Bahan Ajar Matematika Dasar 1

(1)

Bahan Ajar Matematika Dasar 1

OLEH

Nurina Yasin, ST,. MT.

UNIVERSITAS GUNADARMA JAKARTA

2020

(2)

ii

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah dan puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala rahmat, taufik, dan hidayah-Nya, sehingga setelah melalui proses akhirnya penyusunan bahan ajar matematika dasar 1 untuk perguruan tinggi ini dapat terselesaikan.

Penyusunan bahan ajar ini berdasarkan rujukan buku “Matematika Dasar Untuk Pergurungan Tinggi”, penulis Yusuf Yahya dkk. Bahan ajar ini nantinya akan digunakan sebagai penunjang perkuliahan mahasiswa Fakultas Ilmu Komputer dan Teknologi Industri.

Meskipun bahan ajar ini telah diselesaikan, penulis menyadari bahwa bahan ajar ini masih jauh dari kesempurnaan, sehingga penulis mengharapkan teguran, kritik dan saran yang membangun dari para pembaca. Akhir kata penulis berharap semoga bahan ajar ini dapat memberikan manfaat bagi seluruh pihak dan penulis mendo’akan kepada pihak – pihak yang telah membantu, semoga Allah SWT membalasnya dengan pahala dan kebaikan, karena sebaik-baiknya pembalas adalah Allah swt.

Depok, April 2020

Nurina Yasin, ST,. MT.

(3)

iii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

KATA PENGANTAR ... ii

DAFTAR ISI ... iii

DAFTAR GAMBAR ... vii

BAB 1 HIMPUNAN BILANGAN 1.1 HIMPUNAN BILANGAN DAN SKEMANYA ... 1

1.1.1 Himpunan Bilangan ... 1

1.1.2 Skema Bilangan ... 3

1.2 BILANGAN BULAN DAN BILANGAN RIIL ... 3

1.2.1 Soal dan Pembahasan ... 4

1.3 PERTIDAKSAMAAN ... 4

1.4 HARGA MUTLAK ... 5

BAB 2 PERMUTASI DAN KOMBINASI 2.1 DEFINISI FAKTORIAL n ... 7

2.2 PERMUTASI ... 8

(4)

iv

BAB 3 BILANGAN KOMPLEKS

3.1 BENTUK PERSEGI ... 9

3.2 BENTUK POLAR ... 10

3.3 OPERASI ARITMATIKA ... 10

3.4 BENTUK KONVERSI ... 12

BAB 4 FUNGSI 4.1 DEFINISI FUNGSI ... 13

4.2 DERAH DEFINISI DAN DAERAH NILAI ... 14

4.3 GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM KOORDINAT ... 15

4.3.1 Latihan Fungsi ... 15

4.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI ... 16

4.5 BEBERAPA DEFINISI FUNGSI LAIN ... 16

4.5.1 Fungsi Satu-Satu (Injektif) ... 16

4.5.1.1 Soal dan Pembahasan ... 16

4.5.2 Fungsi Kepada (Surjektif) ... 17

4.5.3 Fungsi Gabungan (Bijektif) ... 18

4.5.4 Fungsi Invers ... 18

4.6 KOMPOSISI FUNGSI ... 19

(5)

v BAB 5 FUNGSI LANJUTAN

5.1 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI ... 20

5.1.1 Fungsi Linier ... 21

5.1.2 Fungsi Kuadrat ... 22

BAB 6 LIMIT BARISAN 6.1 DEFINISI LIMIT ... 25

6.2 LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN ... 27

6.3 SIFAT LIMIT FUNGSI ... 29

6.4 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI ... 30

6.5 LIMIT TAK HINGGA ... 30

BAB 7 KEKONTINUAN FUNGSI 7.1 FUNGSI KONTINU ... 32

7.2 KONTINU KIRI DAN KONTINU KANAN ... 35

7.3 DISKONTINU ... 35

(6)

vi BAB 8 TURUNAN

8.1 DEFINISI TURUNAN ... 37

8.2 ATURAN PENCARIAN TURUNAN ... 38

8.3 ATURAN RANTAI ... 39

8.4 TURUNAN FUNGSI KOMPOSIT ... 39

8.5 TURUNAN FUNGSI IMPLISIT ... 41

8.6 TURUNAN DENGAN BANTUAN LOGARITMA ... 42

8.7 TURUNAN DARI FUNGSI DALAM PERSAMAAN PARAMETER ... 43

8.8 TURUNAN KEDUA DAN LEBIH TINGGI ... 43

DAFTAR PUSTAKA ... viii

(7)

vii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1 Skema Bilangan ... 3

Gambar 2 Kurva Rectangular ... 9

Gambar 3 Relasi Fungsi ... 14

Gambar 4 Ilustrasi Fungsi... 14

Gambar 5 Contoh Relasi Fungsi dan Bukan Fungsi ... 14

Gambar 6 Grafik Fungsi ... 15

Gambar 7 Fungsi Satu-Satu ... 16

Gambar 8 Fungsi Kepada ... 17

Gambar 9 Fungsi Bijektif ... 18

Gambar 10 Invers Fungsi ... 18

Gambar 11 Komposisi Fungsi ... 19

Gambar 12 Grafik Linier ... 21

Gambar 13 Grafik Fungsi Kuadrat... 22

Gambar 14 Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat ... 23

Gambar 15 Grafik Fungsi Kuadrat pada Soal ... 24

(8)

(9)

1

BAB 1

HIMPUNAN BILANGAN

TIU: Mahasiswa memahami konsep himpunan bilangan; mampu mencari himpunan yang memenuhi sebuah pertidaksamaan; mampu menggunakan induksi lengkap untuk membuktikan sebuah pernyataan.

TIK:

1. Mahasiswa mengenal klasifikasi bilangan ke dalam himpunan bilangan 2. Mahasiswa memahami skema himpunan bilangan.

3. Mahasiswa mampu mencari hasil operasi himpunan yang diterapkan pada himpunan bilangan

4. Mahasiswa mengenal bilangan bulat dan bilangan riil serta sifat-sifatnya 5. Mahasiswa mengenal sifat operasi biner pada himpunan bilangan bulat dan

bilangan riil

6. Mahasiswa memahami pertidaksamaan

7. Mahasiswa mampu menentukan himpunan bilangan yang memenuhi sebuah pertidaksamaan

8. Mahasiswa memahami harga mutlak dan sifat-sifat harga mutlak.

9. Mahasiswa mampu menggunakan induksi lengkap untuk membuktikan pernyataan.

1.1 HIMPUNAN BILANGAN DAN SKEMANYA

1.1.1 Himpunan Bilangan

Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K dan sebagainya. Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{….}”.

Sementara itu untuk melambangkan anggota himpunan biasanya menggunakan huruf kecil a, b, c, x, y dansebagainya. Perlu diperhatikan bahwa penulisan anggota dalam suatu himpunan hanya sekali saja, tidak boleh kita menuliskan himpunan sebagai {1,a,b,8,b}. Demikian pula kita tidak boleh menyatakan himpunan sebagai

(10)

2

{bunga, kambing, sapi, kerbau, sapi, tumbuhan}. Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “E” (baca: anggota) sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang “E” (baca: bukan anggota).

Untuk mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara, yaitu : 1. Mendaftarkan semua anggotanya.

Contoh:

a) A = {a,e,i,o,u}

b) B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

2. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya Contoh:

a) A = Himpunan vokal dalam abjad latin

b) B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20

3. Menyatakan sifat dengan pola Contoh:

a) P = {0,2,4,8,10,…,48}

b) Q = {1,3,5,7,9,11,13,15,…}

4. Menggunakan notasi pembentuk himpunan Contoh:

a) P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15} (Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})

b) Q = { t | t biangan asli} (Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}

c) R = { s | s² -1=0, s bilangan real} (Maksudnya R = {-1,1})

(11)

3 1.1.2 Skema Bilangan

Gambar 1 Skema Bilangan Sumber: Yahya dkk, 2005

1.2 BILANGAN BULAT DAN BILANGAN RIIL

Bilangan real dapat disebut sebagai bilangan nyata. Dikatakan sebagai bilangan yang nyata (real) karena suatu bilangan tersebut dapat digunakan dalam operasi bilangan seperti yang dilakukan biasanya. Bilangan real dilambangkan dengan simbol R. Beberapa contoh bilangan sesuai dengan klasifikasi sistem bilangan yaitu sebagai berikut.

1 Bilangan real seperti √2, √5, √8, dan lainnya.

2 Bilangan rasional seperti 2/3, 3/7, 11/23, 17/39, dan lainnya.

3 Bilangan bulat seperti -2, 3, 0, 7, -4, dan lainnya.

4 Bilangan bulat dapat diklasifikasikan dalam beberapa kelompok:

5 Bilangan bulat negatif yaitu . . ., -4, -3, -2, -1 6 Bilangan netral yaitu bilangan 0.

7 Bilangan bulat positif yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

(12)

4 1.2.1 Soal dan Pembahasan

1. Tentukan jenis kelompok bilangan dari himpunan bilangan berikut.

a) {2, 4, 6, 8, 10, 12}

b) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}

c) {1, 3, 5, 7, 9}

Pembahasan

a) {2, 4, 6, 8, 10, 12} = Himpunan bilangan genap positif kurang dari 14.

b) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} = Himpunan bilangan prima kurang dari 19.

c) {1, 3, 5, 7, 9} = Himpunan bilangan ganjil kurang dari 10.

(Jawaban mungkin dapat bervariasi dan tidak harus sama dengan jawaban di atas).

1.3 PERTIDAKSAMAAN

Notasi pertidaksamaan meliputi :

“ < ” notasi kurang dari

“ > ” notasi lebih dari

“ ≤ ” notasi kurang dari atau sama dengan

“ ≥ ” notasi lebih dari atau sama dengan

Bentuk Umum pertidaksamaan kuadrat : ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c ≤ 0 ax² + bx + c ≥ 0

1.3.1 Soal dan Pembahasan

1. Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan berikut ini : (a) x² – 2x + 8 > 0

(b) 15x – x² – 18 ≥ x² + 3x

(13)

5 Pembahasan

(a) x² – 2x + 8 > 0 D = (–2)2 – 4(1)(8) D = –28 < 0

Tidak ada batas interval Jadi x memenuhi semua bilangan real

1.4 HARGA MUTLAK

Nilai mutlak atau modulus adalah nilai suatu bilangan riil tanpa adanya tanda tambah (+) atau kurang (–). Misalnya, nilai mutlak dari 2 sama dengan nilai mutlak dari -2 yaitu 2 atau secara umum dapat ditulis dengan |2| = |-2| = 2.

Kemudian, bentuk nilai mutlak secara umum adalah seperti di bawah ini:

Selain bentuk umum, nilai mutlak juga memiliki sifat-sifat seperti berikut ini:

Carilah himpunan penyelesaian dari |x + 1| = 2x – 3.

(14)

6

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x = 4 atau x = ⅔.

(15)

7

BAB 2

PERUTASI DAN KOMBINASI

TIU:

Mahasiswa mampu menentukan berhitung menggunakan permutasi dan kombinasi.

TIK:

1. Mahasiswa mampu menentukan banyaknya susunan obyek, yang memenuhi aturan tertentu.

2. Mahasiswa mampu menentukan banyaknya susunan k obyek dari n obyek dimana k  n.

3. Mahasiswa mengerti arti n! dan dapat menggunakannya.

4. Mahasiswa memahami perbedaan antara susunan dengan memperhatikan urutan (permutasi) dan susunan tanpa memperhatikan urutan (kombinasi).

5. Mahasiswa dapat menentukan banyaknya cara pengurutan dari sejumlah obyek yang berlainan dengan formula permutasi.

6. Mahasiswa dapat menentukan banyaknya cara pengurutan dari sejumlah obyek yang berlainan dengan formula permutasi

2.1 DEFINISI FAKTORIAL n

Dalam matematika, faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n. Faktorial ditulis sebagai n! dan disebut n faktorial.

Sebagai contoh, 7! adalah bernilai 7×6×5×4×3×2×1 = 5040.

Fungsi faktorial didefinisikan sebagai:

Selain definisi tersebut, terdapat juga definisi secara rekursif, yang didefinisikan untuk

(16)

8

Untuk n yang sangat besar, akan terlalu melelahkan untuk menghitung n!

menggunakan kedua definisi tersebut. Jika presisi tidak terlalu penting, pendekatan dari n! bisa dihitung menggunakan rumus Stirling:

Juga terdapat definisi analitik untuk faktorial, yaitu menggunakan fungsi gamma:

n! = Γ(n + 1)

2.2 PERMUTASI

Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula.

(17)

9

BAB 3

BILANGAN KOMPLEKS

TIU:

Agar mahasiswa memahami bilangan kompleks.

TIK:

1. Memahami Operasi Bilangan Kompleks.

2. Memahami Konversi Bilangan Kompleks ke dalam Bentuk yang lain.

3. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner.

4. Bilangan kompleks mempunyai bilangan konjugat yang digunakan pada operasi arimatik pembagian.

5. Bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam dua bentuk Bentuk Persegi (Rectangular) dan Bentuk Polar

3.1 BENTUK PERSEGI (RECTANGULAR) Rumus Dasar :

Dimana :

A = bilangan riil

j = tanda operator imajiner B = bilangan imajiner

Gambar 2 Kurva Rectangular C = A + jB

(18)

10 3.2 BENTUK POLAR

Format untuk bentuk polar adalah : A = C

Dimana :

A = C Cosθ + j C Sinθ C = √A

2

+ B

2

3.3 OPERASI ARITMATIKA

Arti definisi pada bilangan kompleks j = -1 Konjugasi Kompleks

A. Bentuk Persegi 1. Penambahan

(19)

11 B. Bentu Polar

(20)

12 3.4 BENTUK KONVERSI

(21)

13

BAB 4 FUNGSI

TIU:

Mahasiswa dapat menggambarkan grafik fungsi, menentukan daerah definisi dan daerah nilai dari sebuah fungsi dan mengenal beberapa jenis fungsi.

TIK:

1. Mahasiswa memahami fungsi sebagai relasi, khususnya fungsi satu variabel.

2. Mahasiswa mengenal cara penyajian fungsi dalam bentuk grafik . 3. Mahasiswa mengenal sistim koordinat cartesian.

4. Mahasiswa mengenal daerah definisi dan daerah nilai dari sebuah fungsi.

5. Mahasiswa dapat menentukan daerah definisi dan daerah nilai dari sebuah fungsi.

6. Mahasiswa mengenal beberapa fungsi riil : fungsi polinom, fungsi aljabar, fungsi transenden, fungsi trigonometeri, fungsi siklometri dan fungsi hiperbolik.

7. Mahasiswa mengenal fungsi konstanta, fungsi identitas, fungsi satu-satu, fungsi pada, fungsi eksplisit, fungsi implisit, fungsi berharga banyak dan fungsi genap.

4.1 DEFINISI FUNGSI

DEFINISI: Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

ATURAN:

1. setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B.

2. tidak boleh membentuk cabang seperti ini.

(22)

14

4.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH NILAI

Ditulis f : A → B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain, B disebut kodomain. Elemen a ∈ A disebut argumen dan f(a) ∈ B disebut bayangan (image) dari a. Himpunan Rf:= { y ∈ B : y = f(x) untuk suatu x ∈ A } disebut daerah jelajah (range) fungsi f dalam B. Bila S ⊂ A maka himpunan f(S) := { f(s) : s ∈ S } disebut bayangan (image) himpunan S oleh fungsi f.

Gambar 3 Relasi Fungsi Sumber: Sukirman, 2020

Gambar 4 Ilustrasi Fungsi Sumber: Sukirman, 2020

Gambar 5 Contoh Relasi Fungsi dan Bukan Fungsi Sumber: Sukirman, 2020

(23)

15

4.3 GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM KOORDINAT

Misalkan f: A → B. Grafik fungsi f adalah himpunan pasangan terurut {(a,f(a) | a ∈ A}.

Contoh: Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2}, fungsi f didef sbg f(1)=1, f(2)=2, f(3)=1. Maka grafik fungsi f dapat digambarkan sbb:

4.3.1 Latihan Fungsi

1. Fungsi kuadrat f: R → R, dimana f(x) := x²+x+1.

2. Fungsi nilai mutlak f: R → R+, dimana fungsi ini ditulis juga f(x): = |x|.

3. Misalkan A = himpunan semua negara di dunia dan B = himpunan semua kota di dunia, f: A → B dimana f(x): ibukota negara x. Bila x = Malaysia maka f(x)

= Kuala Lumpur, f(Inggris) = London.

4. Misalkan A = himpunan semua buku di perpustakaan dan diberikan perintah

“diberikan buku b dan hitung banyak tanda koma pada buku b tsb”. Ini mendef.

fungsi f: A → Z+ dimana f(x) = banyak koma yang ada pada buku x.

5. Misalkan A = himpunan semua string bit dan B = himpunan bil bulat positif Fungsi f: A → B dimana f(S) = banyaknya bit 1 pada string S. Bila S = (1001101) maka f(S) = 4.

6. Bila f(S) = posisi bit 1 pada string S, apakah f merupakan fungsi?

Gambar 6 Grafik Fungsi Sumber: Sukirman, 2020

(24)

16 4.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI

1. Misalkan f, g: A → B maka fungsi f + g, cf dan f g didefinisikan oleh:

(f+g)(x):= f(x)+g(x), (cf)(x):=cf(x), (fg)(x):=f(x) g(x).

2. Contoh: misalkan f, g: R → R dimana f(x) = x² dan g(x):= x – x². Diperoleh (f+g)(x) = x, (fg)(x) = x³-x⁴.

3. Fungsi f dan g dikatakan sama jika domain dan kodomainnya sama dan f(x) = g(x) untuk setiap x dalam domainnya.

4. Apakah fungsi f(x): = x-2 dan g(x): = (x²-4)/(x+2) sama?

4.5 BEBERAPA DEFINISI FUNGSI YANG LAIN 4.5.1 Fungsi Satu-Satu (Injektif)

Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila [f(x) = f(y) → x = y ], atau [x y → f(x) f(y)]. Bila kita dapat menunjukkan bahwa kuantor berikut TRUE: ∀x ∀y [f(x) = f(y) → x = y] atau ∀x ∀y [x y → f(x) f(y)] maka fungsi f disimpulkan satu-satu. Namun, bila ada x dan y dengan x y tetapi f(x) = f(y) maka f tidak satu-satu.

4.5.1.1 Soal Dan Pembahasan

1 CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif? PENYELESAIAN:

karena tidak ada anggota B yang mempunyai pasangan ganda pada A mk fungsi ini injektif.

Gambar 7 Fungsi Satu-satu Sumber: Sukirman, 2020

(25)

17

2 CONTOH: Apakah fungsi f: R → R dengan f(x) = x² satu-satu?

PENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1. Jadi ada x, y dengan x ≠ y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini tidak satu-satu.

3 CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif?

PENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan x ≠ y, diperoleh x + 5 ≠ y + 5

→ g(x)≠ fgy). Jadi g injektif.

4.5.2 Fungsi Kepada (Surjektif)

Fungsi f: A → B dikatakan kepada atau surjektif jika setiap y ∈ B terdapat x ∈A sehingga y = f(x), yaitu semua anggota B habis terpasang dengan anggota A.

Jadi bila kita dapat membuktikan kebenaran kuantor berikut:

∀y∈ B ∃x∈ A sehingga y = f(x)

maka f surjektif. Namun, bila ada y∈ B sehingga setiap x∈A, f(x)≠ y maka f tidak surjektif.

4.5.2.1 Soal Dan Pembahasan

1 CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x² dari R ke R surjektif? PENYELESAIAN:

Ambil y = -1 suatu bilangan real. Maka untuk setiap bilangan real x, berlaku x²

= f(x)≠ y. Jadi, f tidak surjektif.

2 CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dari R ke R surjektif?

PENYELESAIAN: Ambil seb bil real y, maka y = x-3 → x = y+3 memenuhi h(x) = y. Jadi h surjektif.

Gambar 8 Fungsi Kepada Sumber: Sukirman, 2020

(26)

18 4.5.3 Fungsi Gabungan (Bijektif)

Fungsi f : A → B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif. Pada fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu pra-bayangan di A.

CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d}→ {1,2,3,4} dengan f(a)=4, f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif.

PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satu-satu. Karena semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif. Jadi fungsi ini bijektif.

4.5.4 Fungsi Iners

Misalkan f: A → B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f ^-1 dimana f ^-1: B → A. DKL,

y = f(x) ↔ x = f ^-1(y). Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.

Gambar 9 Fungsi Bijektif Sumber: Sukirman, 2020

Gambar 10 Invers Fungsi Sumber: Sukirman, 2020

(27)

19 4.5.4.1 Soal Dan Pembahasan

1 CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya.

PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertible dengan f ^-1(1)=c, f ^-

1(3)=b dan f ^-1(2)=a.

2 CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x². Apakah f invertibel.

PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektif maka ia tidak invertibel. Jadi invresnya tidak ada.

4.6 KOMPOSISI FUNGSI

Misalkan g: A → B dan f: B → C. Komposisi fungsi f dan g, dinotasikan f ◦ g adalah fungsi f ◦ g: A → C dengan (f ◦ g)(x):= f(g(x)). Bila f: A → B dan g: D → E maka fungsi komposisi f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A)⊂ D.

Gambar 11 Komposisi Fungsi Sumber: Sukirman, 2020

(28)

20

BAB 5

FUNGSI LANJUTAN

TIU:

Mahasiswa dapat menggambarkan grafik fungsi, menentukan daerah definisi dan daerah nilai dari sebuah fungsi dan mengenal beberapa jenis fungsi.

TIK:

1 Mahasiswa mengenal apa yang dimaksud dengan : fungsi komposisi, fungsi invers, fungsi periodik, fungsi terbatas dan fungsi monoton.

2 Mahasiswa dapat menentukan komposisi fungsi.

3 Mahasiswa dapat menentukan invers sebuah fungsi.

4 Mahasiswa dapat menggambarkan grafik fungsi dalam koordinat Cartesian.

5 Mahasiswa mengenal fungsi dalam bentuk parameter.

6 Mahasiswa dapat mengubah sebuah fungsi dari bentuk parameter kedalam bentuk biasa.

7 Mahasiswa dapat mengubah sebuah fungsi dalam bentuk polar kedalam bentuk cartesian dan sebaliknya.

8 Mahasiswa mampu menggambarkan fungsi dalam koordinat polar.

5.1 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI

Grafik sebuah fungsi adalah sebuah representasi visual dari sifat sebuah fungsi pada diagram x-y. Grafik bisa membantu kita memahami aspek-aspek berbeda dari sebuah fungsi, yang bisa jadi sulit dipahami dengan hanya melihat fungsi itu sendiri. Anda bisa menggambar grafik dari ribuan persamaan, dan masing-masing memiliki rumus yang berbeda satu sama lain. Artinya, selalu ada cara untuk menggambar sebuah fungsi jika Anda melupakan langkah seharusnya untuk menggambar fungsi tertentu.

(29)

21 5.1.1 Fungsi Linear

Ada tiga langkah untuk melukis grafik fungsi linier, dianaranya adalah : 1. Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A(x1, 0) 2. Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B(0, y1) 3. Hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus

CONTOH:

Lukislah grafik dari y = 2x - 6 PENYELESAIAN:

1. Titik potong dengan sumbu x → y = 0 y = 2x - 6 0 = 2x - 6 6 = 3x x1 = 3 → (3, 0) 2. Titik potong dengan sumbu y → x = 0

y = 2x - 6 y = (2. 0) - 6

y = 0 - 6 y1 = -6 → (0, -6) 3. Maka lukisan grafinya adalah grafiknya :

Gambar 12 Grafik Linier Sumber: Admin, 2017

(30)

22 5.1.2 Fungsi Kuadrat

Ada cara yang dapat digunakan untuk menentukan gambaran umum dari grafik sebuah persamaan kuadrat dengan cara melihat nilai determinannya. Nilai

Determinan dari sebuah fungsi kuadrat adalah .

Determinan dapat digunakan untuk menyelidiki berapa banyak akar yang dimiliki sebuah persamaan kuadrat. Selain itu, determinan dapat digunakan untuk menentukan jenis akar yang dimiliki suatu persamaan kuadrat.

Karakteristik grafik berdasarkan nilai determinan:

1. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real berbeda (artinya, grafik akan memotong sumbu x pada dua titik).

2. Jika D = 0 maka persamaan kudrat memiliki dua akar real kembar (artinya, grafik akan memotong sumbu x pada satu titik).

3. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat memiliki akar yang imaginer/tidak real/akar negatif (artinya, grafik tidak memotong sumbu x).

Nilai (koefisien dari ) dapat memberi gambaran grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas atau ke bawah. Karakteristik grafik berdasarkan nilai :

1. Jika a > 0 maka grafik akan terbuka ke atas.

2. Jika a < 0 maka grafik akan terbuka ke bawah.

Gambar 13 Grafik Fungsi Kuadrat Sumber: Admin, 2017

(31)

23

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat:

1. Tentukan titik potong dengan sumbu x (nilai y atau f(x) sama dengan 0).

2. Tentukan titik potong dengan sumbu y (nilai x = 0).

3. Menentukan sumbu simetri .

4. Menentukan titik puncak ( , ) atau hitung nilai puncak y menggunakan substitusi/mengganti nilai x yang diperoleh pada perhitungan nomor 3 ke dalam persamaan f(x).

5.1.2.1 Soal dan Pembahasan

Gambarlah grafik fungsi kuadrat

1. Nilai artinya grafik akan terbuka ke atas.

2. Nilai , nilai D > 0 artinya

grafik akan memotong sumbu x pada dua titik.

Sketsa gambarnya kurang lebih akan seperti gambar di bawah:

Tentukan titik potong dengan sumbu x (nilai y atau f(x) sama dengan 0)

Gambar 14 Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Sumber: Admin, 2017

(32)

24

Jadi, diperoleh titik potong dengan sumbu x (4, 0) dan (-2, 0).

Langkah 2: Tentukan titik potong dengan sumbu y (nilai x = 0)

Jadi, titik potong dengan sumbu y adalah (0, -8).

Langkah 3: Menentukan sumbu simetri

Diketahui: , , dan , maka sumbu simetri .

Langkah 4: Menentukan titik puncak ( , )

atau substitusi nilai x = 1 (hasil perhitungan pada Langkah 3) pada persamaan sehingga diperoleh

Jadi, koordinat titk puncaknya adalah (1, – 9).

Selanjutnya tinggal menghubungkan titik-titik yang diperoleh sehingga menjadi kurva seperti terlihat pada gambar 13.

Gambar 15 Grafik Fungsi Kuadrat pada Soal Sumber: Admin, 2017

(33)

25

BAB 6

LIMIT BARISAN

TIU:

Mahasiswa dapat menentukan limit dari sebuah barisan dan dapat menentukan konvergensi/ divergensi dari sebuah barisan.

TIK:

1 Mahasiswa memahami barisan bilangan.

2 Mahasiswa mampu menentukan suku umum dari sebuah barisan bilangan.

3 Mahasiswa dapat menentukan limit sebuah barisan.

4 Mahasiswa dapat membuktikan bahwa sebuah barisan tidak mempunyai limit.

5 Mahasiswa dapat memeriksa barisan yang konvergen dan barisan yang divergen, dengan menggunakan limit.

6 Mahasiswa mengenal apa yang disebut dengan limit tak sebenarnya.

7 Mahasiswa memahami sifat-sifat limit barisan.

8 Mahasiswa dapat memanfaatkan sifat-sifat tersebut untuk menentukan limit dari sebuah barisan.

9 Mahasiswa mengenal beberapa barisan istimewa dan limit dari barisan- barisan tersebut.

6.1 DEFINISI LIMIT

Pengertian limit secara intuisi adalah:

1 ) 1

(

2

−

= − x x x f

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1.

(34)

26 Pengertian limit secara grafik adalah:

Dari tabel dan grafik disamping terlihat bahwa f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut:

1 2 lim 1

2

1 =

−

→ x

x

Dibaca “ limit dari ¹

2 1

−

− x x

untuk x mendekati 1 adalah 2 .

(35)

27 6.2 LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN

(36)

28

(37)

29 6.3 SIFAT LIMIT FUNGSI

(38)

30 6.4 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

6.5 LIMIT TAK HINGGA

(39)

(40)

32

BAB 7

KEKONTINUAN FUNGSI

TIU:

Mahasiswa dapat mencari limit sebuah fungsi dan mampu menggunakan limit untuk menentukan kontinuitas sebuah fungsi.

TIK:

1 Mahasiswa memahami dan dapat menentukan limit sebuah fungsi.

2 Mahasiswa memahami apa yang dimaksud dengan limit kiri dan limit kanan sebuah fungsi.

3 Mahasiswa mengenal dan mengerti sifat limit fungsi.

4 Mahasiswa dapat memanfaatkan sifat-sifat limit fungsi untuk menentukan limit sebuah fungsi

7.1 FUNGSI KONTINU

(41)

33

(42)

(43)

35

7.2 KONTINU KIRI DAN KONTINU KANAN

7.3 DISKONTINU

Dicirikan dengan adanya loncatan/ “gap” pada grafik fungsi. Terdapat 3 jenis diskontinuitas:

1 tak hingga di a jika limitnya (kiri dan kanan) tak hingga (tidak ada);

(44)

36

2 loncat berhingga di a jika limit kiri dan kanannya berhingga namun tak sama;

3 dapat dihapuskan / dihilangkan di a jika nilai fungsi dan limitnya ada, tetapi tidak sama,

) ( ) (

lim f x f a

a

x 

→

(45)

37

BAB 8 TURUNAN

TIU:

Mahasiswa memahami konsep turunan dan mampu mencari turunan dari sebuah fungsi.

TIK:

1. Mahasiswa mengerti akan turunan dari fungsi satu variabel

2. Mahasiswa mampu menggunakan limit untuk mencari turunan sebuah fungsi.

3. Mahasiswa mampu menyelidiki apakah sebuah fungsi mempunyai turunan pada sebuah titik.

4. Mahasiswa mengenal rumus dasar turunan.

5. Mahasiswa dapat memanfaatkan rumus dasar turunan untuk menentukan turunan berbagai fungsi.

6. Mahasiswa dapat memanfaatkan rumus dasar turunan untuk menentukan turunan berbagai fungsi.

8.1 DEFINISI TURUNAN

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Pada fungsi y = f(x), turunan dari variabel y terhadap variabel x dinotasikan dengan atau

(46)

38

8.2 ATURAN PENCARIAN TURUNAN

Aturan pencarian turunan dalam teori turunan adalah sebagai berikut:

   

 

)

`(

) ( ) ( ) ( )

`(

) ( ) ( ) ( )

`(

)

`(

maka

, ) ( ) ( ) ( ) ( Jika . 7

) (

)

`(

) ( ) ( ) ) `(

`(

maka 0 ) ( ), (

) ) (

( Jika . 9

)

`(

) ( )

`(

maka , ) ( ) ( Jika . 8

)

`(

) ( ) ( )

`(

)

`(

maka , ) ( ) ( ) ( Jika . 7

)

`(

)

`(

)

`(

maka , ) ( ) ( ) ( Jika . 6

)

`(

)

`(

maka , ) ( ) ( Jika 5.

)

`(

maka , )

( Jika 4.

)

`(

maka , ) ( Jika . 3

1 )

`(

maka , ) ( Jika 2.

0 )

`(

maka , ) ( Jika 1.

2 1

1 1

x w x v x u x w x v x u x w x v x u x f

x w x v x u x f

x v

x v x u x v x x u

f x

x v v

x x u

f

x u x u n x f x

u x f

x v x u x v x u x f x

v x u x f

x v x u x f x

v x u x f

x Cu x f x

Cu x f

Cnx x

f Cx

x f

nx x f x

x f

x f x

x f

x f C

x f

n n



 +



 +



=



=



−

= 



=



=

 +



=



=



=



=

−

(47)

39 8.3 ATURAN RANTAI

x x y x

x y x

x y

v uv v y u v

y u

uv v u y uv

y

v u y v

u y

k ku y ku

y

x

v u y

ln 3. 1

2. cos

.2 1.

: Contoh

`.

` ` maka Bila

4.

.`

`

` maka Bila

3.

.`

`

` maka Bila

2.

konstan.

,

`

` maka Bila

1.

berlaku Maka

. dari fungsi merupakan

, dan dari

fungsi adalah dimana

rumit, fungsi -

fungsi Untuk

2 x 3

2

+

= +

=

= −

=

+

=



=



=

8.4 TURUNAN FUNGSI KOMPOSIT

 



( )



. `( ) `( ) `( )

` )

`(

: lain simbol dengan

ditulis atau

.

maka

, ) ( )

(

) ( ),

(

: berikut sebagai

ditentukan yang

komposit fungsi

adalah F

bila dan , diturunkan

dapat yang dan

dari fungsi adalah masing

- masing dan

Bila

x f u g x f x f g x F

dx du du dy dx dy

x f g x F y

x f u u g y

u x g

f

=

(48)

( )

( ) ⁽ ⁾

(

³ ² ¹

) ⁽

³ ¹

⁾

8

2 6 1 2 3 4

1 2 3 4 4 ,

2 6

diperoleh ,

1 2 3 subtitusi dengan

Maka

. 1 2 3 dari h

1.Hitungla

2 3 2 3

2 3 3

4 2 2 4

− +

−

=

− +

−

=

+

−

=

−

=

+

−

=

+

−

=

x x

x

x x

dx x du du dy dx dy

x x du u

x dy dx

du

u y

x x u

x x dx y

dy

   

( )

( ) ( )

1 1

) 2 ( 2 1

1

1 1

2 )

`(

1 . 1 : Contoh

.

` ) ( n maka

, ) ( Jika

2 2

1 1 2

2 1 2

12 2 2

2 2

1 - n n

= + +

= +

=

+

= +

=

→ +

= +

=

−

x x x

x x dx x

dy

x x

y

x x f x

f(x) x y

(x) f x dx f

x dy f y

 

( )



^cos ¹



^.(² ⁾ ² ^cos

(

¹

)

2 )

`(

1 . ) 1 sin(

: Contoh

.

` ) ( cos maka

, ) ( sin Jika

2 2

+

= +

=

→ +

= +

=

x x x dx x

dy

x x f x

f(x) x y

(x) f x dx f

x dy f y

(49)

41

 

(

2 1

)

sin 2 2 ).

1 2 sin(

2 )

`(

1 2

. ) 1 2 cos(

: Contoh

.

` ) ( sin maka

, ) ( cos Jika

+

−

= +

−

=

→ +

= +

=

−

=

x dx x

dy

x f x

f(x) x y

(x) f x dx f

x dy f y

8.5 TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

1

` 0

` 1

0 1

0

`

adalah 0

dari pertama Turunan

0.

(0)`

kanan ruas

Turunan

1 v`

maka

1

` maka

0

: Contoh suku.

demi suku menurunkan kemudian

, dari fungsi sebagai suku

tiap - tiap

memandang kita

maka , 0 , implisit fungsi

dari pertama turunan

menghitung Untuk

−

=



= +



= +



= +

=

= +

=

y y dx dy v u

y x

dx dy dx dy dy dv dx y dv

v

dx u du x

u y x

x

y) f(x

(50)

42

8.6 TURUNAN DENGAN BANTUAN LOGARITMA

x x

x v

e y y y

y x x

y x

y e

y

e y y

y y

y x x

y x

y y

y u y

=



=



=



=



=

` 1 y ` 1

1 )

` maka ln

: (Ingat turunkan kita

Kemudian ln maka ,

. dari

urunan Tentukan t

2.

2 2 ln 2 ln

` 2 ln y ` 1

1 )

` maka ln

Kemudian

2 ln ) 2 ln(

ln 2

. 2 dari urunan Tentukan t

1.

: Contoh

a.

turunanny mencari

untuk logaritma

n menggunaka mudah

lebih , berbentuk

fungsi Pada



 



 +

=





 



 +

=



+

=

+

=



=



=

x x x x x

y

x x x x y y

x x x x y

u v v u y uv

y

y x x

y x

x y

x y x y

x y

x x x

x

1sin ln cos

`

1sin ln cos

`

1sin ln cos y `

1

)

`

` maka

dan

` 1 maka ln

Kemudian ln sin ln

) ln(

ln

. dari

urunan Tentukan t

3.

sin sin sin

sin

(51)

43

8.7 TURUNAN DARI FUNGSI DALAM PERSAMAAN PARAMETER

t t

t

t t

e e e dt dx dt dy dx dy

e y

e x

e y

e x

dt dx dt dy dx t dy

g y

t f x

2 3 3

3

3 3 3

`

fungsi dari urunan Tentukan t

: Contoh

. maka

) (

) ( parameter persamaan

dalam fungsi Suatu

=



 







 





=





=



 







 





=

8.8 TURUNAN KEDUA DAN LEBIH TINGGI

8.8.1 Soal dan Pembahasan Jika y = sin 2x,

maka :

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 2 cos 2x ^𝑑²^𝑦

𝑑𝑥² = -4 sin 2x

𝑑³𝑦

𝑑𝑥³ = -8 cos 2x ^𝑑⁴^𝑦

𝑑𝑥⁴ = 16 sin 2x

(52)

(53)

viii

DAFTAR PUSTAKA

Admin. 2017. Cara Melukin Grafik Linier.

https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2017/01/cara-melukis-grafik- fungsi-linier.html (diakses pada tanggal 24 April 2020).

Admin. 2017. Langkah-Langkah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat.

https://idschool.net/sma/matematika-sma/cara-menggambar-grafik-fungsi- kuadrat/ (diakses pada tanggal 24 April 2020).

Agustian. 2020. Bilangan Real: {egertian, Sistem & Contoh Soal.

https://rumuspintar.com/bilangan-real/ (diakses pada tanggal 23 April 2020).

Nianiamulyani. 2013. Himpunan Bilangan Bulan dan Rill dan Skemanya.

http://matamatakak.blogspot.com/2013/05/himpunan-bilangan-bulat-dan- rill-dan.html (diakses pada tanggal 23 April 2020).

Sukirman, Edi. 2010. Matematika Dasar 1.

http://ediskm.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/folder/0.0 (diakses pada tanggal 23 April 2020)

Suworno, Muji. 2017. Pengertian Pertidaksamaan.

https://www.materimatematika.com/2017/10/pengertianpertidaksamaan.h ml (diakses pada tanggal 23 April 2020).

Wisnu. 2020. Himpunan Bilangan Bulan dan Rill dan Skemanya.

https://rumuspintar.com/nilai-mutlak/ (diakses pada tanggal 23 April 2020 Yusuf Yahya, D. Suryadi H.S., Agus Sumin. 1994. Matematika Dasar untuk

Perguruan Tinggi. Ghalia Indonesia.