7 BAB II
KAJIAN PUSTAKA
Pada bab ini dibahas mengenai materi dasar yang digunakan untuk bab selanjutnya yaitu variabel random, varians dan kovarians, distribusi normal, analisis multivariat, turunan parsial, integral riemann, metode simpleks, investasi, portofolio, saham, Capital Assets Pricing Model, model Black-Litterman, distribusi kerugian, value at risk, ukuran risiko koheren dan package Rglpk pada
software R Studio. A. Variabel Random
Dalam pembahasan mengenai pengukuran risiko dengan menggunakan CVaR, variabel random digunakan untuk mendefinisikan kerugian (loss), karena kerugian merupakan suatu variabel random.
1. Definisi Variabel Random
Definisi 2.1 (Bain & Engelhardt, 1992, hal. 53). Variabel random X adalah suatu fungsi yang terdapat pada ruang sampel S, yang menghubungkan setiap anggota pada ruang sampel S dengan suatu bilangan real. Variabel random X dapat dinyatakan dengan
( ) , dengan .
Variabel random dinotasikan dengan huruf kapital misalnya . Sedangkan untuk nilai yang mungkin dari setiap hasil observasi pada ruang sampel dinotasikan dengan huruf kecil misalnya dan .
Contoh 2.1.
Tiga mobil dipilih secara acak dan setiap kategori memiliki mesin disel (D) atau tidak memiliki mesin disel (F). jika X (variabel random) = jumlah mobil dengan mesin disel, maka hasil S yang diperoleh yaitu:
S = { (D,D,D), (D,D,F), (D,F,F), (F,F,F), (D,F,D), (F,F,D), (F,D,F), (F,D,D) } sehingga, variabel random X = 3, 2, 1, 0, 2, 1, 1, 2.
8 2. Distribusi Probabilitas
Definisi 2.2 (Bain & Engelhardt, 1992, hal. 56). Suatu variabel random X dikatakan variabel random diskrit jika himpunan nilai yang mungkin muncul dari X merupakan himpunan terhitung. Jika X merupakan variabel random diskrit, fungsi peluang variabel random diskrit didefiniskan sebagai berukut:
( ) , -
Distribusi probabilitas dari variabel X merupakan himpunan semua pasangan ( ( ( )) ( ) adalah fungsi untuk menujukkan probabilitas dari masig-masing nilai X yang memungkinkan.
Misal X suatu variabel random diskrit memiliki fungsi densitas probabilitas (fdp)
variabel random X jika memenuhi syarat berikut.
1. ( ) (2.1)
2. ∑ ( ) (2.2)
3. ( ) , - (2.3)
Misal X suatu variabel kontinu memiliki fungsi densitas probabilitas (fdp)
variabel random X jika memenuhi syarat berikut.
1. ( ) (2.4)
2. ∫ ( ) (2.5)
3. , - ∫ ( ) (2.6)
Distribusi probabilitas variabel random X dapat dinyatakan dengan fungsi kumulatifnya. Fungsi distribusi kumulatif (fdk) yang menyatakan probabilitas suatu variabel random bernilai real. Misal, X merupakan suatu variabel random, maka fungsi distribusi kumulatif untuk semua nilai X yaitu:
9
( ) menyatakan suatu probabilitas variabel random X yang kurang dari atau sama dengan x.
Untuk X suatu variabel random diskrit, fungsi distribusi kumulatif X yaitu: ( ) ( ) ∑ ( )
untuk X suatu variabel random kontinu, fungsi distribusi kumulatif X yaitu:
( ) ( ) ∫ ( )
Fungsi densitas probabilitas dari variabel random kontinu dapat dihitung dengan menggunakan fungsi distribusi kumulatif dari variabel random X yaitu F(x), sehingga diperoleh
( )
( )
Fungsi distribusi kumulatif memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
a. Jika maka ( ) ( ) sehingga ( ) bersifat naik (increasing).
b. Kontinu ke kanan, yaitu ( ) ( ) untuk setiap x R.
( ) adalah limit kanan dari ( ) dengan ( ) ( ).
c. F mempunyai limit kiri ( ) ( ) untuk setiap x R, dengan ( ) ( ).
d. ( ) e. ( )
10 3. Distribusi Bersama
Definisi 2.3 (Bain & Engelhardt, 1992, hal. 137). Fungsi densitas probabilitas bersama dari suatu variabel random X diskrit berdimensi dengan ( ) didefinisikan sebagai:
( ) ,
-untuk setiap nilai X yang mungkin, ( )
Definisi 2.4 (Bain & Engelhardt, 1992, hal. 144). Suatu variabel random X berdimensi , ( ) dikatakan kontinu jika fungsi densitas probabilitas sama dengan ( ) ( ), sehingga fungsi distribusi kumulatif X bersamanya dapat didefinisikan sebagai berikut:
( ) ∫
∫ ( )
untuk setiap ( ).
Jika X adalah variabel random kontinu berdimensi k, fungsi densitas probabilitas bersamanya dapat diperoleh dari fungsi distribusi kumulatif, sehingga diperoleh:
( )
( ) Contoh 2.2.
Misal adalah unsur pada percobaan pertama, adalah unsur pada percobaan kedua. Diasumsikan bahwa fungsi densitas probabilitas bersamanya adalah ( ) ; dan 0 untuk x yang lainnya. Fungsi distribusi kumulatif bersamanya yaitu:
( ) ∫ ∫ ( ) ∫ ∫
Jadi fungsi distribusi kumulatif bersamanya adalah untuk .
11 4. Nilai Harapan
Definisi 2.5 (Bain & Engelhardt, 1992, hal. 61). Jika X adalah variabel random diskrit dengan fungsi densitas probabilitas ( ), maka nilai harapan dari X didefinisikan sebagai:
( ) ∑ ( )
Definisi 2.6 (Bain & Engelhardt, 1992, hal. 67). Jika variabel random X kontinu dengan fungsi densitas probabilitas ( ), maka nilai harapan dari X didefinisikan sebagai:
( ) ∫ ( )
Sifat-sifat nilai harapan yaitu: 1. ( ) ( ) ( )
2. ( ) ( ) dan adalah konstanta 3. ( ) ( ) ( ) jika dan independen Contoh 2.3.
Misalkan X adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas probabilitas ( ) untuk dan 0 untuk x yang lain,
a. Tunjukkan bahwa fungsi tersebut merupakan fungsi densitas probabilitas. b. Hitunglah nilai harapandari X.
Penyelesaian:
a. Menggunakan Persaman 2.5 yaitu:
∫ ( ) sehingga ∫ 0 1 b. Nilai harapan dari X adalah
( ) ∫ ( )
12 5. Ekspektasi Bersyarat
Jika T adalah himpunan bilangan indeks pada variabel random yaitu * +, maka ekspektasi bersyarat X dengan syarat * + didefinisikan sebagai berikut. ( | ) ∑ ( ) { ∑ [∫ ( ) ( ) ] ∑ [∑ ( ) ( ) ] Keterangan:
( ) = ekspektasi bersyarat X dengan syarat . Contoh 2.4.
Misalkan X adalah variabel random diskrit dengan fungsi densitas probabilitas ( )
( ) untuk dan 0 untuk yang lain. Tentukan nilai harapan dengan syarat .
Penyelesaian: ( | ) ∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi nilai harapan X dengan syarat adalah
13 6. Persentil
Definisi 2.7 (Bain & Engelhardt, 1992, hal. 68). Jika maka
persentil pada distribusi variabel random kontinu X merupakan penyelesaian untuk persamaan:
( ) ( )
Pada umumnya, suatu distribusi mungkin tidak kontinu, dan jika distribusi tersebut diskontinu, maka akan terdapat beberapa nilai p sedemikian sehingga persamaan ( ) tidak memiliki penyelesaian.
Definisi persentil secara umum adalah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
( ) ( )
B. Varians dan Kovarians
Definisi 2.8 (Bain & Engelhardt, 1992, hal. 73). Varians dari variabel random X didefinisikan dengan
( ) ,( )
-Notasi varians yang lain yaitu ( ) standar deviasi dari X didefinisikan sebagai akar positif dari varians yaitu √ ( ).
Teorema 2.1 (Bain & Engelhardt, 1992, hal. 74). Jika X adalah variabel random maka ( ) ( ) Bukti: ( ) ,( ) ( ) ( ) ( ) Nilai ekspektasi X adalah ( ) maka
14 ( )
Teorema 2.2 (Bain & Engelhardt, 1992, hal. 74). Jika X adalah variabel random, dan merupakan konstanta, maka
( ) ( ) Bukti: ( ) ,( ) ,( ) , ( ) ,( ) ( )
Definisi 2.9 (Bain & Engelhardt, 1992, hal. 174). Kovarians dari pasangan variabel random X dan Y didefinisikan sebagai
( ) ,( )(
)-notasi lain untuk kovarians adalah .
Jika X dan Y variabel random diskrit, maka
( ) ,( )(
∑ ∑( )( ) ( )
Jika X dan Y variabel random kontinu, maka
( ) ,( )(
∫ ∫ ( )( ) ( )
Jika X dan Y adalah variabel random, a dan b konstanta, maka 1. ( ) ( )
15 2. ( ) ( ) 3. ( ) ( )
4. ( ) jika X dan Y independen
C. Distribusi Normal
1. Definisi Distribusi Normal
Definisi 2.10 (Bain & Engelhardt, 1992, hal. 118). Variabel random X dikatakan berdistribusi normal dengan mean dan varians 2 jika mempunyai fungsi densitas probabilitas yaitu:
( ) √
0 1
Untuk dengan dan . Variabel random X berdistribusi normal dinotasikan dengan ( ). Distribusi normal sering juga disebut dengan distribusi Gauss.
2. Uji Kolmogorov-Smirnov
Uji normalitas Kolmogorov-Smirnov dapat dicari dengan menggunakan bantuan software SPSS 20. Konsep dasar yang digunakan dari Uji Kolmogorov-Smirnov yaitu membandingkan distribusi data (data return) dengan distribusi normal baku. Distribusi normal baku merupakan data yang telah ditransformasikan ke dalam bentuk Z-Score dan diasumsikan normal.
a. Hipotesis
H0 : data return saham berdistribusi normal
H1 : data return saham tidak berdistribusi normal b. Tingkat Signifikansi
16
Kolmogorov-Smirnov | ( ) ( )| dengan:
= distribusi kumulatif data sampel
( ) = distribusi kumulatif yang dihipotesiskan d. Kriteria Keputusan
H0 ditolak jika e. Perhitungan
f. Kesimpulan
Contoh 2.5.
Untuk menguji kecenderungan orang Negro Amerika terhadap kesukaan tingkat-tingkat warna kulit menurut gelap-terangnya dilakukan pemotretan terhadap 10 orang. Fotografer memroses sedemikian rupa sehingga dari setiap subyek yang sama didapatkan 5 cetakan menurut gelap-terangnya kemudian diurutkan dari yang paling gelap hingga paling terang. Foto yang warna kulitnya paling gelap diletakkan di tingkat 1, yang paling terang di tingkat 5. Kemudian setiap subyek diminta memilih diantara kelima foto mereka sendiri. Jika gelap-terangnya warna wajah mereka tidak penting, maka kelima lembar foto itu akan dipilih sama seringnya. Jika gelap-terangnya penting bagi mereka, maka orang-orang itu secara konsisten akan lebih menyukai salah satu dari tingkatan gelap-terangnya foto. Data prefensi warna kulit orang Negro Amerika dituliskan pada Tabel 1.1 berikut.
17
Tabel 1. 1 Preferensi Warna Kulit 10 Orang Negro
Tingkatan gelap-terangnya fototerpilih (1 adalah warna kulit paling gelap)
1 2 3 4 5
= jumlah yang memilih jumlah itu
0 1 0 5 4
( ) = distribusi kumulatif data sampel
1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 ( ) = distribusi kumulatif
yang dihipotesiskan
0/10 1/10 1/10 6/10 10/10
| ( ) ( )| 2/10 3/10 5/10 2/10 0
Dari data diatas diketahui D untuk data ini adalah
atau dengan sehingga dari tabel D Kolmogorov-Smirnov pada Lampiran 12 diperoleh nilai , nilai p-value yaitu antara dan yang diperoleh dari nilai pada tabel D Kolmogorov-Smirnov. Maka, ditolak karena dan sehingga subyek-subyek pada penelitian tersebut menunjukkan preferensi yang signifikan dalam hal gelap-terangnya warna kulit.
D. Analisis Multivariat
Analisis statistik multivariat merupakan metode statistik untuk menganalisis hubungan antara lebih dari dua variabel secara bersamaan. Data sampel analisis multivariat secara umum dapat digambarkan dalam bentuk matriks dengan n objek dalam p variabel sebagai berikut (Johnson & Wichern, 2007, hal. 5):
18
Variabel 1 Variabel 2 Variabel k Variabel p
Objek 1
Objek 2
Objek j
Objek n
atau dapat ditulis dalam bentuk matriks X dengan n baris dalam p kolom
[ ] 1. Multivariat berdistribusi Normal
Fungsi distribusi multivariat normal merupakan perluasan dari fungsi distribusi univariat normal dengan rata-rata dan varians-kovarians matriks ∑ (Johnson & Wichern, 2007, hal. 150). Dimana,
[ ] [ ] [
]
maka fungsi densitas multivariat normal yaitu
( )
( ) | |
( ) ( )
19 2. Vektor Random dan Matriks Random
Vektor random adalah vektor yang elemen-elemennya berupa variabel random. Jika suatu unit eksperimen hanya memiliki satu variabel terukur maka variabel tersebut merupakan variabel random, sedangkan jika terdapat lebih dari satu variabel terukur, misal n variabel maka variabel-variabel tersebut disebut vektor random dengan n komponen. Sedangkan, matriks random adalah matriks yang mempunyai elemen variabel random (Johnson & Wichern, 2007, hal. 66). 3. Mean dan Kovarians Vektor Random
Misal X merupakan suatu variabel random dengan mean ( ) dan matriks kovarians Mean vektor random berukuran dinyatakan dengan (Johnson & Wichern, 2007, hal. 68),
( ) [ ( ) ( ) ( )
] [ ]
Untuk kovarians vektor random X berukuran p x 1 yaitu ( )( ) ([ ] ( )) [ ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ]
20 [ ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ]
atau dapat dinyatakan dengan ( ) [
]
dengan
Kovarians untuk sampel dinyatakan [ ] dengan ̂ ̂ E. Turunan Parsial
Definisi 2.11 (Purcell & Varberg, 2001, hal. 197). Jika ( ) terdefinisi dalam domain D dibidang XY, sedangkan turunan pertama f terdapat x dan y disetiap titik (x,y) ada maka:
turunan pertama f di x (selain x dianggap konstanta) adalah
( ) ( )
turunan pertama f di y (selain y dianggap konstanta) adalah
( ) ( )
dapat dinotasikan dengan: ( ) ( )
21 F. Integral Riemann
Definisi 2.12 (Purcell & Varberg, 2001, hal. 338). Diketahui fungsi f(x) pada selang tertutup , - sebanyak n partisi dengan adalah lebar partisi, ̅̅̅
Sehingga integral f(x) untuk ,
-didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann yaitu:
∫ ( ) ∑ ( ̅̅̅) ∑ ( ̅̅̅)
Gambar 2. 1 Integral Riemann
Jika limit ada maka f(x) dikatakan integrabel (dapat diintegralkan) pada selang , - Integral ini disebut dengan Integral Riemann atau Integral Tentu.
G. Metode Simpleks
Penyelesaian suatu permasalahan pemograman linear dapat menggunakan metode simpleks. Bentuk dasar yang digunakan yaitu pemograman linear yang mencari X yang memaksimumkan (atau meminimumkan) (B. Susanta, 1994, hal. 6),
22 dengan kendala : ( ) dengan [ ] ( ) [ ] , -
Kendala yang berbentuk pertidaksamaan ∑ , ∑ , dapat diubah menjadi persamaan sebagai berikut:
1. Untuk pertidaksamaan bertanda “ ” dapat dibentuk dalam suatu persamaan “=” dengan cara mengurangkan ruas kiri pembatas linear dengan surplus variable yaitu ∑ ∑
dengan .
2. Untuk pertidaksamaan bertanda “ ” dapat dibentuk dalam suatu persamaan “=” dengan cara menambahkan slack variable pada ruas kiri pembatas linear yaitu ∑ dengan .
Metode Simpleks merupakan suatu metode pemprograman linear dengan penyelesaian yang bertahap, mulai dari satu titik ekstrim lalu kemudian ke titik ekstrim berikutnya dengan tujuan memperbaiki optimalitas dengan mempertahankan kelayakan atau bergerak kearah kelayakan tanpa merusak optimalitas. Penyelesaian pemograman linear dengan metode simpleks dapat menggunakan tabel yang disebut dengan tabel simpleks yang ditunjukkan sebagai berikut:
23
Tabel 2. 1 Tabel Simpleks
Cj C1 C2 ... Cn ̅ ̅ ... ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ... .... ... ... Z ... Z keterangan:
: baris diisi dengan koefisien-koefisien fungsi tujuan : baris diisi dengan nama-nama variabel peubah
̅ : kolom diisi dengan nama-nama variabel yang menjadi basis ̅ : kolom diisi dengan koefisien-koefisien peubah yang mejadi basis
: kolom diisi dengan konstanta kendala
: kolom diisi dengan rumus ∑ untuk j=1, 2, ..., n : kolom diisi dengan rumus
( adalah elemen-elemen yang ada dalam kolom kunci ,dan hanya dihitung untuk ) .
Setelah tabel simpleks terbentuk, maka langkah-langkah penyelesaian dari tabel tersebut adalah sebagai berikut:
1. Mengindentifikasi tabel layak atau tidak, fungsi kelayakan tabel dilihat dari solusi nilai kanan ( ) jika solusi bernilai positif maka tabel layak dan
24
jika ada nilai solusi yang negatif maka tabel tidak layak sehingga tidak bisa diteruskan.
2. Menentukan kolom kunci dilihat dari nilai dengan nilai negatif terbesar untuk fungsi tujuan memaksimumkan dan nilai positif terkecil untuk fungsi tujuan meminimumkan.
3. Memilih baris kunci dengan nilai terkecil dari selisih nilai solusi dan nilai kolom kunci yang bersesuaian.
4. Menentukan nilai kunci yaitu nilai yang terletak diantara perpotongan baris kunci dan kolom kunci.
5. Mengubah nilai-nilai baris kunci dengan cara membaginya dengan angka kunci.
6. Mengubah nilai selain nilai pada baris kunci dengan cara mengurangkan nilai kolom kunci baris yang bersangkutan dikali baris kunci baru dalam satu kolom terhadap baris lamanya yang terletak dalam satu kolom juga.
7. Lihat tabel sudah optimum atau belum. Tabel dengan fungsi tujuan memaksimumkan berarti bernilai positif atau 0, tabel dengan fungsi tujuan meminimumkan memiliki nilai negatif atau 0. Jika tabel belum optimal maka langkah 2-7 dapat diulangi kembali hingga tabel optimum.
Contoh 2.7.
Memaksimumkan
dengan fungsi kendala,
25
, Penyelesaian:
Kendala dalam bentuk kanonik dan memaksimumkan Cj 9 2 5 0 0 0 ̅ ̅ x1 x2 x3 s1 s2 s3 bi Ri 0 s1 2 3 -5 1 0 0 12 6 0 s2 2 -1 3 0 1 0 3 3/2 0 s3 3 1 -2 0 0 1 2 2/3 Zj 0 0 0 0 0 0 0 Zj-Cj -9 -2 -5 0 0 0 Cj 9 2 5 0 0 0 ̅ ̅ x1 x2 x3 s1 s2 s3 bi Ri 0 s1 0 7/3 -11/3 1 0 -2/3 32/3 - 0 s2 0 -5/3 13/3 0 1 -2/3 5/3 15/3 9 x1 1 1/3 -2/3 0 0 1/3 2/3 - Zj 9 3 -6 0 0 3 6 Zj-Cj 0 1 11 0 0 3 6 Cj 9 2 5 0 0 0 ̅ ̅ x1 x2 x3 s1 s2 s3 bi Ri 0 s1 0 12/13 0 1 11/13 -16/13 157/13 157/12 5 x3 0 -5/13 1 0 3/13 -2/13 5/13 - 9 x1 1 1/13 0 0 2/13 2/13 12/13 12 Zj 9 -16/13 5 0 33/13 17/13 133/13 Zj-Cj 0 -42/13 0 0 33/13 17/13 133/13
26 Cj 9 2 5 0 0 0 ̅ ̅ x1 x2 x3 s1 s2 s3 bi Ri 0 s1 -12 0 0 1 -1 -4 1 5 x3 5 0 1 0 1 1 5 2 x2 13 1 0 0 2 3 12 Zj 51 2 5 0 9 11 49 Zj-Cj 42 0 0 0 9 11 49
Karena semua nilai , maka tabel simpleks tersebut sudah optimum, dengan nilai , dan dan nilai f maksimumnya yaitu 49.
H. Investasi
Investasi adalah komitmen atas sejumlah dana atau sumberdaya lainnya yang dilakukukan pada saat ini, dengan tujuan memperoleh sejumlah keuntungan di masa datang (Eduardus Tandelilin, 2001, hal. 3). Investasi berkaitan dengan berbagai macam aktivitas seperti menginvestasikan sejumlah dana pada aset riil (tanah, emas, mesin atau bangunan), maupun aset finansial (deposito, saham ataupun obligasi). Seorang investor harus memahami dasar-dasar investasi untuk membuat keputusan investasi sehingga dapat meminimumkan risiko yang akan terjadi. Hal mendasar dalam proses keputusan investasi adalah pemahaman hubungan antara return yang diharapkan dan risiko suatu investasi. Hubungan risiko dan return yang diharapkan dari suatu investasi merupakan hubungan yang searah dan linear. Artinya, semakin besar risiko yang harus ditanggung, semakin besar pula return yang diharapkan (Eduardus Tandelilin, 2001, hal. 5).
Tahap-tahap keputusan investasi menurut Tandelilin (2001) yaitu : 1) Penentuan tujuan investasi
27
Tahap pertama dalam proses keputusan investasi adalah menentukan tujuan investasi yang akan dilakukan. Tujuan investasi untuk masing-masing investor bisa berbeda tergantung pada investor yang membuat keputusan tersebut.
2) Penentuan kebijakan investasi
Tahap penentuan kebijakan investasi dilakukan dengan penentuan keputusan alokasi aset. Keputusan ini menyangkut pendistribusian dana yang dimiliki pada berbagai kelas aset yang tersedia (saham, obligasi, bangunan maupun sekuritas luar negeri).
3) Pemilihan strategi portofolio
Strategi portofolio yang bisa dipilih yaitu strategi portofolio aktif dan strategi portofolio pasif. Strategi portofolio aktif meliputi kegiatan penggunaan informasi yang tersedia untuk mencari kombinasi portofolio yang lebih baik. Strategi portofolio pasif meliputi aktivitas investasi pada portofolio yang seiring dengan kinerja indeks pasar.
4) Pemilihan aset
Pemilihan aset yang dilakukan untuk membentuk suatu portofolio. Tahap ini memerlukan pengevaluasian setiap sekuritas yang ingin dimasukkan dalam portofolio untuk mencari kombinasi portofolio yang efisien oleh perusahaan. Apabila kinerja keuangan perusahaan cukup bagus dan sudah mampu membayar kewajiban keuangan lainnya.
28 I. Portofolio
Portofolio didefinisikan sebagai kumpulan dari beberapa sekuritas dalam suatu unit yang dipegang atau dibuat oleh seorang investor, perusahaan investasi, atau institusi keuangan (Jogiyanto Hartono, 2014(a), hal. 6). Pembentukan portofolio bertujuan untuk melakukan diversifikasi pada investasi sehingga mampu memaksimalkan keuntungan dengan risiko yang minimal.
1. Return Portofolio
Return merupakan hasil yang diperoleh dari investasi. Return dapat berupa
return realisasian (realized return) dan return harapan (expected return).
Realized return merupakan return yang telah terjadi yang dihitung menggunakan data historis. Sedangkan, expected return adalah return yang diharapkan akan diperoleh oleh investor di masa mendatang (Jogiyanto Hartono, 2014(b), hal. 263).
Realized return portofolio merupakan rata-rata tertimbang dari return-return realisasian masing-masing sekuritas tunggal di dalam portofolio tersebut (Jogiyanto Hartono, 2014(b), hal. 311).
Realized return portofolio dapat dirumuskan dengan
∑ (2.7)
dimana :
= realized return portofolio
proporsi dari sekuritas i terhadap seluruh sekuritas di portofolio
realized return dari sekuritas ke-i jumlah dari sekuritas tunggal
29
Return suatu sekuritas dihitung menggunakan rumus
(2.8)
dimana :
= harga sekuritas pada periode ke-t
= harga sekuritas pada periode ke-(t-1)
Return suatu sekuritas untuk sampel dinyatakan dengan rumus ̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ( )
Expected return portofolio merupakan rata-rata tertimbang dari return-return harapan masing-masing sekuritas tunggal di dalam portofolio (Jogiyanto Hartono, 2014(b), hal. 312).
Expected return portofolio dinyatakan dengan rumus
( ) ∑ ( ) (2.10)
dimana :
( ) = Expected return dari portofolio
= proporsi dana investor pada sekuritas ke-i
( ) = Expected return dari sekuritas ke-i
= banyaknya sekurita.
Nilai expected return pada Persamaan 2.10 secara matematis dapat dibentuk dalam matriks adalah sebagai berikut:
30 , - [ ( ) ( ) ( ) ] ( ) (2.11) dimana:
= proporsi dana investor pada sekuritas ke-i
= matriks bobot tiap sekuritas dalam portofolio
( ) = matriks expected return tiap sekuritas dalam portofolio. 2. Risiko Portofolio
Risiko dalam portofolio dapat diartikan sebagai tingkat kerugian pembentukan portofolio. Salah satu pengukur risiko yaitu varians (Jogiyanto Hartono, 2014(b), hal. 314). Jika semakin besar nilai varians, maka risiko yang ditanggung akan semakin tinggi. Banyaknya sekuritas dalam suatu portofolio dapat mempengaruhi nilai varians dari risiko. Pembentukan suatu portofolio diperlukan minimal dua sekuritas. Varians dengan dua sekuritas adalah sebagai berikut (Jogiyanto Hartono, 2014(b), hal. 314).
( ) , ( )- ,( ) ( )- ,( ) ( ) ( )- ,( ) ( ) ( )- [ ( ( )) ( ( ))] 0 ( ( )) ( ( ))( ( )) ( ( ))1
31
.( ( )) / .( ( ))( ( ))/ ( ( ))
Selanjutnya varians dengan n sekuritas dapat dinyatakan sebagai berikut:
, - ,
-
∑ ∑ ∑ (2.12)
Persamaan 2.10 dapat dinyatakan dalam bentuk matriks yaitu:
, - [ ] [ ] ∑ (2.13) dimana:
∑ = matriks varians kovarians n x n
= matriks bobot tiap sekuritas n x 1.
Risiko portofolio dihitung menggunakan rumus standar deviasi sebagai berikut:
√ (2.14)
dimana:
= standar deviasi portofolio
Risiko portofolio untuk sampel dinyatakan sebagai berikut:
√ ̂ ̂ (2.15)
dimana:
32
̂ = matriks bobot sampel tiap sekuritas n x 1.
J. Saham
Saham adalah surat berharga yang menunjukkan kepemilikan perusahaan sehingga pemegang saham memiliki hak klaim atas dividen atau distribusi lain yang dilakukan perusahaan kepada pemegang saham lainnya. Menurut Husnan Suad (2005), “Saham merupakan secarik kertas yang menunjukkan hak pemodal (pihak yang memiliki kertas tersebut) untuk memperoleh bagian dari prospek atau kekayaan organisasi yang menerbitkan sekuritas tersebut dan berbagai kondisi yang memungkinkan pemodal tersebut menjalankan haknya”. Saham merupakan salah satu di antara beberapa alternatif yang dapat dipilih untuk berinvestasi. 1. Jakarta Islamic Index (JII)
Jakarta Islamic Index (JII) merupakan salah satu indeks saham yang ada di Indonesia yang menghitung indeks harga rata-rata saham untuk setiap sekuritas yang memenuhi kriteria syariah.
Pembentukan JII tidak lepas dari kerja sama antara Pasar Modal Indonesia (PT Bursa Efek Jakarta) dengan PT Danareksa Investment Management (PT DIM). JII dikembangkan sejak tanggal 3 Juli 2000 yang bertujuan untuk meningkatkan kepercayaan investor melakukan investasi pada saham berbasis syariah di bursa efek. JII menjadi tolak ukur kinerja (benchmark) dalam memilih portofolio saham yang sesuai.
33 K. Capital Assets Pricing Model
Capital Assets Pricing Model (CAPM) pertama kali diperkenalkan secara terpisah oleh Sharpe (1964), Lintner (1965) dan Mossin pada tahun 1969. Asumsi-asumsi yang dibangun dalam model CAPM adalah sebagai berikut (Jogiyanto Hartono, 2014(b), hal. 556):
1. Semua investor mempunyai satu periode waktu yang sama.
2. Semua investor melakukan pengambilan keputusan investasi berdasarkan pertimbangan antara nilai expected return dan devisiasi standar return dari portofolionya.
3. Semua investor memiliki harapan yang sama terhadap expected return dan varians kovarians return sekuritas-sekuritas portofolionya.
4. Semua investor dapat meminjamkan atau meminjam sejumlah dana dengan jumlah yang tidak terbatas pada tingkat suku bunga bebas risiko.
5. Penjualan pendek (short sale) diijinkan. 6. Tidak ada biaya transaksi.
7. Tidak terjadi inflasi.
8. Tidak ada pajak pendapatan pribadi. 9. Investor adalah penerima bunga.
10. Pasar modal dalam keadaan ekulibrium.
Jika semua asumsi tersebut dipenuhi, maka akan terbentuk kondisi pasar yang ekuilibrium. Hubungan expected return dan risiko dalam keadaan ekuilibrium pasar dapat digambarkan pada Gambar 2.2.
34
Gambar 2. 2 Capital Market Line
Slope dalam garis pasar modal disimbolkan merupakan harga pasar dari risiko untuk portofolio yang dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:
M f M r R E
. (2.16) Perubahan yang semakin kecil mengakibatkan risiko portofolio semakin besar dan sebaliknya. Garis pasar modal menunjukan semua kemungkinan kombinasi portofolio efisien yang terdiri dari sekuritas-sekuritas berisiko dan sekuritas bebas risiko (Jogiyanto Hartono, 2014(b)). Garis pasar modal terbentuk sepanjang titik expected return sekuritas bebas risiko
rf sampai titik M. Expected return sekuritas bebas risiko didekati dengan tingkat return suku bunga bank sentral, di Indonesia umumnya diambil dari tingkat return suku bunga bank Indonesia. Expected return dalam portofolio CAPM berdasarkan Gambar 2.2 dapat dirumuskan dengan
p M f M f p r R E r R E
. (2.17) 𝜎𝑝 𝜎𝑀35 keterangan:
RpE = expected return portofolio
f
r = return sekuritas bebas risiko
RME = expected return portofolio pasar
M
= standar deviasi dari return portofolio pasarp
= standar deviasi daru return portofolio.
Kontribusi masing-masing sekuritas terhadap risiko portofolio pasar tergantung dari besarnya kovarians return sekuritas dengan portofolio pasar. Mensubstitusikan kontribusi risiko sekuritas terhadap risiko pasar untuk sekuritas
ke-i yaitu M M i ,
pada Persamaan (2.14) dan diperoleh:
M M i M f M f i r R E r r E
, .
M f
i f M i M f M f r R E r r R E r 2 . , (2.18) dengan
M M i M M i i R R R var , cov 2 ,
sebagai pengukur tingkat risiko dari suatusekuritas terhadap risiko pasar danE
ri sebagai expected return CAPM masing-masing sekuritas. Expected return CAPM untuk suatu sampel dapat dinyatakan dengan persamaan berikut.
ri rf i
E
RM rf
36
Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) merupakan penggambaran secara keseluruhan keadaan harga-harga saham. Pasar dalam model ini yaitu indeks harga saham gabungan (IHSG) disebut juga Jakarta Composite Index (JCI) atau
JSX Composite yang merupakan salah satu indeks pasar saham yang digunakan oleh Bursa Efek Indonesia (BEI).
L. Model Black-Litterman
Dasar untuk pembentukan rumus umum model Black-Litterman adalah teori bayes. Pendekatan bayes digunakan untuk menggabungkan nilai expected return
dan equilibrium return yang diamati oleh pasar dengan pandangan investor yang subjektif. Berikut merupakan proses kombinasi dua sumber informasi menggunakan pendekatan bayes digambarkan pada Gambar 2.3.
Gambar 2. 3 Proses kombinasi dua sumber informasi menggunakan pendekatan bayes (Satchell & Scowcroft, 2000)
37
Gambar 2.3 dapat dijelaskan bahwa Black dan Litterman mengansumsikan bahwa expected return E(r) berdistribusi normal dengan mean dan varians
yaitu E(r)| ~ N(,) dan model expected return terbentuk dari dua jenis informasi yang berdistribusi normal. Dua informasi tersebut adalah returnekuilibrium yang berasal dari CAPM dan pandangan investor. Black dan Litterman mengungkapkan pandangan dan return ekuilibrium ke dalam distribusi probabilitas. Pada Gambar 2.3 E(r) merupakan informasi prior yang menyatakan
views investor dan ( |E(r)) merupakan informasi sampel dari data ekuilibrium
return, yang diketahui dari perkiraan yang dimiliki investor. Pada pembentukan model Black Litterman digunakan pendekatan bayes untuk menggabungkan
return ekuilibrium CAPM sebagai informasi sampel dengan informasi prior dari pandangan investor, untuk membentuk distribusi posterior baru dari return.
Views Investor dapat berupa pandangan pasti maupun relatif (Black & Litterman, 1992) yaitu:
1. Pandangan pasti (absolute view)
Ketika seorang investor memberikan prediksinya tentang dua buah saham, maka investor tersebut akan yakin dengan nominal return yang akan diberikan masing-masing saham tersebut sebesar x%. Contoh: “Saya memprediksi sekuritas B akan memberikan return sebesar x%”
2. Pandangan relatif (relativeview)
Ketika seorang investor memberikan prediksinya tentang dua buah saham, maka investor tersebut akan melakukan perbandingan antara return yang
38
akan diberikan kedua saham tersebut. Contoh: “Saya memprediksi bahwa
return yang diberikan sekuritas A akan melampaui return yang diberikan sekuritas C sebesar y%”.
Contoh 2.8.
Suatu portofolio terbentuk dari 4 sekuritas, yaitu sekuritas A, B, C dan D. Investor dapat menyatakan tinjauannya (feeling) terhadap keempat saham tersebut maupun hanya pada beberapa saham yang menjadi perhatian investor. Pada contoh ini, investor hanya menyatakan keempat sekuritas tersebut dalam 4 tinjauan sebagai berikut:
Tinjauan 1: “Saya yakin sekuritas A akan memberikan return 1,5%. Tinjauan 2: “Saya yakin sekuritas B akan memberikan return 2%”. Tinjauan 3: “Saya yakin sekuritas C akan memberikan return 1%”. Tinjauan 4: “Saya yakin sekuritas D akan memberikan return 1%”.
Jika E(r) adalah estimasi return investor dengan 4 sekuritas, yaitu A , B , C dan D, maka keempat tinjauan investor tersebut dapat dinyatakan dengan:
( ) ( ) ( ) ( ) Matriks tinjauan dapat disusun dengan:
[ ] ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] [ ]
39
Matriks P adalah matriks tinjauan dari return dengan tiap baris matriks menyatakan satu tinjauan pada suatu portofolio. Jika investor memiliki tinjauan yang pasti maka jumlah bobot saham dalam tinjauan akan bernilai satu. Sedangkan jika investor memiliki tinjauan yang relatif maka jumlah bobot saham dalam tinjauan akan bernilai nol.
Aturan Bayes menyatakan bahwa distribusi probabilitas dari suatu kejadian B terjadi apabila kejadian A diketahui, maka
) Pr( ) Pr( ) | Pr( ) | Pr( A B B A A B . (2.20)
Aturan Bayes di atas lebih sering diungkapkan dalam bentuk berikut: ) Pr( ) | Pr( ) | Pr(B A A B B . (2.21)
dengan notasi menyatakan “proporsional terhadap” )
|
Pr(B A : probabilitas bersyarat A, bila B diketahui, disebut juga dengan distribusi posterior.
) |
Pr(A B : probabilitas bersyarat B, bila A diketahui, disebut juga dengan distribusi bersyarat.
)
Pr(B : probabilitas B, disebut juga informasi prior. )
Pr(A : probabilitas A, disebut juga normalisasi konstan.
Untuk membentuk model Black-Litterman dibutuhkan dua jenis informasi yaitu expected return equilibrium CAPM dan views investor. Kedua informasi tersebut kemudian dikombinasikan dengan menggunakan aturan Bayes, dengan mengganti kejadian A adalah equilibrium return CAPM dan kejadian B adalah
40 ) Pr( )) ( Pr( )) ( | Pr( ) | ) ( Pr( E r E r r E (2.22) dengan
r = vektor excess return ukuran n x 1
E(r) = vektor expected return investor ukuran n x 1
= equilibrium return CAPM
Diasumikan bahwa keyakinan prior ( ( )) dinyatakan sebagai P ( ), yang mempunyai bentuk kendala linear dari vektor expected return ( ) dan ditulis dengan matriks P berukuran sehingga
( ) (2.23)
Notasi adalah vektor error yang menandakan adanya views yang masih belum pasti serta diasumsikan berdistribusi normal dengan meannya nol dan variasinya Ω atau dapat ditulis ( ) dengan Ω adalah matriks diagonal kovarians dari views. He&Litterman (1999) merumuskan kovarians dari views
adalah sebagai berikut:
( ∑) . (2. 24)
Skalar merupakan kuantitas yang diketahui oleh manajer investasi untuk mengukur skala matriks kovarians historis (). Kebanyakan peneliti menggunakan nilai yang berbeda. Satchell & Scowcroft (2000) menentukan nilai sama dengan 1, He & Litterman (1999) menggunakan nilai yaitu 0,025. Nilai tergantung dari tingkat keyakinan investor terhadap views, sehingga nilai untuk akan berkisar antara 0 sampai 1.
) , ( ~ ) (r N q E P (2.25)
41
Fungsi densitas dari data equilibrium return dengan syarat informasi prior, diasumsikan sebagai ) ), ( ( ~ ) ( | E r N E r (2.26)
Dapat diperhatikan bahwa ( ) ( ), artinya terdapat asumsi bahwa
mean equilibrium return sama dengan mean return pasar yang dapat diperoleh melalui CAPM. Ketika informasi prior yang dimiliki investor memiliki tingkat
views yang tidak pasti, hal ini diindikasikan dengan nilai matriks kovarians views
( ) adalah bukan nol.
Teorema 2.3 (Salomons, 2007, hal. 46). Jika ( ) ( ) dan
| ( ) ( ( ) ∑) maka densitas posterior ( ( )| ) berdistribusi multivariat normal dengan mean ( ) ,( ∑) - [( ∑)
] dan variansnya adalah ,( ∑) - . Bukti:
Pertama, PE(r)|E(r) adalah distribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku. Maka, PE(r)|E(r)~N(q,).
Kedua, Expected return E(r)adalah variabel random, yang berdistribusi normal dengan meandan variansi . Maka, E(r)~ N(,).
Diketahui bahwa fungsi densitas probabilitas dari PE(r)|E(r) adalah distribusi multivariat normal dengan PE(r)|E(r)~ N(q,):
( ( )| ( )
√( ) ( ) 0 ( ( ) )
( ( ) )1 (2.27)
Pada asumsi kedua dinyatakan bahwa fungsi densitas probabilitas dari E(r) adalah distribusi multivariat normal dengan E(r)~ N(,):
42 ( | ( )
√( ) ( ∑) 0 ( ( )) ( ∑)
( ( ))1 (2.28) Teorema Bayes dalam konteks ini dapat dinyatakan sebagai:
) Pr( )) Pr( ) | Pr( ) | Pr( π E(r E(r) π π E(r)
(2.29)
atau dapat dinyatakan sesuai dengan rumus pada persamaan (2.21) yaitu: Pr(E(r)|π) ( | ( )) ( ( ))
Fungsi probabilitas pada Persamaan (2.27) dan Persamaan (2.28) disubstitusikan pada Persamaan (2.21) sehingga diperoleh:
( ( )| ( ) √( ) ( ) 0 ( ( ) ) ( ( ) )1 √( ) ( ∑) 0 ( ( )) ( ∑) ( ( ))1
Dengan menghilangkan semua konstanta dan yang tersisa adalah ( ( )| ) 0 ( ( )) ( ∑) ( ( )) ( ( )
) ( ( ) ) 1
( ( )| ) 0 1 sehingga diperoleh densitas posterior yang sebanding:
( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( ))
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
43 ( ) ,( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,( ) - ( ) ,( ) - ( ) ( ) untuk, ( ) , ( ) , ( ) .
Menggunakan notasi di atas, maka dapat ditulis kembali menjadi: ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ) ( ( ) )
Dengan demikian akan menjadi konstanta dan selanjutnya ( ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) Sehingga diperoleh: ( ( )| ) 0 ( ( ) ) ( ( ) )1 Dengan E(r)|PE(r)adalah mean posterior yaitu
,( ) - ,( ) - variansinya,yaitu
44
Jadi (E(r)) atau distribusi return kombinasi yang baru sebagai distribusi posterior berdistribusi normal.
( ( ) (,( ) - ,( ) - ,( ) - ) Selanjutnya, [( ) ] [( ) ] [( ) ] ( ) ( )[( ) ] [ ∑ ] [ ∑ ] [ ∑ ] [ ( ∑ ) ∑ ( )] ( ∑ ) ( ∑ ( )) ( ∑ ) ( ∑ *( ∑ )( ∑ ) +( ) ( ∑ ) ( ∑ ∑ ∑ )( ∑ ) ( ) ,( ∑ ) ( ∑ ∑ )- ∑ ( ∑ ) ( ) ∑ ( ∑ ) ( )
Sehingga, expected return Black-Litterman dirumuskan sebagai berikut: ( ) ∑ ( ∑ ) ( ) (2. 30)
dengan, ) (rBL
E = expected return model Black Litterman
= vektor k x 1 untuk return equilibrium CAPM.
= skala tingkat keyakinan dalam pandangan/views (range 0-1).
= matriks varians kovarians return.
= matriks diagonal kovarians dari views.
45
q = vektor k x 1 untuk views return yang diberikan investor.
M. Distribusi Kerugian (Loss Distribution)
Suatu portofolio yang dibentuk dari aset digambarkan dengan vektor ( )
dengan ∑
Return dari aset ke-n dinotasikan dengan , sehingga didapat vektor random ( ) Return dari suatu portofolio , yang dinotasikan dengan adalah jumlah yang diboboti dari return aset yang tergabung dalam portofolio tersebut, yang ditulis sebagai berikut:
Kerugian dari suatu portofolio merupakan negatif dari nilai return
portofolio tersebut. Dari rumus return portofolio di atas, diperoleh fungsi kerugian berikut:
( ) * +
Distribusi probabilitas dari mempunyai fungsi densitas ( ), yaitu fungsi densitas distribusi bersama dari return aset yang terdapat di dalam portofolio . Untuk setiap , kerugian ( ) adalah suatu variabel random yang mempunyai suatu distribusi yang dipengaruhi oleh distribusi dari Dengan demikian, untuk suatu probabilitas dari ( ) tidak lebih dari ( ) didefinisikan sebagai berikut:
46 { ∫ ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) dengan :
( ) = suatu nilai kerugian
( ( ) = probabilitas dari ( ) tidak lebih dari ( ) ( ) = fungsi kerugian (Loss Function)
= bobot suatu portofolio
= return
( ) = fungsi densitas dari
N. Value at Risk
Value at Risk (VaR) merupakan salah satu bentuk pengukuran risiko yang cukup populer. VaR didefinisikan sebagai estimasi kerugian maksimum yang akan didapat selama periode waktu tertentu dalam kondisi pasar normal pada tingkat konfidensi tertentu (Sarykalin, Serraino, & Uryasev, 2008). VaR memiliki konsep yang sederhana dan dapat diimplementasikan untuk berbagai metodologi statistka. Umumnya VaR hanya digunakan untuk mengukur risiko pasar saja, namun untuk sekarang VaR banyak digunakan untuk pengontrolan dan manajemen risiko kredit dan risiko operasional.
Secara sederhana VaR dapat diartikan sebagai kerugian yang mungkin terjadi selama waktu investasi t dengan tingkat kepercayaan ( ). VaR dengan tingkat kepercayaan ( ), dinyatakan sebagai kuantil ke-α dari distribusi
47
kerugian. VaR dapat ditentukan dari fdp nilai return r. Pada tingkat kepercayaan ( ), akan dicari nilai kemungkinan terburuk , sehingga peluang munculnya nilai return melebihi adalah ( ),
( ) ∫ ( )
Peluang munculnya suatu nilai return kurang dari sama dengan , ( ) adalah .
∫ ( ) ( )
Walaupun VaR merupakan ukuran risiko yang cukup populer dan banyak digunakan, namun VaR memiliki kelemahan pada sifat non-subadditive dan non-convex , jika distribusi dari return saham-saham yang berada dalam portofolio tidak normal atau tidak lognormal (Rockafellar & Uryasev, 2000). Sifat non-subadditive menyebabkan VaR pada suatu portofolio dengan dua saham lebih besar dari pada jumlah masing-masing VaR dari dua saham tersebut. Sifat non-convex dari VaR menyebabkan sulit digunakan untuk optimalisasi portofolio.
O. Ukuran Risiko Koheren
Artzner et al. (1999) mendefinisikan bahwa suatu ukuran risiko 𝜌 dikatakan koheren jika dan hanya jika memenuhi:
1. Sub-additivity
𝜌( + ) ≤𝜌( ) +𝜌( ) untuk semua risiko X dan Y. 2. Positive Homogeneity
48
Untuk suatu risiko X dan konstanta 𝜆 ≥ 0, maka 𝜌(𝜆 ) =𝜆𝜌 ( ) . 3. Translation Invariance
Untuk suatu risiko X dan konstanta a, maka 𝜌( + ) = 𝜌( ) + 4. Monotonicity
Untuk dan adalah risiko dimana ≤ , maka 𝜌( ) ≤ 𝜌( ).
P. Package Rglpk pada Software R Studio
Package Rglpk dalam software R Studio adalah suatu package yang digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan linear. Fungsi dari package
tersebut adalah:
Rglpk_solve_LP(obj, mat, dir, rhs, types = NULL, max = NULL, bounds = NULL, verbose = FALSE)
keterangan:
Obj : vektor dengan koefisien fungsi objektif Mat : vektor dengan koefisien fungsi kendala
Dir : vektor karakter dengan direction (arah) dari kendala. Tiap elemennya harus berisi salah satu dari “<”,,“<=”,“>”,“>=”, atau “==”.
Types : vektor yang menunjukkan tipe dari variabel objektif. Types dapat berupa “B” untuk biner, “C” untuk kontinu, atau “I” untuk integer.
Max : logika yang menunjukkan arah dari optimisasi. TRUE berarti memaksimalkan fungsi objektif, sedangkan FALSE berarti meminimalkan.
Verbase : logika untuk mengaktifkan atau menonaktifkan output tambahan dari penyelesaian.
