Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Kuadratik suatu Proses Poisson Nonhomogen

(1)

PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI

INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI

TREN KUADRATIK SUATU PROSES POISSON

NON-HOMOGEN

RAMDANI, P.

1)

_{, I.W. MANGKU}

2)

_{, DAN R. BUDIARTI}

2)

1)_{Mahasiswa Program Studi Matematika} Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Jl Meranti, Kampus IPB Darmaga, Bogor 16680, Indonesia

2)_{Departemen Matematika}

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

Jl Meranti, Kampus IPB Darmaga, Bogor 16680, Indonesia

ABSTRAK. Pada tulisan ini dibahas pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren kuadratik suatu proses Poisson non-homogen. Diperhatikan keadaan terburuk, hanya terdapat realisasi tunggal dari proses Poisson dengan fungsi intensitas yang terdiri atas komponen periodik dikalikan dengan komponen tren kuadratik yang diamati

pada interval [0,n]. Diasumsikan bahwa periode dari komponen

periodik diketahui. Penduga komponen periodik dari fungsi

intensitas tersebut telah disusun dan Mean Square Error (MSE)

penduga telah dibuktikan konvergen menuju nol untuk no f.

Selain itu, juga telah diformulasikan aproksimasi asimtotik bagi

bias, ragam, dan Mean Square Error (MSE) dari penduga yang

dikaji. Ditentukan juga bandwidth optimal asimtotik bagi penduga

tersebut.

Kata kunci: proses Poisson periodik, fungsi intensitas, fungsi

periodik, tren kuadratik, kekonsistenan, Mean Square Error

(MSE), aproksimasi asimtotik, bandwidth

1. PENDAHULUAN

Terdapat banyak fenomena yang terjadi dalam kehidupan sehari±hari yang dapat dimodelkan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik mempunyai peranan yang cukup penting dalam kehidupan sehari±hari. Fenomena sederhana misalnya, proses kedatangan pelanggan ke pusat servis (bank, kantor pos, supermarket, dan sebagainya)

(2)

20 RAMDANI, P. I W. MANGKU DAN R. BUDIARTI

dan proses kedatangan pengguna line telepon dapat dimodelkan dengan proses stokastik.

Pada tulisan ini pembahasan hanya dibatasi pada proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik.

Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses ini antara lain dapat digunakan untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan ke pusat servis dengan periode satu hari. Pada proses kedatangan tersebut, fungsi intensitas lokal O s menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu s.

Salah satu contoh penerapan proses Poisson periodik adalah proses tersebut dapat digunakan untuk memprediksi proses kedatangan pelanggan untuk hari berikutnya. Namun, model periodik untuk jangka panjang pada banyak kasus tidak relevan sehingga perlu mengakomodasi adanya suatu tren. Pada tulisan ini pembahasan hanya dibatasi pada fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik kali tren kuadratik. Sehingga tujuan tulisan ini adalah menentukan perumusan penduga penduga komponen periodik fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik kali tren kuadratik suatu proses Poisson non-homogen; membuktikan kekonsistenan penduga yang dikaji, menentukan aproksimasi asimtotik bagi bias penduga, bagi ragam penduga, dan bagi MSE penduga; dan menentukan bandwitdth optimal dari penduga.

2. HASIL DAN PEMBAHASAN

2.1. Perumusan Masalah: Misalkan N adalah suatu proses Poisson non-homogen pada interval

>

0,f denJDQ IXQJVL LQWHQVLWDV \DQJ WLGDN GLNHWDKXL )XQJVL LQL diasumsikan terintegralkan lokal dan merupakan hasil kali dari dua komponen, yaitu komponen periodik atau komponen siklik dengan periode W !0 yang dikalikan dengan komponen tren kuadratik, yang juga tidak diketahui. Dengan kata lain, untuk sebarang titik s•

>

0,f NLWD GDSDW PHQXOLVNDQ IXQJVL LQWHQVLWDV VHEDJDL EHULNXW

* 2 c s s as O O (1) dengan * c s

O adalaK IXQJVL SHULRGLN GHQJDQ SHULRGH 2 GDQ a merupakan koefisien dari tren kuadratik. Persamaan (1) dapat juga ditulis menjadi

* 2 c s a s s O O (2) dengan *_{( )} c

aO s adalah fungsi periodik. Jika dinotasikan * c s a c s

O O , maka persamaan (2) dapat ditulis menjadi

2_. c

s s s

O O

(3) Karena Oc adalah fungsi periodik, maka persamaan berikut

c s c s k

O O W (4) berlaku untuk setiap s•

>

0,f dan k•Z, dengan Z adalah himpunan bilangan bulat. Karena s diketahui, maka masalah pendugaan fungsi intensitas O s dapat disederhanakan menjadi masalah pendugaan komponen periodik Oc s . Karena Oc s

DGDODK IXQJVL SHULRGLN GHQJDQ SHULRGH2 _{PDND XQWXN PHQGXJD}

c s

O pada s•

>

0,f

(3)

Pada tulisan ini dipelajari penyusunan penduga konsisten bagi O_c s untuk s•

>

0,W , dengan hanya menggunakan realisasi tunggal N Z dari suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas O s seperti pada persamaan (3), yang diamati pada interval

> @

0,n .

2.2. Perumusan Penduga: Penduga bagi Oc s pada s•

>

0,W dapat dirumuskan

sebagai berikut

>

@ > @

, 2 0 , 0, 1 Ö 2 ( ) n n c n k n N s k h s k h n s n s k h W W W O W f ˆ

¦

(5) dengan N

> @

0,n menyatakan banyaknya kejadian pada interval

> @

0,n dan hn adalah

barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu

0

n

h p (6) untuk no f. Pada penduga di atas, hn disebut bandwidth.

Untuk menyusun penduga diperlukan data N

> @

0,n , yaitu data realisasi proses Poisson pada interval

> @

0,n , dengan n bilangan real dan n harus relatif besar GLEDQGLQJNDQ SHULRGH 2 _{)XQJVL LQWHQVLWDV} O s dapat didekati dengan rata-rata banyaknya kejadian di sekitar s atau pada interval

>

s h s h_n, _n

@

. Oleh karena itu, penduga bagi O s , dinotasikan dengan OÖ s , diperoleh dengan menentukan rata-rata banyaknya kejadian di sekitar s. Secara matematis dapat ditulis menjadi

>

,

@

Ö 2 n n n N s h s h s h O . (7)

Berdasarkan sifat keperiodikan O_c pada persamaan (4), maka didapatkan penduga NRPSRQHQ SHULRGLN IXQJVL LQWHQVLWDV GL VHNLWDU s kW, yaitu OÖ_c s yang menyatakan rata-rata banyaknya kejadian di sekitar s kW dibagi s kW 2 . Secara matematis dapat ditulis menjadi

>

@

2 , Ö 2 n n c n N s k h s k h s s k h W W O W . (8)

Data yang diamati pada interval

> @

0,n . Dinotasikan n_W n

W

| menyatakan banyaknya bilangan bulat k sehingga s kW•

> @

0,n . Sehingga didapatkan suatu penduga bagi Oc

untuk s kW•

> @

0,n , yaitu

>

@ > @

, 2 0 , 0, 1 1 Ö _. 2 n n c n n k N s k h s k h n s n_W _{s k} h W W O W f _ˆ

¦

(9) Dengan mengganti nW dengan

n

W , maka diperoleh penduga komponen periodik Oc s ,

yaitu

>

@ > @

, 2 0 , 0, 1 Ö 2 ( ) n n c n k n N s k h s k h n s n s k h W W W O W f ˆ

¦

(4)

2.3. Kekonvergenan MSE_Penduga

Teorema 1: (Kekonvergenan MSE_Penduga)

0LVDONDQ IXQJVL LQWHQVLWDV PHPHQXKL SHUVDPDDQ GDQ WHULQWHJUDONDQ Ookal. Jika asumsi (6) dan 2

n

n h o f untuk no f berlaku, maka

,

Ö ₀

c n MSE O s o

(10) untuk no f, asalkan s adalah titik Lebesgue bagi O_c.

Bukti: Berdasarkan Definisi MSE , teorema di atas merupakan akibat dari dua lema berikut, yaitu Lema 4 tentang ketakbiasan asimtotik dan Lema 5 tentang kekonvergenan ragam.

Lema 4: (Ketakbiasan Asimtotik)

0LVDONDQ IXQJVL LQWHQVLWDV PHPHQXKL SHUVDPDDQ GDQ WHULQWHJUDONDQ ORNDO -LND asumsi (6) dipenuhi, maka

, Ö c n s c s O oO E (11) untuk no f, asalkan s adalah titik Lebesgue bagi O_c. Dengan kata lain, OÖc n, s

adalah penduga tak bias asimtotik bagi O_c s .

Bukti: Untuk membuktikan (11) akan diperlihatkan bahwa

,

Ö

lim _{c n} _c

nofE O s O s . (12)

Untuk menyelesaikan persamaan (12) dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut

>

@ > @

, 2 0 , 0, 1 Ö 2 ( ) n n c n k n N s k h s k h n s n s k h W W W O W f ˆ

¦

E E (13) Karena 1

2h_n tidak mengandung indeks k, maka persamaan (13) dapat ditulis menjadi

>

@ > @

, 2 0 1 Ö _, _0, _. 2 ( ) c n n n k n s N s k h s k h n nh s k W O W W W f ˆ

¦

E E

Kemudian komponen EN

>

s kW h s_n, kW h_n

O O

untuk no f. Dengan demikian diperoleh bahwa suku pertama ruas kanan persamaan (22) adalah 1 1 2 n n h c c n h y s dy s o h

³

O O

untuk no f. Sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (22) adalah

1 1 2 1 1 1 1 n n h c n h c O y s dy n h O s o n O n o O O § § ·· ¨ ¨ ¸_{© ¹}¸ © ¹ § · ¨ ¸_{© ¹} § · ¨ ¸_{© ¹}

³

untuk no f. Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh dari suku pertama dan kedua dari persamaan (22), maka diperoleh

,

Ö ₁

c n s c s o

O O

(6)

untuk no f. Dengan demikian Lema 4 terbukti.

Lema 5: (Kekonvergenan Ragam)

E (28)

Perhatikan persamaan (17) menyatakan bahwa

>

@ > @

> @

2 , 0, 0, . n n n n h c h N s k h s k h n y s y s k I y s k n dy W W O W W ˆ •

³

E

Dengan demikian persamaan (28) dapat ditulis menjadi

> @

2 2 , 2 2 4 0 1 Ö _0, _. 4 ( ) n n h c n c k n h Var s y s y s k I y s k n dy n h s k W O O W W W f •

¦

³

(29)

Sekarang kita tulis persamaan (29) menjadi

> @

2 2 , 2 4 0 1 Ö _0, _. 2 2 ( ) n n h c n c k n n h y s k Var s y s I y s k n dy h n h s k W W O O W W f § · • ¨ ¸ © ¹

³

¦

(30) Perhatikan bahwa

> @

2 ₂ 4 2 0 0, 1 ( ) 6 k y s k I y s k n o s k W _W S W W f •

¦

(31)

untuk no f. Maka persamaan (30) menjadi

dan dikalikan

1

(7)

1 1 2 2 n n n n h h c n h n h s ds K ds h

³

O d h

³

. (35) Ruas kanan dari pertidaksamaan (35) adalah

1 2 n n h n h K ds K h

n

n h o f, untuk no f, maka ruas kanan persamaan (38) konvergen ke nol atau sama dengan o 1 untuk no f. Dengan menggabungkan hasil dari persamaan (37) dan (38) diperoleh

,

Ö ₀

c n

Var O s o

untuk no f. Dengan demikian Lema 5 terbukti. Dari Lema 4 telah diperoleh bahwa Ö_,

c n s c s

O oO

E , yang berarti untuk no f

maka Ö_, ₀

c n s c s

O O o

E . Dari Lema 5 telah diperoleh bahwa Var OÖc n, s o0

untuk no f. Akibatnya dengan menggunakan definisi MSE (Definisi 22) akan diperoleh

2

, , ,

Ö Ö Ö ₀

c n c n c n

MSE O s Var O s Bias O s o

untuk no f. Dengan demikian Teorema 1 terbukti.

2.4. Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, dan MSE_Penduga

Teorema 2: (Aproksimasi Asimtotik bagi Bias)

0LVDONDQ IXQJVL LQWHQVLWDV PHPHQXKL SHUVDPDDQ GDQ WHULQWHJUDONDQ ORNDO -LND asumsi (6) dipenuhi , 2

n

nh o f, dan O_c memiliki turunan kedua '' c O berhingga pada s, maka '' 2 2 , Ö 6 c c n c n n s s s O h o h O O E (39) untuk no f.

Bukti: Berdasarkan bukti Lema 4 mengenai ketakbiasan asimtotik, maka nilai harapan dari OÖc n, s dapat dituliskan seperti pada persamaan (21). Karena Oc

memiliki turunan kedua pada s maka Oc kontinu pada s, mengakibatkan Oc memiliki

(8)

26 RAMDANI, P. I W. MANGKU DAN R. BUDIARTI 2 1 ! k n k c c c k s x s x s o x s k O O O

¦

untuk xos. Bila diuraikan menjadi

' '' 2 2 1! 2! c c c c s s x s O x s O x s o x s O O untuk xos.

Misalkan x y s, maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi

' '' 2 2 1! 2! c c c c s s y s s O y O y o y O O

untuk yo0. Sehingga kita dapat menuliskan

1 2 n n h c n h y s dy h

³

O ' '' 2 2 '' ' 2 2 1 2 1! 2! 1 1 1 1 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n h c c c n h h h h h c c c n h n h n h n h s s s y y o y dy h s s dy s y dy y dy o y dy h h h h O O O O O O § ¨¨ ©

³

(40) untuk no f. Suku pertama dari ruas kanan pada persamaan (40) dapat diuraikan menjadi 1 . 2 n n h c c n h s dy s h

³

O O (41) Suku kedua dari ruas kanan pada persamaan (40) dapat diuraikan menjadi

' ' 2 ' 2 2 1 1 2 2 2 1 = 2 2 =0. n n n n h h c c h n h n c n n n s s y dy y h h s h h h O O O § _º · ¨ _» ¸ ¨ _¼ ¸ © ¹ § · ¨ ¸ © ¹

³

(42)

Kemudian suku ketiga dari ruas kanan pada persamaan (40) dapat diuraikan menjadi

'' '' 2 3 '' 3 3 1 1 2 2 4 3 1 = 4 3 n n n n h h c c n h n h n c n n n s s y dy h h h s h h h O O O § _º · ¨ _» ¸ ¨ _¼ ¸ © ¹ § · ¨ ¸ © ¹

³

Suku terakhir dari ruas kanan pada persamaan (40) dapat diuraikan menjadi

2 2 1 2 n n h n n h o y dy o h h

³

(44) untuk no f. Kemudian hasil uraian dari keempat suku pada ruas kanan pada persamaan (40) digabungkan, maka persamaan (40) dapat ditulis menjadi

'' 2 2 1 2 6 n n h c c c n n n h s y s dy s h o h h O O O

³

untuk no f.

(9)

'' '' 2 2 1 2 2 1 1 6 6 c c c n n c n n s s s h o h O s h o h O n n O O O O § ·§ § ·· § · § · ¨ ¸¨ ¨ ¸¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸_© _{© ¹}_¹ ¨ ¸ _{© ¹} © ¹ © ¹ (45)

untuk no f. Berdasarkan asumsi nh_n2o f, maka suku kedua dari ruas kanan persamaan (45), yaitu O 1 n § · ¨ ¸ © ¹ sama dengan 2 n

o h , untuk no f. Sehingga persamaan (45) dapat ditulis menjadi

'' 2 2 , Ö 6 c c n c n n s s s O h o h O O E

Teorema 3: (Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam)

0LVDONDQ IXQJVL LQWHQVLWDV PHPHQXKL SHUVDPDDQ GDQ WHULQWHJUDONDQ ORNDO -LND asumsi (6) dipenuhi, maka

untuk no f dan asalkan s adalah titik Lebesgue bagi O_c.

Bukti: Berdasarkan bukti Lema 5 mengenai kekonvergenan ragam, maka ragam dari

, Ö

c n s

O dapat ditulis seperti pada persamaan (33). Pada bukti Lema 4 telah ditunjukkan bahwa 1 1 2 n n h c c n h y s dy s o h

³

O O , jika no f.

Kemudian suku kedua ruas kanan dari persamaan (33) sama dengan persamaan (38) dan konvergen menuju nol. Dengan demikian persamaan (33) dapat ditulis menjadi

2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 Ö ₁ 12 1 1 = 12 1 = , 12 c n c n n c n n n c n n Var s s o o n h n h s o o n h n h n h s o n h n h S O O S O S O § · ¨ ¸ © ¹ § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ § · ¨ ¸ © ¹

Teorema 4: (Aproksimasi Asimtotik bagi MSE₎

0LVDONDQ IXQJVL LQWHQVLWDV PHPHQXKL SHUVDPDDQ GDQ WHULQWHJUDONDQ ORNDO -LND asumsi (6) dipenuhi dan O_c memiliki turunan kedua ''

c

O berhingga pada s, maka

Bukti: Berdasarkan definisi MSE maka

2

, , ,

Ö Ö Ö

c n c n c n

MSE O s Bias O s Var O s (48) dengan Bias OÖc n, s E OÖc n, s Oc s . Dengan menggunakan Teorema 2 dan

Teorema 3 diperoleh '' 2 2 , Ö 6 c c n n n s Bias O s O h o h dan

(10)

Sehingga ruas kanan persamaan (48) dapat ditulis menjadi

2 '' 2 2 2 2 2 2 '' '' 2 4 2 2 4 2 2 1 6 12 1 36 3 12 c c n n n n c c c n n n n n n s s h o h o n h n h s s s h h o h o h o n h n h O S O O O S O § · § · ¨_¨ ¸_¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ § · ¨ ¸ © ¹ (49)

untuk no f. Karena Oc memiliki turunan kedua '' c

O berhingga pada s, maka

'' 1 3 c s O O

, akibatnya suku kedua pada ruas kanan persamaan (49) bernilai 4 n

o h untuk no f, sehingga diperoleh persamaan (47). Dengan demikian Teorema 4 terbukti.

2.5. Penentuan Bandwidth_{Optimal Asimtotik:}_{Ukuran terbaik dari suatu penduga}

relatif terhadap kesalahannya adalah penduga dengan MSE yang bernilai minimum. Misalkan M h_n yang merupakan fungsi dari h_n, menyatakan suku utama dari

, Ö c n MSE O s , yaitu 2 '' 2 4 2 . 36 12 c c n n n s s M h h n h O S O

Dapat diperoleh nilai h_n yang meminimumkan M h_n untuk n tetap, dengan membuat turunan pertama M h_n sama dengan nol, sehingga diperoleh

' 2 '' 2 3 2 2 0 0 9 12 n c c n n M h s s h n h O S O œ 2 '' 2 3 2 2 2 '' 2 5 2 2 5 2 2 '' 2 5 ₂ 2 '' 2 2 5 5 _'' 2 9 12 9 12 9 12 9 12 9 12 c c n n c c n c n c c n c c n c s s h n h s s h n s h n s s h n s s h n s O S O O S O S O O S O O S O O œ œ œ œ œ

Selanjutnya diperiksa apakah hn yang diperoleh meminimumkan M hn , dengan

memeriksa turunan kedua dari M h_n , yaitu

2 '' 2 '' 2 2 3 . 3 6 c c n n n s s M h h n h O S O

(11)

Telah kita ketahui bahwa nilai S !0, O_c s !0, '' 2 0 c s O ! , 2 0 n ! , dan bandwidth

yang bernilai positif, sehingga

''

0

n

M h ! .

Dengan demikian hn yang diperoleh meminimumkan M hn . Sehingga nilai optimal

bagi bandwidth adalah

2 2 5 5 2 '' 9 . 12 c n c s h n s S O O

Bandwidth optimal yang diperoleh di atas bersifat asimtotik karena kita tidak mengetahui nilai O_c'' s , sehingga konstanta

2 5 ₂ '' 9 12 c c s s S O O

juga tidak diketahui.

3. KESIMPULAN

Karena s diketahui, maka masalah pendugaan fungsi intensitas O s untuk

>

0,

s• f dapat disederhanakan menjadi masalah pendugaan komponen periodik

c s

O untuk s•

>

0,W . Penduga bagi O_c s di titik s•

>

0,W adalah

>

@ > @

, 2 0 1 Ö ( ) , 0, . 2 c n k n n n s n s k N s k h s k h n h W O W W W f ˆ

¦

Dari hasil kajian yang dilakukan dapat disimpulkan bahwa:

(i) OÖc n, s adalah penduga tak bias asimtotik bagi Oc s dan Var OÖc n, s o0 untuk no f, sehingga diperoleh MSE OÖc n, s o0untuk no f.

(ii)Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga adalah

'' 2 2 , Ö 6 c c n c n n s s s O h o h O O E untuk no f.

(iii)Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga adalah

(iv)Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga adalah

(v)Bandwidth optimal asimtotik yang meminimumkan aproksimasi asimtotik dari

MSE penduga adalah

2 2 5 5 2 '' 9 . 12 c n c s h n s S O O

(12)

DAFTAR PUSTAKA

[1] Browder, A. 1996. Mathematical Analysis: An Introduction. Springer. New York.

[2] Cressie, N. A. C. 1993. Statistic for Spatial Data. Revised Edition. Wiley. New York.

[3] Dudley, R. M. 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. Califronia.

[4] Grimmet, G. R. and D. R. Stirzaker. 1992. Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford.

[5] Hogg, R.V., A.T. Craig, J.W. McKean. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.

Ed. ke-6. Prentice Hall, Englewood Cliffs. New Jersey.

[6] Mangku, I. W. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process (Ph.D.Thesis). University of Amsterdam. Amsterdam.

[7] Purcell, E. J. and D. Verberg. 1998. Kalkulus dan Geometri Analisis. Jilid 2. Ed. ke-5. Erlangga, Jakarta.