Jaringan (Shortest Path dan Maximum Flow)

(1)

Network Model

(2)

Definisi Dasar

Graph atau Network ditentukan oleh 2 set simbol yaitu node dan arc

Node : simpul dari graph atau network

Arc : terdiri dari sepasang simpul yang berurutan dan merepresentasikan arah pergerakan yang mungkin yang dapat terjadi di antara simpul – simpul.

Untuk arc (j,k), arah yang mungkin adalah node j ke node k. Node j disebut initial node dan node k

(3)

Contoh :

V = { 1,2,3,4}

A = {(1,2), (2,3), (3,4), (4,1), (4,3)}

1 4

(4)

Chain : Barisan dari arc sedemikian hingga setiao arc memiliki tepat satu simpul yang sama

dengan arc sebelumnya

(5)

Shortest Path Problem

• _{Pengiriman dari titik ke titik}

• _{Supply, transhipment (substation), dan} demand nodes

• _{Shortest path problem}

– _{Biaya proportional dengan jarak}

(6)

Contoh:

1

3 2

5 4

6

Sumber _Tujuan

4

3

2

(7)

Algoritma Djikstra

1. Beri label node 1 dengan label permanen o. Kemudian beri label node – node yang

berhubungan dengan node 1 dengan

(8)

2. Misalkan node I adalah node ke (k+1) yang diberi permanen label. Untuk setiap node j yang sekarang mempunyai temporary label dan dihubungkan

dengan node I, ganti temporary label j dengan

min {temporary label node j yang sekarang , permanen label node I +panjang arc(I,j)}

(9)

3. Untuk menemukan path terpendek dari node node 1 ke node j, bekerjalah terbalik dari

node j dengan menemukan selisih label yang sama dengan panjang arc yang

(10)

1

3 2

5 4

6 4

3

3 2

2

(11)

1

3 2

5 4

6 4

3

3 2

2

2 0

∞ ∞

∞

∞ ∞

(12)

1

3 2

5 4

6 4

3

3 2

2

2 0

∞ ∞

∞

∞ ∞

Distance label

Permanen

(13)

1

3 2

5 4

6 4

3

3 2

2

2 0

∞ ∞

∞

∞ ∞

Permanen

(14)

1

Temporary Distance label

Permanen

(15)

1

Temporary

Permanen

(16)

1

Permanen

(17)

(18)

1

Permanen

Permanen Permanen

(19)

1

(20)

1

Permanen

Permanen Permanen

(21)

1

(22)

1

Permanen

Permanen Permanen

Permanen

Temporary ={4, 6}

(23)

1

Temporary ={4, 6}

(24)

1 Distance label

Permanen

Permanen Permanen

Temporary ={4, 6}

(25)

1

Temporary ={6}

(26)

1

Min (9,8)=8

3 6

Permanen

Temporary ={6}

(27)

(28)

1 Distance label

Permanen

(29)

Shortest Path sebagai Transhipment Problem

• _{Transhipment problem dengan setiap demand} dan supply sama dengan 1

(30)

Cost 2 3 4 5 6 Supply

1 4 3 10000 10000 10000 1

2 0 10000 3 2 10000 1

3 10000 0 10000 3 10000 1

4 10000 10000 0 10000 2 1

5 10000 10000 10000 0 2 1

Demand 1 1 1 1 1

1

3 2

5 4

6 4

3

3 2

2

(31)

(32)

Solusi optimal Contoh:

1

3 2

5 4

6

Sumber _Tujuan

4

2

(33)

Max Flow Problem

• _{Model network di mana kapasitas jalur} diperhitungkan

• _{Memaksimumkan jumlah pengiriman dari} source ke destination dengan kendala

(34)

Contoh: dengan kapasitas setiap jalur

S

3

1

2 _D

2

3

4 1

2

a0

(35)

(36)

Solusi optimal max flow

S

3

1

2 _D

2(1)

3(2)

3(0)

4(1) 1(1)

2(2)

(37)

The Ford – Fulkerson Method

• _{Metode ini digunakan untuk menyelesaikan}

masalah maximum flow

• _{Asumsi: feasible flow telah ditemukan (misal :}

flow pada setiap arc adalah nol) Yang menjadi pertanyaan

?? Apakah sudah merupakan optimal flow

(38)

Jawaban untuk Pertanyaan Kedua

I. Tentukan property mana yang dimiliki setiap arc dalam network

P1. Flow melalui arc (I,j) dibawah kapasitas arc (I,j), sehingga flow yang melalui (I,j) bisa ditingkatkan. Memiliki property I atau

increase

P2. Flow di arc(I,j) positif, sehingga flow di arc (I,j) bisa dikurangi. Memiliki property R

(39)

II. Labeling procedure

1. Labeli So

2. Labeli node dan arc dengan aturan

- _{Jika node x sudah dilabeli, node y belum dilabeli, arc(I,j)}

anggota I, maka labeli node y dan arc (x,y). Arc (x,y) disebut forward arc

- _{Jika node y belum dilabeli, node x sudah dilabeli, arc (y,x)}

anggota R, maka labeli node y dan arc(y,x). Arc (y,x) disebut bacward arc

(40)

Jika proses pelabelan sampai ke sink, maka akan terbentuk chain (C) dari arc yang telah dilabeli dari So ke Si.

Chain harus terdiri dari salah satu kasus berikut : Case 1. C terdiri dari hanya forward arc

(41)

III. Penyesuaian feasible flow dan peningkatan flow dari So ke Si

Dalam Case 1.

Misalkan i(x,y) adalah jumlah dimana flow di arc (x,y) dapat ditingkatkan tanpa melanggar

capacity constraint untuk arc (x,y) :

(42)

Dalam Case 2.

Misalkan r(x,y) adalah jumlah dimana flow melalui arc (x,y) dapat dikurangi

dan

(43)

Rangkuman The Ford – Fulkerson Method

1. Temukan feasible flow

2. Gunakan labeling procedure, coba untuk melabeli sink. Jika sink tak bisa dilabeli, feasible flow adalah maximum flow