p q p q
Pernyataan majemuk adalah dua pernyataan atau lebih yang digabungkan menjadi satu, dengan aturan tertentu. Aturan tersebut dalam logika matematika dapat dikelompokkan menjadi empat macam, yaitu
1. Aturan Konjungsi 2. Aturan Disjungsi 3. Atuan Implikasi 4. Aturan Biimpliksi
Berikut ini akan diuraikan dengan lebih lengkap aturan-aturan tesebut.
(1) Konjungsi
Konjungsi adalah kalimat majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung
“dan”.
Sehingga jika p dan q adalah suatu pernyataan maka konjungsi dari p dan q
dilambangkan dengan : “ p q ’’
Tabel kebenaran untuk konjugsi dapat dilihat dibawah ini :
Dari table tersebut dapat disimpulkan bahwa Konjungsi dari p dan q hanya bernilai benar jika pernyataan p dan q keduanya bernilai benar. Selain itu konjugsi ini bernilai salah
(2) Disjungsi
Disjungsi adalah kalimat majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung
“atau”. Sehingga jika p dan q adalah suatu pernyataan maka disjungsi dari p
atau q dilambangkan dengan : “ p q ’’ Tabel kebenaran untuk disjuugsi
Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini :
01. Tentukanlah nilai kebenaran dari setiap pernyataan majemuk berikut ini : (a) 9 dan 14 adalah bilangan yang habis dibagi 3
(b) Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di pulau Jawa (c) 20 habis dibagi 6 dan jumlah sudut-sudut dalam segi tiga adalah 3600
(d) Surabaya ibu kota provinsi Jawa Timur atau ayah pergi ke kebun bersama kakak
Jawab
(a) 9 dan 14 adalah bilangan yang habis dibagi 3
Tinjau : 9 adalah bilangan yang habis dibagi 3 (benar) 14 adalah bilangan yang habis dibagi 3 (benar) Maka B S ≡ S
Jadi pernyataan majemuk di atas bernilai salah
(b) Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di pulau Jawa Tinjau : Bandung adalah kota yang terletak di pulau Jawa (benar)
Palembang adalah kota yang terletak di pulau Jawa (salah) Maka B V S ≡ B
Jadi pernyataan majemuk di atas bernilai benar
(c) 20 habis dibagi 6 dan jumlah sudut-sudut dalam segi tiga adalah 3600 Tinjau : 20 habis dibagi 6 (salah)
jumlah sudut-sudut dalam segi tiga adalah 3600 (salah) Maka S S ≡ S
Jadi pernyataan majemuk di atas bernilai salah
(d) Surabaya ibu kota provinsi Jawa Timur atau ayah pergi ke kebun bersama kakak
Tinjau : Surabaya ibu kota provinsi Jawa Timur (benar) ayah pergi ke kebun bersama kakak (faktual)
Maka B V (Faktual) ≡ B
Jadi pernyataan majemuk di atas bernilai Benar
02. Tentukan nilai x agar kalimat terbuka berikut ini menjadi pernyataan yang benar (a) x2– 7x + 10 = 0 dan x2 + 5x – 14 = 0
(b) 2x – 5 = 1 atau x2 + 2x – 15 = 0
(c) x2– 16 = 0 dan 5 adalah bilangan genap (d) 3x + 4 = 10 atau 15 habis dibagi 3
(e) x bilangan bulat yang memenuhi x > 3 dan x < 9
Jawab
(a) p = “x2–7x + 10 = 0”
p = “(x – 5)(x –2) = 0” Benar jika x = 5 dan x = 2
q = “x2 + 5x – 14 = 0”
(b) p = “2x – 5 = 1”
p = “2x = 6”
p = “x = 3” Benar jika x = 3
q = “x2 + 2x – 15 = 0”
q = “(x + 5)(x – 3) = 0” Benar jika x = –5 dan x = 3
Jadi supaya p V q bernilai benar haruslah x = –5 atau x = 3
(c) p = “x2–16 = 0”
p = “(x + 4)(x – 4) = 0” Benar jika x = –4 dan x = 4
q = “5 adalah bilangan genap”
q adalah pernyataan yang bernilai salah Sehingga : p q ≡ p S ≡ S
Jadi pernyataan majemuk tersebut bernilai salah untuk semua nilai x bilangan real
(d) p = “3x + 4 = 10” p = “3x = 6”
p = “x = 3” Benar jika x = 3
q = “15 habis dibagi 3”
q adalah pernyataan yang bernilai benar
Sehingga : p V q ≡ p V B ≡ B
Jadi pernyataan majemuk tersebut bernilai benar untuk semua nilai x bilangan real
(e) p = “x bilangan bulat yang memenuhi x > 4” p = “{ 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}”
q = “x bilangan bulat yang memenuhi x < 9”
q = “{ …, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }”
Sehingga : p q = { 5, 6, 7, 8 }
Jadi supaya p q bernilai benar haruslah x = { 5, 6, 7, 8 }
03. Isilah titik-titik berikut ini dengan kata hubung “dan” atau kata hubung “atau” sehingga menjadi pernyataan majemuk yang tepat
(a) Pak Ahmad mempunyai tiga orang anak, yaitu Budi, Susi ……….Wati (b) Untuk sampai ke Mega Mall kita dapat melalui jalan A. Yani, jalan Basuki
Rahmat …….... jalan Padamg Jati
(c) Pada hari Senin, siswa SMAN 2 diwajibkan memakai baju putih ……... celana abu-abu
(3) Implikasi
Implikasi adalah kalimat majemuk yang disusun dari dua pernyataan p dan q
dalam bentuk: “jika p maka q” ditulis “pq” Dalam bahasa lain ditulis :
Tabel kebenaran untuk implikasi dapat dilihat pada gambar disamping
Dari tabel tersebut dapat disimpulkan bahwa implikasi dari jika p maka q akan bernilai salah jika p benar dan q salah. Selain itu implikasi akan bernilai benar
Untuk lebih jelasnya pelajarilah conto soal berikut ini
04. Tentukanlah nilai kebenaran dari setiap implikasi berikut ini : (a) Jika kambing berkaki dua maka kerbau berkaki empat (b) Jika 3 faktor dari 12 maka 12 habis dibagi 5
(c) Jika x habis dibagi 3 maka x habis pula dibagi 6 (d) Jika x bilangan ganjil maka x tidak habis dibagi 4
(e) Jika a bilangan ganjil dan b bilangan genap maka a + b bilangan ganjil Jawab
(a) Jika kambing berkaki dua maka kerbau berkaki empat Misalkan p : “Kambing berkaki dua” (salah)
q : “Kerbau berkaki empat (Benar)
Maka : p → q ≡ S → B ≡ B
Jadi pernyataan majemuk di atas bernilai benar
(b) Jika 3 faktor dari 12 maka 12 habis dibagi 5 Misalkan p : “3 faktor dari 12” (Benar)
q : “12 habis dibagi 5 (Salah)
Maka : p → q ≡ B → S ≡ S
Jadi pernyataan majemuk di atas bernilai Salah
(c) Jika x habis dibagi 3 maka x habis pula dibagi 6 Ambil x = 9 sehingga pernyataan di atas berbunyi :
”Jika 9 habis dibagi 3 maka 9 habis pula dibagi 6
B S
Sehingga B → S ≡ S
Jadi pernyataan majemuk di atas bernilai Salah
(d) Jika x bilangan ganjil maka x tidak habis dibagi 4.
Karena semua bilangan ganjil tidak habis dibagi 4 maka pernyataan tersebut bernilai benar
(e) Jika a bilangan ganjil dan b bilangan genap maka a + b bilangan ganjil Karena jumlah bilangan ganjil dan genap selalu menghasilkan bilangan ganjil, maka pernyataan di atas benilai benar
05. Tentukanlah nilai x agar implikasi berikut ini bernilai benar (a) Jika 2x – 6 = 8 maka 3x + 5 = 2
(b) Jika x2 – 9 = 0 maka x2 – 5x + 6 = 0
(c) Jika 2x – 3 = 5 maka Surabaya ibukota Jawa Timur (d) Jika 4x + 5 = 17 maka ayam binatang berkaki empat Jawab
(a) p : “2x – 6 = 8” p : “2x = 14”
p : “x = 7” Benar jika x = 7 q : “3x + 5 = 2”
q : “3x = –3”
q : “x = –1” Benar jika x = –1
Jadi supaya p → q bernilai benar haruslah x ≠ 7 dan x bilangan real
(b) p : “x2 – 9 = 0”
p : “(x – 3)(x + 3) = 0” Benar jika x = –3 dan x = 3 q : “x2 – 5x + 6 = 0”
q : “(x – 6)(x - 3) = 0” Benar jika x = 3 dan x = 6
Jadi supaya p → q bernilai benar haruslah x ≠ –3 dan x bilangan real (c) p : “2x – 3 = 5”
p : “2x = 8”
p : “x = 4” Benar jika x = 4
q : “Surabaya ibukota Jawa Timur” (Pernyataan benar)
Jadi p → q bernilai benar untuk semua x bilangan real
(d) p : “4x + 5 = 17” p : “4x = 12”
p : “x = 3” Benar jika x = 4
q : “ayam binatang berkaki empat” (Pernyataan salah)
(4) Biimplikasi
Biimplikasi adalah kalimat majemuk yang disusun dari dua pernyataan p dan q
dalam bentuk “p jika dan hanya jika q” ditulis “pq” .
Dari tabel tersebut dapat disimpulkan bahwa biimplikasi dari p jika dan hanya jika q akan bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai sama. Selain itu implikasi akan bernilai salah
Untuk lebih jelasnya pelajarilah conto soal berikut ini
06. Tentukanlah nilai kebenaran dari setiap biimplikasi berikut ini :
(a) Soeharto adalah presiden RI pertama jika dan hanya jika danau Toba terletak di provinsi Sumatera Barat
(b) 15 adalah bilangan genap jika dan hanya jika 15 tidak habis dibagi 2 (c) x adalah bilangan prima jika dan hanya jika x tidak habis dibagi 6 (d) x lebihdari 6 jikadanhanya x lebihdari 3
(e) ABC adalah segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sisinya sama panjang
Jawab
(a) Soeharto adalah presiden RI pertama jika dan hanya jika danau Toba terletak di provinsi Sumatera Barat
Misalkan p : “Soeharto adalah presiden RI pertama” (salah)
q : “danau Toba terletak di provinsi Sumatera Barat (Salah)
Maka : p ↔ q ≡ S ↔ S ≡ B
Jadi pernyataan majemuk di atas bernilai benar
(b) 15 adalah bilangan genap jika dan hanya jika 15 tidak habis dibagi 2 Misalkan p : “15 adalah bilangan genap” (Salah)
q : “15 tidak habis dibagi 2 (Benar)
Maka : p ↔ q ≡ S ↔ B ≡ S
Jadi pernyataan majemuk di atas bernilai salah
(c) x adalah bilangan prima jika dan hanya jika x tidak habis dibagi 6 Tinjau implikasi arah ke kanan dan ke kiri, diperoleh
Jika x adalah bilangan prima maka x tidak habis dibagi 6 (Benar) Jika x tidak habis dibagi 6 maka x adalah bilangan prima (Salah)
(d) x lebih dari 6 jika dan hanya x lebih dari 3
Tinjau implikasi arah ke kanan dan ke kiri, diperoleh Jika x lebih dari 6 maka x lebih dari 3 (Benar) Jika x lebih dari 3 maka x lebih dari 6 (Salah)
Karena biimplikasi harus benar pada kedua arah (kiri dan kanan), maka biimplikasi tersebut bernilai salah
(e) ABC adalah segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sisinya sama panjang
Tinjau implikasi arah ke kanan dan ke kiri, diperoleh
Jika ABC adalah segitiga sama sisi maka ketiga sisinya sama panjang (Benar)
Jika ketiga sisinya sama panjang maka ABC adalah segitiga sama sisi (Benar)
Karena benar pada kedua arah (kiri dan kanan), maka biimplikasi tersebut bernilai Benar
07. Manakah diantara implikasi berikut ini dapat diganti dengan biimplikasi
(a) Jika segi empat ABCD adalah persegi maka keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya sama besar
(b) Jika sebuah bilangan habis dibagi empat maka bilangan tersebut juga habis dibagi dua
(c) Jika persamaan ax2 + bx + c = 0 tidak mempunyai akar-akar real maka diskriminannya negatif
Jawab
(a) Pernyataan diatas jika dibalik berbunyi :
Jika keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya sama besar maka segiempat ABCD adalah persegi (Benar)
Sehingga pernyataan di atas dapat diganti biimplikasi yang bunyinya:
segiempat ABCD adalah persegi Jika dan hanya jika keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya sama besar
(b) Pernyataan diatas jika dibalik berbunyi :
Jika sebuah bilangan habis dibagi dua maka bilangan tersebut juga habis dibagi empat (Salah)
Sehingga pernyataan di atas tidak dapat diganti biimplikasi
(c) Pernyataan diatas jika dibalik berbunyi :
Jika diskriminannya negatif maka persamaan ax2 + bx + c = 0 tidak mempunyai akar-akar real (Benar)
Sehingga pernyataan di atas dapat diganti biimplikasi yang bunyinya:
08. Tentukanlah nilai x agar biimplikasi berikut ini bernilai benar (a) x – 5 = 3 jika dan hanya 3x + 2 = 8
(b) x2 – 6x + 8 = 0 jika dan hanya jika x2 + 3x – 10 = 0 (c) 4x + 5 = 25 jika dan hanya jika 7 adalah bilangan prima (d) 5x – 7 = 23 jika dan hanya jika 20 adalah faktor dari 5 Jawab
(a) p : “x – 5 = 3”
p : “x = 8” Benar jika x = 8 q : “3x + 2 = 8”
q : “3x = 6”
q : “x = 2” Benar jika x = 2
Jadi p ↔ q bernilai benar untuk semua x bilangan real kecuali 2 dan 8
(b) p : “x2 – 6x + 8 = 0”
p : “(x – 4)(x – 2) = 0” Benar jika x = 2 dan x = 4 q : “x2 + 3x – 10 = 0”
q : “(x – 5)(x – 2) = 0” Benar jika x = 2 dan x = 5
Jadi p ↔ q bernilai benar untuk semua x bilangan real kecuali 4 dan 5
(c) p : “4x + 5 = 25” p : “4x = 20”
p : “x = 5” Benar jika x = 5
q : “7 adalah bilangan prima” (Benar) Jadi p ↔ q bernilai benar hanya untuk x = 5
(d) p : “5x – 7 = 23” p : “5x = 30”
p : “x = 6” Benar jika x = 6
q : “20 adalah faktor dari 5” (Salah)
Jadi p ↔ q bernilai benar untuk semua x bilangan real kecuali 5
Negasi dari pernyataan majemuk adalah negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi. Seperti yang telah dijelaskan dimuka, jika p adalah suatu pernyataan, maka negasi p ditulis –p dan dibaca: “tidak benar bahwa p”, sehingga :
1. –(p Ʌ q) dibaca “tidak benar bahwa (p Ʌ q)” 2. –(p V q) dibaca “tidak benar bahwa (p V q)” 3. –(p →q) dibaca “tidak benar bahwa (p →q)”
4. –(p ↔q) dibaca “tidak benar bahwa (p ↔q)”
Aturan negari dari pernyataan majemuk dapat dituliskan sebagai berikut :
1. –(p Ʌ q) ≡ –p V –q 2. –(p V q) ≡ –p Ʌ –q
4. –(p ↔ q) ≡ –(p → q) V –(q → p) –(p ↔ q) ≡ (p Ʌ –q) V (q Ʌ –p)
Bukti untuk masing-masing negasi dari pernyataan majemuk di atas akan dijelaskan pada pembahasan tentang ekivalensi di bagia selanjutnya.
Untuk lebih jelasnya pelajarilah conto soal berikut ini
09. Nyatakanlah negasi dari setiap pernyataan majemuk berikut ini : (a) Ayah pergi ke sawah dan ibu memasak di dapur
(b) Kakek menanam cabe dan tomat di belakang rumah (c) 2 atau 5 adalah faktor dari 20
(d) 12 habis dibagi 3 tetapi 15 tidak habis dibagi 4
Jawab
(a) Tidak benar bahwa ayah pergi ke sawah dan ibu memasak di dapur Dengan kata lain:
ayah tidak pergi ke sawah atau ibu tidak memasak di dapur
(b) Tidak benar bahwa kakek menanam cabe dan tomat di belakang rumah Dengan kata lain:
Kakek tidak menanam cabe atau tidak menanam tomat di belakang rumah
(c) Tidak benar bahwa 2 atau 5 adalah faktor dari 20 Dengan kata lain:
2 bukan faktor dari 20 dan 5 juga bukan faktor dari 20
(d) Tidak benar bahwa 12 habis dibagi 3 tetapi 15 tidak habis dibagi 4 Dengan kata lain:
12 tidak habis dibagi 3 atau 15 habis dibagi 4
10. Nyatakanlah negasi dari setiap pernyataan majemuk berikut ini : (a) Jika Andi naik kelas maka ia akan dibelikan sepeda motor (b) Jika x bilangan prima maka x tidak habis dibagi 5
(c) Andi akan tinggal di Yogyakarta jika dan hanya jika ia kuliah di UGM (d) x bilangan ganjil jika dan hanya jika x tidak habis dibagi 2
(e) Wati tidak makan pagi jika dan hanya jika ia terlambat datang ke sekolah Jawab
(a) Andi naik kelas tetapi ia tidak dibelikan sepeda motor (b) x bilangan prima tetapi x habis dibagi 5
(c) Andi tinggal di Yogyakarta tetapi ia tidak kuliah di UGM atau Andi kuliah di UGM tetapi ia tidak tinggal di Yogyakarta
(d) x bilangan ganjil tetapi x habis dibagi 2 atau x tidak habis dibagi 2 tetapi x bukan bilangan ganjil
11. Jika p adalah pernyataan benar, dan q adalah pernyataan salah, maka tentukanlah nilai nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut: (a) (–p q ) –p
(b) (p v q) (–p q) (c) (–p v –q) –(p –q)
Jawab
(a) (–p q ) –p ≡ (–B S ) –B
≡ (S S ) S
≡ S S
≡ B
(b) (p v q) (–p q) ≡ (B v S) (–B S)
≡ B (S S)
≡ B B
≡ B
(c) (–p v –q) –(p –q) ≡ (–B v –S) –(B –S)
≡ (S v B) –(B B)
≡ B –B
≡ B S
≡ S
12. Nyatakanlah negasi dari setiap pernyataan majemuk berikut ini :
(a) Jika kerbau berkaki empat dan ayam berkaki dua maka Gajah Mada juga berkaki dua
(b) Jika Arman bolos sekolah maka ia pergi ke pantai atau menonton bioskop (c) x kelipatan 6 jika dan hanya jika x bilangan genap dan x habis dibagi 3 (d) Ayah membawa cangkul atau parang jika dan hanya jika ia pergi ke kebun
Jawab
(a) Jika kerbau berkaki empat dan ayam berkaki dua maka Gajah Mada juga berkaki dua
Misalkan : a ≡ “kerbau berkaki empat”
b ≡ “ayam berkaki dua”
c ≡ “Gajah Mada berkaki dua” Menurut rumus : (p → q) negasinya p Ʌ –q
maka : (a Ʌ b) → c negasinya (a Ʌ b) Ʌ –c sehingga negasi perrnyataan di atas menjadi :
kerbau berkaki empat dan ayam berkaki dua tetapi Gajah mada tidak berkaki dua
(b) Jika Arman bolos sekolah maka ia pergi ke pantai atau menonton bioskop Misalkan : a ≡ “Arman bolos sekolah”
b ≡ “Arman pergi ke pantai”
maka : a → (b V c) negasinya a Ʌ (–b Ʌ –c) sehingga negasi perrnyataan di atas menjadi :
Arman bolos sekolah tetapi ia tidak pergi ke pantai dan tidak menonton bioskop
(c) x kelipatan 6 jika dan hanya jika x bilangan genap dan x habis dibagi 3 Misalkan : a ≡ “x kelipatan 6”
b ≡ “x bilangan genap” c ≡ “x habis dibagi 3”
Menurut rumus : (p ↔ q) negasinya (p Ʌ –q) V (q Ʌ –p)
maka : a ↔ (b Ʌ c) negasinya ( a Ʌ –[b Ʌ c] ) V ( [b Ʌ c] Ʌ –a ) (a Ʌ –b V –c) V (b Ʌ c Ʌ –a) sehingga negasi perrnyataan di atas menjadi :
