Modul INTEGRAL FUNGSI

(1)

MAT. TKF 201- 03

Fakultas Teknik UNY

Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif

INTEGRASI FUNGSI

Penyusun :

Martubi, M.Pd., M.T.

Sistem Perencanaan Penyusunan Program dan Penganggaran (SP 4)

Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif

2005

Y

Y = f (X)

0 a b X A

b

(2)

ii

Modul dengan judul Integrasi Fungsi ini digunakan sebagai panduan dalam kegiatan kuliah untuk membentuk salah satu

sub-kompetensi, yaitu: “Menggunakan konsep, sifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi“. Modul ini dapat digunakan untuk semua peserta kuliah Matematika di Semester I pada Program Studi Pendidikan Teknik Otomotif Fakultas Teknik Universitas Negeri

Yogyakarta.

Pada modul ini disajikan konsep dasar Integrasi Fungsi dan

permasalahannya yang banyak dijumpai dalam penerapannya di bidang

teknik, baik secara teoritis maupun praktis. Modul ini terdiri atas empat

kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1 membahas tentang: Integrasi Fungsi

Baku dan Fungsi Majemuk Linier. Kegiatan belajar 2 membahas tentang:

Integrasi Perkalian/Pembagian Khusus. Kegiatan belajar 3 membahas

tentang: Integral Parsial. Kegiatan belajar 4 membahas tentang: Integral

Tertentu dan Aplikasinya.

Untuk dapat mempelajari modul ini dengan mudah mahasiswa

diharapkan telah mempunyai pengetahuan dan pemahaman tentang

konsep-konsep dasar yang menunjangnya, dalam hal ini terutama konsep

tentang Diferensiasi Fungsi.

Yogyakarta, Oktober 2005

Penyusun

(3)

iii

Halaman

HALAMAN SAMPUL ... i

KATA PENGANTAR ... ii

DAFTAR ISI ... iii

PERISTILAHAN / GLOSSARY ... v

I . PENDAHULUAN... 1

A. Deskripsi ... 1

B. Prasyarat ... 1

C. Petunjuk Penggunaan Modul ... 2

1. Petunjuk bagi mahasiswa ... 2

2. Petunjuk bagi dosen ... ... 2

D. Tujuan Akhir ... 3

E. Kompetensi ... 3

F. Cek Kemampuan ... 4

II. PEMBELAJARAN ... 5

A. Rencana Belajar Mahasiswa ... 5

B. Kegiatan Belajar ... 5

1. Kegiatan Belajar 1 ... 5

a. Tujuan kegiatan belajar 1 ... 5

b. Uraian materi ... 6

c. Rangkuman 1 ... 11

d. Tugas 1 ... 13

e. Tes formatif 1 ... 13

(4)

iv

b. Uraian materi 2 ... 14

c. Rangkuman 2 ...16

d. Tugas 2 ... 17

f. Kunci jawab tes formatif 2 ... ... 18

d. Tugas 3 ... 26

d. Tugas 4 ... 36

III. EVALUASI ... 39

A. Pertanyaan ... 39

B. Kunci Jawaban ... 39

C. Kriteria Kelulusan ... 40

IV. PENUTUP ... 41

(5)

v

Fungsi Baku : adalah fungsi yang sudah ada rumus integralnya.

Fungsi Majemuk Linier : adalah fungsi dari suatu fungsi lainnya yang

linier ( pangkat satu ).

Integrasi Fungsi : adalah operasi balikan ( invers) dari diferensiasi yang

berarti mencari fungsi induk dari suatu turunan tertentu.

Integral Parsial : adalah suatu proses integral dari bentuk perkalian dan

pembagian yang unsur-unsurnya saling asing ( unsur yang satu

bukan turunan dari unsur lainnya).

Integral Perkalian/Pembagian khusus: adalah suatu proses integral dari

bentuk perkalian dan pembagian dengan unsur yang satu

merupakan turunan dari unsur lainnya.

Integral Tertentu: adalah suatu proses perhitungan integral dengan

(6)

1 A. Deskripsi

Modul dengan judul Integrasi Fungsi ini membahas tentang konsep dasar Integrasi Fungsi serta permasalahannya yang banyak

dijumpai dalam penerapannya di bidang teknik, baik secara teoritis

maupun praktis. Materi yang dipelajari mencakup: Integrasi Fungsi Baku

dan Fungsi Majemuk Linier, Integrasi Perkalian/Pembagian Khusus,

Integral Parsial dan Integral tertentu beserta Aplikasinya.

Modul ini terdiri atas empat kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1 membahas tentang: Integrasi Fungsi Baku dan Fungsi Majemuk Linier.

Kegiatan belajar 2 membahas tentang: Integrasi Perkalian/Pembagian

Khusus. Kegiatan belajar 3 membahas tentang: Integral Parsial. Kegiatan belajar 4 membahas tentang: Integral tertentu dan Aplikasinya.

Pada setiap kegiatan belajar selalu dilengkapi dengan contoh soal

dan pembahasannya beserta latihan-latihan seperlunya untuk

membantu mahasiswa dalam mencapai kompetensi yang diharapkan.

Setelah selesai mempelajari modul ini mahasiswa diharapkan mempunyai sub kompetensi “Menggunakan konsep, sifat, dan

manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi“

B. Prasyarat

Modul ini berisi materi-materi yang memerlukan dukungan materi

lain yang semestinya telah dipelajari sebelumnya. Adapun

materi-materi dasar yang seharusnya telah difahami oleh peserta kuliah di

Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif terutama adalah konsep dasar

(7)

C. Petunjuk Penggunaan Modul

1. Petunjuk bagi Mahasiswa

Agar diperoleh hasil belajar yang maksimal, maka dalam

menggunakan modul ini ada beberapa prosedur yang perlu

diperhatikan, dan dilaksanakan antara lain :

a. Bacalah dan fahami dengan seksama uraian konsep-konsep

teoritis yang disajikan pada modul ini, kemudian fahami pula

penerapan konsep-konsep tersebut dalam contoh-contoh soal

beserta cara penyelesaiannya. Bila terpaksa masih ada materi

yang kurang jelas dan belum bisa difahami dengan baik para

mahasiswa dapat menanyakan kepada dosen yang mengampu

kegiatan perkuliahan.

b. Coba kerjakan setiap tugas formatif (soal latihan) secara mandiri,

hal ini dimaksudkan untuk mengetahui seberapa besar

pemahaman yang telah dimiliki setiap mahasiswa terhadap

materi-materi yang dibahas pada setiap kegiatan belajar.

c. Apabila dalam kenyataannya mahasiswa belum menguasai materi

pada level yang diharapkan, coba ulangi lagi membaca dan

mengerjakan lagi latihan-latihannya dan kalau perlu bertanyalah

kepada dosen yang mengampu kegiatan perkuliahan yang

bersangkutan. Kalau materi yang bersangkutan memerlukan

pemahaman awal (prasyarat) maka yakinkan bahwa prasyarat

yang dimaksud benar-benar sudah dipenuhi.

2. Petunjuk Bagi Dosen

Dalam setiap kegiatan perkuliahan, dosen mempunyai tugas dan

peran untuk :

a. Membantu mahasiswa dalam merencanakan proses belajar.

b. Membimbing mahasiswa melalui tugas-tugas atau latihan-latihan

yang dijelaskan dalam tahab belajar.

c. Membantu mahasiswa dalam memahami konsep baru dan

(8)

d. Membantu mahasiswa untuk mengakses sumber belajar lain yang

diperlukan.

e. Mengorganisir kegiatan belajar kelompok jika diperlukan.

f. Merencanakan seorang ahli/dosen pendamping jika diperlukan.

g. Mengadakan evaluasi terhadap pencapaian kompetensi

mahasiswa yang telah ditentukan. Evaluasi tersebut pelaksanaan-

nya pada setiap akhir kegiatan belajar.

D. Tujuan Akhir

Setelah mempelajari seluruh materi kegiatan belajar dalam modul

ini mahasiswa diharapkan dapat : “Menggunakan konsep, sifat, dan

manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi“.

E. Kompetensi

Modul MAT. TKF 201-03 dengan judul Integrasi Fungsi ini disusun dalam rangka membentuk sub-kompetensi “Menggunakan

konsep, sifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah

integrasi fungsi“.

Untuk mencapai sub-kompetensi tersebut, terlebih dahulu harus

dapat dicapai sub-sub kompetensi beserta kriteria unjuk kerjanya

melalui lingkup belajar dengan materi pokok pembelajaran sebagai

berikut :

Sub Kompetensi Kriteria Unjuk Kerja Lingkup Belajar

Materi Pokok Pembelajaran

Sikap Pengetahuan Ketrampilan

Mengguna-kan konsep, aturan dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi. 1.Menjelaskan pengertian/kon-sep, notasi dan sifat-sifat inte-grasi fungsi . 2. Menyelesaikan

masalah integrasi fungsi baku

1.Pengertian, notasi dan sifat-sifat integrasi fungsi . 22. Integrasi fungsi baku. . Teliti dan cermat dalam menulis simbol dan me-lakukan perhi-tungan 1.Pengertian, notasi dan sifat-sifat integrasi fungsi . 2. Integrasi

fungsi baku.

(9)

F. Cek Kemampuan

Sebelum mempelajari Modul MAT. TKF 201 – 03 ini, isilah dengan

tanda cek (  ) pertanyaan yang menunjukkan kompetensi yang telah

dimiliki mahasiswa dengan jujur dan dapat dipertanggungjawabkan :

Sub

Kompetensi Pertanyaan

Jawaban _{Bila Jawaban “Ya“}

Kerjakan Ya Tidak

Mengguna-kan konsep, aturan dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi.

1. Saya mampu menjelaskan pengertian, notasi dan sifat-sifat integrasi fungsi.

Tes Formatif 1 Nomor : 1

2. Saya dapat menyelesaikan permasa-

lahan integrasi fungsi baku. Tes Formatif 1 _{Nomor : 2 a, b, f, g} 3. Saya dapat menyelesaikan permasa-

lahan integrasi fungsi majemuk linier.

Tes Formatif 1 No: 2 c, d, e, h, i, j

4. Saya dapat menyelesaikan permasalahan integrasi fungsi perkalian / pembagian khusus

Tes Formatif 2 Nomor : 1 sd. 10

5. Saya dapat menyelesaikan permasalahan integrasil parsial

6. Saya dapat menyelesaikan permasalahan integral tertentu dan aplikainya.

Apabila mahasiswa menjawab Tidak maka pelajari modul ini sesuai materi yang dijawab Tidak tersebut.

Sub Kompetensi Kriteria Unjuk Kerja Lingkup Belajar

Materi Pokok Pembelajaran

Sikap Pengetahuan Ketrampilan

Mengguna-kan konsep, aturan dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi. 3. Menyelesaikan masalah integra-si fungintegra-si maje-muk linier. 4. Menyelesaikan

masalah integra-si fungintegra-si perka-lian / pembagian khusus.

5. Menyelesaikan masalah integral parsial

6. Menyelesaikan masalah integral tertentu dan apli-kasinya.

.3 3. Integrasi fungsi majemuk linier 4. Integrasi fungsi per-kalian/pembagian khusus. 5. Integral parsial 6. Integral

tertentu dan aplikasinya. Teliti dan cermat dalam menulis simbol dan me-lakukan perhi-tungan

. 3. Integrasi fungsi majemuk linier 4. Integrasi fungsi per-kalian/pembagian khusus. 5. Integral parsial 6. Integral

(10)

5 A. Rencana Belajar Mahasiswa

Buatlah rencana kegiatan belajar dengan mengisi tabel di bawah

ini dan mintalah bukti belajar kepada dosen setelah selesai.

Jenis Kegiatan Tanggal Waktu Tempat Belajar

Alasan Perubahan

Paraf Dosen

1. Pengertian, dan notasi

integrasi fungsi.

2. Integrasi fungsi baku.

3. Integrasi fungsi majemuk

linier

4. Integrasi fungsi perkalian /

pembagian khusus.

5. Integral parsial.

6. Integral tertentu dan aplikasinya

B. Kegiatan Belajar.

1. Kegiatan Belajar 1 : Integrasi Fungsi Baku dan Majemuk Linier

a. Tujuan Kegiatan Belajar 1 :

1). Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian, notasi dan

sifat-sifat integrasi fungsi.

2). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi fungsi

baku.

3). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi fungsi

(11)

b. Uraian Materi 1 :

1). Pengertian, dan Notasi Integrasi Fungsi:

Integrasi Sebagai Anti Diferensiasi

Di dalam matematika banyak dijumpai pasangan operasi yang saling merupakan balikan ( anti ), misalnya : penjumlahan

dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pemangkatan

dan penarikan akar serta logaritma dan perhitungan logaritma.

Operasi balikan lainnya yang akan dibahas pada bagian ini

adalah integrasi ( hitung integral ) sebagai operasi anti dari

diferensiasi ( hitung diferensial )

Pada operasi deferensial permasalahnnya yaitu

menentukan fungsi turunan dari dari sebuah fungsi yang telah

diketahui, maka pada integrasi permasalahannya yaitu

menentukan fungsi asal ( induk ) dari suatu fungsi turunan yang

telah diketahui. Misalnya turunan dari f (X) adalah f´ (X) maka:

Diferensiasi : mencari f ’ (X) jika f (X) diketahui . Integrasi : mencari f (X) jika f ‘(X) diketahui .

Selanjutnya untuk untuk memudahkan cara penulisannya,

digunakan notasi Leibniz yaitu dengan lambang  f (X) dX

untuk menyatakan integral dari fungsi f (X) atau integral

f (X) terhadap X . Misal diketahui f (X) = sin X maka

integrasinya terhadap X ditulis  sin X dX .

Integrasi fungsi memiliki sifat-sifat seperti pada operasi diferensiasi, yang dapat di tulis sebagai berikut:

 { f (X) + g (x) } dX =  f (X) dX +  g (X) dX  { f (X) – g (x) } dX =  f (X) dX – g (X) dX  k. f (X) dX = k.  f (X) dX

(12)

Integrasi Fungsi Baku :

Berdasarkan rumus – rumus dasar diferensiasi fungs, maka dengan jalan membalik operasinya akan diperoleh rumus –

rumus dasar integrasi fungsi baku sebagai berikut :

( Jika C = bilangan konstan , dan n = bilangan riil )

k

1.  kXn dX = X n + 1 + C ( asal n ≠ -1 ) n + 1

k

2.  dX = k. ln X + C X

3.  eX dX = eX + C 1

4.  ekX dX = e kX + C k

aX

5.  aX dX = + C ln a

6.  cos X dX = sin X + C 7.  sin X dX = – cos X + C

8.  sec2 X dX = tg X + C 9.  cosh X dX = sinh X + C

10.  sinh X dX = cosh X + C 1

11.  dX = arc. sin X + C 1 – X2

_–₁

12.  dX = arc . cos X + C 1 – X2

1

(13)

1

14.  dX = arc. sinh X + C X2 +1

1

15.  dX = arc. cosh X + C X2 –1

1

16.  dX = arc. tgh X + C 1 – X2

Rumus-rumus di atas dinamakan integral tak tentu,

karena masih terdapat suatu konstanta yang belum di ketahui

harganya yaitu C.

Untuk lebih jelasnya dalam memahami rumus-rumus dasar beserta sifat-sifat integrasi tersebut berikut diberikan

beberapa contoh penerapannya: 1

a).  X7 dX = X8 + C 8

5

b).  dX = 5 ln X + C X

c).  3 eX dX = 3 eX + C

5

d).  5 e6X dX = e6X + C 6

5X

e).  5X dX = + C ln 5

f).  23 cos X dX = 23 sin X + C

g).  7 sin X dX = 7(– cos X) + C = – 7 cos X + C

h).  ( 4 sec2 X – 5 cos X ) dX = 4 tg X – 5 sin X + C

(14)

5

j).  dX = 5 arc . cos X + C 1 – X2 ₇

k).  dX = – 7 arc . cosh X + C X2– 1 12

l).  dX = 12 arc . sinh X + C 1 + X2 _–₃

m).  dX = 3 arc . cos X + C 1 – X2 Integral Fungsi Majemuk dari Suatu Fungsi Linier Kadang-kadang kita harus mengintegralkan suatu fungsi majemuk, yaitu fungsi yang bentuknya mirip dengan bentuk pada rumus dasar, tetapi dengan X diganti oleh fungsi linier dalam X, misalnya  (3X + 4)7 dX,  (5X– 6)½dX,  sin 6X dX,  sinh ( 4X + 3) dX,  cos (7– 3X ) dX dan sebagainya. Pada soal  (3X + 4)7 dX dimisalkan (3X + 4) = Z, maka bentuk tersebut menjadi  Z7 dX. Karena variabelnya belum sesuai maka untuk dapat diselesaikan perlu disesuaikan dahulu, yaitu dengan kaidah sebagai berikut : dX  Z 7 dX =  Z 7 dZ dZ dZ dX 1

Karena Z = 3X + 4 maka = 3  =

dX dZ 3

dX 1 1 1

 Z 7 dZ =  Z 7. dZ =  Z 7dZ = Z 8 + C dZ 3 3 3.8 1

(15)

Jika diperhatikan ternyata kaidah dasar pengintegralan tetap berlaku, tetapi masih harus dibagi dengan koefisien X.

Hal ini berlaku umum untuk semua fungsi baku yang terdapat

pada rumus dasar di depan.

Secara umum dapat dirumuskan bahwa : Jika Z = (aX + b)

maka:

k

 k (aX + b) n dX = (aX + b ) n+1 + C a ( n+1)

Kaidah ini berlaku untuk semua rumus fungsi baku di atas jika

X diganti ( aX + b ) sesuai bentuk integral bakunya.

Contoh :

a).  sin (5X – 7) dX = –1/5 cos (5X – 7 ) + C

1

b).  e3X – 2 dX = e3X – 2 + C 3

35X

c).  3 5Xdx = + C 5 ln 3

1 ln (4X + 3) d).  dX = + C 4X + 3 4

e).  sec 2 (10X + 8) dX = 1/10 . tg (10X + 8) + C

1 arc .sin 3X f).  dX = + C 1 – 9X2 3

5

(16)

c. Rangkuman 1 :

1). Pengertian, Notasi dan Sifat Integrasi Fungsi.

Integrasi Fungsi : adalah sebuah operasi dari diferensiasi

fungsi, yaitu sebuah proses mencari induk

dari suatu fungsi turunan tertentu.

Integral dinotasikan dengan lambang : 

Integrasi fungsi memiliki sifat-sifat seperti pada operasi

diferensiasi, yang dapat di tulis sebagai berikut:

 { f (X) + g (x) } dX =  f (X) dX +  g (X) dX  { f (X) – g (x) } dX =  f (X) dX – g (X) dX  k. f (X) dX = k.  f (X) dX

dalam hal ini f (X) dan g(X) = fungsi X ; k = bilangan konstan

2). Integrasi Fungsi Baku

Untuk mencari integral fungsi baku digunakan rumus :

1

a.  Xn dX = X n + 1 + C ( asal n ≠ 1 ) n + 1

1

b.  dX = ln X + C X

c.  eX dX = eX + C 1

d.  ekX dX = e kX + C k

aX

(17)

f.  cos X dX = sin X + C g.  sin X dX = – cos X + C

h.  sec2 X dX = tg X + C i.  cosh X dX = sinh X + C

j.  sinh X dX = cosh X + C 1

k.  dX = arc. sin X + C 1 – X2

_–₁

l.  dX = arc . cos X + C 1 – X2

1

m.  dX = arc.tg X + C 1 + X2

1

n.  dX = arc.sinh X + C X2 +1

1

o.  dX = arc.cosh X + C X2 –1

1

p.  dX = arc.tgh X + C 1 – X2

3). Integrasi Fungsi Majemuk Linier

Secara umum jika Z = (aX + b) maka:  k Z n dX dapat dihitung dengan rumus :

k

 k Z n dX = (aX + b ) n+1 + C a (n + 1)

Kaidah ini berlaku untuk semua rumus fungsi baku di atas jika

(18)

d. Tugas 1:

Tentukanlah integral – integral berikut ini :

1).  (X3–3X2 + 4X – 5) dX 9).  7(X2– 1) –½ dX

2).  ( 3 sin X – 2 cos X) dX 10).  2 sec2 X dX

7

3).  ( eX– e2X) dX 11).  ( – X) dX X

4).  6 ( 1 – X2 )–½ dX 12).  (9X + 10X) dX

5).  (2X – 7) 4 dX 13).  cosh (1 + 4X) dX

6).  e5X – 4 dX 7 14).  dX 7).  sinh 7X dX 2X - 3

8).  5 3X+2 dX 15).  5 (1 + 4X2) – ½ dX

e. Tes formatif1 :

1). Jelaskan pengertian, notasi dan sifat-sifat dari integrasi fungsi !

2). Tentukanlah integral – integral berikut ini :

4

a).  (X– 3 + X – ) dX f).  ( 4 – 3 sinh X ) dX X2

– 4 1

b).  dX g).  ( X – ) 2 dX 1 + X2 X

c).  cos (7X – 2) dX h).  sec 2 (3X + 5) dX

d).  (5X – 8)7 dX i).  cosh (3 + 7X) dX

e).  74X + 5 dX j).  3 (1 + 16X2)– ½ dX

(19)

f. Kunci Jawab Tes Formatif 1 :

1). Lihat rangkuman 1, nomor 1) halaman 11 modul ini .

4

2). a). –½ X– 2 + ½ X 2 + + C f). 4 X – 3 cosh X + C X

1

b). – 4 arc.tg X + C g). ⅓⅓ X3– 2X – + C X

c).  sin (7X – 2) + C h). ⅓⅓tg (3X + 5) + C

d).  (5X – 8)8 + C i).  sinh (3 + 7X) + C

74X + 5 j). ¾ arc. sinh 4X + C e). + C

4 ln 7

2. Kegiatan Belajar 2 : Integrasi Fungsi Perkalian / Pembagian Khusus

a. Tujuan Kegiatan Belajar 2 :

1). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi

perkalian khusus.

pembagian khusus.

b. Uraian Materi 2 :

Integrasi Fungsi Perkalian / Pembagian Khusus

Yang dimaksud perkalian dan pembagian khusus pada bagian ini yaitu perkalian / pembagian antara sebuah fungsi

dengan turunan (diferensiasinya).

Jika diketahui suatu fungsi f (X) dan turunanya f ‘ (X) maka

bentuk integral perkalian khusus tersebut dapat ditulis :

 f (X). f ‘ (X) dX, atau jika dimisalkan Z = f (X) dan turunan

Z terhadap X adalah dZ = f ‘ (X) dX maka bentuk tersebut

menjadi  Z dZ, sehingga integralnya dapat dicari dengan

rumus :

(20)

Contoh :

1). Tentukan integral dari  tg X . sec2 X dX

Jawab : Misal Z = tg X  maka dZ = sec2 X dX

 tgX  sec2 X dX = ½ tg2 X + C

ln X 1

2).  dX =  ln X . dX =  ln X d (ln X ) X X

= ½ ( ln X )2 + C

3).  sinh X. cosh X dX =  sinh X d (sinh X ) = ½sinh2 X + C

4).  (3X2– 2X + 4) . (6X – 2) dX = ½( 3X2– 2X + 4 )2 + C

sin –1 X 5).  dX =  sin –1 X . d (sin –1 X)

 1 – X2

= ½ ( sin –1 X ) 2 + C

1

Selanjutnya untuk pembagian khusus, yaitu  dZ maka Z

penyelesainnya sama dengan rumus dasar nomor b, yaitu :

1

 dX = ln X + C X

Jadi untuk bentuk pembagian khusus ini berlaku rumus

yang sama , yaitu :

dZ

(21)

Contoh:

6X + 4

1).  dX Z = 3X 2 + 4X – 5 3X 2 + 4X – 5

dZ = ( 6X + 4) dX 6X + 4

 dX = ln ( 3X2 + 4X – 5) + C

3X 2 + 4X – 5

cos X 2).  cotg X dX =  dX sin X

d (sin X)

=  = ln sin X + C sin X

sec 2 X d ( tg X)

3).  dX =  = ln tg X + C

tg X tg X

cos θ d ( 1+ sin θ )

4).  d θ =  = ln ( 1 + sin θ ) + C 1 + sin θ 1 + sin θ

sec X . tg X d ( sec X ) 5).  tg X dX =  dX =  .

sec X sec X

= ln sec X + C

c. Rangkuman 2 :

Integral Perkalian/Pembagian Khusus :

Yang dimaksud perkalian dan pembagian khusus adalah

perkalian / pembagian antara sebuah fungsi dengan turunannya.

Rumus Integral Perkalian Khusus :  Z dZ = ½ Z 2 + C dZ

Rumus Integral Perkalian Khusus :



= ln Z + C

Z

(22)

d. Tugas 2 :

Tentukan integral-integral berikut ini : 4X2

1).  3 sin X cos X dX 6).  dX

X3 + 10

ln X sin X

2).  dX 7).  dX 4X 1 – cos 2X 10 X – 15 3).  (X3 – 4X) (6X2– 8) dX 8).  - dX X2– 3X + 4

3 arc . tgh X sin 2X 4).  dX 9).  dX

1 – X2 cos 2X

5 cos–1 X 3 sec2 X 5).  dX 10).  dX

 1 – X2 3 – tg X

e. Tes Formatif 2 :

6X2

1).  cos 3X sin 3X dX 6).  dX

10X3 – 7

ln 3X 8 cos 4X 2).  dX 7).  dX 7X 3 – sin 4X 18 X + 6 3).  (2X3 + 4X) (9X2 + 6) dX 8).  - dX 3X2 + 2X – 5

7 arc . tg 2X 4 sin 5X 4).  dX 9).  dX

1 + 4X2 cos 5X

2 cos–1 3X 4 sec2 6X 5).  dX 10).  dX

(23)

1

1). 1/6 cos2 3X + C 6). ln (10X3 – 7) + C

5

1

2). ( ln 3X) 2 + C 7). – 2 ln (3 – sin 4X) + C

14

3). ¾ (2X3 + 4X) 2 + C 8). 3 ln (3X2 + 2X – 5) + C

7 – 4

4). ( arc. tg2X) 2 + C 9). ln (cos 5X ) + C 4 5

5) –⅓⅓ (cos–1 3X)2 + C 10). – ln (7 – tg 6X ) + C

3. Kegiatan Belajar 3 : Integral Parsial a. Tujuan Kegiatan Belajar 3 :

perkalian parsial.

pembagian parsial.

b. Uraian Materi 3 : Integrasi Parsial

Integrasi Perkalian Parsial :

Pada bagian sebelumnya telah dipelajari integrasi bentuk khusus perkalian antara dua unsur yang terdiri dari sebuah

fungsi dan fungsi turunannya. Kaidah pengintegralan pada

bagian tersebut hanya berlaku khusus perkalian–perkalian yang

sejenis, sehingga dapat digunakan pada bentuk perkalian lain

yang terdiri atas dua unsur secara bebas, artinya unsur yang satu

bukan merupakan turunan dari yang lain.

Untuk menyelesaikan integral bentuk perkalian bebas ini

digunakan suatu cara yang biasa disebut integral parsial.

(24)

memuat permasalahan integral atau masih mengandung bagian

yang harus diintegralkan lagi .

Adapun caranya adalah sebagai berikut :

Misalnya U dan V adalah dua buah fungsi dalam X , maka :

 U. dV = U.V ─ V . dU

Pada cara ini dituntut untuk dapat memilih dengan tepat,

fungsi mana yang harus diambil ( dimisalkan ) sebagai U dan

mana yang dimisalkan V karena kesalahan pemilihan kedua

bentuk tersebut akan mengakibatkan penyelesaian yang

berlarut-larut atau bahkan tidak dapat diperoleh penyelesaian yang

semestinya.

Sebagai pedoman prioritas ( urutan ) pemilihan bentuk yang dimisalkan U adalah :

1). Fungsi logaritma ( ln X )

2). Fungsi perpangkatan dari X ( Xn )

3). Fungsi eksponensial ( eX )

4). Fungsi trigonometri atau fungsi lainya.

Contoh : Tentukan integral – integral berikut : 1).  X2 .ln X dX

2).  X2 e3X dX

3).  e3X sin X dX

Jawab :

1).  X2 ln X dX =  U dV

Misal : U = ln X dV = X2 dX

1

dU = dX V =  X2 dX = ⅓ X

X

1 X ln X dX = ln X . ⅓ X3_–__⅓_X3_{. dX}

(25)

= ⅓⅓ X3 ln X – ⅓ X2 dX

1

= ⅓ X3_{ln X}_–_––_X3_{+ C}

9

2).  X 2 e 3X dX =  U. dX

misal U = X 2 dV = e 3X dX

dU = 2 X dX V =  e 3X dX = ⅓ e3X

 X2 e3XdX = X2. ⅓ e3X –⅓ e3X 2X dX

= ⅓ X2 e3X–  X e3X dX

Karena hasilnya masih mengandung integral dari bentuk

perkalian dua fungsi lagi, maka dilakkukan pemisalan

lagi dengan memilih U dan dV sesuai kaidah, akhirnya

diperoleh hasil :

 X2 e3X dX = ⅓ X2 e3X– ( X.⅓ e3X–⅓  e3X dX )

= ⅓ X2 e3X– ( ⅓ X e3X– 1/9 e3X ) + C

= e3X ( X2 – X –2/9 ) + C

3).  e3X sin X dX =  U dV

Misal U = e3X dV = sin X dX

dU = 3 e3X dX V =  sin X dX = – cos X

 e3X x sin X dX = e3X– cos X – (– cos X ) 3e3XdX

= – e3Xcos X +  3 e3X cos X dX

Karena masih ada tanda integral, maka dimisalkan lagi

sehingga :

 e3X sin X dX = – e3Xcos X+3(e3X sin X – 3  sin X.e3XdX)

= – e3X cos X + 3e3X sin X – 9  e3Xsin X dX

Hasil di atas ternyata masih terdapat lagi bentuk

yang mengandung integral, namun jika diperhatikan

bentuk tersebut adalah bentuk yang sejenis dengan soal

(26)

perlu lagi diadakan pemisalan U dan dV, tetapi cukup

mengumpulkan bentuk sejenis tersebut kedalam bentuk

satu ruas yaitu ruas kiri, sehingga untuk soal diatas

menjadi:



e3X sin X dX + 9



e3X sin X dX = – e3X cos X + 3e3X sin X

10



e3X sin X dX = e3X ( 3 sin X – cos X ) + C

e 3X ( 3 sin X – cos X )



e3X sin X dX = + C 10

Integrasi Permbagian / Pecahan Parsial

Yang dimaksud integrasi pembagian/pecahan parsial pada

bagian ini adalah integrasi dari suatu bentuk pembagian/pecahan

yang tidak termasuk kedalam bentuk baku yang sudah dikenal

sebelumnya dan juga pembilang pecahan tersebut bukan

merupakan turunan (derivative) dari penyebutnya.

Pecahan-pecahan yang dimaksud disini adalah khusus Pecahan-pecahan-Pecahan-pecahan

aljabar, misalnya :

X+1 X2

 dX ,  dX dan sebagainya. X2–3X+2 ( X–2 )( X2+1 )

Untuk menyelesaikan persoalan semacam ini, maka bentuk pecahan tersebut terlebih dahulu harus diubah dengan cara

menyatakannya ke dalam pecahan parsialnya, yaitu sejumlah

pecahan aljabar yang lebih sederhana sehingga memungkinkan

untuk dapat diintegralkan dengan lebih mudah.

Ada beberapa kaidah pecahan parsial, yaitu :

1). Pembilang dari fungsi yang diberikan harus mempunyai

derajad yang lebih rendah dari pada derajat penyebutnya.

(27)

3). Faktor linier ( aX + b ) akan memberi pecahan parsial yang

A

berbentuk : - aX + b

4). Faktor (aX+b)2 akan memberi pecahan parsial yang berbentuk:

A B

+ - aX + b ( aX + b )2

5). Faktor (aX+b)3 akan memberi pecahan parsial berbentuk :

A B C

+ + - aX + b ( aX + b )2 ( aX + b )3

6). Faktor kuadrad ( aX2 + bX + c ) memberi pecahan parsial

yang berbentuk :

AX + B -

aX2 + bX + c

Contoh Soal :

Tentukan integral-integral di bawah ini :

X + 1 4X²

1) .  dX 3).  dX X² – 3X+2 X.(2X – 1)²

X²

2).  dX (X–2) (X² +1)

Jawab:

X+1 X+1

1).  dX =  dX X²–3X+2 (X – 2) (X – 1)

X+1 A B = +

(X–2) (X–1) X – 2 X – 1

(28)

Bentuk ini adalah identitas yang berlaku untuk setiap harga X, namun akan lebih sederhana jika dipilih X yang dapat

membuat salah satu sukunya berharga nol (0).

Ambil (X – 1) = 0 artinya X = 1, sehingga: 1 + 1 = A(1 – 1) + B(1 – 2)

2 = 0 – B  Jadi B = – 2

Selanjutnya ambil (X – 2) = 0 artinya X = 2

2 + 1 = A(2 – 1) + B(2 – 2)

3 = A + 0  Jadi A = 3

Dengan demikian bentuk integral tersebut dapat di tulis menjadi:

X+1 3 2  dX =  dX =  dX X2 – 3X + 2 X – 2 X – 1

= 3 ln (X – 2) – 2 ln (X – 1) + C ======================

X2 A BX + C 2).  dX =  ( + dX (X – 2) (X2 + 1) X – 2 X2 + 1

X2 A BX + C

= +

(X - 2) (X2 + 1) X – 2 X2 + 1

X2 = A(X2 + 1) + (X – 2) (BX + C)

Untuk X = 2  22 = A(22 + 1) = 0

4 = 5A  Jadi A = 4/5

Selanjutnya untuk mencari harga B dan C samakanlah

koefisien-koefisien X pangkat tertinggi, dalam hal ini adalah X2:

(X2)  1 = A + B

B = 1 – A

(29)

Untuk X = 0  0 = A – 2C

C = ½ A = ½ . 4/5 = 2/5

X2 4/5 1/5 X + 2/5

Jadi  dX =  + dX (X - 2)(X2 + 1) X – 2 (X2 + 1)

4 1 1 X 2 1

=  + + dX 5 X – 2 5 X2 + 1 5 X2 + 1

4 1 2

= ln (X – 2) + ln (X2 + 1) + arc.tg X + C 5 10 5

X2 4 1 2

 dX = ln (X –2) + ln (X2+1) + arc.tg X + C (X– )(X2+1) 5 10 5

4X2 + 1 A B C

3).  dX =  ( + + ) dX X ( 2X – 1)2 X 2X (2X – 1)2

4X2 + 1 A B C = + + . X ( 2X – 1) 2 X 2X – 1 (2X – 1) 2

4X2– 1 = A(2X – 1)2 + BX (2X – 1) + CX

Ambil 2X1 = 0 yaitu untuk X =½

4 .½ 2 + 1 = A(2. ½ 1)2 + B. ½ (2. ½ 1) + C. ½

2 = ½ C  C = 4

Samakan koefisien x untuk pangkat tertinggi :

[ X2 ] 4 = 4A + 2B

2A + B = 2

Untuk X = 0 maka A = 1 sehingga didapat B = 0

4X2 + 1 1 4

--- = --- + --- X( 2X 1) 2 X ( 2X  1 ) 2

4X2 + 1 1 4

(30)

₁

=  ---- dX + 4  (2X–1) –2 dX X

4( 2X–1) –1 = ln X + --- + C –1.2

2

= ln X  + C 2X–1

==================

c. Rangkuman 3 :

Integral Perkalian / Pembagian Parsial : adalah integral

perkalian / pembagian dua buah fungsi yang saling asing ( yang

satu bukan turunan lainnya) dan juga bukan bentuk baku yang

sudah ada rumusnya.

1). Rumus Integrasi Perkalian Parsial :

Misalnya U dan V adalah dua buah fungsi dalam X , maka :

 U. dV = U.V ─ V . dU

Sebagai pedoman prioritas ( urutan ) pemilihan bentuk

yang dimisalkan U adalah :

a). Fungsi logaritma ( ln X )

b). Fungsi perpangkatan dari X ( Xn )

c). Fungsi eksponensial ( eX )

d). Fungsi trigonometri atau fungsi lainya.

2). Integrasi Pembagian / Pecahan Parsial : ubahlah pecahan aljabar itu menjadi pecahan parsialnya yang sudah

ada rumus integralnya. Pecahan parsial di sini khusus untuk

(31)

Ada beberapa kaidah pecahan parsial, yaitu :

a). Pembilang dari fungsi yang diberikan harus mempunyai

derajad yang lebih rendah dari pada derajat penyebutnya.

b). Faktorkan penyebutnya menjadi faktor-faktor primanya.

c). Faktor linier ( aX + b ) akan memberi pecahan parsial

A

yang berbentuk : - aX + b

d). Faktor (aX+b)2 akan memberi pecahan parsial yang

berbentuk:

A B

+ - aX + b ( aX + b )2

e). Faktor (aX+b)3 akan memberi pecahan parsial berbentuk:

A B C

+ + - aX + b ( aX + b )2 ( aX + b )3

6). Faktor kuadrad ( aX2 + bX + c ) memberi pecahan parsial

yang berbentuk : AX + B -

aX2 + bX + c

d. Tugas 3 :

Tentukan integral - integral berikut ini :

1).  X2 cos 5X dX 6).  X 3 ln ( X + 7 ) dX 2).  2X3 e3X dX 7).  e5X sin 3X dX

2X2 + X +1 X3 + X + 1 4).  dX 9).  dX (X –1)(X2 +1) X4 + X2

dX 3X + 2

5).  10).  dX X2 (1 + X2) (X –2)(X2 – 4)

(32)

e. Tes formatif3 :

Tentukan integral - integral berikut ini :

1).  X2 sin 7X dX 4).  4 X 2 ln 3 X dX

2).  4X3 e2X dX

2X – 1 8 – X 3).  dX 5).  dX

X2– 8X + 15 (X – 2)2 (X+1)

1). –1/7 X2 cos 7X + 2/49 X sin 7X + 2/343 cos 7X + C

2). e2X (2X3– 3X2 + 3 X + 1 ½ ) + C

3). 4½ ln ( X – 5 ) – 2½ ln ( X – 3 ) + C

4). 1⅓ X3 ( ln 3 X –⅓ ) + C

2

5). – ln ( X – 2 ) – + ln ( X + 1 ) + C X – 2

4. Kegiatan Belajar 4 : Integral Tertentu dan Aplikasinya a. Tujuan Kegiatan Belajar 4 :

1). Mahasiswa dapat menyelesaikan integral tertentu sebuah

fungsi jika diketahui batas-batasnya.

2). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi integrasi

fungsi untuk menghitung luas daerah di bawah kurva.

fungsi untuk menghitung luas daerah antar dua kurva.

fungsi untuk menghitung volume benda putar.

(33)

b. Uraian Materi 4 : Integrasi Tertentu dan Aplikasinya

Pengertian dan Rumus Dasar Integral Tertentu

Dimisalkan f (X) adalah suatu fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b] dan dapat terintegralkan, maka :

b disebut integral tertentu (integral Riemann)



f (X) dX

dari f (X) mulai X = a sampai X = b a

Adapun harga dari integral tersebut dapat dihitung dengan

rumus dasar sebagai berikut :

Jika diketahui anti turunan dari f (X) adalah F (X) maka :

b b



f (X) d(X) = F(X)

]

= F ( b )

–

F ( a )

a a

Selanjutnya juga perlu diketahui bahwa integral tertentu mempunyai sifat-sifat yang sama dengan integral tak tentu dalam

hal operasi aljabar, baik penjumlahan, pengurangan dua fungsi

atau lebih maupun perkalian antara suatu fungsi dengan bilangan

konstan.

Contoh Soal : Hitunglah :

2 1/4

1).



( 4X – 9X2 ) dX 2).



sin3 (2X) . cos (2X) dX 1 0

Jawab :

2 2 1).



( 4X – 9X2 ) dX = 2X2– 3X3



1 1

= 2 ( 22 – 12 ) – 3( 23 –13 )

= 2.3 – 3.7

(34)

¼ 

2).



sin3 (2X) . cos (2X) dX 0

Misal U = sin 2X  dU = 2 cos 2X dX  ½ dU = cos 2X dX

Sehingga soal tersebut dapat diganti :

¼  sin4 2X ¼ 



½ (sin3 2X) ( 2 cos 2X ) dX = ½

]

0 4 0

¼ 

= 1/8 sin4 2X ]

=

1/8 ( sin4 ½– sin4 0 ) 0

= 1/8 (1 – 0 ) = 1/8

Luas Daerah di Bawah Kurva :

Y Luas daerah di bawah suatu kurva Y= f(X) Y = f ( X ) di atas sumbu X dari

X = a sampai X = b sebagaimana

tampak pada gambar di samping,

yaitu daerah yang diarsir dapat

A dihitung dengan rumus :

0 a b X

satuan luas

Contoh Soal :

1). Y Y=X2 +1 Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar di

sebelah ini !

-2 -1 0 1 2

(35)

Jawab : Luas daerah yang diarsir ( A ) : 2

A =  ( X2 +1 ) dX

–2

2

= X 3 + X  = ( 23 – (–2 )3 ) + ( 2 – (–2) )

–2

= . 16 + 4 = 9 satuan luas

2). Hitunglah luas daerah antara kurva Y = 2 + X dan sumbu X

dari X = 1 sampai X = 4

4

Jawab : A =  ( 2 + X ) dX 1

1½ 4 = 2X + X  = 2 (4 – 1) + ( 41½–11½ )

1

= 2 . 3 + . 7

= 10 satuan luas

Luas Daerah Antara Dua Kurva :

Jika diketahui kurva-kurva Y = f (X)

dan Y = g (X) dengan f (X)  g (X)

Y dan keduanya kontinyu pada selang Y=f (X) a  X  b. Maka luas daerah antara

kedua kurva tersebut dari X = a

Y=g (X) sampai X = b dapat ditentukan dengan rumus:

0 a b b

A =



[ f (X) – g (X) ] dX satuan a luas

(36)

Harga batas a dan b dalam hal ini tidak selalu telah diketahui secara eksplisit, namun dapat ditentukan, yaitu dengan jalan

mencari titik potong antara kedua kurva (tergantung masalahnya).

Contoh Soal :

1). Hitunglah luas daerah antara kurva Y = 2 – X2 dan kurva Y = X seperti yang ditunjukkan dalam gambar dibawah ini !

Y Jawab :

Y = X Pertama-tama cari dahulu batas

integrasinya, yaitu titik potong

kedua kurva.

0 X 2 – X2 = X

2 – X2– X = 0

Y = 2 – X2 X2 + X – 2 = 0

( X + 2 ) ( X – 1) = 0

X + 2 = 0 atau X – 1 = 0 X = – 2 X = 1

Jadi, batas integrasi untuk menghitung luas daerah yang dimaksud adalah X = – 2 sampai X = 1, sehingga :

1 1

A =  ( 2–X2 ) – X  dX =  (–X2– X + 2 ) dX –2 –2

–1 1 = ( ---- X3– ---- X2 + 2X )



1

3 2 –2

–1 1

= ----  13 – (–2)3 – ----  12– (–2) 2 = 2  1– (–2) 

3 2

= 4 ½ satuan luas

(37)

2). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabol Y2 = 4X dan garis yang persamaannya 4X – 3Y = 4

Jawab : Kedua kurva Y2 = 4X dan 4X – 3Y = 4

dipotongkan sehingga diperoleh :

Y2 – 3Y = 4

Y2 – 3Y – 4 = 0

(Y– 4) (Y+1) = 0

Y – 4 = 0 Y = 4

Y + 1 = 0 Y = –1

Untuk Y = 4 diperoleh X = 4

Y = –1 diperoleh X = ¼

Jadi titik potong kedua kurva ( 4, 4 ) dan (¼ , –1 )

Daerah yang dicari luasnya tampak seperti gambar dibawah :

Dalam hal ini luasnya dihitung dengan rumus : b

A =  { f (Y) – g (Y) } dY a

Bila ditulis dalam fungsi Y di dapat :

X 0

Y

Y2 =4X 4X –3Y=4

(38)

Y2 = 4X X = ¼ Y2 4X – 3Y = 4 X = ¾ Y +1

Jadi luas daerah tersebut :

4 3 Y2 1 4

A = ∫ ( Y + 1 – ) dY = ∫ (3Y + 4 –Y2 ) dY

_–_{1 4 4 4}_–₁

1 3 1 4

= ( Y2 + 4Y – Y3 ) ] 4 2 3 –1

1 3 1 3 1

= ( 42 + 4.4 – 43) – { (–1 )2 + 4 (–1) (–1)3 } 4 2 3 2 3

125

= - - = 5,21 satuan luas 24

Menghitung Volume Benda Putar :

Y Y Y = f ( X )

f (X )

0 a b X 0 V X

Jika suatu daerah di bawah kurva Y= f (X) antara garis X = a sampai X = b diputar mengelilingi sumbu X sejauh satu

putaran ( 360), maka terjadilah sebuah benda putar (solid of

revolution ) yang volumenya dapat dihitung dengan rumus :

satuan volume b b

(39)

Sejalan dengan itu jika daerah di bawah kurva X = f (Y) antara Y = a dan Y = b di putar mengelilingi sumbu Y sejauh satu

putaran maka volume benda putarnya :

satuan volume

Contoh :

1). Daerah yang di batasi oleh kurva Y = X2, sumbu X dan garis X = 3 di putar mengelilingi sumbu X sejauh 360  Hitunglah

volume benda putar yang terbentuk !

Jawab :

Isi ( Volume ) benda putar yang terjadi : 3 3 3

V =  Y2 dX =  (X2 )2 dX =  X4 dX 0 0 0

1 3 1

=  X5 ] =  ( 35– 05 ) 5 0 5

= 48,6  satuan volume

2). Tentukanlah volume benda putar yang terbentuk apabila daerah yang dibatasi oleh kurva Y = X3, sumbu Y dan garis Y = 3

diputar satu putaran mengelilingi sumbu Y !

Jawab: Dalam masalah ini akan lebih mudah jika digunakan

perubah integral dalam Y, sehingga volume benda

putar yang terbentuk dihitung dengan rumus :

b

V =   X2 dY a

karena Y = X3 maka X = Y 1/ 3 sehingga didapat: b

(40)

3

V =  ( Y1/3 )2 dY

0

3 3

V =  Y2/3 dY = . 3/5 . Y5/3 ]

0 0

= 3/5 .  . (3 ) 5/3

= 11,76 satuan isi

c. Rangkuman 4 :

Pengertian dan Rumus Dasar Integral Tertentu

Dimisalkan f (X) adalah suatu fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b] dan dapat terintegralkan, maka :

b disebut integral tertentu (integral Riemann)



f (X) dX

dari f (X) mulai X = a sampai X = b a

Adapun harga dari integral tersebut dapat dihitung dengan

rumus dasar : ( Jika F (X) adalah anti turunan dari f (X) )

b b



f (X) d(X) = F(X)

]

= F ( b )

–

F ( a )

a a

Luas Daerah di Bawah Kurva :

Luas daerah di bawah suatu kurva Y = f ( X ) di atas sumbu X

dari X = a sampai X = b dapat dihitung dengan rumus :

satuan luas

(41)

Luas Daerah Antara Dua Kurva :

Luas daerah antaradua kurva f (X) dan g (X) dari X = a sampai

X = b dapat ditentukan dengan rumus:

b

A =



[ f (X) – g (X) ] dX satuan luas

a

Volume Benda Putar :

Jika suatu daerah di bawah kurva Y = f (X) antara garis

X = a sampai X = b diputar mengelilingi sumbu X sejauh satu

putaran ( 360), maka terjadilah sebuah benda putar (solid of

revolution ) yang volumenya dapat dihitung dengan rumus :

satuan volume

Sejalan dengan itu jika daerah di bawah kurva X = f (Y) antara

Y = a dan Y = b di putar mengelilingi sumbu Y sejauh satu putaran

maka volume benda putarnya :

satuan volume

d. Tugas 4 :

1). Hitunglah harga integral-integral berikut ini !

3 

a).



(3X2– 2X+ 4 ) dX c).



X2 . sin X dX

2 0

–2 ½ 

b).



(X2 + 1/X3 ) dX d).



cos2 X. sin X dX

– 4 0

b b V =  {f (X )} 2 dX atau V =  Y2 dX a a

(42)

2). Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola

Y= ( X+2 ) ( X –4 ) dan sumbu X.

3). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva

Y = 3 e2X dan Y = 3e –X dan ordinat pada X = 1 dan X = 2

4). Hitunglah luas daerah yang diarsir di bawah ini

a. b. Y

Y Y = X3

Y = 2X – X2 Y = 4

O X X

5). Tentukan volume benda putar yang dibentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva Y = X, sumbu X dan garis X = 4

diputar 360o mengelilingi sumbu X.

6). Carilah volume benda yang terjadi bila bidang yang

dibatasi oleh kurva Y = X2 + 5, sumbu X dan ordinat pada

X = 1 dan X = 3 diputar satu putaran penuh mengelilingi

sumbu Y.

e. Tes formatif4 :

1). Hitunglah harga integral-integral berikut ini !

3 ½  3 sin 2X a).



( t + 2 ) –2 dt b).



dX

– 1 0 1 + cos2 X

2). Carilah luas daerah antara kurva Y= ( X+ 2 )2 dengan kurva Y = 10 –X2

(43)

3). Hitunglah besarnya isi benda yang terbentuk jika bidang yang dibatasi kurva Y = 3 cos X, sumbu X, dan ordinat pada X = 0

dan X = ¼ ฀ diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu

X.

f. Kunci Jawab Tes Formatif 4 :

1). a). 4/5 b). 2, 079

2). 21 satuan luas.

(44)

39 A. Pertanyaan

1.Tentukanlah integral-integral berikut ini ! a. Y =  (5X4 – 4X2– 3X +7+ 2 X )

b. Y =  7 ( 3X2– 9X + 2 ) ( 10 X – 15 ) dX

c. Y =  ( X3 – 1 ) .sin ( 5X – 7 ) dX

5 cos 3X

d. Y =



-dX X - 4 – sin 3X

2. Hitunglah !

3 a.  5X2 e 2X dX

1



b.



4 cos 3. sin3 d ¼ 

3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola Y = 6X – X2 dan Y = X2– 2X.

4. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

kurva Y = X + 3 , sumbu X, garis X = 2 dan garis X = 5 diputar satu

putaran mengelilingi sumbu X !

B. Kunci Jawaban

4 3 4

1. a. Y = X5– X3– X2 + 7 X + X  X + C 3 2 3

35

b. Y = ( 3X2– 9 X + 2 ) 2 + C

(45)

1 6 3 6

c. Y = { – (X3 – 1) + X } .cos (5X – 7) + ( X2 – ) cos (5X – 7) + C

5 125 25 625

5 b. Y = – ln ( 4 – sin 3X ) + C

3

2. a. 6546,48

b. –

⅓

3. 21

⅓

satuan luas

4. 129  satuan volume = 405,165 satuan volume

C. Kriteria Kelulusan

Kriteria Skor

(1 – 10) Bobot Nilai Keterangan

Kognitif ( soal nomor 1 sd. 4 ) 5

Syarat lulus nilai minimal

56

Ketelitian menulis notasi 1

Ketepatan prosedur 2

Ketepatan formula jawaban 1

Ketepatan waktu 1

(46)

41

BAB IV

PENUTUP

Demikianlah mudul MAT. TKF 201 – 03 dengan judul Integrasi

Fungsi ini telah selesai disusun dengan dilengkapi beberapa

latihan/tugas, tes formatif maupun evaluasi akhir beserta kunci

jawabannya. Dengan bantuan modul ini diharapkan para mahasiswa

dapat memantau sendiri perkembangan kompetensinya, apakah mereka

telah benar-benar memiliki kompetensi sebagaimana tercermin pada

tujuan yang diharapkan pada setiap kegiatan belajar atau belum.

Bagi para mahasiswa yang telah mencapai syarat kelulusan minimal

maka mereka dapat menghentikan kegiatan belajarnya pada modul ini

dan melanjutkan ke modul berikutnya. Sebaliknya jika belum dapat

memenuhi kelulusan minimal, maka mereka harus mengulang kembali

belajarnya terutama pada bagian materi-materi yang belum dikuasainya

( belum lulus ) dan sebaiknya mereka harus lebih sungguh-sungguh

dalam belajar dengan memanfaatkan fasilitas yang ada termasuk bantuan

dari dosen sebagai fasilitator matakuliah ini.

(47)

42

DAFTAR PUSTAKA

Frank Ayres, Jr., 1984. Diferensial dan Integral : Kalkulus. Edisi Kedua (Terjemahan). Jakarta: Erlangga.

Njoman Susilo dkk., 1988. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta : Erlangga

Spiegel, M.R. 1984. Matematika Lanjutan (Terjemahan). Jakarta: Erlangga