10/14/2010 UJI HIPOTESIS PENGERTIAN GALAT (ERROR) salah)

(1)

UJIHIPOTESIS

•UJI RATAAN

•UJIVARIANSI

MA 2181 Analisis Data Utriweni Mukhaiyar Oktober 2010

PENGERTIAN

 Hipotesis adalah suatu anggapan yang mungkin benar atau tidak mengenai satu populasi atau lebih yang perlu diuji kebenarannya

2 1. Hipotesis nol (H₀) ; pernyataan yang mengandung

tanda kesamaan (=, ≤ , atau ≥)

2. Hipotesis tandingan (H₁) ; tandingan hipotesis H₀, mengandung tanda  , >, atau <.

 Dalam statistika, hipotesis yang akan diuji dibedakan menjadi:

G^ALAT(^ERROR)

H0benar H0salah H₀ditolak P(menolak H0| H0benar)

= galat tipe I = α keputusan benar

3

H₀tidak

ditolak keputusan benar P(tidak menolak H0| H0

salah)

= galat tipe II = β

yang dimanfaatkan dalam pokok bahasan ini

(2)

S KEMA U MUM U JI H IPOTESIS

Hipotesis Statistik

H₀

H₁

•Hipotesis yang ingin diuji

•Memuat suatu kesamaan (=, ≤ atau ≥)

•Dapat berupa - hasil penelitian sebelumnya - informasi dari buku atau - hasil percobaan orang lain

•Hipotesis yang ingin dibuktikan

•Disebut juga hipotesis alternatif

•Memuat suatu perbedaan (≠, > atau <)

???

4

p ( )

Keputusan H0ditolak H0tidak ditolak

H1benar

Kesimpulan Kesimpulan

Tidak cukup bukti untuk menolak H0

Kesalahan

Tipe I Menolak H0padahal

H0benar P(tipe I) = α

= tingkat signifikansi

Tipe II Menerima H0padahal

H0salah P(tipe I) = β mungkin terjadi

S TATISTIK U JI DAN T ITIK K RITIS

Statistik uji digunakan untuk menguji hipotesis statistik yang telah dirumuskan. Notasinya berpadanan dengan jenis distribusi yang digunakan.

Titik kritis membatasi daerah penolakan dan penerimaan H₀₀. Diperoleh dari tabel statistik yang bersangkutan.p y g g

H0ditolak jika nilai statistik uji jatuh di daerah kritis.

5 1 -

daerah kritis = /2

titik kritis

daerah penerimaan H0

titik kritis

0

titik kritis 1 -

daerah penerimaan H0

daerah kritis daerah

kritis = /2

diperoleh dari tabel statistik

₀

₀

6

₀adalah suatu konstanta yang diketahui

uji satu arah

(3)

S TATISTIK U JI UNTUK R ATAAN

S ATU P OPULASI

1. Kasus σ²diketahui



0

 X

Z 

~ N(0 1) Tabel Z ( l b k )

7

 /

Z  n

0

/

 X 

T s n



2. 2. Kasus Kasus σσ

²²

tidak tidak diketahui diketahui

N(0,1)

~ t(n-1)

Tabel Z (normal baku)

Tabel t

D

AERAH

K

RITIS

U

JI

R

ATAAN

S

ATU

P

OPULASI

σ²diketahui σ²tidak diketahui Statistik

Statistik ujiuji :: ZZ TT

H0 :  = 0vs H1 :   0 Z < - Z_α/2atau Z > Z_α/2 T < - T_α/2atau T > T_α/2 H0 :  0vs H1 :   0 Z Z_α/2atau Z Z_α/2 _α/2atau _α/2 H0 :  = 0vs H1 :  > 0 Z > Zα T > Tα

H0 :  = 0vs H1 :  < 0 Z < - Z_α T < - T_α

8

titik kritis dengan derajat kebebasan n - 1

UJIRATAANDUAPOPULASI

1. H₀: ₁- ₂= ₀vs H₁: ₁- ₂₀ 2. H₀: ₁- ₂= ₀vs H₁: ₁- ₂> ₀ 3 H :  -  =  vs H :  -  < 

uji dua arah

3. H₀: ₁- ₂= ₀vs H₁: ₁- ₂< ₀

9

₀adalah suatu konstanta yang diketahui

uji satu arah

(4)

S TATISTIK U JI UNTUK R ATAAN



dengan ²_p ¹ ¹² ² ²²

1 2

(n 1)S (n 1)S

S = n n 2

  

 

D

AERAH

K

RITIS

U

JI

R

ATAAN

D

UA

P

OPULASI

σ12, σ22

diketahui σ₁², σ₂²tidak diketahui

Statistik uji : Z T

σ₁²= σ₂² σ₁²≠ σ₂²

 2

11

Derajat

Kebebasan n₁+ n₂- 2

H₀: ₁-₂= ₀vs

H1 : ₁-₂ ₀ Z < - Z_α/2atau Z > Zα/2

T < - T_α/2atau T > Tα/2

H₀: ₁-₂= ₀vs

H₁: ₁-₂>₀ Z > Z_α T > T_α T > T_α H0 : ₁-₂= ₀vs

H1 : ₁-₂<₀ Z < - Z_α T < - T_α T < - T_α

2 22

1 2

2 2

1 2

1 1 2 2

S S n n v =

S S

1 1

(n 1) n (n 1) n

  

 

 

C^ONTOH1

Berdasarkan 100 laporan kematian di AS yang diambil secara acak, diperoleh bahwa rata-rata usia saat meninggal adalah 71.8 tahun dengan simpangan baku 8.9 tahun. Hal ini memberikan

dugaan bahwa rata-rata usia meninggal di AS dugaan bahwa rata rata usia meninggal di AS lebih dari 70 tahun.

a. Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan hipotesis statistik

b. Untuk tingkat signifikansi 5% , benarkah dugaan tersebut?

13

SOLUSI Diketahui Ditanya:

a. Hipotesis statistik b Kesimpulan uji hipotesis

X 71.8, s 8.9,

0 70,

   0, 05

b. Kesimpulan uji hipotesis Jawab:

Parameter yang akan diuji : μ a. Rumusan hipotesis:

H₀: μ = 70

H1: μ > 70 14

b. α = 5%=0.05, maka titik kritis t_0.05,(99)= 1.66 x 0 71,8 70

t 2, 02

s 8,9

n 100

  

  

K t > t k t b d d d h Karena t > t_0.05,(99), maka t berada pada daerah penolakan sehingga keputusannya H₀ditolak.

Jadi dugaan tersebut benar bahwa rata-rata usia meninggal di AS lebih dari 70 tahun.

15

(6)

C^ONTOH2

Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan yang diakibatkan oleh gosokan, dari dua bahan yang dilapisi. Dua belas potong bahan 1 diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan 2 diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap hal, diamati dalamnya

k S l b h 1 b ik t t k

keausan. Sampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan (sesudah disandi) sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel 5.

Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian 5%, bahwa rata- rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 lebih dari dua satuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama.

16

SOLUSI

Misalkan μ1dan μ2masing-masing menyatakan rata-rata populasi bahan 1 dan populasi bahan 2.

Variansi populasi kedua bahan tidak diketahui, yang diketahui adalah variansi sampel.

Diasumsikan variansi populasi kedua bahan adalah sama. Rumusan hipotesis yang diuji adalah:

H₀: μ₁- μ₂= 2 H₁: μ₁- μ₂> 2

17

Tingkat keberartian, α = 0.05

1 1 1

2 2 2

x 85, s 4, n = 12 x =81, s =5, n =10

 

Kita gunakan statistik uji untuk variansi kedua populasi tak diketahui tapi dianggap sama, yaitu

 1 2 0 H

x x μ

t =  

18 H

p

1 2

1 1

S nn dengan

2 2

1 1 2 2

p

1 2

(n 1)S (n 1)S (11)(16) (9)(25)

S = 4.478

n n 2 12 10 2

     

   

Maka diperoleh

1 2 0 H

p

1 2

x x μ (85 81) 2

t = 1.04

1 1 4.478 (1/12) (1/10)

S n n

     

 

(7)

Statistik uji t berdistribusi t-student dengan derajat kebebasan n1+n2-2 = 12 +10 - 2= 20, sehingga titik kritisnya adalah t0.05,20 = 1.725.

Karena t < 1 725 maka H tidak ditolak Karena t < 1.725, maka H₀tidak ditolak.

Tidak dapat disimpulkan bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 lebih dari 2 satuan.

19

CONTOH3 (DATA BERPASANGAN)

Pada tahun 1976, J.A. Weson memeriksa pengaruh obat succinylcholine terhadap kadar peredaran hormon androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebas diambil melalui urat nadi leher segera setelah succinylcholine disuntikkan nadi leher segera setelah succinylcholine disuntikkan pada otot rusa. Rusa kemudian diambil lagi darahnya kira-kira 30 menit setelah suntikan dan kemudian rusa tersebut dilepaskan. Kadar androgen pada waktu ditangkap dan 30 menit kemudian diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) untuk 15 rusa. Data terdapat pada tabel berikut ₂₀

N0 Kadar androgen (ng/ml) sesaat setelah disuntik

Kadar androgen (ng/ml) 30 menit setelah

disuntik

Selisih (d_i)

1 2 3 4 5 6

2.76 5.18 2.68 3.05 4.10 7 05

7.02 3.10 5.44 3.99 5.21 10 26

4.26 -2.08 2.76 0.94 1.11 3 21 6

7 8 9 10 11 12 13 14 15

7.05 6.60 4.79 7.39 7.30 11.78 3.90 26.00 67.48 17.04

10.26 13.91 18.53 7.91 4.85 11.10

3.74 94.03 94.03 41.70

3.21 7.31 13.74 0.52 -2.45 -0.68 -0.16 68.03 26.55 24.66

21

(8)

Anggap populasi androden sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian berdistribusi normal. Ujilah, pada tingkat keberartian 5%, apakah konsentrasi androgen berubah setelah ditunggu 30 menit.

22

SOLUSI

Ini adalah data berpasangan karena masing- masing unit

percobaan (rusa) memperoleh dua kali pengukuran Misalkan μ₁dan μ₂masing-masing

menyatakan rata-rata konsentrasi menyatakan rata rata konsentrasi androgen sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian. Rumusan hipotesis yang diuji adalah

H₀: μ₁= μ₂atau μ_D= μ₁- μ₂= 0 H₁: μ₁≠ μ₂atau μ_D= μ₁- μ₂≠ 0

Tingkat signifikansi yang digunakan adalah α =

5% = 0.05 ²³

Rata-rata sampel dan variansi sampel untuk selisih ( d_i) adalah

d 9.848 dan s d18.474

Statistik uji yang digunakan adalahj y g g

0 d

t = d d s / n



Dalam hal ini

9.848 0

t = 2.06

18.474 / 15

 

24

(9)

Statistik uji t berdistribusi t-student dengan derajat kebebasan n – 1 = 15 – 1 = 14. Pada tingkat keberartian 0.05, H₀ditolak jika

t < - t_0.025,14= -2.145 atau t > t_0.025,14= 2.145.

Karena nilai t = 2.06, maka nilai t tidak berada pada Karena nilai t 2.06, maka nilai t tidak berada pada daerah penolakan. Dengan demikian, H₀tidak ditolak. Kendati demikian, nilai t = 2.06 mendekati nilai t_0.025,14= 2.145. Jadi perbedaan rata-rata kadar peredaran androgen tidak bisa diabaikan.

25

UJIHIPOTESISTENTANGVARIANSISATU POPULASI

Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk kasus variansi satu populasi adalah

2 2 2 2

0 0 1 0

1. H : = vs H : 

26

2 2 2 2

0 0 1 0

2.H : = vs H : 

2 2 2 2

0 0 1 0

3. H : = vs H : 

Dengan menyatakan suatu konstanta mengenai variansi yang diketahui

2

0

Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah :

2 2

2

(n1)S

 

0



Jika H₀benar, maka statistik uji tersebut

berdistribusi chi-square dengan derajat kebebasan n-1

27

(10)

Untuk hipotesis , tolak H₀ pada tingkat keberartian α jika :

2 2 2 2

0 0 1 0

H : = vs H : 

2 2 2 2

1 ,( 1) ,( 1)

2 2

atau

n n

  

 _  _

   

Untuk hipotesis , tolak H0

pada tingkat keberartian α jika

2 2 2 2

0 0 1 0

H : = vs H : 

2 2

1,(n1)

 _

 

Untuk hipotesis , tolak H₀

pada tingkat keberartian α jika

2 2 2 2

0 0 1 0

H : = vs H : 

2 2

,(n1)

 _

 

merupakan nilai- nilai dari tabel distribusi chi-square dengan derajat kebebasan n - 1

2 ,( 1) 2

 ,

n

 ²

12,( 1)

n ,

 _²_,(_n_₁₎, dan²_,(n₁₎

28

UJIHIPOTESISTENTANGVARIANSIDUA POPULASI

Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk uji hipotesis mengenai variansi dua populasi adalah

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2

1. H :  vs H : 

29

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2

2. H :  vs H : 

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2

3. H :  vs H : 

Dengan σ₁²dan σ₂²masing-masing adalah variansi populasi ke-1 dan variansi populasi ke-2

Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah

2 1 2 2

F S

S

Jika H₀benar, statistik uji tersebut berdistribusi Fisher dengan derajat kebebasan v₁= n₁– 1 dan v₂= n₂– 2

30

(11)

Untuk hipotesis , tolak H₀ pada tingkat keberartian α jika :

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2

H :  vs H : 

12 12

1 ,( , ) ,( , )

2 2

atau

v v v v

Ff__ Ff_

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2

H :  vs H : 

Ff

Untuk hipotesis , tolak H₀

pada tingkat keberartian α jika :

12 1 ,( , )v v

Ff_

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2

H :  vs H : 

12 ,( , )v v

Ff_

12 12 12 12

,( , )_{v v} , 1_,( , )_{v v} , / 2,( , )_{v v} , dan 1_/ 2,( , )_{v v}

f_ f _ f_ f _ adalah nilai-nilai dari tabel distribusi Fisher dengan derajat kebebasan v₁dan v₂

31

CONTOH4

Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0.9 tahun. Bila sampel acak 10 baterai tersebut menghasilkan simpangan baku 1.2 tahun, apakah anda setuju p g , p j bahwa σ > 0.9 tahun? Gunakan taraf kebartian 5%!

32

SOLUSI H₀: σ²= 0.81 H₁: σ²> 0.81 α = 0.05

Diketahui simpangan baku sampel, s = 1.2

Statistik uji ₂

( 1) (9)(1 44)

33

Titik kritis adalah

Karena , maka H0tidak ditolak. Simpulkan bahwa simpangan baku umur baterai tidak melebihi 0.9

2 2

2 0

( 1) (9)(1.44) 16 0.81

 n s  

 

2 2

,_n_1 0.05,916.919

 

2 2

0.05,9

 

(12)

C^ONTOH5

Dalam pengujian keausan kedua bahan di contoh 2, dianggap bahwa kedua variansi yang tidak diketahui sama besarnya. Ujilah anggapan ini!

Gunakan taraf keberartian 0.10.

34

SOLUSI

Misalkan σ₁²dan σ₂²adalah variansi populasi dari masing-masing keausan bahan 1 dan bahan 2. rumusan hipotesis yang akan diuji adalah H₀: σ₁²= σ₂²

H : σ²≠ σ² H₁: σ₁²≠ σ₂²

α = 0.10

35

Statistik uji f = s₁²/ s₂²= 16 / 25 = 0.64 H₀ditolak dengan tingkat keberartian α jika

12 12

1 ,( , ) ,( , )

2 2

atau

  

v v v v

f f f f

Dalam hal ini α = 0.10, v₁= n₁– 1 = 12 – 1 = 11 , dan v₂= n₂– 1 = 10 – 1 = 9.

, dan v₂ n₂ 1 10 1 9.

Maka

12 0.95,(11.9) 1 ,( , )

2

  0.34

f _v v f dan

12 0.05,(11.9) ,( , ) 2

 3.11 f_v v f

Karena , maka jangan tolak H₀.

Simpulkan bahwa tidak cukup kenyataan untuk menyatakan bahwa variansinya berbeda.

1 2 1 2

1 ,( , ) ,( , )

2 2

  

v v v v

f  f f

36

(13)

R^EFERENSI

Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.

Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference USA: John Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.

Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung:

Penerbit ITB, 1995.

Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs

& Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice

Hall, 2007. ³⁷