Distribusi Normal dan
Peluang Distribusi Normal
Sumber: www.shutterstock.com
Bab 5
Distribusi Normal 5.1
5.1.1 Fungsi Distribusi Normal dan Kondisi Kurvanya
Distribusi normal mempunyai model kurva berbentuk simetris/setangkup yang menyerupai lonceng atau gunung berapi (bells shaped).
Distribusi normal atau distribusi Gauss bersifat kontinu. Distribusi peluang variabel acak normal bergantung pada dua parameter, yaitu rataan (μ) dan simpangan baku (σ), di mana fungsi
probabilitas X dinyatakan dengan f(x) = n(x; μ, σ).
Jika μ = 50 dan σ = 5, maka ordinat n(x; 50, 5) dapat dengan mudah dihitung untuk berbagai nilai x sehingga kurvanya dapat digambarkan.
Gambar 5.2 memperlihatkan dua kurva distribusi normal yang mempunyai simpangan baku (σ) yang sama, tetapi rataannya (μ) berbeda. Bentuk kedua kurva persis sama, tetapi titik tengahnya terletak di tempat yang berbeda di sepanjang sumbu horizontal (sumbu X).
5.1.2 Karakteristik Data Berdistribusi Normal
1. Modus (Mo), titik pada sumbu horizontal (sumbu X) yang memberikan nilai maksimum kurva fungsi f, terdapat pada x = μ.
2. 2. Kurva setangkup terhadap sumbu tegak yang melalui rataan μ. Artinya, kurva mempunyai bentuk simetris terhadap x = μ.
3. 3. Kurva mempunyai titik belok pada x = μ ± σ, cekung ke bawah jika μ – σ < x < μ + σ, dan cekung ke atas untuk nilai x lainnya.
4. 4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu horizontal jika nilai x bergerak menjauhi μ baik ke kiri maupun ke kanan.
5. 5. Seluruh luas di bawah kurva yang dibatasi oleh sumbu horizontal sama dengan 1.
Sifat (5) menunjukkan bahwa:
Rataan = E(x) = μ dan variansi =
merupakan rataan dan variansi dari distribusi normal.
Anda dapat menguji
pemahaman tentang Fungsi Distribusi Normal dan Kondisi Kurvanya dengan mengerjakan soal
LKS 1 (halaman 226).
Peluang Distribusi Normal 5.2
Kita dapat membuat nilai yang berlainan untuk setiap nilai μ dan σ menggunakan transformasi normal Z dengan rataan 0 dan variansi 1, yaitu:
5.2.1 Peluang Distribusi Normal
P( < X < ) = P( < Z < )
dengan Z merupakan peubah acak normal dengan rataan 0 dan variansi 1.
Definisi
Distribusi peubah acak normal dengan rataan 0 dan variansi 1 disebut distribusi normal baku.
Berikut cara menggunakan tabel luas kurva normal pada Lampiran:
• Misalkan kita akan mencari nilai peluang bahwa z kurang dari 1,74. Pertama kali, lihat kolom sebelah kiri nilai z yang bernilai 1,7, kemudian bergeraklah mendatar sampai kolom di bawah 0,04 sehingga ditemukan bilangan desimal 0,9591. Hal ini berarti, P(Z < 1,74) = 0,9591.
• Untuk menemukan nilai z jika diketahui nilai peluangnya, lakukan proses kebalikannya. Sebagai contoh, untuk menemukan nilai z yang luasnya 0,2148, carilah nilai di bawah kurva sebelah luas z secara mendatar dengan nilai 0,2148, sehingga ditemukan nilai –0,79. Artinya, P(Z < –0,79) = 0,2148.
Berdasarkan tabel luas di bawah kurva normal pada lampiran, hitunglah luas di bawah kurva yang terletak:
a. di sebelah kanan z = 1,74, b. antara z = –1,74 dan z = 0,25.
Contoh: Mencermati pembacaan tabel luas di bawah kurva normal
Pembahasan:
Berdasarkan tabel luas di bawah kurva normal pada lampiran di belakang buku, diperoleh:
a. luas dari gambar di samping, sama dengan 1 dikurang luas di bawah kurva yang diperoleh di tabel, yaitu
1 – 0,9591 = 0,0409
b. luas daerah dari gambar di samping menunjukkan luas di bawah kurva, yaitu:
luas di sebelah kiri z = 0,25 dikurang luas di sebelah kiri z = –1,74, diperoleh:
0,5987 – 0,0409 = 0,5578
Diketahui distribusi normal dengan μ = 300 dan σ = 50. Tentukan peluangnya jika X mendapat nilai lebih dari 362.
Contoh: Memahirkan perhitungan peluang distribusi normal
Pembahasan:
Diketahui : μ = 300 dan σ = 50.
Ditanya : P(X > 362) = ?
Berdasarkan transformasi normal baku, , yaitu:
diperoleh:
P(X > 362) = P(Z > 1,24)
= 1 – P(Z < 1,24)
= 1 – 0,8925 P(X > 362) = 0,1075.
Anda dapat menguji
pemahaman tentang Peluang Distribusi Normal dengan mengerjakan soal LKS 2
(halaman 230).
5.2.2 Aplikasi Distribusi Normal pada Kehidupan Sehari-Hari
Suatu perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluang suatu bola lampu dapat menyala antara 778 dan 834 jam.
Contoh: Memahami perhitungan peluang nyalanya bola lampu
Pembahasan:
Dari soal diketahui = 778 dan = 834 dengan μ = 800 dan σ = 40.
Berdasarkan transformasi normal baku, , yaitu:
Hal ini berarti:
P(778 < X < 834) = P(–0,55 < Z < 0,85)
= P(Z < 0,85) – P(Z < –0,55)
Dari tabel luas di bawah kurva normal pada lampiran, diperoleh:
P(778 < X < 834) = 0,8023 – 0,2912 = 0,5111 Kesimpulan yang dapat diambil adalah perusahaan listrik dapat terus memproduksi bola lampu tersebut.
