + ¯ ψ(x)γ

^µ

∂

_µ

θ(x)ψ(x)

= L + j

^µ

(x)∂

_µ

θ(x) (2.3)

di mana j

_µ

merupakan vektor arus (current vector) yang dibawa oleh fermion. Su- ku kedua pada ruas kanan persamaan (2.3) menyebabkan lagrangian persamaan (2.1) tidaklah invarian. Untuk membuatnya menjadi invarian, kita harus mengganti suku derivatif ∂

_µ

dengan suku derivatif kovarian D

_µ

, di mana:

D

_µ

≡ ∂

_µ

− ieA

_µ

(2.4)

dan kita juga harus mendefinisikan suku A

_µ

pada persamaan (8) yang akan bertransfor- masi menjadi:

A

µ

(x) → A

µ

(x) + 1

e ∂

µ

θ(x) ≡ A

⁰_µ

(x) (2.5) sehingga suku derivatif kovariannya akan bertransformasi menjadi:

D

µ

ψ (x) → (D

µ

ψ (x))

⁰

= D

_µ⁰

ψ

⁰

(x)

= ∂

_µ

− ieA

⁰_µ

(x)

e

^−iθ(x)

ψ (x)

=



∂

µ

− ie(A

µ

(x) + 1

e ∂

µ

θ(x))



e

^−iθ(x)

ψ (x)

= (∂

_µ

− ieA

_µ

(x) + i∂

_µ

θ(x)) e

^−iθ(x)

ψ(x)

= ∂

_µ

e

^−iθ(x)

ψ(x)
− ieA

_µ

(x)e

^−iθ(x)

ψ(x) +i (∂

_µ

θ(x)) e

^−iθ(x)

ψ(x)

= −ie

^−iθ(x)

ψ(x)∂

_µ

θ(x) + e

^−iθ(x)

∂

_µ

ψ(x)

−ieA

_µ

(x)e

^−iθ(x)

ψ(x) + i∂

_µ

θ(x)e

^−iθ(x)

ψ(x)

= e

^−iθ(x)

(∂

_µ

− ieA

_µ

(x)) ψ(x)

= e

^−iθ(x)

(D

µ

ψ(x)) ≡ U (D

µ

ψ(x)) (2.6) Apabila kita gantikan suku derivatif (∂

_µ

) dengan suku kovarian derivatif (D

_µ

) dan subs- titusikan persamaan (2.2) dan (2.6) ke persamaan (2.1), maka lagrangiannya akan men- jadi:

L( ¯ ψ(x), D

_µ

ψ(x), ψ(x)) → L

⁰

( ¯ ψ

⁰

(x), D

⁰_µ

ψ

⁰

(x), ψ

⁰

(x))

L

⁰

= i ¯ ψ

⁰

(x)γ

^µ

D

_µ⁰

ψ

⁰

(x) − m ¯ ψ

⁰

(x)ψ

⁰

(x)

= ie

^iθ(x)

ψ(x)γ ¯

^µ

e

^−iθ(x)

D

_µ

ψ(x)

−me

^iθ(x)

ψ(x)e ¯

^−iθ(x)

ψ(x)

= ie

^iθ(x)

ψ(x)γ ¯

^µ

e

^−iθ(x)

(∂

µ

− ieA

µ

(x)) ψ(x)

−me

^iθ(x)

ψ(x)e ¯

^−iθ(x)

ψ(x)

= i ¯ ψγ

^µ

∂

_µ

ψ − m ¯ ψψ + e ¯ ψγ

^µ

ψA

_µ

= i ¯ ψγ

^µ

∂

_µ

ψ − m ¯ ψψ + ej

_µ

A

_µ

(2.7) Dari persamaan (2.7) terlihat bahwa penggantian suku derivatif ∂

_µ

dengan suku kovarian derivatif D

_µ

akan memunculkan suku ketiga pada ruas kanan persamaan (2.7). Suku ini merupakan interaksi medan gauge boson A

_µ

(yang kita kenal sebagai foton) dengan medan partikel Dirac (ψ). Agar medan gauge A

_µ

memiliki arti fisis, maka Lagrangian persamaan (2.7) harus ditambahkan suku kinetik yang mengandung suku turunan A

_µ

untuk medan gauge-nya. Suku yang paling sederhana adalah:

L

_Aµ

= − 1

4 F

_µν

F

^µν

(2.8)

di mana F

_µν

merupakan tensor field-strength yang dapat dituliskan sebagai:

F

_µν

= ∂

_µ

A

_ν

− ∂

_µ

A

_µ

(2.9)

Jika persamaan (2.7) dan (2.8) digabungkan, maka akan diperoleh lagrangian untuk QED (Quantum Electro-Dynamics), yaitu:

L

_QED

= i ¯ ψγ

^µ

∂

_µ

ψ − m ¯ ψψ + e ¯ ψA

_µ

ψ − 1

4 F

_µν

F

^µν

= ψ(x) (iγ ¯

^µ

D

_µ

− m) ψ(x) − 1

4 F

_µν

F

^µν

(2.10) Pada persamaan (2.8) tidak ada suku massa gauge boson,

¹₂

m

²

A

_µ

A

^µ

, karena suku ini dilarang oleh sifat keinvarianan transformasi gauge lokal. Gauge boson ini yang dikenal sebagai foton haruslah tidak bermassa.

2.1.2 Simetri Lokal Non-Abelian SU(2)–Model Yang-Mills

Pada tahun 1954, C.N. Yang dan R. Mills mengusulkan bahwa teori gauge elektromag- netik U(1) dapat digeneralisasikan menjadi teori gauge non-Abelian. Yang dan Mills memilih grup SU(2) yang familiar pada saat itu sebagai perluasan teori U(1) yang di- generalisasikan [3].

Perhatikan lagrangian pada persamaan (2.1) di mana sekarang ψ dan ¯ ψ merupakan doublet untuk medan Dirac:

ψ =  ψ

₁

ψ

₂



dan ψ = ¯ ψ ¯

₁

ψ ¯

₂

(2.11) Suku ψ

_i

dan ¯ ψ

_i

dengan i=1, 2 pada (2.11) dapat berupa doublet lepton ataupun nukleon.

Lagrangian persamaan (2.1) yang berisi doublet ψ dan ¯ ψ akan dibuat invarian terhadap transformasi gauge lokal SU(2) dengan cara mentransformasikan:

ψ(x) → e

^{−iσj2 θj(x)}

ψ(x) = U ψ(x) ≡ ψ

⁰

(x) (2.12)

ψ(x) → e ¯

^{iσj2 θj(x)}

ψ(x) = U ¯

⁻¹

ψ(x) ≡ ¯ ¯ ψ

⁰

(x) (2.13) di mana σ

^j

(j = 1, 2, 3) merupakan ketiga matriks Pauli 2×2 dan θ

^j

merupakan para- meter transformasi gauge pada grup SU(2). Sama seperti pada kasus simetri grup lokal U(1), kita juga harus mendefinisikan suku derivatif kovarian:

D

_µ

≡ ∂

_µ

− ig

₂

A ~

_µ

dengan A ~

_µ

=

3

X

j=1

A

^j_µ

σ

^j

2 (2.14)

di mana g

₂

adalah konstanta kopling grup SU(2). Suku derivatif kovarian (2.14) harus memenuhi sifat (analogi dengan grup U(1) pada (2.6)):

(D

_µ

ψ (x))

⁰

= D

_µ⁰

ψ

⁰

(x) = U (D

_µ

ψ(x)) (2.15) Kita gunakan persamaan (2.12), (2.14), dan (2.15) untuk mencari bagaimana suku ~ A

_µ

bertransformasi menjadi ~ A

⁰_µ

:

D

⁰_µ

ψ

⁰

(x) = U (D

_µ

ψ(x))



∂

µ

− ig

2

A ~

⁰µ



U ψ(x = U h

∂

µ

− ig

2

A ~

µ

 ψ(x)

i (∂

_µ

U ψ(x)) − ig

₂

A ~

⁰_µ

U ψ(x) = U 

∂

_µ

ψ(x) − ig

₂

A ~

_µ

ψ(x) 

(∂

_µ

U ) ψ(x) + U ∂

_µ

ψ(x) − ig

₂

A ~

⁰_µ

U ψ(x) = U ∂

_µ

ψ(x) − ig

₂

U ~ A

_µ

ψ(x) (2.16) Lalu kita kalikan dari kanan kedua ruas persamaan (2.16) dengan U

⁻¹

:

(∂

_µ

U ) U

⁻¹

− ig

₂

A ~

⁰_µ

U U

⁻¹

= −ig

₂

U ~ A

_µ

U

⁻¹

A ~

⁰µ

= U ~ A

µ

U

⁻¹

+ 1

ig

₂

(∂

µ

U ) U

⁻¹

A ~

⁰_µ

= U ~ A

_µ

U

⁻¹

− i

g

2

(∂

_µ

U ) U

⁻¹

(2.17) di mana U U

⁻¹

= 1. Untuk kasus transformasi kecil sekali (infinitesimal transformation, θ  0):

U = e

^−iθ

≈ 1 − iθ + . . .

U

⁻¹

= e

^iθ

≈ 1 + iθ + . . . (2.18) di mana θ = P

3

j=1

θ

^{j σ}₂^j

= ~ θ ·

^~σ₂

, sehingga persamaan (2.17) dapat dituliskan kembali menjadi:

A ~

⁰_µ

= U ~ A

_µ

U

⁻¹

− i

g

₂

(∂

_µ

U ) U

⁻¹

= (1 − iθ) ~ A

µ

(1 + iθ) − i

g

₂

[∂

µ

(1 − iθ)] (1 + iθ)

=  ~ A

_µ

− iθ ~ A

_µ



(1 + iθ) − i g

₂







∂

_µ

(1)

| {z }

=0

−i∂

_µ

θ



 (1 + iθ)





= A ~

µ

− iθ ~ A

µ

+ i ~ A

µ

θ + ~ A

µ

θ

²

| {z }

=0

− i g

₂



(−i∂

µ

θ) (θ∂

µ

θ)

| {z }

=0





= A ~

_µ

− i h θ, ~ A

_µ

i

− 1

g

₂

∂

_µ

θ (2.19)

Dengan menggunakan relasi h

σ^j

2

,

^σ₂^k

i

= iε

jklσ^l

2

, kita dapat menuliskan kembali persama- an (2.19) menjadi:

A

^j_µ⁰

= A

^j_µ

+ ε

_jkl

θ

^k

A

^l_µ

− 1

g

₂

∂

_µ

θ

^j

(2.20)

Sama seperti kasus U(1), kita juga harus mendefinisikan suku kinetik untuk medan gauge-nya. Suku yang paling sederhana adalah generalisasi lagrangian, L

_Aµ

, pada per- samaan (2.8):

L

_Aµ

= − 1

2 Tr  ~ A

_µν

· ~ A

^µν



= − 1 2

3

X

j,k=1

Tr  τ

^j

2 A

^j_µν

τ

^k

2 A

^kµν



= − 1

4 A

^j_µν

A

^jµν

(2.21) di mana kita telah menggunakan relasi Tr 

τ^j 2

τ^k 2



=

¹₂

δ

^jk

untuk memperoleh hasil pada ruas paling kanan persamaan (2.21). Sehingga sekarang lagrangian untuk model Yang- Mills dapat dituliskan sebagai:

L

_{Y −M}

= ψ(x) (iγ ¯

^µ

D

_µ

− m) ψ(x) − 1

4 A

^j_µν

A

^jµν

= ψ(x) (iγ ¯

^µ

D

_µ

− m) ψ(x) − 1

2 Tr  ~ A

_µν

· ~ A

^µν



(2.22) dengan ~ A

µν

= P

3

j=1 τ^j

2

A

^j_µν

=

^~τ₂

· ~ A

µν

dan tensor gauge field-strength, A

^j_µν

, yang dapat dituliskan sebagai:

A

^j_µν

= ∂

µ

A

^j_ν

− ∂

µ

A

^j_µ

+ g

2

ε

jkl

A

^k_µ

A

^l_ν

(2.23)

2.1.3 Simetri Lokal Non-Abelian SU(3) : QCD

Quantum Chromo-Dynamics (QCD) merupakan teori interaksi kuat yang berupaya un- tuk menjelaskan dinamika kuark dan gluon. QCD merupakan teori gauge non-Abelian yang berbasiskan simetri grup color SU (3)

_C

. Teori SU (3)

_C

ini invarian terhadap tran- sforamsi lokal SU(3) pada ruang color: R (red), B (blue), dan G (green).

^[2]

Teori SU (3)

C

dibangun berdasarkan teori SU(2) model Yang-Mills.

Perhatikan lagrangian Dirac untuk partikel bebas kuark berikut ini:

L =

3

X

j=1

i ¯ q

j

(x)γ

^µ

∂

µ

q

j

(x) − m ¯ q

j

(x)q

j

(x) (2.24) Lagragian ini akan dibuat invarian terhadap transformasi gauge lokal dengan cara men- transformasikan:

q(x) → e

^{−iλj2 αj(x)}

q(x) = U q(x) ≡ q

⁰

(x) (2.25)

¯

q(x) → e

^iλj2αj(x)

q(x) = U ¯

⁻¹

q(x) ≡ ¯ ¯ q

⁰

(x) (2.26) di mana λ

^j

(j = 1, . . ., 8) merupakan kedelapan matriks Gell-Mann 3×3 dan α

^j

meru- pakan parameter transformasi gauge pada grup SU(3). Sama seperti pada kasus SU(2) lokal, kita juga harus mendefinisikan suku derivatif kovarian:

D

_µ

≡ ∂

_µ

− ig

₃

G ~

_µ

dengan G ~

_µ

=

3

X

j=1

G

^j_µ

λ

^j

2 (2.27)

di mana g

₃

adalah konstanta kopling grup SU(3). Suku derivatif kovarian (2.27) harus memeunuhi sifat:

(D

µ

ψ (x))

⁰

= D

_µ⁰

ψ

⁰

(x) = U (D

µ

ψ(x)) (2.28) Supaya persamaan (2.28) terpenuhi, maka ~ G

µ

harus bertransformasi menjadi:

G ~

⁰µ

= U ~ G

µ

U

⁻¹

− i

g

₃

(∂

µ

U ) U

⁻¹

(2.29) di mana U U

⁻¹

= 1.

Untuk kasus transformasi kecil sekali (infinitesimal transformation, α  0), persamaan (2.29) dapat dituliskan kembali menjadi :

G ~

⁰_µ

= ~ G

_µ

− i h

α, ~ G

_µ

i

− 1

g

₃

∂

_µ

α (2.30)

Dengan menggunakan relasi h

λ^j 2

,

^λ₂^k

i

= if

_jkl^λ₂^l

, kita dapat menuliskan kembali persama- an (2.30) menjadi:

G

^j_µ⁰

= G

^j_µ

+ f

_jkl

α

^k

G

^l_µ

− 1

g

₃

∂

_µ

α

^j

(2.31)

Kita juga harus mendefinisikan suku kinetik untuk medan gauge-nya:

L

_Gµ

= − 1

2 Tr  ~ G

_µν

· ~ G

^µν



= − 1 2

3

X

j,k=1

Tr  λ

^j

2 G

^j_µν

λ

^k

2 F

^kµν



= − 1

4 G

^j_µν

G

^jµν

(2.32) di mana kita telah menggunakan relasi Tr 

λ^j 2

λ^k 2



=

¹₂

δ

^jk

untuk memperoleh hasil pada ruas paling kanan persamaan (2.32). Sehingga sekarang lagrangian untuk QCD yang paling sederhana dapat dituliskan sebagai:

L

_QCD

= X

j

¯

q

_j

(x) (iγ

^µ

D

_µ

− m) q

_j

(x) − 1

4 G

^j_µν

G

^jµν

= X

j

¯

q

_j

(x) (iγ

^µ

D

_µ

− m) q

_j

(x) − 1

2 Tr  ~ G

_µν

· ~ G

^µν



(2.33)

dengan ~ G

_µν

= P

3 j=1

τ^j

2

G

^j_µν

=

^~τ₂

· ~ G

_µν

dan tensor gauge field-strength, G

^j_µν

, yang dapat dituliskan sebagai:

G

^j_µν

= ∂

_µ

G

^j_ν

− ∂

_µ

G

^j_µ

+ g

₃

ε

_jkl

G

^k_µ

G

^l_ν

(2.34) Lagrangian QCD pada persamaan (2.34) merupakan lagrangian yang paling sederhana dan belum terenormalisasikan. Bentuk lagrangian QCD yang paling umum dan telah terenormalisasikan berbentuk [5]:

L

_QCD

= X

j

¯

q

_j

(x) (iγ

^µ

D

_µ

− m) q

_j

(x) − 1

4 G

^j_µν

G

^jµν

− g

₃

Θ

64π

²



_µµλρ

G

^jµν

G

^jλρ

(2.35) di mana Θ merupakan parameter sudut vakum QCD.

2.2 Perusakan Simetri

Perusakan simetri merupakan salah satu cara untuk menghasilkan massa pada boson ga- uge agar boson gauge yang tadinya tidak bermassa menjadi bermassa. Perusakan simetri dengan cara menambahkan suku baru dalam lagrangian lama menjamin lagrangian baru medan boson gauge tidak melanggar sifat keinvarianan dalam fisika yang bersifat glo- bal maupun lokal. Suku baru inilah yang kemudian didefinisikan sebagai massa boson gauge. Ada 2 macam mekanisme perusakan simetri pada ruang 4-dimensional (4-D) berdasarkan sifat transformasi gauge-nya, yaitu:

• Mekanisme Goldstone, di mana pada mekanisme ini diplilih keadaan vacuum expe- ctation value (VEV)-nya tidak sama dengan nol dan lagrangian-nya invarian ter- hadap transformasi gauge global.

• Mekanisme Higgs, di mana pada mekanisme ini diplilih keadaan vacuum expecta- tion value (VEV)-nya tidak sama dengan nol dan lagrangian-nya invarian terhadap transformasi gauge lokal.

Namun, selain perusakan simetri pada 4-D, selama beberapa dekade terakhir juga mulai

ditinjau model mekanisme perusakan simetri pada dimensi ekstra. Salah satu contohnya

adalah mekanisme Scherk-Schwarz.

2.2.1 Perusakan Simetri Spontan Mekanisme Goldstone

Perhatikan lagrangian medan kompleks skalar berikut ini:

L = (∂

_µ

φ)

^†

(∂

^µ

φ) − µ

²

φ

^†

φ − λ(φ

^†

φ)

²

(2.36) di mana λ > 0 dan suku potensialnya merupakan suku interaksi antara medan φ

^†

dan φ yang berbentuk:

V φ

^†

φ
= µ

²

φ

^†

φ + λ(φ

^†

φ)

²

(2.37) Lagrangian ini invarian terhadap simetri grup U (1) global, yaitu:

φ(x) → e

^iθ

φ(x) ≡ φ

⁰

(x) (2.38) di mana θ meupakan parameter yang tidak bergantung kepada x (x merupakan koordinat ruang-waktu). Jika kita definisikan:

φ(x) = 1

√ 2 (σ(x) + iχ(x)) (2.39)

φ

^†

(x) = 1

√ 2 (σ(x) − iχ(x)) (2.40)

sehingga lagrangian (2.36) dapat dituliskan kembali sebagai:

L =



∂

_µ

 1

√ 2 (σ(x) − iχ(x))

 

∂

^µ

 1

√ 2 (σ(x) + iχ(x))



−

 µ

²

 1

√ 2 (σ(x) − iχ(x))

  1

√ 2 (σ(x) + iχ(x))



−λ

 1

√ 2 (σ(x) − iχ(x))

  1

√ 2 (σ(x) + iχ(x))



2

L = 1

2 (∂

_µ

σ∂

^µ

σ + ∂

_µ

χ∂

^µ

χ) −  µ

²

2 σ

²

+ χ

²

+ λ

4 σ

²

+ χ

²

2



(2.41) Suku yang berada dalam kurung siku sekarang merupakan suku potensial interaksi baru antara medan σ dan χ:

V = µ

²

2 σ

²

+ χ

²

+ λ

4 σ

²

+ χ

²

2

(2.42) Energi minimum diperoleh jika potensialnya juga bernilai minimum. Potensial minimum diperoleh jika:

∂V

∂φ = 0 = ∂V

∂φ

^†

atau ∂V

∂σ = 0 = ∂V

∂χ (2.43)

dan

"

 ∂

²

V

∂φ

²

= ∂

²

V

∂φ

^†2

= ∂

²

V

∂σ

²

= ∂

²

V

∂χ

²



φ=φ^†=σ=χ=const.

#

> 0 (2.44)

Sekarang tinjau 2 kasus berikut ini:

• Untuk kasus λ > 0 dan µ

²

> 0, maka lagrangian dan potensialnya akan seperti pada persamaan (2.20) dan (2.21). Jika kita diferensiasikan sekali V terhadap σ dan χ, maka diperoleh:

∂V

∂σ = µ

²

σ + λσ σ

²

+ χ

²

= σ µ

²

+ λ σ

²

+ χ

²

= 0 (2.45)

∂V

∂χ = µ

²

χ + λχ σ

²

+ χ

²

= χ µ

²

+ λ σ

²

+ χ

²

= 0 (2.46) Solusi untuk persamaan (2.45) dan (2.46) adalah:

σ = 0 = χ dan σ

²

+ χ

²

= − µ

²

λ (2.47)

Untuk mencari solusi kedua pada persamaan (2.47), kita dapat men-set nilai σ atau χ = 0. Misalkan, diset χ = 0, maka solusi kedua pada persamaan (2.47) akan menjadi σ = ±

q

−

^µ_λ²

. Karena akar solusi kedua pada persamaan (2.47) bernilai imajiner, maka solusi ini tidak memiliki arti apa-apa dalam fisika dan dapat diabaikan. Lalu, jika didiferensiasikan sekali lagi V terhadap σ dan χ pada kondisi σ = χ = 0, maka diperoleh hasil:

∂

²

V

∂σ

²

= µ

²

+ 3λσ

²

+ λχ

²_σ=0=χ

= µ

²

(2.48)

∂

²

V

∂χ

²

= µ

²

+ 3λχ

²

+ λσ

²_σ=0=χ

= µ

²

(2.49)

∂

²

V

∂σ∂χ = ∂

²

V

∂χ∂σ = 0 (2.50)

Hasil turunan kedua V terhadap σ dan χ pada persamaan (2.48), (2.49) ,dan

(2.50) berdasarkan syarat (2.44) menunjukkan bahwa nilai σ dan χ akan mini-

mum pada saat σ = χ = 0. Solusi σ = χ = 0 merupakan nilai minimum yang

akan membuat potensial persamaan (2.42) menjadi minimum. Solusi ini meru-

pakan keadaan dasar (ground state). Dalam teori medan kuantum, keadaan dasar

ini sering disebut sebagai vacuum expectation value/VEV dan dituliskan sebagai h0|σ|0i = hσi

₀

= h0|χ|0i = hχi

₀

= 0. Jika kita lakukan ekspansi L terhadap nilai VEV ini sampai orde kedua, maka lagrangiannya akan menjadi:

L = (∂

_µ

φ)

^†

(∂

^µ

φ) − µ

²

φ

^†

φ (2.51) Persamaan (2.51) tidak lain merupakan persamaan Klein-Gordon untuk partikel boson dengan massa µ.

• Untuk kasus λ > 0 dan µ

²

< 0, maka lagrangian persamaan (2.41) akan menjadi:

L = 1

2 (∂

_µ

σ∂

^µ

σ + ∂

_µ

χ∂

^µ

χ) + µ

²

2 σ

²

+ χ

²

− λ

4 σ

²

+ χ

²

2

(2.52) sehingga potensialnya sekarang menjadi:

V = − µ

²

2 σ

²

+ χ

²

+ λ

4 σ

²

+ χ

²

2

(2.53) Diferensiasikan sekali V terhadap σ dan χ, maka diperoleh:

∂V

∂σ = −µ

²

σ + λσ σ

²

+ χ

²

= σ −µ

²

+ λ σ

²

+ χ

²

= 0 (2.54)

∂V

∂χ = −µ

²

χ + λχ σ

²

+ χ

²

= χ −µ

²

+ λ σ

²

+ χ

²

= 0 (2.55) Solusi untuk persamaan (2.54) dan (2.55) adalah:

σ = 0 = χ dan σ

²

+ χ

²

= µ

²

λ (2.56)

Untuk solusi kedua persamaan (2.56), kita dapat memilih χ = 0, sehingga solusi kedua pada persamaan (2.56) akan menjadi:

σ = ± r µ

²

λ ≡ ±ν untuk χ = 0 (2.57)

Diferensiasikan sekali lagi V terhadap σ dan χ pada kondisi σ = χ = 0 dan σ = ±

q

µ²

λ

, χ = 0, maka diperoleh:

∂

²

V

∂σ

²

= −µ

²

+ 3λσ

²

+ λχ

²_σ=0=χ

= −µ

²

(2.58)

∂

²

V

∂χ

²

= −µ

²

+ 3λχ

²

+ λσ

²_σ=0=χ

= −µ

²

(2.59)

∂

²

V

∂σ

²

=



−µ

²

+ 3λσ

²

+ λχ

²

σ=±

qµ2 λ,χ=0



= 2µ

²

(2.60)

∂

²

V

∂χ

²

=



−µ

²

+ 3λχ

²

+ λσ

²

σ=±

qµ2 λ,χ=0



= 0 (2.61)

∂

²

V

∂σ∂χ = ∂

²

V

∂χ∂σ = 0 (2.62)

Dari hasil kedua solusi pada persamaan (2.56) terlihat bahwa solusi pertama me- nunjukkan nilai lokal maksimum, sedangkan solusi kedua menunjukkan nilai mini- mum yang sebenarnya. Solusi inilah yang akan dijadikan keadaan dasar (ground state/VEV):

h0|σ(x)|0i = hσi

₀

= r µ

²

λ ≡ v (2.63)

Lalu,definisikan pergeseran medan σ(x) dan χ(x) ini sebagai berikut:

σ(x) → σ(x) + hσi = σ(x) + r µ

²

λ

χ(x) → χ(x) + hχi = χ(x) (2.64)

Substitusikan persamaan (2.66) ke lagrangian L pada persamaan (2.52), maka akan diperoleh:

L = 1

2 (∂

µ

σ∂

^µ

σ + ∂

µ

χ∂

^µ

χ) + µ

²

2



 σ + r µ

²

λ

!

2

+ χ

²





− λ 4



 σ + r µ

²

λ

!

2

+ χ

²





2

= 1

2 (∂

_µ

σ∂

^µ

σ + ∂

_µ

χ∂

^µ

χ) − µ

²

σ

²

+ µ

⁴

4λ − λσ

⁴

4 − λσ

³

r µ

²

λ

− λσ

²

χ

²

2 − λσχ

²

r µ

²

λ (2.65)

Dari lagrangian pada persamaan (2.65) terlihat bahwa medan skalar χ menjadi tak bermassa, sementara medan skalar σ menjadi masif dengan massa √

2µ. Boson

skalar yang tak bermassa ini dikenal sebagai boson Nambu-Goldstone.

Gambar 2.1: Plot V (φ) terhadap φ

2.2.2 Perusakan Simetri Spontan Mekanisme Higgs

2.2.2.1. Model Abelian U(1)

Perhatikan lagrangian kompleks skalar berikut ini yang terkopel dengan dirinya sendiri dan medan elektromagnetik:

L = − 1

4 F

_µν

F

^µν

+ (D

_µ

φ)

^∗

(D

^µ

φ) − V (φ

^∗

φ) (2.66) dengan D

µ

= ∂

µ

− ieA

µ

. Lagrangian ini invarian terhadap simetri transformasi local U(1), yaitu:

φ (x) → φ

⁰

(x) = e

^−iθ(x)

φ (x) (2.67) A

µ

(x) → A

⁰_µ

(x) = A

µ

(x) + 1

e ∂

µ

θ (x) (2.68)

Misalkan kita pilih potensial pada lagrangian persamaan (2.66) berbentuk:

V (φ) = −µ

²

φ

^∗

φ + λ (φ

^∗

φ)

²

(2.69) dengan µ

²

> 0. Sama seperti pada mekanisme Goldstone, nilai minimum potensial yang dijadikan VEV dari persamaan (2.69) adalah:

hφi =  µ

²

2λ



1/2

≡ v

√ 2 (2.70)

Kita gunakan teori pertubasi dan definisikan medan kompleks skalar φ(x) baru sebagai akibat gangguan medan real baru, η(x) dan α(x), di sekitar keadaan harga ekspektasi vakum (VEV: vacuum expectation value)/keadaan dasar:

φ(x) = hφi +

 1

√ 2 [η(x) + iα(x)]



= 1

√ 2 [v + η(x) + iα(x)]

= 1

√ 2 [v + η(x)] e

^iα(x)/v

(2.71)

Kita pilih kondisi transformasi gauge sedemikian rupa sehingga θ(x) =

^α(x)_v

dan tuliskan kembali persamaan (2.67) dan (2.68) menjadi:

φ (x) → φ

⁰

(x) = e

^−iα(x)/v

φ (x) = e

^−iα(x)/v

1

√ 2 [v + η(x)] e

^iα(x)/v

= 1

√ 2 [v + η(x)] (2.72)

A

_µ

(x) → B

_µ

(x) = A

_µ

(x) + 1

ev ∂

_µ

α (x) (2.73) Transformasi seperti pada (2.72) dan (2.73) dinamakan transformasi unitary gauge atau kadang disebut juga transformasi U-gauge.

^[3]

Di bawah pengaruh transformasi unitary gauge, kita mempunyai:

D

_µ

φ(x) → D

_µ⁰

φ

⁰

(x) = (∂

_µ

− ieB

_µ

) 1

√ 2 [v + η(x)] (2.74) dan

F

µν

(A) = ∂

µ

A

ν

− ∂

ν

A

µ

→ F

µν

(B) = ∂

µ

B

ν

− ∂

ν

B

µ

(2.75) di mana F

_µν

(B) juga invarian terhadap transformasi lokal U(1). Jika kita substitusikan persamaan (2.72)–(2.75) ke persamaan (2.66), maka akan didapatkan:

L = D

⁰_µ

φ

⁰

∗

(D

^0µ

φ

⁰

) + µ

²

φ

^0∗

φ

⁰

− λ (φ

^0∗

φ

⁰

)

²

− 1

4 F

_µν

(B)F

^µν

(B)

=



(∂

_µ

+ ieB

_µ

) 1

√ 2 [v + η(x)]

 

(∂

^µ

− ieB

^µ

) 1

√ 2 [v + η(x)]



+µ

²

 1

√ 2 [v + η(x)]



2

− λ

 1

√ 2 [v + η(x)]



4

− 1

4 F

_µν

(B)F

^µν

(B)

=

  1

√ 2 ∂

_µ

v + 1

√ 2 ∂

_µ

η + 1

√ 2 ieB

_µ

v + 1

√ 2 ieB

_µ

η



×

 1

√ 2 ∂

^µ

v + 1

√ 2 ∂

^µ

η − 1

√ 2 ieB

^µ

v − 1

√ 2 ieB

^µ

η

 

+  1

2 µ

²

v

²

+ 1

2 µ

²

η

²

+ µ

²

vη



−  1

4 λv

⁴

+ λv

³

η + 6

4 λv

²

η

²

+ λvη

³

+ 1 4 λη

⁴



− 1

4 F

_µν

(B)F

^µν

(B)

= 1

2 ∂

_µ

v∂

^µ

v

| {z }

=0

+ 1

2 ∂

_µ

v∂

^µ

η

| {z }

=0

+ 1

2 ∂

_µ

η∂

^µ

η − 1

2 ievB

^µ

(∂

_µ

v)

| {z }

=0

− 1

2 ieηB

^µ

(∂

_µ

v)

| {z }

=0

− 1

2 ievB

^µ

(∂

_µ

η) + 1

2 ∂

_µ

η∂

^µ

v

| {z }

=0

− 1

2 ieηB

^µ

(∂

_µ

η) + 1

2 ievB

_µ

(∂

^µ

v)

| {z }

=0