PENGANTAR PROBABILITAS
GANGGA ANURAGA GANGGA ANURAGA
STATISTIKA UNIPA SBY
POKOK BAHASAN
Konsep dasar probabilitas
• Teori himpunan
• Permutasi
• Kombinasi
• Koefisien binomial
• Koefisien multinomial
Probabilitas
• Aksioma probabilitas
• Probabilitas bersyarat
• Teorema bayes
• Kejadian-kejadian yang bebas
Variabel Random
• Variabel random diskrit dan fungsi distribusi variabel random diskrit
• Variabel random kontinu dan fungsi variabel random kontinu
Konsep dasar probabilitas
• Teori himpunan
• Permutasi
• Kombinasi
• Koefisien binomial
• Koefisien multinomial
Probabilitas
• Aksioma probabilitas
• Probabilitas bersyarat
• Teorema bayes
• Kejadian-kejadian yang bebas
Variabel Random
• Variabel random diskrit dan fungsi distribusi variabel random diskrit
• Variabel random kontinu dan fungsi variabel random kontinu
UTS
STATISTIKA UNIPA SBY
POKOK BAHASAN
Distribusi bersama / joint probability
• Distribusi bersama variabel random diskrit
• Distribusi bersama variabel random kontinu
Ekspektasi
• Ekspektasi variabel random
• Varians, kovarian, korelasi,
Fungsi pembangkit moment
UAS
Distribusi bersama / joint probability
• Distribusi bersama variabel random diskrit
• Distribusi bersama variabel random kontinu
Ekspektasi
• Ekspektasi variabel random
• Varians, kovarian, korelasi,
Fungsi pembangkit moment
STATISTIKA UNIPA SBY
REFERENSI
A First course in Probability: Sheldon Ross. 1997
Hogg, R.V. dan Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics, 5th ed. Mac Millon. New York.
Rohatgi, W.K., 1976., An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics, John Wiley and Sons, New York.
Bartoszynski, R. and Bugaj, M.N.,, 1996, Probability and Statistical Inference, John Wiley & Sons, New York.
A First course in Probability: Sheldon Ross. 1997
Hogg, R.V. dan Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics, 5th ed. Mac Millon. New York.
Rohatgi, W.K., 1976., An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics, John Wiley and Sons, New York.
Bartoszynski, R. and Bugaj, M.N.,, 1996, Probability and Statistical Inference, John Wiley & Sons, New York.
STATISTIKA UNIPA SBY
KONSEP DASAR PROBABILITAS
Teori Himpunan (SET THEORY)
: Kumpulan obyek-obyek yang keanggotaanya terdefinisikan secara jelas.
Definisi I :
Himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan secara lenkap disebut sebagai himpunan semesta (space), yang biasanya dinotasikan dengan huruf besar seperti S.
Definisi II : Jika S merupak
c
an himpunan semesta dan A adalah himpunan bagian dari S
maka komplemen A ditulis A adalah himpunan yang memuat anggota-anggota dari S tetapi tidak termuat dalam A.
contoh :
S = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4 dan A
c
= x ; x = 0, 1 maka komplemen A atau A = x ; x = 2, 3, 4 Definisi I :
Himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan secara lenkap disebut sebagai himpunan semesta (space), yang biasanya dinotasikan dengan huruf besar seperti S.
Definisi II : Jika S merupak
c
an himpunan semesta dan A adalah himpunan bagian dari S
maka komplemen A ditulis A adalah himpunan yang memuat anggota-anggota dari S tetapi tidak termuat dalam A.
contoh :
S = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4 dan A
c
= x ; x = 0, 1 maka komplemen A atau A = x ; x = 2, 3, 4
STATISTIKA UNIPA SBY
1 2 1 2
1
2 1 2 1 2
1
Definisi III :
A merupakan himpunan bagian dari A (ditulis A A ) jika
dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x juga merupakan anggota dari A ditulis : A A x A x A
contoh : A = x
2 1 2
; 0 x 1 , A = x ; 0 x 2 , maka A A Gambarkan diagram Venn-nya ?
Definisi IV :
Himpunan A tidak mempunyai anggota, disebut himpunan kosong A =
contoh :
A = x ; 0 < x < 1 dan x bilangan bulat ,
maka A =
1 2 1 2
1
2 1 2 1 2
1
Definisi III :
A merupakan himpunan bagian dari A (ditulis A A ) jika
dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x juga merupakan anggota dari A ditulis : A A x A x A
contoh : A = x
2 1 2
; 0 x 1 , A = x ; 0 x 2 , maka A A Gambarkan diagram Venn-nya ?
Definisi IV :
Himpunan A tidak mempunyai anggota, disebut himpunan kosong A =
contoh :
A = x ; 0 < x < 1 dan x bilangan bulat ,
maka A =
STATISTIKA UNIPA SBY
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
Definisi V :
Gabungan dua himpunan A dan A ditulis A A yaitu
suatu himpunan yang anggotanya adalah semua anggota A dan A , ditulis A A = x | x A atau x A .
Gabungan dari himpunan-himpunan
1 2 3
1 2 3
1
2
1 2
A , A , A ,...adalah A A A ...
contoh :
A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5
A = x ; x = 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10
Maka A A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
Definisi V :
Gabungan dua himpunan A dan A ditulis A A yaitu
suatu himpunan yang anggotanya adalah semua anggota A dan A , ditulis A A = x | x A atau x A .
Gabungan dari himpunan-himpunan
1 2 3
1 2 3
1
2
1 2
A , A , A ,...adalah A A A ...
contoh :
A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5
A = x ; x = 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10
Maka A A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10
STATISTIKA UNIPA SBY
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
Definisi VI :
Irisan dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah
suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A dan juga dari A ditulis : A A = x | x A dan x A Irisan dar
1 2 3
1 2 3
1
2
1 2
1 2
i beberapa himpunan A , A , A ...adalah A A A ...
Contoh :
A = x, y ; x, y = 0,0 , 0,1 , 1,1 A = x, y ; x, y = 1,1 , 1,2 , 2,1 maka A A x, y ; x, y = 1,1 Contoh :
A = x,y ; 0 x+y 1 , A = x,y ; 1
1 2
x+y maka A A ....
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
Definisi VI :
Irisan dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah
suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A dan juga dari A ditulis : A A = x | x A dan x A Irisan dar
1 2 3
1 2 3
1
2
1 2
1 2
i beberapa himpunan A , A , A ...adalah A A A ...
Contoh :
A = x, y ; x, y = 0,0 , 0,1 , 1,1 A = x, y ; x, y = 1,1 , 1,2 , 2,1 maka A A x, y ; x, y = 1,1 Contoh :
A = x,y ; 0 x+y 1 , A = x,y ; 1
1 2
x+y maka A A ....
STATISTIKA UNIPA SBY
1 2 1 2
1
2 1 2 1 2
1
Definisi VII :
Selisih dua himpunan A dan A ditulis A -A adalah
suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari A A -A = x | x A dan x A
Contoh : A = x
2
1 2
2 1
| x bilangan asli A = x | x bilangan bulat A -A =
A -A = x | x bilangan bulat tidak positif
1 2 1 2
1
2 1 2 1 2
1
Definisi VII :
Selisih dua himpunan A dan A ditulis A -A adalah
suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari A A -A = x | x A dan x A
Contoh : A = x
2
1 2
2 1
| x bilangan asli A = x | x bilangan bulat A -A =
A -A = x | x bilangan bulat tidak positif
STATISTIKA UNIPA SBY
1 2 1 2
1
2 1 2
1 2 1
Definisi VIII :
Jumlah dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota A atau anggota A tetapi tidak termuat dalam A A .
A + A = x | x A
2 1 2
1 2 1 2 1 2
1
2
1 2
atau x A dan x A A .
Khusus untuk A dan A yang saling lepas, maka A A = A A . Contoh :
A = x | x bilangan cacah
A = x | x bilangan bulat negatif
maka A + A = x | x bilangan bulat
1 2 1 2
1
2 1 2
1 2 1
Definisi VIII :
Jumlah dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota A atau anggota A tetapi tidak termuat dalam A A .
A + A = x | x A
2 1 2
1 2 1 2 1 2
1
2
1 2
atau x A dan x A A .
Khusus untuk A dan A yang saling lepas, maka A A = A A . Contoh :
A = x | x bilangan cacah
A = x | x bilangan bulat negatif
maka A + A = x | x bilangan bulat
STATISTIKA UNIPA SBY
STATISTIKA UNIPA SBY
SOAL LATIHAN :
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 1 1 2 3
2 2 3 4 5 3 3 4 5 8
c c c
1 2 3 1 2 1 3 2 3
Suatu ruang sampel S = s , s , s , s , s , s , s , s dan himpunan A , A , dan A adalah sebagai berikut : A s , s , s ,
A s , s , s , s , A s , s , s , s .
Tentukan A , A , A , A A , A A , A A ,
1 2 3 1 2 1 3 1 2 3
c
1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 1
c c
1 2 1 2
c c
1 2 1 2
A A A , A A , A A , A A A , A - A , A - A , A - A , A - A , A - A , A .
Berikan bukti bahwa : A A A A , A A A A ,
c
c
c
1 2 3
1c c2 3cA A A c A A A
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 1 1 2 3
2 2 3 4 5 3 3 4 5 8
c c c
1 2 3 1 2 1 3 2 3
Suatu ruang sampel S = s , s , s , s , s , s , s , s dan himpunan A , A , dan A adalah sebagai berikut : A s , s , s ,
A s , s , s , s , A s , s , s , s .
Tentukan A , A , A , A A , A A , A A ,
1 2 3 1 2 1 3 1 2 3
c
1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 1
c c
1 2 1 2
c c
1 2 1 2
A A A , A A , A A , A A A , A - A , A - A , A - A , A - A , A - A , A .
Berikan bukti bahwa : A A A A , A A A A ,
c
c
c
1 2 3
1c c2 3cA A A c A A A
STATISTIKA UNIPA SBY
Aplikasi hukum De Morgan’s
1 2 6 7 8 1 2 6 7 8
1 2 3 6 7 1 2 3 6 7
1 2 1 4 5 6 7 8 1 2 1 4 5 6 7 8
1 2 3 1 2 4 5 6 7 8
1 2 3 1 2 4 5 6 7 8
1 2 1 2 1
, , , , ,
, , ,
, , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , , , ,
maka :
,
c c c
c c c c
c c c
c
c c c
c c c
A A s s s A A s s s
A A A s s A A A s s
A A s s s s s s A A s s s s s s A A A s s s s s s s
A A A s s s s s s s
A A A A A
2 3 1 2 3
1 2 1 2, 1 2 3 1 2 3
c c c c
c c c c c c c
A A A A A
A A A A A A A A A A
1 2 6 7 8 1 2 6 7 8
1 2 3 6 7 1 2 3 6 7
1 2 1 4 5 6 7 8 1 2 1 4 5 6 7 8
1 2 3 1 2 4 5 6 7 8
1 2 3 1 2 4 5 6 7 8
1 2 1 2 1
, , , , ,
, , ,
, , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , , , ,
maka :
,
c c c
c c c c
c c c
c
c c c
c c c
A A s s s A A s s s
A A A s s A A A s s
A A s s s s s s A A s s s s s s A A A s s s s s s s
A A A s s s s s s s
A A A A A
2 3 1 2 3
1 2 1 2, 1 2 3 1 2 3
c c c c
c c c c c c c
A A A A A
A A A A A A A A A A
Hukum De Morgan’s
STATISTIKA UNIPA SBY
SOAL LATIHAN
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
c
Carilah himpunan gabungan dari A A dan interseksi A A dimana A dan A adalah :
a A ; 0,1, 2 , A ; 2, 3, 4
b A ; 0 2 , A ;1 3
Carilah A dari himpunan A dengan ruang sampel S
x x x x
x x x x
sebagai berikut : a S ; 0 1 , A = ;5 1
x x x 8 x
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
c
Carilah himpunan gabungan dari A A dan interseksi A A dimana A dan A adalah :
a A ; 0,1, 2 , A ; 2, 3, 4
b A ; 0 2 , A ;1 3
Carilah A dari himpunan A dengan ruang sampel S
x x x x
x x x x
sebagai berikut : a S ; 0 1 , A = ;5 1
x x x 8 x
STATISTIKA UNIPA SBY
Barisan himpunan monoton :
n n
i i+1
n
i n n i
i=1 n i=1
n n
i i+1
Barisan himpunan A disebut himpunan monoton naik A jika A A , i = 1,2,3,...
A A berarti limit A A = A
Barisan himpunan A disebut himpunan monoton turun A jika A A ,
n
i n n i
i=1 n i=1
i = 1,2,3,...
A A berarti limit A A = A
n n
i i+1
n
i n n i
i=1 n i=1
n n
i i+1
Barisan himpunan A disebut himpunan monoton naik A jika A A , i = 1,2,3,...
A A berarti limit A A = A
Barisan himpunan A disebut himpunan monoton turun A jika A A ,
n
i n n i
i=1 n i=1
i = 1,2,3,...
A A berarti limit A A = A
STATISTIKA UNIPA SBY
SOAL LATIHAN
1 2 3 k k+1
k k
1 2 3
k k
k
Jika A , A , A ,...adalah himpunan yang terdefinisikan bahwa A A , k = 1, 2, 3,..., dan lim A didefinisikan sebagai himpunan gabungan
A A A ....
Carilah lim A jika : a) A
2 2
k
1 2 3 k k+1
k k
;1/ 3 1/ , 1, 2, 3...;
b) A , ;1/ 4 1/ , 1, 2, 3...;
Jika A , A , A ,...adalah himpunan yang terdefinisikan bahwa A A , k = 1, 2, 3,..., dan lim A didefinisikan sebagai himpun
x k x k k
x y k x y k k
1 2 3
k k
k
2 2
k
an interseksi A A A ...
Carilah lim A jika :
a) A ; 2 1/ 2 , 1, 2, 3...;
b) A , ; 0 1/ , 1, 2, 3...;
x k x k
x y x y k k
1 2 3 k k+1
k k
1 2 3
k k
k
Jika A , A , A ,...adalah himpunan yang terdefinisikan bahwa A A , k = 1, 2, 3,..., dan lim A didefinisikan sebagai himpunan gabungan
A A A ....
Carilah lim A jika : a) A
2 2
k
1 2 3 k k+1
k k
;1/ 3 1/ , 1, 2, 3...;
b) A , ;1/ 4 1/ , 1, 2, 3...;
Jika A , A , A ,...adalah himpunan yang terdefinisikan bahwa A A , k = 1, 2, 3,..., dan lim A didefinisikan sebagai himpun
x k x k k
x y k x y k k
1 2 3
k k
k
2 2
k
an interseksi A A A ...
Carilah lim A jika :
a) A ; 2 1/ 2 , 1, 2, 3...;
b) A , ; 0 1/ , 1, 2, 3...;
x k x k
x y x y k k
STATISTIKA UNIPA SBY
Permutasi dan Kombinasi
Permutasi pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan dari elemen elemen tersebut diperhatikan.
Contoh : dari himpunan huruf-huruf {a,b,c}, permutasi-permutasi dengan ukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a},
{b,c}, dan {c,b}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu adalah penting, dengan kata lain {a,b} adalah berbeda dengan {b,a}.
Banyaknya permutasi adalah 6.
Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?
Banyaknya permutasi adalah 6 yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.
!
! 0! 1
! 1 2 1
3! 3 2! 3 2 1 6
k n
P n
n k
k k x k x k x x
x x x
Permutasi dan Kombinasi
Permutasi pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan dari elemen elemen tersebut diperhatikan.
Contoh : dari himpunan huruf-huruf {a,b,c}, permutasi-permutasi dengan ukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a},
{b,c}, dan {c,b}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu adalah penting, dengan kata lain {a,b} adalah berbeda dengan {b,a}.
Banyaknya permutasi adalah 6.
Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?
Banyaknya permutasi adalah 6 yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.
!
! 0! 1
! 1 2 1
3! 3 2! 3 2 1 6
k n
P n
n k
k k x k x k x x
x x x
STATISTIKA UNIPA SBY
Kombinasi adalah pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan dari elemen elemen tersebut tidak diperhatikan.
Contoh, dari himpunan huruf-huruf {a,b,c} kombinasi-kombinasi yang
berukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {a,c}, and {b,c}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu tidak penting, dengan kata lain {b,a} adalah dianggap sama dengan {a,b}.
Banyaknya kombinasi adalah 3.
Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C.
Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan? Banyaknya kombinasi adalah 3
!
! !
n n k
k k k
C P P n
k n k
Kombinasi adalah pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan dari elemen elemen tersebut tidak diperhatikan.
Contoh, dari himpunan huruf-huruf {a,b,c} kombinasi-kombinasi yang
berukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {a,c}, and {b,c}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu tidak penting, dengan kata lain {b,a} adalah dianggap sama dengan {a,b}.
Banyaknya kombinasi adalah 3.
Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C.
Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan? Banyaknya kombinasi adalah 3
!
! !
n n k
k k k
C P P n
k n k
STATISTIKA UNIPA SBY
SOAL LATIHAN
Tiga orang siswa bernama A, B, dan C hendak membentuk
kelompok belajar dan dua orang dipilih sebagai ketua dan bendahara.
Maka susunan ketua dan bendahara yang bisa terjadi adalah
Tiga orang bernama A, B, dan C berjabat tangan. Berapa kemungkinan jabat tangan yang mungkin terjadi?
Tiga orang siswa bernama A, B, dan C hendak membentuk
kelompok belajar dan dua orang dipilih sebagai ketua dan bendahara.
Maka susunan ketua dan bendahara yang bisa terjadi adalah
Tiga orang bernama A, B, dan C berjabat tangan. Berapa kemungkinan jabat tangan yang mungkin terjadi?
STATISTIKA UNIPA SBY
TERIMA KASIH TERIMA KASIH
STATISTIKA UNIPA SBY
EKSPEKTASI MATEMATIK
GANGGA ANURAGA
STATISTIKA UNIPA SBY
Definisi :
Variabel random X dengan f.d.p f x dan u x adalah suatu fungsi dari variabel random X, sedemikian hingga :
untuk variabel random kontinu E u
untuk variabel random diskrit
x
u x f x dx x
u x f x
Jika integral atau deret tersebut konvergen mutlak maka E u disebut ekspektasi dari u x .
x
Definisi :
Variabel random X dengan f.d.p f x dan u x adalah suatu fungsi dari variabel random X, sedemikian hingga :
untuk variabel random kontinu E u
untuk variabel random diskrit
x
u x f x dx x
u x f x
Jika integral atau deret tersebut konvergen mutlak maka E u disebut ekspektasi dari u x .
x
STATISTIKA UNIPA SBY
n
i i i i
i=1 1
Sifat - sifat dari ekspektasi matematik : 1. E (k) = k, k = konstanta
2. E [k u(x)] = k E[u(x)]
3. E k u (x) k E[u (x)] , n hingga ekspektasi bersifat linier
n
i
n i i
i ii=1 1
Sifat - sifat dari ekspektasi matematik : 1. E (k) = k, k = konstanta
2. E [k u(x)] = k E[u(x)]
3. E k u (x) k E[u (x)] , n hingga ekspektasi bersifat linier
n
i
STATISTIKA UNIPA SBY
2Ekspektasi Fungsi U(x)
1. U(x) = X, maka mean dari variabel random X :
untuk variabel random kontinu E u
untuk variabel random diskrit 2. Var u Var(x) = E(x - E(x))
x
x f x dx x
x f x x
2 2
2
(x - E(x)) untuk variabel random kontinu
=
(x - E(x)) untuk variabel random diskrit
x
f x dx f x
2Ekspektasi Fungsi U(x)
1. U(x) = X, maka mean dari variabel random X :
untuk variabel random kontinu E u
untuk variabel random diskrit 2. Var u Var(x) = E(x - E(x))
x
x f x dx x
x f x x
2 2
2
(x - E(x)) untuk variabel random kontinu
=
(x - E(x)) untuk variabel random diskrit
x
f x dx f x
STATISTIKA UNIPA SBY
2
3
Misal X dengan f.d.p
2 1 , 0 1
0 , untuk x yang lainnya maka E 6x + 3x ....?
Contoh 2.
Misal X dengan f.d.p
/ 6 , 1, 2, 3
0 , untuk x yang lainnya maka E (x ) ...?
x x
f x
x x
f x
2
3
Misal X dengan f.d.p
2 1 , 0 1
0 , untuk x yang lainnya maka E 6x + 3x ....?
Contoh 2.
Misal X dengan f.d.p
/ 6 , 1, 2, 3
0 , untuk x yang lainnya maka E (x ) ...?
x x
f x
x x
f x
STATISTIKA UNIPA SBY
2
2
Misalkan X merupakan variabel random dengan f.d.p f(x) = 3x , 0 < x < 1
maka :
1. E (x), E(x ), dan Var (x)...?
2. Jika variabel random y dengan y = 3x - 2 tentukan E (y) dan Var (y) ?
2
2
Misalkan X merupakan variabel random dengan f.d.p f(x) = 3x , 0 < x < 1
maka :
1. E (x), E(x ), dan Var (x)...?
2. Jika variabel random y dengan y = 3x - 2 tentukan E (y) dan Var (y) ?
STATISTIKA UNIPA SBY
Fungsi Pembangkit Momen (Moment Generating Function)
Gangga Anuraga
Fungsi Pembangkit Momen (Moment Generating Function)
Gangga Anuraga
STATISTIKA UNIPA SBY
Fungsi pembangkit momen secara lengkap menentukan distribusi sampling dari suatu variabel random.
Karakteristik Fungsi Pembangkit Momen
tx
tx tx
tx x
cx x cx
M t E e
e f x M t E e
e f x
M t M ct M
.
t cx ct x
x
t cx d ct x
dt dt dt
cx d x cx d x
t E e E e M ct
M t e M ct M t E e E e e e M ct
Fungsi pembangkit momen secara lengkap menentukan distribusi sampling dari suatu variabel random.
Karakteristik Fungsi Pembangkit Momen
tx
tx tx
tx x
cx x cx
M t E e
e f x M t E e
e f x
M t M ct M
.
t cx ct x
x
t cx d ct x
dt dt dt
cx d x cx d x
t E e E e M ct
M t e M ct M t E e E e e e M ct
x
t 0 dan nn x
t 0 , 2, 3,d d
E x M t M t n
dt dt
STATISTIKA UNIPA SBY
1
1 2 n
1
1 2
a. jika a R maka
b. jika variabel random X , X ,..., X saling independen maka,
c. jika a, b R maka :
d. jika variabel random X , X ,..
n i
i i
x x
n i x X
tb
ax b x
M t M at
M t M t
M t e M at
Sifat sifat MGF
1
., X independen identik maka :n
n i
i i
n x
X
M t M t
1
1 2 n
1
1 2
a. jika a R maka
b. jika variabel random X , X ,..., X saling independen maka,
c. jika a, b R maka :
d. jika variabel random X , X ,..
n i
i i
x x
n i x X
tb
ax b x
M t M at
M t M t
M t e M at
Sifat sifat MGF
1
., X independen identik maka :n
n i
i i
n x
X
M t M t
STATISTIKA UNIPA SBY
STATISTIKA UNIPA SBY
2
Misalkan X merupakan variabel random dengan f.d.p
, 0.
a) Tentukan Fungsi Pembangkit Momen b) Tentukan E(x), E(x ) dan
c) jika variabel random y didefinisikan y = 2-3x,
?
x
x
y
f x e x
M t Var x
M t
2
Misalkan X merupakan variabel random dengan f.d.p
, 0.
a) Tentukan Fungsi Pembangkit Momen b) Tentukan E(x), E(x ) dan
c) jika variabel random y didefinisikan y = 2-3x,
?
x
x
y
f x e x
M t Var x
M t
STATISTIKA UNIPA SBY
1 2 22 2
contoh :
Jika X variabel random berdistribusi normal dengan mean dan varians , maka MGF dari X addalah . Tentukan :
a. MGF variabel random Y = X - . b. MGF variabel random W = X
c. MGF varia
t t
M
xt e
bel random Z = X -
1 2 22 2
contoh :
Jika X variabel random berdistribusi normal dengan mean dan varians , maka MGF dari X addalah . Tentukan :
a. MGF variabel random Y = X - . b. MGF variabel random W = X
c. MGF varia
t t
M
xt e
bel random Z = X -
STATISTIKA UNIPA SBY
Moment Generating Function
GANGGA ANURAGA
STATISTIKA UNIPA SBY
1
n 2
2 2
2
Moment : )
disebut sebagai moment ke n maka jika n = 1 didapatkan
)
jika n = 2 maka
n
n n
n
n
a U x x m E x
m E x b U x x
m E x m E x
m
1
n 2
2 2
2
Moment : )
disebut sebagai moment ke n maka jika n = 1 didapatkan
)
jika n = 2 maka
n
n n
n
n
