MODEL OPTIMASI INTEGER CAMPURAN UNTUK PERSOALAN MULTI-TAHAP MEAN-VARIANS PASCA-PAJAK (POST-TAX)

MODEL OPTIMASI INTEGER CAMPURAN UNTUK PERSOALAN MULTI-TAHAP MEAN-VARIANS

PASCA-PAJAK (POST-TAX)

TESIS

Oleh

SAHRUL HASAN RANUT 117021013/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2013

Universitas Sumatera Utara

MODEL OPTIMASI INTEGER CAMPURAN UNTUK PERSOALAN MULTI-TAHAP MEAN-VARIANS

PASCA PAJAK ( POST-TAX)

T E S I S

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

SAHRUL HASAN RANUT 117021013/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2013

Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis : MODEL OPTIMASI INTEGER CAMPURAN UNTUK PERSOALAN MULTI-TAHAP

MEAN-VARIANS PASCA PAJAK ( POST-TAX) Nama Mahasiswa : Sahrul Hasan Ranut

Nomor Pokok : 117021013 Program Studi : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Opim Salim S, MSc) (Prof. Dr. Saib Suwilo, MSc)

Ketua Anggota

Ketua Program Studi Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, MSc)

Tanggal lulus: 4 Juni 2013

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada Tanggal: 4 Juni 2013

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc

2. Prof. Dr. Tulus, M.Si 3. Dr. Sutarman, M.Sc

Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN

MODEL OPTIMASI INTEGER CAMPURAN UNTUK PERSOALAN MULTI-TAHAP MEAN-VARIANS

PASCA PAJAK ( POST-TAX)

TESIS

Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam tesis ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar magister di suatu perguruan ting- gi dan sepanjang pengetahuan juga tidak dapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.

Medan, Penulis,

Sahrul Hasan Ranut

i

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

Pendekatan Model Pemrograman integer Campuran untuk pengaturan protofolio pasca pajak (post tax) dengan mean-varians perlu dipahami karena Pendekatan ini sangat berguna dalam penyusunan berbagai tingkatan investasi (multistage) dan pada saat pengembalian umum dari nilai semua aktiva. Ketidakpastian pada pengembalian aktiva dibuat dalam bentuk pohon skenario (scenario tree). Resiko (penyusutan aktiva) antara skenario menggunakan suatu pendekatan probabilis- tik dari pemrograman stokastik klasik. Peraturan pajak yang telah ditentukan akan dilakukan pengabungan dengan Model Pemrograman integer Campuran un- tuk persoalan multi-tahap mean-varians kemudian digunakan untuk menghitung semua pajak dengan portofolio multi-tahap pada saat pengembalian aktiva de- ngan harapan resiko yang efesien. Penggabungan resiko pada model tersebut akan menyebabkan kekuatan dan perbedaan aktiva yang dimiliki antara pemilik aktiva (asset) gabungan dengan pemilik aktiva tunggal pada saat pengembalian.

Pengembalian umum dan risk aversion (penolakan atas kehilangan aktiva) dapat berefek pada distribusi aktiva (asset) kepada broker. Hasil perhitungan disajikan dengan menggunakan pohon skenario yang berbeda agar dapat menunjukkan per- bandingan hasil dari semua model. Peraturan pajak yang berdasarkan kepa- da model optimasi integer campuran digunakan untuk menghasikan semua jenis portofolio pemberian pajak diberbagai tingkatan. Hasil perhitungan pada mo- del ini diuji dengan menggunakan studi kasus dengan skenario berbeda. Terlihat bahwa portofolio yang optimal dihasilkan oleh model optimasi integer campuran mean-varians.

Kata kunci : Optimasi pasca-pajak; Manajemen portofolio Mean-Varians;

Pemrograman integer campuran kuadrat stokastik.

ii

Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

Mixed Integer Programming Model approach to portfolio adjustment post tax with mean-variance approach needs to be understood because it is very useful in the preparation of various levels of investment multistage and when the general re- turns of the value of all assets. Uncertainty in return on assets is made in the form of scenario tree. Risk between scenarios using a probabilistic approach of classical stochastic programming. Tax rules that have been set will be peering with Mixed Integer Programming Model for the problem of multistage mean-variance and then used to calculate all taxes with a portfolio of multi-phase upon return of assets in the hope of an efficient risk. Incorporation of risk in the model will cause the strength and the difference between the assets owned by the owner of an asset combined with a single asset owners at the time of return. General Returns and risk aversion can have an effect on the distribution of assets to the broker.

Calculation results are presented with different scenarios using the tree in order to show a comparison of the results of all the models. Tax rules are based on the mixed integer optimization model is used to generate all kinds of portfolios in various levels of tax administration. The results of calculations on the model is tested using a case study with a different scenario. Seen that the optimal portfolios generated by mixed integer optimization model mean-variance.

Keyword : Optimization of post-tax; Management portfolio Mean-Variance Stochastic mixed integer quadratic programming.

iii

Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT semoga selalu tercurah rahmat dan hidayah yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: MODEL OPTIMASI INTEGER CAMPURAN UNTUK PERSOALAN MULTI-TAHAP MEAN-VARIANS PASCA-PAJAK (POST-TAX) Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.

Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara, yang juga sebagai penguji yang banyak memberikan Kritik dan saran dalam menyelesaikan tesis ini.

Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matema- tika FMIPA Universitas Sumatera Utara.

Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembimbing-II yang telah memberikan bimbingan, arahan dan Ilmu Pengetahuan dalam menyelesa- iakan Tesis ini.

Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembimbing-I yang telah memberikan saran, arahan dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.

Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, Penguji yang memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.

Bapak / Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FIMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan Ilmunya selama masa perkuliahan.

Ibu Misiani, S.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu proses administrasi.

iv

Universitas Sumatera Utara

Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada :

Istri tercinta, Wiwin Herviana,S.Ag serta anak-anak yang tersayang, Najwa As- syifa Ramud dan Fathiyah Azkia Ramud yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan baik moril maupun materiil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini.

Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2011 ganjil, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Allah Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.

Medan, Penulis,

Sahrul Hasan Ranut

v

Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP

Sahrul Hasan Ranut, di lahirkan di Kuta Cane pada tanggal 1 Juli 1975, merupakan anak pertama dari lima bersaudara dari ayah Salidun Ramud dan Ibunda Suwati. Penulis menyelesaikan Pendidikan Sekolah Dasar (SD) 060927 Kwala Krapoh Desa Sei. Musam Kec. Batang Serangan pada tahun 1988, Sekolah lanjutan tingkat pertama (SLTP) Swasta Tunas Baru Bandar Pulo Desa Aman Damai Kec. Batang Serangan pada tahun 1994, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri 1 Padang Tualang Kab. Langkat pada tahun 1997.

Pada tahun 1997 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Matematika di Uni- versitas Negeri Medan dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan Matematika pada tahun 2002. Pada bulan Nopember 2011 penulis melanjutkan studi pada Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara. Penulis merintis karir menjadi Guru SMAN 1 Wampu pada bulan Oktober 2008 sampai sekarang di Kecamatan Wampu kabupaten Langkat.

vi

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

KATA PENGANTAR iv

RIWAYAT HIDUP vi

DAFTAR ISI vii

DAFTAR TABEL x

DAFTAR GAMBAR xi

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Rumusan Masalah 4

1.3 Tujuan Penelitian 4

1.4 Kontribusi Penelitian 4

1.5 Metode Penelitian 4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 6

2.1 Peraturan Pajak untuk Broker dan Penarikan 7

2.2 Notasi 9

2.3 Memilih Jenis Aktiva Optimal-Keputusan Alokasi Aktiva 10 2.3.1 Alokasi Aktiva dan Investor Induvidu 11

2.3.2 Kepemilikan saham dan obligasi 11

2.3.3 Kombinasi return dan risiko 11

2.4 Pengertian Investasi 11

2.5 Pemilihan Portofolio Optimal 12

vii

Universitas Sumatera Utara

2.6 Masalah Penyusutan Aktiva Tetap 12 BAB 3 MODEL OPTIMISASI MEAN-VARIANS PASCA-PAJAK UN-

TUK PENARIKAN TERBATAS 14

3.1 Alokasi Awal 14

3.2 Kekayaan (Aktiva) 14

3.3 Persamaan Keseimbangan Tunai 15

3.4 Pengembalian Kumulatif dan Batas Penarikan 15

3.5 Perbedaan Obligasi 17

3.6 Harta Pasca-Pajak yang Diharapkan 17

3.6.1 Obligasi luar negeri (offshore) 17

3.6.2 Obligasi domestik (onshore) 19

3.6.3 Reksadana 19

3.6.4 Nilai pengembalian bersih yang diharapkan 20

3.7 Varians 20

3.7.1 Pemilihan resiko 21

3.7.2 Cara mengevaluasi resiko 21

3.7.3 Penyimpangan dari ratarata sebagai resiko 22 3.7.4 Fortopolio dengan dua aktiva, tiga aktiva hingga N aktiva 22 3.8 Model Pemrograman Kuadrat dan Linear Stokastik 22 BAB 4 OPTIMISASI INTEGER CAMPURAN MEAN–VARIANS PASCA-

PAJAK UNTUK PENARIKAN UMUM 25

4.1 Model Pemograman Kuadratik dan Integer Campuran Stokastik 26

4.2 Pembuatan Pohon Skenario 27

4.2.1 Pohon skenario 28

4.3 Hasil Perbandingan 29

4.4 Pohon Skenario-Tunggal 30

4.4.1 Pohon skenario empat 31

4.5 Analisis Kesensitifan 33

4.5.1 Kasus pajak bebas 33

viii

Universitas Sumatera Utara

4.5.2 Kasus perpajakan penuh 34

BAB 5 KESIMPULAN DAN RISET LANJUTAN 35

5.1 Kesimpulan 35

5.2 Riset Lanjutan 36

DAFTAR PUSTAKA 37

ix

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

2.1 Tipe pajak yang dibayar tahunan dan pada saat pencairan 8

2.2 Simbol dan pengertianya 10

4.1 Permasalahan Optimisasi pasca-pajak secara statistik dengan po-

hon skenario tunggal dan skenario empat 29

4.2 Nilai pengembalian bersih dan varians yang diperoleh dengan ske-

nario tunggal pada tingkat risiko 30

4.3 Nilai penarikan dan varians yang diperoleh dengan skenario tunggal

dan skenario empat 33

x

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

4.1 Struktur pohon skenario tunggal dan pohon skenario empat 29

xi

Universitas Sumatera Utara

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu aktiva finansial yang paling populer saat ini adalah saham. Sa- ham adalah salah satu jenis sekuritas yang diperdagangkan di pasar modal. Jika investor membeli saham, berarti mereka membeli prospek perusahaan dari sa- ham tersebut. Kalau prospek perusahaan membaik, harga saham tersebut akan meningkat. Dengan gambaran seperti itu, orang akan semakin tertarik untuk melakukan investasi, sehingga investasi di sektor finansial menjadi primadona di kalangan investor (Brown, et al., 2008). Karena investasi pada sektor ini menawarkan tingkat keuntungan yang tinggi dibandingkan dengan investasi di sektor aktiva lainnya. Namun perlu diketahui semakin tinggi tingkat keuntungan yang ditawarkan semakin tinggi pula tingkat risiko yang dihadapi. Salah satu cara untuk mengurangi risiko adalah dengan diversifikasi atau penyebaran investasi de- ngan membentuk portofolio saham (Stain, 2000). Portofolio saham merupakan gabungan atau kombinasi dari beberapa saham. Permasalahan dalam pemben- tukkan portofolio saham adalah dengan begitu banyaknya jenis saham yang ada bagaimana memilih dan mengalokasikan sejumlah kekayaan yang dimiliki agar mendapatkan hasil yang optimal (Brown, et al., 2008).

Teori tentang pemilihan portofolio pertama kali dicetuskan oleh Markowitz pada tahun 1952, dimana Markowitz memandang pemilihan portofolio sebagai model optimasi yang dikenal dengan model mean-varians dengan melibatkan dua fungsi objektif yaitu memaksimalkan pengembalian aktiva (expected return) dan meminimumkan risiko (varians) (Chopra & Ziemba, 2007). Risiko dalam portofo- lio dibagi menjadi dua, yaitu risiko sistematis (systematic risk) dan risiko tidak sis- tematis (unsystematic risk) atau risiko pasar. Risiko tidak sistematis merupakan risiko yang dapat dihilangkan dengan melakukan diversifikasi atau penyebaran investasi, semakin banyak jenis saham dalam portofolio semakin kecil risiko ini.

Sedangkan risiko sistematis merupakan risiko yang tidak dapat dihilangkan de- ngan melakukan diversifikasi. Risiko sistematis atau risiko pasar inilah yang perlu diperhatikan dalam investasi saham karena risiko ini masih tetap ada walaupun diversifikasi atau penyebaran investasi dilakukan (Stain, 2000). Fluktuasi risiko ini dipengaruhi oleh faktor-faktor makro yang dapat mempengaruhi pasar secara keseluruhan misalnya, adanya perubahan tingkat bunga, kurs valas, kebijakan

1

Universitas Sumatera Utara

2

pemerintah terhadap pajak investasi, dan sebagainya.

Banyak model analisis portofolio yang telah digunakan antara lain Pem- rograman multistage stokastik digunakan untuk memodelkan portofolio manaje- men keuangan (Birge & Louveaux, 2007), pada pemrograman ini hanya bertu- juan untuk memaksimalkan pengembalian tetapi tidak memperhitungkan resiko.

Gulpinar, et al.( 2004) memperkenalkan pemrograman stokastik multi-tahap da- pat digunakan untuk model managemen permasalahan portofolio keuangan da- lam pemodelan ini sudah diperhitungkan risiko pengembalian modal yang dimiliki oleh investor namun risiko tersebut belum termasuk akibat pajak. Mean-varians dari total aktiva di akhir investasi dimodelkan dengan pemrograman stokastik linier atau pemrograman stokhastik kuadrat. Pendekatan stokastik multistage mean-varians memperhitungkan nilai pengembalian aktiva yang diperkirakan se- cara diskrit dengan mempertimbangkan varians disekitar scenario pengembalian.

Oleh sebab itu, ketidakpastian dari nilai pengembalian direpresentasikan oleh pen- dekatan distribusi diskrit dan kontinu dengan multivarian dan variabelitas pen- dekatan diskrit.

Dengan demikian sangatlah penting Pendekatan stokastik multistage mean- varians bagi seorang investor atau bankir untuk mempertimbangkan pengaruh pajak atas semua keputusan investasi termasuk alokasi aktiva yang optimal. Eva- luasi kinerja yang optimal terhadap portofolio setelah pajak antara pengembalian yang diharapkan secara maksimum dan risiko minimal serta konsekuensi pajak dari keputusan investasi tidak terlihat telah mendapat perhatian yang cukup.

Stain (1998) Mengusulkan sebuah teknik untuk mengukur nilai portofolio pasca pajak. Selanjutnya, Stain (2000) menemukan efek yang berbeda dengan adanya pajak-pajak tertentu dan kesensitivan sebagai pertimbangan pada awal investasi dan di akhir investasi, tanpa adanya sebuah pendekatan yang terintegrasi untuk perpajakan maka akan sulit menentukan potofolio yang optimal.

Universitas Sumatera Utara

3

Berdasarkan uraian diatas peneliti akan menggunakan pendekatan stokastik untuk versi multistage dari model optimasi mean-varians dengan peraturan pajak yang terintegrasi untuk menghasilkan portofolio pasca-pajak secara keseluruhan.

Dengan menggunakan pendekatan stokastik diharapkan saham di berbagai ting- katan akan efisien pada saat pengembalian aktiva dengan resiko kecil yang di- lakukan oleh broker.

Dalam penelitian ini broker didefinisikan sebagai kepemilikan aktiva dengan aturan pajak tertentu dapat menggunakan portofolio optimasi pasca-pajak de- ngan memperhitungkan peraturan pajak. Optimasi pasca-pajak dapat mene- mukan alokasi aktiva yang optimal dengan aturan pajak khusus untuk setiap aktiva yang dimiliki oleh broker. Peneliti akan memperkenalkan deskripsi model optimasi pasca-pajak dan aturan pajak serta kegiatan broker yang mempengaruhi perpajakan (Osorio & Gulpinar, 2002). Pendekatan stokastik multistage mean- varians ini tidak digunakan untuk beberapa resiko yang berbeda. Sensitivitas terhadap perubahan pajak dengan pemrograman multistage linear atau stokastik kuadrat dalam mean-varians juga dapat diselidiki (Osorio & Gulpinar, 2004).

Model stokastik hanya memungkinkan pembatasan penarikan dari hasil investasi.

Sebaliknya, pembatasan penarikan dengan cara ini dapat menyebabkan subopti- malitas yang akan menjadi objek pembahasan dalam penelitian ini. Harga yang harus dibayar adalah kekompleksitasan model yang sesuai program kuadrat cam- puran integer. Dalam pendekatan ini peneliti juga akan fokus terhadap dampak penghindaran risiko pada distribusi aktiva oleh broker dengan menggunakan mo- del pendekatan stokastik integer campuran mean-varians.

Untuk pengembangan model pendekatan stokastik integer campuran mean- varians. Masalah optimisasi dapat dilakukan dengan menggunakan pohon ske- nario (scenario tree). Dengan model pasca-pajak multi tahap yang optimal, ter- masuk penarikan. Aturan pajak khusus yang terintegrasi dengan model pemrogra- man stokastik linear dan kuadrat dapat menghasilkan pajak secara keseluruhan, dampak risiko multi tahap dan portofolio multi tahap yang efisien. Dalam model pendekatan stokastik integer campuran mean-varians ini kinerjanya akan diselidi- ki dan dianalisis sensitivitasnya dalam bentuk dampak pajak, Batas tingkat dari risiko yang tidak diinginkan sangat dipertimbangkan. Hasil perhitungan akan di disajikan pada bagian akhir penelitian bahwa penarikan tarif pajak memili- ki dampak yang signifikan terhadap risiko yang tidak diinginkan dan distribusi aktiva terhadap broker.

Universitas Sumatera Utara

4

1.2 Rumusan Masalah

Melakukan investasi di sektor finansial dapat menawarkan keuntungan yang tinggi. Namun semakin tinggi keuntungan yang ditawarkan semakin tinggi pula tingkat resiko yang dihadapi. Salah satu cara untuk mengurangi resiko adalah dengan membentuk portofolio saham, tetapi tidak semua resiko dapat hilangkan karena banyak faktor yang mempengaruhi pasar secara keseluruhan misalnya, pe- rubahan tingkat bunga, kebijakan pemerintah terhadap pajak investasi dan lain- lain. Banyak model analisis optimasi portofolio pasca-pajak yang telah digunakan namun masih sulit menentukan portofolio yang optimal karena peraturan pajak sangat komplek dan dapat berubah-ubah.

1.3 Tujuan Penelitian

Menentukan portofolio yang optimal dengan menggunakan Model Pemro- graman Integer Campuran untuk persoalan multi-tahap mean-varians pasca-pajak (Post-Tax). Adapun konsep pemilihan portofolio optimal yaitu:

1. Investor melakukan pemilihan dari sekian banyak pilihan yang ada pada kumpulan portofolio efisien (portofolio yang memaksimalkan return yang di- harapkan dengan tingkat risiko tertentu yang bersedia ditanggungnya, atau portofolio yang menawarkan risiko terendah dengan tingkat return tertentu 2. Portofolio yang dipilih investor adalah portofolio yang sesuai dengan prefe- rensi investor bersangkutan terhadap return maupun terhadap risiko yang bersedia ditanggungnya.

1.4 Kontribusi Penelitian

Model Pemrograman Integer Campuran untuk persoalan multi-tahap mean- varians pasca-pajak yang dibuat bermanfaat membantu bagi seorang investor atau bank untuk mempertimbangkan pengaruh pajak atas semua keputusan investasi termasuk alokasi aktiva yang optimal.

1.5 Metode Penelitian

Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan dengan mengum- pulkan informasi dari perbagai jurnal. Langkah-langkah yang digunakan adalah sebagai berikut:

Universitas Sumatera Utara

5

1. Menjelaskan model Model Program Stokastik integer Campuran untuk porto- folio pasca-pajak.

2. Menjelaskan model programan stokastik linier dan kuadrat untuk meng- hasilkan pajak secara keseluruhan dan dampak risiko portofolio yang efisien.

3. Pembentukan pohon skenario dari ketidakpastian pengembalian aktiva.

4. Pembentukan skenario pohon melalui pendekatan probabilistik dari program stokastik digunakan untuk menghitung semua pajak pada portofolio semua tingkatan sehingga pada pengembalian aktiva risiko akan lebih effesien.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

Integer programming (pemrograman integer) adalah sebuah model optimasi ma- tematis atau program kelayakan di mana beberapa atau semua variabel dibatasi untuk bilangan bulat. Dalam banyak rangkaian istilah ini mengacu pada pemro- graman linear integer, yang juga dikenal sebagai integer programming campuran.

Maksimumkan z = c 1 x ₁ + c 2 x ₂ + · · · + c n x _n dengan kendala : a ₁₁ x ₁ + a 12 + · · · + c 1n x _n 6 b ₁

.. .

a m1 x 1 + a m2 + · · · + c mn x n 6 b n

x ₁ ; x 2 · · · x _n > 0

Semua variabel keputusan dari model di atas akan mempunyai nilai riel yang non negatif, seperti bilangan pecahan, bilangan desimal. Kadang-kadang variabel keputusan harus mengambil nilai bilangan bulat. Misalnya jumlah keuntungan, jumlah pekerja, mesin dls. Jika kita membulatkan nilai optimal yang diperoleh, penyelesaiannya belum tentu memberikan hasil yang optimal (Kall, 2006).

Osorio & Gulpinar (2004) memperkenalkan istilah keuangan untuk model optimasi pasca-pajak multi-tahap, aturan pajak untuk Broker dan notasi yang digunakan untuk definisi matematis sebagai berikut:

Dalam penelitian ini bahwa sebuah portofolio dengan aktiva yang bere- siko n akan berpusat pada batasan optimalnya yang berada pada sebuah priode yang diharapkan setelah menghitung efek dari peraturan pajak. Setelah inves- tasi awal (t = 0), portofolio akan diberikan batasan waktu secara diskrit yaitu t = 1, . . . , T − 1 dan saat pengembalian aktiva pada batas akhir waktu (t = T ) ,misalkan ρ ^t ≡ {ρ ₁ , ρ ₂ , . . . ρ _T } merupakan kasus stokastik untuk t = 1, . . . , T . Sebuah skenario didefenisikan sebagai realisasi peluang dari variabel stokastik {ρ 1 , ρ 2 , . . . ρ T } . Oleh karena itu, semua skenario akan saling berhubungan antara satu dengan yang lainnya pada pohon skenario N T . Dan simpul pohon skenario di tingkat t ≥ 1 (untuk semua N T ) berhubungan dengan realisasi peluang dari ρ ^t . Dalam penelitian ini simpul pada sebuah Pohon adalah peristiwa yang dilam- bangkan dengan e = (s, t), di mana s adalah skenario (jalur yang menghubungkan

6

Universitas Sumatera Utara

7

dari peristiwa pertama ke peristiwa kedua), dalam jangka waktu t.

Khusus untuk simpul tertentu pada pohon skenario terdapat pada simpul mula-mula dari pohon scenario adalah 0 = {s, 0}, (dimana s dapat menjadi ske- nario jika simpul awal bersifat umum untuk semua skenario). Nilai awal dari kejadian e = (s, t); dilambangkan dengan e = (s, t − 1) dan cabang pada pohon menyatakan nilai peluang P e dengan peristiwa e, Arah e adalah skenario parsial dengan probabilitas a(e). Sepanjang path tersebut, probabilitas e harus dijum- lahkan ke perkalian pada setiap percabangan, probabilitas P e = ΠP e sepanjang jalur tersebut; ketika peluang P e dijumlahkan untuk keseluruhan pada peluang cabang yang ada, peluang P e akan dijumlahkan untuk masing-masing lapisan se- mua simpul pada pohon skenario N T ; t = 1, 2, 3, . . . , T . Karena sifat dari multi tahap, dengan variabel bobot aktiva W t , Mengacu pada transaksi untuk membeli dan menjual, masing-masing, b t dan s t dipengaruhi oleh stokastik dari kejadian sebelumnya ρ ^t , Dan oleh sebab itu setiap simpul pada t tingkat sesuai dengan keputusan w t = w t (ρ ^t )b t = b t (ρ ^t ), dan s t = s t (ρ ^t ). Namun, untuk mempermudah akan menggunakan istilah w t s t , dan b t , secara implisit itu menganggap bergantung pada ρ ^t .

2.1 Peraturan Pajak untuk Broker dan Penarikan

Dalam penelitian ini, pajak-pajak yang berlaku adalah pajak pendapatan utama, pajak terikat dan pajak pengembalian kotor. Aktiva yang diatur oleh pa- jak tersebut adalah seperti ekuitas, kas obligasi, dan properti. Broker dibangun oleh pemilik aktiva dengan serangkaian aturan perpajakan secara teratur. Bro- ker memiliki sumber dana yang terdiri dari obligasi luar negeri(offshore), obligasi domestic (onshore) dan Reksadana. Pengembalian modal, keuntungan diperoleh sebagai dividen, dari pengelolaan broker yang jumlahnya masing-masing telah ditentukan . Pajak yang dibayar dengan cara yang berbeda oleh broker dengan aktiva yang berbeda dan memperoleh perlakuan khusus untuk situasi tertentu ter- gantung pada sistem yang digunakan oleh broker. Pajak yang telah dikumpulkan akan dibayar setiap tahun pada saat pencairan keuntungan untuk obligasi luar negeri (offshore), obligasi domestik (onshore) dan Reksadana. Tidak ada pajak tahunan untuk perusahaan yang modalnya dari Obligasi luar negeri, tetapi pada saat pencairan pajak (gross returns) apakah dari pendapatan utama atau peng- hasilan akan dikenakan pajak, karena pajak tahunan pada tingkat t gb hanya dike- nakan untuk obligasi domestik (onshore), kecuali beberapa pajak tahunan (t gr ), pajak untuk pencairan (t ob ). Sementara dividen atau pembagian hasil investasi

Universitas Sumatera Utara

8

oleh broker yang bersumber dari reksadana dikenakan pajak penghasilan tahunan, t inc , dan pajak penghasilan utama ditangguhkan sampai pencairan. Batas akhir pembayaran ditentukan supaya waktu investasi lebih panjang sampai pajak lebih rendah.

Bank mengklaim biaya persentasi tahunan (ac) dari nilai total semua perusahaan.

Mereka juga menentukan biaya persentasi untuk pengaturan awal perusahaan (ic).

Diasumsi bahwa investor diperbolehkan untuk menarik sejumlah uang dari pe- rusahaan yang berbeda dengan peraturan pajak yang berbeda yang digambarkan sebagai berikut. Dalam obligasi luar negeri (offshored), penarikan dapat dibuat dalam setahun, sesuai dengan batas berikut:

1. Penarikan sampai dengan 5% dari investasi awal per tahun dapat diambil, dan pajak ditangguhkan sampai pencairan. Bagian yang tidak terpakai dari tunjangan tahunan sebesar 5% dapat diambil di muka, yaitu jika penarikan tidak ada diambil sampai 5 tahun , maka pajak tangguhan penarikan sebesar 25% dari investasi awal dapat diambil.

2. Penarikan melebihi batas 5% kumulatif dapat diambil, dan dikenakan pajak langsung di penarikan tingkat tunai (t gb ).

3. Penarikan hanya dapat diambil dari keuntungan karena investasi awal, modal harus tetap dalam perusahaan sampai saat pencairan.

Dalam obligasi luar negeri, aturan untuk penarikan adalah sama dengan obligasi domestik. Kami mencatat bahwa pajak penarikan dikenakan pajak pada tingkat pencairan obligasi domestik dangan waktu t ob . Penarikan keuntungan dari modal reksadana dapat diambil dari pertumbuhan modal setelah beberapa tahun berjalan, setiap mengembalikan modal tidak digunakan untuk penarikan keuntungan dari modal reksadana. Sebagai dividen dan pendapatan pengembalian pajak mereka memiliki pembayaran tahunan. Penarikan pajak dapat diambil dari keuntungan tanpa mengurangai modal untuk membayar pajak lebih lanjut.

Penarikan dapat dilakukan dari pertumbuhan pendapatan utama, walaupun tetap dikenakan pajak pada setiap tahun dari penarikan.

Tabel 2.1 Tipe pajak yang dibayar tahunan dan pada saat pencairan

Investasi Pajak tahunan Pajak pada waktu pencairan Obligasi luar negeri Tidak ada pajak tahunan Pajak pada pencairan Obligasi domestik Pajak domestik Pajak domestik akhir (18%)

Reksadana Pajak penghasilan (18%) Pajak penghasilan kapital (40, 40, 40, 38, . . .)%

Universitas Sumatera Utara

9

2.2 Notasi

Notasi yang digunakan untuk optimisasi portofolio pasca pajak akan dije- laskan pada tabel 2.2 dibawah ini. Dan penjelasan vektor pada R ⁿ dapat dilihat pada bagian yang bercetak tebal. Perpindahan sebuah vektor dan matriks di- simbolkan dengan

⁰

. Tanda ∗ menandakan waktu periode t = 1, . . . , T (dimana kasus variabel disajikan dalam jumlah stokastik dengan sebuah kebebasan pada ρ ^t , atau peristiwa e ∈ N (dimana kasus tersebut disajikan pada realisasi secara khusus dari jumlah tersebut). Tanda + menyatakan tipe broker k = 1, 2, 3 untuk obligasi luar negeri, obligasi domestik dan reksadana secara berurutan.

Universitas Sumatera Utara

10 Tabel 2.2 Simbol dan pengertianya

Simbol dan pengertianya notasi

I = (I, I, I, . . . , I)’

u/v = (u

1

v

1

, u

2

v

2

, , u

n

v

n

)’ (perkalian titik) n ◦ v = Jumlah investasi aktiva

T = Waktu total pelaksanan investasi

L = Jumlah obligasi terkecil

U = Jumlah obligasi terbesar

ρ

t

= Vektor data stokastik yang terobservasi pada waktu t, t = 0, . . . T ρ

^t

= Data stokastik klasik pada t

N

t

= Jumlah total simpul pada pohon skenario pada waktu t

s = Merupakan indeks sebuah skenario (dari simpul awal sampai simpul berikutnya) e = (s, t) = Merupakan indeks sebuah simpul (dari pohon skenario)

a(e) = Pristiwa awal dari peristiwa e ∈ N (pristiwa awal dari pohon skenario) p

e

= Peluang pristiwa lanjutan dari peristiwa e : p

e

=Prob[e|a(e)]

p

e

= Peluang dari peristiwa e: jika e = (s, t) maka p

e

= Π

i=1... t

P

(s,i)

E[. . . ] = Ekspektasi nilai ρ

A

c

∈ R

^n×n

= Matriks covarians dari penghasilan kapital

A

d

∈ R

^n×n

= Matriks covarians dari pembagian atau pengembalian c

t

(ρ

^t

) = Persentase penghasilan kapital dengan t = 1, . . . , T

d

t

(ρ

^t

) = Persentase pembagian atau pengambalian dengan t = 1, . . . , T ˆ

c

e

= Ekspektasi c

t

(ρ

^t

) untuk peristiwa e, bergantung pada ρ

^t−1

ˆ d

^e

= Ekspektasi d

t

(ρ

^t

)untuk peristiwa e, bergantung pada ρ

^t−1

c

e

= Realisasi c

t

untuk peristiwa e = c

e

∼ N (c

t

(ρ

^t

), A

c

) d

e

= Realisasi d

t

untuk peristiwa e = d

e

∼ N (d

t

(ρ

^t

), A

c

) TW

t

= Total penarikan pada waktu t

M = Besar nilai konstan tak terduga

Tarif Pajak

t

gb

= Pajak pengembalian kotor untuk obligasi luar negeri t

ob

= Pajak untuk obligasi domestik

t

gr

= Pajak pada akhir pengembalian kotor untuk obligasi luar negeri

t

inc

= Vektor pajak penghasilan yang dibayar pada pembagian atau pemasukan CG

i

= Pajak penghasilan kapital pada priode t

ic

k

= Persentasi yang dibayarkan pada biaya awal untuk broker k ac

k

= Persentasi yang dibayarkan pada biaya tahunan untuk broker k Variabel Keputusan

W

∗

= Nilai total portofolio antar broker

w

∗⁺

= Jumlah uang yang ada pada masing-masing aktiva b

⁺∗

= Jumlah pembelian pada masing-masing aktiva s

⁺∗

= Jumlah penjualan pada masing-masing aktiva h

⁺∗

= Penundaan pajak dan pajak penarikan bebas g

⁺∗

= Subjek penarikan untuk pajak mendesak

R

⁺∗

= Pengembalian kumulatif

f

^∗

= Pengembalian yang diperoleh dari investasi original dari pada broker y

kt

= Variabel biner untuk broker k pada waktu t

(Osorio & Gulpinar, 2004)

2.3 Memilih Jenis Aktiva Optimal-Keputusan Alokasi Aktiva

Model Markowitz dapat digunakan untuk memilih jenis aktiva, seperti sa- ham domestik, saham asing, obligasi dll. Dengan model ini investor dapat mene- tukan aktiva mana yang akan dimiliki dan berapa proporsinya. Keputusan alokasi aktiva dalam penelitian ini adalah alokasi dana portofolio untuk jenis aktiva, sepeti kas, obligasi dan ekuitas. Untuk jenis aktiva yang nilainya mengalami penyusutan tidak menjadi permasalahan karena hal tersebut merupakan resiko yang sudah diperkirakan nilainya.

Universitas Sumatera Utara

11

2.3.1 Alokasi Aktiva dan Investor Induvidu

Semua investor harus melakukan diversifikasi dalam alokasi aktivanya karena pasar modal penuh dengan ketidakpastian. Selain itu diversifikasi juga dapat mengurangi risiko dari kepemilikan saham. Investor individu sebaiknya mereview portofolio yang dimiliki serta mencoba untuk memprediksi pergerakan keputusan investasi. Kemudian diversifikasikan dana dalam tipe investasi atau jenis aktiva yang berbeda sehingga risiko dapat diatur dan portofolio dapat dikembangkan untuk jangka panjang.(Brodie,et al 2009)

2.3.2 Kepemilikan saham dan obligasi

Kebanyakan investor memiliki portofolio dalam saham atau obligasi atau kombinasi dari keduanya. Namun obligasi lebih banyak dipilih investor dalam alokasi aktivanya karena iobligasi memiliki risiko yang rendah dibandingkan sa- ham.(Abdelaziz, 2007)

2.3.3 Kombinasi return dan risiko

Secara umum return dan risiko bergerak secara bersamaan. Investor yang rasional dapat memahami bahwa return sebuah portofolio dapat diekspektasikan lebih rendah dibandingkan return sejumlah portofolio dan risiko akan lebih rendah sesuai dengan toleransi investor terhadap risiko tersebut. (Bhalla, V. K, 2010)

2.4 Pengertian Investasi

Investasi merupakan komitmen atas sejumlah dana atau sumber daya lain yang dilakukan saat ini dengan tujuan agar dapat memperoleh keuntungan di masa mendatang atau bertujuan untuk meningkatkan kesejahteraan investor (ke- sejahteraan moneter) (Stein, 2000). Sedangkan menurut Gulpinar,et al.(2004), investasi dalam arti luas adalah mengorbankan dolar sekarang untuk dolar pada masa depan, dengan dua atribut berbeda yang melekat yaitu risiko dan waktu.

Universitas Sumatera Utara

12

Feldstein (1995) memberikan pengertian investasi yaitu sebagai berikut :

1. Suatu tindakan membeli barang-barang modal.

2. Pemanfaatan dana yang tersedia untuk produksi dengan pendapatan dimasa yang akan datang.

3. tindakan untuk membeli saham, obligasi atau surat penyertaan lainnya.

2.5 Pemilihan Portofolio Optimal

Portofolio yang optimal ini dapat ditentukan dengan memilih tingkat return ekspektasi tertentu dan kemudian meminimumkan risikonya, atau menentukan tingkat risiko yang tertentu dan kemudian memaksimumkan return ekspektasinya.

Investor yang rasional akan memilih portofolio optimal ini karena merupakan portofolio yang dibentuk dengan mengoptimalkan satu dari dua dimensi, yaitu return ekspektasi atau risiko portofolio.Dalam memilih portofolio yang optimal ada beberapa pendekatan yaitu:

1. Portofolio optimal berdasarkan preferensi investor 2. Portofolio optimal berdasarkan model Markowitz

3. Portofolio optimal dengan adanya simpanan dan pinjaman bebas risiko.

4. Portofolio optimal berdasarkan model Indeks Tunggal

2.6 Masalah Penyusutan Aktiva Tetap

Penyusutan aktiva tetap menurut Prinsip akuntansi menyebutkan metode- metode penyusutan aktiva tetap yang dipakai , terdiri dari metode: straight line, double declining balance, sum of the years digits, annuity, service hours, productive output, dan lain-lain. Adapun jenis-jenis penyusutan tersebut terdiri dari empat golongan:

1. Golongan 1 : Harta yang dapat disusutkan dan tidak termasuk golongan bangunan, yang mempunyai masa manfaat tidak lebih dari 4 tahun.

Universitas Sumatera Utara

13

2. Golongan 2 : Harta yang dapat disusutkan dan tidak termasuk golongan bangunan yang mempunyai masa manfaat lebih dari 4 tahun dan tidak lebih dari 8 tahun.

3. Golongan 3 : Harta yang disusutkan dan tidak termasuk golongan bangunan yang mempunyai masa manfaat lebih dari 8 tahun.

4. Golongan bangunan : Bangunan dan harta tak gerak lainnya, termasuk perbaikan atau perubahan yang dilakukan

Universitas Sumatera Utara

BAB 3

MODEL OPTIMISASI MEAN-VARIANS PASCA-PAJAK UNTUK PENARIKAN TERBATAS

Pada model tertentu, penarikan tidak dapat melebihi pengembalian total yang dilakukan antara masing-masing pemilik saham pada aktiva yang ada bro- ker. karena penarikan tersebut dapat menyababkan terjadinya pengembalian sub- otimal. Lebih baik mempertahankan sampai batas waktu yang telah ditentukan pada saat penarikan bebas dengan melibatkan semua investor. Kelebihan dalam penarikan tersebut akan dijelaskankan pada bagian berikutnya.

3.1 Alokasi Awal

Investasi kapital original W o harus didistribusikan kepada broker tersebut dan semua aktiva yang ada pada masing-masing broker. Catatan bahwa W o

bersifat khusus pada suatu investasi, dengan W e merupakan jumlah kekayaan akhir untuk e ∈ N t ; t = 1, . . . , T

3

X

k=1

I ⁰ w ^k ₀ = W 0 (3.1)

3.2 Kekayaan (Aktiva)

Batas aktiva (kekayaan) dapat menentukan pertumbuhan aktiva dan jumlah uang yang ditransfer antara pemilik saham pada saat penarikan.

w _e ¹ =(1 − ac 1 )(1 + ˆ c e + ˆ d e ) ◦ w _a(e) ¹ + (1 − tc)b ¹ _e − (1 + tc)s ¹ _e − h ¹ _e − 1

(1 − t gb ) g ¹ _e , w _e ² =(1 − ac 2 )(1 + (1 − t o b)(1 + ˆ c e + ˆ d e )) ◦ w ² _a(e) + (1 − tc)b ² _e − (1 + tc)s ² _e − h ² _e

− 1

(1 − t gr ) g _e ² ,

w _e ³ =(1 − ac 3 )(1 + ˆ c e + (1 − t inc ◦ ˆ d e )) ◦ w ³ _a(e) + (1 − tc)b ³ _e − (1 + tc)s ³ _e − h ³ _e

− 1

(1 − CG −e ) g ³ _e ,

(3.2)

14

Universitas Sumatera Utara

15

Sifat yang dinamis dari model tersebut dapat diobservasi pada persamaan (3.2) de- ngan w _e ^k bergantung pada w ^k _a(e) . Berdasarkan pada peraturan pajak yang berbe- da, batasan transaksi akan berbeda pada masing-masing pemilik saham (investor).

Pembatasan tersebut berada pada setiap bagian yang tidak termasuk pada waktu awal dan akhir untuk peristiwa e ∈ N t , t = 1, . . . , T − 1. Secara lebih detailnya dapat dilihat pada uraian berikut:

1. Biaya bank tahunan berkurang menjadi (1 − ac k ) (untuk k = 1, 2, 3) dan harus ditingkatkan oleh biaya pengaturan awal bank pada tahun pertama.

Untuk e ∈ N t (simpul berikutnya pada pohon skenario), rumus tersebut menjadi (1 − ic k − ac k ).

2. Penting untuk menggunakan biaya transaksi ((1−tc) untuk membeli variabel (1 − tc) untuk menjual variabel keduanya). Pada optimasi, solusi optimal ini dalam hal pembelian dan penjualan variabel merupakan bilangan asli (integer). Pada prakteknya, biaya transaksi menyebabkan perbedaan yang utama dalam hal mencegah model optimisasi dari perubahan uang antar aktiva dengan aman.

3. Koefisien dari bentuk _1−x ¹ harus digunakan pada variabel g, dimana melam- bangkan subjek penarikan dari pajak mendesak. Jika x merupakan tarip pajak yang dipakai untuk penarikan, koefisien menyatakan bahwa semakin besar penarikan yang dihilangkan dari investasi, maka jumlah (g) yang di- inginkan tetap setelah pajak dibayarkan.

3.3 Persamaan Keseimbangan Tunai

Menjadi hal yang sangat penting untuk dijelaskan bahwa transfer (perpin- dahan) uang dan aktiva antara pemilik saham dapat mempengaruhi penghasilan, yang menyebabkan berbeda dalam penarikan (pada penarikan berikutnya) yang merupakan sistem tertutup.

I

⁰

b ^k _e − I

⁰

s ^k _e = 0 (3.3)

untuk semua e ∈ N t , t = 1, . . . , T − 1 dan untuk semua pemilik saham k

3.4 Pengembalian Kumulatif dan Batas Penarikan

Universitas Sumatera Utara

16

Penting untuk memberikan batasan pada variabel penentu untuk mene- gaskan bahwa penarikan tidak boleh melebihi jumlah investasi kafital original.

Untuk pemilik saham luar negeri (obligasi offshore) dan pemilik saham domestik ( obligasi onshore) , satu-satunya batasan dari penarikan yang bersifat kumulatif 5% dapat dilakukan pertahun dari investasi original. Untuk golongan reksadana, Penarikan boleh dilakukan hanya dari pengembalian tahunan sebelum dan sesu- dah adanya pengambalian yang bukan penarikan dari modal yang diinvestasikan sehingga penarikan menjadi tidak ada sampai pencairan.

Batas untuk penarikan kepemilikan modal luar negeri dan domestik sama untuk semua e ∈ N t , t = 1, . . . , T − 1.

R ¹ _e = R ¹ _a(e) + (1 − ac 1 )(ˆ c e + ˆ d e ) ⁰ w ¹ _a(e) − I’h ¹ _e − 1 1 − t gb

I

⁰

^g

^1e

, R ² _e = R ² _a(e) + (1 − ac 2 )(1 − t ob )(ˆ c e + ˆ d e ) ⁰ w ² _a(e) − I’h ³ _e − 1

1 − t gb

I

⁰

^g

^3e

(3.4)

Pengembalian pada saat t = 0 didefinisikan sebagai R ^k ₀ = 0 untuk k = 1, 2, 3.

Untuk penarikan pada kapital original sama pada beberapa pengembalian bersih kumulatif variabel R ^k _e menjadi negatif sedemikian sehingga, situasi ini dicegah dengan memperoleh nilai positif untuk semua variabel R ^k _e .

Untuk membuat fungsi kendala yang membatasi penundaan pajak penarikan menjadi kumulatif 5% didefinisikan sebagai jumlah dari e ⁰ = 0 menjadi e ⁰ = e untuk masing-masing jalur skenario parsial dari simpul awal sampai simpul akhir dari pohon skenario untuk peristiwa e.

e

X

e

⁰

=1

I ⁰ h ^k _e

⁰

6 (0.05t) = I ⁰ w ^k ₀ (3.5)

untuk semua e ∈ N t , t = 1, . . . , T − 1 dan untuk pemilik saham k = 1, 2 (obligasi offshore dan obligasi onshore)

Untuk investor reksadana lebih sederhana, diperoleh jika hanya penarikan terbatas kepada pertumbuhan modal setiap tahunnya:

h ³ _e 6 (1 − ac 3 )(1 − t inc ) ◦ (ˆ d e ◦ W ³ _a(e) ) (3.6) g ³ _e 6 (1 − ac 3 )(1 − CG e ) ◦ (ˆ c e ◦ w ³ _a(e) ) (3.7)

Universitas Sumatera Utara

17

untuk semua e ∈ N t , t = 1, . . . , T − 1. Akhirnya peneliti mendapati bahwa jumlah penarikan berada pada spesifikasi sebagai berikut:

3

X

k=1

I ⁰ h ^k _e + I ⁰ g _e ^k = TW t (3.8)

(untuk semua e ∈ N t , t = 1, . . . , T − 1)

3.5 Perbedaan Obligasi

Walaupun resiko telah diperkenalkan pada proses penentuan secara alamiah yang menyebabkan perbedaan antara aktiva, solusi dampak resiko pada model pemrograman linear dapat dilakukan dengan menambahkan kendala-kendala pada bagian yang membedakan kendala tersebut.

3

X

k=1

I ⁰ W ^k _e = W e (3.9)

3

X

k=1

W ^k _e ≥ LW e (3.10)

3

X

k=1

W ^k _e ≤ UW e (3.11)

untuk semua e ∈ N t , t = 1, . . . , T − 1. Diketahui bahwa kendala tersebut menye- babkan perbedaan antara aktiva, dan bukan antara pemilik saham, dengan de- mikian, peningkatan aktiva relatif bisa berbeda antara pemilik saham selama portofolio total memiliki persyaratan diversifikasi (pembeda)

3.6 Harta Pasca-Pajak yang Diharapkan

Harta pasca-pajak yang diinginkan pada masing-masing pemilik saham dihi- tung dan diartikan sebagai nilai pengembalian pada akhir priode investasi. Pada semua priode waktu, pajak diakumulasikan dan ditunda, dimana harus dibayarkan pada pembayaran dana dari broker. Nilai pengembalian bersih untuk pemilik sa- ham kemudian dihitung dengan memisahkan pajak yang terakumulasi dari nilai akhir portofolio yang akan dijelaskan di bawah ini.

3.6.1 Obligasi luar negeri (offshore)

Universitas Sumatera Utara

18

Telah diketahui dengan menggunakan persamaan (3.2) diatas uang diaku- mulasikan melalui penghasilan kapital dan pembagian keuntungan tanpa pajak langsung. Pada beberapa peristiwa e, pertumbuhan bersih kemudian menja- di pertimbangan pajak pada saat pencairan, yang menyebabkan pajak menjadi t gb (1 − ac)(ˆ c e + ˆ d e )

⁰

w ¹ _a(e) . Dengan membandingkan pada persamaan (3.2), akan dapat dilihat bahwa jumlah aktiva akibat pajak dapat menunjukkan portofolio sebelum terjadinya penyeimbangan (b atau s) atau penarikan (h atau g). Oleh sebab itu, pajak yang tertunda terjadi pada penarikan h yang telah dihitung de- ngan benar. Apa yang tidak terhitung tersebut merupakan pajak yang dibayarkan dengan segera pada beberapa penarikan melalui variabel g; penarikan ini seharus- nya berkurang dari jumlah yang dapat dipajakkan. Akhirnya, beberapa peristiwa e terjadi dengan peluang yang berbeda, sehingga untuk menghasilkan nilai rata - rata pajak yang dibayarkan, untuk semua skenario, hal-hal yang relevan harus dikalikan dengan peluang P e yang cocok.

−P e t g b((I − ac 1 )(ˆ c e + ˆ d e ) ⁰ w ¹ _a(e) − 1 1 − t gb

I ⁰ g _e ¹ ) (3.12)

untuk semua e ∈ N t , t = 1, . . . , T − 1

Pada waktu akhir T , broker menambahkan jumlah portofolio. Pada saat tidak ter- jadi keseimbangan atau penarikan pada pencairan, bentuk yang tersederhanakan dari persamaan (3.2) cukup untuk mendeskripsikan nilai portofolio pasca pajak pada beberapa investasi akhir untuk peristiwa e ∈ N T :

W _e ¹ = (1 − ac 1 )(1 + ˆ c e + ˆ d e ) ◦ W ¹ _a(e)

Gulpinar et al. (2003)

P e (1 − ac 1 )(1 + ˆ c e + ˆ d e )W ¹ _a(e) (3.13)

Untuk semua e ∈ N T . Nilai pengembalian bersih yang diharapkan untuk Obligasi offshore E[NRV1] dapat dinyatakan sebagai berikut:

E[NRV 1 ] = X

e∈N

T

[P e ((1 − ac 1 )(1 + ˆ c e + ˆ d e )w a (e) ¹

−

T −1

X

t=0

X

e∈N

T



P e t gb ((1 − ac 1 )(ˆ c e + ˆ d e ) − 1 1 − t gb

I ⁰ g ¹ _e



Universitas Sumatera Utara

19

3.6.2 Obligasi domestik (onshore)

Dengan menggunakan obligasi domestik sebagai sebuah model, yang meru- pakan sebuah langkah untuk meningkatkan nilai pengembalian bersih yang diha- rapkan untuk jenis obligasi domestik. Dari persamaan (3.2), dapat dilihat bahwa pajak t gr dibayar setiap tahun, tetapi t gb digunakan pada saat pembayaran berada pada tarip pajak terendah (t gr < t gb ):

−P _e t _g r((I − ac 2 )(ˆ c e + ˆ d e ) ⁰ w ² _a(e) − 1 1 − t gb

I ⁰ g ² _e . (3.14)

untuk semua e ∈ N t , t = 1, . . . , T − 1. Nilai pembayaran bebas pasca-pajak adalah:

P e ((I − ac 2 )(1 + ˆ c e + ˆ d e ) ⁰ w ² _a(e) (3.15) untuk semua e ∈ N t . Sebagai sebuah hasil nilai pengembalian yang diharapkan dari obligasi domestik E[NRV 2 ]menjadi.

E[NRV 2 ] = X

e∈N

T

[P e ((1 − ac 2 )(1 + ˆ c e + ˆ d e )w a (e) ²

−

T −1

X

t=0

X

e∈N

T



P _e t _gb ((1 − ac 2 )(ˆ c e + ˆ d e ) − 1 1 − t gb

I ⁰ g _e ²

 .

3.6.3 Reksadana

Dari persamaan (3.2), dapat juga dilihat bahwa, sebagian pajak penghasilan yang dibayarkan setiap tahunnya dari keuntungan yang telah dibagikan, hanya pajak penghasilan kapital yang berlaku untuk pembayaran (bernilai untuk pajak penghasilan kapital yang dibayarkan pada saat penarikan untuk variabel g)

−P e CG T ((I − ac 3 )ˆ c

⁰

_e w ³ _a(e) − 1 1 − t gb

I

⁰

g ³ _e (3.16)

untuk semua e ∈ N t Nilai pembayaran bebas pasca pajak adalah

(I − ac 3 )(1 + ˆ c e + (1 − t inc ) ◦ ˆ d e ) ⁰ w _a(e) ³ , (3.17)

untuk semua e ∈ N t . Sebagai sebuah hasil nilai pengembelian bersih yang diha- rapkan untuk Reksadana E[NRV 3 ] sebagai berikut:

Universitas Sumatera Utara

20

E[NRV 3 ] = X

e∈N

T

[P e ((1 − ac 3 )(1 + ˆ c e + ˆ d e )w a (e) ³

−

T −1

X

t=0

X

e∈N

T



P _e t _gb ((1 − ac 3 )ˆ c

⁰

_e w ³ _a(e) − 1 1 − t gb

I ⁰ g _e ³



3.6.4 Nilai pengembalian bersih yang diharapkan

Dengan mengumpulkan sebuah data bersama-sama, ekspresi untuk mem- peroleh nilai pengembalian bersih yang diharapkan yaitu total nilai pengembalian bersih untuk semua pemilik saham.

M ean =

3

X

k=1

E[NRV K ] (3.18)

Dari pelitian ini dapat diketahui bahwa jumlah tersebut tidak termasuk dari nilai diskon untuk penarikan yang dilakukan pada pertengahan tahun.

3.7 Varians

Anggaplah c ^k dan d ^k merupakan faktor penentu untuk pendapatan kapital c t

dan deviden atau pengembalian pemasukan d t , secara berurutan. Nilai konstan penentu ini ditentukan oleh taksasi tahunan secara ilmiah pada pemilik saham gabungan menurut persamaan pada bagian (3.2) sebagai berikut:

(Frank & Keith, 2003)

c ^k = 1 − ac ,k , k = 1, 2, 3 (3.19)

d ^k =







1 − ac k , k = 1, 2, 3

(1 − t inc ) (1 − ac 3 ) k = 3 (3.20) Varians total merupakan jumlah dari varians data diatas untuk semua pemi- lik saham pada broker pada semua priode waktu dan dirumuskan sebagai berikut:

Varians =

T −1

X

t=0 3

X

k=1

Var I ⁰ w _t ^k 

(3.21)

Universitas Sumatera Utara

21

Varians dari harta/kekayaan pada waktu t dari sebuah pemilik saham k tertentu dapat dihitung dengan

Var I ⁰ w ^k _t  = var  c ^k c t + d ^k d t
w ^k _t−1 

= E h

c ^k c t + d ^k d t
t

w ^k _t−1 i

− E 

c ^k c t + d ^k d t
w ^k _t−1 
2

≡ E 

c ^k c t + d ^k d t
w ^k _t−1 
2

= E[w ^k _t−1

⁰

((c ^k c t + d ^k d t )((c ^k c t + d ^k d t ) ⁰ w ^k _t−1 ]

= E[w ^k _t−1

⁰

((c ^k ) ² c t c t 0 + 2c ^k d ^k c t d t 0 + (d ^k ) ² d t d ⁰ _t ) ⁰ w _t−1 ^k ]

= E[w ^k _t−1

⁰

((c ^k ) ² A c + (d ^k ) ² A d )w ^k _t−1 ]

= X

e∈N

t

P e [w _t−1 ^k ((c ^k ) ² A c + (d ^k ) ² A d )w ^k _a(e) + c ² c ^k _e c ^k _e

⁰

+ d ² d ^k _e d ^k _e

⁰

]

(3.22)

Var I ⁰ w _t ^k  = X

e∈N

t

P e [w _t−1 ^k ((c ^k ) ² A c + (d ^k ) ² A d )w _a(e) ^k + c ² c ^k _e c ^k _e

⁰

+ d ² d ^k _e d ^k _e

⁰

] (3.23) Transaksi pada persamaan (3.22) digunakan pada beberapa vektor acak y, E[yy

⁰

] sama dengan matriks covarians y dan diasumsikan sebagai penghasilan kapital (c) bebas dari dividen atau pengembalian hasil (d), dimana dihilangkan E[c t d t 0

] = 0.

Skenario tersebut tidak termasuk kebebasan. Terdapat kontribusi varians pada persamaan diatas dari nilai ketidakpastian melalui pohon skenario.

(Frank & Keith, 2003)

3.7.1 Pemilihan resiko

Setiap investasi selalu membandingkan besarnya resiko dengan pengem- balian yang diharapkan. Investasi disebut juga sebagai the trade off between Risk and return. Hampir semua investor tidak suka denga resiko, kalau boleh menghindarinya. Untuk mengharapkan agar investor bersedia mengambil resiko tinggi. Dengan kata lain apabila seseorang menghendaki tingkat pengembalian yang tinggi, dia harus berani atau bersedia mengambil resiko yang lebih tinggi (High risk high return). (Asea, et al., 1998)

3.7.2 Cara mengevaluasi resiko

Pada umumnya investor tidak mengetahui adanya ukuran kuantitatif berapa besar resiko yang diinginkannya. Model resiko dan pengembalian tradisionil cen-

Universitas Sumatera Utara

22

derung mengukur resiko dalam bentuk volatility atau standart deviation. Artinya resiko dilihat sebagai fluktuasi (naik turunnya) pengembalian dari pengembalian yang diharapkan, atau simpangan baku pengembalian dari rata rata pengem- balian. (Asea, et al., 1998)

3.7.3 Penyimpangan dari ratarata sebagai resiko

Dalam dunia mean-varians, satu satunya ukuran resiko adalah varians, investor yang diharapkan pada pilihan investasi dengan tingkat pengembalian di- harapkan (Expected return) sama, tetapi varians berbeda, selalu memilih investasi yang variansnya lebih rendah. (Feldstein, 1995)

3.7.4 Fortopolio dengan dua aktiva, tiga aktiva hingga N aktiva

Varians portofolio tiga aktiva dapat dituliskan sebagai fungsi varians masing- masing dari tiga aktiva, bobot setiap aktiva dalam portofolio, dan korelasi setiap pasangan aktiva. Sehingga rumus varians portofolio tiga aktiva adalah :

σ _p ² = w ² _A σ _A ² +w ² _B σ _B ² +w ² _c σ ² c+2w A w _B σ _AB σ _A σ _B +2w A w _C ρ _AC σ _A σ _C +2w B w _C ρ _BC ρ _B ρ _C

w A , w B , w c = bobot masing-masing aktiva dalam portofolio σ _a ² , σ _b ² , σ _c ² = varians aktiva A, B, dan C

ρ AB , ρ AC , ρ BC = korelasi pengembalian setiap pasang aktiva (A dan B, A dan C, B dan C) (Hubbatd, 1995)

3.8 Model Pemrograman Kuadrat dan Linear Stokastik

Strategi yang diterapkan untuk model mean-varians pasca-pajak adalah de- ngan pendekatan pemrograman linier stokastik klasik dan pendekatan pemrogra- man stokastik kuadratik. Dengan memperhitungkan varians, kita dapat memi- nimalkan risiko. Untuk memastikan tingkat risiko yang aman terhadap investor maka dilakukan perhitungan nilai risiko untuk setiap tahunnya hingga batas akhir waktu investasi yang telah ditentukan. Banyak program analisis portofolio mul- tistage tradisional yang telah digunakan tetapi hanya mencari untuk memaksi-

Universitas Sumatera Utara

23

malkan pengembalian yang diharapkan. Mengacu hasil sebelumnya, hal ini dapat dicapai dengan masalah SLP berikut:

M aksimumkan : M ean =

3

X

k=1

E[NRV K ]

dengan kendala :

w _e ^k , b ^k _e , s ^k _e , g ^k _e , h ^k _e > 0 e ∈ N t , t = 0, 1, . . . , T k = 1, 2, 3 W e > 0, R ^k _e > 0 e ∈ N t , t = 0, 1, . . . , T k = 1, 2, 3 R ¹ ₀ = R ² ₀ = R ³ ₀ = 0 (Frauendorfer,2005)

kenyataannya dalam hal finansial menunjukan bahwa strategi portofolio tersebut sudah ketinggalan jaman juga memiliki risiko paling tinggi. Untuk mendapatkan batasan risiko yang aman menurut Markowitz, maka perlu untuk mempertim- bangkan nilai varians, dan hubungannya dengan nilai mean dalam pengembalian kekayaan. Yang diharapkan ialah nilai pengembalian bersih (W T ) dapat diberikan pada saat penarikan. Kendala-kendala yang ada menggambarkan cara bahwa in- vestasi awal adalah memungkinkan untuk dilakukan, bagaimana perkembangan kekayaan yang diinvestasikan dan keuntungan dapat ditransfer kepada investor pada setiap jangka waktu, cara untuk menentukan jumlah keuntungan yang di- transfer kepada investor harus dilakukan dengan baik dan adil, dengan demikian penarikan dapat diambil.

Masalah SQP yang optimal adalah paling berisiko sehingga harus ada strate- gi investasi multistage yang efisien dan dapat menghasilkan kekayaan yang diha- rapkan pasca-pajak (W T ) sebagai solusinya dapat dilihat uraian dibawah ini:

M inimumkan : Varians =

T −1

X

t=0 3

X

k=1

Var I ⁰ w _t ^k  dengan kendala : Mean ≤ W T

w _e ^k , b ^k _e , s ^k _e , g ^k _e , h ^k _e > 0 e ∈ N t , t = 0, 1, . . . , T k = 1, 2, 3 W _e > 0, R ^k _e > 0 e ∈ N t , t = 0, 1, . . . , T k = 1, 2, 3 R ¹ ₀ = R ² ₀ = R ³ ₀ = 0 (Frauendorfer,2005)

Mengingat nilai (W T ) bersifat tetap, maka solusi SQP(W) harus dapat mengu- payakan nilai varians mininimum jika tidak maka akan paling berisiko. Strategi investasi harus dapat mencapai jumlah kekayaan yang diharapkan. Cara lain un- tuk mencari strategi risiko yang aman juga dapat dilakukan dengan pemecahan

Universitas Sumatera Utara

24

masalah SLP yaitu memaksimuman nilai mean yang diharapkan dapat mening- katkan nilai pengembalian bersih maksimum (W mak ). Jika nilai pengembalian bersih kekayaan minimum (W min ), maka harus dilakukan perhitungan dengan memecahkan masalah SQP tanpa ada kendala, Mean = W T . Nilai Optimum dapat dibangun dengan menentukan strategi risiko yang terkendalikan. Dengan mengkombinasikan nilai W T dari strategi mencari risiko dengan strategi menghin- dari risiko, batas risiko yang efisien dapat dihasilkan.

Dalam sebuah model tersebut di mana nilai varians relatif dihitung dari be- berapa portofolio yang ada, yang mungkin ada mencapai nilai risiko = 0. Ini adalah strategi yang masuk akal untuk memiliki nilai awal untuk menghindari risiko atau pencapaian risiko yang efisien menurut Markowitz. Dalam model ini peneliti telah memberlakukan patokan nilai risiko yang efisien, sehingga untuk mencapai nilai risiko minimum (tergantung pada kendala yang ada) dengan meli- batkan upaya meminimalkan nilai-nilai variabel W dalam perhitungan nilai risiko.

Jadi, dengan tidak ada kinerja kendala (bagaimana W min dihitung), sudah dapat dibayangkan nilai optimasi bisa memberikan solusi dengan nilai batas terkecil 0, dari finansial yang dikelola sehingga penarikan yang ditentukan dapat dipenuhi, dan aktiva yang tersisa kepada broker adalah cukup untuk membayar pajak pada saat pencairan.

Hal tersebut diatas mungkin saja tidak dapat memenuhi kebutuhan ke- banyakan investor walaupun ada situasi yang dianggap dapat mengatasi hal terse- bu dengan sebuah strategi tertentu. Oleh sebab itu, dapat diasumsikan bahwa hasil akhir yang lebih rendah dari batas yang effesien merupakan misteri mate- matis yang tidak dapat dihilangkan. Ironisnya, gambaran minimum dari W min

membentuk batas lebih kecil yang subjektif dan sangat bermasalah serta tergan- tung pada investor. Akan diberi tahu bahwa, alasan mengapa peneliti memper- tahankan kendala matamatis rendah untuk kendala efisien yang disajikan pada penelitian ini, adalah karena tidak adanya alternatif yang lebih praktis dari hal tersebut. dengan adanya kendala yang efisien, investor sebenarnya bebas untuk memilih sebuah tingkatan resiko yang sesuai dengan situasi mereka.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4

OPTIMISASI INTEGER CAMPURAN MEAN–VARIANS PASCA-PAJAK UNTUK PENARIKAN UMUM

Pada model SLP dan SQP yang disajikan pada bab 3, dapat diartikan bah- wa penarikan tidak termasuk pengembalian total pada masing-masing instrumen antar pemilik saham pada beberapa priode. Walaupun sebagai broker biasanya lebih memilih atau cenderung memperoleh uang dari penghasilan atau pembagian dari pada kapital original, pertumbuhan bersih tidak selamanya dapat menutupi jumlah penarikan tertentu. Dalam hal ini, kapital original membutuhkan perha- tian. Penarikan terdiri dari pemasukan atau hasil bagi, penghasilan kapital dan kapital original

Jika uang ditarik dari pendapatan (deviden) dari pinjaman jangka pendek (reksadana) atau komulatif tahunan 5% pada obligasi luar negeri dan domestik maka pajak akan ditangguhkan. Namun, jika uang ditarik dari keuntungan yang lain pada obligasi reksadana, maka pajak reksadana harus dibayar. Dikarenakan penarikan pajak tertunda menyebabkan kecenderungan kekurangan pajak dalam jangka pajang, optimisasi secara alamiah memilih untuk mengurangi jenis penun- daan, dan memilihnya lagi untuk pajak langsung. Jika uang yang diambil dari kapital original maka pajak bebas berlaku untuk semua pemilik saham gabung- an. Hal ini dapat menyebabkan pembuat optimisasi untuk menarik dari kapital sebelum ditarik dari pengembalian pajak. Supaya dapat meningkatkan priori- tas penarikan dari pajak tertunda, pajak langsung dan investasi kapital akhir, merupakan petunjuk untuk menggunakan pendekatan logis dengan variabel bi- ner. Dalam hal ini peneliti perlu menambahkan variabel untuk setiap penarikan yang diambil dari investasi original f _e ^k pada waktu awal e ∈ N t untuk masing- masing pemilik saham k. Sebuah variabel biner y _e ^k pada waktu awal e ∈ N t

untuk masing-masing pemilik saham k menyajikan penggunaan kapital original, digunakan sebagai modal awal untuk pengembalian atau penghasilan kapital pada masing-masing pemilik saham. Kendala berikut memungkinkan untuk penarikan uang yang akan diambil dari dari kapital original f _e ^k ketika y ^k _e = 1. Pada saat nilai y ^k _e = 0, batas ini menyebabkan penarikan hanya digunakan untuk pengembalian bersih melalui h ^k _e dan u ^k _e .

I

⁰

f _e ^k − My ^k _e ≥ 0, ∀k = 1, 2, 3 e ∈ N _t t = 1, . . . , T (4.1) 25

Universitas Sumatera Utara

26

R

⁰

_e + My _e ^k ≥ M, ∀k = 1, 2, 3 e ∈ N t t = 1, . . . , T (4.2) Jumlah total penarikan pada e ∈ N t untuk t = 1, . . . T termasuk semua jenis penarikan dan sesuatu yang diambil dari investasi original dapat dihitung sebagai berikut:

TW e =

3

X

k=1

h I

⁰

^h

^ke

+ I

⁰

g ^k _e + I

⁰

f _e ^k i

(4.3)

Penarikan dari investasi original sesuai dengan sebuah cara dimana W ^k _e pada waktu awal e ∈ N t untuk t = 1, . . . .T yang dijelaskan dengan persamaan (3.2) digantikan dengan persamaan berikut:

w _e ¹ =(1 − ac 1 )[(1 + ˆ c e + ˆ d e ) ◦ w _a(e) ¹ ] − h ¹ _e 1 1 − t gb

g _e ¹ − f _e ¹ + (1 − tc)b ¹ _e

− (1 + tc)s ¹ _e ,

w _e ² =(1 − ac 2 )[(1 + (1 − t ob )(ˆ c e + ˆ d e ) ◦ w _a(e) ² ] − h ² _e 1 1 − t gb

g ² _e − f _e ² + (1 − tc)b ² _e

− (1 + tc)s ² _e ,

w _e ³ =(1 − ac 3 )[(1 + ˆ c e + (1 − t inc ◦ ˆ d e )) ◦ w ³ _a(e) ] − h ³ _e 1 1 − CG e

g _e ¹ − f _e ³ + (1 − tc)b ³ _e

− (1 + tc)s ¹ _e ,

(4.4)

Perhatian bahwa ketika semua variabel dimana y ^k _e = 0, permasalahan in- teger campuran berkurang menjadi permasalahan pemrograman kuadratik dan linier. Sudah dapat dipahami bahwa solusi dari permasalah pemrograman in- teger campuran menantang secara komputasi khususnya ketika jumlah variabel integer meningkat. Jumlah variabel biner, tentu saja, bergantung pada uku- ran pohon skenario dan jumlah penarikan yang diinginkan. Dikarenakan ukuran model pasca-pajak mean-varians campuran menjadi masalah, hasil perhitungan menunjukkan pendekatan yang lebih realistik.

4.1 Model Pemograman Kuadratik dan Integer Campuran Stokastik Model optimisasi SLP atau SQP dapat diupayakan dengan alamiah un- tuk melakukan penarikan dari kapital daripada membayar pajak langsung. Oleh sebab itu, model optimisasi pasca-pajak mean-varians diperluas menjadi model

Universitas Sumatera Utara