PETA KENDALI R ADAPTIF SEBAGAI
ALTERNATIF PETA KENDALI R SHEWHART DALAM MENDETEKSI PERGESERAN KECIL
PADA VARIANS
“Adaptive R Control Chart as Alternative Shewhart R Control Chart in Detecting Small Shifts of the Standard Deviation”
Oleh: Farihatul Usro 1207100703
Dosen pembimbing Dra. Farida Agustini W, MS
Dra. Laksmi Prita Wardhani M.Si
Latar Belakang
Persaingan pasar semakin ketat
Produk yang berkualitas yang
bisa bertahan
Pengendalian kualitas menjadi
sangat penting
Alat yang digunakan untuk pengendalian kualitas adalah peta
kendali
Ada peta kendali variabel dan atribut Biasanya digunakan peta kendali R Shewhart untuk
mendeteksi peningkatan keragaman tapi kurang
cepat mendeteksi peningkatan yang kecil
Diterapkan sifat peta kendali adaptif
pada peta kendali R Shewhart
Peta kendali R VSS, R VSI dan R VSSI
dibandingkan dengan peta kendali
R Shewhart Menentukan peta kendali mana yang
paling cepat mendeteksi peningkatan keragaman produk
Rumusan Masalah
1. Bagaimana perbandingan kinerja antara peta kendali R yang menggunakan ukuran sampel bervariasi (VSS), Peta kendali R yang menggunakan, interval sampling bervariasi (VSI), peta kendali R yang menggunakan ukuran sampel dan interval sampling bervariasi (VSSI) dan peta kendali R Shewhart.
2. Dari semua peta kendali pada (1), peta kendali
manakah yang paling cepat mendeteksi pergeseran
standar deviasi yang kecil.
Batasan Masalah dan Asumsi
• Diasumsikan pengamatan proses berdistribusi normal.
• Diasumsikan proses pertama kali dimulai dalam keadaan in control.
• Pengambilan sampel atau iterasi pada pengamatan
dilakukan secara independen.
Tujuan
1. Membandingkan kinerja antara peta kendali R
VSS, peta kendali R VSI, peta kendali R VSSI dan peta kendali R Shewhart menggunakan pendekatan Markov Chain.
2. Menentukan peta kendali pada (1) yang paling
cepat mendeteksi pergeseran standar deviasi yang
kecil, yang dapat diukur dari nilai Average Time To
Signal (ATS) dan ANOS masing-masing.
Manfaat
1. Mendapatkan peta kendali R adaptif gabungan dari peta kendali R yang menggunakan ukuran sampel bervariasi dan peta kendali R yang menggunakan interval sampling bervariasi sebagai alternatif peta kendali variabel R Shewhart dalam mendeteksi
pergeseran standar deviasi yang kecil.
2. Mendapatkan peta kendali yang paling cepat
mendeteksi pergeseran standar deviasi yang kecil.
Pengendalian Kualitas Statistik
Pengendalian kualitas statistik merupakan teknik
penyelesaian masalah yang digunakan untuk
memonitor, mengendalikan, menganalisis, mengelola
dan memperbaiki produk dan proses menggunakan
metode statistik. Salah satu alat yang digunakan
adalah peta kendali (control chart).
Peta Kendali
Pada dasarnya, peta pengendali digolongkan menjadi dua, yaitu peta pengendali variabel dan peta pengendali atribut. Apabila karakteristik kualitas dapat diukur dan dapat dinyatakan dengan bilangan maka peta kendali ini disebut peta kendali variabel. Sedangkan apabila karakter kualitas suatu unit produk tidak dapat diukur dengan skala kuantitatif dan hanya dapat dinilai sebagai keadaan sesuai atau tidak sesuai maka peta kendali ini disebut peta kendali atribut.
Peta Kendali Adaptif
Peta kendali dengan parameter yang tetap, lebih lambat dalam mendeteksi gangguan pada proses. Pada peta kendali adaptif ada tiga parameter yang bisa divariasi, yaitu ukuran sampel (n), interval pengambilan sampel (h) dan batas
pengendali (k). Pada peta kendali adaptif ada dua batas
pengendali yaitu batas peringatan (warning limit) dan batas kendali (control limit)
Peta kendali adaptif ada tujuh macam, yang merupakan hasil kombinasi dari tiga parameter yang bisa divariasi.
Pendekatan Markov Chain
Andaikan suatu proses diamati pada waktu n = 0,1,2..., dan misalkan Xn adalah keadaan dari proses saat n. Barisan
variabel random { } disebut proses stokastik dengan waktu diskrit, dan ditulis sebagai {Xn, n≥0}. Rantai markov
diskrit adalah suatu proses stokastik dengan state space diskrit dan parameter space (waktu proses) diskrit. Dalam rantai
markov probabilitas suatu state pada waktu ke- (n+1) hanya tergantung pada kondisi state pada waktu ke – n, dan tidak tergantung pada kondisi dari waktu-waktu sebelumnya.
Dinotasikan dengan
P(Xn+1 = j|Xn=i,Xn-1,...X0) = P(Xn+1=j|Xn=i) (2.15)
,..
,
, 1 2
0 X X
X
ATS dan ANOS
Beberapa ukuran statistik untuk menilai kinerja peta kendali adaptif, diantaranya:
•ARL (Average Run Length): jumlah sampel yang diambil dari awal proses sampai peta kendali mendeteksi pergeseran. ARL out of control digunkan untuk mengukur kecepatan peta kendali dalam mendeteksi pergeseran.
•ATS (Average Time to Signal): waktu dari proses dimulai sampai peta kendali mendeteksi pergeseran.
•AATS (Adjusted Average Time to Signal): waktu mulai dari peta kendali mendeteksi pergeseran sampai out of control.
•ANOS (Average Number of Observations to Signal): jumlah sampel
yang diteliti dari awal proses sampai peta kendali mendeteksi pergeseran.
Average Run Length (ARL) adalah rata-rata jumlah titik sampel yang harus diplot sebelum suatu titik sampel menunjukkan keadaan tidak terkendali. Secara umum persamaan untuk perhitungan ARL adalah :
(2.17)
Dengan,
p : probabilitas suatu titik keluar dari batas kendali BKA atau BKB
ATS = ARL(h) (2.20)
Dengan h = [h1 h2]
ANOS = ARL (n) (2.21)
Dengan n = [n1 n2]
ARL = 1p
METODOLOGI PENELITIAN
Studi Literatur Analisis Peta Kendali R Adaptif
Mendefinisikan parameter state space
pada rantai markov
Mencari matriks transisi dari parameter
tersebut Mendapatkan matriks
probabilitas dari proses in control
Menentukan rumusan ATS dan ANOS
Menghitung nilai ATS dan ANOS masing- masing peta kendali
Membandingkan peta kendali R VSS, peta
kendali R VSI, peta kendali R VSSI dan
peta kendali R Shewhart
Penentuan peta kendali yang paling cepat dalam
mendeteksi pergeseran yang kecil pada standar deviasi berdasarkan nilai
ATS dan ANOS yang paling kecil
Analisis Peta Kendali R Adaptif
Prinsip dari peta kendali R adaptif hampir sama dengan peta kendali R Shewhart, sehingga batas pengendalinya juga sama. Hanya saja pada peta kendali R adaptif ini ditambah dengan batas paringatan. Sehingga peta kendali R Adaptif mempunyai dua batas, yaitu batas kendali dan batas peringatan. Pada peta kendali R adaptif, ukuran sampel (n), interval pengambilan sampel (h) dan batas pengendali (k) divariasi, tergantung pada posisi range sampel pada pengambilan sebelumnya. Peta kendali R adaptif mempunyai 7 macam. Namun dalam tugas akhir ini hanya 3 macam yang dianalisis, yaitu peta kendali R adaptif VSS, peta kendali R adaptif VSI dan peta kendali R adaptif VSSI.
Mendefinisikan Parameter State Space pada Rantai Markov
Dalam tugas akhir ini, pendekatan yang digunakan untuk mendapatkan rumus ATS dan ANOS adalah Rantai Markov Diskrit. Dalam hal ini sifat
markovnya adalah perpindahan posisi range sampel saat sift ke- (n+1) hanya tergantung pada posisi range sampel pada sift ke-n. Dengan n merupakan waktu pengamatan, maka n ≥ 0. Himpunan state spacenya S = {1,2,3}.
State space (Xn) yang digunakan ada 3, yaitu:
State 1. Proses dalam keadaan in control dan range sampel jatuh di daerah tengah
State 2. Proses dalam keadaan in control dan range sampel jatuh di daerah peringatan
State 3. Proses dalam keadaan out of control
Perpindahan posisi range sampel, untuk semua i dan j dalam S, dapat dinotasikan dengan
P (Xn+1 = j│Xn = i, Xn-1,...,X0) = P (Xn+1 = j│Xn = i) (4.9)
Mencari Matriks Transisi
Untuk mendapatkan nilai ATS dan ANOS melalui metode Rantai Markov, perlu dibentuk matriks transisi probabilitas .
Misalkan S = {1,2,3}
Matriks probabilitas transisi dapat disusun:
Dengan :
= probabilitas jika titik sampel sekarang berada di daerah i, titik sampel berikutnya berada di daerah j, saat range mengalami pergeseran sebesar γ standar deviasi
=
) ( )
( )
(
) ( )
( )
(
) ( )
( )
(
33 32
31
23 22
21
13 12
11
γ γ
γ
γ γ
γ
γ γ
γ
p p
p
p p
p
p p
p P
) (γ pij
=
) ( )
(
) ( )
) ( (
22 21
12 11
γ γ
γ γ γ
p p
p Q p
) (
)
( 1 0
11
γ
= P R ≤UWLσ
=γσ
p) (
)
( 1 1 0
12 γ = P UWL ≤ R ≤ UCL σ = γσ
p
) (
)
( 2 1 0
21
γ
= P R ≤ UWLσ
=γσ
p
) (
)
( 2 2 0
22 γ = P UWL ≤ R ≤UCL σ = γσ
p
Matriks transisi yang sudah direduksi
Rumus ATS dan ANOS
Berdasarkan tiga tahap tersebut, dapat ditulis rumus ATS dan ANOS sebagai berikut
ATS = rT(I-Q)-1 h ANOS = rT(I-Q)-1 n
Membandingkan peta kendali R VSS, peta kendali R VSI, peta kendali R VSSI dan peta kendali R Shewhart
Setelah dilakukan simulasi dengan tiga nilai σ0 yang didapatkan dari data kandungan H2O pada pupuk urea dan beberapa nilai γ, masing-masing peta kendali dapat dibandingkan kecepatannya dalam mendeteksi pergeseran yang kecil pada varians, semakin kecil nilai ATS dan ANOS semakin baik kinerja peta kendali. Perbandingan masing-masing peta kendali adalah sebagai berikut:
1. Untuk σ0 = 0,07 peta kendali R VSS paling cepat pada pergeseran kecil, sedangkan peta kendali R shewhart yang paling cepat dalam mendeteksi pergeseran lainnya. Sedangkan jumlah sampel paling sedikit adalah peta kendali R VSS.
2. Untuk σ0 = 0,08 peta kendali R VSS paling cepat dalam mendeteksi pergeseran kecil, namun untuk yang lainnya, peta kendali R Shewhart yang paling cepat. Sedangkan untuk jumlah sampel peta kendali R VSSI dan VSS saat γ = 1 sampai 1,5 membutuhkan sampel paling kecil dan untuk γ selain itu jumlah sampel terkecil adalah peta kendali R Shewhart dan R VSI.
3. Untuk σ0 = 0,09 peta kendali R Shewhart mendeteksi paling cepat untuk semua pergeseran, dan untuk jumlah sampel
yang kecil adalah peta kendali R Shewhart dan R VSI.
4. Secara keseluruhan saat σ0 = 0,07 dan σ0 = 0,08 peta kendali R VSS mampu mendeteksi paling cepat diantara keempat peta kendali saat γ = 1 dan 1.1. Sedangkan untuk γ = 1.3, 1.5, 1.8,2,2.5 dan 3 Peta kendali R Shewhart yang paling
cepat. Namun untuk σ0 = 0,09 peta kendali R Shewhart yang paling cepat untuk semua γ.
Kesimpulan
Peta kendali R yang menerapkan dua sifat peta kendali adaptif yaitu ukuran sampel dan interval pengambilan sampel yang divariasi, ternyata tidak selamanya lebih cepat dalam mendeteksi pergeseran yang kecil pada varians, hanya pada σ0 dan γ tertentu saja bisa lebih cepat dalam mendeteksi pergeseran kecil. Namun kelebihan dari peta kendali R adaptif adalah jumlah sampel yang dibutuhkan lebih kecil dari peta kendali R Shewhart sehingga bisa mengurangi biaya inspeksi bagi perusahaan yang mengaplikasikan peta kendali tersebut.
DAFTAR PUSTAKA
Ariani, D.W. 2004. ”Pengendalian Kualitas StatistikPendekatan Kuantitatif dalam Managemen Kualitas”. Yogyakarta: ANDI.
Costa, A.F.B. 1994. ” charts with variable sample size”. J. Qual. Technol. 26, 155–163.
Kulkarni, V.G. 1998. Modeling, Analysis, Design, and Control of Stochastic Systems.
Springer.
Lee, P. H. 2011.” Adaptive R charts with variable parameters”. Computational Statistics and Data Analysis 55 (2011) 2003–2010.
Montgomery, D.C. 1990. “Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik”. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.
Prabhu, S.S. Runger, G.C. Keats, J.B. 1993. ” chart with adaptive sample sizes”. Int. J. Prod.
Res. 31, 2895–2909.
Reynolds Jr. M.R. 1996b. ”Variable-sample-interval control charts with sampling at fixed times”. IIE Trans. 28, 497–510.
Tagaras, G., 1998. A survey of recent developments in the design of adaptive control charts.
J. Qual. Technol. 30, 212–231.
