Persamaan Diferensial Stokastik dan Beberapa Penerapannya

Persamaan Diferensial Stokastik

dan Beberapa Penerapannya

Herry Pribawanto Suryawan

Isi Presentasi

Motivasi

Derau Putih dan Gerak Brown Persamaan Diferensial Stokastik Beberapa Penerapan

Model Pertumbuhan Populasi

Model Malthus (1798):

dN(t)

dt =rN(t) N(0) =N0>0

Tidak realistis!

Persamaan Logistik / Model Verhulst (1845):

dN(t) dt =rN(t) 1−N(t) K , N(0) =N₀>0 Penyelesaian: N(t) = N0K N₀+ (K−N₀)e−rt

Beberapa cara untuk memperbaiki model logistik:

1 Persamaan logistik yang dimodikasi: dN(t) dt =rN(t) _N(t) L −1 1− N(t) K , 0<L<K, N(0) =N₀>0

2 Laju pertumbuhan takkonstan: dN(t) dt =r(t)N(t) 1−N(t) K , N(0) =N₀>0

3 Persamaan logistik stokastik(mempertimbangkan adanya derau (noise)): dNt dt =rNt 1−Nt K +αNt·Dt N₀=Y >0

Kita tidak tahu perilaku eksak dari derauDt, hanya distribusi peluang dariDt

kurva logistik deterministik vs stokastik

deterministik:

Beberapa pertanyaan (matematis) yang muncul

Apa artinya dan formulasi matematika dari:

Kuantitas acakNt untuk setiap waktu t => peubah acak (random variable)

Keluarga kuantitas acak(Nt)_t≥0yang diindeks oleh waktut => proses stokastik (stochastic processes)

DerauDt =>derau putih Gaussian (Gaussian white noise)(turunan dari

gerak Brown) Integral stokastik

Z T 0

Nt·Dtdt

=>integral Ito atau integral Stratonovich

Persamaan diferensial stokastik

dNt dt =rNt 1−Nt K +αNt·Dt

Tonggak sejarah gerak Brown dan derau putih

1 R. Brown (1827): percobaan serbuk sari tumbuhan pada larutan 2 L. Bachelier (1900): pemodelan bursa saham Paris dengan gerak Brown 3 A. Einstein (1905): teori pertama gerak Brown terkait dengan persamaan

panas/difusi

4 N. Wiener (1923): fondasi matematika yang rigor untuk gerak Brown 5 K. Ito (1942): penemuan kalkulus stokastik (integral terhadap gerak Brown) 6 F. Black dan M. Scholes (1973): Rumus Black-Scholes untuk harga opsi

tipe Eropa dalam keuangan

7 T. Hida (1976): fondasi matematika yang rigor untuk derau putih (white

noise analysis)

8 L. Streit (1983): Pemecahan masalah integral Feynman di dalam mekanika

kuantum dengan analisis derau putih

9 M. Scholes dan R. Merton (1997): Nobel Ekonomi untuk rumus

Black-Scholes

10 W. Werner (2006): Medali Field untuk masalah self-intersection gerak

Derau Putih (White Noise)

Derau: takperiodik, kompleks, tidak menyenangkan, suara atau sinyal yang rusak (corrupted)

Derau putih: derau akustik atau elektrik yang memuat semua frekuensi yang dapat didengar dengan intensitas yang sama

Putih berarti derau tersebut tersusun dari semua frekuensi pada spektrum yang dapat didengar, terdistribusi secara acak. Hal ini analog dengan cahaya putih yang tersusun dari semua warna pada spektrum visual.

Di dalam penerapan, derau putih digunakan sebagai sebuah idealisasi matematis dari fenomena-fenomena yang memuat uktuasi yang mendadak dan sangat besar.

Derau putih Gaussian (Gaussian white noise): terkait dengan teori bahwa derau putih adalah turunan (terhadap waktu) dari gerak Brown.

Gerak Brown:

Gerak Brown adalah proses stokastikB = (Bt)t≥0yang terdenisi pada sebuah

ruang peluang(Ω,F,P)sehingga: 1 B₀=0 _P-hampir pasti

2 _B memiliki kenaikan yang bebas (independent increments) 3 _{Bt−Bs∼ N(}0_,t−s)(normally distributed)

4 _P-hampir pastit7→Bt(ω)kontinu

Partikel Brownian tidak memiliki laju:

Bt+ε−Bt ε ∼ N(0, 1 ε) =⇒ dBt dt =ε→lim0 Bt+ε−Bt ε tidak ada! Fakta:

Dengan peluang satu, trayektori (lintasan sampel) gerak Brownian bersifat kontinu dimana-mana tapi tidak terdiferensial dimana-mana. =>integral Riemann-Stieltjes tidak bisa digunakan

Gerak Brown bersifat serupa diri (self-similar) =>terkait dengan fraktal

Proses stationer lemah adalah proses stokastik(Xt)t≥0dengan sifat:

1 _E(Xt) =m

2 _{E((Xt+u−m)(Xu−m)) =F(t)}

F positif denit danF(0) =E(Xu−m)2=σ2. Dengan asumsiF kontinu,

teorema Bochner memberikan

F(t) = Z

R

eitxf(x)dx.

Derau putih adalah sebagai proses Gaussian stationer lemah sehingga fungsi kepadatan spektralnyaf konstan. Akibatnya,σ2=∞.

Derau putih adalah proses GaussianDt yang saling bebas pada waktu yang

berbeda dan memiliki distribusi identik dengan rata-rata 0 dan variansi∞, dalam

arti:

E(DtDs) = Z

R

ei(t−s)xdx=δ(t−s)

(secara matematika, kedua denisi di atas belum bisa diterima 100 persen) Teori derau putih yang rigor secara matematika adalah melalui teori distribusi (generalized function) stokastik pada sebuah ruang vektor topologi berdimensi takhingga. (T. Hida,1976).

Contoh

Persamaan Langevin

dXt =−bXtdt+a dBt, X₀=x₀

Solusi PDS ini adalah proses Ornstein-Uhlenbeck

Xt =e−btx0+a Z t

0

e−b(t−u)dBu

Persamaan Logistik Stokastik

dNt =rNt 1−Nt K dt+αNtdBt, N₀=Y >0

Solusi PDS ini adalah proses Logistik

Nt = e(rK−1₂α2)t+αBt Y−1_+rRt 0e(rK− 1 2α2)s+αBs_ds

Secara umum: Persamaan diferensial stokastik

dXt =f(t,Xt)dt+σ(t,Xt)Dtdt, X0=Y

dituliskan sebagai

dXt =f(t,Xt)dt+σ(t,Xt)dBt, X0=Y

dan diinterpretasikan (dimaknai secara matematis) sebagai persamaan integral stokastik Xt=Y + Z t 0 f(s,Xs)ds | {z } integral deterministik + Z t 0 σ(s,Xs)dBs | {z } integral stokastik

integral deterministik : integral Riemann, integral Lebesgue, integral Henstock, dsb

Teorema Eksistensi-Ketunggalan Solusi dalam kalkulus Ito

Theorem

Misalkanf(t,x)danσ(t,x)adalah fungsi-fungsi terukur pada[0,T]×_Ryang

memenuhi kondisi Lipschitz dan kondisi membesar secara linear dalam peubahx,

danY adalah peubah acak yang teradaptasi terhadapF₀dengan E(Y2)<∞.

Maka persamaan integral

Xt =Y + Z t 0 f(s,Xs)ds+ Z t 0 σ(s,Xs)dBs

mempunyai sebuah solusi kontinu yang tunggal. Lebih lanjut solusi ini adalah sebuah proses Markov.

Alat penting lainnya: Rumus Ito

Diberikan sebuah fungsi kontinuf(t,x)dengan turunan-turunan parsial yang

kontinu ∂f ∂t, ∂f ∂x, dan ∂2f ∂x2, maka f(t,Bt) =f(0,B₀) + Z t 0 ∂f ∂x(s,Bs)dBs+ Z t 0 _∂f ∂t(s,Bs) + 1 2 ∂2f ∂x2(s,Bs) ds

Penyaringan Stokastik (stochastic ltering)

Keadaan sistem (proses input)Xt pada setiap waktu t: dXt =α(t)dBt+β(t)Xtdt,X0 pada saatt=0,

α(t), β(t)fungsi deterministik,Bt gerak Brown, distribusi awalX₀saling

bebas denganBt

Observasi (proses output)Zt dari sistem pada waktu t: dZt=f(t)dWt+g(t)Xtdt, Z0=0,

f(t),g(t)fungsi deterministik,Wt gerak Brown yang saling bebas denganBt

danX₀

Masalah penyaringan: berdasarkan nilai-nilai yang teramatiZs, 0≤s ≤t,

bagaimana menentukan estimator terbaik_Xtˆ _{dari keadaanXt dari sistem}

Penyelesaian dengan menggunakan metode kesalahan rata-rata kuadrat terkecil (least mean square error method):

Dicari estimator_Xtˆ _{yang meminimalkan kesalahan rata-rata kuadrat:} Rt:=E Xt−Xtˆ2 ≤E (Xt−Y)2

untuk setiap peubah acakY ∈L2(P)yang terukur terhadap aljabar-σ

FZ

t :=σ{Zs :s≤t}.

Estimator_Xˆ_{t adalah proyeksi ortogonal dari Xt ke ruang HilbertL}2_(FZ t )dan berlaku ˆ Xt =E Xt F_tZ

Jadi, ekspektasi bersyarat adalah estimator terbaik untuk keadaanXt dari

sistem berdasarkan observasiZs, 0≤s≤t.

Bagaimana menentukanE XtFtZ

Theorem (Kalman-Bucy)

Jika

1 keadaan_Xt dari sebuah sistem diberikan oleh_{dXt =α(t)dBt+β(t)Xtdt}, 2 distribusi initialX₀ saling bebas dengan gerak BrownBt dan memiliki

rata-rataµ₀dan variansiσ2₀

3 Observasi_Zt dari sistem diberikan oleh_{dZt=f(t)dWt+g(t)Xtdt},_Z0=0,

dengan gerak BrownWt saling bebas denganBt danX₀,

maka ekspektasi bersyarat_Xtˆ _{=E Xt} F_tZ

_{adalah penyelesaian dari persamaan}

diferensial stokastik dXtˆ = g(t)Rt f(t)2 dZt+ β(t)−g(t)2Rt f(t)2 ˆ Xtdt, Xˆ₀=µ₀,

denganRt adalah penyelesaian persamaan Riccati dRt dt =α(t) 2_+2β(t)Rt−g(t)2 f(t)2R 2 t, R0=σ20. Lebih lanjut,Rt =E (Xt−Xtˆ )2.

Penerapan lainnya dari Gerak Brown, derau putih dan PD

stokastik

Matematika keuangan (dinamika harga saham/aset berharga/nilai kurs valuta asing, dsb)

Rangkaian listrik dengan derau

Pergerakan acak dari (mikro)organisme

Masalah turbulensi dalam dinamika uida (persamaan Navier-Stokes stokastik)

Pemodelan polimer pada sika

Integral Feynman dalam mekanika kuantum Transformasi Fourier dimensi takhingga

Masalah Dirichlet dalam persamaan diferensial parsial dsb

Daftar Pustaka

B. Oksendal. Stochastic Dierential Equations, 6th ed. , Springer, 2005 I. Karatzas and S. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed, Springer, 1999

J.M. Steele. Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer, 2001 P. Kall and J. Mayer. Stochastic Linear Programming, 2nd ed. Springer, 2011 J. Xiong. An Introduction to Stochastic Filtering Theory, OUP, 2008

M. Bachar, et al. Stochastic Biomathematical Models, Springer, 2013 P. Kloeden and E. Platen. Numerical Solution of SDEs, Springer, 1992 R. Khasminskii. Stochastic Stability of Dierential Equations, 2nd ed. Springer, 2012

C. Prevot and M. Röckner. A Concise Course on Stochastic Partial Dierential Equations, Springer, 2007

T. Hida, H-H. Kuo, J. Pottho, and L. Streit. White Noise. An Innite Dimensional Calculus, Kluwer, 1993